EJERCICIOS DE RESOLUCION DE DISTRIBUCION NORMAL
1. Supó Supóng ngas ase e que que se sa sabe be que que la varia ariabl ble e alea aleato tori ria a X se dist distri ribu buye ye normal normalmen mente te con media media 250 250 y desvia desviació ción n estánd estándar ar 5. Encuen Encuentre tre las siguientes probabilidades: 2 5 0
µ = = σ − µ =σ 5
X
Z
Z Z A
(2 5 5
0.5)
2 5 0
+ − = = = 5
1.1
0.3 6 4 3
b)
P (245 ≤ X ≤ 255)
0.5+0.3643 = 0.8643
2 5 0
= µ = σ − µ =σ 5
X
Z
(2 4 5
Z
2 5 0
5
1.1
Z A
Z
0.5)
− − = = − = 0.3 6 4 3
X
=
− µ
σ
Z
(2 5 5
0.5)
+
=
Z
=
A
=
2 5 0
−
5
1.1 0.3 6 4 3
0.3643+0.3643= 0.7286 c)
P(X > 260)
Z
X
µ
=− = − = = σ
Z
2 6 0
2 5 0
5
0.5-0.4772=0.0228 2. Las puntuaciones en una prueba nacional de aprovechamiento tuvieron una distribución normal con media 540 y desviación estándar 110. Z
A
2
0.4 7 7 2
µ
5 4 0
= =puntuació a. Si su puntua ción n fue de 680, 680, ¿cuán ¿cuán lej lejos os de la me media dia,, en desviaci desviacione oness 1 1 0 σ
estándar, se encontró su puntuación? Z
X − µ
=
σ
680
Z
=
Z
=
540
−
110 1.27
Su puntuación se encontró a 1.27 desviaciones estándar a la derecha de la media b. ¿Qué porcentaje de aquellos que tomaron la prueba consiguieron una puntuación mayor que la suya?
Z = 1.27
0.3980 A = 0 .5 − 0.3980 0.102
El 10.20% de aquellos que tomaron la prueba consiguieron una puntuación mayor que la suya 3.
El gasto promedio mensual por alimentos para familias de cuatro personas en la ciudad de Guayaquil es de $ 420,00 con una desviación estándar de $ 80,00. Suponiendo que los gastos mensuales por alimentos estén distribuidos normalmente, ¿qué porcentajes: a.de estos gastos son inferiores a $ 350,00 P(X < 350) X Z
− µ
=
σ = µ 420
3 5 0
− 4 2 0
Z
=
A
= 0.3 1 0 6
8 0 − 0.8 8 Z =
= σ 80
0.5-0.3106= 0.1894 El 18.94% de los gastos son inferiores a $350.00 b. de estos gastos se encuentran entre $ 250,00 y $ 350,00 P (250 < X < 350) Z
X
− µ
=
Z
X
=
σ
2 5 0
Z
=
A
=
− µ
σ
4 2 0
−
8 0 2.1 3 Z = −
3 5 0
Z
=
A
=
4 2 0
−
8 0 Z = 0.8 8 −
0.4 8 3 4
0.3 1 0 6
0.4834-0.3106= 0.1728 El 17.28% de los gastos se encuentran entre $ 250,00 y $ 350,00 c. de estos gastos se encuentren entre $250,00 y $ 450,00 P (250 < X < 450) Z
µ X −
=
Z
σ
σ
Z
2 5 0
=
µ X −
=
4 2 0
−
8 0 2.1 3
Z
4 5 0
4 2 0 −
=
8 0 Z = 0.3 7 5
0.4834+0.1480=0.6314 A 0.4 8 3 4 El 63.14% de los gastos se encuentran entre $250,00 y $ 450,00 Z
= −
=
A
0.1 4 8 0 =
d. de estos gastos son inferiores a $ 250,00 y mayores que $450,00 P(X < 250) P(X > 450) Z
X
=
µ −
Z
X
=
Z
2 5 0
=
A
0 .4 8 3 4
=
4 2 0
−
8 0 Z = 2.1 3 −
− µ
σ
σ
Z
4 5 0
=
4 2 0 − 8 0
Z
0.3 7 5 =
A
0.1 4 8 0 =
0.5-0.4834= 0.0166
0.5-0.1438= 0.352
El 1.66% de los gastos son inferiores a $ 250,00 y el 35.20% de los gastos son mayores que $450,00. 4. El tiempo necesario para dar servicio a un automóvil en la estación de servicios “Auto mundo” está distribuido normalmente con = 4.5 minutos y desviación estándar = 1.1 minutos.
