CENTROIDE MONOGRAFIA

UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO FACULTAD: FACULT AD: CIENCIAS AGRARIAS

RESUMEN

Habitualmente el !ne"t! #e ent$! #e %$a&e#a# 'e int$!#ue #e una (!$ma te)$ te)$i ia a en la' la' la' la'e' e' #e (*'i (*'ia a + , 'e #emu #emue' e't$ t$an an #i&e #i&e$' $'a' a' $ela $elai i!n !ne' e' matem-tia' "a$a #ete$mina$ el ent$! #e %$a&e#a# #e 'i'tema' ! ue$"!' !n (!$ma' %e!m.t$ia' 'enilla'/ Sin emba$%!0 en una la'e #e (*'ia a"lia#a a la In%/ A%$*!la 'e$- mu, in't$uti&!0 en u,! a'! l!' -lul!' te)$i!' '!n #ema'ia #ema'ia#! #! !m"le !m"le1!' 1!' "a$a "a$a un u$'! u$'! b-'i! b-'i!// De'$i De'$ibim bim!' !' a2u* un 'enil 'enill! l! t$aba1! m!n!%$-(i!/

a.

OBJETIVOS: a.1. Objetiv ivo o Ge General: a.1.1. E' !n!e$ ba'tante #e e'te tema "a$a "!#e$ a"lia$l! en la !ti#iana/ a. a.2. 2. Obj Objetiv etivos os Esp Espe e!!"io "ios: s: a.2.1. E'tu#ia$ el !ne"t! #e %$a&e#a#0 ent$! #e ma'a , ent$!i#e'/

CURSO: FISICA I

UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO FACULTAD: FACULT AD: CIENCIAS AGRARIAS

Dete$mina$ la ubiai)n #el ent$! #e %$a&e#a# %$a&e#a# , ent$!i#e "a$a a.2.2. Dete$mina$ un 'i't 'i'tem ema a #e "a$t "a$t* *ul ula' a' #i' #i'$e $eta ta'' , un ue$ ue$"! "! #e (!$m (!$ma a a$bit$a$ia/ a.2.#. Dete$mina$ ent$!i#e' "a$a -$ea' "lana' 'im"le' , "a$a -$ea' "lana' !m"ue'ta'/ a.2.$. U'a$ l!' te!$ema' #e 3a""u' Gul#inu' "a$a en!nt$a$ el -$ea #e una 'u"e$(iie #e $e&!lui)n ! el &!lumen #e un ue$"! en $e&!lui)n/

INTRO%U&&ION: El ent$! #e %$a&e#a# #e un !b1et! e' el "unt! ubia#! en la "!'ii)n "$!me#i! #el "e'! #el !b1et!/ En el a'! #e un !b1et! 'im.t$i!0 e'te "unt! 'e enuent$a en el ent$! %e!m.t$i!/ 3e$! un !b1et! i$$e%ula$0 !m! un bate #e b.i'b!l0 tiene m-' "e'! en un! #e 'u' e4t$em!' , el ent$! #e %$a&e#a# e't- a$%a#! 5aia #i5! e4t$em!/ El ent$! #e %$a&e#a# 'e llama tambi.n ent$! #e ma'a0 2ue e' la "!'ii)n "$!me#i! #e t!#a' la' "a$t*ula' #e ma'a 2ue (!$man el !b1et!/ E't!' t.$m t.$min in!' !' '!n '!n e2ui& e2ui&al alen ente te'' "a$a "a$a a'i a'i t!#! t!#!'' l!' l!' !b1e !b1et! t!'' 2ue 2ue e't-n e't-n '!b$e '!b$e la CURSO: FISICA I

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'u"e$(iie te$$e't$e ! 'u' e$an*a'/ Se #en!mina 6"!'ii)n #e "e'! "!n#e$a#!6 ! ent$!i#e a la "!'ii)n "$!me#i! #e ual2uie$ !n1unt! #e anti#a#e' a la' 2ue "!#am!' a'!ia$ "!'ii!ne'/ En e'te tema lle%a$em!' a"$en#e$ !m! #ete$mina$ el ent$! #e %$a&e#a#0 e't! e'0 el "unt! #e a"liai)n #e la $e'ultante 70 "a$a ue$"!' #e &a$ia' (!$ma'/ A 'u &e8 'e inlu,en un !ne"t! 2ue e't- mu, $elai!na#! !n la #ete$minai)n #el ent$! #e %$a&e#a# #e una "laa ! alamb$e !m! l! e' el ent$!i#e #e un -$ea ! #e una l*nea0 , 'e utili8a$a el te!$ema #e 3a""u' Gul#inu' "a$a #ete$mina$ el -$ea ! &!lumen #e un ue$"! en $e&!lui)n/

b.

