INTRODUCCIÓN Cuando se diseña un tanque de agua, es importante importante tener la capacidad capacidad de determinar su centro de gravedad, calcular su volumen y área superficial, y reducir las cargas tridimensionales distribuidas, causadas por la presión del agua a sus resultantes. Todos estos temas se analizan en el presente trabajo de investigación. Mostraremos primero cómo localizar el centro de gravedad para un cuerpo y despus demostraremos que el centro de masa y el centroide de un cuerpo pueden desarrollarse con este mismo mtodo. !sto es cierto mientras se suponga que el campo de gravedad gravedad tiene la misma magnitud magnitud y dirección dirección en todas todas partes. partes. !se supuesto supuesto es apropiado apropiado para la mayor"a mayor"a de las las aplicac aplicaciones iones de ingenie ingenier"a, r"a, ya que que la la gravedad gravedad no var"a apreciablemente entre, por ejemplo, la parte inferior y la superior de un edificio. !n esta presente investigación se e#pondrán ciertos conceptos fundamentales que todo estudiante de ingenier"a civil debe conocer sobre el centroide de un elemento elemento y para as" lograr lograr tener un buen desempeño a nivel profesional.
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CAPÍTULO I FORMULACIÓN DEL PROBLEMA Propósito !l propósi propósito to de esta esta present presente e invest investiga igació ción n es defini definirr lo que es un centroi centroide de y conocer conocer el centroide centroidess de volumen volumen de un objeto, objeto, describi describirr los pasos a seguir para el cálculo de centroide de volumen de un objeto. Objetivo de la investigación
Objetivos General
$escribir los pasos a seguir para el cálculo del centroide de volumen de un objeto.
Justificación ! "a in#!sti$ación !l present presente e estudio estudio se justif justifica ica a que se intent intenta a e#plic e#plicar ar que es un centroi centroide, de, como calcular calcularlo lo y calcul calcular ar el centroi centroide de de volumen volumen un objeto, objeto, puede decirse que será de gran importancia para esta casa de estudio ya que el estudiante podrá tomar como referencia para su cátedra o posibles investigaciones sobre el amplio tema de centroide% con el resultado de esta presente presente investigación investigación se podrá describir describir detalladame detalladamente nte como calcular calcular el centroide y volumen de un objeto.
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CAPÍTULO I FORMULACIÓN DEL PROBLEMA Propósito !l propósi propósito to de esta esta present presente e invest investiga igació ción n es defini definirr lo que es un centroi centroide de y conocer conocer el centroide centroidess de volumen volumen de un objeto, objeto, describi describirr los pasos a seguir para el cálculo de centroide de volumen de un objeto. Objetivo de la investigación
Objetivos General
$escribir los pasos a seguir para el cálculo del centroide de volumen de un objeto.
Justificación ! "a in#!sti$ación !l present presente e estudio estudio se justif justifica ica a que se intent intenta a e#plic e#plicar ar que es un centroi centroide, de, como calcular calcularlo lo y calcul calcular ar el centroi centroide de de volumen volumen un objeto, objeto, puede decirse que será de gran importancia para esta casa de estudio ya que el estudiante podrá tomar como referencia para su cátedra o posibles investigaciones sobre el amplio tema de centroide% con el resultado de esta presente presente investigación investigación se podrá describir describir detalladame detalladamente nte como calcular calcular el centroide y volumen de un objeto.
