Andrés Miniguano Trujillo
ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS Materia: PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA DEBER N. 1:PRESENTACION Y DESCRIPCION DE DATOS ESTADISTICOS 1. En una empre empreaa te!ti" e #eea #eea ana"i$ar ana"i$ar e" n%mer& n%mer& #e #e #e'e(t& #e'e(t& en "& te)i#& te)i#& *ue *ue '+,ri(a. '+,ri(a. En "a ta,"a i-uiente e muetran "& 'a(t&re *ue e an i#enti'i(a#& (&m& (auante #e "& mim& a/ (&m& e" n%mer& #e #e'e(t& a&(ia#& a e""&: Fa(t&re N%mer& #e #e'e(t& Seda Algodón Tul Tafetán Raso Encaje Lana Lino Satén Viscosa
13 171 10 7 7 ! " # 11 #
Uan#& e" #ia-rama #e Paret&0 #etermine "& #e'e(t& p&(& 2ita"e3 4 mu(& tri2ia"e35 67u8 tip& #e te"a e #e,en me)&rar para minimi$ar e" 9; #e #e'e(t&< $ri%ero organice%os la infor%ación &resentada ade%ás de reali'ar unos cálculos co%&le%entarios(
Fa(t Fa(t&r &ree
Fre(u re(ueen(ia n(ia
Fre(uen(ia A(umu"a#a
P&r(enta)e
P&r(enta)e A(umu"a#&
Algodón Tul Seda Satén Lino Viscosa Encaje Raso Tafetán Lana
171 10 13 11 # # ! 7 7 "
171 *7+ *!# 300 30# 31! 3*+ 333 3"0 3""
0)"#71 0)30* 0)037! 0)03*0 0)0*+* 0)0*+* 0)0*33 0)0*03 0)0*03 0)011+
0)"#71 0)!0*3 0)!"01 0)!7*1 0)!#!3 0)#*" 0)#"7! 0)#+!1 0)#!!" 1)0000
En ,ase al &orcentaje acu%ulado se reali'a el -iagra%a de $areto(
Defectos en los tejidos de fábrica
Seg.n la regla !0/*0 se de,en %ejorar las telas de tul algodón &ara %ini%i'ar el !0 de los defectos &resentes en los &roductos te2tiles de la fá,rica) A &artir de ello se deter%inan las dos clases diferentes de defectos( los defectos &oco itales son el tul algodón4 %ientras 5ue los defectos triiales son el resto de telas 5ue son seda4 satén4 lino4 iscosa4 encaje4 raso4 tafetán lana) Este .lti%o gru&o se caracteri'a &or &resentar un ,ajo &orcentaje de incidencia en lo 5ue confiere a defectos &roducidos &or la fá,rica en el &roducto ter%inado)
*
=. Un 'a,ri(ante #e a((e&ri& p"+ti(& #eea ana"i$ar (u+"e &n "& #e'e(t& m+ 're(uente *ue apare(en en "a uni#a#e a" a"ir #e "a "/nea #e pru((i>n. Para et&0 empe$> p&r ("ai'i(ar t& "& #e'e(t& p&i,"e en u #i2er& tip&: T
Tip& #e De'e(t&
Deta""e #e" Pr&,"ema
Mal color 6uera de %edida Mala ter%inación Rotura -es,alanceo A&lasta%iento 8nco%&leto Mal ala,eo
El color no se ajusta a lo re5uerido &or el cliente ali'ación %aor a la ad%itida A&arición de re,a,as El accesorio se 5uie,ra durante la instalación El accesorio re5uiere contra&esos adicionales El accesorio se a&lasta durante la instalación 6alta alguno de los insertos %etálicos 9iel de ala,eo no ace&ta,le
P&teri&rmente0 un inpe(t&r re2ia (a#a a((e&ri& a me#i#a *ue a"e #e pru((i>n re-itran#& u #e'e(t& #e a(uer#& (&n #i(& tip&. A" 'ina"i$ar "a )&rna#a0 e &,tu2& una ta,"a (&m& eta:
Tip& #e De'e(t&
Fre(uen(ia
A&lasta%iento Rotura 6uera de %edida Mal color Mal ala,eo Mala ter%inación 8nco%&leto -es,alanceo
"0 3 ! 3 3 * * 1
Rea"i(e e" #ia-rama #e Paret&5 6Cu+"e &n "& tip& #e #e'e(t& m+ 're(uente ?p&(& 2ita"e@ 4 (u+"e &n "& mu(& tri2ia"e3< 67u8 pue#e (&n("uir #e a(uer#& a" prin(ipi& #e Paret&< $ri%ero organice%os la infor%ación &resentada ade%ás de reali'ar unos cálculos co%&le%entarios(
Tip& #e De'e(t&
Fre(uen(ia
Fre(uen(ia A(umu"a#a
"0
"0
0)"*31#1 0)"*31#1
3
7
0)37*3"0"*+
!
!3
0)0!10+3!3 0)!!*#7!7*3
3
!+
0)031#1"!#" 0)#1"!#3+17
Mal ala,eo
3
!#
0)031#1"!#" 0)#"+!0!11
Mala ter%inación
*
#1
0)0*1*7+#+ 0)#+!0!10+
8nco%&leto
*
#3
0)0*1*7+#+ 0)#!#3+170*
-es,alanceo
1
#"
0)010+3!*#!
