TEOREMA DE CASTIGLIANO CASTIGLIANO
1. NT NTRO RODU DUCC CCIÓ IÓN N
La estructura es el conjunto mecánico encargado de soportar y transmitir las cargas hasta las cimentaciones, donde serán absorbidas por el terreno. Para ello, las estructuras se encuentran constituidas por una serie de barras enlazadas entre sí. Las vigas son los principales elementos estructurales, la cual ofrece resistencia a la deformación; con eactitud a la fleión. !isten muchos m"todos de conservación de energía, los cuales sirven para el cálculo de las defleiones de una viga; el primer m"todo de #astigliano es uno de ellos, es conocido como el más eacto para estas operaciones, ya $ue primero calcula el trabajo realizado por la fuerza cortante $ue aplica la cargas en dicha viga, y por %ltimo calcula lo $ue se desea en realidad& cuán deformable es el material $ vamos a utilizar en la fabricación de esta. Los teoremas y procedimientos relacionados con la energía de deformación ocupan una posición central en todo cálculo de estructuras.
2. BIOGRAFÍA DE CARLO ALBERTO CASTIGLIANO. #arlo 'lberto #astigliano () de noviembre de *+-, 'sti /0 de octubre de *++, 1ilán 2 fue un italiano matemático y físico conocido por el m"todo de #astigliano para la
2
determinación de los desplazamientos en un elásticolineal del sistema sobre la base de las derivadas parciales de energía de deformación . 'lberto #astigliano se trasladó desde la región de su nacimiento, Piamonte en el noroeste de 3talia, para el 3nstituto 4"cnico de 4erni (en 5mbría 2 en *+66. 7espu"s de cuatro a8os en 4erni , #astigliano se trasladó al norte de nuevo, esta vez para convertirse en un estudiante de la universidad de 9il:es. 7espu"s de tres a8os de estudio en 9il:es escribió una disertación en *+- titulado !lastici3ntornoaisistemi por la $ue es famoso. !n su tesis parece un teorema $ue ahora lleva el nombre de #astigliano. !sto se afirma $ue& La derivada parcial de la energía de deformación, considerada como una función de las fuerzas aplicadas $ue act%an sobre una estructura linealmente elástico, con respecto a una de estas fuerzas, es igual al desplazamiento en la dirección de la fuerza de su punto de aplicación<. 7espu"s de graduarse de la universidad 9il:es, #astigliano era empleado de los ferrocarriles del norte de 3talia. =e dirigió a la oficina responsable de la obra, mantenimiento y servicio y trabajó allí hasta su muerte a una edad temprana. *
3.
TEOREMA DE CASTIGLIANO
1 3
“La componente de desplazamiento del punto de aplicación de una acción sobre una estructura en la dirección de dicha acción, se puede obtener evaluando la primera derivada parcial de la energía interna de deformación de la estructura con respecto a la acción aplicada”. 2 !ste es el teorema de #astigliano, llamado así en honor al ingeniero 3taliano 'lberto #astigliano (*+-*++2, $uien lo estableció. =i un cuerpo homog"neo, isotopo y elásticoestá sujeto a la acción de un sistema cual$uiera de fuerzas eteriores $ue lo mantiene en e$uilibrio, el trabajo de deformación almacenado en "l es función del sistema de cargas& w =w ( F i , M i ) 'demás, supondremos $ue los apoyos son fijos y $ue la función > es diferenciable. !l incremento del trabajo puede entonces s escribirse en la forma& ∆ w=
σW σW 2 2 ∆ Fi + ∆ Mi + a √ ∆ F i + ∆ M I σFi σMi
!n donde&
{ } ∆ F i
a → 0.
=i
→0
∆ M i
#uando sobre el cuerpo solamente act%a la fuerza
∆ W =
∆ F i
, el trabajo efectuado es&
σW ∆ F i + a ∆ F i σ F i
=i aplicamos sobre el cuerpo una fuerza
∆ F i
, se produce una deformación
∆ δ i
y
un trabajo& 1
W = ∆ F i ∆ δ i 2
=iempre $ue la carga
∆ F i
se apli$ue gradualmente. =i una vez efectuado este
trabajo se carga al cuerpo con el sistema ? i $ue desarrolla un trabajo 9i y produce una
2Recuperado en “Teoremas Energéticos Fundamentales al Análisis Estructural ”, pág ! "
deformación
δ i
en dirección de la fuerza aplicada el trabajo de deformación en el
cuerpo es&
1
W = ∆ F i ∆ δ i+ ∆ F i δ i+ W i 2
(.*2
Por tanto, el incremento del trabajo vale&
1
∆ w = ∆ F i ∆ δ i + ∆ F i δ i 2
(./2
=ustituyendo el valor de la ecuación (./2 en la ecuación (.*2 $ueda& σW 1 ∆ F i + a ∆ F i= ∆ F i ∆ δ i + ∆ F i δ i σ F i 2
7ividiendo entre
∆ F i :
σW 1 + a= ∆ δ i + δ i σ F i 2
4omando límite cuando
∆ F i → 0
, $ueda&
σW = δ i σ F i @a $ue& lim
a =0 y
lim ∆ δ i =0
∆ F I → 0 ∆ F i → 0 Podemos, entonces enunciar el primer teorema de castigliano&
#
“la derivada del trabajo de deformación con respecto a una fuerza F i cualuiera, mide la deformación
δ i
ue e!perimenta el cuerpo en el punto de aplicación de dicha
fuerza.”
