CAPITULO
IX
ANÁLISIS BAJO RIESGO E INCERTIDUMBRE EN PROYECTOS DE INVERSIÓN
LISIS DE RIESGO E
INTRODUCCIÓN I. ANÁLISIS BAJO RIESGO 1.1 1.2 1.2.1
El Riesgo En Los Proyectos Métodos Para Tratar El Riesgo El Método del Criterio Subjetivo 1.2.1.1 Dependencia e independencia de los flujos de caja en el tiempo 1.2.1.2 Las distribuciones de probabilidad del VAN y la TIR
1.2.2 El Método del ajuste a la tasa de descuento. 1.2.3 El método de la equivalencia a certidumbre. 1.2.4 El método de los valores esperados. o modelo dl árbol de decisión 1.2.5 Los métodos basados en mediciones estadísticas o Modelo de simulación de Monte Carlo II. ANÁLISIS BAJO INCERTIDUMBRE 2.1. Criterio Maximin - pesimista o conservador 2.2. Criterio Minimax - pesimista o conservador 2.3. Criterio Maximax - optimista o agresivo 2.4. Principio de Laplace
LAPLACE CONCLUSIONES DE ANÁLISIS BAJO RIESGO E INCERTIDUMBRE EN PROYECTOS DE INVERSIÓN RECOMENDACIONES DE ANÁLISIS BAJO RIESGO E INCERTIDUMBRE EN PROYECTOS DE INVERSIÓN
INTRODUCCIÓN Al no tener certeza sobre los flujos futuros de caja que ocasionará cada inversión, se estará en una situación de riesgo o incertidumbre. Existe riesgo cuando hay una situación en la cual una decisión tiene más de un posible resultado y la probabilidad de cada resultado específico se conoce o se puede estimar. Existe incertidumbre cuando esas probabilidades no se conocen o no se pueden estimar. El objetivo de este capítulo es analizar el problema de la medición del riesgo en los proyectos y los distintos criterios de inclusión y análisis para su evaluación. Existen diversos factores que dan lugar a la introducción del riesgo en los proyectos de inversión. La situación económica del país y las medidas de política que se adopten, el mercado, la tecnología, la legislación laboral, las tasas de interés, etc. Hacen prácticamente imposible predecir el futuro con exactitud. En consecuencia, los ingresos, costos y vida útil del proyecto no se conocen en total certeza. El análisis de riesgo de un proyecto permite dar al inversor una idea de la posibilidad de obtener los retornos a su capital. De ahí la importancia de su análisis pues permite tomar una decisión }en relación a invertir en un proyecto. En el cado de proyectos altamente riesgosos, deberán tenerse mucho cuidado en la asignación de recursos debido que al variar las condiciones originales proyectadas, podrían generarse proyectos no rentables y por lo tanto deberían descartarse o postergarse, salvo que desde el punto de vista social se justifique su ejecución.
CAPITULO
IX
ANÁLISIS BAJO RIESGO E INCERTIDUMBRE EN PROYECTOS DE INVERSIÓN
I. ANÁLISIS BAJO RIESGO 1.1 EL RIESGO EN LOS PROYECTOS El riesgo de un proyecto se define como la variabilidad de los flujos de caja reales respecto de los estimados. Mientras más grande sea esta variabilidad, mayor es el riesgo del proyecto. De esta forma, el riesgo se manifiesta en la variabilidad de los rendimientos del proyecto, puesto que se calculan sobre la proyección de los flujos de caja. Como ya se indicó, riesgo define una situación donde la información es de naturaleza aleatoria, en que se asocia una estrategia a un conjunto de resultados posibles, cada uno de los cuales tiene asignada una probabilidad. La incertidumbre caracteriza a una situación donde los posibles resultados de una estrategia no son conocidos y, en consecuencia, sus probabilidades de ocurrencia no son cuantificables. La incertidumbre, por lo tanto, puede ser una característica de información incompleta. de exceso de datos, o de información inexacta, sesgada o falsa. La incertidumbre de un proyecto crece en el tiempo. El desarrollo del medio condicionará la ocurrencia de los hechos estimados en su formulación. La sola mención de las variables principales incluidas en la preparación de los flujos de caja deja de manifiesto el origen de la incertidumbre: el precio y calidad de las materias primas; el nivel tecnológico de producción; las escalas de remuneraciones; la evolución de los mercados: la solvencia de los proveedores; las variaciones de la demanda, tanto en cantidad, calidad como en precio: las políticas del gobierno respecto del comercio exterior (sustitución de importaciones, liberalización del comercio exterior); la productividad real de la operación, etcétera. Una diferencia menos estricta entre riesgo e incertidumbre identifica al riesgo como la dispersión de la distribución de probabilidades del elemento en estudio o los resultados calculados, mientras que la incertidumbre es el grado de falta de confianza respecto a que la distribución, de probabilidades estimadas sea la correcta.
John nadá señala y analiza ocho causas del riesgo e incertidumbre en los proyectos. Entre éstas cabe mencionar el numero insuficiente de inversiones similares que puedan proporcionar información promediable: los prejuicios contenidos en los datos y su apreciación, que inducen efectos optimistas o pesimistas, dependiendo de la subjetividad del analista: los cambios en el medio económico externo que anulan la experiencia adquirida en el pasado, y la interpretación errónea de los datos o los errores en la aplicación de ellos. Se han hecho muchos intentos para enfrentar la falta de certeza en las predicciones. Las que 1.2. MÉTODOS PARA TRATAR EL RIESGO Para incluir el efecto del factor riesgo en la evaluación de proyectos de inversión se han desarrollado diversos métodos o enfoques que no siempre conducen a un idéntico resultado. La información disponible es, una vez más, uno de los elementos determinantes en la elección de uno u otro método. El Criterio Subjetivo es uno de los métodos comúnmente utilizados. Se basa en consideraciones de carácter informal de quien toma la decisión, no incorporando específicamente el riesgo del proyecto, salvo en su apreciación personal. Se ha intentado mejorar este método sugiriendo que se tengan en cuenta la expectativa media y la desviación estándar del VAN, lo cual, aunque otorga un carácter más objetivo a la inclusión del riesgo, no logra incorporarlo en toda su magnitud. De igual forma, el análisis de fluctuaciones de los valores optimistas, más probables y pesimistas del rendimiento del proyecto, sólo disminuye el grado de subjetividad de la evaluación del riesgo, pero sin eliminarla. Los métodos basados en mediciones estadísticas o Modelo de simulación de Monte Carlo son quizás los que logran superar en mejor forma, aunque no definitivamente, el riesgo asociado a cada proyecto. Para ello, analizan la distribución de probabilidades de los flujos futuros de caja para presentar a quien tome la decisión de aprobación o rechazo los valores probables de los rendimientos y de la dispersión de su distribución de probabilidad. El Método del ajuste a la tasa de descuento. Con este método, el análisis se efectúa sólo sobre la tasa pertinente de descuento, sin
entrar a ajustar o evaluar los flujos de caja del proyecto. Si bien este método presenta senas deficiencias, en términos prácticos es un procedimiento que permite solucionar las principales dificultades del riesgo. El método de la equivalencia a certidumbre. Según este criterio, quien decide está en condiciones de determinar su punto de indiferencia entre flujos de caja por percibir con certeza y otros, obviamente mayores, sujetos a riesgo. El método de los valores esperados. Este método, conocido comúnmente como análisis del árbol de decisiones, combina las probabilidades de ocurrencia de los resultados parciales y finales para calcular el valor esperado de su rendimiento. Aunque no incluye directamente la variabilidad de los flujos de caja del proyecto, ajusta los flujos al riesgo en función de la asignación de probabilidades. El método del análisis de sensibilidad, es una forma especial de considerar el riesgo, se analiza por la importancia práctica que ha adquirido. La aplicación de este criterio permite definir el efecto que tendrían sobre el resultado de la evaluación cambios en uno o más de los valores estimados en sus parámetros. 1.2.1 METODO DEL CRITERIO SUBJETIVO Se definió el riesgo de un proyecto como la variabilidad de los flujos de caja reales respecto de los estimados. Ahora corresponde analizar las formas de medición de esa variabilidad como un elemento de cuantifícación del riesgo de un proyecto. La falta de certeza de las estimaciones del comportamiento futuro se pueden asociar normalmente a una distribución de probabilidades de los flujos de caja generados por el proyecto. Su representación gráfica permite visualizar la dispersión de los flujos de caja, asignando un riesgo mayor a aquellos proyectos cuya dispersión sea mayor.