A&lasta%ient o Rotura 6uera de %edida Mal color
P&r(enta)e
P&r(enta)e A(umu"a#&
0)7#7!7*3"
A &artir de los datos anteriores &rocede%os a construir el -iagra%a de $areto(
1
3
Defectos en productos terminados
Los defectos %ás frecuentes son el a&lasta%iento la rotura %ientras 5ue el resto de defectos &odr:an decirse 5ue son %ás ocasionales4 son triiales) Seg.n el &rinci&io de $areto el fa,ricante de,e inertir en la corrección del a&lasta%iento la rotura en sus &roductos antes de llegar a la l:nea de &roducción a 5ue estos re&resentan el !0 de los defectos &resentes en sus &roductos ter%inados) El resto de defectos no son tan releantes &or el %o%ento de,ido a su &oca frecuencia4 &or lo 5ue una inersión a&resurada en todos los defectos no será %u &ertinente %ientras 5ue en los defectos %ás frecuentes es necesaria una atención in%ediata)
. En una emprea -r+'i(a e preentan re("ama(i&ne p&r 2ari& #e'e(t& en e" pru(t&0 "& (ua"e e preentan en "a i-uiente ta,"a: Re("am&
Fre(uen(ia
Ti&o de &a&el Arrugas en el &a&el Tie%&o de entrega Encuadernación Aca,ado ;olor Tinta Motas 6acturación 8%ágenes
1! ! "* 1* " 10 3 * 3
Rea"i(e un an+"ii #e "& re("am& uan#& Paret&. $ri%ero organi'aré la infor%ación dada a
"
Fre(uen(ia P&r(enta)e Fre(uen(ia A(umu"a# P&r(enta)e A(umu"a#& a
Re("am& Arrugas en el &a&el Tie%&o de entrega Ti&o de &a&el Encuadernació n ;olor Motas Aca,ado 8%ágenes Tinta 6acturación
!
!
0)"+1#+** 0)"+1#+**
"*
1*7
0)**!*+0!7 0)+#0*173#1
1!
1"
0)0#7!*+0!7 0)7!!0"3"7!
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17
0)0+*173#1 0)!3*+0!7
10 " 3 3 *
1+7 17* 17+ 17# 1!* 1!"
0)0"3"7!*+ 0)0*7173#13 0)0*173#13 0)01+30"3"! 0)01+30"3"! 0)010!+#+
0)#07+0!+#+ 0)#3"7!*+0# 0)#+*173# 0)#7*!*+0!7 0)#!#130"3 1
A &artir del $orcentaje Acu%ulado se o,tiene el diagra%a de $areto(
Reclamos por defectos en el producto
Seg.n el diagra%a los &rinci&ales &ro,le%as 5ue afronta el sericio 5ue está ,rindando la e%&resa son las arrugas en el &a&el4 el ti&o de &a&el el tie%&o de entrega) La &ri%era causa es de carácter %ecánico4 algo 5ue se &odr:a solucionar %ediante el %anteni%iento de la %a5uinaria usada o inirtiendo en %ejores i%&resoras) La segunda causa de&ende del distri,uidor de la e%&resa4 ésta tendrá 5ue enfrentar costos &ara %ejorar el ti&o de &a&el 5ue oferta) La tercera causa a es de carácter =u%ano4 %ediante un asesora%iento al &ersonal se &odr:a %ejorar los tie%&os de entrega &ara satisfacer %ás a las de%andas de los clientes) El resto de recla%os son de %enos &ro&orción 5ue los anteriores tienen una relación casi directa con los &ri%eros tres4 as: 5ue si se los corrige a los &ri%eros el resto se solucionará &aulatina%ente sin necesidad de %aor inersión)
. L& i-uiente #at& repreentan "& minut& *ue e #em&rar&n en (&ntetar una en(ueta #e &pini>n 4 e" n%mer& #e per&na *ue "& i(ier&n Minutos $ersonas
! 1"
10 17
1* 1!
13 1+
1 *"
1! *3
** *
* 1+
*+ *3
30 *"
3* 31
3+ *!
3# 1#
.1. A "a per&na *ue e a""an #entr& #e" ; ma ,a)& repe(t& a" tiemp& emp"ea#& en (&ntetar "a en(ueta0 e "e rea"i$a &tr& tip& #e pre-unta para (&mpr&,ar "a in'&rma(i>n pr&p&r(i&na#a. A "a en(ueta #e "a per&na *ue e a""an &,re e" ; 4 ata e" 9; #e" tiemp& emp"ea#& e "e re2ia para (&mpr&,ar "a in'&rma(i>n 4 a "a en(ueta #e "a per&na *ue e a""an &,re e" 9; #e" tiemp& e "e (&ni#era 2+"i#a. a""e "& tiemp& m/nim& 4 m+!im& #e "a (ate-&r/a #e(rita 4 e" n%mer& #e per&na *ue e a""an #entr& #e (a#a (ate-&r/a. Si su%a%os todos los %inutos e%&leados sin considerar las frecuencias tene%os 5ue se consideraron *!+ %inutos de encuestas) El 3 de estos son 100 el !0 son **#) Se &rocede a acercar los alores %ediante su%as de los tie%&os( 8 + 10 + 12 + 13 + 15 + 18 + 22=98 8 + 10 + 12 + 13 + 15 + 18 + 22+ 25 + 26 + 30 + 32 =211 Si ,ien estos alores sólo se acercan a lo esti%ado4 son ace&tados de,ido a 5ue no =a otros tie%&os %edidos de encuestas con los cuales se &ueda llegar e2acta%ente al alor &reisto) Entonces los tie%&os %:ni%os %á2i%os de las categor:as son los siguientes( $ara el &ri%er gru&o el %:ni%o tie%&o es de ! %inutos4 el %á2i%o es de ** %inutos &artici&an 137 &ersonas) $ara el segundo gru&o el tie%&o %:ni%o es de * %inutos el %á2i%o de 3*4 &artici&an #" &ersonas) $ara el tercer gru&o el tie%&o %:ni%o es de 3+ %inutos el %á2i%o de 3#4 &artici&an "7 &ersonas)
