El Centroide por Integración Para calcular el centroide de una figura empleando la técnica de integración, es necesario que la forma de la misma pueda ser representada mediante una función matemática. Es precisamente la mayor desventaja de esta técnica, debido a que no siempre es posible determinar una función para definir la forma de una figura de un cuerpo real. Matemáticamente, las funciones son arreglos de coordenadas que están relacionadas mediante una expresión, la cual es denominada función matemática. matemática. Para la mayoría de las figuras que se muestran en la tabla 1, estas funciones son polinomios. Aún cuando, pueden definirse otro tipo de funciones tales como las trigonométricas, sin embargo, estas son muy escasas encontrarlas en cuerpos naturales. Las funciones mas empleadas son aquellas que definen líneas rectas de pendiente cero, pendiente positiva, pendiente negativa, parábolas cuadráticas, cúbicas, etc. Generalmente, estas funciones son de tipo geométricas. esto facilita los cálculos, debido a que las integrales que resultan de su análisis son integrales sencillas y directas. Ahora bien, recordando los conocimientos relativos a las funciones matemáticas y la técnica empleada para obtener la integral de la misma, tenemos que a toda función es posible definirle un diferencial, que este caso será un diferencial de área.
Figura 1: Función Matemática En la figura 1, se representa una función matemática cualquiera con una relación de dependencia hacia la variable x, el área bajo la curva, delimitada por la función f(x) y las líneas verticales Aa y Bb definen la integral de la función. En este caso, se ha seleccionado seleccionado un diferencial de área dA = ydx.
Los límites de la integral quedan definidos por el diferencial, así como el éste es dx los límites de la integral son también en x. Por lo tanto, el límite inferior es "a" y el superior "b". Como el diferencial es un rectángulo, el centro geométrico estará en la mitad de la base y en la mitad de la altura. Las coordenadas del centro geométrico se denominan Xe y Ye. Dado que el diferencial dx es un valor que tiende a cero, la mitad de él es un número bien pequeño que podemos considerar sea el mismo valor dx. Así las ecuaciones que definen al centro geométrico del diferencial de área son: Xe = x Ye = y/2 Las ecuaciones que permiten calcular el centroide de la figura representada por f(x) son:
Primera Integral
Segunda Integral
Tercera Integral
Los límites de todas las integrales son a y b. Los valores Xc y Yc son las coordenadas x,y del punto que denominamos centroide de la figura. Por lo tanto, el centroide queda expresado de la siguiente manera: C(Xc,Yc) unidades
El Centroide calculado mediante una Matriz Existen figuras que serán estudiadas dentro de cualquier fenómeno natural que su forma no podrá ser representada mediante una función matemática. Para calcular el centroide de estas figuras se emplea la técnica de la matriz centroidal. Una matriz es una tabla donde se ordena la información básica que caracteriza una figura. Para ello, la figura, que por lo general no es geométrica, se dividirá en elementos simples que coincidan con las figuras geométricas básicas. De esta manera, cualquier forma se puede aproximar a un conjunto de elementos que la sumatoria de sus áreas individuales coincidan con el área de la figura estudiada. La matriz centroidal que se muestra, en la figura 2, está conformada por una primera columna para describir a los elementos o figuras básicas que conforman a la figura general. En otra se indican sus áreas. En una tercera columna se muestran las proyecciones de los centros geométricos sobre un sistema de referencia definido para la figura. En la siguiente se multiplican cada área por su respectiva coordenada geométrica proyectada sobre x. Finalmente, se multiplican cada área por su respectiva coordenada geométrica proyectada sobre y. En la matriz mostrada las celdas en azul representan las características de la figura estudiada. Las celdas en amarillo son las características ya procesadas y en las celdas rojas con letra blancas se expresan los resultados del análisis que conlleva al cálculo del centroide.
