ADMINISTRACION DE EMPRESAS
CALCULO INTEGRAL
Unidad 1: Tarea 1 – El El Concepto Integral GRUPO: 100411_10 INTEGRANTES: MONICA ANDREA ANDREA SERNA CALDERON - Cód. 1.090.390.185 NIDIA YANETH CHILAMA CORAL – Cód. Cód. 1.084.847.203 YARIED MARCELA ASCENCIO ASCENCIO - Cód. 1.093.913.866
TUTOR: LUIS ALPIDIO GARCIA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”
ECACEN – CEAD CEAD – POPAYAN POPAYAN OCTUBRE – 2018 2018
INTRODUCCION
Con esta actividad aplicaremos el conocimiento adquirido para Integrales inmediatas, sumas de riemann, Teorema de integración e Integral definida y algunos teoremas en la solución de los ejercicios propuestos. Igualmente, aprenderemos a trabajar en equipo y a fomentar el aprendizaje por medio de aportes y puntos de vistas de los compañeros del grupo académico. El Cálculo Integral es la rama de las Matemáticas Matemáticas muy utilizadas en Ciencias, tecnología, tecnología, Ingeniería e Investigación, que requiere un trabajo sistemático y planificado, para poder cumplir el proceso fundamental de técnicas que permiten solucionar problemas de estos campos. Por ello, la integración es necesaria para otras áreas matemáticas más av anzadas y tiene muchas aplicaciones prácticas en nuestra vida profesional.
OBJETIVOS Objetivo General
El principal objetivo de esta actividad es que los estudiantes Comprendan y apliquen el conjunto de conocimientos relacionados la Unidad número uno de la asignatura Cálculo Integral, para que puedan ser aplicados en diferentes escenarios del saber y en la solución de los ejercicios planteados por la actividad.
Objetivo Específicos
1. Lectura y comprensión de la Unidad 1. El Concepto Integral 2. Desarrollar ejercicios seleccionados aplicando (Integrales inmediatas, Sumas de riemann, teorema de integración e Integral definida) 3. Aprender la utilización de herramientas matemáticas para el desarrollo problemas en la vida diaria y profesional
Temáticas a desarrollar: El concepto de Integral.
Integral indefinida.
Sumas de Riemann.
Teoremas de integración.
Integral definida. Desarrollo de la actividad
APORTE - MONICA ANDREA SERNA CALDERON - EJERCICIOS A Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas.
Desarrollar los ejercicios seleccionados utilizando el álgebra y la trigonometría para reducir las funciones a integrar a integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado. Ejercicio a.
3 √ 3 √
3− 1 2 3
3 22 3 1 22 3 1 2 11 112 2 3 2 2√
Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann
Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann Ejercicio a. i.
1
Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función en el intervalo [0, 4], en donde use una partición de n=8, ii. Graficar en Geogebra la función en el intervalo dado, tome un pantallazo de la gráfica y ayudándose de Paint represente los rectángulos definidos por la suma de Riemann.
Calcular la integral definida utilizando Geogebra y analizar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n=8.
1 3 4 0 =25.33
SUMATORIA DE RIEMANN
= Donde:
a= 0 b= 4 n=8
∆ 1 0 1 0 1
4 1 4 17
i = número de elementos
x(i)= a + (h*i)
1 < <1 <<1 7
Número de elementos 1 2 3 4 5 6 7
0.5 1 0.5 1.25 1 1 1 1.25 3.25 1.5 1 1.5 3.25 6.5 2 1 2 6.5 11.5 2.5 1 2.5 11.5 18.75 3 1 3 18.75 28.75
X (i) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
3.5 1 3.5 28.75 42 1 = 1 0.50.5(1 (2∗ 42) 17) 25.5
Tipo de ejercicios 3 – Teorema de integración.
Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando
′
de las siguientes funciones
Ejercicio a.
1
[] [] 2 2
Tipo de ejercicios 4 – Integral definida.
Desarrollar el ejercicio que ha elegido Utilizar el segundo teo rema fundamental del cálculo. Ejercicio a. Calcular la siguiente integral definida,
125 5 125 5 5log 25
5 5log5 255 2 5log2 225 3.49 8.99 3.49 8.99 12.48
APORTE: NIDIA YANETH CHILAMA CORAL - EJERCICOS C Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas.
Desarrollar los ejercicios seleccionados utilizando el álgebra y la trigonometría para reducir las funciones a integrar a integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado. Ejercicio c.
11 Simplificamos, utilizando la propiedad:
Entonces:
1 1 1 1 Aplicando la regla de la suma:
Cada una de estas integrales las resolvemos de ma nera directa:
3 2 Procedemos a comprobar calculando la derivada:
33 22 1 1 Lo cual corresponde con la integral inicial Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann
Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann Ejercicio c.
i.
Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función
en el intervalo [-1, 1], en donde use una partición de
n=8, Tenemos que:
∆ 1 8 1 28 14 0.25 Calculamos:
1 ∗0.25 1 0.25 Planteamos la suma de Riemann
=∆ Entonces:
0.750.25 0.50.250.250.25 00.25 0.250.25 0.50.25 0.750.25 10.25 0.14 0.06 0.02 0 0.02 0.06 0.14 0.25 0.69 ii.