.=. A "a per&na *ue #em&rar&n men& #e 19 minut& e "e pi#e *ue ""enen &tr& '&rmu"ari&0 a "a per&na *ue e #em&rar&n #e#e 19 4 ata minut& e "e pi#e *ue re2ien u repueta 4 a" ret& #e per&na e "e a-ra#e(e u parti(ipa(i>n. a""e e" n%mer& #e per&na *ue (&rrep&n#e a (a#a (ate-&r/a. >asta su%ar el n.%ero de &ersonas 5ue corres&onde a cada categor:a( En un tie%&o %enor a 1! %inutos( 14 + 17 + 18 + 16 + 21= 86 personas En un tie%&o entre 1! a 30 %inutos( 23 + 25 + 16 + 23 + 24 =111 personas -e 30 a 3# %inutos( 31 + 28 + 19=78 personas
.. a""e "a me#ia0 me#iana 4 ma #e" tiemp& emp"ea#& en (&ntetar "a en(ueta. Media(
x´ =
1
q
1 x f ( x )= ( 8 ( 14 )+ 10 (17 )+ 12 (18 )+ 13 ( 16 )+ 15 (24 )+ 18 (23 )+ 22 ( 25 )+ 25 (16 )+ 26 (23 )+ 3 ∑ 279 n = i
i
i 1
Mediana(
Md = x n+1 = x 13 + 1 = x7 =22 2
2
Moda( 3+ %inutos
.. Si e" (&t& p&r (a#a en(ueta e #e 0= #>"are p&r (a#a minut& emp"ea#& p&r e" en(ueta#&0 a""e e" (&t& pr&me#i& #e "a en(ueta rea"i$a#a.
´ =0.20 x´ = 0.20 (23.34 )= $ 4.69 C
.. a""e e" ran-& 4 "a #e2ia(i>n et+n#ar #e" tiemp& emp"ea#& en (&ntetar "a en(ueta.
+ R= M −m =39− 8=31
s=
√
q
1
∑ x n− 1 =
2
i
f ( xi )−n ( x´ ) =9.587 2
i 1
. Uti"i$an#& inter2a"& #e ("ae (&n "a in'&rma(i>n pr&p&r(i&na#a0 (&ntete ta "a pre-unta p"antea#a0 e!(ept& "a 10 4 en u "u-ar a""e "a #e2ia(i>n et+n#ar. m=8 , M =39 , L=32
To%ando
r
e
7 ! # 1 0 11 1 * 1 3
" "
3 0 "
"
!
3
1
3
"
3
7
r =7 (
i
8nteralos de clase
$unto %edio
f?i@
fr?i@
6?i@
6r?i@
1
+)/11)
#
31
31
04111111111
04111111111
*
11)/1+)
1"
!
!#
04*07!!30
0431!##+"1+
3
1+)/*1)
1#
*3
11*
040!*"37*7+
04"01"33+#*
"
*1)/*+)
*"
+"
17+
04**#3#0+!1
04+30!*"373
*+)/31)
*#
*"
*00
040!+0*10
0471+!"!7!
+
31)/3+)
3"
+0
*+0
04*1037+3
04#31!##+"*
7
3+)/"1)
3#
1#
*7#
040+!1003!
1
a@
Pk = L +
201− F
f
w r < 18
1)
18=16.5 + 18 ≤r ≤ 30
*)
30=26.5 +
,@
x´ =
7
∑ x f ( x ) =23.44
279 i= 1
i
23
5 ⇒ np= 95.5 ⇒ y < 95.5 95
np −176 24
30 < r y =247 −121=126
3)
1
np −89
i
5 ⇒ np= 192.8 ⇒ y = 121
7
n Md = L +
2
w =21.5 +
f
Mo =24 c@
− F
139.5 −112 64
5 =23.65
´ =0.20 x´ = $ 4.69 C
d@
s=
√
7
1
∑ x 278 =
2
i
f ( x i)− 279 (23.44 ) = 9.31 2
i 1
. En un e!periment& en e" (ua" e #e,e me#ir e" tiemp& emp"ea#&0 "& -rup& A 4 B an &,teni#& "& i-uiente 2a"&re0 en e-un#&: ru&o A( *+4 **4 *4 3"4 *#4 3* ru&o >( 304 3*4 *!4 *"4 *#4 *
.1. 6En (a#a -rup&0 (u+" e e" 2a"&r *ue m+ repreenta e" tiemp& *ue #em&ra e" e!periment&< x´ =
1
n
∑ x
n i=1
i
1
Grupo A : x´ = ( 26 + 22 + 25 + 34 + 29 + 32 )=28 6 1
Grupo B : x´ = ( 30 + 32 + 28 + 24 + 29 + 25 )=28 6
.=. 6Cu+" #e "a #& muetra e(&-er/a (&m& repreentante #e "& reu"ta#& #e" e!periment&<0 6P&r *u8<
f(x) = 1.71x + 22 f(x) = - 1.09x + 31.8 Grupo A Linear (Grupo A) Grupo B Linear (Grupo B)
Anali'ando el rango de las %uestras( R A =34 −22=12 4 RB =32−24 =8 ) Ba %aor dis&ersión de datos en los resultados del gru&o A 5ue del gru&o >4 &or lo 5ue el %ejor re&resentante de los resultados ser:a la %uestra del gru&o >) Algo as: ta%,ién se &uede notar en el cuadro lateral( si co%&ara%os el alor a,soluto de la &endiente de la recta de %ejor ajuste &ara los datos dados4 se &uede notar 5ue la &endiente de la recta &ara los datos de A es %aor 5ue la de >4 lo cual i%&lica %aor dis&ersión de datos4 considerando 5ue =a %enor dis&ersión cuando la &endiente tiende a cero)
!
