Distribusi Binomial Dan Eksponensial

MAKALAH STATISTIK STATISTIK MATEMATIKA MATEMATIKA DISTRIBUSI BINOMIAL DAN DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

Kelompok 1 1. Aq Aqidatul Meiliyah

12030174033

2. No N ovatama Adi N

12030174050

3. Dy Dyah Shinta K

12030174054

4. a  an!!ana "a#a$ N

12030174237

5. et#i Nu# %a&a#'ati

12030174244

(. "i "i)ki *i#ta#ia "

12030174257

7. Nu# Maulidiah

120301742(0

Dosen Pembimbing : Drs. Ismail, M.P

Uni!ersi"as Negeri S#raba$a %a&#l"as Ma"ema"i&a an Ilm# Penge"a'#an Alam (#r#san Ma"ema"i&a )*+

KA+A ,-NAN+A" 

,u&i $yuku# kami pan&atkan kehadi#at +uhan /an! Maha -$a ka#ena ata$ limpahan #ahmat dan ka#uniaNya kami dapat menyele$aikan Makalah Stati$tik  Matematika tentan! di$t#iu$i inomial dan di$t#iu$i ek$ponen$ial. Makalah ini di$u$u di$u$un n e#tu& e#tu&uan uan untuk untuk melen! melen!kap kapii tu!a$ tu!a$ mata mata kuliah kuliah Stati$t Stati$tik ik Matema Matematik tika. a. Den!an men!!unakan e#a!ai $ume# makalah ini di$u$un $ea#a $i$temati$. +idak lupa kami men!uapkan te#ima ka$ih a!i $elu#uh pihak yan! telah memantu dalam penyu$unan makalah ini khu$u$nya kepada apak $mail $elaku do$en pemimin! dan $elu#uh an!!ota kelompok yan! tu#ut memantu dalam  penyu$unan makalah ini. Kami menyada#i ah'a kami adalah manu$ia yan! mempunyai kete#ata$an dalam e#a!ai hal. leh ka#ena itu tidak ada hal yan! dapat di$ele$aikan den!an $an!at $an!at $empu# $empu#na. na. 6e!itu 6e!itu pula den!an den!an makalah makalah ini. ini. Maka Maka da#i da#i itu kami kami $an!at $an!at men!ha#apkan k#itik dan $a#an da#i pa#a pemaa. Kami e#ha#ap makalah ini  e#manaat a!i pa#a pemaa. Sehin!!a i$a mempe#lua$ dan menamah  pen!etahuan tentan! $tati$tik matematika.

Su#aaya ( De$eme# 2014  ,enuli$

BAB I PENDAHULUAN

A. La"ar Bela&ang

 Suatu pe#oaan $e#in! te#di#i ata$ ee#apa u$aha tiap u$aha den!an dua kemun!kinan ha$il yan! dapat die#i nama $uk$e$ atau !a!al. al ini te#&adi mi$alnya pada pen!u&ian a#an! ha$il p#oduk$i den!an tiap pen!u&ian atau u$aha dapat menun&ukkan apakah $uatu a#an! aat atau tidak. Kita dapat menentukan atau memilih $alah $atu ha$il $ea!ai $uk$e$. al ini &u!a ena# ila ka#tu dita#ik  $ea#a e#u#utan da#i $ekotak ka#tu #id!e dan tiap pena#ikan te#$eut di$eut $uk$e$ atau !a!al e#!antun! pada apakah ka#tu me#ah atau hitam yan! te#amil. 6ila tiap ka#tu dikemalikan lalu dikook $eelum ka#tu e#ikutnya dita#ik maka kedua  pe#oaan yan! a#u die#ikan mempunyai $iat yan! $ama yaitu ulan!an pe#oaan  ea$ $atu $ama lain dan peluan! $uk$e$ tidak e#uah da#i pe#oaan yan! $atu ke  pe#oaan lainnya. ,#o$e$ $epe#ti diata$ di$euat p#o$e$ 6e#noulli. Di$t#iu$i inomial dida$a#kan pada ek$pe#imen 8pe#oaan9 yan! dilakukan  pe#tama kali oleh 6e#noulli yaitu ek$pe#imen yan! dilak$anakan $ea#a e#ulan! $eanyak n kali. a$il pe#oaannya dikelompokkan men&adi 2 kate!o#i yaitu ha$il :$uk$e$; dan :!a!al;. Kedua kate!o#i itu ke&adiannya $alin! ea$ 8independent9 dan me#upakan pa#ti$i. Ma$ih anyak $ekali pe#$oalan yan! meme#lukan un!$i padat &eni$ lain un!$i padat te#$eut adalah di$t#iu$i !amma dan di$t#iu$i ek$ponen$ial. Di$t#iu$i ek$ponen$ial me#upakan $alah $atu di$t#iu$i p#oailita$ da#i peuah aak kontinu yan! khu$u$. ,ada makalah ini akan diaha$ tentan! di$t#iu$i inomial dan di$t#iu$i ek$ponen$ial $e#ta penyele$aiannya.

