CENTROIDE DE UNA REGION PLANA
Se conoce como centroide al centro de masa de una región sin masa en un plano. Sea g<=f funciones continuas en [a,b]. El centroide de la región delimitada por y = g(x), y=f(x), x =a, x = b viene dado por:
Donde A es el área de la región. Un ejemplo de esta aplicación de la integral es: Para hallar el centroide de la región limitada por las gráficas de f (x)= 4-x2 y g (x)= x+2 tenemos que:
Estas 2 curvas se cortan en (-2,0) y en (1,3), por lo que el área es:
El centroide tiene coordenadas:
De donde obtenemos:
El centroide es: (-1/2,12/5)
Teorema del centroide de Pappus PRIMER TEOREMA El área A, de una superficie de revolución generada mediante la rotación de una curva plana C alrededor de un eje externo a tal curva sobre el mismo plano, es igual a su longitud L, multiplicada por la distancia, d recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor de dicho eje
Por ejemplo, el área de la superficie de un toro de radio menor
y radio mayor
es:
donde el radio menor corresponde a la superficie circular transversal. El radio mayor es el radio de la circunferencia mayor generatriz.
Sea una curva plana definida por la función
, en un intervalo cerrado
es continua. Entonces, el área del sólido de revolución que se genera al girar la curva alrededor del eje de las
es:
donde
(1) Por otra parte, la coordenada
del centroide de esta curva se calcula así:
(2) Ya que
es la longitud de la curva plana indicada en el denominador.
Es fácil inferir que la ecuación (2) se transforma en: (3) Con lo cual se completa la demostración.
SEGUNDO TEOREMA El volumen, V , de un sólido de revolución generado mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje externo, es igual al producto del área, A, por la distancia, d recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje.
Por ejemplo, también el volumen de un toro de radio menor
Donde
es el radio de la circunferencia menor transversal y
y radio mayor
es
es el radio de la
circunferencia mayor o generatriz. Sean dos funciones que
y
continuas y definidas en el intervalo
y que delimitan una región plana de área
, tales
. El volumen
del sólido de
revolución que se genera al hacer girar esta región alrededor del eje x se calcula mediante el método de los anillos, lo que da como resultado:
(4) Por otra parte, para calcular la coordenada las curvas
y
del centroide de una región plana delimitada por
se emplea esta ecuación:
(5) Ya que
es el área comprendida por las dos curvas. Por tanto, la ecuación del volumen
debe volver a ser escrita como: (6) lo que completa la demostración. Si el cálculo se refiere a la coordenada
el cálculo es
semejante, haciendo la salvedad de que, en este caso:
(7) aunque el área se calcula como ya se indicó al principio. En caso de que se desee calcular el volumen del sólido de revolución alrededor de una recta que no tenga intersección con el área, de la forma
aún se puede emplear este
teorema a condición de que se calcule la distancia entre el centroide y dicha recta.