µ 4.5 = = σ 1.1
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil seleccionado aleatoriamente requiera: 1. más de 6 minutos de servicio o menos de 5 P(X < 5) o P(X > 6) Z
X
=
−
σ
5
Z
=
A
=
4.5
−
1.1 0.4 5 Z =
Z
X
=
−
σ
Z
6
=
4 .5
−
1.1 1 .3 6 Z =
La probabilidad 0 .4 1 3 1 de que un automóvil requiera más de 6 minutos de A servicio o menos de 5 es del 26.05%
0.1 7 3 6
=
b) entre 3.5 y 5.6 minutos de servicio P (3.5 < X < 5.6) µ X − Z = σ
µ X − Z = σ
3 .5 − 4 .5 Z = 1.1 Z =− 0.91
5 .6 − 4 .5 Z = 1 .1 Z = 1
A = 0.3186
A = 0 .3413
0.3186 + 0.3413 = 0.6599 La probabilidad de que un automóvil requiera entre 3.5 y 5.6 minutos de servicio es del 65.99% c). Cuando mucho 3.5 minutos de servicio P(X ≤ 3.5) Z
X
=
µ −
σ
3 .5
Z
=
A
=
4 .5
−
1.1 0 .9 1 Z = − 0.3 1 8 6
0.5-0.3186 = 0.1814 La probabilidad de que un automóvil requiera cuando mucho 3.5 minutos de servicio es del 18.14% d) ¿Cuál es le tiempo de servicio de modo que solo el 5 % de todos los automóviles requieran más tiempo? A = 0.45 Z = 1.65
El tiempo necesario para dar servicio a un automóvil en la estación de servicios “Auto mundo” es de 1.65 minutos. 5. Se encontró que un grupo de calificaciones de exámenes finales en un curso de estadística está normalmente distribuido con una media de 7.3 y una desviación estándar de 0.8
µ = 7.3 σ = 0.8
a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuando mucho una calificación de 9.1 en este examen? P(X ≤ 9.1) X − µ Z = σ
9.1 − 7.3
Z =
0.5 + 0.4878 = 0.9878 La probabilidad de obtener cuando mucho una calificación de 9.1 en este 0.4 8 7 8 A = exámen es del 98.78% 0.8 2.2 5 Z =
b .¿Qué porcentaje de estudiantes alcanzaron calificaciones entre 6.5 y 8.9? P ( 6.5 ≤ X ≤ 8.9) Z
X
=
µ −
Z
µ X −
=
σ
σ
0.3413 + 0.4772= 0.8185 Z 0.8 El 81.85% de los estudiantes alcanzaron calificaciones entre 6.5 y 8.9 Z 1 6.5 − 7.3
=
=
A
0.3 4 1 3
=
8 .9 − 7 .3 Z = 0 .8 Z =2 A
0.4772
=
c. ¿Qué porcentaje de estudiantes alcanzaron calificaciones entre 8.1 y 8.9? P (8.1≤ X ≤8.9) Z
X
=
µ −
σ
Z
µ X −
=
σ
Z
=
=
8.9 − 7.3 0.8 Z =2
= 0.3 4 1 3
A
=
0.4772-0.3413 = 0.1359 El 13.59% Z 1 de estudiantes alcanzaron calificaciones entre 8.1 y 8.9 8.1 − 7.3
Z
=
A
0.8
0.4772
d. ¿Cuál es la calificación del examen final si sólo el 5 % de los estudiantes que pasaron la prueba tuvieron calificaciones más altas? A= 0.45 Z= 1.65
La calificación del exámen final es de 1.65 y el 5% de los estudiantes que pasaron la prueba tuvieron calificaciones más altas a esta. e. Si el profesor “favoreciera” (le da calificación de A al 10 % superior de la clase independiente de los resultados) ¿ese está en mejor situación con una calificación de 8.1 en este examen, o con una calificación de 6.8, en un
examen diferente en el cual la estadísticamente y explique
= 6.2 y la
7 .3 µ =
6 .2 µ =
0 .8 σ =
0 .3 σ =
Exámen de 8.1
A
= 0.4 0
Z
1.2 8 =
= 0.3? Demuestre
Exámen de 6.
