C e n t r o d e M a s a y C e n t r o i d e – M o m e n t o Inercia
INDICE Pág. Introducción ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 -----2 1.-Centro de Masa y Centroide -----------------------------------------------------------------------------3,4 1
1.1.-Centro de Masa ------------------------------------------------------------------------------------------4.5 1.2.- Centro de Gravedad ----------------------------------------------------------------------------------5, 6 1.3.- Centroide ---------------------------------------------------------------------------------------------------6 1.4.- Centroide de áreas Comunes -------------------------------------------------------------------------7 1.5.- Centroide de áreas compuestas----------------------------------------------------------------------8 2. Momento de Inercia -------------------------------------------------------------------------------------8, 9 2.1 Momento de Inercia de áreas comunes ------------------------------------------------------------9 2.2 Momento de Inercia de áreas compuestas -------------------------------------------------------10 2.3 Teorema de los Ejes Paralelos-----------------------------------------------------------------------11 Conclusión ----------------------------------------------------------------------------------------------------12 Bibliografía ---------------------------------------------------------------------------------------------------13
INTRODUCCION
Hasta ahora hemos tratado con fuerzas concentradas representadas por un vector con su módulo, una recta soporte, un sentido y en ocasiones, un punto de aplicación. Pero en muchos casos, las cargas no están concentradas en un punto sino que están distribuidas a lo 2
largo de una línea o sobre una superficie. Son cargas cuya distribución puede ser uniforme o no. La fuerza distribuida está caracterizada por su intensidad y por su dirección y sentido. Cuando las zonas a las que se aplican las cargas son considerables frente al tamaño del cuerpo, ya no es válida la hipótesis de fuerza concentrada.
En el análisis de muchos problemas de ingeniería aparecen expresiones que representan momentos de masas, fuerzas, volúmenes, superficies o líneas respecto a ejes o planos. Ejemplo: Momento de una superficie A (contenida en el plano xy) respecto al eje y.
El momento de inercia es una propiedad geométrica de una superficie o área que representa la distancia de un área con respecto a un eje dado. Se define como la suma de los productos de todas las áreas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias a un eje. Tiene unidades de longitud elevada a la cuatro (longitud4).
Es importante para el análisis de vigas y columnas, porque el diseño del tamaño de estos elementos está relacionado con el momento de inercia, ya que el momento de inercia I define la forma apropiada que debe la sección del elemento estructural.
El centroide representa el punto donde se ubica la resultante del peso de un objeto, además esta posición representa un movimiento simple de un objeto al contrario si se analiza el objeto completo donde cada punto presenta un movimiento más complejo. El centroide es proporcional a la ubicación del área asociada. Por otra parte, tenemos una medida denominada momento de inercia que no depende solamente de la ubicación del área sino de la distancia hasta un eje dado.
1.Centroide y centro d e masa: El Centroide de un cuerpo material coincide con el centro de masa si el objeto es homogéneo (densidad uniforme) o cuando la distribución de materia en el sistema es simétrico 1.1Centro de m asa
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La densidad
o masa por unidad e volumen, se relaciona con
mediante la ecuación
donde g es la aceleración de la gravedad. Al sustituir esta relación en las ecuaciones (4) se obtendrán ecuaciones similares (reemplazando por) que podrán usarse para determinar el centro de masa del cuerpo.
1.2Centro d e gravedad
Cuando los principios para determinar las ecuaciones xxx se aplican a un sistema de partículas que componen un cuerpo rígido, se obtiene la misma forma que estas ecuaciones, salvo que cada partícula localizada en (x,y,z)) se considera de un peso diferencial dW. En consecuencia, se requiere integración en vez de suma discreta de los términos. Las ecuaciones que resultan son
Para usar apropiadamente estas ecuaciones, el peso diferencial dW debe expresarse en términos representa el peso específico del cuerpo, medido como peso por unidad de volumen, entonces dW=
dV, por tanto,
Entonces, por comparación, la localización del centro de gravedad coincide con la del centro de masa. Recuerde, sin embargo, que las partículas tienen “peso” só lo cuando se encuentran bajo la influencia de una atracción gravitacional, en tanto que el centro de masa es independiente de la gravedad.
1.3Centroide
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El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de fórmulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. Se consideran tres casos específicos.
VOLUMEN: Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las fórmulas que resultan son:
AREA: De manera semejante, el centroide para el área superficial de un boleto, como una placa o un casco puede encontrase subdividiendo el área en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de aérea en torno a los ejes de coordenadas a saber.