ELEMENTOS
AREAS(Ai)
Xi
Yi
Ai.Xi
Ai.Yi
Figura 1
A1
X1
Y1
A1.X1
A1.Y1
Figura 2
A2
X2
Y2
A2.X2
A2.Y2
An
X3
Y3
A3.X3
A3.Y3
∑Ai.Xi
∑Ai.Yi
Figura n
∑Ai
FIGURA 2: MATRIZ CENTROIDAL DE LA FIGURA
Ejemplo de Cálculo de Centroide por Integración
Sea la figura de un cuerpo definida por la función f(x) = 2x - 3, la cual se encuentra delimitada por la curva f(x) y los límites en "x" 3 y 7 unidades. Determine las coordenas del centroide empleando la técnica de la integración.
Ejemplo de cálculo de Centroide por Matriz Centroidal La figura de un cuerpo queda definida por la forma que se muestra en la figura 3, considerando que la figura se encuentra rotada con respecto a su línea base un ángulo de 35° en dirección horaria, determine: a) Coordenadas del centroide en su posición no inclinada b) Nuevas coordenadas centroidales producto de la rotación. Nota: Las dimensiones de la figura se definen por los acotamientos. Suponga que el origen del sistema de referencia se encuentra en el punto A.
FIGURA 3: Forma de un cuerpo representada por la suma de varias figuras básicas Primera Fase Consideramos la figura sin inclinar, tal como se muestra en la figura 3. Para ello, divideremos la figura en cuatro elementos básicos: Rectángulo mayor, rectángulo menor, semi-círculo y triángulo. Por el punto A trazamos los ejes de un sistema de referencia. A continuación, llenamos la matriz con las características de las figuras geométricas ya definidas. MATRIZ CENTROIDAL DE LA FIGURA
ELEMENTOS
AREA (Ai)
Xi
Yi
Ai.Xi
Ai.Yi
Rectángulo Mayor
+7.000
+30
0
+210.000
0
Rectángulo Menor
-1.750
+25
-17,5
-43.750
+30.625
+1.924,23
-34,85
0
-67.059,42
0
-1.575
+65
+11,67
-102.375
-18.380,25
-3.184,42
+12.244,75
Semi-círculo Triángulo
+5.599,23 cm2
Coordenadas centroidales de la figura en la posición no inclinada: Xc = -3.184,42/+5.599,23 = -0,57 cm Yc = +12.244,75/+5.599,23 = +2,19 cm C(-0.57,+2.19) cm Segunda Fase: Las coordenadas calculadas se representan en un sistema cartesiano y se dibuja un triángulo rectángulo al cual se le calcula la hipotenusa resultante. Así tenemos:
Figura 4: Hipotenusa del Centroide No Inclinado
La hipotenusa del centroide no inclinado se obtiene mediante el teorema de pitágoras, empleando las coordenadas x,y ya calculadas, pero sin considerar los signos, ya que en la geometría no existen ángulos negativos. β = Inv tan (2,19/0,57) = 75,4111° Hip = raiz [ (-0,57)2 + (2,19)2 ] = 2,2630 cm
Figura 5: La lìnea base es rotada 35º en sentido horario
Después de rotada la hipotenusa el ángulo que se
indica en el enunciado, nos damos cuenta que la suma del ángulo 35° y 75,4111° es mayor a 90°, por lo tanto, la hipotenusa cambia de cuadrante, del segundo al primero. El ángulo que ahora forma la hipotenusa respecto a la horizontal positiva es: 180° - 35° - 75,4111° resultando un ángulo de 69,5889° Coordenadas centroidales de la figura en la posición inclinada: Xc = +2,2630 cm . coseno (69,5889°) = + 0,79 cm Yc = +2,2630 cm . seno (69,5889°) = + 2,12 cm C(+0.79,+2.12) cm NOTA: Cuando el ángulo de rotación y el ángulo de la hipotenusa se encuentran uno dentro del otro, el ángulo resultante se obtiene restando ambos ángulos.
