Monografia

2011

Monografía del Curso

METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS PROFESORA JACQUELINE DE CHING PROYECTO N.3 MONOGRAFIA GRUPO 1-IL-122 6 DE DICIEMBRE DE 2011

Índice de Contenido METODO DE EULER INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................

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LEONHARD EULER ................................................................................................................

5

EL MÉTODO DE EULER........................................................................................................

6

PROCEDIMIENTO ...................................................................................................................

8

USO EL MÉTODO DE EULER ...........................................................................................

10

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MÉTODO DE EULER .......................................

12

EL FALLO EN EL MÉTODO DE EULER .........................................................................

14

EJEMPLOS DEL MÉTODO DE EULER ...........................................................................

15

CONCLUSIÓN.........................................................................................................................

18

METODO DE EULER MEJORADO MÉTODO DE EULER MEJORADO: CORRECTOR-PREDICTOR............................ 20 PASOS DEL METODO DE EULER MODIFICADO MODIFICADO .......................................................

21

PREDICTOR Y CORRECTOR ............................................................................................

23

PROBLEMAS PRÁCTICOS ................................................................................................

24

CONCLUSIÓN.........................................................................................................................

28

METODO DE RUNGE-KUTTA MÉTODO DE RUNGE-KUTTA ............................................................................................

31

PROCEDIMIENOS PROGRAMADO PROGRAMADOS S DE EULERMOD Y EULERMODGRAF EULERMODGRAF .... 33 PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS PROGRAMADOS DE MEJOREULER MEJOREULER Y MEJOREULERGRAF............................................................................................................

34

UTILIZACIÓN UTILIZACIÓN DE LOS MÉTODOS MODIFICADO MODIFICADO DE EULER Y MEJORADO DE EULER....................................................................................................................................... 35 PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS PROGRAMADOS DE RUNGE3 Y RUNGE3GRAF................... ................... 37 PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS PROGRAMADOS DE RUNGE4 Y RUNGE4GRAF................... ................... 39 EJEMPLOS DE RUNGE-KUTTA .......................................................................................

41

CONCLUSIONES ...................................................................................................................

44

CONCLUSIÓN FINAL ....................................................................................................... 45 BIBLIOGRAFIA .................................................................. ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.

1

Índice de Contenido METODO DE EULER INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................

4

LEONHARD EULER ................................................................................................................

5

EL MÉTODO DE EULER........................................................................................................

6

PROCEDIMIENTO ...................................................................................................................

8

USO EL MÉTODO DE EULER ...........................................................................................

10

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MÉTODO DE EULER .......................................

12

EL FALLO EN EL MÉTODO DE EULER .........................................................................

14

EJEMPLOS DEL MÉTODO DE EULER ...........................................................................

15

CONCLUSIÓN.........................................................................................................................

18

METODO DE EULER MEJORADO MÉTODO DE EULER MEJORADO: CORRECTOR-PREDICTOR............................ 20 PASOS DEL METODO DE EULER MODIFICADO MODIFICADO .......................................................

21

PREDICTOR Y CORRECTOR ............................................................................................

23

PROBLEMAS PRÁCTICOS ................................................................................................

24

CONCLUSIÓN.........................................................................................................................

28

METODO DE RUNGE-KUTTA MÉTODO DE RUNGE-KUTTA ............................................................................................

31

PROCEDIMIENOS PROGRAMADO PROGRAMADOS S DE EULERMOD Y EULERMODGRAF EULERMODGRAF .... 33 PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS PROGRAMADOS DE MEJOREULER MEJOREULER Y MEJOREULERGRAF............................................................................................................

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UTILIZACIÓN UTILIZACIÓN DE LOS MÉTODOS MODIFICADO MODIFICADO DE EULER Y MEJORADO DE EULER....................................................................................................................................... 35 PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS PROGRAMADOS DE RUNGE3 Y RUNGE3GRAF................... ................... 37 PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS PROGRAMADOS DE RUNGE4 Y RUNGE4GRAF................... ................... 39 EJEMPLOS DE RUNGE-KUTTA .......................................................................................

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CONCLUSIONES ...................................................................................................................

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CONCLUSIÓN FINAL ....................................................................................................... 45 BIBLIOGRAFIA .................................................................. ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.