A
0.4 0 =
Z
= 1.2 8
µ Z .σ X + =
µ + = Z .σ X
1.2 8 * 0.3 + 6.2
X =
1.2 8 *0 .8 7.3 X Está en mejor situación con una calificación de X 8.16en .6 este examen, pues el 8.3 X estudiante saco 8.3, mientras que en el exámen de 6.8 el saco 6.6. +
=
=
=
6. Una compañía se dedica al ensamble de componentes electrónicos, bajo la modalidad de maquila. Uno de los productos que se exportan a Norteamérica tiene un tiempo de ensamble que se ha comprobado se = 0.8 µ distribuye normalmente con = 0.8 horas y = 0.1 horas. Es de interés =0.1 σ para la compañía calcular que probabilidades existen que el tiempo de ensamblado de este producto de exportación sea: a. No mayor de 0.95 horas p(X ≤ 0.95) Z
X − µ
0.5+0.4332= 0.9332
=
σ
Z
0.9 5
=
0.8 −
0.1
La Z probabilidad que el tiempo de ensamblado de este producto sea no mayor 1.5 0.4 3 3 2 de A0.95 horas es del 93.32%. =
=
b. Mayor de 1 hora P(X >1) Z Z
X
− =− = = = 1
0.8
0.5-0.4772 = 0.0228 La probabilidad que el tiempo de ensamblado de este producto sea mayor de 1 hora es del 2.28%
Z
A
0.1
2
0 .4 7 7 2
c. Entre 0.7 y 0.9 horas P (0.7≤ X ≤ 0.9) Z
X
=
− µ
Z
Z
=
Z
= −
0.8
−
0.1 1
− µ
σ
σ
0.7
X
=
0.9
− 0.8
Z
=
Z
= 1
A
0.3 4 1 3 =
0.1
0.3413+0.3413 = 0.6826
0.3 4 1 3 d. Interprete desde el punto de vista de frecuencia de ocurrencia, el resultado obtenido en la pregunta c.
A
=
La probabilidad que el tiempo de ensamblado de este producto se encuentre entre 0.7 y 0.9 horas es del 68.26% 7. Las ventas diarias de aproximadamente normal con
un restaurante tienen = 530 dólares por día y
una distribución = 120 dólares.
µ = 530 σ =120
a. ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas excedan los $ 700 dólares en un día dado? P(X > 700) X
Z
=
− µ
σ
7 0 0
Z
=
5 3 0
−
La probabilidad de que las ventas excedan los $ 700 dólares en un día dado del 7.78% .4 2 2 2 A es0 1 2 0 1 .4 2 Z = =
b. El restaurante debe tener por lo menos 300 dólares en ventas por día para poder cubrir sus costos. ¿Cuál es la probabilidad de que el restaurante no pueda cubrir sus costos un día dado? P(X < 300) X − µ Z =
0.5-0.4726 =0.0274 La probabilidad de que el restaurante no pueda cubrir sus costos un día dado es del 2.74% σ
530 − 120 Z = 1.92 − A = 0.4726 300
Z =
8. El tiempo de vida de un tipo de lavadora automática tiene distribución aproximadamente normal con = 3.1 años y = 1.2 años. Si este tipo de lavadoras se garantiza por un año. ¿Qué fracción de las lavadoras vendidas originalmente tendrían que ser reemplazadas? Resp. 0.0401 P(X < 1)
µ =3.1 σ 1.2 =
0.5-0.4599 =0.0401 Tendrían que ser reemplazadas el 4.01% (401/10000) de las lavadoras 9. La vida útil de las pilas de cierta marca están distribuidas normalmente. Si el 7.68 % de las pilas duran más de 54 horas y 39.80 % duran menos de 50 horas. ¿Cuál es la media y la desviación estándar? Resp. 50.61 y 2.37 respectivamente. µ = ? σ =?