B. R#m#san Masala'

1. 2. 3. 4.

Apakah pen!e#tian da#i di$t#iu$i inomial< Apakah i#ii#i dan $ya#at da#i di$t#iu$i inomial< Apakah #umu$ da#i di$t#iu$i inomial< Apakah pen!e#tian dan #umu$ da#i di$t#iu$i ek$ponen$ial <

-. T##an

Da#i #umu$an ma$alah diata$ dapat diketahui tu&uan da#i makalah ini adalah = 1. 2. 3. 4.

>ntuk men!etahui pen!e#tian da#i di$t#iu$i inomial >ntuk men!etahui i#ii#i dan $ya#at da#i di$t#iu$i inomial >ntuk men!etahui #umu$ da#i di$t#iu$i inomial >ntuk men!etahui pen!e#tian dan #umu$ da#i di$t#iu$i ek$ponen$ial

D. Man/aa"

Manaat da#i makalah ini adalah a!i penuli$ untuk memenuhi tu!a$ mata kuliah Stati$tik Matematika  dan a!i pemaa adalah dapat meme#ikan  pemahaman men!enai di$t#iu$i inomial dan ek$ponen$ial.

BAB II PEMBAHASAN

I.

DISTRIBUSI BINOMIAL De/inisi Dis"rib#si Binomial Di$t#iu$i 6inomial adalah $uatu di$t#iu$i p#oailita$ yan! dapat di!unakan

 ilamana $uatu p#o$e$ $amplin! dapat dia$um$ikan $e$uai den!an p#o$e$ 6e#noulli. Mi$alnya dalam pe#lempa#an $ekepin! uan! lo!am $eanyak 5 kali ha$il $etiap ulan!an mun!kin munul $i$i !ama# atau $i$i an!ka. 6e!itu pula  ila ka#tu diamil e#tu#uttu#ut kita dapat meme#i lael :e#ha$il; ila ka#tu yan! te#amil adalah ka#tu me#ah atau :!a!al; ila yan! te#amil adalah ka#tu hitam. >lan!anulan!an te#$eut e#$iat ea$ dan peluan! kee#ha$ilan $etiap ulan!an tetap $ama yaitu $ea$a# ?..8"onald -. @alpole9. Proses Berno#lli an Dis"rib#si Binomial

Saat melakukan $euah pe#oaan $e#in! te#di#i ata$ ee#apa u$aha tiap u$aha den!an dua kemun!kinan ha$il yan! dapat die#i nama $uk$e$ atau !a!al. Mi$alnya $aat men!amil ka#tu #id!e $ea#a e#u#utan dan tiap pena#ikan di$eut $u$ke$ atau !a!al te#!antun! pada apakah ka#tu me#ah atau hitam yan! te#amil. 6ila ka#tu yan! te#amil dikemalikan la!i lalu dikook $eelum  pena#ikan e#ikutnya dan apaila ha$il pena#ikan yan! #ikutnya mempunyai $iat yan! $ama yaitu ulan!an pe#oaan ea$ $atu $ama lain dan peluan! $uk$e$ tidak e#uah da#i pe#oaan $atu kepe#oaan lainnya maka pe#oaan te#$eut di$eut p#o$e$ 6e#noulli. Suatu pe#oaaan yan! te#di#i ata$ ee#apa u$aha. tiaptiap u$aha meme#ikan ha$il yan! dapat dikelompokkan men&adi 2 kate!o#i yaitu :$uk$e$; atau :!a!al dan tiaptiap ualan!an pe#oaan ea$ $atu $ama lainnya. ,#oailita$ ke$u$k$e$an tidak e#uah da#i pe#oaan $atu ke pe#oaan lainnya  p#o$e$ te#$eut di$eut p#o$e$ 6e#noulli.

adi p#o$e$ 6e#noulli ha#u$ memenuhi $ya#at $ea!ai e#ikut=

1. ,e#oaan te#di#i ata$ n u$aha yan! e#ulan!. 2. +iap u$aha meme#i ha$il yan! dapat dikelompokkan men&adi $u$k$e$ atau !a!al. 3. ,eluan! $uk$e$ dinyatakan den!an p tidak e#uah da#i u$ahan yan! $atu ke yan! e#ikutnya. ,eluan! !a!al dinyatakan den!an 4. +iap u$aha ea$ den!an u$aha lainnya. Bihat $uatu kelompok 6e#noulli yan! e#upa pen!amilan 4 p#oduk a#an! $ea#a aak da#i lantai p#oduk$i untuk dipe#ik$a kemudian yan! aat dipi$ahkan da#i yan! tidak aat. ,#oduk a#an! yan! aat akan di$eut $uk$e$. 6anyaknya $uk$e$ me#upakan $uatu peuah aak C den!an nilai ilan!an ulat da#i nol $ampai 4. Keenam ela$ ha$il yan! mun!kin 8

