04-Centro de Gravedad y Centroide

Problema 1 En la figura (a) se muestra una viga mixta de 5000 mm de longitud, constituida por un perfil de acero y una losa rectangular de concreto armado conectada rígidamente a él. En la figura (b) aparece un detalle de la sección transversal simétrica, con las dimensiones indicadas en mm. a) Determine las coordenadas del centro de gravedad con respecto al sistema dado. b) En el caso de que la viga sea izada por una grúa mediante una única argolla anclada en el punto O ¿cuál será el ángulo que formará la línea OA con el plano horizontal XY? 3

3

Nota: La densidad del acero es 7850 kg/m  y la del concreto armado es 2500 kg/m .

Solución a) Se determinan las coordenadas del centro de masa del conjunto:

Elemento

V i(m)

Mi (kg)

Zi (m)

Mi ∙ Zi

1

0.75

1875

-0.075

-140.625

2

0.005

39.25

-0.155

-6.08375

3

0.0108

84.78

-0.295

-25.0101

4

0.02

157

-0.44

-69.08

∑  =

2156.03

∑  ∙  =

-240.799

Por simetría:

 = . .    = . .   De la tabla:

  =  ∑ ∑ ∙ = 240.799 2156.03  = . .  

b) Cuando el sistema es izado sustentándolo desde el punto O, el centro de masa G se alinea verticalmente con dicho punto O, luego el ángulo que formará la arista  con el plano XY será:

̅

 = 90°   Donde    es el ángulo relativo entre el vector ̅   (que conecta el origen con el centro de masa) y el vector ̅, y se calcula mediante el producto escalar entre ambos vectores:

̅ ∙  ̅ = | ̅ | ∙ | ̅ | ∙cos  ̅  = cos − [ .;.; −.∙;; ] = cos −  .  ∙  = cos − |̅̅|∙| ̅ | √.+.+−.∙ .  = 78.7° Finalmente:

 = .°

Problema 2 La trimoto mostrada en la figura es simétrica con relación al plano XY, exceptuando la unidad motriz, que por defecto de montaje se encuentra desfasada en la dirección Z. Las coordenadas XY del centro de gravedad de cada elemento se indican en la figura, mientras que la coordenada Z y sus pesos aparecen en tabla. Determine: a) Las coordenadas del centro de gravedad de la trimoto. b) La reacción normal en cada una de las ruedas A, B1 y B2.

1 2 3 4 5

Elemento Rueda posterior B1 Rueda posterior B2 Unidad motriz Armazón Rueda delantera A

Peso (lb) 18 18 100 130 8

Z (ft) - 1.5 + 1.5 - 0.2 0.0 0.0

Solución

a) Se determinan las coordenadas del centro de masa del conjunto:

Elemento W i(lb)

Xi (ft)

Yi (ft)

Zi (ft)

Wi ∙ Xi

Wi ∙ Yi

Wi ∙ Zi

1

18

4.5

1.3

-1.5

81

23.4

-27

2

18

4.5

1.3

1.5

81

23.4

27

3

100

2.3

1.5

-0.2

230

150

-20

4

130

3.1

2

0

403

260

0

5

8

0

1

0

0

8

0

∑ =

795

464.8

-20

∑ =   ∙  = 795   =  ∑ ∑ 274   = . 

274

 ∙  = 456.8   =  ∑∑ 274   = . 

 ∙  = 20   =  ∑ ∑ 274  = . 

 b) Se escribe una ecuación de equilibrio de momento respecto a un en eje que pasa po r B y es paralelo al eje Z:

∑ =  ∙ 4.5    ∙ 4.5 = 274 ∙ 1.599   ∙ 4.5 = 0    = . 

(1)

Se escribe una ecuación de equilibrio de momento respecto al eje X, así como una ecuación de equilibrio de fuerza en Y:

∑  =  ∙    ∙ 1.5   ∙1.5 = 274∙ 0.073     ∙ 1.5 = 0  ∑  =         = 274  97.33      = 0  Resolviendo (2) y (3) se obtiene:

    = 13.333     = 176.67

 = .   = . 

(2) (3)

Problema 3 La mesa mostrada en la figura tiene una pata recta y dos patas curvas de tubo de acero, cuya densidad es 2 de 50 kg/m. El tablero elíptico es de vidrio y su densidad es de 200 kg/m . El plano XY coincide con el piso y el eje Z pasa por el centroide del tablero de vidrio. Determine: a) La ubicación del centro de masa del conjunto con respecto al sistema de coordenadas dado. b) Las reacciones normales del piso sobre cada una de las patas A, B, C. Nota: Desprecie el diámetro de los tubos y el espesor del tablero. Dimensiones indicadas en mm.

Solución a)

Se determinan las coordenadas del centro de masa del conjunto:

2

Elemento Ai(m )/Li(m) Mi(kg)

Xi (m)

Yi (m)

Zi (m)

Mi ∙ Xi

Mi ∙ Yi

Mi ∙ Zi

1

0.3142

62.8319

0.0000

0.0000

0.4600

0.0000

0.0000

28.9027

2

0.4600

23.0000

0.0000

-0.2500

0.2300

0.0000

-5.7500

5.2900

3

0.2827

14.1372

0.0463

0.2037

0.0654

0.6539

2.8804

0.9247

4

0.4398

21.9911

0.0719

0.1781

0.3583

1.5822

3.9156

7.8784

5

0.2827

14.1372

-0.0327

0.1934

0.0654

-0.4623

2.7335

0.9247

6

0.4398

21.9911

-0.0509

0.1619

0.3583

-1.1188

3.5600

7.8784

∑ =

0.6549

7.3396

∑ =

158.0885

∙ =   .   =  ∑∑  .   = . 