G. Se (&n&(e *ue en una muetra0 e" 2a"&r m/nim& e 11.= 4 e" 2a"&r m+!im& e G.9. C&ntru4a0 uti"i$an#& "a n&rma #a#a en ("ae0 "& inter2a"& ma (&n2eniente para "a #itri,u(i>n #e "a 're(uen(ia. '
'
m =11.2, M =57.8 ⇒ m =112, M =578 L= M ' − m' + 1 =578−112+ 1 =467
r
+ * 7 # 1 * " 3 7 " + 3 3 1 # 3 1 + 1 &or interalo4 se tiene 5ue(
7 ! # 1 0 11
Si se to%a a
e
1 * 1 3 r = 7 se re&arte el e2ceso en
Dat& Tran'&rma#& Inter2a"& Punt& Me#i& 110)/177) 177)/*"") *"")/311) 311)/37!) 37!)/"") "")/1*) 1*)/7#)
1"" *11 *7! 3" "1* "7# "+
$asando a los datos originales(
Dat& Ori-ina"e Inter2a"& Punt& Me#i& 11)0/17)7 17)7/*")" *")"/31)1 31)1/37)! 37)!/"") "")/1)* 1)*/7)#
1")" *1)1 *7)! 3") "1)* "7)# ")+
9. C&n "& i-uiente #at& repe(t& a "& in-re& menua"e ?en mi"e #e #>"are@ *ue e an re(&pi"a#& en (ierta emprea: *+ 0 "#
71 3* 33
"0 7 3*
#0 "0 +1
0 7 7
** " !#
+* 77 *+
* *0 *"
!0 +" 7
3" !+ *1
! 33 "!
*# "! 77
7! +0 #
"" 3 3!
37 30 !!
# +3
71
!*
Uti"i$an#& #at& in#i2i#ua"e: 9.1. C&ntru4a e" (ua#r& #e 're(uen(ia 8ngresos
6recuencia
6recuencia Acu%ulada
$orcentaje
$orcentaje Acu%ulado
*0
1
1
040*0!33333
040*0!33333
*1
1
*
040*0!33333
040"1+++++7
**
1
3
040*0!33333
040+*
*"
1
"
040*0!33333
040!3333333
*
1
040*0!33333
0410"1++++7
*+
*
7
040"1+++++7
041"!33333
*#
1
!
040*0!33333
041+++++++7
30
1
#
040*0!33333
041!7
3*
*
11
040"1+++++7
04**#1++++7
33
*
13
040"1+++++7
04*70!33333
3"
1
1"
040*0!33333
04*#1+++++7
3
1
1
040*0!33333
0431*
37
1
1+
040*0!33333
04333333333
3!
1
17
040*0!33333
043"1++++7
"0
*
1#
040"1+++++7
043#!33333
""
1
*0
040*0!33333
04"1++++++7
"
1
*1
040*0!33333
04"37
"!
*
*3
040"1+++++7
04"7#1++++7
"#
1
*"
040*0!33333
04
0
*
*+
040"1+++++7
04"1+++++7
7
1
*7
040*0!33333
04+*
#
1
*!
040*0!33333
04!3333333
+0
1
*#
040*0!33333
04+0"1++++7
+1
1
30
040*0!33333
04+*
+*
1
31
040*0!33333
04+"!33333
+3
1
3*
040*0!33333
04++++++++7
+"
1
33
040*0!33333
04+!7
71
*
3
040"1+++++7
047*#1++++7
7
3
3!
040+*
047#1+++++7
77
*
"0
040"1+++++7
04!33333333
7!
1
"1
040*0!33333
04!"1++++7
!0
1
"*
040*0!33333
04!7
!*
1
"3
040*0!33333
04!#!33333
!
1
""
040*0!33333
04#1++++++7
!+
1
"
040*0!33333
04#37
!!
1
"+
040*0!33333
04#!333333
!#
1
"7
040*0!33333
04#7#1++++7
10 #0
1
"!
040*0!33333
1
9.=. a""e e" n%mer& #e mee *ue an in-rea#& ma #e mi" 4 n& m+ #e 9 mi". Anali'ando la ta,la considerando 5ue
45 < x ≤ 80 4 entonces
x =21 )
9.. a""e "a m+!ima (anti#a# *ue e pue#e ae-urar in-re> en "& #& aH& #e pe&re in-re&. Si los datos dados están ordenados se tiene lo siguiente(
In-re& Anua" p&r mi"e
AH&
1 +1" * +37 3 +13 " +7* Los dos a
9.. a""e e" m/nim& in-re& #e "& me)&re 1= mee. Anali'ando la frecuencia acu%ulada final4 al restarle doce se a&unta al alor donde ésta es 3+4 entonces el %:ni%o ingreso fue de 7 000)
. C&n "& i-uiente #at& repe(t& a "& in-re& menua"e ?en mi"e #e #>"are@ *ue e an re(&pi"a#& en (ierta emprea: *+ 71 "0 #0 0 ** +* * !0 3" ! *# 7! "" 37 0 3* 7 7 "0 " 77 *0 +" !+ 33 "! +0 3 30 "# 33 3* +1 7 !# *+ *" 7 *1 "! 77 # 3! !! +3 71 !*
Uti"i$an#& #at& a-rupa#&: .1. C&ntru4a e" (ua#r& #e 're(uen(ia m=20, M =90, L=71
To%ando
r
e
7 ! # 1 0 11 1 * 1 3
11 # !
+ 1 1
!