 Eaat

 +ak aat9

dan nilai C adalah Hasil

0

Hasil

0

+++

0

+EE

2

++E

1

E+E

2

+E+

1

EE+

2

E++

1

EEE

3

Ka#ena ahan te#$eut dipilih $ea#a ea$ da#i ha$il p#o$e$ yan! dian!!ap men!ha$ilkan 25F ahan yan! aat maka 





,eluan! untuk kemun!kinan ha$il yan! lain dihitun! den!an &alan yan! $ama. adi di$t#iu$i peluan! C adalah G

0

1

2

3

%8G9 6anyaknya

yan! $uk$e$ dalam n u$aha 6e#noulli di$eut peuah ak 

 inomial. Di$t#iu$i peluan! peuah aak di$k#et ini di$eut di$t#iu$i inomial dan

akan dinyatkan den!an

ka#ena nilainya te#!antun! pada anyaknya u$aha

dan peluan! $uk$e$ dalam $uatu u$aha adi untuk di$t#iu$i peluan!

 ila

anyaknya aat dalam ontoh diata$.

,emia#aan diata$ akan dipe#lua$ untuk mendapatkan #umu$ dia#i #umu$ yan! akan meme#ikan peluan!

yaitu akan

$uk$e$ dalam n u$aha $uatu

 pe#oaan inomial. ,e#tama pandan! peluan! $uk$e$

dan !a!al nG dalam $uatu

u#utan te#tentu. Ka#ena u$aha $emuanya ea$ maka peluan! tiap ha$il yan! e#eda dapat dipe#kalikan. +iap $uk$e$ te#&adi den!an peluan!  peluan!

dan tiap ke!a!alan den!an

.

adi peluan! untuk u#utan te#$eut adalah

. Seka#an! ha#u$ ditentukan

 anyaknya $emua titik te#ok dalam pe#oaan te#$eut yan! men!ha$ilkan $uk$e$ dan memi$ahkan

yan!

yan! !a!al. 6anyaknya ini $ama den!an anyaknya a#a ha$il men&adi dua kelompok $ehin!!a

ha$il e#ada pada kelompo

 pe#tama dan $i$anya nG ha$il pada kelompok kedua. umlah ini dapat dinyatakan den!an

. Ka#ena pema!ian ini $alain! te#pi$ah maka peluan!nya di¨ahkan

untuk mendapatkan #umu$ umum atau den!an pe#kataan lain. Men!alikan

den!an

.

,e#hatikan ah'a ila n 3 dan p 

 di$t#iu$i peluan! C yaitu anyaknya yan!

aat dapat dituli$ $ea!ai=  



 G  0 1 2 3

yaitu $uatu a#a penya&ian yan! lain da#i tael te#dahulu. B#&"i ba'1a nilai is"rib#si binomial bernilai + n  n    x n− x      p q n = 0   x  

∑

 8pHq9n  1n  ka#ena q  1 I p 1 Eontoh= Seuah dadu dilempa#kan 12 kali. +entukan peluan! munulnya mata ( $eanyak 3 kali. a'a= Seuah dadu dilempa#kan 12 kali 8n129. ,e#i$ti'a $uk$e$ 8$9 adalah munulnya mata dadu ( dan pe#i$ti'a !a!al 8!9 adalah munulnya mata dadu ukan (. adi ,

8$uk$e$9  , 8ha$il (9   dan , 8!a!al9  , 8ha$il ukan (. adi , 8$uk$e$9  , 8ha$il

(9 

dan , 8!a!al9 I , 8ha$il ukan (9  .

,e#i$ti'a munulnya mata dadu ( dan pe#i$ti'a munulnya mata dadu ukan ( $alin! ea$ dan me#upakan pa#ti$i da#i #uan! $ampelnya $ea #uan! $ampel= S  J12345( Maka peluan! munulnya mata ( $eanyak 3 kali=

 83L 12 9 

.

 220 .

. . 013

 017 Di$t#iu$i $emaam ini die#i nama di$t#iu$i inomial ka#ena dalam pen!u#aian inomial untuk

uah $uku

e#padanan den!an e#a!ai nilai

. /aitu H

H

H

..

Ka#ena  &ela$ ah'a

..