1

Introducción de la Monografía En el curso de Métodos Numéricos para Ingenieros hemos aprendido diversos métodos para resolver sistemas de ecuaciones, integrales, graficas, en fin diversos problemas matemáticos para así aplicarlos al mundo de la programación. Con el fin de adentrarnos más y más en la materia de Métodos Numéricos debemos definir el concepto principal de este proyecto, las ecuaciones

diferenciales. Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: 

Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas



respecto a una sola variable independiente. Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

A continuación continuación estudiaremo estudiaremos s tres métodos métodos que nos ayudaran ayudaran a resolve resolverr este tipo de ecuaciones con más facilidad para sí poder aplicarlas a nuestra vida diaria como programadores, las cuales son: El método de Euler El método de Euler Mejorado El método de Runge-Kutta

2

Tema desarrollado por AGRAZAL, CELSO ARAUZ, ANGEL BERNAL, JOY BONILLA, NASHLA MARCIAGA, FERNANDO MIRANDA, ESTEPHANIE MITCHELL, NICOLE RODRIGUEZ, RODRIGO ROSALES, FERNANDO VIVAR, LUIS

Método de Euler 3

Introducción En el curso de Métodos Numéricos para Ingenieros hemos aprendido diversos métodos para resolver sistemas de ecuaciones, integrales, graficas, en fin diversos problemas matemáticos para así aplicarlos al mundo de la programación. Pero entre tantos métodos no nos podíamos olvidar de las ecuaciones diferenciales. En este trabajo conoceremos el método de Euler para resolución de este tipo de ecuaciones, en donde presentaremos la vida de su desarrollador, ejemplos explicativos, los procedimientos a realizar en este método, entre otros puntos importantes.

4

Leonhard Euler Leonhard Euler (cuyo nombre completo era Leonhard Paul Euler) fue un respetado matemático y físico. Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza) y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo (Rusia). Se lo considera el principal matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos.

Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron en la resolución de problemas del mundo real a través del análisis matemático, en lo que se

conoce

como

matemática

aplicada,

y

en

la

descripción de numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli, las series de Fourier, los diagramas de Venn, el número de Euler, las constantes e y π, las fracciones continuas y las integrales. Integró el cálculo diferencial de Leibniz con el Método de Fluxión de Newton, y desarrolló herramientas que hacían más fácil la aplicación del cálculo a los problemas físicos. Euler ya empleaba las series de Fourier antes de que el mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de Lagrange del cálculo variacional, las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Hizo grandes avances en la mejora de las aproximaciones numéricas para resolver integrales, inventando lo que se conoce como las aproximaciones de Euler. Las más notable de estas aproximaciones son el método de Euler para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, y la fórmula de Euler-Maclaurin. Este método consiste en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada. También facilitó el uso de ecuaciones diferenciales, y en particular mediante la introducción de la constante de Euler-Mascheroni.

5

El Método de Euler Es

un

procedimiento

de integración

numérica para

resolver ecuaciones

diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado, cuyo procedimiento consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada, este es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del siguiente tipo:

Podemos dar una descripción informal del método de la siguiente manera: Considere el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que comienza en un punto dado y satisface una cierta ecuación diferencial dada. Se puede pensar en la ecuación diferencial como una fórmula que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la curva, siempre que el punto se conozca.

La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en principio, su punto de comienzo(al cual denotamos por A0) es conocido. Entonces, de la ecuación diferencial se puede computar la pendiente de la curva en el punto A0 y por lo tanto la recta tangente a la curva.

6

Ahora, dando un pequeño paso sobre dicha recta, podemos tomarnos un nuevo punto A1 y suponer que dicho punto pertenece a la curva, entonces seguimos el mismo razonamiento aplicado anteriormente y volvemos a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto A1. Luego de varios pasos tendremos formada una curva poligonal A0A1A2A3... En general esta curva que obtenemos al aplicar el método no diverge lejos de la curva original, además el error entre ambas curvas se puede minimizar si se dan pasos muy pequeños al avanzar sobre la recta tangente a la curva y además el intervalo sobre el que trabajamos es finito (aunque las cosas son más complicadas para ecuaciones inestables, como se discute más abajo).

