Cap 1: Ejercicio 15.
Un artículo de Consumer Reports sobre crema de cacahuate (septiembre de 1990) reportó las siguientes calificaciones para varias marcas: Creamy 56 44 62 36 39 53 50 65 45 40
56 68 41 30 40 50 56 30 22 Crunchy 62 53 75 42 47 40 34 62 52 50 34 42 36 75 80 47 56 62 62 Construya una gráfica de tallos y hojas comparativa y ponga una lista de tallos a la mitad de la página y luego coloque las hojas “creamy” a la derecha y las “crunchy” a la izquierda. Describa las similitudes y diferencias de los dos tipos.
Diagrama de tallo y Hoja comparativo. Ejercicio 15, capitulo 1 Cap 1: Ejercicio 22.
¿Cómo varía la velocidad de un corredor en el recorrido del curso de un maratón (una distancia de 42.195 km)? Considere determinar tanto el tiempo de recorrido de los primeros 5 km y el tiempo de recorrido entre los 35 y 40 km, y luego reste el primer tiempo del segundo. Un valor positivo de esta diferencia corresponde a un corredor que corre más lento hacia el final de la carrera. El histograma adjunto está basado en tiempos de corredores que participaron en varios maratones japoneses (“Factors Affecting Runners’ Maratón Performance”, Performance”, Chance, otoño de 1993: 24-30).
¿Cuáles son algunas características interesantes de este histograma? ¿Cuál es un valor de diferencia típico? ¿Aproximadamente qué proporción de los competidores corren la última distancia más rápido que la primera? Se puede apreciar en el histograma que se encuentra una mayor cantidad de datos a lado izquierdo, lo que sugiere que se encuentra sesgado positivamente, en caso de este ejemplo significa que había más corredores lentos que rápidos. Los corredores que tiene una diferencia de tiempo entre 1 00 y 200 corrieron más rápido los últimos 5 kilómetros y hay un porcentaje estimado de 5% o menos que ralentizaron a los últimos 5 kilómetros. Cap 1: Ejercicio 39.
La propagación de grietas provocadas por fatiga en varias partes de un avión ha sido el tema de extensos estudios en años recientes. Los datos adjuntos se componen de vidas de propagación (horas de vuelo/104) para alcanzar un tamaño de agrietamiento dado en orificios para sujetadores utilizados en aviones militares (“Statistical Crack Propagation in Fastener Holes ander Spectrum Loading”, J. Aircraft , 1983: 1028-1032): 0.736 0.863 0.865 0.913 0.915 0.937 0.983 1.007 1.011 1.064 1.109 1.132 1.140 1.153 1.253 1.394 a. Calcule y compare los valores de la media y mediana muestrales. Media muestral
Mediana muestral
. ẍ16.4+++⋯. ẍ 1675 1.0297 ẋ 1.0071.2 011 1.009
b. ¿En cuánto se podría disminuir la observación muestral más grande sin afectar el valor de la mediana? Solo se podría disminuir un valor de aproximadamente de 0.383, si se pasa de dicha cifra la mediana cambiara
1.2941.0110.383
Cap 1: Ejercicio 49.
Un estudio de la relación entre edad y varias funciones visuales (tales como agudeza y percepción de profundidad) reportó las siguientes observaciones de área de la lámina esclerótica (mm2) de las cabezas del nervio óptico humano (“Morphometry of Nerve Fiber Bundle Pores in the Optic Nerve Head of the Human”, Experimental Eye Research , 1988: 559-568):
2.752. 4.6522. 7 43. 8 5 2. 3 42. 7 43. 9 3 4. 2 1 3. 8 8 4. 3 33. 4 6 2 2.43 3.65 2.78 3.56 3.01 56.8 2.754. 32.3 63.242.6 744. 3.52852.432.343.2.65742.3.789 3 3.54.62 1 3.03.18 8 197.804
2.75 2.62 2.74 3.85 2.34 2.74 3.93 4.21 3.88 4.33 3.46 4.52 2.43 3.65 2.7 8 3.56 3.01 a. Calcule Σ xi y Σ i .
b. Use los valores calculados en el inciso a) para calcular la varianza muestral s2 y luego la desviación estándar muestral s. Varianza muestral
∑ ( ) = ∑= 1 56. 8 197. 8 04 17
16 0.5016
Desviación estándar muestral
∑ ( ) = ∑ = 1 56. 8 √ 197.804 17
Cap 1: Ejercicio 58.