H



 Maka

 $uatu $ya#at yan! ha#u$ dipenuhi $etiap di$t#iu$i

 peluan!. Di$t#iu$i inomial mempunyai anyak te#apan dianyak idan! ilmu $eo#an! in$inyu# p#oduk$i akan $an!at te#ta#ik pada :p#opo#$i yan! aat; dalam  p#oduk$i. Se#in! uku#an pen!endalian mutu dan #enana pene#okan p#o$e$ dida$a#kan pada di$t#iu$i inomial. ,en!!unaan di$t#iu$i inomial akan ook   pada $etiap keadaan yan! ha$il p#o$e$nya e#entuk dikhotomi dan ha$il p#o$e$ te#$eut ea$ peluan! $uk$e$ tidak e#uah da#i $atu u$aha ke u$aha e#ikutnya. u!a di$t#iu$i ini anyak dipakai dalam oen!iatan dan milite#. Dalam kedua hal te$eut ha$il $uk$e$ atau !a!al amat pentin!. Mi$alnya OoatiP atau Otidak dioatiP  pentin! dalam peke#&aan a#ma$i $edan!kan OkenaP atau Omele$etP $e#in! me#upakan  pena$i#an ha$il oenemakan pelu#u kendali. Ka#ena di$t#iu$i peluan! $etiap peuah aak inomial hanya te#!antun! pada nilai an!!apan pa#amete# n p dan q maka ukup e#a$ala$an ila dian!!ap ah'a #ataan dan va#ian$i peuah aak inomial &u!a te#!antun! pada nilai an!!apan  pa#amete# ini. Meman! etul e!itu dan di +eo#ema 4.2 akan ditu#unkan #umu$ umum $ea!ai un!$i da#i

dan

yan! dapat dipakai untuk men!hitun! #ataan

dan va#ian$i $uatu peuah aak inomial. Teorema .) Di$t#iu$i inomial 8CL n p9 mempunyai #ataan dan va#ian$i.

 an

6ukti Mi$alkan ha$il pada u$aha ke & dinyatakan oleh peuah aak 6e#noulli  & yan! mendapat nilai 0 atau 1 ma$in!ma$in! den!an peluan!

dan

. ,euah

6e#noulli  & den!an nilai $epe#ti ini di$eut peuah aak penun&uk. adi anyaknya $uk$e$ dalam $uatu pe#oaan inomial dapat dituli$kan $ea!ai

peuah penun&uk ea$ $ehin!!a C  1 H 2 H Q H n

Setiap  & mempunyai #ataan

. Sehin!!a den!an

men!!unakan akiat 2 teo#ema 3.7 dipe#oleh #ataan di$t#iu$i inomial

n $uku

*a#ian$i $etiap

die#ikan oleh



6ila Akiat 2 +eo#ema 3.10 dipe#lua$ ke ka$u$ n peuah ea$ maka dipe#oleh va#ian$i di$t#iu$i inomial

n $uku

Di$t#iu$i inomial ini dalam anyak pene#apan te#dapat leih da#i dua kemun!kinan ha$il. Menin&au ontoh da#i idaan! !enetika 'a#na tu#unan $e&eni$ tiku$ pe#oaan mun!kin me#ah hitam atau putih. Se#in! dikhotomi OaatP atau Otidak

aatP

dalam

pe#$oalan

p#oduk$i

$e$un!!uhnya

hanyalah

$uatu

 penyede#hanaan. Se#in! $ekali te#dapat leih da#i dua &eni$ yan! meni#ikan ha$il  p#oduk$i $uatu a#an!.

Eontoh= Seuah mata uan! dilamun!kan 10 kali. Munulnya $i$i muka $eanyak 5 kali.

-8C9  np  10 .

5

adi ha#apan munul $i$i M pada 10 kali lamun!an  5 kali. "a!amnya= *a# 8C9  npq  10 .

. 81  9

 10 .

.

 25

%un!$i peman!kit momennya adalah= M8t9  881 9 H

8 H

et910

et910

Eontoh= Seuah dadu dilempa#kan 12 kali. ,eluan! munulnya mata ( $eanyak 3 kali.

a#apan matemati$nya= -8C9  np  12 G

2

adi ha#apan munul mata ( da#i 12 kali lempa#an adalah 2 kali #a!amnya=

*a# 8C9  npq  12 .

 10 .

. 81  9

.

1 %un!$i ,eman!kit momennya adalah M8t9  881  9H et912  8

912

S$ara" Dis"rib#si Binomial 1. ¨ah t#ial me#upakan ilan!an ulat Eontoh melamun!kan oin 2 kali tidak

mun!kin2 ? kali. 2. Setiap ek$pe#iman mempunya dua outcome 8ha$il9. Eontoh=$uk$e$R!a!allakiRpe#empuan $ehatR$akit$etu&uRtidak$etu&u. 3. ,eluan! $uk$e$ $ama $etiap ek$pe#imen. 4. Eontoh= ika pada lamun!an pe#tama peluan! kelua# mata R$uk$e$ adalah ?  pada lamun!an $ete#u$nya &u!a ?. ika $euah dadu yan! diha#apkan adalah kelua# mata lima maka dikatakan peluan! $uk$e$ adalah 1R( $edan!kan peluan! !a!al adalah 5R(.>ntuk itu peluan! $uk$e$ dilaman!kan p $edan!kan peluan! !a!al adalah 81p9 atau ia$a &u!a dilaman!kan q di mana q  1p. -iri23iri Dis"rib#si Binomial. Di$t#iu$i 6inomial dapat dite#apkan pada pe#i$ti'a yan! memiliki i#ii#i