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CAPÍTULO II MARCO CONCEPTUAL Bas!s T!óricas
CENTRO DE %RA %R A&EDAD DE UN CUERPO BIDIMEN'IONAL( &ara iniciar, iniciar, considere considere una placa plana 'orizontal 'orizontal (figura (figura )*. +a placa puede puede dividi dividirse rse en n element elementos os pequeñ pequeños. os. +as coorden coordenada adass del primer primer elem elemen ento to se repr repres esen enta tan n con con
x )
y
), y ),
las las del del segu segund ndo o elem elemen ento to se
representan con x y y ,, etc. +as fuerzas ejercidas por la Tierra sobre los elementos de la placa serán representadas, respectivamente, con
!stas fuerzas o pesos están dirigidos 'acia el centro de la Tierra% sin embargo, para todos los propósitos prácticos, se pue de su poner que dic'as fuerzas son paralelas. &or tanto, su resultante es una so la fuerza en la misma dirección. +a magnitud - de esta fuerza se obtiene a partir de la suma de las magnitudes de los pesos de los elementos
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Fi$ura ) C!ntro ! $ra#!a ! una p"aca( &ara obtener las coordenadas
x
y
y
del punto /, donde debe aplicarse
la resultante *, se escribe que los momentos de * con respecto a los ejes y y # son iguales a la suma de los momentos correspondientes delos pesos elementales, esto es
()* 0i a'ora se incrementa el n1mero de elementos en los cuales se 'a dividido la placa y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento se obtienen, en el l"mite, las siguientes e#presiones
(* !stas ecuaciones definen el peso * y las coordenadas x y
y del
centro
de gravedad / de una placa plana. 0e pueden derivar las mismas ecuaciones para un alambre que se encuentra en el plano #y (figura .*. 0e observa que usualmente el centro de gravedad / de un alambre no está localizado sobre este 1ltimo.
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Fi$ura (+ C!ntro ! $ra#!a ! un a"a,-r!(
CENTROIDE' DE .REA' / LÍNEA' !n el caso de una placa plana 'omognea de es pesor uniforme, la magnitud - del peso de un elemento de la placa puede e#presarse como
$onde
peso espec"fico (peso por unidad de volumen* del material !spesor de la placa 2rea del elemento
!n forma similar, se puede e#presar la magnitud * del peso de toda la placa como
$onde 3 es el área total de la placa.
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0i se emplean las unidades de uso com1n en !stados 4nidos, se debe e#presar el peso espec"f5co en lb6ft7, l es pesor t en pies y las áreas 3 3 en pies cuadrados. !ntonces, se observa que
y
- y - estarán e#
presados en libras. 0i se usan las unidades del 08, se debe e#presar a y en 96m7, a t en metros y a las áreas 3 y 3
en metros cuadrados% entonces,
los pesos - y - estarán e#presados en ne:ton. 0i se sustituye a - y a - en las ecuaciones de momento ()* y se divide a todos los trminos entre
se obtiene
0i se incrementa el n1mero de elementos en los cuales se divide el área 3 y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento, se obtiene en el l"mite
(7* !stas ecuaciones definen las coordenadas # y del centro de gravedad de una placa 'omognea. !l punto cuyas coordenadas son # y tambin se conoce como el centroide C del área 3 de la placa (figura 7*.0i la placa no es 'omognea, es tas ecuaciones no se pueden utilizar para determinar el centro de gravedad de la placa% sin embargo, stas a1n definen al centroide del área. !n el caso de un alambre 'omogneo de sección transversal uniforme, la magnitud
del peso de un elemento de alambre puede e#presarse como
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$onde
peso espec"fico del material 2rea de la sección transversal del alambre +ongitud del elemento
Fi$ura 0 C!ntroi! ! un 1r!a(
Fi$ura 2 C!ntroi! ! una "3n!a( !l centro de gravedad de un alambre coincide con el centroide C de la l"nea + que define la forma del alambre (figura ;*. +as coordenadas
y
del
centroide de la l"nea + se obtienen a partir de las ecuaciones
(;* 7
PRIMERO' MOMENTO' DE .REA' / LÍNEA'( +a integral # d3
en las ecuaciones (7* de la sección anterior se conoce
como el primer momento del área 3 con respecto al eje y y se representa con
(=* 0i comparamos las ecuaciones (7* con las ecuaciones (=*, se observa que los primeros momentos del área 3 pueden ser e#presados como los productos del área con las coordenadas de su centroide
(>* 3 partir de las ecuaciones (>* se concluye que las coordenadas del centroide de un área pueden obtenerse al dividir los primeros momentos de dic'a área entre el área misma. +os primeros momentos de un área tambin son 1tiles en la mecánica de materiales para determinar los esfuerzos de corte en vigas sujetas a cargas transversales. &or 1ltimo, a partir de las ecuaciones (>* se observa que si el centroide de un área está localizado sobre un eje coordenado, entonces el primer momento del área con respecto a ese eje es igual acero. $e manera inversa, si el primer momento de un área con respecto a un eje coordenado es igual a cero, entonces el centroide del área está localizado sobre ese eje. 0e pueden utilizar relaciones similares a partir de las ecuaciones (=* y (>* para definirlos primeros momentos de una l"nea con respecto a los ejes coordenados y para e#presar dic'os momentos como los productos de la longitud + de la l"nea y las coordenadas
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#y de su centroide.