P(X<50) A
P(X>54) 0 .102 A =
0 .26 Z =− ⇒
0.0987
0.1026 0.102
0.0033
0.0006
0.4230
=
0.4222
Z
⇒
1.43
=
0.4236 0.4230 0.0008 0.0006
Z
X
σ µ ∗ + =
0.2 6 1.4 3
1.69
5 0
σ µ ∗ + =
5 4
σ µ ∗ + =
∗σ + / = −4
σ = 2.37
Z
σ µ X ∗ + =
0.2 6 −
2.3 7 ∗
0.6 1 6 2 − = µ 5 0 = µ 5 0
µ 5 0 + =
µ 5 0 + = + 0.6 1 6 2
.6 1
La vida útil de las pilas de cierta marca están distribuidas normalmente con = 50.61 horas y = 2.37 horas
10. Una compañía de seguros considera que solamente alrededor del 0.05 de la población le ocurre cierto tipo de accidentes cada año. La empresa tiene 1.000 asegurados contra este tipo de accidentes. ¿Cuál es la probabilidad de que, máximo 35 de ellos sufran este accidente? Resp. 0.0179 P (sufra accidente)=0.05 q (No sufran accidente)=0.95 n=1000 P(X ≤ 35) APROXIMACIÓN BINOMIAL A NORMAL Establezco la media: Varianza: µ n ∗p =
50 µ = µ X − Z =
σ =
n ∗ p ∗q
σ =
1000
σ =
47 .5
∗0.05 ∗0.95
0.5-0.4821=0.0179 (35 + 0.5) − 50 que, máximo 35 de ellos sufran este accidente es del La Z probabilidad de = 6 . 8 9 1.79% σ =6.89
σ
2.10 − Z = 0.4821 A =
11. Una cuarta parte de los documentos archivados diariamente por un empleado de un departamento de ventas se hace equivocadamente. Si en un día se archivan 100 documentos, cuál es la probabilidad de que: P (Mal archivados)=0.25 q (Bien archivados)=0.75 n=100 a. Por lo menos 18 documentos sean mal archivados. Resp. 0.9582 P(X ≥ 18) n ∗ p ∗q APROXIMACIÓN BINOMIALσ A=NORMAL Establezca la media: Z
X
=
µ −
σ =
100
∗0.25 ∗0.75
σ =
18 .75
Varianza:
σ = 4.33
σ µ n p = ∗ ( 1 8 0.5) − 2 5 −
Z
=
Z
= − 1.7 3
A
= 0.4 5 8 2
2 5 = µ
4.3 3
0.5+0.4582=0.9582
La probabilidad de que por lo menos 18 documentos sean mal archivados es del 95.82% b. Exactamente 16 documentos sean mal archivados. Resp. 0.0107 P(X = 16) Z
X − µ
Z
=
X − µ
=
σ
σ
0.5) 4.33 Z =− 2.19 Z
A
(16
−
25
−
=
0.4857
=
(16
Z
=
Z
=−
A
=
0.5) −25
+
4.33 1.96
0.4750
0.4857-0.4750= 0.0107 La probabilidad de que exactamente 16 documentos sean mal archivados es del 1.07% c. Exactamente 86 documentos sean correctamente archivados. Resp. 0.0039. P (Bien archivados)=0.75 q (Mal archivados)=0.25 n=100 Establezca la media: Varianza: n∗ p µ =
σ =
n∗ p ∗q
σ =
100
µ 7 5 =
P(x = 86) Z
X
=
µ −
Z
µ X σ − 8 = 1
=
σ
(8 6
− 0.5) − 7 5
0.75
∗
0.25
∗
.75
σ
σ = 4.33
(8 6
+ 0.5) − 7 5
0.4961-0.4922= 0.0039 4.3 3 4.3 3 Z Z 2 . 4 2 2 . 6 6 La probabilidad de que exactamente 86 documentos sean correctamente A A 0.4 9 2 2 0.4 9 6 1 archivados es del 0.39% Z
=
Z
=
=
=
=
=