 pe#oaan 6inomial atau 6e#noulli t#ial $ea!ai e#ikut = 1. Setiap pe#oaan hanya mempunyai 2 kemun!kinan ha$il = $uk$e$8ha$il yan! dikehendakai dan !a!al8ha$il yan! tidak dikehendaki9 2. Setiap pe#oaan ee#$iat independen atau den!an pen!emalian. 3. ,#oailita $uk$e$ $etiap pe#oaan ha#u$ $ama dinyatakan den!an p. Sedan!kan p#oailita !a!al dinyatakan den!an q dan ¨ah p dan q ha#u$ $ama den!an $atu. 4. umlah pe#oaan dinyatakan den!an n ha#u$ te#tentu ¨ahnya. Penera4an Dis"rib#si Binomial 6ee#apa ka$u$ dimana di$t#iu$i no#mal dapat dite#apkan yaitu=

1. umlah pe#tanyaan dimana anda dapat men!ha#apkan ah'a te#kaan anda ena#   dalam u&ian pilihan !anda. 2. umlah a$u#an$i keelakaan yan! ha#u$ diaya# oleh pe#u$ahaan a$u#an$i. 3. umlah lempa#an ea$ yan! dilakukan oleh pemain a$ket $elama $atu mu$im. -on"o' Soal: 1. ,#oailita$ $e$eo#an! $emuh da#i penyakit &antun! $etelah ope#a$i adalah

0.4. 6ila diketahui 15 o#an! mende#ita penyakit ini e#apa peluan!= a9 $eku#an!ku#an!nya 10 o#an! dpt $emuh  9 ada 3 $ampai  o#an! y! $emuh 9 tepat 5 o#an! y! $emuh a'a= Mi$al= C  menyatakan anyaknya o#an! yan! $emuh Diketahui= n  15 ,  0.4   0.( a9

1  1 I 0((2  0.033 adi palin! $edit 10 o#an! akan $emuh adalah 0033  9

,8

9   



 0050 I 00271  077 9  

15

2. Seuah mata uan! dilamun!kan 10 kali. Munulnya $i$i muka $eanyak 5

kali. -8C9  np  10 .  5 adi ha#apan munul $i$i M pada 10 kali lamun!an  5 kali.

"a!amnya= *a# 8C9  npq  10 . . 81  9

 10 . .

 25

%un!$i peman!kit momennya adalah= M8t9  881 9 H et910

 8 H et910

3. Seuah dadu dilempa#kan 12 kali. 6e#apakah peluan! munulnya mata ( $eanyak 3 kali. a#apan matemati$nya= -8C9  np  12 G  2 adi ha#apan munul mata ( da#i 12 kali lempa#an adalah 2 kali #a!amnya= *a# 8C9  npq  12 . . 81  9

 10 . .

1 %un!$i eman!kit momennya adalah M8t9  881  9H et912  8

912

Binomial Nega"i/ 

Suatu di$t#iu$i inomial ne!ati dientuk oleh $uatu ek$pe#imen yan! memenuhi kondi$ikondi$i e#ikut= • •

-k$pe#imen te#di#i da#i $e#an!kaian pe#oaan yan! $alin! ea$ Setiap pe#oaan 8t#ial9 hanya dapat men!ha$ilkan $atu da#i dua kelua#an yan! mun!kin $uk$e$ atau !a!al.

•

,#oailita$ $uk$e$ p dan demikian pula p#oailita$ !a!al q  1  p $elalu

•

kon$tan dalam $etiap pe#oaan 8t#ial9 -k$pe#imen te#u$ e#lan&ut 8pe#oaan te#u$ dilakukan9 $ampai $e¨ah total k $uk$e$ dipe#oleh dimana k e#upa ilan!an ulat te#tentu. adi pada $uatu ek$pe#imen inomial ne!ati ¨ah $uk$e$nya te#tentu

$edan!kan ¨ah pe#oaannya yan! aak. R#m#s %#ngsi Paa" Pel#ang

 Nota$i=  p  peluan! $uk$e$  x  ¨ah pe#oaan $ampai mendapatkan $uk$e$ kek  k   ¨ah $uk$e$ yan! munul %#ngsi Pembang&i" Momen