M'R&O TEORI&O:

2. &ENTRO %E GR'VE%'%

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E' el "unt! #!n#e 'e !n'i#e$a a"lia#! el "e'!/ Debi#! a 2ue un ue$"! e' una #i't$ibui)n !ntinua #e ma'a0 en a#a una #e 'u' "a$te' at9a la (ue$8a #e %$a&e#a#/ El ent$! #e %$a&e#a# ! ent$!i#e e' la "!'ii)n #!n#e 'e "ue#e !n'i#e$a$ atuan#! la (ue$8a #e %$a&e#a# neta0 e' el "unt! ubia#! en la "!'ii)n "$!me#i! #!n#e 'e !nent$a el "e'! t!tal #el ue$"!/ 3a$a un !b1et! 'im.t$i! 5!m!%.ne!0 el ent$! #e %$a&e#a# 'e enuent$a en el ent$! %e!m.t$i!0 "e$! n! "a$a un !b1et! i$$e%ula$/ 3!$ e1em"l!0 'i !n'i#e$am!' #!' "unt!' mate$iale' A , 0 u,a' ma'a' $e'"eti&a' &al%an m+ , m;< a#em-' l!' 'u"!nem!' $*%i#amente uni#!' "!$ una &a$illa #e ma'a #e'"$eiable0 a (in #e "!#e$ !n'i#e$a$l!' !m! (!$man#! "a$te

C.G.

#e un ue$"! ')li#!/ La %$a&e#a# e1e$e '!b$e #i5!' "unt!' 'en#a' (ue$8a' "a$alela' m+% , m;% 2ue a#miten una $e'ultante u,! "unt! #e a"liai)n $eibe m2

el n!mb$e #e ent$! #e %$a&e#a# ! ent$!i#e/ m1

F1

F2

En !t$a' "alab$a'0 el ent$! #e %$a&e#a# #e un ue$"! e' el "unt! #e a"liai)n #e la $e'ultante #e t!#a' la' (ue$8a' 2ue la %$a&e#a# e1e$e '!b$e l!' #i(e$ente' "unt!' mate$iale' 2ue !n'titu,en el ue$"!/ Un !b1et! e't- en e2uilib$i! e'table mient$a' 'u ent$! #e %$a&e#a# 2ue#e a$$iba , #ent$! #e 'u ba'e !$i%inal #e a"!,!/ Cuan#! .'te e' el a'!0 'iem"$e 5ab$- un t!$2ue #e $e'tau$ai)n/ N! !b'tante0 uan#! el ent$! #e %$a&e#a# ae (ue$a #el ent$! #e a"!,!0 el t!$2ue #e

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$e'tau$ai)n "a'a '!b$e el ue$"!0 #ebi#! a un t!$2ue %$a&itai!nal 2ue l! 5ae $!ta$ (ue$a #e 'u "!'ii)n #e e2uilib$i!/ L!' ue$"!' $*%i#!' !n ba'e' am"lia' , ent$!' #e %$a&e#a# ba1!' '!n0 "!$ !n'i%uiente0 m-' e'table' , men!' "$!"en'!' a &!ltea$'e/ E'ta $elai)n e' e&i#ente en el #i'e=! #e l!' aut!m)&ile' #e a$$e$a #e alta &el!i#a#0 2ue tienen neum-ti!' an5!' , ent$!' #e %$a&e#a# e$an!' al 'uel!/ Tambi.n la "!'ii)n #el ent$! #e %$a&e#a# #el ue$"! 5uman! tiene e(et!' '!b$e ie$ta' a"ai#a#e' (*'ia'/ 3!$ e1em"l!0 la' mu1e$e' 'uelen #!bla$'e , t!a$ l!' #e#!' #e 'u' "ie' ! el 'uel! !n la' "alma' #e 'u' man!'0 !n m-' (aili#a# 2ue l!' &a$!ne'0 2uiene' !n ($euenia 'e aen al t$ata$ #e 5ae$l!< en %ene$al0 L!' &a$!ne' tienen ent$!' #e %$a&e#a# m-' alt!' >5!mb$!' m-' an5!'? 2ue la' mu1e$e' >"el&i' %$an#e?0 #e m!#! 2ue e' m-' (-il 2ue el ent$! #e %$a&e#a# #e un &a$)n 2ue#e (ue$a #e 'u ba'e #e a"!,! uan#! 'e (le4i!na 5aia el ($ente/

