Determinacion de Centroide Por Integracion

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

DETERMINACION DE CENTROIDE POR INTEGRACION 1. INTRODUCCION: Hasta ahora se ha supuesto que la atracción ejercida por la Tierra sobre un cuerpo rígido podría representarse por una sola fuerza W. Esta fuerza, denominada fuerza de gravedad o peso del cuerpo. De hecho, la Tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partículas que constituyen un cuerpo. En este sentido, la acción de la Tierra sobre un cuerpo rígido debe representarse por un gran número de fuerzas pequeñas puede ser reemplazada por una fuerza equivalente. 2. CENTRO DE GRAVEDAD: Un cuerpo está compuesto de un número infinito de partículas de tamaño diferencial, y por tal razón si el cuerpo se ubica dentro de un campo gravitatorio, entonces cada una de estas partículas tendrá un espesor de dW. Estos pesos formaran un sistema de fuerzas aproximadamente paralelas, y la fuerza resultante de este sistema es el peso total del cuerpo, la cual pasa a través de un solo punto llamado el centro de gravedad, G. Esto es cierto mientras se suponga que el campo de gravedad tiene la misma magnitud y dirección en todas partes. Ese supuesto es apropiado para la mayoría de las aplicaciones de ingeniería, ya que la gravedad no varía apreciablemente entre, por ejemplo la parte inferior y la parte superior de un edificio.

3. CENTRO DE MASA DE UN CUERPO: A fin de estudiar la respuesta dinámica o el movimiento acelerado de un cuerpo, resulta importante localizar el centro de masa del cuerpo Cm. Esta ubicación puede determinarse al sustituir dW=g dm.

ESTATICA



4. CENTROIDE DE UN VOLUMEN: Si el cuerpo está hecho de un material homogéneo, entonces su densidad ρ será constante. Por lo tanto, un elemento diferencial de volumen dV tiene una masa dm= ρ dV. Al sustituir esto en las ecuaciones y al cancelar ρ, obtenemos fórmulas que localicen el centro de C o centro geométrico del cuerpo Estas ecuaciones representan un equilibrio de lo momentos del volumen del cuerpo. Por tanto, si el volumen posee dos planos de simetría, entonces su centroide debe descansar a lo largo de la línea de intersección de estos dos planos

5. CENT ROID E DE

ESTATICA



UN AREA: Si un área se encuentra en el plano x-y y está delimitada por la curva y=f(x), entonces su centroide pertenecerá a este plano y podrá determinarse a partir de integrales similares Estas integrales pueden evaluarse mediante una integración simple si usamos una franja rectangular como elemento de área diferencial.

6. CENTROIDE DE UNA LINEA: Si un segmento de línea (o barra) pertenece al plano x-y y puede describirse mediante una curva delgada y=f(x). Aquí, la longitud del elemento diferencial está dado por el teorema de Pitágoras, dL=√

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dL=√

= (√

)dy

7. PU NT OS IMP OR TA

ESTATICA



NTES: El centro de representa el centro de gravedad de un cuerpo. Este punto coincide con el centro de masa o con el centro de gravedad solo si el material que compone el cuerpo es uniforme u homogéneo. Las formulas usadas para localizar el centro de gravedad o el centroide simplemente representan un balance entre la suma de momentos de todas las partes del sistema y el momento de la resultante para el sistema. En algunos casos, el centroide se ubica en un punto fuera del objeto, como en el caso de un anillo. Además, este punto se encontrara sobre cualquier eje de simetría del cuerpo. 8. PROCEDIMIENTO PARA EL ANALISIS: El centro de gravedad o centroide de u objeto o forma, se puede determinar mediante integraciones simples por el siguiente procedimiento. Elemento diferencial. Seleccione un sistema coordenado apropiado, especifique los ejes coordenados; y luego elija un elemento diferencial para la integración. Para líneas, el elemento se representa mediante un segmento diferencial de línea con longitud dL. Para áreas, por lo general el elemento es un rectángulo de área dA, con una longitud finita y ancho diferencial. Para volúmenes, el elemento puede ser un disco circular de volumen dV, con radio finito y espesor diferencial. Localice el elemento de manera que toque el punto arbitrario (x,y,z) sobre la curva que define la frontera de la forma. Tamaño y brazos de momento. Exprese la longitud dL, el área dA o el volumen dV del elemento en términos de las coordenadas que describen la curva. Exprese los brazos de momento x,y,z para el centroide o centro de gravedad del elemento en términos de las coordenadas que describen la curva. Integraciones. Sustituya las formulaciones para x,y,z y dL,dA o dV en las ecuaciones apropiadas Exprese la función en el integrando en términos de la misma variable aplicada al espesor del elemento. Los límites de la integral se definen a partir de las dos ubicaciones extremas del espesor diferencial del elemento, de manera que cuando los elementos se “suman” o la integración se realiza, toda la región que cubierta.

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Determinacion de Centroide Por Integracion

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