Mean5 Nilai Hara4an 678 -8C9  k R p

6ukti= k 

   p e t      M 8t9   t  t    − + 1 e  p e    

k −1

   p e t       M  T 8t 9 = k   t  t    − + 1 e  p e    

k −1

   p e t      = k  t  t    − + 1 e  p e    

k −1

   p e t      = k  t  t     1 − e +  p e  

 p e t  81 − e t 

+  p e t  9 −  p e t  8 −e t  +  p e t  9 81 − e t  +  p e t  9 2

 p e t  −  pe 2 t 

+  p 2 e 2t  +  p e 2t  −  p 2 e 2t  81 − e t  +  p e t  9 2

 p e t  81 − e t 

+  p e t  9 2

k −1

   p e t       = t  t  2 t  t  81 − e +  p e 9  1 − e +  p e     k  p e

 M T 8t  = 09

=

t 

k −1

k   p 81 − 1 +  p 9 2

=

k   p

=

k 

 p

    p      1 − 1 +  p    

(1) k −1

2

 p

∴ E 8 X 9 =  M T 8t  = 09 =

k   p

9arian *a#8C9  k 81 I p9 R p2 6ukti=  M T 8t 9

=

k  p e t  81 − e t 

+  p e t  9 2

k −1

   p e t       t  t    1 e  p e − +    

Mi$al= u

=

uT =

= = =

k  p e t  81 − e t 

+  p e t  9 2

k  p e t  81 − e t 

+  p e t  9 2 − 2 k  p e t  81 − e t  +  p e t  9 8−e t  +  p e t  9 t  t  4 81 − e +  p e 9

81 − e t 

+  p e t  98k  p e t  81 − e t  +  p e t  9 − 2 k  p e t  8−e t  +  p e t  9 t  t  4 81 − e +  p e 9

81 − e t 

+  p e t  98k  p e t  − k  p e 2t  + k  p 2 e 2t  + 2 k  p e 2t  − 2k  p 2 e 2 t  9 81 − e t  +  p e t  9 4

81 − e t 

+  p e t  98 k  p e t  + k  p e 2t  − k  p 2 e 2t  9 81 − e t  +  p e t  9 4 k −1

     p e t    v =  t  t     1 − e +  p e  

k − 2

   p e t      vT = 8k  − 19  t  t     1 − e +  p e  

 p e t  81 − e t 

+  p e t  9 −  p e t  8−e t  +  p e t  9 81 − e t  +  p e t  9 2

k − 2

   p e t      = 8k  − 19  t  t    − + 1 e  p e    

 p e t  −  pe 2t 

+  p 2 e 2t  +  p e 2t  −  p 2 e 2t  t  t  2 81 − e +  p e 9

k − 2

   p e t      = 8k  − 19  t  t    1 e  p e − +    

 p e t  81 − e t 

+  p e t  9 2

k − 2

     p e t     = t  t  2  t  t    81 − e +  p e 9  1 − e +  p e   8 k  − 19  p e t 

 M U 8t 9 = u T v + u vT

=

81 − e t 

k −1

   p e t  +  p e t  98k  p e t  + k  p e 2t  − k  p 2 e 2t  9     81 − e t  +  p e t  9     H 81 − e t  +  p e t  9 4    

81 − et  +  p et  9 2

=

  M     U 8t 

 p 8 2kp − kp 2 9

=

 p 2kp

= =

=

2

4

− kp 3

 p 4 k 2 p 2

+

+

09

=

8 1

−

 p 2

k 2  p 2

 p 2

− kp 2

 p 4

4

− kp + k   p 2

=

2

k 2

− kp + k    k     −   p      p 2    

k 2

− kp + k  − k 2  p 2

+

     p 98 k   8 1

kp 8 k  − 19 p

Var  8 X  9 =  M U 8t  = 09 − (  M  T 8t  = 09 ) =

1

− kp 3 + kp 2  p

k 2

k − 2

     p e t     81 − et  +  p et  9 2  81 − e t  +  p et  9     8 k  − 19  p et 

k   p et 

2

−

1

=

=

− kp + k   p 2

k 81 −  p 9

∴ Var 8 X 9 =

 p 2 k 81 −  p 9  p 2

-on"o' Soal Dis"rib#si Binomial

1.

>an! lo!am den!an muka A dan  dito$ ee#apa kali $ampai kelua# 2 8dua9 A. 6e#apa peluan! dipe#lukan 8i9 dua to$L 8ii9 ti!a to$. ,enyele$aian= Mi$alkan anyaknya to$ yan! dipe#lukan adalah C maka C e#di$t#iu$i ne!ati   inomial den!an p  12 dan #  2 dan ditanyakan ,8C  29 dan ,8C  39. adi

adi peluan! dipe#lukan 2 to$ dan 3 to$ ma$in!ma$in! 025. 2. Ea#ilah peluan! ah'a $e$eo#an! yan! melantunkan ti!a uan! lo!am $ekali!u$ 2 3 akan mendapat $emuanya muka atau $emuanya elakan! untuk kedua kalinya  pada lantunan kelima. a'aan=

X  5L 2 1  =  4  1   3               4    1  4   4  

Den!an men!!unakan di$t#iu$i inomial ne!ati untuk G  5 k  2 dan p  V 3 dipe#oleh

4W 3 = .5 1W3W 4 27

=

25(

3. Seo#an! peneliti ten!ah men!inokula$i ee#apa tiku$ putih den!an menyuntikkan vi#u$ yan! menye#an! metaoli$me pene#naan $ampai ia mempe#oleh 3 eko#  tiku$ putih te#$e#an! penyakit te#$eut. 6ila p#oailita$ te#&an!kit penyakit itu adalah 25F e#apa p#oailita$ ah'a dalam pe#oaan itu dipe#lukan 10 eko#  tiku$ (a1ab

