UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial.
ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL. MÓDULO DE CÁLCULO VECTORIAL. INTEGRANTES:
Nivel y Paralelo: 4° “B” Electrónica
Iza Mesías Lucero Estefani Villarroel Lizbeth
Docente: Ing. Freddy Robalino.
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2013 – FEBRERO/2014
Título:
Carrera:
Electrónica y Comunicaciones.
Área Académica:
Análisis matemático vectorial.
Ciclo Académico y Paralelo:
Cuarto “B” Electrónica
Alumnos participantes:
Iza Mesìas Lucero Estefani Villarroel Lizbeth
Módulo:
Cálculo Vectorial
Docente:
Ing. Freddy Robalino.
Campo Rotacional.
2013-2014
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I. INFORME DEL PROYECTO 1. PP 2. YY 2.1 Título Campo Rotacional.
2.2 Objetivos: Objetivo General:
Determinar el rotacional de un campo vectorial en los sistemas de coordenadas: cartesianas, esféricas y cilíndricas. Junto a sus aplicaciones.
Objetivos Específicos:
Conocer la definición del campo rotacional y sus propiedades.
Aplicar cada teorema del rotacional en un campo vectorial.
Explicar matemáticamente la expresión del rotacional en los diferentes sistemas de coordenadas, (cartesianas, esféricas y rectangulares). Desarrollar ejercicios a fin de comprobar las aplicaciones y utilidad del ca mpo rotacional.
2.3 Resumen El rotacional de una función vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto y se lo obtiene a partir del producto vectorial del operador Nabla con una función vectorial:
2.4 Palabras clave: Operador Nabla, sistemas de coordenadas, rotacional.
2.5 Introducción De manera real existen diferentes fuerzas que actúan sobre cada uno de los puntos en el espacio. Cada uno de los conjuntos de dichas fuerzas se lo denominan campo vectorial.
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A través del tiempo el hombre ha estudiado los efectos y comportamientos causados por dichos campos vectoriales a fin de utilizarlos a su favor, es decir cómo aprovechar sus efectos y como minimizar situaciones arbitrarias que impidan obtener los resultados deseados, como el movimiento de los cuerpos por ejemplo. Entre dichos comportamientos encontramos un fenómeno en el cual inducido por un campo de fuerzas provoca un estado rotación sobre un punto, a este fenómeno lo conocemos como campo rotacional o rotacional simplemente, el mismo que será objeto de estudio en el presente trabajo de investigación. A través del desarrollo de este trabajo se explica la definición del rotacional así como sus propiedades y teoremas y también su relación física-matemática en la aplicación a condiciones ideales (de fin didáctico) y reales (como la dinámica de fluidos y cargas por ejemplo).
2.6 Marco teórico. CAMPO ROTACIONAL.
Rotacional En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto.
Dónde:
⃗ ⃗ ∮
es el área de la superficie apoyada en una curva , que se reduce a un punto.
El resultado de este límite no es el rotacional completo (el cuál es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a
y orientada según la regla de la mano
derecha. Para obtener el rotacional completo se calculan tres límites, considerando tres curvas situadas en planos en planos perpendiculares. perpendiculares.
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Aunque el que el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de cero no implica que las líneas de campo giren alrededor de ese punto y lo encierren. Por ejemplo, el campo de velocidades de un fluido un fluido que circula por una tubería (conocido como perfil de Poiseville) de Poiseville) posee posee un rotacional no nulo en todas partes, salvo en el eje central, pese a que la corriente fluye en línea recta:
La idea es que si colocamos co locamos una rueda de paletas infinitamente pequeña en el interior del campo vectorial, vectorial, esta rueda girará, aunque el campo tenga siempre siemp re la misma dirección, debido a la diferente la diferente magnitud del campo a un lado y a otro de la rueda. la rueda.
Fuente vectorial y escalar . Al campo vectorial punto,
, que se obtiene calculando el rotacional de un campo
en cada
Se conoce como las fuentes vectoriales de (siendo las fuentes escalares las que se obtienen mediante la divergencia) la divergencia).. Un
campo
cuyo
rotacional
es
nulo
en
todos
los
puntos
del
espacio
se
denomina denomina ir r otaciona otacional l o se dice que carece de fuentes vectoriales. Y si está definido
sobre un dominio simplemente dominio simplemente conexo entonces dicho campo puede expresarse como
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el gradiente de una función escalar, o dicho de otra forma, el campo deriva de un potencial:
Expresión en coordenadas coordenadas cartesianas.
Partiendo de la definición mediante un límite, puede demostrarse que la expresión, en coordenadas en coordenadas cartesianas, del cartesianas, del rotacional es:
̂
Tomando en cuenta que el operador nabla es igual a la derivada parcial de cada componente por su campo acorde al sistema coordenado utilizado.