Graficar en Geogebra la función en el intervalo dado, tome un pantallazo de la gráfica y ayudándose de Paint represente los rectángulos definidos por la suma de Riemann.
iii.
Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n=8.
Se tiene que el valor obtenido en Geogebra es casi el mismo que el obtenido mediante la suma de Riemann Tipo de ejercicios 3 – Teorema de integración.
Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando
′
de las siguientes funciones
Ejercicio c.
1 Sabemos que:
(ℎ)∗ ℎ ()∗ Entonces:
ℎ Aplicando la fórmula de derivada de un cociente tenemos que:
ℎ 1 Finalmente aplicamos la fórmula:
1 ∗ 1 Tipo de ejercicios 4 – Integral definida.
Desarrollar el ejercicio que ha elegido Utilizar el segundo teo rema fundamental del cálculo. Ejercicio c. Calcular la siguiente integral definida,
1 Primero hallamos la integral indefinida, aplicando la regla de suma de integrales:
1 Las cuales ahora podemos resolver de manera directa:
ln Evaluamos en los límites de integración
1 | ln| /
ln ((⁄2) ln(⁄2)) 1 ln ln(⁄2) 1 ln ln(⁄2) Simplificando:
1 ln2 1.69 Y realizar la gráfica de la función en Geogebra y tomar un pantallazo en donde se vea el intervalo a integrar, con ayuda de Paint representa la integral.
editar la imagen para colorear el área que
APORTE: YARIED MARCELA ASCENCIO - EJERCICIOS E Tipo de ejercicio 1- Integrales inmediatas
Ejercicio e.
∫ 2 ∫ ∫() ∫2 ∫ ∫ ∫() ∫ 1 ∫() – ∫1 ∫2 =
+
= u = 3x y du = 3dx entonces
=
= 2x ahora sumamos las 3 integrales:
=
– cot(x) – x + 2x =
– cot(x) + x
Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann
=
=
= – cot(x) – x
Ejercicio e.
Usando las sumas de Riemann calcular
el area bajo la curva
intervalo [1, ].
i ∑= ∗ ∑= + ∗ ∑= / ∗ ∑= + ∗ ∑= + ≃ 3 ∗∑= + ∞ a) Δx =
– a)/n =
Δx =
– 1)/8 =
=
=
xi = a + i*Δx = 1 +
=
= por propiedades de la serie telescópica
Entonces 3 * = 1 esta sumatoria tiende a 1 para i =
b) la gráfica:
∫, ∫,. = Ln|x|
= Ln|2,5| - Ln|1| = 0,916 – 0 = 0,916
=
con n = 8 y en el
c) Si se resuelve sumando las 8 areas de riemann daria:
X0 = 1, X1 = 1 +
2 ∗ 5∗
= 1,1875, X2 = 1 +
4∗ 7∗ ,
X4 = 1 +
1,75, X5 = 1 +
X7 = 1 +
2,3125 reemplazando las x en f(xi) =
F(x0) =
F(x4) =
1, F(x1) =
,
∑
= 0,57, F(x5) =
0,842, F(x2) =
,
1,9375, X6 = 1 +
, ,
= 0,516, F(x6) =
3 ∗ 6∗
1,375, X3 = 1 +
0,727, F(x3) =
2,125
, ,
= 0,47, F(x7) =
1 + 0,842 + 0,727 + 0,64 + 0,57 + 0,516 + 0,47 + 0,4324 = 5,19
5,19 * Δx = 5,19 *
= 0,9745
El porcentaje de error es:
,,
* 100% = 94,02% solo un 6% de error
Tipo de ejercicios 3 – Teorema de integración.
Ejercicio e.
1,5625
0,64,
0,4324
∫ 2 ∗2 ∗` ` ∗d−∗d = f(u)
– f(v)
teorema fundamental del calculo
Pero
=
∗−∗ ∗∗− − x tanx 2 ∗4 ∗ =
=
entonces:
reemplazando
Tipo de ejercicios 4 – Integral definida.
Ejercicio e. Calcular la siguiente integral definida,
∫ ∫ ∫ + +s ∫ ∫ . ∗s ∫ ∫ s ∫ =
=
dx = - cos(x)
-cos( ) + cos( ) = 1 + 0 = 1
=
=
CONCLUSION
1. Se logró la comprensión y aplicación de los principios del cálculo integral y sus teorías facilitando el entendimiento y desarrollo de los ejercicios propuestos.
2. El cálculo proporciona el lenguaje y los conceptos básicos para formular teoremas y principios fundamentales en varias disciplinas del saber.
3. Todos y cada uno de los conceptos vistos son indispensables para el buen de sarrollo de los ejercicios propuestos en este primer trabajo colaborativo.
BIBLIOGRAFIA
La Integral indefinida. Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. (pp. 15 – 23). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true &db=edselb&AN=edselb.5045548&lang=es&site=eds-live
Sumas de Riemann Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 2 – 13). Recuperado dehttps://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action?ppg=1&docID=3227578&t m=1536935311791
Teoremas de integración Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 50 – 53). Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=tr ue&db=edselb&AN=edselb.3196635&lang=es&site=eds-live La integral definida. Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 54 – 57). Recuperado
dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=tr ue&db=edselb&AN=edselb.3196635&lang=es&site=eds-live
La integración Casteblanco, C. (2018). La Integración. [Video]. Recuperado de:http://hdl.handle.net/10596/20497