#onsiderando ahora $ue el cuerpo en estudio solamente act%a el sistema
∆ M i
,
siendo el trabajo función contin%a y diferencial, se cumple& ∆ w=
∆ W ∆ M i + a ∆ M i ∆ M i
'l aplicar el par
∆ M i
, gradualmente, por la ley de clapeyron&
1
∆ w = ∆ M i ∅i 2
3gualando ambos incrementemos de trabajo& σW 1 ∆ M i + a ∆ M i = ∆ M i ∅i σ M i 2
7ividiendo entre
∆ M i ,
y tomando limites cuando
∆ M i , → 0
σW =∅ i σ M i !sta ecuación corresponde al segundo teorema de castigliano , $ue dice& “la derivada del trabajo de deformación con respecto a un par
∆ M i ,
cualuiera,
mide el "ngulo de rotación producido por dicho par en el punto de su aplicación”. #
4.1. TEOREMA DE CASTIGLIANO PARA ARMADURAS La energía de deformación para un miembro de una armadura esta dada por la ecuación
3Ing A$%er&o Mar&'ne( Ca)&*$$o Aná$*)*) + D*)eo de E)&ruc&ura) To-o 1 Re)*)&enc*a de Ma&er*a$e) A$.ao-ega M/0*co
N ² L U = 2 AE
=ustituyendo esta ecuación de la ecuación&
∆ i=
δUi δPi y omitiendo el subíndice (i2
tenemos U =
δ N ² L =∑ δP 2 AE
!s generalmente más fácil efectuar la diferenciación antes de sumar. !n el caso general, L, ', ! son contantes para en miembro dado y por tanto puede escribirse&
( )
∆ =∑ N
∆
δN L δP AE
= desplazamiento eterno del nudo de la armadura.
P= fuerza eterna aplicada al nudo de la armadura en la dirección de la
∆ buscada.
N= fuerza interna en un miembro causada por las fuerzas P y cargas sobre la armadura L= longitud de un miembro. A= área de la sección transversal de un miembro. E= módulo de elasticidad de un miembro.
La ecuación es similar a la usada en el 1"todo del 4rabajo Aertical& ∆ =∑n
NL AE
!cepto $ue se desplaza por
δN δP . Bótese $ue para determinar esta derivada parcial
es necesario tratar a P como una variable (no como una cantidad num"rica especifica2 y además, cada fuerza de barra N debe epresarse como función de P. Por esto, el cálculo de
δN δP re$uiere en general algo más de trabajo $ue el re$uerido para calcular cada
fuerza n determinada.
" Ru))e$$ C *%%e$er Ana$*$*) de E)&ruc&ura) 3ra ed*c*n 4n*dad 5 6ág 7!" 7
4. EJERCICIOS !jemplo * #alcular la máima deformación de una viga simplemente apoyada con una carga uniformemente distribuida
!
=e ha colocado una carga imaginaria C en el centro de la viga, $ue es el punto de máima deformación. #onsiderando sólo la parte iz$uierda, el momento es&
La energía de deformación para la viga entera es el doble de la correspondiente a la mitad de la viga.
La deformación en el centro es&
Puesto $ue C es imaginaria podemos ahora igualarla a cero. 0
!jemplo / #alcular el desplazamiento en el etremo libre D de la viga envoladizo.
#8&&p9::;;;eu-edne&:$*%ro)
Car$o) A$%er&o R*>ero) ?ere( @2==! Análisis Estructural Teorema de Castigliano. Depar&a-en&o de Ingen*er'a San*&ar*a + A-%*en&a$ Bacu$&ad de Ingen*er'a 1=
!jemplo
11
=ea una viga en voladizo, empotrada en ' y con un momento aplicado en D. Bos planteamos calcular el desplazamiento vertical de # (punto medio de 'D2. !n tal caso&
Donde B e) una .uer(a *nn*&e)*-a$ ap$*cada en C, en $a d*recc*n en ue )e u*ere ca$cu$ar e$ de)p$a(a-*en&o A)' &endre-o)9
12
6.0. CONCLUSIONES 1. !l teorema de #astigliano está dise8ado para aplicarlo en vigas $ue están solicitadas por más de una carga puntual en donde utilizando la derivada parcial de la energía de deformación se pueden calcular las defleiones y los ángulos de giro. 2. 4ambi"n se concluye $ue el teorema de #astigliano se utiliza para calcular la deformación de armaduras en donde la carga P no es considerada como una carga num"rica sino como una variable. 3. !ste teorema tiene tambi"n un parecido al m"todo del trabajo virtual. 4. !l m"todo de #astigliano, con sus dos teoremas, nos sirve para el cálculo de defleiones y pendientes en cual$uier punto de una viga. 5. !ste m"todo, con sus dos teoremas, nos sirve para el cálculo de defleiones y pendientes en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.
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.0. BIBLIOGRAFIA
*. Car$o) A$%er&o R*>ero) ?ere( @2==! Análisis Estructural Teorema de Castigliano. Depar&a-en&o de Ingen*er'a San*&ar*a + A-%*en&a$ Bacu$&ad de Ingen*er'a
/. Ing A$%er&o Mar&'ne( Ca)&*$$o Análisis y Diseño de Estructuras Tomo 1 Resistencia de Materiales A$.ao-ega M/0*co
. 8&&p9::;;;eu-edne&:$*%ro)
. Teoremas Energéticos Estructural ”, pág !
Fundamentales
al
Análisis
0. Ru))e$$ C *%%e$er Ana$*$*) de E)&ruc&ura) 3ra ed*c*n 4n*dad 5 6ág 7!"
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