0e di ce que un área 3 es simtrica con respecto a un eje ??@ si para todo punto & del área e#iste un punto &uede esa misma área tal que la l"nea &&@ sea perpendicular a ??@ y dic'a l"nea está dividida en dos partes iguales por el eje en cuestión (f5gura =Aa*. 0e di ce que una l"nea + es simtrica con respecto a un eje ??@ si satisface condiciones similares. Cuando un área 3 o una l"nea + posee un eje de simetr"a ??@, su primer momento con respecto a ??@ es igual a cero y su centroide está localiza do sobre dic'o eje. &or ejemplo, en el caso del área 3 de la (figura =Ab*, la cual es si mtrica con respecto al eje y, se observa que paraca da elemento de área d3@ de abscisa # e#iste un elemento de área d3@ que tiene la misma superficie y cuya abscisa es
−¿
#. 0e concluye que la integral en la
primera de las ecuaciones (=* es igual a cero y, por tanto, se tiene que
#.
&or consiguiente, si un área 3 o una l"nea + poseen un eje de simetr"a, su centroide C está localizado sobre dic'o eje.
Fi$ura 4( 3demás, se debe se ña lar que si un área o una l"nea posee dos ejes de simetr"a, su centroide C debe estar localizado en la intersección de esos dos ejes (figura >*. !sta propiedad permite determinar de inmediato el centroide de áreas como c"rculos, elipses, cuadrados, rectángulos, triángulos equiláteros u otras figuras simtricas, as" como el centroide de l"neas que 9
tienen la forma de la circunferencia de un c"rculo, el per"metro de un cuadrado, entre otros.
Fi$ura 5 0e dice que un área 3 es simtrica con respecto a un centro si para cada elemento de área d3 de coordenadas # y y e#iste un elemento de área d3@ de igual superficie con coordenadas
−¿
# y
−¿
y (figuraD*.
!ntonces, se concluye que ambas integrales en las ecuaciones (=* son iguales a cero y que
<#
concluye que EEEE
esto es, que el centroide del área coincide con su
centro de simetr"a . !n forma análoga, si una l"nea posee un centro de si me tr"a , el centroide de la l"nea coincidirá con el centro . 0e debe señalar que una figura con un centro de simetr"a no necesaria mente posee un eje de si me tr"a (figura D* y que una figura con dos ejes de simetr"a no necesariamente tiene un centro de simetr"a (figura >Aa*. 0in embargo, si una figura posee dos ejes de si me tr"a que son perpendiculares entre s", el punto de intersección de dic'os ejes es un centro de si me tr"a (figura .>Ab*.
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Fi$ura 6
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Fi$ura 78( C!ntroi!s ! 1r!as co,un!s(
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Fi$ura 7B( C!ntroi!s ! for,as co,un!s ! "3n!as(
PLACA' / ALAMBRE' COMPUE'TO'( !n muc'os casos, una placa plana puede dividirse en rectángulos, triángulos u otras de las formas comunes mostradas en la figura FA3. +a abscisa G de su centro de gravedad / puede determinarse a partir de las abscisas
#), #, . . . de los centros de gravedad de las diferentes partes
que constituyen la placa, e#presando que el momento del peso de toda la placa con respecto al eje y es igual a la suma de los momentos de los pesos de las diferentes partes con respecto a ese mismo eje (figura H*. +a ordenada I del centro de gravedad de la placa se encuentra de una forma similar, igualando momentos con respecto al eje #. 3s", se escribe
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Fi$ura 9( C!ntro ! $ra#!a ! una p"aca co,pu!sta( o en forma condensada,
(D* !stas ecuaciones se pueden resolver para las coordenadas G y I del centro de gravedad de la placa.
Fi$ura ):( C!ntroi! ! un 1r!a co,pu!sta(
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0i la placa es 'omognea y de es pe sor uniforme, el centro de gravedad coincide con el centroide C de su área. +a abscisa G del centroide del área puede determinarse observando que el primer momento
en forma condensada,
(F* !stas ecuaciones proporcionan los primeros momentos del área compuesta o pueden utilizarse para obtener las coordenadas Gy de su centroide.
