TEMA 4.- LA INTEGRAL DEFINIDA 4.1.-CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA. DEFINIDA. EL PROBLEMA DEL ÁREA Desde el principio, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los métodos de medición de áreas subtendidas bajo curvas. El cálculo diferencial es, básicamente, un método para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado. Este problema se resuelve por "derivación" y es completamente equivalente al problema de dibujar una tangente a la curva que representa la dependencia de la distancia respecto del tiempo. La velocidad en el instante t es igual a la pendiente de la tangente a la curva en el punto correspondiente a t .
El cálculo integral es fundamentalmente un método para encontrar la distancia recorrida cuando se conoce la velocidad, y en general, de encontrar el resultado total de la acción de una magnitud variable. Evidentemente, este problema es recíproco del problema del cálculo diferencial (el problema de encontrar la velocidad), y se resuelve por integración. Resulta que el problema de la integración es en todo equivalente al de encontrar el área bajo la curva que representa la dependencia de la velocidad respecto al tiempo. La distancia recorrida en el intervalo de tiempo t 1 a t 2 es igual al área bajo la curva entre las rectas que corresponden en la gráfica a los valores t 1 a t 2.
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v
El concepto de integral y, en general, del cálculo integral tuvo su origen histórico en la necesidad de resolver problemas concretos, uno de cuyos ejemplos más característicos es el cálculo del área de una figura curvilínea. x), que está Sea una curva que representa la gráfica de una función real de variable real f ( x definida y es continua en un intervalo [a, b]. Para simplificar la definición se considera positiva, f(x)>0, en todo punto del intervalo. Representando por S el área del trapecio mixtilíneo de la figura, delimitado por la curva de ƒ(x), el eje OX (intervalo [a, b]) y las rectas perpendiculares al eje OX , x = a y por x = b
x), Se desea encontrar el área S de la superficie limitada por la curva con ecuación y = f ( x el eje X y las rectas paralelas al eje Y con ecuaciones x = a y x = b. Con ese objetivo, se divide el intervalo [ a, b] en n partes, segmentos o subintervalos, no necesariamente iguales aunque consideraremos que lo son, como se muestra a continuación:
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Esta división del intervalo [a, b] se realiza por medio de una partición P formada por los puntos xo= a, x1 , x2 , ..., xn-1 , xn = b De esta forma, se obtienen un conjunto de subintervalos cerrados [x0 , x1], [x1 , x2], ..., [x n-1 , xn]
cuyas amplitudes respectivas son: h1= x1- x0 , h2 = x2 - x1 , ..., hn = xn - xn-1
Ahora bien, como la función es continua en todo el intervalo [a, b], lo es también en cada uno de los subintervalos, por lo que en cada uno de ellos alcanza un mínimo (Teorema de las Funciones Continuas), m1 , m2 , .... , mn,
y un máximo, M 1 , M 2 , ..... , M n.
Trazando paralelas al eje OY por cada punto y paralelas al eje OX por los mínimos, mi , se obtienen n rectángulos, denominados rectángulos inferiores o inscritos . La suma de sus áreas es: I ( f , P ) S I h1m1 h2 m2 ... hn mn
n
hm i
i
(1)
i 1
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De forma similar, trazando paralelas al eje OX por los máximos absolutos, M i , se obtienen n rectángulos, llamados rectángulos superiores o circunscritos . La suma de sus áreas es: (2) S ( f , P) S E h1 M 1 h2 M 2 ... hn M n
n
h M i
i
i 1
Consecuencia inmediata de las figuras es que SI ≤SE. Si se consideran nuevas particiones, P1 , P 2 , …P n, en el intervalo [a, b] se tendrían otros subintervalos y otros valores de las sumas de las áreas de los rectángulos inferiores y superiores, S'I y S'E, por ejemplo. El proceso anterior se repite eligiendo los puntos de cada partición cada vez más próximos entre sí. De esta forma, se obtienen dos sucesiones de números reales, que son:
La suma de las áreas de los rectángulos inferiores: SI, S'I, S''I, ...; La suma de las áreas de los rectángulos superiores: SE, S'E, S''E, ...
La sucesión de la suma de las áreas de los rectángulos inferiores, S I, S'I, S''I, ..., está acotada inferiormente y se caracteriza por aumentar conforme n crece (tendiendo a infinito, n ) . La sucesión de la suma de las áreas de los rectángulos superiores, S E, ).
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S'E, S''E, ..., está acotada superiormente y disminuye conforme n crece (tendiendo a ). infinito, n ) . Además, cada suma inferior y superior (asociadas a cada una de las particiones elegidas) genera un intervalo de la forma [SE, SI] y todos ellos forman un conjunto de intervalos encajados que convergen en un número real. Este número real es, por definición, el área de la región contenida bajo la curva de la función entre los puntos x=a y x=b. Este comportamiento lo representamos mediante el siguiente límite: área S lim S I ( f , Pn ) lim SE ( f , Pn ) n
n
4.1.1.- DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA DEFINIDA La idea intuitiva que ha permitido obtener el área de la región contenida bajo la curva de la función entre los puntos x=a y x=b, se generaliza y permite definir el concepto de integral definida como el límite de las sumas superiores o inferiores. A partir de ahora no se exige que la función sea positiva. Por ello, las sumas superiores e inferiores se definen del mismo modo, pero ahora no siempre representan en general áreas ya que la función puede tomar también valores negativos en ciertos subintervalos. Sea f(x) una función real de variable real, definida y continua en el intervalo cerrado [a, b]. Se puede demostrar que para toda sucesión de particiones P1 , P2 , …Pn, de este intervalo, tanto las sumas superiores como las inferiores se aproximan a un mismo valor o número real siempre que se verifique que: 1.