̂ | |
Se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante un determinante:
La notación en forma de determinante sirve para recordar fácilmente la expresión del rotacional. En la notación la notación de Einstein, con Einstein, con el símbolo el símbolo de Levi-Civeta se escribe como
Expresión en los diferentes sistemas de coordenadas. Si se emplean emplean sistemas de coordenadas diferentes del cartesiano, la expresión debe generalizarse, para incluir el que los vectores de la base dependen de la posición. Para
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un sistema de coordenadas ortogonales, como las cartesianas, las cilíndricas o las esféricas, la expresión general precisa de los factores los factores de escala:
Dónde: En cartesianas:
| |
y reobtenemos la expresión anterior.
En coordenadas En coordenadas cilíndricas
.
En coordenadas En coordenadas esféricas
Propiedades.
Todo campo potencial (expresable como el gradiente de un potencial escalar) es irrotacional y viceversa, esto es:
⃗ ⃗
Todo campo central (radial y dependiente sólo de la distancia al centro) es irrotacional.
⃗ ̂ ⃗ En particular, el campo electrostático de una carga puntual (y por superposición, cualquier campo electrostático) es irrotacional.
El rotacional de un campo vectorial es siempre un campo solenoidal, esto es, su divergencia siempre es nula:
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Ejemplos sobre el sentido del rotacional.
En un tornado un tornado los vientos están rotando sobre el ojo, y un campo vectorial que muestra las velocidades del viento tendría un rotacional diferente de cero en el ojo, y posiblemente en otras partes.
En un campo vectorial que describa las velocidades lineales de cada parte individual de un disco que rota, el rotacional tendrá un valor constante en todas las partes del disco.
Si una autopista fuera descrita con un campo vectorial, y los carriles tuvieran diversos límites de velocidad, el rotacional en las fronteras entre los carriles sería diferente de cero.
Aplicaciones. La ley La ley de Faraday de la inducción y la ley de Ampère-Maxwell, dos de las ecuaciones de Maxwell, Maxwell, se pueden expresar muy simplemente usando el rotacional. La primera indica que el rotacional de un campo eléctrico es igual a la tasa de variación de la densidad del flujo magnético, con signo opuesto debido a la Ley de Lenz; la Lenz; la segunda indica que el rotacional de un campo magnético es igual a la suma de la densidad de corrientes y la derivada temporal de la densidad la densidad de flujo eléctrico.
Síntesis: El rotacional de una función vectorial es
un operador vectorial que
muestra la
tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto y se lo obtiene a partir del producto vectorial del operador Nabla con una función vectorial:
̂ 7
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Donde
̂
son los vectores unitarios en las direcciones x, y, z. También se puede
expresar en la forma de un determinante:
̂ | | Y se lo puede expresar en sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas de la siguiente manera aplicando determinantes:
Coordenadas Cartesianas
Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas Esféricas
̂ | | | | | | Teoremas del Rotacional.
Teorema 1 Si f es una función de tres variables, con derivadas parciales de segundo orden continuas, entonces:
Teorema 2
Campo vectorial conservativo en R ³
Sus componentes tienen derivadas parciales de primer orden continuas.
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Entonces:
es irrotacional.
Teorema 3
Si está definido en todo R ³ entonces se cumple el recíproco del teorema 2 si: - está definido en todo R ³ - Sus funciones componentes tienen derivadas parciales de primer orden continuas en todo R ³
Entonces es un campo vectorial conservativo.
Teorema de Stokes Sea S una superficie orientada, suave a trozos, limitada por la curva simple cerrada C, suave a trozos, con orientación positiva. positiva. Sea F(x, y, z) un campo vectorial cuyas componentes tienen primeras derivadas parciales continuas en alguna región abierta ³ que contiene a S, entonces: entonces:
Aplicación: permite calcular una integral de línea de un campo vectorial en el espacio mediante una integral de superficie del rotacional del campo. campo.
Partiendo de una curvatura C y teniendo su superficie S que forma una normal, teniendo cada una funciones paramétricas.
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Por lo que el teorema de Stokes permite encontrar la integral de línea de un campo vectorial a través de una integral de superficie.
Siendo: - : el campo vectorial. (diferencial de superficie)
2.7 Procedimiento Procedimiento para encontrar el rotacional. 1) Plantear el producto cruz entre el operador Nabla y una función vectorial.
2) Escribir el producto cruz indicado aplicando un determinante, tomando en cuenta que en la primera fila se ubicará el sistema coordenado que queremos desarrollar, en la segunda fila las derivadas parciales del sistema coordenado y en la tercera fila la función vectorial intervenida.
̂ | | ̂
3) Resolución de la matriz determinante (Método de Crammer, Gauss Jordan).