Fi$ura ))
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0e debe tener cuidado de asignarle el signo apropiado al momento de cada área. +os primeros momentos de áreas, al igual que los momentos de las fuerzas, pueden ser positivos o negativos. &or ejemplo, un área cuyo centroide está localizado a la izquierda del eje y tendrá un primer momento negativo con respecto a dic'o eje. 3demás al área de un aguje ro se le debe asignar un signo negativo (f5gura ))*. $e manera similar, en muc'os casos es posible determinar el centro de gravedad de un alambre compuesto o el centroide de una l"nea compuesta dividiendo al alambre o a la l"nea en elementos más simples
DETERMINACIÓN DE CENTROIDE' POR INTE%RACIÓN( !l centroide de un área limita da por curvas anal"ticas (esto es, curvas definidas por ecuaciones algebraicas* por lo general se determina evaluando las integrales que aparecen en las ecuaciones (7* de la sección 7
(7* 0i el elemento de área d3 es un pequeño rectángulo de lados d# y dy, la evaluación de cada una de estas integrales requiere una integración doble con respecto a # y y. Tambin es necesaria una integración doble si se usan coordenadas polares para las cuales d3 es un elemento de lados dr y r d.
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0in embargo, en la mayor"a de los casos es posible determinar las coordenadas del centroide de un área con una sola integración. !sto se logra seleccionando a d3 como un rectángulo o tira delgada o como un sector circular delgado (f5gura )*% el centroide de un rectángulo delgado está localizado en su centro y el centroide de un sector delgado está localizado a una distancia de
7
a partir de su vrtice (como en el caso de un
triángulo*. !ntonces, las coordenadas del centroide del área en consideración se obtienen e#presando que el primer momento del área total con respecto a cada uno de los ejes coordenados es igual a la suma (o integral* de los momentos correspondientes de los elementos del área. Jepresentando con #el y
las coordenadas del centroide del elemento d3,
se escribe
(H*
Fi$ura )+( C!ntroi!s ; 1r!as ! !"!,!ntos if!r!ncia"!s(
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0i el área 3 no se conoce a1n, sta tambin puede calcularse a partir de estos elementos. +as coordenadas #el y
del centroide del elemento del área $a deben
e#presarse en trminos de las coordenadas de un punto localizado sobre la curva que limita al área en con sideración. 3demás, el área del elemento d3 debe e#presarse en trminos de las coordenadas de dic'o punto y de los diferencia les apropia dos. !sto se 'a 'ec'o en la figura ) para tres ti pos comunes de elementos% la porción de c"rculo de la parte c debe utilizar se cuan do la ecuación de la curva que limita al área est dada en coordenadas polares. $eben sustituirse las e#presiones apropiadas en las fórmulas (=.H* y debe utilizarse la ecuación de la curva que limita al área para e# presar a una de las coordenadas en trminos de la otra. $e esta forma, se re du ce a una so la integración. 4na vez que se 'a de ter mi na do el área y 'an si do evaluadas las integrales en las ecuaciones (=.H*, es tas ecuaciones pue den resolverse para las coordenadas # y del centroide del área. Cuando una l"nea está def5nida por una ecuación algebraica, puede determinarse su centroide al evaluar las integrales que aparecen en las ecuaciones (;* de la sección 7
(;* !l diferencial de longitud d+ de be reemplazar se por una de las siguientes e#presiones, dependiendo de cuál coordenada #, y o
se seleccione como
la variable independiente en la ecuación utilizada para definir la l"nea (es tas e#presiones pueden derivarse con el uso del teorema de &itágoras*
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$espus de que se 'a utilizado la ecuación de la l"nea para e#presar una de las coordenadas en trminos de la otra, se puede llevar a cabo la integración y se pueden resolver las ecuaciones (;* para las coordenadas # y y del centroide de la l"nea.