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LINEA: Si la geometría del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma de una línea, la manera de encontrar su centroide es el siguiente:
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1.4Centro ide d e áreas c om un es
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1.5Centroid e de Áreas Comp uestas
Si puede dividirse una línea, superficie o volumen en partes cuyos respectivos centroides tengan posiciones conocidas, se podrá determinar sin integración el momento de la línea, superficie o volumen total obteniendo la suma algebraica de los primeros momentos (producto de la longitud, área o volumen por la distancia del centroide al eje o plano) de las partes en que se haya dividido la línea, superficie o volumen. Ejemplo: Si tenemos una superficie compuesta por la superficies A 1, A2 , …, An y las coordenadas de los centroide de las respectivas partes son tendremos:
Si se considera un agujero como parte integrante de un cuerpo compuesto, su área se considerará magnitud negativa. Se pueden desarrollar ecuaciones análogas para L, V, m y W. M y ( A1 A2 .. . An ) x A1 x1 A2 x2 .. . An xn n
M y A x Ai xi
o sea
x
i 1
M y A
1 A
n
Ai xi i 1
análogamente n
M x A y Ai yi i 1
o sea
y
M x A
1 A
n
Ai yi i 1
2. MOMENTO DE INERCIA:
El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.
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El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular.
Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es: Donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación. Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como
Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:
El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: tiene como equivalente para la rotación:
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Donde: -
es el momento aplicado al cuerpo. es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación es la aceleración angular.
2.3Mom ento Inercia d e áreas c om pu estas Como el momento de inercia es aditivo el cálculo de un momento de inercia de un cuerpo compuesto se puede tomar como la suma de los momentos de inercia de sus partes. También si tenemos un cuerpo formado por
uno más sencillo al que ``le falta un trozo''
podemos calcular su momento como la suma del cuerpo sencillo menos el trozo que le falta. Muchas veces hay que calcular el momento de inercia de piezas, formadas a su vez por diferentes figuras. Se calcular el momento de inercia del conjunto como la suma de los momentos de inercia. En los cálculos hay generalmente que aplicar una serie de Teoremas, p.e, ejes perpendiculares o Steiner.
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2.4 TEOREMA DE L OS EJES PARAL ELOS:
Si se conoce el momento de inercia de un área alrededor de un eje que pasa por su centroide, conviene determinar el momento d inercia del área en torno al eje correspondiente paralelo usando el teorema de los ejes paralelos.
La integral AYdAy=∫1, representa el primer momento del área con respecto al eje C. Si el centroide del área se localiza en el Eje C, dicha integral será nula.
La integral, representa el área total. ∫=AdA La integral, define el momento de inercia de un área con respecto del eje C, finalmente el
segundo momento del área total se consigue mediante: ∫dAy21AdIIA2+= El momento de inercia I de un área con respecto a cualquier eje A, IA, es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo centroidal más el producto del área multiplicada por el cuadrado de la distancia (d) entre los dos ejes. Dicho en otras palabras la distancia d es la distancia existente entre el eje centroidal (Eje C) hasta el eje donde se desea calcular el momento de inercia (Eje A). LOS EJES A Y C DEBEN SER PARALELOS (Eje A // Eje C) LIMITANTE: el teorema de Steiner sólo se puede aplicar si uno de los dos ejes paralelos pasa a través del centroide del área.
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CONCLUSIÓN En conclusión podemos decir que el momento de inercia MOI , es similar a la inercia, excepto en que se aplica a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en línea recta a la misma velocidad. La inercia puede pensarse como una nueva definición de la masa. El momento de inercia es, entonces, masa rotacional. Al contrario que la inercia, el MOI también depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanto más lejos está la masa del centro de rotación, mayor es el momento de inercia. Se necesitan tres ejes de referencia para definir el centro de gravedad, pero sólo se necesita un eje para definir el momento de inercia. Aunque cualquier eje puede ser de referencia, es deseable seleccionar los ejes de rotación del objeto como referencia. Si el objeto está montado sobre soportes, el eje está definido por la línea central de los soportes. Si el objeto vuela en el espacio, entonces este eje es un "eje principal" (ejes que pasan por el Cg y están orientado de forma que el producto de inercia alrededor de ese eje es cero). Si el eje de referencia se va a utilizar para calcular el momento de inercia de la forma compleja, se debe elegir un eje de simetría para simplificar el cálculo. Este eje puede ser trasladado, más tarde, a otro eje si se desea, utilizando las reglas descritas en el apartado.
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BIBLIOGRAFIA
Centroide-vigas/centroide-vigas. http://www.monografias.com 27/05/2013
Mecánica Aplicada http://webdelprofesor.ula.ve28/05/2013
Libro de Inercias http://www.rmee.upc.e28/5/2013
Introducción Centroide http://www.dcb.unam.mx/ 28/05/2013
Ferdinand P. Beer ■ E. Russell Johnston, Jr. ■ Eliiot R. Eisenberg MECANICA VECTORIAL .para INGENIEROS Estática. 8ta Edición
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