#
7
+
+
1
+
7
r =7 (
i
Inter2a"& #e ("ae
Punt& me#i&
'?i@
F?i@
'r?i@
Fr?i@
1
1+)/*7)
**
7
7
041"!33333
041"!33333
*
*7)/3!)
33
10
17
04*0!333333
043"1++++7
3
3!)/"#)
""
7
*"
041"!33333
04
11 "
"#)/+0)
*#
0410"1++++7
04+0"1++++7
+0)/71)
++
+
3
041*
047*#1++++7
+
71)/!*)
77
!
"3
041+++++++7
04!#!33333
7
!*)/#3)
!!
"!
0410"1++++7
1
.=. a""e "a me#ia0 me#iana 4 ma. x´ =
1
r
1
7
1 2519 x f ( x )= ∑ x f ( x )= ( 22 (7 ) + 33 ( 10 )+ 44 ( 7 ) + 55 ( 5 )+ 66 ( 6 ) + 77 ( 8 ) + 88 ( 5 ) )= ≈ 52.4 ∑ n = 48 = 48 48 i
i
i
i 1
i
i 1
n Md = L +
2
− F w =38.5 +
f
24 −17 7
11= 49.5
Moda =33
.. a""e e" ran-&0 "a #e2ia(i>n pr&me#i& 4 "a #e2ia(i>n et+n#ar. R= 88−22= 66
p=
s=
√
1
r
1
7
∑| x − x´| f (i)= 48 ∑ | x − x´ | f (i )=19,48 = i
n i=1 1
i
i 1
r
∑ x n−1 =
2
i
2
f ( xi )−n ( x´ ) =
i 1
√
7
1
∑ x 47 =
2
i
f ( x i )−48
i 1
(
6345361 2304
)=
22.145
1. Para #ieHar un puente0 e ne(eari& (&n&(er e" e'uer$& *ue &p&rtar+ e" (&n(ret&. La ta,"a #e #at& repreenta "a "i,ra #e prei>n p&r pu"-a#a (ua#ra#a *ue &p&rt> (a#a un& #e "& ,"&*ue #e una muetra. 00)* 00)! "#0) "##)* 0+)"
"#7)! 0*) 0")1 "#!)3 "##)#
"#+)# 03)* 0!)* "#+)7 0!)"
00)! "#+)# 00)! "#0)" 0*)3
"#1)+ "#)3 0*)* "#3)" "#1)3
03)7 "#7)1 0!)1 00)7 0#)+
01)3 "##)7 "#3)! 0*)0 "#!)"
00)0 0)0 "#7)! 0*) "#!)1
C&ntru4a "& inter2a"& e-%n "& eta,"e(i#& en e" (ur& 4 (&mp"ete "a in'&rma(i>n *ue ne(eite para (&ntetar "& i-uiente punt&. '
'
m = 490.4, M =509.6 ⇒ m = 4904, M =5096 L= M ' − m' + 1 =193
r 7 ! # 1 0 1
* ! * * * * 0 1
e 3 7 7
1*
Si se to%a a
1 1 * 1 3 r =13 se re&arte el e2ceso en
! 1 7 1
1 1 * 1 &or interalo4 se tiene 5ue(
Dat& Tran'&rma#& Inter2a"& Punt& Me#i& "#0*)/"#17) "#17)/"#3*) "#3*)/"#"7) "#"7)/"#+*) "#+*)/"#77) "#77)/"##*) "##*)/007) 007)/0**) 0**)/037) 037)/0*) 0*)/0+7) 0+7)/0!*) 0!*)/0#7)
"#10 "#* "#"0 "# "#70 "#! 000 01 030 0" 0+0 07 0#0
$asando a los datos originales(
Inter2a"&
Dat& Ori-ina"e Punt& Me#i&
'?i@
F?i@
"#0)*/"#1)7 "#1)7/"#3)* "#3)*/"#")7 "#")7/"#+)* "#+)*/"#7)7 "#7)7/"##)* "##)*/00)7 00)7/0*)* 0*)*/03)7 03)7/0)* 0)*/0+)7 0+)7/0!)* 0!)*/0#)7
"#1)0 "#*) "#")0 "#) "#7)0 "#!) 00)0 01) 03)0 0") 0+)0 07) 0#)0
" 0 * 1 " ! 3 3 1 * *
" " + 7 11 1# ** *7 3* 3 3+ 3! "0
1.1. 6Cu+nt& ,"&*ue &p&rtar&n entre 4 "i,ra #e prei>n p&r pu"-a#a (ua#ra#a< 30 ,lo5ues)
1.=. 6Cu+" e "a m+!ima prei>n en "i,ra p&r pu"-a#a (ua#ra#a *ue e pue#e ae-urar reitier&n "& = ,"&*ue #e men&r reiten(ia< 01) li,ras &or &ulgada cuadrada)
11. En un etu#i& &,re "a reiten(ia a "a ruptura ,a)& (ar-a #e teni>n ?en ",Jp"- =@ #e (i"in#r& #e (&n(ret& e a &,teni#& "a i-uiente #itri,u(i>n #e 're(uen(ia. 8nteralos ?en l,C&lg *@ 6recuencias "17) /// "*") # "*") /// "31) 1 "31) /// "3!) 1"
8nteralos ?en l,C&lg*@ 6recuencias "") /// "*) *1 "*) /// "#) 1+ "#) /// "++) 13
13
"3!) /// "")
*0
"++) /// "73)
7
=
11.1. L& (i"in#r& (&n reiten(ia ma4&r a ",Jp"- e 2en#en 1 #>"are (a#a un&0 "& (i"in#r& (&n reiten(ia entre 4 ",Jp"- = e 2en#en a 1 #>"are (a#a un& 4 "& (i"in#r& (&n men& #e ",Jp"-= #e reiten(ia e 2en#en a #>"are (a#a un&. 6Cu+nt& in-rea p&r "a 2enta #e "a muetra #itri,ui#a en e" (ua#r&< ! =5 ( 9 + 15 )+ 10 ( 14 + 20 ) + 15 ( 21+ 16 + 13 + 7 )=$ 1315