16 0.708
Una compañía utiliza dos máquinas diferentes para fabricar piezas de cierto tipo. Durante un solo turno, se obtuvo una muestra de n 20 piezas producidas por cada máquina y se determinó el valor de una dimensión crítica particular de cada pieza. La gráfica de caja comparativa que aparece en la parte superior de la página 41 se construyó con los datos resultantes. Compare y contraste las dos muestras.
Análisis Se aprecia más variación de la maquina número 2, el valor mínimo en la maquina 1 es mayor a comparación de la maquina 2 y también hay el valor máximo es menor en la maquina 1 que en la 2. Se aprecia que la mediana es igual o similar en los dos casos Empiezan a aparecer valores atípicos en la maquina 1 menor al último valor de la maquina dos pero muy distante de los valores típicos de la maquina 1. Cap 2: Ejercicio 12.
Considere seleccionar al azar un estudiante en cierta universidad y que A denote el evento en que el individuo seleccionado tenga una tarjeta de crédito Visa y que B sea el evento análogo para la tarjeta MasterCard. Suponga que:
P ( A) 0.5, P (B) 0.4 P ( A inter B) 0.25.
a.
Calcule la probabilidad de que el individuo seleccionado tenga por lo menos uno de los dos tipos de tarjetas (es decir, la probabilidad del evento A U B). P(AՍB)= 0.5 + 0.4 – 0.25= 0.65
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo seleccionado no tenga ningún tipo de tarjeta? P(AՍB)” = 1- 0.65 = 0.35´ b.
Describa, en función de A y B, el evento de que el estudiante seleccionado tenga una tarjeta Visa pero no una MasterCard y luego calcule la probabilidad de este evento. P(A) – P(A Ո B) = 0.5 – 0.25 = 0.25 Nota: si tengo 5 estudiantes que tiene Visa pero hay un porcentaje de ellos que también tiene otra tarjeta, una probabilidad de 0.25, se resta la Probabilidad.
Cap 2: Ejercicio 37.
Un experimentador está estudiando los efectos de la temperatura, la presión y el tipo de catalizador en la producción de cierta reacción química. Tres diferentes temperaturas, cuatro presiones distintas y cinco catalizadores diferentes se están considerando. a. Si cualquier experimento particular implica utilizar una temperatura, una presión y un catalizador, ¿cuántos experimentos son posibles? 60 experimentos distintos
b. ¿Cuántos experimentos existen que impliquen el uso de la temperatura más baja y dos presiones bajas? 10 experimentos
c. Suponga que se tienen que realizar cinco experimentos diferentes el primer día de experimentación. Si los cinco se eligen al azar de entre todas las posibilidades, de modo que cualquier grupo de cinco tenga la misma probabilidad de selección, ¿cuál es la
probabilidad de que se utilice un catalizador diferente en cada experimento? Tengo una probabilidad de 12 o (60 experimentos /5 tipos de catalizador) de que en un experimento me toque un tipo de catalizador, si hago el experimento 5 veces la probabilidad es de que en cada uno salga una probabilidad de 12, dejándome una sucesión siguiente P (exp)= 12*12*12*12*12 = 12 5 Se multiplica por que se vuelve a considerar esa probabilidad en cada experimento
5!60!55!
Dividido para todas las posibles respuestas
Nota: me indica que en las 60 posibles respuestas se elimina las que no se deben contar con el factorial segundo del denominador y el factorial primero del denominador me indica las veces que se va a tomar el dato. Dando como resultado una probabilidad de tener el mismo tipo de catalizador en cada experimento una probabilidad de
12 5!60!55! 0.045
Cap 4: Ejercicio 2.
Suponga que la temperatura de reacción X (en °C) en cierto proceso químico tiene una distribución uniforme con A = -5 y B = 5.
a. Calcule P( X <0).
( <0)∫− 101 0.5 . (2.5 < < 2.5) 2∗∫ 101 0.5 (2≤ ≥ 3)∫ 101 0.5
b. Calcule P (2.5< X < 2.5).
c. Calcule P (-2 ≤ X ≥ 3).
d. Para que k satisfaga -5 < k < k+ 4 < 5, calcule P (k < X < k +4).
+ ( < < 4) ∫ 101 0.1∗ ( 4) Cap 4: Ejercicio 19.