TEOREMA' DE PAPPU'<%ULDINU'( !stos teoremas fueron formulados primero por el geómetra griego &appus durante el siglo 888 despus de Cristo y fueron replanteados posteriormente por el matemático suizo /uldinus o /uldin ()=DDA)>;7*, se refieren a superficies y cuerpos de revolución. 4na superficie de revolución se genera mediante la rotación de una curva plana con respecto a un eje f5jo. &or ejemplo (figura )7*
Fi$ura )2
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0e puede obtener la superficie de una esfera rotando un arco semicircular 3?C con respecto al diámetro 3C% se puede producir la superficie de un cono rotando una l"nea recta 3? con respecto a un eje 3C y se puede generar la superficie de un toroide o anillo rotando la circunferencia de un c"rculo con respecto a un eje que no interseca a dic'a circunferencia. 4n cuerpo de revolución se genera mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje f5jo. Como se muestra en la f5gura );, se puede generar una esfera, un cono y un toroide rotando la forma apropiada con respecto al eje que se indica.
Fi$ura )2 TEOREMA I( !l área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dic'a curva al momento de generar la superficie.
D!,ostración( Considrese un elemento d+ de la l"nea + (figura )=* que rota alrededor del eje #. !l área d3 generada por el elemento d+ es igual a y d+. &or tanto, el área total generada por + es encontró que la integral
y d+
es igual a
3
¿
y
!n la sección 7 se
y, por tanto, se tiene
()B*
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Fi$ura )4 $onde yes la distancia recorrida por el centroide de + (figura )=*.0e debe se ña lar que la curva generatriz no debe cruzar el eje sobre el cual rota% si lo 'iciera, las dos secciones, una a cada lado del eje, generar"an áreas que tendr"an signos opuestos y el teorema no podr"a aplicarse.
TEOREMA II( !l volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el cuerpo.
D!,ostración( Considrese un elemento d3 del área 3, el cual se rota con respecto al eje # (figura )>*.
Fi$ura )5
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!l volumen dK generado por el elemento d3 es igual a tanto, el volumen total generado por 3 es
y
d3 &or
K y d3 y, puesto que la integral
y d3 es igual ay (sección 7*, se tiene
())* $onde y es la distancia recorrida por el centroide de 3. !s importan te seña lar que el teorema no puede aplicarse si el eje de rotación interseca al área generatriz. +os teoremas de &appusA/uldinus proporcionan una forma sencilla de calcular las áreas de superficies de revolución y los vol1menes de cuerpos de revolución. !n forma inversa, estos teoremas se emplean para determinar el centroide de una curva plana cuan do el área de la superf5cie generada por la curva es conocida o para determinar el centroide de un área plana cuan do el volumen del cuerpo generad o por el área es conocido
CAR%A' DI'TRIBUIDA' EN &I%A'( !l concepto del centroide de un área puede utilizarse para resolver otros problemas distintos a los relacionados con los pesos de placas planas. &or ejemplo, considrese una viga que soporta una carga distribuida% esta carga puede estar constituida por el peso de los materiales soportados directa o indirectamente por la viga o puede ser ocasionada por el viento o por una presión 'idrostática. +a carga distribuida puede representarse al graficar la carga : soportada por unidad de longitud (figura )D*% esta carga está e# presada en 96m o en lb6ft. +a magnitud de la fuerza ejercida sobre un elemento de viga de longitud d# es dpor la viga es
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¿
: d#, y la carga total soportada
0e observa que el producto : d# es igual en magnitud al elemento de área d3 mostrado en la figura )DAa. &or tanto, la carga - es igual en magnitud al área total 3 bajo la curva de carga
3'ora se procede a determinar dónde debe aplicarse, sobre la viga, una sola carga concentrada -, de la misma magnitud - que la carga distribuida to tal, si se de ben producir las mismas reacciones en los apoyos (figura )DA b*.
Fi$ura )6 0in embargo, de be aclararse que esta carga concentrada -, la cual representa la resultante de la carga distribuida dada, es equivalente a esta 1ltima sólo cuando se considera el diagrama de cuerpo libre de toda la viga. !l punto de aplicación & de la carga concentrada equivalente - se obtiene
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e#presando que el momento de - con respecto a un pun to es igual a la suma de los momentos de las cargas elementales d- con respecto a
()*
&uesto que la integral representa el primer momento con respecto al eje : del área bajo la curva de carga, sta puede ser reemplazada por el producido.
&or tanto, se tiene que
& #, donde # es la distancia
desde el eje : 'asta el centroide C del área 3 (nótese que dic'o centroide no es el centroide de la viga*.