7

Procedimiento A continuación los pasos para el desarrollo del método de Euler: 

Se multiplican los intervalos que van de “X0” a “Xf ” en “n” cantidad de subintervalos con ancho “ h”; es decir:



Con esto se obtiene un conjunto discreto de “n+1” puntos: X0, X1, X2… Xn del intervalo que nos interesa [X0, Xf ]. Para cualquiera de estos puntos se cumple que:



Ya con la condición inicial

, que representa el punto

y por donde pasa la curva obtenemos la solución de la ecuación del planteamiento inicial, la cual se denotará como:



Con el punto “P0” se puede evaluar la primera derivada de F(x) en ese punto; por lo tanto:

8



Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por “P0” y de pendiente “F(x 0,y0)”. Esta recta aproxima “F(x)” en una vecinidad de “x0”.



Se toma la recta como reemplazo de F(x) y se localiza en ella el valor de y correspondiente a x 1.



9

Entonces, se puede deducir según esta información para la gráfica A que:

Uso el Método de Euler Este método se aplica para encontrar la solución a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), esto es, cuando la función involucra solo una variable independiente:

El método se basa de forma general en la pendiente estimada de la función para extrapolar desde un valor anterior a un nuevo valor:

Nuevo valor = valor anterior + pendiente x tamaño de paso

O

bien,

y i+1=y i + φ h

(ecuación 1)

De esta manera, la formula (1), se aplica paso a paso para encontrar un valor en el futuro y así trazar la trayectoria de la solución.

La

figura

1,

muestra

el

procedimiento aplicado con la ecuación (1). .

El método de Euler utiliza la pendiente al inicio del intervalo como una aproximación de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en xi .

φ = ( x , y )

10

(x i , y ) i , es la ecuación diferencial evaluada en

x i y y i.

Sustituyendo esta

estimación de la pendiente en la ecuación (1), se tiene:

y i+1 = y i + (x i , y )h i

(ecuación 2)

La ecuación (2), se le conoce como el método de Euler. En esta fórmula se predice un nuevo valor de y por medio de la pendiente que es igual a la primera derivada en el valor original de x , este nuevo valor habrá de extrapolarse en forma lineal sobre el tamaño de paso h.

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Ventajas y desventajas del Método de Euler Ventajas

Uno de los aspecto resaltante del método es que a medida que dividimos el tamaño del paso h, los errores también se disminuyen en aproximadamente la mitad. Es un método sencillo de implementar pero de orden bajo por lo que dependiendo del grado de precisión que se desees, el h puede ser muy pequeño. Una forma de mejorar el método de Euler (Euler mejorado) es utilizar una mejor aproximación a la integral- podríamos considerar por ejemplo una aproximación por trapecio de modo que:

Noten que el último término hace referencia al valor que queremos aproximar en esta iteración (

), sin embargo

podemos usar un paso del método de Euler para aproximar la solución, obteniendo finalmente:

12

Desventajas El método de Euler tiene errores grandes, sobre todo cuando la pendiente instantánea, es decir, la función f ( x,y )

x .

Ese método considera que la pendiente calculada del lado izquierdo del x es la misma para todo el intervalo.

Una mejor aproximación a esta pendiente sería considerar no sólo el punto inicial, sino un promedio del inicial y el final. El método que utiliza esta aproximación es el método de Euler modificado. El problema de considerar el punto final es que no se conoce el valor de y en ese punto. Por ello, el método de Euler modificado incluye inicialmente la aproximación del cálculo de ese valor mediante el método original de Euler para evaluar la f ( x,y ) del lado derecho del inter

x , para después calcular el promedio de ambas y que actualizaría y .

13

El fallo en el Método de Euler El método de Euler tiene errores grandes, sobre todo cuando la pendiente instantánea, es decir, la función f ( x,y) cambia rápidamente dentro de la x. Ese método considera que la pendiente calculada del lado izquierdo del intervalo x es la misma para todo el intervalo. Una mejor aproximación a esta pendiente sería considerar no sólo el punto inicial, sino un promedio del inicial y el final. El método que utiliza esta aproximación es el método de Euler modificado. El problema de considerar el punto final es que no se conoce el valor de y en ese punto. Por ello, el método de Euler modificado incluye inicialmente la aproximación del cálculo de ese valor mediante el método original de Euler para evaluar la f ( x,y) del lado derecho del intervalo x, para después calcular el promedio de ambas pendientes y utilizarlo para calcular el valor de y que actualizaría y.