El ent$! #e %$a&e#a# #e un ue$"! @ &iene #a#! "!$ el 9ni! &et!$ 2ue um"le 2ue:

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3a$a un am"! %$a&itat!$i! uni(!$me0 e' #ei$0 un! en 2ue el &et!$ #e am"! %$a&itat!$i!

e' el mi'm! en t!#!' l!' "unt!'0 la #e(inii)n ante$i!$ 'e $e#ue a

una e2ui&alente a la #e(inii)n #el ent$! #e ma'a'/

3a$a el am"! %$a&itat!$i! $ea#! "!$ un ue$"! m-'i! u,a #i'tania al !b1et! !n'i#e$a#! 'ea mu, %$an#e !m"a$a#! !n la' #imen'i!ne' #el ue$"! m-'i! , #el "$!"i! !b1et!0 el ent$! #e %$a&e#a# #el !b1et! &ienen #a#! "!$:

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2.1. &entro (e )rave(a( para *n siste+a (e part!*las: •

E' el "unt! #!n#e 'e ubia el "e'! $e'ultante #e un 'i'tema #e "a$t*ula'/

La' "a$t*ula' '!l! ten#$-n "e'! ba1! la in(luenia #e una at$ai)n %$a&itat!$ia/ •

El "e'! $e'ultante #e un 'i'tema 'e$- i%ual al "e'! t!tal #e la 'uma #e la' "a$t*ula'/

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F!$mula %ene$al 'i la %$a&e#a# >%? e' !n'tante/

D!n#e: m: ma'a #e la "a$t*ula/  !!$#ena#a' #e a#a "a$tiula/ B7 e' la 'uma $e'ulatante #e l!' "e'!' #e t!#a' la' "a$tiula' "$e'ente' en el 'i'tema >7imi%?/ Me#iante e'te lle%am!' a una !nlu'i!n 2ue l!' "e'!' n! "$!#ui$an m!ment!' $e'"et! al e1e Y0 'i 'e 5ae !in'i#i$ la #i$ei!n #e l!' "e'!' !n el e1e Y/

2.1.&entro (e )rave(a(: Un ue$"! $i%i#! e'ta !m"ue't! #e un nume$! in(init! #e "a$tiula'0 , 'i l!' "$in'i"i!' u'a#!' "a$a #ete$mina$ la' euai!ne' #el ent$! #e %$ae#a# "a$a un 'i'tema #e "a$tiula' #i'$eta' '!n a"lia#!' al 'i'tema #e "a$tiula' 2ue !m"!nen un ue$"! $i%i#!0 $e'ulta nee'a$i! u'a$ inte%$ai!n en &e8 #e una 'uma #i'$eta #e te$min!'/ C!ni#e$an#! la "a$tiula a$bit$a$ia ubia#a en >40,08? , !n un "e'! #i(e$enial #70 la' euai!ne' $e'ultante' '!n:

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3a$a a"lia$ e'ta' euai!ne' a"$!"ia#amente0 el "e'! #i(e$enial #7 #ebe 'e$ e4"$e'a#! en te$min!' #e 'u &!lumen a'!ia#! #V/ Si ɤ $e"$e'enta el "e'! e'"ei(i! #el ue$"!0 me#i#! !m! un "e'!"!$ &!lumen

unita$i!0 ent!ne' #7 ɤ#V0 , "!$ tant!/

A2u* la inte%$ai)n #ebe 'e$ e(etua#a a t!#! el &!lumen #el ue$"!/

#. &ENTRO %E M'S'S: El ent$! #e ma'a' #e un 'i'tema #i'$et! ! !ntinu! e' el "unt! %e!m.t$i! 2ue #in-miamente 'e !m"!$ta !m! 'i en .l e'tu&ie$a a"lia#a la $e'ultante #e la' (ue$8a' e4te$na' al 'i'tema/ De mane$a an-l!%a0 'e "ue#e #ei$ 2ue el 'i'tema