11.=. 67u8 reiten(ia m+!ima e pue#e ae-urar tienen "& (i"in#r& #e men&r (a"i#a# 4 *u8 reiten(ia m/nima tienen "& (i"in#r& #e me)&r (a"i#a#< -e los &ri%eros se &uede asegurar una resistencia %á2i%a de "3!) l,)&lg /*4 de los segundos se &uede asegurar una resistencia %:ni%a de "*) l,)&lg /*)
1=. En un etu#i& #e (&ntr&" #e (a"i#a# #e "a pru((i>n #e ra#i& tranmi&reKre(ept&re e an &,teni#& "& i-uiente #at& repe(t& a" tiemp& #e 'un(i&namient& ?en #/a@ ata *ue e preenta "a primera 'a""a 1+ "0 # 1+! +0 1+! 1*
**" 1+ !0 #+ 3+ "00 !0 3#* 7+ 1*! + ++ **" 3* 3! 3!" *+ *"+ 3*! "+" ""! +" 30" 1+ 7* !0 7* + +0! 10! 1#" 13+ **" !0 1+ "*" *+" 1+ *1+ 1!" * 7* 1!" *"0 "3! 1*0 30! 3* *7* 1* 3*! "!0 *0! 3"0 10" 7* 1+! "0 1* 3+0 *3* "0 11* 11* *!! 3* + 7* +" "0 1!" *+" #+ **" 1+! 1+! 11" *!0 *0! 1+0 17+ 1=.1. ;onstrua los interalos seg.n las nor%as esta,lecidas en el curso el cuadro de frecuencias) m =9 , M =656 L= M − m+ 1= 648
r 7 ! # 1 0 11 1 * 1 3 To%ando
e
# 3 ! 1 7 * + # " 0
3 0 0 * 1 0 *
r = 8 se tiene(
i
Inter2a"& #e ("ae
Punt& me#i&
'?i@
'r?i@
F?i@
Fr?i@
1
!)/!#)
"#
*
*
04*!"0#0#0#
04*!"0#0#0#
*
!#)/170)
130
*0
"
04**7*7*7*7
04113+3+3+
3
170)/*1)
*11
1
+0
04170"""
04+!1!1!1!*
"
*1)/33*)
*#*
10
70
04113+3+3+"
047#"""
33*)/"13)
373
7
77
0407#""
04!7
+
"13)/"#")
""
!*
040+!1!1!*
04#31!1!1!*
1" 7
"#")/7)
3
*
!"
040**7*7*73
04#"""
!
7)/++)
+1+
"
!!
040""""
1
1=.=. a""e "a me#ia0 me#iana 4 ma. 6De et& tre 2a"&re0 (u+" e e" 2a"&r *ue ute# u-erir/a e t&me (&m& repreentante #e "a muetra< x´ =
8
1
∑ x f ( x )=208.24 i
88 i=1
n Md = L +
2
i
− F w =89.5 +
f
44 −25 20
81 =166.45
Moda =49 Los datos son %u dis&ersos4 lo cual aleja a la %edia de ser un re&resentante ó&ti%o4 la %aor:a de radio rece&tores =an &resentado defectos entre !) *1)4 un entorno cercano a la %ediana4 &or lo 5ue sugerir:a usar este alor co%o re&resentante de la %uestra)
1=.. 6Cu+nt& ra#i& 'un(i&nan ata e" #/a =0 in *ue e preente "a primera 'a""a< Pk = L +
201− F
f
200=170.5 +
w
np −45
81 ⇒ np =50.46 ≈ 50 15 estos funcionan =asta el d:a *00 &resentando fallas4 es decir4 son el n.%ero de radios acu%ulados =asta el d:a *00) El resto de la %uestra será la 5ue funciona =asta dic=o d:a4 es decir( x =38
1=.. C&n "& #at& &r#ena#& #e men&r a ma4&r repe(t& a" n%mer& #e #/a ante #e preentare "a primera 'a""a0 6Cu+nt& #/a 'un(i&na e" ra#i& *ue e en(uentra en e" puet& G< Pk =332.5 +
75−7 0 7
81=390 [ d"as ]
1. La i-uiente in'&rma(i>n repreenta una muetra #e "a 2i#a %ti"0 en &ra0 #e "+mpara #e att Inter2a"& ?en &ra@ Fre(uen(ia "##) /// #!) #!) /// +#7) +#7) /// 7#+) 7#+) /// !#) !#) /// ##") ##") /// 10#3) 10#3) /// 11#*) 11#*) /// 1*#1) 1*#1) /// 13#0) 13#0) /// 1"!#)
3 7 1* *3 7 1 ** 1" 7 "
1.1. L& pre(i& #e 2enta #e "a "+mpara et+n #a#& #e "a i-uiente manera: Si "a "+mpara #ura ata G &ra0 e 2en#e a #>"are Si "a "+mpara #ura entre G 4 1= &ra0 e 2en#e a 9 #>"are Si "a "+mpara #ura ma #e 1= &ra0 e 2en#e a 1= #>"are 1.1.1. Ca"(u"e e" in-re& i e 2en#en ta "a "+mpara #e "a muetra. ! =5 ( 3 + 7 )+ 8 (12 + 23 + 57 + 51 + 22 ) + 12 ( 14 + 7 + 4 ) = $ 1670