∙ =   .   =  ∑∑  .   = . 

51.7988

∙ =  .   =  ∑∑  .  = .  

b) Se escriben dos ecuaciones de equilibrio de momento respecto a dos ejes que pasan por A y son paralelos a los ejes X, Y:

∑ =  ∙0.25      ∙ 0.5 0.18 ∙ cos45°  ∙ 0.5  0.18 ∙ cos30° = 0  ∑  =  ∙    ∙ 0.18 ∙ sen45°   ∙ 0.18 ∙ sen30° = 0  Teniendo en cuenta que  = ∑   ∙  = 1550.85  y resolviendo (1) y (2) se obtiene:

0.372721 ∙  0.344115 ∙ = 459.7133 0.127279 ∙ 0.090000 ∙ = 6.4252 Luego se escribe una ecuación de equilibrio de fuerza en Z:

∑ =       = 1550.85    563.5 725.6 = 0   = . 

 = .   = . 

(1) (2)

Problema 4 Para adornar una feria se construyeron letras gigantes con tablas de madera. En el caso de la letra E mostrada en la figura se utilizaron dos tipos de madera diferentes. La densidad superficial de las tablas rayadas es de 30 2 2 kg/m  y 8 kg/m  la de las tablas sin rayar. El encargado de la obra ordenó que esta letra fuera colgada en una pared vertical colocando un único clavo en su centroide. Determine el ángulo que giró la letra una vez colgada, tomando como referencia la posición mostrada.

Nota: Dimensiones en mm.

Solución Se determinan las coordenadas del centroide y del centro de masas:

Centroide:

   =  ∑∑∙  =     = 375    =  ∑∑∙  =     = 875  Centro de masas:

∙ =  ,. = 310.29     =  ∑∑ .  ∙ =  ,. = 729.41    =  ∑∑ . 

Elemento

     () () () ()

   (kg/ ) ( )

 ()

  ∙ 

  ∙ 

 ∙ 

 ∙ 

1

250

1750

125

875

30

437500

13.13

54687500

382812500

1640.63

11484.38

2

750

250

625

125

30

187500

5.63

117187500

23437500

3515.63

703.13

3

750

250

625

1625

8

187500

1.50

117187500

304687500

937.50

2437.50

4

500

250

500

875

8

125000

1.00

62500000

109375000

500.00

875.00

937500

21.25

351562500

820312500

6593.75

15500.00

∑ =

Cuando la letra se cuelga en su centroide ( C), el centro de masas ( G) se alinea verticalmente con dicho punto, para que el cuerpo de dos fuerzas pueda estar en equilibrio. El ángulo ( ) que gira la letra E es:

tan =  −− =  −. −. = 0.4445  = .°

Problema 5 El cartel de un restaurante es construido con las placas de madera rectangulares ABCD y FGHI, la barra de acero CED, y las cadenas DF y EG. La madera utilizada tiene un peso específico de , la barra de acero pesa  y el peso de las cadenas es despreciable.

 /

  /

a) Determine el centro de gravedad del c onjunto. b) Determine las reacciones en los apoyos A y B.

Solución Se determinan las coordenadas del centro de gravedad del conjunto:

∙ =  . = 5.7401     =  ∑∑ .     = .   ∙ =  . = 0.9357    =  ∑∑  .  = . 

Elemento

    )  /  /)   )

 )  )

 ∙ 

 ∙ 

1

18.0

-

2.0

-

3.00

1.50

36.00

108.00

54.00

2

6.0

-

2.0

-

7.50

-1.50

12.00

90.00

-18.00

3

-

3.000

-

5.0

7.50

0.00

15.00

112.50

0.00

4

-

4.712

-

5.0

7.91

1.91

23.56

186.37

45.00

86.56

496.87

81.00

∑ = Se desarrolla el DCL del sistema:

Se escribe la ecuación de equilibrio de momentos en B:

∑  = 3∙    ∙  = 0  =   ∙ =  .∙. = 1656      = .  Luego:

∑  =    = 0   = .  ∑ =    = 0  = .  Problema 6

  =  

Si el camión está descargado, las reacciones resultantes en las ruedas delanteras y traseras son y . El peso específico de la carga de grava colocada en el camión es . El ancho de la carga en la dirección   es de y el perfil de su superficie está dado por la función mostrada. Determine las reacciones resultantes sobre las ruedas del camión cuando este está cargado.

 =  



 

 =  /

Solución Se desarrolla el DCL del Camión sin carga:

Por equilibrio de fuerza se obtiene:

∑ = 12 8   = 0   = 20  Por equilibrio de momento en O se obtiene:

∑ = 9 ∙ 12   ∙   8∙ 8 = 0    = 2.2 

Se determina el peso y el centro de masa de la carga:

Peso de la carga:

  =  ∙ ∫  = 100∙ ∫ 10 ∙  ∙    = 1000∙ ∫5  0.48 ∙   0.02 ∙   ∙    = 36960  = 36.96  Centro de masa de la carga:

   =  ∙∫∙  

+.∙)∙    =  ∙∫   (∙−.∙ 

   =     = 5.065  Se desarrollar el DCL del camión con carga:

Se escribe la ecuación de equilibrio de momentos en A:

∑ = 9    ∙  9   ∙  17∙  = 0  = .∙+.∙. = 38.58    = .  Luego:

∑  =         = 0    = . 