En la solución numérica de ecuaciones EDO, utilizando el método de Euler se obtuvieron los siguientes errores

1. Errores de Truncamiento , causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.

2. Errores de Redondeo, que son el resultado del número límite de cifras significativas que pueden retener una computadora.

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Ejemplos del método de Euler Ejemplo #1: Dada la ecuación diferencial y’ = y, el punto inicial y(0) =1, utilice el Método de Euler para aproximar y 3 con tamaño de paso h = 1.

El método de Euler es: Y n+1= y n + h (f(t n,y n )) así que primero tenemos que calcular f(t0,y0), esta ecuación diferencial depende solo de y, por lo que solo introduciremos valores de y. f(y 0 ) = 1

Al hacer el paso anterior, encontramos la pendiente de la recta que es tangente a la curva solución en el punto (0,1). Recuerde que la pendiente se define como el cambio de y dividido por el cambio de t o El siguiente paso consisten en multiplicar el valor anterior por el tamaño del paso h. h * f(y 0 ) = 1*1 = 1

Dado que el tamaño del paso es el cambio en t, cuando se multiplica el tamaño del paso y la pendiente de la tangente, se obtiene un cambio en el valor y. Este valor se añade al valor inicial, y para obtener el siguiente valor a ser utilizado para los cálculos. Y 0+ h * f(y 0 ) = y 1 = 1 +1*1 = 2

Entonces debemos repetir los pasos anteriores para encontrar y 2 y y3

Y 1+ h * f(y 1 ) = y 2 = 2 +1*2 = 4 Y 2+ h * f(y 2 ) = y 3 = 4 +1*4 = 8

15

Debido a la naturaleza de este algoritmo, puede ser útil para organizar los cálculos en forma de grafico para evitar errores

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yn

tn

y'(t)

h

dy

yn + 1

1

0

1

1

1

2

2

1

2

1

2

4

4

2

4

1

4

8

Ejemplo #2: Calcular una iteración con el método de Euler para el sistema, y’ = (1+z)z + y, x 0=0, y 0=1 z’ = (1+x)y +z, z 0=1

Solución: La iteración general se escribe,

Xn+1 = xn + h yn+1 = yn + h(( xn + 1)zn + yn) zn+1 = zn + h((1+xn)yn + zn)

para n=0 se tiene que x 0 = 0, y0=z0=1

x1 = 0 + h = h y1 = y0 + h((1+0)1 + 1) = 1 +2h z1 = z0 + h((1+0)1 + 1) = 1 +2h

Ejemplo #3:

Use el método de Euler 0.1 construya una tabla con valores

aproximados al problema de valor inicial y’=x+y

y(0) = 1

Solución: Tenemos que h = 0.1 , x 0 = 0, y0 = 1 y F(x,y) = x+y luego Y1 = y0 + hF(x0,y0) = 1+0.1(0+1) = 1.1 Y1 = y0 + hF(x0,y0) = 1.1 + 0.1(0.1+1.1) = 1.22 Y1 = y0 + hF(x0,y0) = 1.22+0.1(0.2+1.22) = 1.362

Esto significa que si y(x) es la solución exacta entonces y(0.3) = 1.362

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Conclusión Hemos encontrado diversos puntos en este trabajo, hemos aprendido otro método, ingresando cada vez más en el mundo de la programación y en nuestro camino como Ingenieros en Sistemas. El método de Euler, entonces, es el método desarrollado por Leonhard Euler, con el propósito de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) incrementando cada la variable independiente h. Aunque encontramos diversos errores en este método (por ejemplo errores de precisión), que llevaron a la creación de una modificación de este método, pero aun así para nosotros los Ingenieros en Sistemas resulta de gran utilidad a la hora de resolver sistemas matemáticos como este.