1.1.=. Ca"(u"e e" in-re& i e 2en#en = "+mpara *ue e (&mp&rtan (&m& "a #e "a muetra. Ba *00 lá%&aras4 &or relación de &ro&orcionalidad(
! = $ 1670
1
1.=. 6Cu+" e e" m+!im& n%mer& #e &ra *ue e pue#e ae-urar #uran "a "+mpara #e pe&r (a"i#a# 4 e" m/nim& n%mer& #e &ra *ue #uran "a "+mpara #e me)&r (a"i#a#< Se &uede asegurar un %:ni%o de 10#3) =oras se &uede asegurar un %á2i%o de !#) =oras)
1.. 6Cu+" e e" pr&me#i& #e &ra #e 2i#a %ti" #e "a "+mpara #e "a muetra< x´ =
1
r
∑ x f ( x )=996.947 i
n i=1
i
1. L& i-uiente #at& repreentan e" n%mer& #e i">metr& re(&rri#& p&r aut&m>2i"e0 t&ma#& a" a$ar0 (&n 1 -a"&ne #e -a&"ina. *## ** 1! *3 *7 17 *3* *01 *!1 17" *"0 *"7 **1 *07 1 * *+1 *"! 1* *"7 1+ *# 1+3 1#3 11! *3" 1!7 1#+ *!* 1** 1! 1#! *+! 17 *73 113 *"! *3 *# *+ 17 *"* *!# 1* **1 *!! 1*3 1*7 13" *"
a""e0 uti"i$an#& inter2a"&: 1.1. E" (ua#r& #e 're(uen(ia. m =113, M =299 L= M − m + 1= 187
r 7 ! # 1 0 11 1 * 1 3
* 7 * " * 1 1 # 1 7 1 + 1
e * * 3 0 !
r =7 se tiene(
To%ando
i
Inter2a"& #e ("ae
Punt& me#i&
'?i@
'r?i@
F?i@
Fr?i@
1
111)/13!)
1*
7
7
041"
041"
*
13!)/1+)
1*
+
13
041*
04*+
3
1+)/1#*)
17#
1!
041
043+
"
1#*)/*1#)
*0+
*3
041
04"+
*1#)/*"+)
*33
+
*#
041*
04!
+
*"+)/*73)
*+0
1
""
043
04!!
7
*73)/300)
*!7
+
0
041*
1
1.=. E" pr&me#i& #e i">metr& *ue an re(&rri#& "& (arr&. x´ =
1 50
7
x f ( x )= 214.64 ∑ = i
i 1
i
1+
1.. La me#iana.
Md = # 7+1 =206 2
1.. La #e2ia(i>n et+n#ar. s=
√
7
1
∑ x 49 =
2
i
f ( x i )−50 ( 214.64 ) =55.479 2
i 1
1.. E" n%mer& #e (arr&0 *ue re(&rrier&n ata = i">metr& (&n "& 1 -a"&ne #e -a&"ina. x =23 4 &ero si anali'a%os los datos( x =28 )
Si anali'a%os la ta,la de frecuencias(
1.. E" n%mer& m+!im& #e i">metr& *ue re(&rren "& = (arr& #e men&r ren#imient& en i">metr& p&r -a">n. Pk = L +
np − F w f
Pk =219.5 +
26 −23 6
27 =233 [ km ]
1.G. E" n%mer& #e (arr& 4 e" p&r(enta)e #e (arr& *ue re(&rrier&n entre 1 4 == i">metr& (&n "& 1 -a"&ne #e -a&"ina. 150=138.5 + 220=119.5 +
np −7 6
27 ⇒ n
np −23 6
k 100
27 ⇒ n
= 9. 5´ k =19 , np =9 [ arros ] ⇒
k
100 ⇒ x = 45−9 =36 [ $arros ] , = 72
= 45 % 3´
⇒
k = 91 , np= 45 [ arros ]
1.9. L& i">metr& *ue e pue#e ae-urar re(&rrier&n "& = (arr& (&n men&r ren#imient& 4 "& 1 (arr& (&n me)&r ren#imient& . Pk =192.5 +
20− 18 5
27 =203.3 [ km ]
Los de menor rendimien&oreorrieron desde 113 [ km ] 'as&a 203.3 [ km ] Pk =246.5 +
41 −29 15
27 =268 .1 [ km ]
Los de me(or rendimien&o reorrieron desde 268.1 [ km ] as&a 299 [ km ]
1. L& i-uiente #at& repreentan "& -a"&ne #e pintura uti"i$a#& #iariamente 4 e" n%mer& #e #/a *ue e uti"i$ar&n e& -a"&ne en (ierta emprea #e pu,"i(i#a# en (arretera. alones de &intura 9.%ero de d:as
*+ 1"
*! 13
*# 11
30 #
31 1
3* 13
33 1*
3 1"
3+ 11
a""e : 1.1. E" n%mer& #e #/a *ue uti"i$ar&n a "& ma -a"&ne #e pintura. 1* d:as
1.=. E" n%mer& t&ta" #e -a"&ne *ue e pue#e ae-urar uar&n en "& #/a #e men&r tra,a)&. 1#1 galones4 el n.%ero de d:as 5ue llea a afir%ar esto está for%ado &or a5uellos de %enores al resto cua su%a se acerca a +)
1.. E" n%mer& #e #/a *ue uti"i$ar&n ma #e = 4 ata -a"&ne #e pintura. +3 d:as
1.. La me#ia0 me#iana 4 ma #e "a muetra.