Existen, sin embargo, formas precisas de medición que manifiestan su importancia principalmente en la comparación de proyectos o entre alternativas de un mismo proyecto. La más común es la desviación estándar, que se calcula mediante la expresión n ∑ (FC ti – FC t )2 * Pi i=1
σ = donde FC ti
es el flujo de caja del periodo t, si ocurriera la situación i
FC t
es el promedio ponderado de los flujos de caja del periodo t
Pi es su probabilidad de ocurrencia de la situación i n FC t = ∑ FC ti * Pi i=1
Mientras mayor sea la dispersión esperada de los resultados de un proyecto, mayores serán su desviación estándar y su riesgo. y Aquellos FC con menor dispersión y menor variabilidad son menos riesgosos A partir de estas definiciones se puede derivar el valor esperado y la desviación estándar del VAN con el que será posible medir el Riesgo del Proyecto, entonces el valor esperado es igual a: n VE (VAN) = - I0
+
∑
FC t
t =1
(1 + i) 2
1.2.1.1. Dependencia E Independencia De Los Flujos De Caja En El Tiempo La Varianza del VAN dependerá de la correlación existente entre los Flujos de caja. Si tales flujos son independientes entre si entonces: V (VAN) =
n ∑ t =1
σ2 (1 + i) 2 t
sin correlacion
lo usual sin embargo es que exista una correlación entre los flujos de caja de periodos sucesivos dado que se ven afectados por Factores Propios del Proyecto. En la situación
extrema de una correlación Perfecta de los flujos de caja, la Varianza será:
V (VAN) =
n ∑ t =1
2 σt (1 + i) t
con correlacion
1.2.1.2. Las distribuciones de probabilidad del VAN y la TIR A partir del cálculo del valor esperado y la desviación estándar del VAN es posible estimar la probabilidad de que el VAN de un proyecto sea positivo o tome un valor determinado, dados distintos valores para el COK. Para ello se utiliza la distribución estandarizada Z, de la forma: Z = VANHo - E(VAN) σ (VAN) donde VANHo es el valor del VAN para el que se requiere determinar la probabilidad de ocurrencia. De esta manera, será posible verificar diversas hipótesis sobre los valores que puede tomar el VAN de un proyecto y/ó sobre los intervalos de confianza dentro de los cuales se puede mover este indicador de rentabilidad. Así mismo, a partir de la distribución de probabilidades del VAN es posible derivar la de la T1R, si es que se recuerda que la probabilidad de que el VAN sea menor que cero es igual a la probabilidad de que la T1R sea menor que el valor de la COK utilizado para estimar la primera probabilidad. Si graficamos la probabilidad de que el VAN sea negativo para diversos COK, será posible determinar el valor de este último que corresponde a una probabilidad acumulada de 50%; dicho valor será la media de la T1R. Para encontrar su desviación estándar, hay que tener en cuenta que en el caso de una distribución normal, como la del VAN y la T1R, la probabilidad de que su verdadero valor se encuentre en el intervalo E (VAN) ± σ (VAN), es igual a 68%; es decir, la desviación estándar de la T1R estará dada por la distancia existente entre las tasas de interés que corresponden a las probabilidades acumuladas 16% (50 - 68/2) y 84% (50 + 68/2) de la distribución del VAN.
EJEMPLO 1: La inversión necesaria para ejecutar un proyecto de 3 años de duración es US$ 850,000. El estimado de los flujos futuros se presenta en el cuadro siguiente: ESTIMADO DE FLUJO DE CAJA (En miles de dólares) Prob. 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2
F1 200 250 300 350 400 450
Prob. 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0.3
F2 300 350 400 420 440 460
Prob. 0.2 0.2 0.1 0,1 0.1 0.3
F3 450 500 550 600 650 700
Si se asume independencia entre los términos del flujo, y la tasa costo de oportunidad de un inversionista es 15% por período: a) Determinar si le conviene ejecutar el proyecto asumiendo que los términos del flujo de caja son independientes. b) ¿Cuál es la probabilidad de perder en este proyecto? Solución De acuerdo con los datos, debemos entender que los beneficios netos por período se deben considerar como variables aleatorias, cuyas funciones de probabilidad están especificadas en el cuadro. Por lo tanto, el primer paso es hallar los valores esperados y las desviaciones estándar de las variables aleatorias F1 F2 y F3 E(F1) = 325 s(F1) = 81.3941 E(F2) = 394 s(F2) = 61.1882 E(F3) = 580 s(F3) = 97.9796 En segundo lugar, debemos hallar el valor esperado del VPN que se obtendrá en el proyecto. Para ello utilizamos los valores esperados anteriormente hallados. E(VPN) = - 850 + 325 + 394 + (1.15) (1.15)2 E(VPN) = 111.8887
580 (1.15)3
El resultado anterior nos indica que, en promedio, podemos esperar obtener un VPN igual a
$111,888.70; sin embargo, en un contexto de riesgo. una variable adicional importante de considerar es la desviación estándar. Para hallarla, debemos asumir una determinada relación entre los términos del flujo de caja del proyecto, las cuales pueden ser: 1) Independencia 2) Correlación perfecta 3) Correlación imperfecta En el último caso, el tratamiento formal matemático es muy complicado. por ello se acostumbra a utilizar el método del árbol de probabilidades. Si asumimos independencia entre los flujos del proyecto σ (VPN)
σ2 (Ft) = [∑ ——— ] 1/2 t=0 (1+i)2t
σ (VPN)
(81.3941)2 (61.1882)2 (97.9796)2 = [ ————— + ———— + ———— ] 1/2 (1.15)2 (1.15)4 (1.15)6
σ (VPN)
= 106.30
El resultado anterior nos indica que la variabilidad o dispersión promedio alrededor del valor esperado del VPN es de US$ 106,300 aproximadamente. Dados los resultados anteriores podemos hallar la probabilidad de perder en el proyecto, es decir, de que el VPN sea menor que cero. Si asumimos que el VPN es una variable aleatoria que se distribuye normalmente, el primer paso será estandarizar la variable para luego hallar la probabilidad requerida: Z = VPN - E(VPN) =
VPN - 111.8887
o(VPN)
106.30
Donde z es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con media cero y desviación estándar igual a la unidad. Prob (VPN<0)
= Prob ( VPN-111.8887 < 0-111.8887 ) 106.30
106.30
= Prob (z <-1.0526) Observando el valor de z en tablas:
Respuesta :
Prob (VPN < 0) = 14.69%
EJEMPLO 2 : Evaluar los siguientes proyectos si se sabe que el proyecto A está en unidades monetarias reales del período cero, mientras que el proyecto B está en unidades monetarias reales del período tres. Proyecto A: Prob. F1 0.3 20 0.1 40 0.1 60 0.1 70 0.2 100 0.2 120 Proyecto B:
Prob. 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2
F2 40 60 65 70 100 110
Prob. 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2
F3 50 60 70 80 90 110
Prob. 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.3
Prob. 0.1 0.1 0.1 0.1 0.3 0.3
F2 40 60 65 70 75 95
Prob. 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.3
F3 60 65 70 75 90 95
F1 10 20 60 65 70 90
Datos adicionales: - La inversión que se requiere para ejecutar el proyecto A es 60 u.m. • del período cero. - El proyecto B requiere para su ejecución una inversión de 60 u.m. del período tres. - La inflación para los años 1, 2 y 3: 3%, 5% y 3% respectivamente. - La tasa mínima atractiva de retorno (TMAR) corriente por utilizar es 10% anual. Determinar cuál es el proyecto de menor riesgo relativo si se asume que los términos del flujo: a) Son independientes b) Están perfectamente correlacionados Solución a) La TMAR está en términos corrientes y los flujos son reales; por tanto, el primer paso consiste en hallar la tasa de descuento equivalente real para cada período: TMAR1 = (0.1- 0.03)/(1.03) = 6.8% (períodos 1 y 3) TMAR2 = (0.1- 0.05)/(1.05) = 4.76% (período 2)
El siguiente paso consiste en hallar los valores esperados para cada componente del flujo de caja, así como sus desviaciones estándar. Luego se determinará el valor esperado del VPN para cada proyecto, así como la desviación estándar de los mismos. Proyecto A: E(F1) = 67
σ (F1) = 39
E(F2) = 73.5 E(F3) = 76
σ (F2) = 27.75 σ (F3) = 22.45
E(VPNA) = - 60 +
67 (1.068)
+
73.5 + 76 (1.068)(1.0476) (1.068)2 (1.0476)
E(VPNA)= 132.03 (unidades monetarias del período cero) Si asumimos independencia entre los términos que conforman el flujo de cada proyecto, se debe utilizar la siguiente expresión para hallar la desviación estándar del VPN de los proyectos A y B.
n σ 2 (VPN) =
σ 2 (VPNA) =
(39)2
(27.75)2
+
(1.068)2
σ 2 (Ft) (1 + i) 2 t
∑ t =1
(22.45)2
+
(1.068) 2 (1.0476)2
(1.068)4(1.0476)2
Despejando el valor de la desviación estándar: σ 2 (VPNA) = 47.98 (unidades monetarias del período cero) Proyecto B: E(F1) = 63
σ (F1) = 26.38
E(F2) =74.5
σ (F2)= 16.65
E(F3) = 81
σ (F3) =12.81
E(VPNB)
= - 60
+
63 + 74.5 + 81 (1.068) (1.068)(1.0476) (1.068)2 ( 1.0476)
E(VPNB)
= 133.36 (unidades monetarias del período 3)
Si se asume independencia entre los términos del flujo del proyecto: σ (VPNB)
= [ (26.38)2
+ (16.65)2
+
(12.81)2
] 1/2
(1.068)2
(1.068)2(1.0476)2
(1.068)4(1.0476)2
σ (VPNB) = 30.77 (unidades monetarias del período 3) Transformando unidades monetarias: E (VPNB) = 119.72 (unid. monetarias del período cero) σ (VPNB) = 27.62 (unid. monetarias del período cero) Según los resultados obtenidos, el proyecto A es el de mayor VPN sin embargo, también es el de mayor riesgo. En estos casos debemos calcular el coeficiente de variación (desviación estándar entre el valor esperado) con el fin de elegir aquel proyecto con menor riesgo relativo. En forma resumida: Proyecto
A
B
E(VPN)
132.03
119.72
σ (VPN) C.V.