 .83 = 10 = 0.259  8 29 80.259 3 . 80.759 7  W R 2W 8 I 29W . 0.015( . 0.1335  3( . 0.015( . 0.1335  0.075 adi p#oailita$ dipe#lukannya 10 eko# tiku$ putih untuk 3 eko# tiku$ yan! te#$e#an! penyakit adalah 0.075 atau 7.5F

II. DISTRIBUSI EKSPONENSIAL Penger"ian Di$t#iu$i ek$ponen$ial me#upakan $alah $atu di$t#iu$i p#oailita$ da#i

 peuah aak kontinu yan! khu$u$. Di$eut khu$u$ ka#ena di$t#iu$i ek$ponen$ial me#upakan hal khu$u$ da#i di$t#iu$i !amma. ,euah aak kontinu C dikatakan mempunyai $ea#an ek$ponen$ial den!an  pa#amete#

θ 

> 0  dan dinota$ikan den!an CY-Gp8 θ   9 &ika C mempunyai un!$i

kepadatan peluan! den!an #umu$ 1 θ 

e

−

 x θ 

 untuk 0 ≤ x < ∞

8G9  0

 untuk  x < 0

Nilai Probabili"as ari Dis"rib#si E&s4onensial

Ka#ena di$t#iu$i ek$ponen$ial me#upakan un!$i den$ita$ maka untuk  mena#i nilai p#oailita$nya yaitu b

 P 8 a

b

1

≤  X  ≤ b9 = ∫  f  8 x9 dx = ∫  a

a

θ 

e

−

 x e

dx

Teorema

ika CY-Gp8 θ   9 maka un!$i peman!kit momen nilai ha#apan dan #a!am da#i C  e#tu#uttu#ut adalah 1

1

%un!$i peman!kit momen

=  M  x 8t 9 = 1 − θ  t   untuk t  < θ  

 Nilai ha#apan

= -ZC[ 

"a!am da#i C

= *a# ZC[ 

Pemb#&"ian Teorema 1.

 M  x 8t 9 =

6ukti=

1

1

 untuk t  < θ  1 − θ  t 

θ   

dan

θ  

2

∞

∫ e

 M  x 8t 9 =

tx

  f  8 x9 dx

−∞

∞

= ∫ e

tx

θ 

0

=

=

1

1

∞

∫ e

e

tx −

∞

∫ 

e

θ  0

 x θ 

dx

 x θ 

θ  0

1

−

 x 8 t −

dx

1 θ 

9

dx

∞

  1 1 1  x 8 t − 9  θ  e =  1 θ   t  −   0 θ   

 1 = θ   

∞

  x 8 t − 9  1 θ  e  θ  t  − 1  0 θ   1

∞

1  x 8 t − 9   =  1 θ  e   θ  θ  t  − 1 0 θ 

1

=

∞ 8 t − 9 1 θ  e θ  t  − 1

=0−

=

2.

-ZC[ 

1 θ   t  − 1

819

1 1 − θ  t 

θ  

6ukti= ∞

-ZC[

=

∫  x   f   8 x9 dx

−∞

1

0 8 t − 9 − 1 e θ  θ  t  − 1

∞

= ∫  x 0

=

=

1 θ 

e

−  x

θ 

dx

1   

 − θ  x e  

θ 

1   0 +

  

θ 

−

 x θ 

∞

 x ∞ −   − ∫ − θ  e 0 0

θ 

∞

 x  −  ( ) − θ  θ  e    0 θ 

  dx      

       

∞

 2 −  x  =  − θ  e  θ   0 1

θ 

= 1 ( 0 − 8−θ  2 ) θ 

= θ  3.

*a# ZC[ 

θ  

2

6ukti= *a# ZC[  -8C298-8C992 ∞

-ZC [ =

∫  x

2

  f   8 x9 dx

−∞

∞

= ∫  x

2

0

=

2

1 θ 

e

−

1   

 x θ 

dx

− θ  x 2 e   θ    

−

 x θ 

∞

 x ∞ −   − ∫ − 2 x θ  e 0 0

θ 

     

dx  

−   1    0 + 2θ  x e θ  dx   ∞

=  θ   

∫ 

 x

   

0

∞ ∞     − x     − x          dx =  − 82θ  x9θ  e   − ∫ − 82θ 9θ  e       θ       0           0    

1 

θ 

θ 

1   

=  − 2θ  2 x e θ    

−

 x θ 

∞

 ∞ 2 − x  + ∫ 2θ  e 0 0

θ 

     

dx  

∞   −  x     3  =  0 + − 2θ  e    θ   0       

1

θ 

∞

−  x   =  − 2θ  3 e  θ   0

1

=

1 θ 

θ 

( 0 − 8−2θ  ) 3

= 2θ  2 *a# ZC[  -8C298-8C992

= 2θ  2 − θ  2

= θ  2 -on"o' Soal

1.