17
x´ =
1
q
1
∑
9
∑
x f ( x i )= x i f ( x i )= 31.07 112 i= 1 n i=1 i Md = x 9+ 1 = x5 =31 2
Moda =31
1. En (ierta eta(i>n #e -a&"ina e a &,teni#& "a i-uiente in'&rma(i>n repe(t& a "a (anti#a# #e -a"&ne *ue an 2en#i#& p&r #/a: 8nteralos de clase ?galones de gasolina endidos@ 3!+) / 3##) 3##) / "1*) "1*) / "*) "*) / "3!) "3!) / "1) "1) / "+") "+") / "77) "77) / "#0)
6recuencias ?n.%ero de d:as@ 3 *7 3* *3 17 3" *! 31
a""e : 8nteralos 3!+) / 3##) 3##) / "1*) "1*) / "*) "*) / "3!) "3!) / "1) "1) / "+") "+") / "77) "77) / "#0)
$untos Medios 3#3 "0+ "1# "3* "" "! "71 "!"
6recuencia 3 *7 3* *3 17 3" *! 31
6recuencia Acu%ulada 3 +* #" 117 13" 1+! 1#+ **7
1.1. La #e2ia(i>n et+n#ar #e "a muetra s=
√
1
q
∑ x n−1 =
i
2
2
f ( xi )−n ( x´ ) =
i 1
√
1
8
∑ x 226 =
2
i
2
f ( x i)− 227 ( 437.84 ) =31.3
i 1
1.=. E" n%mer& #e #/a *ue an 2en#i#& "a (anti#a# #e -a"&ne *ue e a""a entre "a me#ia men& una #e2ia(i>n et+n#ar 4 "a me#ia ma una #e2ia(i>n et+n#ar.
x´ − s= 406,541 ⇒ 27 d"as x´ + s = 469,142 ⇒ 28 d"as
El n.%ero de d:as entre estos( 27 + 32 + 23 + 17 + 34 + 28 =161 d"as
1.. Si e" pre(i& #e" -a">n e #e =01 #>"are0 6(u+" er+ e" in-re& e" #/a *ue 2en#an "a (anti#a# #e -a"&ne *ue (&rrep&n#e a "a me#ia m+ una #e2ia(i>n et+n#ar< 471 ( 2,10 )= $ 989,10
1.. 6Cu+" e e" in-re& *ue e pue#e eperar #e" #/a *ue men& 2en#an0 (&ni#eran#& "& 1= #/a #e me)&re 2enta< 445 ( 2,10 ) = $ 934,50
1.. 6En (u+nt& #/a e pue#e eperar 2en#an una (anti#a# #e -a"&ne men&r & i-ua" a -a"&ne<
1!
Pk = L +
np − F w f np −117
450 =438.5 +
17
13 ⇒ np =132.04
1G. La pru((i>n #iaria #e "e(e en (ierta $&na #e" pa/ et+ #a#a p&r: Inter2a"& #e ("ae Fre(uen(ia ?"itr& #e "e(e@ ?n%mer& #e #/a@ +17) / +#*) +#*) / 7+7) 7+7) / !"*) !"*) / #17) #17) / ##*) ##*) / +0+7) +0+7) / +1"*) +1"*) / +*17) 8nteralos +17) / +#*) +#*) / 7+7) 7+7) / !"*) !"*) / #17) #17) / ##*) ##*) / +0+7) +0+7) / +1"*) +1"*) / +*17)
33 37 31 *# *! * *7 31 $untos Medios + 730 !0 !!0 # +030 +10 +1!0
6recuencia 33 37 31 *# *! * *7 31
6recuencia Acu%ulada 33 70 101 130 1! 1!3 *10 *"1
1G.1. Si p&r (a#a "itr&0 "a pateuri$a#&ra pa-a 0=9 #>"are0 6Cu+" e "a (anti#a# t&ta" *ue "a pateuri$a#&ra pa-a 4 (u+" e "a (anti#a# pr&me#i& *ue pa-a #iariamente< P) =0,28 ( 5655 ( 33 )+ 5730 ( 37 )+ 5805 ( 31 ) + 5880 ( 29 ) + 5955 ( 28 ) + 6030 ( 27 ) + 6180 ( 31 ) )= $ 355664,4 P =0,28 x´ =0,28 ( 5904,59 )= $ 1 653,28
1G.=. 6Cu+" e "a #e2ia(i>n et+n#ar #e "a pru((i>n #e "e(e #iaria en "a $&na< s=
√
1
q
∑ x n−1 =
i
i 1
2
f ( xi )−n ( x´ ) = 2
√
1
8
∑ x 240 =
2
i
f ( x i)−241 ( 5904,59 ) =175,7 2
i 1
1G.. 6En (u+nt& #/a e pue#e ae-urar "a pru((i>n n& a upera#& "a (anti#a# #e "itr&< Si considera%os la &roducción co%o inde&endiente entre d:as ser:an d:as) En caso de 5ue ese no sea el caso4 se to%arán entre * 33 d:as)
1G.. 6Cu+" e "a m+!ima (anti#a# #e "itr& #iari& *ue e pue#e ae-urar e an &,teni#& en "& 1 #/a #e men&r pru((i>n< !!0 litros
1G.. 6En (u+nt& #/a e pue#e ae-urar "a pru((i>n e a""a entre 9 4 "itr&< En 101 1!3 res&ectia%ente)
1G.. 6Cu+" e "a m+!ima (anti#a# #e "itr& #iari& *ue e pue#e ae-urar e an &,teni#& en "& 1= #/a #e men&r pru((i>n 4 (u+" e "a m/nima (anti#a# #e "itr& #iari& *ue e pue#e ae-urar e an &,teni#& en "& 1= #/a #e me)&r pru((i>n< Se &uede asegurar 5ue en los 1*0 de %enor &roducción la %á2i%a cantidad es de !0 %ientras 5ue &asa 5ue la &roducción %:ni%a es de #)