47.98 0.36
27.62 0.23
Por lo tanto, lo recomendable es elegir el proyecto B si el objetivo es asumir el menor riesgo relativo al ejecutar uno de los proyectos. b) Si los flujos están perfectamente correlacionados, entonces la expresión para calcular la desviación estándar del VPN es la siguiente: .
n σ (VPN) = ∑ σ (Ft) t =1 (1 + i) t Aplicando la expresión anterior a cada uno de los proyectos: Proyecto A: σ (VPNA) =
(39)
+
(1.068) σ (VPNA) =
(27.75)
+
(1.068) (1.0476)
(22.45) (1.068)2(1.0476)
80.11 (unidades monetarias del período cero)
Proyecto B: σ (VPNB)
= (26.38) + (16.65) + (12.81) (1.068) (1.068)(1.0476) (1.068)2(1.0476)
σ (VPNB) = 50.30 (unidades monetarias del período 3) Respuesta : Los resultados en relación al coeficiente de variación serían los siguientes: Proyecto
A
B
E(VPN)
132.03
133.36
σ (VPN) C.V.
80.11 0.61
50.30 0.38
Como podemos observar, el proyecto B es el de menor riesgo relativo. Cabe mencionar que como el coeficiente de variación no tiene unidades, no es necesario que los proyectos A y B estén expresados en las mismas unidades monetarias. EJERCICIOS DE APLICACIÓN: CASO PRÁCTICO Nº 1 El desembolso inicial de una inversión, así como sus flujos de Caja nos e pueden determinar con exactitud pero si es posible conocerlos en términos de Probabilidades. Los posibles valores de dichos magnitudes y probabilidades son: Io 30,000
PR 0.15
F1 8,000
PR1 0.10
F2 16,000
PR2 0.15
F3 23,000
PR3 0.20
34,000
0.15
10,000
0.05
18,000
0.25
25,000
0.10
36,000
0.20
12,000
0.25
20,000
0.20
29,000
0.15
38,000
0.20
14,000
0.25
22,000
0.10
32,000
0.15
40,000
0.15
16,000
0.05
24,000
0.20
35,000
0.30
48,000
0.15
18,000
0.30
26,000
0.10
38,000
0.10
A. Hallar: EL valor esperado, la varianza y la desviación estándar del valor presente del proyecto asumiendo FLujos de Caja Independientes. El costo de capital es de 8% (COK = 8%). B. Flujos de Caja perfectamente correlacionados.
CASO PRÁCTICO Nº 2 El desembolso inicial de una inversión, así como sus flujos de Caja nos e pueden determinar con exactitud pero si es posible conocerlos en términos de Probabilidades.
Los posibles valores de dichos magnitudes y probabilidades son: Io 40,000
PR 0.10
F1 12,000
PR1 0.15
F2 20,000
PR2 0.10
F3 22,000
PR3 0.15
42,000
0.15
14,000
0.10
22,000
0.15
24,000
0.15
44,000
0.20
16,000
0.20
24,000
0.15
26,000
0.10
46,000
0.20
18,000
0.15
26,000
0.20
28,000
0.20
48,000
0.15
20,000
0.25
28,000
0.10
30,000
0.15
50,000 0.20 22,000 0.15 30,000 0.30 32,000 0.25 A. Hallar: EL valor esperado, la varianza y la desviación estándar del valor presente del proyecto asumiendo FLujos de Caja Independientes. El costo de capital es de 9% (COK = 9%). B. Flujos de Caja perfectamente correlacionados. CASO PRÁCTICO Nº 3 El desembolso inicial de una inversión, así como sus flujos de Caja nos e pueden determinar con exactitud pero si es posible conocerlos en términos de Probabilidades. Los posibles valores de dichos magnitudes y probabilidades son: Io 37,000
PR 0.20
F1 5,000
PR1 0.15
F2 17,000
PR2 0.30
F3 30,000
PR3 0.25
39,000
0.20
7,000
0.15
19,000
0.15
32,000
0.15
41,000
0.20
9,000
0.15
21,000
0.15
34,000
0.20
43,000
0.10
12,000
0.15
23,000
0.15
36,000
0.10
45,000
0.15
13,000
0.10
25,000
0.15
38,000
0.15
47,000 0.15 15,000 0.30 27,000 0.10 40,000 0.15 A. Hallar: EL valor esperado, la varianza y la desviación estándar del valor presente del proyecto asumiendo FLujos de Caja Independientes. El costo de capital es de 5% (COK = 5%). B. Flujos de Caja perfectamente correlacionados. 1.2.2 MÉTODO DEL AJUSTE A LA TASA DE DESCUENTO Una forma de ajustar los flujos de caja consiste en hacerlo mediante correcciones en la tasa de descuento. A mayor riesgo, mayor debe ser la tasa para castigar la rentabilidad del proyecto. De esta forma, un proyecto rentable evaluado en función de una tasa libre de riesgo puede
resultar no rentable si se descuenta a una tasa ajustada. El principal problema de este método es determinar la tasa de descuento apropiada para cada proyecto. Al no considerar explícitamente información tan relevante como la distribución de probabilidades del flujo de caja proyectado, de esta forma el mayor riesgo se compensa por una mayor taza de descuento que tiende a castigar el proyecto de acuerdo con esto el calculo del valor actual neto se efectúa de la siguiente manera: n
∑
VAN =
t =1
BN t (1 + f )
-
I
0
2
siendo BN, los beneficios netos del período t y f la tasa de descuento ajustada por riesgo que resulta de aplicar la siguiente expresión
f=1+p donde i es la tasa libre de riesgo y p es la prima por riesgo que exige el inversionista para compensar una inversión con retornos inciertos. La dificultad de este método reside en la determinación de la prima por riesgo. Al tener un carácter subjetivo, las preferencias personales harán diferir la tasa adicional por riesgo entre distintos inversionistas para un mismo proyecto.
1.2.3
EL MÉTODO DE LA EQUIVALENCIA A CERTIDUMBRE
La equivalencia a certidumbre es un procedimiento de alternativa al método de la tasa de descuento ajustada por riesgo. Según este método, el flujo de caja del proyecto debe ajustarse por un tactor que represente un punto de indiferencia entre un flujo del que se tenga certeza y el valor esperado de un flujo sujeto a riesgo. Si se define este factor como a, se tiene que:
α
= BNC t
BNR t
donde
αt
= es el factor de ajuste que se aplicará a los flujos de caja inciertos en el período t;
BNC t = representa el flujo de caja en el período t sobre el que se tiene certeza y BNR t = representa el flujo de caja incierto en el período t. El factor del coeficiente a varía en forma inversamente proporcional al grado de nesgo. A
mayor riesgo asociado, menor será el coeficiente αt cuyo valor estará entre cero y uno. ejemplificando una situación en que debe optarse por una de estas alternativas: a) recibir SI.000.000 si al tirar al aire una moneda perfecta resulta cara, sin obtener nada si sale sello, b) no tirar la moneda y recibir S300.000. El valor esperado de la primera opción es $500.000 (0.5 x 1.000.000 + 0.5 x 0). Si el jugador se muestra indiferente entre las alternativas, los S300.000 son el equivalente de certeza de un rendimiento esperado de S500.000 con riesgo. Al reemplazar mediante estos valores en la ecuación se tiene: 300.000 = 0,6 500.000 CASO PRÁCTICO Nº 1 UNA DECISION INDIVIDUAL Un individuo tiene la siguiente función de utilidad: Utj = 2ln (FNtj+1) Donde Utj es la utilidad asociada a FN tj (flujo neto probable) ocurrido en el período “t” para la alternativa “j”. Se tiene que optar por una de las dos alternativas siguientes, (ambas requieren una inversión inicial de 100 U.M. y tiene una vida útil de 3 años). Alternativa A FN1A 50 70 90
P1A 0.2 0.3 0.5
FN2A 80 100 110
P2A 0.4 0.3 0.3
FN3A 90 110 150
P3A 0.4 0.3 0.3
P1B 0.5 0.3 0.2
FN2B 80 150 200
P2B 0.4 0.4 0.2
FN3B 100 180 240
P3B 0.6 0.3 0.1
Alternativa B FN1B 60 90 150 COK = 10% a.
Hallar la mejor alternativa (A o B) sobre la base del método del equivalente a la certidumbre.
b.
¿Qué prima por riesgo se escogería en cada caso para que los resultados coincidieran al usar una tasa de descuento ajustada?. Solución
A.
Es necesario estimar los flujos ciertos asociados a los flujos riesgosos de cada alternativa. Ellos se muestran en el siguiente cuadro.
Alternativa A A. E (FNAi) B. E(U(FNAi)1/ C. FNAi(cierto)2/ Alternativa B D. E(FNBi) E. E(U(FNBi)1/ F. FNBi(cierto)3/
0
1
2
3
VAN(10%)
-100
76 8.64 74
95 9.11 94
114 9.44 111
133
87 8.82 81
132 9.65 124
138 9.75 130
192
-100 -100 -100
129
174
Respuesta. La mejor alternativa sobre la base del método del equivalente a la certidumbre es la alternativa B: tiene un VAN10% mayor que el de A. B.
