MAKALAH DISTRIBUSI BINOMIAL Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Metode Fisika Eksperimen Dosen Pengampu Mata Kuliah: Dr. Eko Sulistya, M.Si
Disusun Oleh : Intan Nurjannah
(17/422223/PPA/05533) (17/422223/PPA/05533)
PROGRAM STUDI S2 ILMU FISIKA DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA 2018
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Pengertian mengenai beberapa distribusi yang utama akan meningkatkan kemampuan seseorang untuk membaca dan mengartikan hasil karya ilmiah di semua bidang. Setiap kejadian yang dapat dinyatakan sebagai perubahan nilai suatu variabel umumnya mengikuti suatu distribusi teoretis tertentu dan apabila sudah diketahui dengan jelas jenis distribusinya, kita akan dapat dengan mudah berapa probabilitas kejadian tersebut. Misalnya, berapa probabilitas bahwa seorang calon presiden RI akan terpilih menggantikan presiden yang lama. Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas
diskrit jumlah keberhasilan dalam percobaan ya atau tidak (berhasil atau gagal) yang saling
bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas . Eksperimen berhasil atau gagal juga disebut percobaan Bernoulli. Ketika
=
1, distribusi binomial adalah distribusi
Bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik. Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel
dari jumlah populasi . Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan
sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar
daripada , distribusi binomial merupakan pendekatan
yang baik dan banyak digunakan.
1.2
Rumusan Masalah
1.2.1 Apakah yang dimaksud dengan distribusi binomial? 1.2.2 Apa sajakah rumus yang diterapkan untuk menyelesaikan persoalan terkait distribusi binomial? 1.2.3 Bagaimanakah contoh soal dari distribusi binomial dalam kehidupan sehari – hari? 1.2.4 Bagaimanakah cara mengolah data dan membuat grafik distribusi binomial menggunakan Microsoft excel ?
1.3 Tujuan
1.3.1
Mahasiswa dapat memahami pengertian distribusi binomial
1.3.2
Mahasiswa mampu menerapkan rumus yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan terkait distribusi binomial
1.3.3
Mahasiswa mampu menyelesaikan soal tentang distribusi binomial dalam kehidupan sehari – hari
1.3.4
Mahasiswa mampu mengolah data dan membuat grafik distribusi binomial menggunakan Microsoft excel
BAB II. PEMBAHASAN
2.1
Definisi Distribusi Binomial
Sering dalam berbagai macam permasalahan peluang hanya memiliki dua kemungkinan atau hasil dapat disederhanakan menjadi dua kemungkinan. Sebagai contoh, ketika suatu koin dilempar, maka kita akan mendapat angka atau gambar. Dalam permainan bola basket, tim yang bermain bisa menang atau kalah. Pertanyaan-pertanyaan pilihan ganda, walaupun memiliki empat atau lima pilihan jawaban, hanya dapat diklasifikasikan menjadi jawaban benar atau jawaban salah. Kondisi-kondisi yang telah dicontohkan tersebut dinamakan percobaan binomial, yang menghasilkan distribusi binomial. Distribusi Binomial atau distribusi Bernoulli (ditemukan oleh James Bernoulli) adalah suatu distribusi teoritis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, kepala – ekor, dll. Ciri-ciri distribusi binomial sebagai berikut: 1.
Terdapat N kali percobaan.
2.
Masing-masing percobaan hanya dapat menghasilkan dua kemungkinan, atau hasil yang diperoleh dapat disederhanakan menjadi dua kemungkinan. Hasil yang diperoleh tersebut dapat dianggap sebagai hasil yang sukses atau gagal.
3.
Hasil dari masing-masing percobaan haruslah saling bebas, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya
4.
Peluang untuk sukses harus sama untuk setiap percobaan.
2.2
Rumus Yang Digunakan Dalam Distribusi Binomial
2.2.1 Rumus binomial suatu peristiwa
Apabila terdapat N peristiwa, peluang untuk sukses dituliskan sebagai p dan peluang untuk gagal dituliskan sebagai q, dimana q = (1 - p). Jika diketahui peluang sukses untuk masing-masing kejadian, maka peluang untuk N semuanya sukses dihitung sebagai p N. Sedangkan peluang semuanya gagal dihitung sebagai (1 – p) N. Sebagai contoh, jika terdapat 5 petasan, dimana peluang masing-masing untuk meledak adalah sebesar ¾. Maka, peluang kelima petasan meledak adalah sebesar (3/4) 5 = 0.237. Sedangkan peluang semua tidak meledak adalah (1/4) 5 = 0.00098.
Jika kita ambil jumlah peristiwa sukses dari total peristiwa, rumus probabilitas dapat kita tuliskan sebagai:
dimana:
! = = (−)! !
dan
q=1-p
Keterangan: n
= banyaknya perisitiwa sukses
N
= banyak percobaan
p
= probabilitas perisitiwa sukses
q
= 1 – p = probabilitas peristiwa gagal
Agar anda mudah dalam membedakan p dengan q, anda harus dapat menetapkan mana kejadian SUKSES dan mana kejadian GAGAL. Anda dapat menetapkan bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan atau ditanyakan adalah = kejadian SUKSES. 2.2.2 Rata-rata, Varians, dan Simpangan Baku Distribusi Binomial
), dan simpangan baku(σ), dapat dicari
Secara umum, nilai rata-rata (μ), varians (
2
berdasarkan distribusi probabilitasnya, dengan pendekatan sebagai berikut: a.