&OL=MENE' CENTRO
DE
%RA&EDAD
DE
UN
CUERPO
TRIDIMEN'IONAL(
CENTROIDE DE UN &OLUMEN( !l centro de gravedad / de un cuerpo tridimensional se obtiene dividiendo el cuerpo en pequeños elementos y e#presando que el peso - del cuerpo actuando en / es equivalente al sistema de fuerzas distribuidas j'jg- que representan a los pesos de los elementos pequeños.
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Fi$ura +: 3l seleccionar al eje y vertical con un sentido positivo 'acia arriba (f5gura B* y representar con r al vector de posición de /, se escribe que - es igual a la suma de los pesos elementales - y que su momento con respecto a es igual a la suma de los momentos con respecto a de los pesos elementales.
();* 0e reescribe la 1ltima ecuación de la siguiente forma
()=* 0e observa que el peso - del cuerpo es equivalente al sistema de pesos elementales
- si se cumplen las siguientes condiciones
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0i se incrementa el n1mero de elementos y al mismo tiempo se disminuye el tamaño de cada uno de ellos, se obtiene en el l"mite
()>* 0e observa que las relaciones obtenidas son independientes de la orientación del cuerpo. &or ejemplo, si el cuerpo y los ejes coordenados fueran rotados de manera que el eje z apuntara 'acia arriba, el vector unitario
−¿
j ser"a reemplazado por
−¿
L en las ecuaciones ();* y ()=*,
pero las relaciones ()>* permanecer"an intactas. $escomponiendo los vectores r
y
r en sus componentes rectangulares, se observa que la
segunda de las relaciones ()>* es equivalente a las tres ecuaciones escalares que se presentan a continuación
()D*
0i el cuerpo está 'ec'o de un material 'omogneo de peso espec"fico
y
la magnitud d- del peso de un elemento infinitesimal se puede e#presar en trminos del volumen dK de dic'o elemento y la magnitud - del peso total puede e#presar se en trminos del volumen total K. 3s", se escribe
0ustituyendo a d- y a - en la segunda de las relaciones ()>*, se escribe
()F* o, en forma escalar,
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()H*
!l punto cuyas coordenadas son,
yy z
tambin se conoce como el
centroide C del volumen K del cuerpo. 0i el cuerpo no es 'omogneo, las ecuaciones ()H* no pueden utilizarse para determinar el centro de gravedad del mismo% sin embargo, las ecuaciones ()H* a1n definen al centroide de su volumen.
Fi$ura +) C!ntroi!s ! for,as ; #o">,!n!s co,un!s(
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Fi$ura +) C!ntroi!s ! for,as ; #o">,!n!s co,un!s(
CUERPO' COMPUE'TO'( 0i un cuerpo puede dividirse en varias de las formas comunes mostradas en la figura ), su centro de gravedad / puede determinarse al e#presar que el momento con respecto a de su peso total es igual a la suma de los momentos con respecto a de los pesos de las diferentes partes que lo componen. 0i se procede de la misma forma que en la sección )B, se
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obtienen las siguientes ecuaciones que definen las coordenadas
G, I y
del centro de gravedad / de un cuerpo.
(B* 0i el cuerpo está 'ec'o de un material 'omogneo, su centro de gravedad coincide con el centroide de su volumen y se obtiene
()*
DETERMINACIÓN
DE
CENTROIDE'
DE
&OL=MENE'
POR
INTE%RACIÓN( !l centroide de un volumen limitado por superficies anal"ticas se puede determinar al evaluar las integrales dadas en la sección )B
(* 0i el elemento de volumen dK se selecciona de manera que sea igual a un pequeño cubo de lados d#, dy y dz, la evaluación de cada una de estas integrales requiere una integración triple. 0in embargo, es posible determinar las coordenadas del centroide de la mayor"a de los vol1menes utilizando integración doble si dK se selecciona de tal forma que sea igual al volumen de un f5lamento delgado (figura *.
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Fi$ura ++ D!t!r,inación !" c!ntroi! ! un #o"u,!n por int!$ración o-"!( +as coordenadas del centroide del volumen se obtienen reescribiendo las ecuaciones (*, y sustituyendo despus las e#presiones dadas en la f5gura . para el volumen dK y para las coordenadas
l, yel y el.