12. Un ingeniero de producción ha determinado que en su fábrica dedicada a la confección de prendas de vestir, un operario produce en promedio 64 piezas por día, de un tipo de camiseta, con una desviación estándar de 4 camisetas. Un sistema de incentivos a destajo, ha determinado que al operario se le pagan 11.25 ctvs. por cada camiseta que fabrique, siempre y cuando cumpla con el estándar de 64 camisetas, en promedio. Si no se cumple con el estándar establecido el salario mínimo a pagar al operario es de 80 ctvs. Por hora. Si se trabajan ocho horas diarias. Suponiendo que la producción de camisetas se distribuye normalmente, determine la probabilidad de que el operario se gane el salario mínimo. µ =64 σ =4
µ X − Z = σ
(6 4
Z =
− 0.5) − 6 4
0.1 2 P(x ≥ 64)=11.25ctvs Z =
4
0.0 4 7 8 A =
P(X < 64)= 0.80 ctvs. La hora P(x ≥ 64)= 0.5+0.0478=0.5478 P(X < 64)= 0.5-0.0478=0.4522 La probabilidad de que el operario se gane el salario mínimo es del 45.22%
13. Supóngase que el 15 % de los tubos de PVC fabricados por la compañía PYCA no cumplen con las especificaciones. Si se inspecciona un lote de 1.000 tubos. ¿Cuál es la probabilidad de que: a. No más de 165 tubos estén defectuosos? Resp. 0.9147 P (defectuosos)=0.15 q (No defectuosos)=0.85 n=1000 p media: µ n la Establezca Varianza: =
∗
µ = 150
P(x ≤ 165) Z
X
µ −
=
σ
σ =
n∗ p ∗ q
σ =
1000
σ =
127 .5
0.15
∗
0.85
∗
11 .29
σ = 0.5) − 1 5 0 +
(1 6 5
Z
=
Z
= 1.3 7
A
= 0.4 1 4 7
1 1 .2 9
0.5+0.4147= 0.9147La probabilidad de que no más de 165 tubos estén defectuosos es del 91.47% b. Exactamente 150 están defectuosos? Resp. 0.032 P(x =150) Z
X − µ
=
σ
(150
Z
=
Z
= −
A
=
Z
µ X −
=
σ
0.5) − 150
−
(150
Z
=
0.04
Z
=
0.0160
A
=
11 .29
0.5)
+
150
−
11 .29
0.04
0.0160
0.0160+0.0160= 0.032 La probabilidad de que exactamente 150 tubos estén defectuosos es del 3.2% c. Más de 125 estén defectuosos? Resp. 0.9147 P(X > 125) Z
X
=
− µ
0.5+0.4864= 0.9864
σ
1 2 5
− 1 5 0
Z
=
Z
=
A
= 0.4 8 6 4
1 1 .2 9 La probabilidad de que más de 125 tubos estén defectuosos es del 98.64% 2.2 1
14. Una cadena de supermercados utiliza para el alumbrado diario de sus instalaciones un total de 150 fluorescentes. Se estima que la vida de estos fluorescentes tiene una = 1.000 horas y una = 75 horas. Como parte de un programa de mantenimiento preventivo, todos los fluorescentes se cambian después de cierto tiempo de operación, con el fin de minimizar el número de fluorescentes que se queman durante las horas de servicio a los clientes.