Pn .... P3 P2 P1
2. Los tamaños de todos los subintervalos hi=xi-xi-1 que determina la partición Pn se aproximan a 0 cuando n tiende a +. 3. El conjunto de particiones P1 , P2 , …Pn genera una sucesión de intervalos encajados de la forma S I' , S E' , S I'' , SE'' , SI''' , SE''' , ...., SIn , SE n que tienden hacia un número real que es el límite común de las sumas superiores y las sumas inferiores:
lim S I ( f , Pn ) lim S E ( f , Pn ) n
n
que es el área de la región contenida bajo la curva de la función entre los puntos x=a y x=b. Este límite común recibe el nombre de Integral Definida de la función f(x) en el intervalo [a, b] , y se designa por la expresión:
b
a
f ( x)dx
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Por tanto: b
f ( x)dx lim S ( f , P ) lim S n
a
I
n
n
E
( f , Pn )
donde los números a y b se llaman límite inferior y superior de integración , respectivamente. La función f(x) recibe el nombre de integrando . Además, una función en la que se verifica la siguiente relación: lim S I ( f , Pn ) lim S E ( f , Pn ) n
n
se dice que es Integrable. Integrable.
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4.1.2.- SIGNO DE LA INTEGRAL DEFINIDA DEFINIDA En la definición dada para la integral definida, se ha considerado a la función f(x) positiva en todo punto del intervalo [a, b] . En esta situación, al ser m ,i M ,i h i positivos, también los son los productos hi.M i y hi.mi y sus sumas S I y S E , y, en consecuencia, la integral definida (que es el límite de esas sumas) es positiva. Por tanto, si f(x)>0 en [a, b] entonces se verifica que:
Si la función ƒ(x) es negativa en todo punto del intervalo [a, b] , hi son positivos, pero mi y M i son negativos, por lo que son negativos los productos hi.mi y hi.M i y también lo son sus sumas. Por tanto, si ƒ(x) < 0 su integral definida es negativa. Es decir, si ƒ(x) < 0 en [a, b], entonces se verifica que:
Como el área es una medida, se debe expresar como un número positivo . Por lo que en el caso de funciones negativas el área (no la integral definida) se define en la forma:
Hay que insistir en que la integral definida puede ser positiva o negativa, mientras que el área de la región contenida contenida bajo la curva curva de la función f(x) entre entre los puntos x=a y x=b (conocida también como trapecio mixtilíneo mixtilíneo o curvilíneo) curvilíneo) hay que considerarla considerarla como número número positivo. positivo.
4.1.3.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Las propiedades básicas de la Integral Definida son las siguientes: 1) La integral definida de una constante por una función es igual a la constante por la integral definida de la función. Sea k un un número real constante y f(x) es una función integrable en el intervalo cerrado [ a; b], entonces
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2) La integral definida de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las integrales de las funciones sumando. Sean ƒ(x) y g(x) dos funciones continuas e integrables en [a, b], entonces se verifica que f(x)+g(x) también es integrable en [a, b]:
3) Si f(x) y g(x) son dos funciones integrables en [ a, b] (con a < b ) y además f ( x x)g( x x) x [a, b] entonces se verifica que:
Podemos ilustrar geométricamente esta propiedad como se muestra a continuación. Sea f ( x x)>0 y g( x)> x)>0 para x [a, [a, b]. Además g( x x) f ( x x) para cada x [a, b] como se muestra en la figura siguiente:
Observe que el área del trapecio curvilíneo aQRb es mayor que la del trapecio curvilíneo aPSb, por lo que se cumple que:
b
a
f ( x )dx
b
a
g ( x) dx
4) Propiedad de la Inversión de los Límites de Integración: si permutamos los límites de integración, la integral cambia de signo. El motivo es que al cambiar los límites se pasa a los valores opuestos de los tamaños de los intervalos de la partición. Por ejemplo, en la partición más sencilla tenemos que b-a y a-b son opuestos.
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5)
a
a
f ( x)dx 0 , es decir, el área contenida bajo la función f(x) en un punto x=a es
cero porque en este caso observe que la longitud de la base del trapecio curvilíneo es a-a=0, por lo que su área también es igual a 0.
6) Si M y m son los valores máximo y mínimo respectivamente de la función f ( x x) en el intervalo [a, b ], con a b , y además f(x) es integrable en [ a, b ] entonces se verifica que: m.(b a )
b
a
f ( x ) dx M . ( b a )
Puede ilustrarse esta propiedad geométricamente como se muestra en la siguiente figura. Sea f ( x x)0 para x [a, b] con a < b.
Obsérvese que el área del trapecio curvilíneo aQTb está comprendida entre las áreas de los rectángulos aPUb (rectángular inferior basado en el mínimo de la función) y aRSb (rectángulo superior basado en el máximo de la función) . El área del rectángulo aPUb es m.(b-a), la del rectángulo aRSb es M.(b-a) y la del trapecio curvilíneo es
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 2
Consideremos la región limitada por la curva con ecuación y = x + 1 y las rectas cuyas ecuaciones son x=1 y x=3. La representación gráfica es la siguiente:
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Note que el valor mínimo que toma la función es 2 y el máximo es 10. El área del rectángulo aPSb es 2.(3-1) y la del rectángulo aQRb es 10.(3-1). Luego, la propiedad 5 nos dice que el área del trapecio curvilíneo aPRb verificará la siguiente desigualdad y estará acotada: 2.(3 1) 4
3
3
1
1
( x 2 1) dx 10.(3 1) ( x 2 1)dx 20
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