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(!$ma#! "!$ t!#a la ma'a !nent$a#a en el ent$! #e ma'a' e' un 'i'tema e2ui&alente al !$i%inal/ En un t$atamient! #e 'i'tema' #e ma'a' "untuale' el ent$! #e ma'a' e' el "unt! #!n#e0 a e(et!' ine$iale'0 'e 'u"!ne !nent$a#a t!#a la ma'a #el 'i'tema/ El !ne"t! 'e utili8a "a$a an-li'i' (*'i!' en l!' 2ue n! e' in#i'"en'able !n'i#e$a$ la #i't$ibui)n #e ma'a/ 3!$ e1em"l!0 en la' )$bita' #e l!' "laneta'/ En la F*'ia0 el ent$!i#e0 el ent$! #e %$a&e#a# , el ent$! #e ma'a' "ue#en0 ba1! ie$ta' i$un'tania'0 ! !ini#i$ ent$e '*/ En e't!' a'!' 'e 'uele utili8a$ l!' t.$min!' #e mane$a inte$ambiable0 aun2ue #e'i%nan !ne"t!' #i(e$ente'/ El ent$!i#e e' un !ne"t! "u$amente %e!m.t$i! 2ue #e"en#e #e la (!$ma #el 'i'tema< el ent$! #e ma'a' #e"en#e #e la #i't$ibui)n #e mate$ia0 mient$a' 2ue el ent$! #e %$a&e#a# #e"en#e tambi.n #el am"! %$a&itat!$i!/

#.1. &entro (e +asas para *n siste+a (e part!*las. E' una me#i#a 2ue #e"en#e #e la ma'a in#i&i#ual , #e la' "!'ii!ne' #e la' "a$t*ula' 2ue l! !m"!nen/ El ent$! #e ma'a' n! tiene "!$2ue !ini#i$ !n nin%una #e la' "a$t*ula' #el 'i'tema/ Tambi.n "a$a un 'i'tema #i'$et! 'e &a a !n'i#e$a$ !m! un "unt! %e!m.t$i!/ C!!$#ena#a' #el ent$! #e ma'a/

La ubiai)n #el ent$! #e ma'a !ini#e !n la #el ent$! #e %$a&e#a# "e$! n! 5a, 2ue !l&i#a$ 2ue la' "a$t*ula' tienen "e'! '!l! ba1a la in(luenia #e una CURSO: FISICA I


at$ai)n %$a&itat!$ia0 mient$a' 2ue el ent$! #e ma'a e' in#e"en#iente #e la %$a&e#a#/

#.2.&entro (e +asas.

La #en'i#a#ρ0 ! ma'a "!$ &!lumen unita$i!0 e't- $elai!na#a me#iante la euai)n ɤρ% D!n#e: %e' la aele$ai)n #ebi#! a la %$a&e#a#/ Su'titu,en#! e'ta $elai)n en la' euai!ne' #el ent$! #e %$a&e#a# , anelan#! % en l!' nume$a#!$e' , #en!mina#!$e'0 'e !btienen euai!ne' 'imila$e' >!n ρ $eem"la8an#! a ɤ? 2ue 'e "ue#en u'a$ "a$a #ete$mina$ el ent$! #e ma'a #el ue$"!/

•

%istrib*i,n e +asa -o+o)nea: Si la ma'a e'ta #i't$ibui#a 5!m!%.neamente0 la #en'i#a# 'e$- !n'tante "!$ l! 2ue 'e "ue#e 'aa$ (ue$a #e la inte%$al 5aien#! u'! #e la $elai)n/ %istrib*i,n (e +asa no -o+o)nea: L!' ent$!' #e ma'a' en ue$"!' #e #en'i#a# &a$iable "ue#en alula$'e 'i 'e !n!e la (uni)n #e #en'i#a#/