Para hallar la prima por riesgo es necesario calcular una tasa de descuento tal que el valor actual de los flujos riesgosos sea igual que el valor actual de los flujos asociados descontados al 10%. Así. 76 95 114 129 = -100 + -------- + --------- + ----------(1.1+PA) (1.1+PA)2 (1.1+PA)3 de donde PA = 0.009823 87 132 138 174 = -100 + --------- + --------- + ----------(1.1+PB) (1.1+PB)2 (1.1+PB)3 de donde PB = 0.033999
Respuesta. La prima por riesgo necesaria para la alternativa A es de 0.98 puntos porcentuales y para la alternativa B es de 3.4 puntos porcentuales. 1.2.4
EL MÉTODO DE LOS VALORES ESPERADOS. O MODELO DL ÁRBOL DE DECISIÓN
El método de árboles de decisión es un enfoque por medio del cual se puede hacer un análisis de como las decisiones tomadas en el presente afectan o pueden afectar las decisiones en el futuro, ya que muchas decisiones tomadas en el presente no consideran las consecuencias que pueden originar a largo plazo, por lo que se utiliza cuando es importante considerar las
secuencias de decisión y se conocen las probabilidades de que sucedan en el futuro los eventos bajo análisis. Los árboles de decisión se construyen, por ejemplo, a partir de 3 situaciones u opciones mutuamente excluyentes que se pueden seleccionar. De cada una de estas opciones se generan a su vez, otras dos o tres opciones. Los árboles de decisión se usan para evaluar un proceso de decisión de “múltiples etapas” en el cual se toman decisiones dependientes una tras otra. Cada decisión se representa gráficamente por un cuadrado con un número dispuesto en una bifurcación del árbol de decisión. Cada rama que se origina en este punto representa una alternativa de acción. Además de los puntos de decisión, en este árbol se expresan, mediante círculos, los sucesos aleatorios que influyen en los resultados. A cada rama que parte de estos sucesos se le asigna una probabilidad de ocurrencia. De esta forma, el árbol representa todas las combinaciones posibles de decisiones y sucesos, permitiendo estimar un valor esperado del resultado final, como un valor actual neto, utilidad u otro. Ejemplo 1 Una compañía tiene las opciones de construir una planta de tamaño regular o una pequeña que se pueda ampliar después. La decisión depende principalmente de las demandas futuras del producto que producirá la planta. La construcción de una planta de tamaño completo puede justificarse en términos económicos si el nivel de demanda es alto. En caso contrario, quizá sea recomendable construir una planta ahora y después decidir en dos años si esta se deba ampliar. El problema de decisión de múltiples etapas se presenta aquí por que si la compañía decide construir ahora una planta pequeña, en dos años deberá tomarse una decisión a futuro relativa a la expansión de dicha planta. El problema de decisión se divide en dos etapas: una decisión ahora relativa a la dimensión o tamaño de la planta y una decisión de aquí a dos años referente a la expansión de la planta(suponiendo que se decide construir una planta pequeña ahora). El problema se va a resolver por medio de un árbol de decisiones, se supone que la demanda puede ser alta o baja. Su representación gráfica puede observarse a continuación.
Solución Si comenzamos con el nodo 1 (un punto de decisión), debemos tomar la decisión referente al tamaño de la planta. El nodo es un evento probabilístico del cual emanan dos ramas que representan demanda baja y alta, dependiendo de las condiciones del mercado. El nodo 3 es
también un evento probabilístico del cual emanan dos ramas que representan demandas alta y baja. Los datos del árbol de decisión deben incluir las probabilidades asociadas con las ramas que emanan de los eventos de oportunidad y los ingresos asociados con las diversas alternativas del problema. Si suponemos que la compañía está interesada en estudiar el problema en un periodo de 10 años. Un estudio de mercado indica que las probabilidades de tener demandas altas y bajas en los 0 años siguientes son 0.75 y 0.25, respectivamente. La construcción inmediata de una planta grande costará $5 millones y una planta pequeña costara solo $1 millón. La expansión de la planta pequeña de aquí a dos años se calcula costará $4.2 millones. Los cálculos del ingreso anual de cada una de las alternativas se indican a continuación: 1.- La planta completa y la demanda alta(baja) producirán $1,000,000 ($300,000) anualmente 2.- La planta pequeña y una baja demanda generarán $200,000 anuales 3. - La planta pequeña y la demanda alta producirán $250,000 para cada uno de los 10 años 4.- La planta pequeña ampliada con demanda alta(baja) generará $900,000 ($200,000) anualmente 5.- La planta pequeña sin expansión y con alta demanda en los dos primeros años, seguida de una demanda baja producirá $200,000 para cada uno de los 8 años restantes. La evaluación de las alternativas está basada en el uso del criterio del valor esperado. Los cálculos empiezan en la etapa 2 y después retroceden a la etapa 1, como se indica en la figura, Por lo tanto en los últimos 8 años , es posible evaluar las dos alternativas en el nodo 4 como sigue:
Por lo tanto, en el nodo 4, la decisión indica que no habrá expansión y la ganancia neta será esperada es $1,900,000. Después se reemplazan todas las ramas que emanan del nodo 4 por una sola rama con una ganancia neta esperada de $1,900,000 que representa la ganancia neta para los últimos ocho años. Ahora se efectúan los cálculos de la etapa 1 que corresponde al nodo 1 como sigue:
Ahora, se concluye que la decisión óptima en el nodo 1 es construir una planta grande, y por lo tanto se eliminan las consideraciones tomadas en el nodo 4.
RESPUESTA: Se concluye que se debe optar por construir la planta grande Ejemplo 2 se estudia el lanzamiento de un nuevo producto. Las posibilidades en estudio son introducirlo a nivel nacional o regional. Si se decide lanzar el producto regionalmente, es posible luego hacerlo a nivel nacional si el resultado regional a si lo recomendara.
Para tomar la decisión óptima, se analizan los sucesos de las alternativas de decisión más cercanas al final del árbol, calculando el valor esperado de sus valores actuales netos y optando por aquella que proporcione el mayor valor esperado del VAN
demanda Alta
Introducción Regional
1
Introducción Nacional
P= 0.7
VAN demanda alta P= 0.6 4000 Ampliar a nivel Nacional demanda Media P= 0.1 1000 P= 0.3 -2000 C demanda Baja 2
demanda alta P= 0.6 2000 continuar a nivel Regional demanda Media P= 0.1 1500 A P= 0.3 1000 D demanda Baja demanda Media P= 0.1 2000 demanda Baja P= 0.2 1000 demanda alta P= 0.5 demanda Media P= 0.2 B demanda Baja P= 0.3
Por ejemplo, la última decisión de nuestro caso es la [2], que presenta dos sucesos de alternativa. El valor esperado del suceso (C) se calcula aplicando la ecuación de la siguiente forma: 0.6 * 4000 = 2400 0.1 * 1000 = 100 0.3 * -2000 = -600 VAN
= 1900
que representa el valor esperado del VAN en el caso de ampliar la introducción a nivel nacional
En el caso de continuar en nivel regional se obtiene, por el mismo procedimiento. el siguiente resultado: 0.6 * 2000 = 1200 0.1 * 1500 = 150 0.3 * 1000 = 300 VAN
=
1650
Por lo tanto, la decisión será ampliar a nivel nacional, porque retoma un VAN esperado mayor.
5000 100 -3000
La siguiente decisión se refiere a la introducción inicial. Si es a nivel regional, existe un 70% de posibilidades de que la demanda sea alta. Si así fuese, el VAN esperado sería de 1.900. que correspondería al resultado de la decisión que se tomaría de encontrarse en ese punto de decisión. Aplicando el procedimiento anterior, se obtiene: 0.7 * 1900 = 1330 0.1 * 2000 = 200 0.2 * 1000 = 200 VAN
= 1730
Para la alternativa de introducción nacional se tendría: 0.5 * 5000 = 2500 0.2 * 100 =
20
0.3 *-3000 = -900 VAN
= 1620
En consecuencia, se optaría por una introducción inicial en el nivel regional, que luego se ampliaría a nivel nacional. Esta combinación de decisiones es la que maximiza el valor esperado de los resultados.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN CASO PRÁCTICO Nº 1 Proyecto de apertura de una heladería. Pedro García está pensando abrir una heladería este verano durante enero y febrero, sus meses de vacaciones. Su mama le prestara un local, por lo que los únicos costos de inversión necesarios serían mesas, sillas y la máquina de hacer helados, que cuesta $ 2 000. Según los noticieros, existe una probabilidad de o0.7 de que se presente el Fenómeno del Niño (calor extremo). Además, si la demanda es alta (probabilidad de 0.6)
se puede pensar en ampliar el mercado. Así pues, si la demanda es alta y se presenta el Fenómeno del Niño, los beneficios netos para enero serían de $ 1 100; si no se presenta el fenómeno serían de $ 1 000. por otro lado, si la demanda es baja y se presenta el Fenómeno del Niño, los beneficios netos serían de $ 900 para enero y de $ 1 000 para febrero, si no se presenta el fenómeno serían de $ 800 y de $ 900 para enero y febrero respectivamente. Además, si se presenta el Fenómeno del Niño y se amplia el mercado, los beneficios para febrero serían de $ 1 500 con una probabilidad de 0.65 y de $ 1 300 con una probabilidad de 0.35. Si no se amplia el mercado, dichos beneficios serían de $ 1 300. Si no se presenta dicho fenómeno y se amplia el mercado, los beneficios para febrero serían de $ 1 250 con una probabilidad DE 0.2. De lo contrario, los beneficios netos de febrero serían de $ 1 220. Pedro ha revelado que su función de utilidad por el dinero es logarítmica (U = LN (Dinero)) y que el costo de oportunidad mensual de su capital, libre de riesgo, es de 5%. ¿Es conveniente que Pedro haga el negocio? Si lo hace, ¿conviene ampliar el mercado? CASO PRÁCTICO Nº 2 La empresa Aeronaves del Perú S.A. La empresa Aeronaves del Perú S.A. está evaluando la compra de nuevas unidades para sus rutas internacionales. Para ello cuenta con dos propuestas: un avión turbopropulsor nuevo que costaría $ 550 000 y un avión de combustión de segunda mano que sólo cuesta $ 250 000. En el caso que la demanda fuera alta en el próximo período se podrían hacer refracciones al avión de segunda mano por $ 150 000 a principios el segundo período. A continuación se presentan la evolución de las demandas, sus probabilidades de ocurrencia y los beneficios netos asociados para cada uno de los aviones.
Opción 1: Avión turbopropulsor. Primer año
Prob.