Diketahui ah'a peuah aak kontinu untuk $etiap a.

mempunyai un!$i kepadatan peluan!

. +entukan=

Nilai ha#apan

 . "a!am . %un!$i peman!kit momen da#i . ,enyele$aian= >ntuk $etiap

leh ka#ena itu #umu$ pe#$amaan di$t#iu$i un!$i da#i $ea!ai

dapat dituli$kan

adi

 e#da$a#kan #umu$ dipe#oleh

a. Nilai ha#apan da#i  . "a!am da#i

adalah

adalah

. %un!$i peman!kit momen da#i

2.

Diketahui ah'a

adalah

itun!lah ,8C\09

,enyele$aian= Ka#ena

3.

 maka #umu$ un!$i kepadatan peluan! da#i

adalah

Eontoh pene#apan di$t#iu$i ek$ponen$ial pada $oal dalam keandalan Mi$alkan $uatu $i$tem men!andun! $e&eni$ komponen yan! daya tahannya dalam tahun dinyatakan oleh peuah aak

yan! e#di$t#iu$i

ek$ponen$ial den!an pa#amete# 'aktu #ataan $ampai !a!al

. 6ila

$eanyak 5 komponen te#$eut dipa$an! dalam $i$tem yan! e#lainan  e#apakah peluan! ah'a palin! $edikit 2 ma$ih akan e#un!$i pada akhi#  tahun kedelapan< ,enyele$aian= ,eluan! ah'a $uatu komponen te#tentu ma$ih akan e#un!$i $etelah  tahun adalah

 02 Mi$alkan

menyatakan anyaknya komponen yan! ma$ih e#un!$i

$etelah  tahun. Den!an men!!unakan di$t#iu$i inomial dipe#oleh

BAB III PENUTUP Kesim4#lan  Di$t#iu$i 6inomial dapat dite#apkan pada pe#i$ti'a yan! memiliki i#ii#i

 pe#oaan 6inomial atau 6e#noulli t#ial yakni pe#oaan yan! mempunyai 2 kemun!kinan ha$il :$uk$e$; dan :!a!al;. Setiap pe#oaan e#$iat independen atau den!an pen!emalian p#oailita $uk$e$ $etiap pe#oaan ha#u$ $ama dinyatakan den!an p dan p#oailita !a!al dinyatakan den!an q dan ¨ah p dan q ha#u$ $ama den!an $atu dan dilakukan $e¨ah n  pe#oaan.



Di$t#iu$i ek$ponen$ial me#upakan hal khu$u$ da#i di$t#iu$i !amma. Di$t#iu$i ek$ponen$ial me#upakan $alah $atu di$t#iu$i p#oailita$ da#i  peuah aak kontinu yan! khu$u$. %un!$i kepadatan peluan! den!an #umu$ = 1 θ 

e

−

 x θ 

 untuk 0 ≤ x < ∞

8G9  0

 untuk  x < 0

Saran 

Makalah ini ma$ih anyak keku#an!an oleh ka#ena itu k#itik dan $a#an $an!at dipe#lukan demi ke$empu#naan makalah ini. DA%TAR PUSTAKA

$mail dkk. 2014. Statistika Matematika I . Su#aaya= >nive#$ita$ Ne!e#i Su#aaya

Ku$#ini dkk. 2010. Stati$tika Matematika. aka#ta. >nive#$ita$ +e#uka. http$=RR'''.!oo!le.omRu#l< $at]#t&]q]e$#$]$ou#e'e]d]ad#&a]uat]ved0E-o %&A]u#lhttpF3AF2%F2%$tti.iteh.a.idF2%omponent F2%phoado'nloadF2%ate!o#yF2%51$tati$tikp#oailita$F3%do'nload F3D22F3Amodul7$tati$tika  p#oailita$]ei'2E*M(eA4nuA+toBEA]u$!A%&EN%5p-G6D  &/'aa73a/p0huvo%' 8 diak$e$ tan!!al 0(R12R2014 pukul 17.039 http=RR'''.$lide$ha#e.netR!e!!#aeRppt214(112 8 diak$e$

tan!!al

0(R12R2014 pukul 1.0(9 http$=RR'''.!oo!le.omRu#l< $at]#t&]q]e$#$]$ou#e'e]d4]ved0EDA%&AD]u#lhttp F3AF2%F2%#idho$pt#lo!.ile$.'o#dp#e$$.omF2%2011F2%0(F2%11 di$t#iu$iinomialne!ati !eomet#ik.pptG]ei'2E*M(eA4nuA+toBEA]u$!A%&ENNNG G+,(eSk$@CBav1&7%! 8 diak$e$ tan!!al 0(R12R2014 pukul 1.19 @alpole ". -. dan Mye#$ ". . 15. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan Edisi e!". 6andun!= +6 ,#e$$.