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$. &ENTROI%E: • •

•

El ent$!i#e e' un "unt! 2ue #e(ine el ent$! %e!m.t$i! #e un !b1et!/ Su ubiai)n "ue#e 'e$ #ete$mina#a a "a$ti$ #e ()$mula' 'imila$e' a la' u'a#a' "a$a en!nt$a$ el ent$! #e %$a&e#a# #el ue$"! ! ent$! #e ma'a/ En "a$tiula$0 'i el mate$ial 2ue !m"!ne un ue$"! e' uni(!$me u 5!m!%.ne!0 la #en'i#a# ! "e'! e'"e*(i! 'e$- !n'tante en t!#! el ue$"!0 , "!$ tant!0 e'te t.$min! 'al#$- #e la' inte%$ale' , 'e anela$a a "a$ti$ #e l!' nume$a#!$e' , #en!mina#!$e' #e la' euai!ne'/ La' (!$mula' $e'ultante' #e(inen el ent$!i#e #el ue$"! ,a 2ue '!n in#e"en#iente' #el "e'! #el ue$"! , #e"en#en '!l! #e la %e!met$*a #e e'te/ $.1. &entroi(e (el vol*+en: Si un !b1et! e' 'ub#i&i#i#! en element!' #e &!lumen #V0 ubiai)n #el ent$!i#e C>40,08? "a$a el &!lumen #el !b1et! "ue#e 'e$ #ete$mina#a alulan#! l!' m!ment!' #e l!' element!' !n $e'"et! a a#a un! #e l!' e1e' !!$#ena#!'/

La' (!$mula' 'i%uiente' '!n:

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4.2. Centroide del área: Es la superfcial de un objeto, tal como una placa o un disco, se puede encontrar subdividiendo el área en elementos dA y calculando los momentos de esos elementos de área con respecto a cada uno de los ejes coordenados.

$.#. &entroi(e (e *na l!nea: Si la 'imet$*a #el #el !b1et!0 tal !m! la #e una ba$$a #el%a#a ! la #e un alamb$e0 t!ma la (!$ma #e una l*nea0 el e2uilib$i! #e l!' m!ment!' #e l!' element!' #i(e$eniale' #L0 !n $e'"et! a a#a un! #e l!' e1e' !!$#ena#!' $e'ulta/ CURSO: FISICA I


$.$. Si+etr!a: En l!' a'!' #!n#e la (!$ma ten%a un e1e #e 'imet$*a0 el ent$!i#e #e la (!$ma 'e en!nt$a$a a l! la$%! #e e'e e1e/ E1em"l!:

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En l!' a'!' #!n#e una (!$ma ten%a #!' ! t$e' e1e' #e 'imet$*a0 'e in(ie$e 2ue el ent$!i#e 'e enuent$a en la inte$'ei)n #e e'! e1e'/ E1em"l!:

/. &ENTROI%E 0'R' 'RE'S 0'N'S &OM0UEST'S: C!n'i'ten en una 'e$ie #e ue$"!' m-' 'im"le 2ue "ue#en 'e$ $etan%ula$e'0 t$ian%ula$e' ! 'emii$ula$e' , 2ue e't-n !neta#!' ent$e 'i/ Di5!' ue$"!' "ue#en 'e$ 'ei!na#!' en 'u' "a$te' !m"!nente'/ 3a$a un n9me$! (init! #e "e'!' tenem!'/ E1em"l!:

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Su ()$mula:

. TEOREM' %E 0'00US3GU%INOS: L!' ; te!$ema' #e 3a""u'Gul#in!' 'e u'an "a$a en!nt$a$ el 4rea s*per"iial ,

el vol*+en #e ual2uie$ !b1et! #e $e&!lui)n/ Una -$ea 'u"e$(iial #e $e&!lui)n e' %ene$a#a al %i$a$ una u$&a "lana al$e#e#!$ #e un e1e (i1!0 en ambi! el &!lumen #e $e&!lui)n e' %ene$a#! al %i$a$ una -$ea "lana al$e#e#!$ #e un e1e (i1!/ Se "$!"!$i!na la' "$ueba' e l!' te!$ema' , e'ta' $e2uie$en 2ue la' u$&a' , -$ea' %ene$at$ie' n! $uen el e1e al$e#e#!$ #el ual %i$a/

.1. Teore+a I: 4rea (e *na s*per"iie (e revol*i,n.