18

Tema desarrollado por

Christian A García Roberto Candel Juan Chen Johannes Zapata Nelysvette Patterson Alexis Espinosa Yi Fung Joshua Zafrani

Método de Euler Mejorado 19

Método de Euler Mejorado: Corrector-Predictor En el método de Euler se tomó como válida para todo el intervalo la derivada encontrada en un extremo de éste Fig. Para obtener una exactitud razonable se utiliza un intervalo muy pequeño, a cambio de un error de redondeo mayor (ya que se realizarán más cálculos). El método de Euler modificado trata de evitar este problema utilizando un valor promedio de la derivada tomada en los dos extremos del intervalo. en lugar de la derivada tomada en un solo extremo.

20

PASOS DEL METODO DE EULER MODIFICADO 1. Se parte de (xo,Yo) Y se utiliza el método de Euler a fin de calcular el valor de Y correspondiente a Xl' Este valor de Y se denotará aquí como YI' ya que sólo es un valor transitorio para Yl' Esta parte del proceso se conoce como paso predictor. 2. El segundo paso se llama corrector, pues trata de corregir la predicción. En el nuevo punto obtenido (XI, Yl) se evalúa la derivada [(xI' YI) usando la ecuación diferencial ordinaria del PVI que se esté resolviendo; se obtiene la media aritmética de esta derivada y la derivada en el punto inicial (xo' Yo)

1/2 [F(xo ,Yo) + F(Xl,YI)] = derivada promedio

Se usa la derivada promedio para calcular un nuevo valor de y 1, con la ecuación y1=y0+hf(x0,y0), que deberá ser más exacto que y 1

y se tomara como valor definitivo de y 1. Este procedimiento se repite hasta llegar a yn. El esquema iterativo para este método quedara en general así: Primero, usando el paso de predicción resulta:

. Una vez obtenida y i+1 se calcula f(x i+1,yi+1), la derivada en el punto (x i+1,yi+1), y se promedia con la derivada previa (x i,yi) para encontrar la derivada promedio

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Se sustituye f(x i,yi) con este valor promedio en la ecuación de iteración de euler y se obtiene:

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:

En la gráfica, vemos que la pendiente promedio

corresponde a la pendiente de

la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la “recta tangente” a la curva en el punto

, donde

es la aproximación

obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto

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como la aproximación de Euler mejorada.

Predictor y Corrector Dado un problema con una condición inicial , con El método de Euler mejorado con tamaño de paso h consiste en la aplicación de las siguientes fórmulas iterativas:

para calcular las aproximaciones sucesivas [verdaderos] puntos

a los valores a los valores

de la solución [exacta]

en los

respectivamente.

El método de Euler mejorado pertenece a una categoría de técnicas numéricas conocidas como métodos predictor-corrector . Primero se calcula un predictor

del siguiente valor de

; después, se usa éste para corregirse a sí

mismo. Así el método de Euler mejorado con tamaño de paso h consiste en utilizar el predictor

y el corrector

Iterativamente para calcular las aproximaciones sucesivas del problema.

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Problemas Prácticos

Ejemplo 1 Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar

si:

Solución Vemos que este es el mismo ejemplo 1 del método anterior. Así que definimos y encontraremos la aproximación después de cinco iteraciones. A diferencia del método de Euler 1, en cada iteración requerimos de dos cálculos en vez de uno solo: el de

primero y posteriormente el de

.

Para aclarar el método veamos con detalle las primeras dos iteraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos los siguientes datos iniciales:

En nuestra primera iteración tenemos:

24

Nótese que el valor de

coincide con el

a coincidir, pues para calcular

se usará

(Euler 1), y es el único valor que va y no

.

Esto lo veremos claramente en la siguiente iteración:

Nótese que ya no coinciden los valores de

(Euler 1) y el de

. El proceso

debe seguirse hasta la quinta iteración. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: n

0

0

1

1

0.1

1.01

2

0.2

1.040704

3

0.3

1.093988

4

0.4

1.173192

5

0.5

1.28336

Concluímos entonces que la aproximación obtenida con el método de Euler mejorado es:

Con fines de comparación, calculamos el error relativo verdadero:

25

Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este método, reduciendo el error relativo verdadero de un 5.4% hasta un 0.05%. En nuestro tercer método veremos cómo se reduce aún más este error prácticamente a un 0%! Veamos un segundo ejemplo.