B. neto ($ miles)
Segundo año
Prob.
B. neto ($ miles)
Demanda alta
0.6
150
Demanda baja
0.4
30
Demanda alta Demanda baja Demanda alta Demanda baja
0.8 0.2 0.4 0.6
960 220 930 140
Opción 2: Avión de combustión.
Primer año Prob. Demanda alta
B. neto ($ miles)
0.6
100
Segundo año Repara -150 No repara
Demanda baja
0.4
25
Demanda alta Demanda baja Demanda alta Demanda baja Demanda alta Demanda baja
Prob.
B. neto ($ miles)
0.8
800
0.2
100
0.8
410
0.2
180
0.6
220
0.4
100
Si el costo de capital es 10%, ¿Qué avión recomendaría usted comprar? (Haga el análisis para un horizonte de dos periodos). CASO PRÁCTICO Nº 3 La empresa Petróleos del Norte. La empresa Petróleos del Norte está evaluando la explotación de lote Lobitos y la del lote Zorritos. Se conoce que, por las condiciones de los lotes, la explotación de Zorritos costaría $700000 y la de Lobitos, $30000. En el caso de que se explotara el lote Lobitos, la probabilidad de que se encuentre petróleo es 0.7; y, en Zorritos; la probabilidad es 0.6. En el caso que no se encontrara petróleo en Zorritos, se obtendrá un VAN de $ -900000; si no se encontrara petróleo en Lobitos, se obtendría un VAN de $ -500000 ( en ambos casos el VAN incluye la inversión inicial). Se espera que la producción empezará en el segundo periodo para el cual se ha estimado que las probabilidades que los precios sean altos, normales y bajos son 0.6, 0.3 y 0.1, respectivamente. En Zorritos, si el precio fuese alto en el periodo 2, se obtendrá hasta el período 6 un BN de $ 1 500 000 anuales. Si el precio fuese normal, el BN será de $ 1 000 000 en el mismo período, mientras que si el precio fuera bajo, este BN sólo será de $ 800 000. en el caso de Lobitos bajo las mismas condiciones, el BN será $ 700 000, $ 500 000 y $ 300 000 respectivamente para los precios señalados. Se tiene claro en Zorritos que si el precio fue alto en el período 2, es posible reinvertir en el período 6. Si se reinvierte $ 400 000, ganaría $ 3 000 000 anuales en los periodos 7 y
10, y si no se reinvierte solo se ganaría $ 2 000 000 al año. Si el precio fuera bajo en el período 2, se tiene la opción de vender sus activos en el período 6. si se vendieran los activos se obtendría $ 2 500 000; y, si no se vendieran, se continuaría operando y se ganaría $ 800 000 al año entre el período 7 y 10. si el precio fuese normal, se ganaría $ 1 800 000 anuales en el mismo período. En el caso de Lobitos, las decisiones son más sencillas. Si el precio fuera alto en el período 2, se tiene la opción de reinvertir $ 150 000 en el período 6, ganándose con ello $ 900 000 anuales entre el período 7 y 10; y, si no se reinvirtiera, sólo se ganaría $ 800 000 al año en el mismo período. En el caso que el precio fuera normal en el período 2, el BN sería $ 600 000 en promedio y, si el precio fuera bajo, el BN anual sería $ 550 000 en el mismo período. Evalué usted que lote es más conveniente explotar. (COK = 10%). CASO PRÁCTICO Nº 4 El caso del agricultor. El señor Walter Gómez es un agricultor experimentado, poseedor de un terreno que puede alquilar por S/. 200 000 anuales, los cuales serían pagados al final del período, o que puede destinar al cultivo de fresas. Si el señor Gómez se dedica a cultivar fresas puede sembrar hasta tres cosechas al año si el invierno es corto, dos cosechas si es normal y sólo una cosecha si es largo. Walter ha llevado un registró cuidadoso de la situación climatológica de su terreno en los últimos 18 años y ha establecido que en seis ocasiones el invierno ha sido corto y en tres ha sido muy largo. La experiencia de Walter le indica que los gastos de siembra, fumigación, mantenimiento, recolección, y otros costos relacionados a este cultivo en su terreno ascienden a S/. 80 000 por cosecha y deben ser pagados al iniciar la siembra. Además, existen costos fijos anuales de S/. 30 000 que corresponden primordialmente a los gastos de un asistente, que deben ser pagados por adelantado. Sin embargo, existen varios aspectos sobre los cuales Walter no tiene un conocimiento preciso. En particular, siente incertidumbre acerca de los precios de venta de cada cosecha, que puede ser de S/. 100 000, S/. 200 000 ó S/. 250 000, según la oferta nacional e internacional que exista en el momento de la recolección. En principio, Walter tiene incertidumbre al respecto, pero debido a la política de sustentación del gobierno, sabe con
certeza que su cosecha será comprada a uno de tres precios. El señor Gómez se ha enterado de la existencia de una firma consultora que puede elaborar un cuidadoso estudio de mercados (cuyo resultado será infalible) para predecir cuál será el precio de venta de las cosechas durante el próximo año. La firma cobra S/. 32 000 por la prestación del servicio. En estas condiciones Walter se enfrenta con la decisión de sembrar el terreno o alquilarlo, y de contratar o no los servicios de la firma consultora. Teniendo en cuenta que su tasa de interés de oportunidad es del 2% mensual, ayúdelo a tomar la decisión.
1.2.5
EL MÉTODO BASADO EN MEDICIONES ESTADÍSTICAS O MODELO DE SIMULACIÓN DE MONTE CARLO
El modelo de Monte Cario, llamado también método de ensayos estadísticos, es una técnica de simulación de situaciones inciertas que permite definir valores esperados para variables no controlables, mediante la selección aleatoria de valores, donde la probabilidad de elegir entre
todos los resultados posibles está en estricta relación con sus respectivas distribuciones de probabilidades. La simulación de Monte Carlo es una técnica que combina conceptos estadísticos (muestreo aleatorio) con la capacidad que tienen los ordenadores para generar números pseudo aleatorios y automatizar cálculos. La simulación de Monte Carlo es una técnica cuantitativa que hace uso de la estadística y los ordenadores para imitar, mediante modelos matemáticos, el comportamiento aleatorio de sistemas reales no dinámicos (por lo general, cuando se trata de sistemas cuyo estado va cambiando con el paso del tiempo, se recurre bien a la simulación de eventos discretos o bien a la simulación de sistemas continuos). Veamos un ejemplo sencillo: Ejemplo: al lanzar una moneda tres veces seguidas al aire quiero saber la probabilidad que las tres veces resulte cara; no tengo idea de probabilidades y solo se que la probabilidad de obtener cara = 0.5 probabilidad de obtener sello = 0,5 para un lanzamiento individual. ¿ Que alternativas tengo? - Lanzar muchas veces - Usar tabla de números aleatorios, o ruleta de 100 valores. CARA PAR (0, 2, 4,,,,,, 98) SELLO IMPAR (1, 3, 5,,,,, 99) EJEMPLOS DE TRES CARAS: (38, 36, 98) (74, 10, 46) CARA ≥50 (50, 51, _ _ _, 99) SELLO < 50 (0, 1, 2, _ _ _, 49) EJEMPLOS DE TRES CARAS: (66, 96, 55) (50, 95, 99) Ejemplo: el casino de viña estudia ofrecer el siguiente juego: *el jugador tira una moneda en forma repetida hasta que la diferencia absoluta entre caras y sellos sea tres, momento en que se termina el juego. *Para jugar se deben pagar $10.000, y el jugador gana $1.000 por cada moneda lanzada antes de terminar el juego.
Usando valor esperado, jugarias?
X : # de lanzamientos hasta que el juego termine. P(X) = ; NO ES FACIL DE CALCULAR
X : 3, 5, 7
VE = (1000*X·P(X))- 10.000 SEA PAR = CARA LAN.