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El -$ea #e una 'u"e$(iie #e $e&!lui)n e' i%ual a la l!n%itu# #e la u$&a %ene$at$i8 multi"lia#a "!$ la #i'tania $e!$$i#a "!$ el ent$!i#e #e #i5a u$&a el m!ment! #e %ene$a$ la 'u"e$(iie/

%e(*ien(o (e la "or+*la. E'"e'am!' "!$ #L 2ue e' un t$!8! m*nim! #e l!n%itu# #e la 'u"e$(iie0 a e'e t$!8! le #am!' una &uelta #e l!n%itu# ;!$ la ual "!#em!' t!ma$ !m! un anill!0 la &uelta 2ue #i! e'a l!n%itu# %ene$! un 4rea5 ('6 ('5( 72ᴫr8. E'ta ()$mula e' '!l! una "a$te #el -$ea #e la 'u"e$(iie , nee'itam!' el -$ea t!tal #e la 'u"e$(iie0 "a$a e't! tenem!' 2ue 'uma$ t!#!' l!' t$!8!' #e la 'u"e$(iie ! anill!' 2ue tiene la 'u"e$(iie0 l! ual &iene 'ien#! la inte%$al/ A=2ᴫᶋ

rdL

Y "!$ la euai)n #el ent$!i#e e't! 'e t$an'(!$ma 2ue#an#!: ∫rdL=ṝL

Lle%an#! a la (!$mula 'i%uiente:

'52ᴫṝ De (!$ma %ene$al "a$a ual2uie$ an%ul! #e $!tai)n0 e4"$e'a#! en $a#iane'0 el -$ea #e una 'u"e$(iie en $e&!lui)n e':

'5ѳṝ

CURSO: FISICA I


A'u"e$(iie #e $e&!lui)n/ "-n%ul! #e $e&!lui)n/ #ent$!i#e #e la u$&a %ene$at$i8/

Ll!n%itu# #e la u$&a %ene$at$i8/

.2. Teore+a II: el vol*+en.

/

V&!lumen #e $e&!lui)n/ "-n%ul! #e $e&!lui)n/ #ent$!i#e/

A-$ea %ene$at$i8/

CURSO: FISICA I


El &!lumen #e un ue$"! #e $e&!lui)n e' i%ual al "$!#ut! #el -$ea %ene$at$i8 >A? "!$ la #i'tania $e!$$i#a "!$ el ent$!i#e #el -$ea >L $$?/

V5 2ᴫ9r(' D!n#e el ent$!i#e e'ta #a#! "!$ la euai)n/

9r('5ṝ' Su'titu,en#! 'e !btiene 2ue el &!lumen: V;!#A

(V52ᴫr(' 3!$ l! tant! la (!$mula %ene$al 'e$-/ V$#A

VOUMEN %E ORM'S &OM0UEST'S: Tambi.n "!#em!' a"lia$ l!' ; te!$ema' ante$i!$e' a l*nea' ! -$ea' 2ue "ue#en e'ta$ !m"ue'ta' "!$ una 'e$ie #e "a$te' !m"!nente'/ En e'te a'!0 el -$ea 'u"e$(iial ! &!lumen %ene$a#! t!tal e' la 'uma #e la' -$ea' 'u"e$(iiale' ! &!l9mene' %ene$a#!' "!$ a#a una #e la' "a$te'/

'5ѳ; 7ṝ8 V5ѳ; 7ṝ'8

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&. &ON&USION. Lle%am!' !nlui$ e'te "$e'ente t$aba1! m!n!%$-(i! me#iante el ual "a$a "!#e$ a"lia$ m-' a#elante0 e' un tema 2ue e' mu, im"!$tante 2ue tenem!' 2ue #!mina$/



%.BIBIOGR'<'.

http://www.ing.ula.ve/~rubio/centroide01.htm Información recuperada el día 08 de octubre del 201

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