Procedimiento para resolver el teorema de Stokes.
1) 2)
Determinar el campo vectorial a intervenir. Formar el determinante respectivo para calcular su rotacional.
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3) 4) 5) 6)
Determinar el diferencial de superficie. Realizar el producto entre el rotacional del campo vectorial y el diferencial de superficie. Resolver la integral de superficie. En caso de que el resultado sea nulo implica que es irrotacional.
2.8 Ejercicios. 1.
Encontrar el rotacional del siguiente campo vectorial:
| | ̂
Resultado: El valor del rotacional es 0 por lo que es irrotacional.
2. Encontrar el rotacional del siguiente campo vectorial.
| |
̂
Resultado
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∫ | | * + [ ]] ∬ √ √ √
3. Evalué el donde donde C es la curva de la intersección del plano con el cilindro orientado en sentido contrario a las manecillas del reloj cuando se ve desde arriba.
4. Utilice el teorema de Stokes para calcular la integral
Y S es la parte de la esfera y arriba del plano
donde
que se encuentra dentro del cilindro
.
Para hallar la curva frontera C resolvemos las ecuaciones y Restando, obtenemos . Así C es el y por tanto círculo dado por las ecuaciones La ecuación vectorial de C es: . Del Por lo que : mismo modo tenemos:
√
() √
en consecuencia del teorema de Stokes.
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() √ √ √ 2.9 Conclusiones El rotacional es un operador operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.
Un campo rotacional resulta del producto cruz entre el operador nabla y una función vectorial lo cual es igual al determinante entre el sistema de coordenadas, las derivadas parciales de este y la función que interviene.
Para conocer el sentido que tomará un campo rotacional se aplica la regla de de la mano derecha.
El teorema de Stokes está fuertemente relacionado con el rotacional, puesto que consigue una integral de línea a través de una integral de superficie, lo cual es igual a la integral de superficie del rotacional del campo vectorial por el diferencial de superficie.
2.10 Referencias bibliográficas. Libros:
N. Kemmer (1986) Reimpresión 2001 Análisis Vectorial Volumen 1. España: Editorial Reverté. Plonus A. Martin Capitulo 8: Descripción del campo magnético en forma diferencial. Título: Electromagnetismo aplicado (1994). Barcelona: Editorial Reverté S.A.
Referencias electrónicas:
Cárdenas Páez Javier, Cálculo integral de varias variables. Recuperado de: http://intermat.fciencias.unam.mx/notas_calc_iv.pdf Wikimatemática 27 de julio del 2009 : http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Teorema_de_Stokes
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Rotacional Pg 9... Teorema de Stokes pg 25 ... http://share.pdfonline.com/69a05e94939f4e29aaafc4ef696c48a1/Teoria12_12.pd f Fundamentos y ejemplos Teorema de Stokes http://www.ehu.es/~mtpalezp/libros/07_2.pdf
2.11 Índice Datos informativos…………………………………………………………… informativos…………………………………………………………….. ..………1 ………1 Objetivos……………………………………………………………………………….2 Resumen…………………………………………………………………..……………2 Palabras clave ………………………………………………………………………….2 Introducción…………………………………………………………………………2 Introducción………………………………………………………………………… 2-3 Marco Teórico………………………………………………………………………3-10 Teórico………………………………………………………………………3-10 Campo rotacional……………………………………………………… rotacional……………………………………………………………………………...3 ……………………...3-4 -4 Rotacional en coordenadas cartesianas………………………………………………… cartesianas…………………………………………………..……5 Rotacional en distintos sistemas de coordenadas………………………………………... coordenadas………………………………………...5-6 5-6 Propiedades del rotacional………………………………………………………………….….6 rotacional………………………………………………………………….….6 Ejemplos sobre Ejemplos sobre el sentido del rotacional……………………………………………. rotacional…………………………………………….………..7 Aplicaciones del rotacional………………………………………………………………… rotacional…………………………………………………………………..….7 Síntesis y fórmulas………………………………………………………………… fórmulas……………………………………………………………………………..7 …………..7 -8 -8 Teoremas de rotacional……………………………………………………………………….8 rotacional……………………………………………………………………….8-9 -9 Teorema de Stokes……………………………………………………………………...…….9 Stokes……………………………………………………………………...…….9-10 -10 Procedimiento para encontrar el rotacional…………………………………………….10 Procedimiento para resolver el teorema de Stokes………………………...………..10-11 Stokes………………………...………..10 -11 Ejercicios……………………………………………………………………………11-13 Ejercicios……………………………………………………………………………11 -13 Conclusiones………………………………………………………………………..…...13 Conclusiones……………………………………………………………………… Referencias bibliográficas……………………………………………………………... Referencias bibliográficas……………………………………………………………...13 13
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