N. A.
E C
IMPAR = SELLO S
C
S
|C-S|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
97 2 80 66 96 55 50 29 58 51 4 86 24 39 47 60 65 44 93 20 86 12
0 1 2 3 4 0 1 1 2 2 3 4 5 5 5 6 6 7 7 8 9 10
1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 3 4 5 5 6 6 7 7 7 7
1 0 1 2 3 1 0 1 0 1 0 1 2 1 0 1 0 1 0 1 2 3
RESULTADO DE SIMULACION DEL JUEGO ANTERIOR # DE JUEGOS
# DE LANZAMIENTOS
CANT. A RECIBIR
CANT. A PAGAR
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
968 1882 2746 3484 4432 5426 6260 7166 7900 8786
1000000 2000000 3000000 4000000 5000000 6000000 7000000 8000000 9000000 10000000
968000 1882000 2746000 3484000 4432000 5426000 6260000 7166000 7900000 8786000
PAGAR / RECIBIR 96,8% 94,1% 91,5% 87,1% 88,6% 90,4% 89,4% 89,6% 87,8% 87,9%
¿JUGARIAS? EJERCICIOS DE APLICACIÓN CASO PRÁCTICO Nº 1 La compañía Bristol S.A. una empresa comercializadora realiza una de sus tantas operaciones en el puerto de Callao en Peru. Una de sus funciones consiste en el desembarque de vagones de cargas provenientes de barcos que arriban desde puertos
extranjeros. Estos barcos llegan al puerto tanto de dia como de noche, y el numero de llegada responde a una distribucion de probabilidad discreta como se presenta en la siguiente tabla: Numero de Vagones que llegan (X) 0 1 2 3 4 5
Probabilidad de llegada 0.23 0.30 0.30 0.10 0.05 0.02
La capacidad de descargue de la compañía es de dos vagones diarios, y el tiempo que se utilizara para el siguiente estudio sera de 500 dias. CASO PRÁCTICO Nº 2 Gun Bound S.A.C, es una empresa que produce y exporta reposteros de gran tamaño y de fino acabado hechos de caoba para las empresas mas importantes del mundo que luego la comercializan. Actualmente una propuesta de un pedido de 1000 reposteros a entregar dentro de 365 días útiles. Sabemos que esta tiene una capacidad de producción de 2 reposteros por día, no mas. La empresa cada vez que tiene un pedido, hace un contrato con su proveedor para que este lo aprovisione de materia prima. La materia prima consiste en planchas de caoba traídos de la selva, en cargas de 10 planchas (que caben en un 1 camión). Además sabemos que por cada 10 planchas de madera se pueden hacer 2 reposteros. La distribución de probabilidad para que el Nº de llegadas de los camiones es la siguiente:
Numero de camiones que llegan 0 1 2 3 4
Probabilidad de llegadas 0.18 0.28 0.29 0.16 0.09
Ahora la planta de producción nunca para, a diario le llegan a su almacén materia prima, de su proveedor muchas mas de la que esta necesita; por la que muchas veces esta tiene colas de materia prima esperándola. Lo que quiere la empresa es ¿como será la llegada de materia prima a sus almacenes, puesto que el costo de inventario de m.p es de $40 por cada carga del camión ya que repercute directamente con el precio del repostero ? CASO PRÁCTICO Nº 3 Se esta considerando la introducción de un nuevo producto. El producto tiene una vida útil de tres años. Hay tres factores de incertidumbre; el precio de venta, el costo variable y el volumen anual de ventas. Debe suponerse que habrá incertidumbre para las ventas en el primer año , pero luego aumentaran 20% en el segundo año y después descenderán 50% en el tercer año. Además que la incertidumbre acerca del primer año de ventas puede describirse mediante una distribución normal con una media de 2.0 millones de cajas y una desviación estándar de 0.6 millones de cajas. El costo de fabricar el producto es incierto, y la incertidumbre puede representarse con una distribución uniforme entre US $ 2.00 y US $ 4.00 por unidad. La incertidumbre acerca del precio para el producto esta representada por una distribución discreta, como sigue : Precio de ventas
Probabilidad
(dolares por unidad)
4 5 6
0.3 0.5 0.2
Los costos fijos asociados con introducir el producto son US $ 3.0 millones en el primer año y US $ 1 millón para los años 2 y 3. Finalmente debe suponer que la empresa tiene la capacidad de abandonar el producto después del primer año, si no es rentable. ¿La introducción del nuevo producto será rentable? II. ANÁLISIS BAJO INCERTIDUMBRE
Se tomara en cuenta los siguientes criterios con su respectivo ejemplo.
- El criterio de decisión se toma basándose en la experiencia de quien toma la decisión. - Este incluye un punto de vista optimista o pesimista, agresivo o conservador. -Criterios: * Criterio Maximin - pesimista o conservador * Criterio Minimax - pesimista o conservador * Criterio Maximax - optimista o agresivo * Principio de Laplace 2.1. CRITERIO MAXIMIN -Este criterio se basa pensando en el peor de los casos -El criterio se ajusta a ambos tipos de decisiones, es decir pesimista y optimista. * Una decisión pesimista se toma creyendo que el peor caso ocurrirá. * Una decisión bajo criterio conservador asegura una ganancia mínima posible. -Para encontrar una decisión optima: * Marcar la mínima ganancia a través de todos lo estados de la naturaleza posibles. * Identificar la decisión que tiene máximo de las “mínimas ganancias”. EJEMPLO:
La Inversión de John Pérez
John Pérez ha heredado $1000. El ha decidido invertir su dinero por un año. Un inversionista le ha sugerido 5 inversiones posibles: * Oro. * Bonos. * Negocio en Desarrollo. * Certificado de Depósito. * Acciones. John debe decidir cuanto invertir en cada opción. LA DECISION MAS OPTIMA –600 Decisi ones
Gran Alza
El Criterio Maximin Peq Sin . Alza Cambios
Minimos Peq . Baja
Gra n
Gan ancia s
Oro Bonos Negoci o en D. Cert. De Dep.
-100 250
100 200
200 150
300 -100
Baja 0 -150
-100 -150
500
250
100
-200
-600
-600
60
60
60
60
60
60
2.2 CRITERIO MINIMAX -Este criterio se ajusta a decisiones pesimistas y conservadoras. -La matriz de ganancia es basada en el costo de oportunidad -El tomador de decisiones incurre en una perdida por no escoger la mejor decisión. -Para encontrar la decisión óptima: -Para cada estado de la naturaleza: * Determine la mejor ganancia de todas las decisiones * Calcule el costo de oportunidad para cada alternativa de decisión como la diferencia entre su ganancia y la mejor ganancia calculada. - Para cada decisión encuentre el máximo costo de oportunidad para todos los estados de la naturaleza. - Seleccione la alternativa de decisión que tiene el mínimo costo de oportunidad.
Matriz de Ganancias
Decision
Gran Peq. Alza Alza Problema John Pérez Continuación
O r
o
Bonos Negocio Cert Dep
10 0 2 5 0 5 0 0 6 0
Sin Cambios
1 0 0
2 0 0
2 0 0
0 0
15 0 60 0
20 0
6 0
0
-
10 0
1
6 0
3
1
2
Gran Baja
0 0
5 0
5 0
Peq. Baja
6 0
6 0
500 – (-100) = 600
Invertir en Oro incurre en una pérdida mayor cuando el mercado presenta una gran alza Matriz de Costo de Oportunidad Decisi on Oro Bonos Negocio D. Cert. Dep
Sin Cambios
Peq Baja
150 50
0 50
0 400
Maximo Costo Op 60 600 210 400
0 190
100 140
500 240
660 0
Gran Alz a 600 250
Peq. Alza
0 440
Gran Baja
660 440
La Decisión Mas Optima Es 2.3. EL CRITERIO MAXIMAX - Este criterio se basa en el mejor de los casos. - Este criterio considera los puntos de vista optimista y agresivo. Un tomador de decisiones optimista cree que siempre obtendrá el mejor resultado sin importar la decisión tomada. Un tomador de decisiones agresivo escoge la decisión que le proporcionará una mayor ganancia. - Para encontrar la decisión óptima: * Encuentre la máxima ganancia para cada alternativa de decisión. * Seleccione la decisión que tiene la máxima de las“máximas ganancias”. El Criterio Maximax Decision Oro Bonos Neg. Des
M Gran Alza -100 250 500
Peq. Alza 100 200 250
Sin Cambios 200 150 100
Peq. Baja 300 -100 -200
Gran Baja 0 -150 -600
Cert. Dep.
60
60
60
60
Decisión Optima : EJEMPLO : TOMA DE DESICIONES BAJO CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE Para la próxima temporada invernal, la fábrica textil "TELAS RECOMIENDO" desea determinar que producto sacar al mercado, con la finalidad de satisfacer la demanda creciente de ropa invernal. A continuación se analizan las tres fases para el problema anterior: FASE 1: Las alternativas que el fabricante tiene para satisfacer la demanda son: a).- Fabricar abrigos b).- Fabricar sweters c).- Fabricar cazadoras FASE 2: Los eventos futuros que pueden ocurrir (estados de la naturaleza) con respecto a la demanda son: a).- Demanda alta b).- Demanda media c).- Demanda baja d).- Demanda nula FASE 3: La tabla de beneficios estimados es la siguiente:
SOLUCION USANDO LOS CUATRO CRITERIOS. Criterio maximax . Es un criterio optimista, el cual indica seleccionar el máximo de los máximos. Para el ejemplo se selecciona el máximo de cada alternativa (500, 700, 300) y de estos se selecciona el máximo (700) . La decisión usando este criterio es "fabricar sweters"
60
Criterio maximín. Este es un criterio pesimista, el cual indica el valor máximo de los mínimos. Para el ejemplo se seleccionan los valores mínimos de cada alternativa (-450, -800, -100) y de estos se selecciona el máximo (-100). La decisión usando este criterio es "fabricar cazadoras" Criterio mínimax. Este criterio es también conocido como arrepentimiento. Es necesario construír una nueva tabla conocida precisamente con ese nombre "tabla de arrepentimiento". Es necesario suponer que en un momento conocemos cuales serán los estados de la naturaleza y que podemos arrepentirnos de la decisión ya tomada con anterioridad, así pues, si tomamos la decisión de fabricar abrigos ganamos $500 si se presenta una demanda alta, pero si hubieramos sabido que la demanda sería alta, hubiéramos tomado la decisión de fabricar sweters con una utilidad de $700 en lugar de $500, por lo cual nuestro arrepentimiento es de $200 lo cual significa que dejamos de ganar $200 por no haber tomado económicamente la mejor decisión, o en el caso de pérdidas significa lo que se pierde demás por no haber tomado económicamente la mejor decisión como se muestra en la siguiente tabla:
Valor mínimo. Una vez de terminada la tabla de arrepentimiento se selecciona el valor máximo de cada alternativa (350, 700, 400) y se escoge el valor mínimo de éstos (350) por lo cuál la decisión sería "fabricar abrigos". Criterio del realismo. Sin duda el criterio más flexible ya que puede transformarse en un criterio optimista, pesimista o intermedio de acuerdo al valor que le demos al coeficiente o índice de optimismo (a) Usado en la siguiente relación : Ri = Valor del realismo para la alternativa i = a (beneficio máximo) + (1- a ) (beneficio mínimo) Para el ejemplo tendríamos los siguientes valores con a = 0.7 R1 = 0.7 (500) + 0.3 (-450) = $125 R2 = 0.7 (700) + 0.3 (-800) = $250 R3 = 0.7 (300) + 0.3 (-100) = $180
La decisión será en función del valor mayor de Ri por lo cual para este caso la decisión es "fabricar sweters" con una utilidad estimada de $250.