¿Cada cuantas horas deben cambiarse los fluorescentes, si se desea que no más del dos por ciento de éstos se hayan quemado cuando se hace el cambio? A = 0.48
⇒Z = −2.05
X − µ
Z
=
σ
µ =1000
2.05
−
X − 1000
=
75 − 2.05 ∗ 75 + 1000
σ = 75
= X
846 .25
X
=
Un total de 846.25 fluorescentes resultaron no quemados al hacer el cambio, debiendo cambiarse los mismos cada 2.05 horas. 15. Las aerolíneas y los hoteles frecuentemente aseguran reservaciones por encima de su capacidad, con el objeto de minimizar las pérdidas ocasionadas por los pasajeros que no se presentan. Supongamos que los archivos de un hotel indican que, en promedio, 10 por ciento de sus clientes no se presentan a reclamar sus reservaciones. Si el hotel acepta 215 reservaciones y sólo hay 200 habitaciones en el hotel, ¿cuál es la probabilidad de que todos los clientes que lleguen a reclamar su reservación consigan una habitación? P (Se presentan)=0.90 Establezco la media: µ =n ∗p µ = 193
P(x ≤ 200) Z
.5 µ X −
=
σ
(2 0 0
Z
=
Z
1.5 9 =
A
= 0.4 4 4 1
q (No se presentan)=0.10 Varianza:
σ =
n∗ p ∗q
σ =
215
σ =
19 .35
σ = 4.40
0.5) − 1 9 3 +
0.90
∗
n=215
0.10
∗
.5
4.4 0
0.5+0.4441= 0.9441 La probabilidad de que todos los clientes que lleguen a reclamar su reservación consigan una habitación es del 94.41% 16. La oficina de admisiones de una pequeña universidad planea aceptar pagos por adelantado de un número de estudiantes nuevos de modo que con una probabilidad de 0.95 el tamaño de la clase de nuevos estudiantes sea menor o igual que 120. Supongamos que los solicitantes constituyen una muestra aleatoria de una población de solicitantes de los cuales el 80 por ciento deciden ingresar a la universidad si son aceptados. a. ¿Cuántos pagos por adelantado debe aceptar la oficina de admisiones? P (Ingresan)=0.8 q (No ingresan)=0.2 n=120 Establezco la media: Varianza: µ n ∗p =
96 µ =
σ =
n∗ p ∗ q
σ =
120
σ =
19 .20
σ =4
38
0.80 ∗ 0.20 ∗
P (X ≤ 120)=0.95
0.95*120=114 Se debe aceptar por adelantado 114 pagos b) Si se acepta el número de solicitantes encontrado en la parte (a). ¿Cuál es la probabilidad de que el tamaño de la clase de nuevos estudiantes sea menor que 105? Z P(x < 105) Z
µ X −
=
σ
(105
=
0.5) − 96 − 4.38
0.5+0.4738=0.9738 La probabilidad de que el tamaño de la clase de nuevos estudiantes sea menor que 105 es dl 97.38% Z
1.94 =
A
0.4738 =
17. En base a la experiencia, el 40 % de los clientes de la estación de servicio “Automundo” pagan sus compras con tarjeta de crédito. P (Paguen con tarjeta)=0.4 q (No paguen con tarjeta)=0.6 a. Si se selecciona una muestra aleatoria de tres clientes ¿cuál es la probabilidad de que: 1. Ninguno pague con tarjeta de crédito? p (x = 0)
⇒ p (x = 0) 0
=3 C 0 (0,40 ) (0,60 )
3
La probabilidad de que ninguno pague con tarjeta de crédito es del 21.6% = 0.216 2. Dos paguen con tarjeta de crédito? p (x =2)
⇒ p (x
=2) 2
1
=3 C 2 (0,40 ) (0,60 )
=0.288 La probabilidad de que dos pague con tarjeta de crédito es del 28.80%
3. Por lo menos dos paguen con tarjeta de crédito? p (x ≥2)
⇒ p (x
p(x =3) =2) + 2
1
3
=3 C 2 (0,40 ) (0,60 ) +3 C 3 (0,40 ) (0,60 )
0
=0.288 +0.064 La probabilidad de que por lo menos dos paguen con tarjeta de crédito es del =0.352 35.2%
4. No más de dos paguen con tarjeta de crédito? p (x
2 ) ≤
p ⇒ = 3 C 0
(x
0 ) = 0
p +
(x
(0,4 0 ) (0,6 0 )
3
1 ) =
p +
(x
+ 0 3 C 1 (0,4
1
2 ) =
) (0,6 0 )
2
+ 3 C 2
2
1
(0,4 0 ) (0,6 0 )
La probabilidad de0.2que no más0.de 1 6 0.4 3 2 2 8 8 dos paguen con tarjeta de crédito es del 0.9 3 6 93.6% =
+
+
=
Si se selecciona una muestra aleatoria de 200 clientes ¿cuál es la probabilidad aproximada de que: P (Paguen con tarjeta)=0.4 q (No paguen con tarjeta)=0.6 n=200 b.
1 Por lo menos 75 paguen con tarjeta de crédito? P(X ≥ 75) APROXIMACIÓN BINOMIAL A NORMAL
Establezco la media: n µ =
p
∗
80 µ = µ X − Z = σ
Varianza:
σ =
n∗ p ∗q
σ =
200
σ =
48
0.4 ∗0.6
∗
0.5+0.2852=0.7852
( 75 − 0.5) − 80 =6.93 σ Z = 6.93 0.79 Z =−
La probabilidad de que no por lo menos 75 paguen con tarjeta de crédito es del 78.52%
0 .2852 A =
2. No más de 70 paguen con tarjeta de crédito? P(X≤ 70) Z
µ X −
=
σ
( 70
0 .5) 6 .93 − Z = 1 .37 Z
=
A
=
+
80
−
0 .4147
0.5-0.4147=0.0853 3. Entre 70 y 75 clientes, inclusive, paguen con tarjeta de crédito? P (70 ≤ X ≤ 75) Z
X − µ
Z
=
X − µ
=
σ
σ
(70
0.5) 6.93 Z =− 1.52 Z
=
A
=
−
80
−
0.4357
( 75
0 .5) 6 .93 Z = 0 .65 − Z
=
A
=
+
80
−
0 .2422
0.4357-0.2422= 0.1935 La probabilidad de que entre 70 y 75 clientes, inclusive, paguen con tarjeta de crédito es del 19.35% 18. El decano de la facultad de Contabilidad y Auditoría desea crear una junta directiva de la facultad con 20 miembros seleccionados de los 100 que la integran. La selección debe ser aleatoria y en la escuela 25 de los profesores están en el área de contabilidad. a. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que la junta directiva de la facultad incluya: 1. por lo menos dos de la facultad de contabilidad? 1− [ p ( x <2) ] p ( x ≥2 ) = 1− 1) ] = [ p ( x =0) + p ( x =
C ∗ C aproximada C ∗ C La probabilidad de que la junta directiva de la facultad incluya 1− = + C C contabilidad es del 98.51% por lo menos dos de la facultad de 25
0
100
1− [0.0015 = =0 .9851
75
20
20
0 .0134 +
25
1
100
75
19
20
]