Ejemplo 2 Aplicar el método de Euler mejorado para aproximar

Solución Tenemos los siguientes datos:

En una primera iteración, tenemos lo siguiente:

26

y (1.3) si tenemos :

Resumimos los resultados en la siguiente tabla: n

0

1

2

1

1.1

2.385

2

1.2

2.742925

3

1.3

3.07635

Concluímos entonces que la aproximación buscada es:

27

Conclusión Luego de trabajar, ver, observar y experimentar con ambos métodos se puede decir que el método de Euler está diseñado tanto para ecuaciones diferenciales como para la integración, pero el método de Euler modificado es un método exclusivo para las ecuaciones diferenciales. El método de Euler modificado también muestra más flexibilidad en el proceso de obtener repuestas debido a que esta puede tomar como base un valor más preciso si se acerca la integral del valor a escoger.

28

Tema desarrollado por CRUZ, RIGOBERTO ESCOBAR, FABIAN HENRÍQUEZ, MARUQUEL JARAMILLO, SERGIO RIVAS, MELISA SÁNCHEZ, JOEL TRUJILLO, NÉSTOR TRUJILLO, ROLANDO VIETO, MARCOS

29

Método de Runge-Kutta

INTRODUCCIÓN

El método de Runge-Kutta, es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones

diferenciales.

Este

conjunto

de

métodos

fue

inicialmente

desarrollado alrededor del año 1900por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.

El método de Runge-Kutta es un refinamiento del método de Euler . La solución de un problema de valores iniciales se obtiene generalmente paso a paso por métodos de integración hacia adelante, lo que permite valuar Yi+1 tan pronto se conozcan los valores Yi, Yi-1 de Y en uno o más pivotes anteriores. El más simple de estos métodos, debido a Euler, es aplicable a ecuaciones de primer orden y no requiere conocer la solución en los pivotes anteriores.

30

MÉTODO DE RUNGE-KUTTA

Los métodos de Runge-Kutta mejoran la aproximación del método de Euler para resolver de modo aproximado el P.V.I. y' = f Ht, yL, yHt0L = y0, sin necesidad de calcular derivadas de orden superior.

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial. Sea:

Una ecuación diferencial ordinaria, con

donde

es un

conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:

Donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento Δt n entre los sucesivos puntos t n y t n + 1. Los coeficientes k i son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

Con aij ,bi ,c i coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada.

31

Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes aij del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, aij = 0 para j = i ,...,s, los esquemas son explícitos.

Para fijar ideas, un método clásico de Runge-Kutta de 2-etapas de orden 2 viene dado por el diagrama de Butcher:

Donde los coeficientes que aparecen verifican el sistema de ecuaciones:

Así pues, existe una familia infinita de métodos de Runge-Kutta de orden 2. Los más utilizados son:

Método modificado de Euler : que se corresponde con y cuya expresión es:

32

PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS DE EULERMOD Y EULERMODGRAF Ejemplo de programación de procedimientos de Eulermod y EulerModGraf que permiten calcular la tabla de valores correspondiente y la representación gráfica de la solución aproximada obtenida mediante el método de Euler modificado.

Donde f es la función asociada a la ecuación diferencial, h es la longitud de paso,

ini es el valor de la condición inicial, a es el extremo inferior del intervalo donde vamos a calcular la aproximación y b es el extremo superior del citado intervalo.

33

b) Método mejorado de Euler , que se corresponde con cuya expresión es

PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS DE MEJOREULER Y MEJOREULERGRAF Ejemplo de programación de procedimientos de mejoreuler y mejoreulergraf, que permiten calcular la tabla de valores correspondiente y la representación gráfica de la solución aproximada obtenida mediante el método de Euler modificado.


ini es el valor de la condición inicial, a es el extremo inferior del intervalo donde vamos a calcular la aproximación y b es el extremo superior del citado intervalo

34

UTILIZACIÓN DE LOS MÉTODOS MODIFICADO DE EULER Y MEJORADO DE EULER Para

35

en el intervalo [0,1] con longitud de paso 0,1.

Como se puede observar la solución exacta de este P.V.I. en t = 1 vale 1.70187 . En este caso, por tanto, la aproximación alcanzada por el primer método de Runge-Kutta es mejor que la obtenida por el segundo.

