Centroide de Figuras Compuestas

CENTROIDE DE UN AREA Y DE VOLUMENES COMPUESTOS CUERPO COMPUESTO: Un cuerpo compuesto consiste en una serie de cuerpos de forma sencilla y que están conectados. Estos cuerpos sencillos pueden ser rectangulares, triangulares, semicirculares, etc. Los cuerpos compuestos pueden descomponerse en sus partes y analizar cada parte por separado.

 Método para hallar el centroide de un área

compuesta Pasos a seguir para el cálculo del centroide de un área compuesta 1. Se divide el objeto o cuerpo en un número finito de partes componentes que tengan

formas más sencillas. Si una parte componente tiene un agujero, o una región geométrica donde no exista material, ésta se toma como una componente adicional pero con signo negativo.

2. Se determina las coordenadas del centroide de cada parte.

3. Se calcula las coordenadas del centroide del objeto o cuerpo, utilizando las siguientes ecuaciones:

En líneas:

 =  ∑∑ ;  = ∑∑ ;  = ∑∑̃ En áreas:

 ∑   ∑̃     = ∑∑   ;   ;  = ∑   = ∑ 

En volúmenes:

 ∑ ∑ ∑  = ∑ ;  = ∑ ;  = ∑̃

4. Se debe señalar que si un área o una línea poseen dos ejes de simetría, su centroide

debe estar localizado en la intersección de esos dos ejes. Esta propiedad permite determinar de inmediato el centroide de áreas como círculos, elipses, cuadrados, rectángulos, triángulos equiláteros u otras figuras simétricas.

 Momento de primer orden El primer momento de área (también momento estático o de primer orden) es una magnitud geométrica que se define para un área plana. Normalmente aparece en el contexto del cálculo de vigas en ingeniería estructural, en particular la tensión cortante media dada por la fórmula de Collignon, que es proporcional al primer momento de área de una subsección de la sección transversal de la viga. El primer momento de área coincide con el producto del área total multiplicado por la distancia entre el punto considerado al centroide el área.

EJEMPLO 1: Localice el centroide (̅ , ) del área de la sección transversal del canal. (Centroide de un Área Compuesta)



La placa será dividida en tres segmentos como se muestra en la figura a continuación.



Con los datos de la figura anterior, los cálculos se desarrollan de la siguiente manera:

̅ =

 ∑̃   0.5(241) + 5.5(91) + 5.5 91 111 = = = 2.64  ∑  241 + 91 + 91 42

 =

 ∑̃   12(241) + 23.5(91) + 0.5 91 504 = = = 2.64  ∑  241 + 91 + 91 42

EJEMPLO 2 : Para la siguiente placa localizar el centroide y los primeros momentos con respecto a los ejes X y Y.

Análisis: 

Dividir el cuerpo en un número finito de partes que tengan una forma más simple.



Los huecos se tratan como una parte con peso o tamaño negativo.



Establecer el centroide de cada parte.

Determinar el centroide aplicando las ecuaciones dadas. Desarrollo: Dividimos la placa en tres áreas simples: un triángulo, y dos rectángulos. El área del rectángulo pequeño se puede considerar negativa. 

Área 1 2 3 Total  x



A(m2)

x(m)

y(m)

xA(m3)

yA(m3)

4.5

1

1

4.5

4.5

9

-1.5

1.5

-13.5

13.5

-2

-2.5

2

5

-4

-4

14

11.5

 xA  4  0.348m  y   yA  14  1.217m  A 11.5  A 11.5

  = ∑A = -4 m3   = ∑A = 14 m3