2. Entre dos y seis de la facultad de contabilidad?
P (2
<
X
<
6)
[ p ( x = = 3) + 4) + 5)] p ( x = p ( x = 2 5 C 3 ∗ 7 5 C 1 7
C 4 ∗ 7 5 C 1 6
C 5 ∗ 7 5 C 1 5
= + + La probabilidad aproximada de que C la junta directiva de la facultad incluya C C [0.1 ] de contabilidad es del 55.51% = + 2 7 3 0.2 0 1 8 0 .2 2 6 0 entre dos y+ seis de la facultad 1 0 0
2 5
2 0
1 0 0
2 5
2 0
1 0 0
2 0
= 0.5 5 5 1
b. ¿Cuántos profesores de contabilidad se podría esperar que se encontraran en la junta directiva? P (Profesores de contabilidad)=0.25 q (Otros)=0.75 n=100 P(X≤20) Z = X − µ µ = 25
σ
( 20 + 0.5) − 25 Z = 4.33 1.04 Z =−
4.33 σ =
0.5-0.3508= 0.1492*100
= 15 profesores 0.3508 A = Se podría esperar que se encontraran en la junta directiva 15 profesores de contabilidad. 19. El análisis estadístico de 1.000 llamadas telefónicas de larga distancia realizadas desde las oficinas de Andinatel, señala que la duración de estas llamadas está distribuida normalmente con = 240 segundos y = 40 segundos.
µ =240
n=1000
σ =40
a. ¿Qué porcentaje de estas llamadas duró menos de 180 segundos? Z
µ X −
=
σ
Z
1 8 0
=
05-0.4332= 0.0668
− 2 4 0
4 0 − Z = 1.5
El A 6.68% 0.4 3 3 2de estas llamadas duró menos de 180 segundos =
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada en particular durara entre 180 y 300 segundos? P(180< X < 300) X − µ Z =
µ X − Z = σ
σ
240 − Z = 40 Z =− 1.5 A = 0 .4332 180
300
Z =
240 − 40
1 .5 Z = 0.4332 A =
0.4332+0.4332=0.8664 La probabilidad de que una llamada en particular durara entre 180 y 300 segundos es del 86.64% c. Cuántas llamadas duraron menos de 180 segundos o más de 300 segundos? P(180< X < 300) Z
µ X −
=
Z
µ X −
=
σ
σ
Z
180
=
40 Z =− 1 .5
A
0.4332
=
240
−
300
Z
=
Z
=
A
=
240
−
40 1. 5 0.4332
0.5-0.4332= 0.0668 0.0668+0.0668=0.1336 0.1336*1000=133.6
0.5-0.4332= 0.0668
Las cantidades de llamadas duraron menos de 180 segundos o más de 300 segundos fueron 133.6
d. ¿Qué porcentaje de las llamadas duró entre 110 y 180 segundos? P (110 < X < 180) X − µ
Z
=
Z
µ X −
=
σ
110
Z
=
A
=
240 −
40 3.25 Z =− 0.4994
σ
180
Z
=
A
=
240
−
40 1.5 Z =− 0.4332
0.4994-0.4332=0.0662 El 6.62% de las llamadas duró entre 110 y 180 segundos e. ¿Cuál es la duración de una llamada en particular si sólo el 1 % de todas las llamadas son más cortas? A = 0.49
⇒Z = −2.33
X
=
Z ∗σ +µ
X
2 .33 ∗40 +240 =−
X
=146
.8
La duración de una llamada en particular es de 146.8 segundos f. Si el investigador no pudiera suponer que la información se encontraba normalmente distribuida ¿cuál sería entonces la probabilidad de que cierta llamada durará entre 180 y 300 segundos? P (180≤ X ≤ 300) Z
X − µ
=
Z
X − µ
=
σ
σ
Z
(180
05 ) −240
+
(300
Z
=
1.38
Z
=
0.4162
A
=
=
40
Z
=−
A
=
0.5) −240
−
40
1.49 0.4319
0.4332 0.4332+0.4319= 0.8651
La probabilidad de que cierta llamada durará entre 180 y 300 segundos es del 86.51% g. Comente las diferencias en las respuestas de b y f. Se puede evidenciar que la diferencia entre aplicar el factor de corrección y no este caso no es tan grande la diferencia 20) Interactive presta servicios de comunicación a los negocios del área metropolitana de Quito. Los funcionarios de la compañía han aprendido que la transmisión satelital promedio es de 150 segundos, con una desviación estándar de 15 segundos. Los tiempos parecen estar distribuidos normalmente. Para estimar de manera apropiada la demanda del cliente por sus servicios y establecer una estructura de tarifas que maximice las utilidades corporativas. Interactive debe determinar que tan probable es que algunas llamadas se presenten. El director de servicios desea que usted proporcione estimados de la probabilidad de que una llamada dure: µ 150 = σ 15 =
a) Entre 125 y 150 segundos P (125 < X < 150) X − µ Z =
Z
X
=
σ
125
Z =
µ −
σ
150 −
1 5 0
Z
=
Z
0 =
1 5 0 −
0+0.4525=0.4525 La probabilidad Ade 0que una llamada dure entre 125 y 150 segundos es del A = 0 .4525 45.25% 15 Z = 1 . 6 − 7
1 5
=
a) Menos de 125 segundos P (X < 125) Z
X
µ − = σ − = = − = 1 2 5
1 5 0
0.5-0.4525=0.0475 La probabilidad 0 de que una llamada dure menos de 125 segundos es del .4 5 2 5 4.75% Z Z
A
1 5 1.6 7
b) Al menos 130 segundos P(X ≥ 130) Z
X − µ
=
σ
(130
Z
=
Z
=−
A
=
0.5) − 150
−
15 1.37
0.4147
0.5+0.4147=0.9147 La probabilidad de que una llamada dure al menos 130 segundos es del 91.47%
c) Entre 160 y 165 segundos inclusive. P (160 ≤ X ≤ 165) X − µ Z
Z =
µ X −
=
σ
σ
(160
0.5)
−
(165 Z =
150
−
0 .5) − 150 + 15
0.3485-0.2357= 0.1128 15 1 .03 = 0 . 6 3 Z La probabilidad de que Z una llamada dure entre 160 y 165 segundos inclusive A =0 .3485 0.2357 A es del 58.42% Z
= =
=
21.