0i se utiliza la
ecuación de la superf5cie para e#presar a z en trminos de # y y, la integración se reduce a una integración doble en # y y.
(7* 0i el volumen en consideración posee dos planos de simetr"a, su centroide debe estar localizado sobre la l"nea de intersección de los dos planos. 0eleccionando al eje # de manera que coincida con esta l"nea se tiene
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+a 1nica coordenada que se tiene que determinar es #. !s to se puede realizar con una sola integración dividiendo el volumen dado en placas delgadas paralelas al plano yz y e#presando a dK en trminos de # y d# en la ecuación
(;* &ara un cuerpo de revolución las placas son circulares y sus vol1menes se dan en la figura 7.
Fi$ura +0 D!t!r,inación !" c!ntroi! ! un cu!rpo ! r!#o"ución(
31
RE'ULTADO' EJERCICIO )( Para !" 1r!a p"ana ,ostraa !n "a fi$ura? !t!r,in!@ a "os pri,!ros ,o,!ntos con r!sp!cto a "os !!s ; ;? ; - "a u-icación ! su c!ntroi!(
Componentes del área. !l área se obtiene con la suma de un rectángulo, un triángulo y un semic"rculo y despus se resta un c"rculo. 4tilizando los ejes coordenados mostrados, se determinan el área y las coordenadas del centroide para cada una de las áreas componentes y luego se introducen en la tabla que aparece en la parte inferior. !l área del c"rculo se indica como negativa puesto que debe restarse de las demás áreas. 9ótese que la coordenada y
del
centroide del triángulo es negativa para los ejes mostrados. +os primeros momentos de las áreas componentes con respecto a los ejes coordenados se calculan y se introducen en la tabla.
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a* &rimeros momentos del área. Con las ecuaciones (F*, se escribe
b* 4bicación del centroide. 0i se sustituyen los valores dados en la tabla, dentro de las ecuaciones que definen el centroide de un área compuesta se obtiene
EJERCICIO +( D!t!r,in! "a u-icación !" c!ntroi! !" arco ,ostrao(
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Como el arco es si mtrico con respecto al eje
y
B.
0e selecciona
un elemento diferencial, como se muestra en la figura, y se determina la longitud del arco por integración.
!l primer momento del arco con respecto al eje y es
EJERCICIO 0( Con "os t!or!,as ! Pappus<%u"inus? !t!r,in!@ a !" c!ntroi! ! un 1r!a s!,icircu"ar ; - !" c!ntroi! ! un arco s!,icircu"ar( '! !-! r!corar u! !" #o"u,!n ; !" 1r!a sup!rficia" ! una !sf!ra son? r!sp!cti#a,!nt!?
;
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!l volumen de una esfera es igual al producto del área de un semic"rculo y la distancia recorrida por el centroide del semic"rculo en una revolución alrededor del eje #.
$e la misma forma, el área superficial de una esfera es igual al producto de la longitud del semic"rculo generatriz por la distancia recorrida por su centroide en una revolución.
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EJERCICIO 2(D!t!r,in! "a u-icación !" c!ntro ! $ra#!a !" cu!rpo ! r!#o"ución o,o$n!o u! s! ,u!stra !n "a fi$ura? !" cua" s! o-tu#o a" unir una s!,i!sf!ra ; un ci"inro ; r!,o#i!no un cono(
$ebido a la simetr"a, el centro de gravedad se encuentra sobre el eje #, como se muestra en la figura que se presenta a continuación. !l cuerpo puede obtenerse sumándole una semiesfera a un cilindro y despus restándole un cono. !l volumen y la abscisa del centroide de cada una de estas componentes se obtienen a partir de la figura ) y se introduce en la tabla que aparece a continuación. !ntonces, se determinan el volumen total del cuerpo y el primer momento de dic'o volumen con respecto al plano yz.
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&or tanto,
CONCLU'IÓN !l centroide es un punto que define el centro geomtrico de un objeto. 0u localización puede determinarse a partir de fórmulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. !l centroide es utilizado en muc'as ramas de la matemática y la variación de n1meros en los que se pueden utilizar en muc'os casos !n geometr"a, el centroide o baricentro de un objeto G perteneciente a un espacio nAdimensional es la intersección de todos los 'iperplanos que 37