Untuk rata-rata:
Jika kita hitung kejadian sukses pada beberapa kali percobaan (N percobaan), kita dapat menghitung rata-rata jumlah suksesnya. Rata-rata jumlah sukses dapat dihitung menggunakan rumus:
Jumlahnya berkisar dari n = 0 sampai N karena di setiap serangkaian percobaan beberapa jumlah keberhasilan antara 0 dan N harus terjadi. Kita bisa menghitung nilai n jika kita
tahu
jumlah
satu percobaan. b.
Untuk varians:
uji
coba
N
dan
probabilitas
p
untuk
keberhasilan
di
c.
Untuk simpangan baku:
2.3
CONTOH DISTRIBUSI BINOMIAL
Untuk mengetahui bagaimana ilustrasi dari rumus peluang binomial tersebut bermula, perhatikan Contoh berikut: 1.
Contoh 1
Suatu koin dilempar sebanyak tiga kali. Tentukan peluang mendapatkan tepat dua angka Pembahasan:
Permasalahan ini dapat diselesaikan dengan melihat ruang sampelnya. Ruang sampel dari pelemparan satu koin sebanyak tiga kali adalah: S = {AAA, AAG, AGA, GAA, GGA, GAG, AGG, GGG}
Dari ruang sampel, kita dapat melihat bahwa ada tiga cara untuk mendapatkan tepat dua angka, yaitu AAG, AGA, dan GAA. Sehingga peluang kita mendapatkan tepat dua angka adalah 3/8 atau 0,375. Dalam kasus ini, n = 3, x = 2, p = ½, dan q = ½. Sehingga dengan mensubstitusi nilainilai tersebut ke dalam rumus, kita mendapatkan:
Jawaban tersebut sama dengan jawaban kita sebelumnya yang menggunakan ruang sampel. Contoh 1 tersebut juga dapat digunakan untuk menjelaskan rumus peluang binomial. Pertama, perhatikan bahwa terdapat tiga cara untuk mendapatkan tepat dua angka dan satu gambar dari delapan kemungkinan. Ketiga cara tersebut adalah AAG, AGA, dan GAA. Sehingga, dalam kasus ini banyaknya cara kita mendapatkan dua angka dari pelemparan koin sebanyak tiga kali adalah 3C 2, atau 3. Secara umum, banyak cara untuk mendapatkan X sukses dari n percobaan tanpa memperhitungkan urutannya adalah:
Ini merupakan bagian pertama rumus binomial. Selanjutnya, masing-masing sukses memiliki peluang ½ dan muncul sebanyak dua kali. Demikian juga masing-masing gagal memiliki peluang ½ dan muncul sekali. Sehingga akan memberikan,
Sehingga apabila masing-masing percobaan sukses sukses memiliki peluang p dan muncul X kali serta peluang gagalnya adalah q dan muncul n – X kali, maka dengan menuliskan peluang percobaan sukses kita akan mendapatkan rumus binomial.
2.
Contoh 2
Tiga buah dadu digulirkan sekali. Berapa kemungkinan 5 titik dadu muncul? Pembahasan: Kita ketahui bahwa 5 titik bisa tidak muncul sama sekali pada pelemparan; bisa muncul pada salah satu dadu saja; bisa mncul di 2 dadu; ataupun muncul di ketiganya. Dituliskan: N = 3 n = 0, 1, 2, 3
dimana total seluruh peluang = 1. Dituliskan:
3.
Contoh 3
Tentukan nilai rata-rata, varians, dan simpangan baku, untuk kasus pada contoh 2, untuk kemunculan angka 5 pada 3 dadu Pembahasan:
Diketahui bahwa: jumlah dadu, N = 3 Peluang sukses muncul angka 5 pada masing-masing dadu, p = 1/6 Peluang gagal muncul angka 5 pada masing-masing dadu, p = 5/6 Maka,
a. Rata-rata ( )
atau bisa dituliskan:
̅
Rata-rata ( )
= N.
=3× =
b. Varians (
)
Varians (
2
2
1
1 6
)
= N. .
1 5 6 6
= 3 × × =
5 1 = 0,42
c. Simpangan baku (σ)
Simpangan baku (σ)
N .p.q = √ 0,42 =
= 0,64 4.
Contoh 4
Survei Komnas PA pada tahun 2013, menunjukkan bahwa dari 8.564 siswa SMP berusia 13-14 tahun, sebanyak 90% sudah terpapar iklan rokok dan 41% dari yang sudah terpapar rokok tersebut akhirnya mencoba untuk merokok. Apabila diambil 20 siswa SMP di DKI Jakarta secara acak, maka hitunglah peluang tidak ada siswa yang tidak merokok ? Pembahasan:
5.
Contoh 5