En una afamada escuela de contabilidad y auditoría los índices de puntos de calificación de sus 1.000 estudiantes sin graduar tienen una distribución aproximadamente normal con una media de 2,83 y desviación estándar de 0,38. µ = 2.83 σ = 0.38
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado µ X aleatoriamente tenga un índice de puntos de calificación entre 2,0 y 3,0? X Z Z σ P (2.0 < X < 3.0) −
− µ
=
=
σ
2.0
2.8 3 −
Z
=
Z
2.1 8 = −
0.3 8
3 −2.83 0.38 Z =0.45 Z
=
0.4854+0.1736= 0.659 0.1736 La probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente tenga un índice de puntos de calificación entre 2,0 y 3,0 es del 65.9% A
0.4 8 5 4 =
A
=
b) ¿Qué porcentaje de estudiantes se encuentran en un período de prueba, es decir, que tienen índices de puntos de calificación inferiores a 2,0? P (X < 2.0) µ X − Z = σ
2 .0 − 2 .83 Z = 0.38 2.18 Z =− A =0.4854
0.5-0.4854=0.0146 El 1.46% de los estudiantes se encuentran en un período de prueba, es decir, que tienen índices de puntos de calificación inferiores a 2,0 c) ¿Cuántos estudiantes de esta escuela se espera que estén en la lista del decano, es decir, que tengan índices de puntos de calificación de 3,2, o que lo excedan? X µ P (X ≥ 3.2) Z =
−
σ
(3.2
− 0.0 5
Z
=
Z
= 0.8 4
A
= 0.2 9 9 5
)
− 2.8 3
0.3 8
0.5-0.2995=0.2005 0.2005*1000=200.5 Un número de 200 estudiantes de esta escuela se espera que estén en la lista del decano, es decir, que tienen índices de puntos de calificación de 3,2 o lo exceden
22. El promedio de los salarios en los bancos Comerciales en Illinois es de $ 22,87 USD por hora, con una desviación estándar de $ 5,87 USD. ¿Cuál debe ser su salario por hora si desea ganar: µ = 22.87 σ 5.87 =
a) ¿Más que el 80% de todos los empleados? A = 0.3 ⇒Z = 0.84 Z
X
− µ
=
σ
22 .87 5.87 0.84 ∗ 5.87 +22 .87 0.84
X
X
−
=
X =
27 .80
=
Su salario por hora si desea ganar más que el 80% de todos los empleados debe ser de $27.80 b) ¿Menos que el 20% de todos los empleados. A = 0.3 ⇒Z = −0.84 Z
µ X −
=
σ − 0.8 4 − 0.8 4
X
= 1 7
X − 2 2 .8 7
=
5.8 7 + 2 2 .8 7
∗ 5.8 7
= X
.9 4
Su salario por hora si desea ganar menos que el 20% de todos los empleados debe ser de $17.94 23. La Empresa Deloit & Touch descubre que el tiempo que se toma para realizar un proceso de auditoría está distribuido normalmente, con un promedio de 17,2 días y una desviación estándar de 3,7 días. El señor µ =17.2 López promete iniciar un trabajo de auditoria para su firma dentro de 20 σ =3.7 días, pero debe terminar una que ya ha comenzado. ¿Qué tan probable es que cumpla su promesa? P (X < Z 20)
X − µ
=
σ
20
− 17 .2 3 .7 Z = 0 .76
Z
=
A
=
0 .2764
0.5+0.2764=0.7764 La probabilidad de que cumpla su promesa es del 77.64% entonces si terminara esta empezaría con la siguiente.