( < < 4) 0.4
Sea X una variable aleatoria continua con función de distribución acumulativa
[Este tipo de función de distribución acumulativa es sugerido en el artículo “Variabilitiy in Measured Bedload-Transport Rates” (Water Resources Bull ., 1985: 39-48) como modelo
de cierta variable hidrológica.] Determinar:
a. P( X ≤ 1)
( ≤ 1) ∫ 4 ∗[1 4] 0.251 Ln(4)~0.59 ( ≤ 3) ∫ 4 ∗[1 4] 0.751 Ln(1.33)~0.965
b. P(1 ≤ X ≤ 3)
( ≤ 3)( ≤ 1)~0.36 ´() 0.25 Ln(4) 0.25 Ln(x) 0<<4
c. La función de densidad de probabilidad de X
Cap 4: Ejercicio 32.
Si X es una variable aleatoria normal con media 80 y desviación estándar 10, calcule las siguientes probabilidades mediante estandarización:
ẍ
=80
s=10
a. P( X ≤100)
( µ()) ɸ(#) (≤#) 10080 2 10 ( ≤100) P(Z ≤2) ɸ(2) 0.9772
b. P( X ≤80)
c. P(65 ≤ X ≤100)
c.
8080 0 10 ( ≤80)P(Z ≤0)ɸ(0)0.5 6580 1.5 10 (6( 5≤X ≤100) P)(PZ≤1.(Z ≤25))ɸɸ((21.)50.) 0.97720668 P(65 ≤ ≤100) ɸ(2) ɸ(1.5) 0.9104
P(70 ≤ X )
7080 1 10 (7 0≤X)P(Z ≤1)1ɸ(1)0.8413
d. P(85 ≤ X ≤95)
8580 0.5 10 (8 5≤X) P(Z9580 ≤0. 5) ɸ(0.5) 0.6915 10 1.5 )ɸ( )0. ((859 5≤X)P( Z ≤1. 5 1 . 5 9 332 ≤ ≤95) ɸ(1.5) ɸ(0.5) 0.2417
f. P(| X -80| ≤ 10) P(70 ≤ X ≤ 90)
7080 1 10 (7 0≤X) P(Z ≤19080) ɸ(1) 0.1587 10 1 (70(9≤0≤X )≤90P)(Zɸ≤1(1))ɸɸ((1)10.) 80.4136826
Cap 4: Ejercicio 44. Si la longitud roscada de un perno está normalmente distribuida, ¿cuál es la probabilidad de que la longitud roscada de un perno seleccionado al azar esté a. Dentro de 1.5 desviaciones estándar de su valor medio? P(m-1.5S |X| m+1.5S) = P(1.5 |Z| 1.5) = F(1.50)- F(-1.50) = 0.9332-0.0668= 0.8 664.
b. A más de 2.5 desviaciones estándar de su valor medio? P(X< m – 2.5S; X> m+2.5S) = 1 –P(-2.5 |Z| 2.5 ) = 1- (F(2.50)- F(-2.50)) = 1-(0.9938-0.0062) P(X< m – 2.5S; X> m+2.5S) =0.0124
c. Entre una y dos desviaciones estándar de su valor medio? P(m-2S |X| m+2S) - P(m-1S |X| m+1S) = (0.9772-0.0228)-(0.8413-0.1587) = 0.9544-0.6826 = 0.2718.
Cap 4: Ejercicio 61.
La amplia experiencia con ventiladores de un tipo utilizados en motores diésel ha sugerido que la distribución exponencial proporciona un buen modelo del tiempo hasta la falla. Suponga que el tiempo medio hasta la falla es de µ en exponencial λ 25 000 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que a. Un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20 000 horas?
−(.∗ ) 0.449 −(.∗ ) 0.301
P(X>20,000) = 1-P(X<20 000) = 1-F(X≤20 000; 0.00004) = ¿Cuándo mucho 30 000 horas? P(X≤30 000) = F(X≤30 000; 0.00004) =
¿Entre 20 000 y 30 000 horas? P(20,000 ≤X ≤30,000) = 0.148
b. ¿Exceda la duración de un ventilador el valor medio por más de dos desviaciones estándar? P(X > µ + 2σ) = P(X > 75,000) = 1 – F (75,000;0 .00004) = .0497
¿Más de tres desviaciones estándar? P(X > µ + 3σ) = P(X > 100,000) = .018
Nota: Uso de la Acumulada
Bibliografía
Devore. Jay. (2008), Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias (7ª. ed.), México: CENGAGE Learning.