Cuando ellos se encuentre uno a continuación del otro, como el caso del ejemplo mostrado, entonces, el ángulo resultante se obtiene sumando ambos ángulos. Es importante verificar si la hipotenusa cambia de cuadrante cuando la figura es rotada, ya que el signo de las coordenadas vendrá dado por el cuadrante donde ella se encuentre.
ACTIVIDADES PROPUESTAS Para una mejor asimilación de los contenidos expuestos proponemos realizar las siguientes actividades:
Reflexione sobre los aspectos tratados en la clase Consulte la bibliografía o la internet para hacer la definiciones de términos correspondiente al tema Discuta con sus compañeros sobre los aspectos que definen y condicionan el cálculo del centroide de una figura plana Revise los problemas en la bibliografia y defina las características fundamentales de acuerdo a la técnica correspondiente Seleccione dos o tres problemas de mayor nivel y resuelvalos aplicando las técnicas propuestas
EJERCICIOS PROPUESTOS Centroide por la Técnica de Integración 1) Dada la función F(x) = 4x2 + 5 que representa la forma de un cuerpo en el plano, delimitada entre los ejes x(1) = 2 und y x(2) = 3 und; determine las coordenadas de su centroide mediante la técnica de la integración
2) Dada la función F(x) = 2x3 + 3x2 que representa la forma de un cuerpo en el plano, delimitada entre los ejes x(1) = 3 und y x(2) = 5 und; determine las coordenadas de su centroide mediante la técnica de la integración
3) Dada la función F(x) = 3x2 + 2x + 4 que representa la forma de un cuerpo en el plano, delimitada entre los ejes x(1) = 1 und y x(2) = 3 und; determine las coordenadas de su centroide mediante la técnica de la integración
4) Dada la función F(x) = Ax2 + Bx que representa la forma de un cuerpo en el plano, delimitada entre los ejes x(1) = 1 und y x(2) = 3 und; determine las coordenadas de su centroide mediante la técnica de la integración si ella pasa por los puntos P(1,3) y Q(3,39) Centroide por la Técnica de la Matriz Centroidal 5) La forma de un cuerpo es la que se muestra en la figura 1, determine mediante la técnica de la matriz centroidal las coordenadas de su centroide, respecto al punto A, en las siguientes condiciones: a) en la posición mostrada en la figura 1 b) cuando la figura es rotada 25 grados en sentido anti-horario a partir de su línea base
Figura 1
6) La forma de un cuerpo es la que se muestra en la figura 1, determine mediante la técnica de la matriz centroidal las coordenadas de su centroide, respecto al punto B, en las siguientes condiciones: a) en la posición mostrada en la figura 1 b) cuando la figura es rotada 2o grados en sentido horario a partir de su línea base 7) La forma de un cuerpo es la que se muestra en la figura 2, determine mediante la técnica de la matriz centroidal las coordenadas de su centroide, respecto al punto A, en las siguientes condiciones: a) en la posición mostrada en la figura 2 b) cuando la figura es rotada 50 grados en sentido horario a partir de su línea base
Figura 2
8) La forma de un cuerpo es la que se muestra en la figura 2, determine mediante la técnica de la matriz centroidal las coordenadas de su centroide, respecto al punto B, en las siguientes condiciones: a) en la posición mostrada en la figura 2 b) cuando la figura es rotada 15 grados en sentido anti-horario a partir de su línea base 9) La forma de un cuerpo es la que se muestra en la figura 3, determine mediante la técnica de la matriz centroidal las coordenadas de su centroide, respecto al punto A, en las siguientes condiciones: a) en la posición mostrada en la figura 3 b) cuando la figura es rotada 40 grados en sentido anti-horario a partir de su línea base
Figura 3
10) La forma de un cuerpo es la que se muestra en la figura 3, determine mediante la técnica de la matriz centroidal las coordenadas de su centroide, respecto al punto B, en las siguientes condiciones: a) en la posición mostrada en la figura 3 b) cuando la figura es rotada 70 grados en sentido horario a partir de su línea base