Un método clásico de Runge-Kutta de 3-etapas de orden 3 viene dado por el diagrama de Butcher: Donde los coeficientes que aparecen

verifican

el

sistema de ecuaciones:

Así pues, existe una familia infinita de métodos de Runge-Kutta de orden 3. Uno de los más utilizados es el correspondiente a:

y cuya expresión es:

36

PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS DE RUNGE3 Y RUNGE3GRAF Ejemplos de procedimientos programados de Runge3 y Runge3graf, que permiten calcular la tabla de valores correspondiente y la representación gráfica de la solución aproximada obtenida mediante el método de Runge-Kutta de orden 3 seleccionado:



37

Aplicamos: Probamos el método anterior con el P.V.I.

en el

intervalo [0,1], con longitud de paso 0.1

El método de Runge-Kutta de orden 4 más utilizado viene dado por el esquema Butcher siguiente:

Cuya expresión es:

38

PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS DE RUNGE4 Y RUNGE4GRAF Ejemplos de procedimientos programados de Runge4 y Runge4graf, que permiten calcular la tabla de valores correspondiente y la representación gráfica de la solución aproximada obtenida mediante el método de Runge-Kutta de orden 4 seleccionado:



39

Aplicamos: Probamos el método anterior con el P.V.I. intervalo [0,1], con longitud de paso 0.1

40

en el

EJEMPLOS DE RUNGE-KUTTA

Ejemplo 1: Resolución mediante el método de Runge-Kutta de orden 4 programado anteriormente,

en el intervalo [1,2] con h=0.1

Solución Borramos posibles asignaciones de las variables, definimos la función asociada al P.V.I. y aplicamos el método numérico.

41

Ejemplo 2: Dado el P.V.I.

obtener

el

valor

aproximado de la solución en t=3, usando el procedimiento Runge4 y tomando como longitud de paso h=0.01. Analizar el comportamiento de la gráfica comparándola con la de la solución del P.V.I.

Solución: No se puede resolver este P.V.I:

Borramos posibles asignaciones de las variables, definimos la función asociada al P.V.I. y aplicamos el método numérico:

42

Resolvemos ahora, mediante el mismo procedimiento el segundo P.V.I

Como vemos, las dos gráficas se separan poco antes de t = 2 . El brusco descenso que se produce en la gráfica de la solución del primer P.V.I. se debe a la presencia

del impulso

que se resta a

y hace variar el crecimiento de

la solución. El impulso citado se representa a continuación:

43

CONCLUSIONES El método de Runge-Kutta, es uno de los métodos genérico que nos sirve para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Los sucesivos métodos a estudiar tienen su base en el Método de Euler, también llamado el método RK4.

Se concluye que esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto lo cual significa que el error por paso es del orden: 0(h 5) mientras que el error total acumulado tiene el orden: 0(h 4).

Cada método que se presentó en este proyecto como ejercicios resuelto que fueron puestos en este trabajo, fue colocado con el único objetivo de que fuera más fácil su compresión de cada método que fue investigado en este proyecto, también podemos decir que estos métodos para poder resolver un problema es necesario tener una calculadora programable por la razón de que si hace sin una de ellas resulta demasiado largo la resolución de cada problema.

Tener en cuenta que para resolver cada problema de los métodos numéricos es necesario tener orden porque la cantidad de datos son demasiados, también se necesita tener los programas para resolver cada método.

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Conclusión Final Luego de haber analizado los tres métodos podemos concluir que: El método de Euler, entonces, es el método desarrollado por Leonhard Euler, con el propósito de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) incrementando cada la variable independiente h.

El método de Euler modificado es un método exclusivo para las ecuaciones diferenciales. El método de Euler modificado también muestra más flexibilidad en el proceso de obtener repuestas debido a que esta puede tomar como base un valor más preciso si se acerca la integral del valor a escoger. El método de Runge-Kutta, es uno de los métodos genérico que nos sirve para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Los sucesivos métodos a estudiar tienen su base en el Método de Euler, también llamado el método RK4. Dando así finalizado el trabajo de la monografía, teniendo en cuenta estos métodos podemos expandir nuestros conocimientos en la programación para resolver casi cualquier problema matemático aplicando la lógica y los conceptos y métodos aprendidos durante el curso.

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Monografia

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