2.4 EL PRINCIPIO DE RAZONAMIENTO INSUFICIENTE O CRITERIO DE LAPLACE - Este criterio puede ser utilizado por un tomador de decisiones que no sea optimista ni pesimista. - El tomador de decisiones asume que todos los estados de la naturaleza son equi probables. - El procedimiento para encontrar una decisión óptima: * Para cada decisión calcule la ganancia esperada. * Seleccione la decisión con la mayor ganancia esperada. DECISIÓN
ESTADO DE LA NATURALEZA E1 E2 ....... Em ( p1 ) ( p2 ) ( pm )
D1
X11
X12
X1m
D2 . .
X21
X22
X2m
El Análisis : E ( D1 ) = ( X11 + X12 + ..... + X1m ) / m E ( D2 ) = ( X21 + X22 + ..... + X2m ) / m . . E ( Dn ) = ( Xn1 + Xn2 + ..... + Xn m ) / m
LAPLACE 1.- Ejercicio Calcular la probabilidad de acertar los 14 signos de la quiniela:
Solución: Se aplica la Regla de Laplace (casos favorables / casos posibles). El caso favorable es tan sólo uno (acertar los 14 signos). Los casos posibles se calculan como variaciones con repetición de 3 elementos (1, X y 2), tomados de 14 en 14 (los signos que hay que rellenar). Son variaciones y no combinaciones ya que el orden influye: no es lo mismo (1,1,X) que (1, X, 1). Y son con repetición, ya que cualquiera de los signos (1, X y 2) se puede repetir hasta 14 veces. Por lo tanto, los casos posibles son:
Y la probabilidad de acertar los 14 resultados es:
No demasiado elevada....pero el que la sigue la consigue. 2.- Ejercicio Y la probabilidad de acertar 12 signos de la quiniela:
Solución: Aplicamos nuevamente la Regla de Laplace. En este caso los casos favorables se calculan como combinaciones de 14 elementos tomados de 2 en 2, de esta manera obtenemos todas las posibles alternativas de fallar 2 resultados de 14 (lo que equivale a acertar 12 resultados). Utilizamos combinaciones y no variaciones ya que el orden no importa (da lo mismo fallar el 3º y el 6º, que el 6º y el 3º)
Los casos posibles siguen siendo los mismos:
Por lo que la probabilidad de acertar 12 resultados es:
Por lo tanto, tenemos más probabilidades de acertar 12 resultados que 14 (¿será por eso por lo que pagan menos?). 3.- Ejercicio Calcular la probabilidad de, en una carrera de 12 caballos, acertar los 3 que quedan primeros (sin importar cual de ellos queda primero, cual segundo y cual tercero). Solución: Se aplica la Regla de Laplace. El caso favorable es tan sólo uno: los 3 caballos que entran en primer lugar. Los casos posibles se calculan como combinaciones de 12 elementos tomados de 3 en 3 (es decir, determinamos todos las posibles alternativas de 3 caballos que pueden entrar en las 3 primeras posiciones). Como el orden de estos 3 primeros caballos no importa, utilizamos combinaciones en lugar de variaciones. Por lo tanto, los casos posibles son:
Por lo que la probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es:
Algo mayor que en las quinielas.... Eso sí, se paga menos.
4.- Ejercicio Y si hubiera que acertar, no sólo los 3 caballos que ganan, sino el orden de su entrada en meta.
Solución: El caso favorable sigue siendo uno: los 3 caballos que entran en primer lugar, colocados en su orden correspondiente. Los casos posibles se calculan ahora como variaciones (ya que el orden influye) de 12 elementos tomados de 3 en 3 (calculamos todas las posibles maneras en que los 12 caballos podrían ocupar las 3 primeras posiciones.
Por lo que la probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es:
Menor que en el ejemplo 3º. Ya no vale acertar que 3 caballos entran en primer lugar, sino que tenemos que acertar el orden de su entrada. 4. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE POR SEPARACIÓN DE VARIABLES. COORDENADAS CARTESIANAS. El problema fundamental de la teoría del potencial es encontrar una solución de la ecuación de Laplace que satisfaga ciertas condiciones en el contorno de la región considerada. En ciertos sistemas de coordenadas podemos ir más allá y escribir la solución como un producto de funciones de las coordenadas individuales, de modo que las condiciones de contorno
puedan
aplicarse
a
factores
separados
de
una
variable.
Puede agregarse que mientras que no existe un método general de solución de ecuaciones diferenciales a derivadas parciales, la separación reduce la ecuación de Laplace a un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias, que en principio siempre tienen solución.
La ecuación de Laplace es:
y desarrollando en dos dimensiones:
Supongamos que V(x,y)=X(x).Y(y), donde X es una función de x solamente e Y una función de Y. La ecuación de Laplace resulta:
y dividiendo por V=X.Y
Observamos que el miembro de la izquierda no contiene a y. En consecuencia no cambia cuando y varía. Análogamente el miembro de la derecha no contiene a x, y no cambia al variar x. Como los dos miembros son iguales, su valor común no puede cambiar cuando se modifica alguna de las variables y en consecuencia debe ser una constante k2. La constante k2 es llamada parámetro de separación. Reemplazando en la última igualdad resulta el sistema de ecuaciones: Y"+k2Y=0 X"-k2X=0 que tienen soluciones generales: Y=A senky + B cosky X=C ekx + D e-kx EJERCICIO : Demuestre las soluciones obtenidas. Suponga X=epx e Y=epy. El producto de las soluciones generales del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias es una solución general de la ecuación de Laplace bidimensional. V(x,y)= ( C ekx + D e-kx).(A senky + B cosky). Aplicaremos este resultado a dos ejemplos. EJEMPLO 1.
FIGURA 1 Dos placas conductoras paralelas infinitas, Figura 1, están separadas por una distancia a. Las placas están puestas a tierra (0 V) y una tercera placa, aislada de las anteriores se encuentra a potencial 1 V respecto de aquellas, como se muestra en la figura. El medio entre las placas es aire.
Halle
la
distribución
de
potencial.
La solución de la ecuación de Laplace para dos dimensiones fue hallada en el apartado anterior: V(x,y)= ( C ekx + D e-kx).(A senky + B cosky) sujeta en este problema a las siguientes condiciones de borde: V(x,a)=0 V(0,y)=1 V(x,0)=0 V(infinity ,y)=0 La última condición de contorno nos indica que el potencial se desvanece cuando nos alejamos del origen. Para que ello ocurra la constante C debe ser igual a cero. Para satisfacer V(x,0)=0 debe ser B=0. La solución se reduce a : V(x,y)=(A.D) e-kx sen ky Dado que V(x,a)=0 y la exponencial no se anula, debe ser senka=0 o ka=np , con n=0,1,2,3,.........., de donde k=np /a. Reemplazando en la función potencial :
Esta función por si sola no satisface la condición V(0,y)=1. En efecto:
Sin embargo, dado que la ecuación de Laplace es lineal, la condición puede ser satisfecha por una suma de funciones de la forma anterior, tal que:
donde los Cn son los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de una función impar tal que y vale 1 en el intervalo [0,a]. Sea una onda cuadrada de amplitud unitaria:
Calculemos y representemos su desarrollo en serie de Fourier hasta la décima armónica espacial:
Los coeficientes Cn de los términos en coseno son nulos por tratarse de una función impar. Para los términos en seno solamente son distintos de cero los coeficientes correspondientes a n impar. Observando sus valores se comprueba que valen: C[n_]=4/(n Pi) A mayor cantidad de términos se mejora la aproximación a la función original. Considerando hasta la armónica 51 resulta:
Representamos en la Figura 2:
EJERCICIOS DE MAXIMIN Y MÍNIMAS : FASES EN EL ENFOQUE DE TEORÍA DE DECISIONES 1.- Listar todas las alternativas viables. 2.- Identificar todos los eventos futuros que pueden ocurrir. 3.- Construir una tabla de beneficios. EJEMPLO: Considere un fabricante de ropa que esta considerando varios métodos alternativos para expander su producción a fin de adecuar una demanda creciente para sus productos. | FASE 1.- Las alternativas que el fabricante tiene para expander su producción son: a).- Expander la planta actual. b).- Construir una nueva planta. c).- Subcontratar la producción a otros fabricantes. FASE 2.- Los eventos futuros que pueden ocurrir (estados de naturaleza) con respecto a la demanda son: a).- Demanda alta. b).- Demanda moderada. c).- Poca demanda. d).- Demanda nula. FASE 3.- La tabla de beneficios es la siguiente dando un valor estimativo para cada combinación de posibilidades:
AMBIENTES EN QUE SE TOMAN LAS DECISIONES - Bajo condiciones de certeza. - Bajo condiciones de incertidumbre. - Bajo condiciones de riesgo. Bajo condiciones de certeza: Solo existe un estado de la naturaleza (evento futuro). Se escoge el mayor beneficio par este estado con respecto a sus diferentes alternativas. Bajo condiciones de incertidumbre: Existe más de un estado de la naturaleza y se conoce poco o nada acerca de ellos. En ambientes de este tipo, son utilizados cuatro criterios diferentes para la toma de decisiones: 1.- Maximax (criterio optimista) 2.- Maximin (criterio pesimista) 3.- Minimax (también llamado de arrepentimiento) 4.- Realismo Bajo condiciones de riesgo: Existe mas de un estado de la naturaleza y se conoce lo suficiente para poder asignar probabilidades de ocurrencia a cada uno de los estados posibles. En ambiente de este tipo, son utilizados tres criterios para la toma de decisiones: 1.- Valor esperado. 2.- Racionalidad. 3.- Máxima verosimilitud. EJEMPLO1: TOMA DE DECISIONES BAJO CONDICIONES DE CERTEZA. Se piensa organizar una tardeada de fin de cursos y se tienen las opciones de: 1.- Contratar un sonido. 2.- Contratar un grupo musical. 3.- Contratar la presentación de un grupo de imitadores. Se sabe también que para cualquiera de las tres opciones se garantiza un cupo lleno, las utilidades obtenidas para cada una de las alternativas se indican a continuación:
¿ Qué decisión tomaría? SOLUCIÓN: Se tomaría la alternativa de contratar un sonido, ya que es la opción que proporciona una mayor utilidad bajo la condición de un solo estado de la naturaleza (cupo lleno). EJEMPLO 2: TOMA DE DESICIONES BAJO CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE Para la próxima temporada invernal, la fábrica textil "TELAS RECOMIENDO" desea determinar que producto sacar al mercado, con la finalidad de satisfacer la demanda creciente de ropa invernal. A continuación se analizan las tres fases para el problema anterior: FASE 1: Las alternativas que el fabricante tiene para satisfacer la demanda son:
a).- Fabricar abrigos b).- Fabricar sweters c).- Fabricar cazadoras FASE 2: Los eventos futuros que pueden ocurrir (estados de la naturaleza) con respecto a la demanda son: a).- Demanda alta
b).- Demanda media c).- Demanda baja d).- Demanda nula FASE 3: La tabla de beneficios estimados es la siguiente:
SOLUCION USANDO LOS CUATRO CRITERIOS. Criterio maximax . Es un criterio optimista, el cual indica seleccionar el máximo de los máximos. Para el ejemplo se selecciona el máximo de cada alternativa (500, 700, 300) y de estos se selecciona el máximo (700) . La decisión usando este criterio es "fabricar sweters" Criterio maximín. Este es un criterio pesimista, el cual indica el valor máximo de los mínimos. Para el ejemplo se seleccionan los valores mínimos de cada alternativa (-450, -800, -100) y de estos se selecciona el máximo (-100). La decisión usando este criterio es "fabricar cazadoras" Criterio mínimax. Este criterio es también conocido como arrepentimiento. Es necesario construír una nueva tabla conocida precisamente con ese nombre "tabla de arrepentimiento". Es necesario suponer que en un momento conocemos cuales serán los estados de la naturaleza y que podemos arrepentirnos de la decisión ya tomada con anterioridad, así pues, si tomamos la decisión de fabricar abrigos ganamos $500 si se presenta una demanda alta, pero si hubieramos sabido que la demanda sería alta, hubiéramos tomado la decisión de fabricar sweters con una utilidad de $700 en lugar de $500, por lo cual nuestro arrepentimiento es de $200 lo cual significa que dejamos de ganar $200 por no haber tomado económicamente la mejor decisión, o en el caso de pérdidas significa lo que se pierde demás por no haber tomado económicamente la mejor decisión como se muestra en la siguiente tabla:
Valor mínimo. Una vez de terminada la tabla de arrepentimiento se selecciona el valor máximo de cada alternativa (350, 700, 400) y se escoge el valor mínimo de éstos (350) por lo cuál la decisión sería "fabricar abrigos". Criterio del realismo. Sin duda el criterio más flexible ya que puede transformarse en un criterio optimista, pesimista o intermedio de acuerdo al valor que le demos al coeficiente o índice de optimismo (a) Usado en la siguiente relación : Ri = Valor del realismo para la alternativa i = a (beneficio máximo) + (1- a ) (beneficio mínimo) Para el ejemplo tendríamos los siguientes valores con a = 0.7 R1 = 0.7 (500) + 0.3 (-450) = $125 R2 = 0.7 (700) + 0.3 (-800) = $250 R3 = 0.7 (300) + 0.3 (-100) = $180 La decisión será en función del valor mayor de Ri por lo cual para este caso la decisión es "fabricar sweters" con una utilidad estimada de $250. EJEMPLO3: TOMA DE DESICIONES BAJO CONDICIONES DE RIESGO
Considere que un distribuidor de artículos de NAVIDAD desea determinar el número óptimo de árboles que debe pedir para esa temporada si dispone de los siguientes datos:
-
Paga
$20.00
por
cada
árbol
y
lo
vende
en
$60.00
- Entrega todos los árboles que vende y paga $5.00 de comisión por cada uno que
es
entregado
antes
de
la
temporada.
- Si le sobran árboles al final de la temporada puede venderlos para leña a $5.00
cada
uno.
SOLUCIÓN: El vendedor tiene seis alternativas a seguir.
UX,Z = Utilidad obtenida si se pierden x árboles y se tiene una demanda z Definiendo
variables:
x z Casos
= =
cantidad nivel posibles
de
ordenada la
de
demanda presentar
1.- Que la cantidad ordenada sea igual a la cantidad demandada. x = z 2.- Que la cantidad ordenada sea menor a la cantidad demandada. x < z 3.- Que la cantidad ordenada sea mayor a la cantidad demandada. x > z
Para cada caso se obtiene una relación en función de la variable X (cantidad ordenada). Aplicando estas relaciones se calculan los siguientes resultados en la tabla:
El
valor
E i
esperado
se
calcula
(z) =
mediante
= j
la
fórmula
Zip
siguiente:
(z)
=
1,2,…6
La cantidad recomendada a pedir será aquella donde obtenemos el mayor valor esperado,
en
este
caso
x
=
4.
Por lo tanto, según el criterio de valor esperado, se recomienda pedir 4 árboles con una utilidad promedio de $10.75. ANÁLISIS MARGINAL PARA LA TOMA DE DECISIONES
Cuando al número de alternativas crece, la matriz de utilidades también crece y el número de cálculos aumenta considerablemente, haciendo difícil el procedimiento mediante el criterio de valor esperado, en su lugar puede usarse como La UM
método simbología =
alternativo
utilizada
Utilidad
y
obtenida
el
su por
"análisis
significado vender
es una
marginal".
la
siguiente:
unidad
adicional.
PM = Pérdida obtenida por almacenar una unidad que no es vendida. p = Es la probabilidad mínima requerida de vender al menos una unidad adicional para justificar el almacenamiento de dicha unidad.
DEDUCCIÓN
DE
La
deducción
Se
debe
se
da
pedir
a
partir
del
una
FÓRMULA: siguiente
unidad
razonamiento
adicional
solo
lógico: que:
UTILIDAD MARGINAL ESPERADA >= PÉRDIDA MARGINAL ESPERADA p p p
(UM)
³
(UM) (UM)
p (UM+PM) ³ PM
³ +
(1-p) PM-p
p
(PM)
(PM) (PM)
³
PM
Definiendo: p
=
Probabilidad
de
vender
una
unidad
adicional.
1-p = Probabilidad de no vender una unidad adicional.
APLICACIÓN AL EJEMPLO 3 (ÁRBOLES DE NAVIDAD):
UM
=
60
-
60
Lo
que
se
obtiene
-20
Lo
que
se
paga
20
de por
la la
-
5
=
35
venta
de
una
unidad
adicional.
compra
de
una
unidad
adicional.
-5 Lo que se paga de comisión por la venta de una unidad adicional. PM 20
= Lo
que
20 se
paga
por
-
5
la
compra
= de
una
15 unidad
adicional.
5 Lo que se recupera como valor de salvamento de una unidad que no es vendida durante la temporada.
El valor de p = 0.30 es el valor de referencia para el análisis marginal en la siguiente tabla de probabilidades acumulativas.
Se analiza el pedir 1 unidad, ésta se pide si p( z ³ i) ³ 30, lo cual ocurre para este caso en que p( z ³ i ) = 1. Se analiza el pedir 2 unidades, lo cual ocurre ya que p( z
³
i
)
=
0.95
Se continua el análisis incrementando una unidad a la vez mientras se cumpla la condición, lo cual ocurre hasta i = 4 donde p( z ³ i ) = 0.60 ya que en i = 5 , p( z ³ i) = 0.20 ya no cumple la condición, por lo cual se decide pedir 4 árboles. EJEMPLO 4: El señor Juan Manzanero es un comerciante de frutas y verduras, y quiere saber cuántos kilogramos de durazno debe comprar hoy para la venta del día de mañana. Se cuenta con la información de ventas de los últimos 90 días, tal como se muestra en la siguiente tabla:
Juan compra el kilogramo de durazno a $3.00 y lo vende a $8.00, el producto no tiene ningún valor después del primer día en que se ofrece a la venta. El planteamiento es similar al mostrado en el ejemplo 3.
MATRIZ DE UTILIDADES CONDICIONALES
Según el criterio de valor esperado, la decisión es comprar 12 kg. UTILIDAD ESPERADA CON INFORMACIÓN PERFECTA (U.E.I.P.) En este caso se considera que se conoce a la perfección la cantidad demandada, esto es, si se sabe que la demanda será de 10, solo se pedirán 10, si se sabe que la demanda será de 11, solo se pedirán 11 y así sucesivamente. Observe que es el caso en que X=Z, por lo tanto la utilidad esperada será: 50(0.20)+55(0.40)+60(0.30)+65(0.10)
=
$56.5
La cuál se conoce como "utilidad esperada con información perfecta". Esta utilidad es la máxima que se puede obtener con información perfecta.
El Problema del Carpintero Durante un par de sesiones de tormenta de ideas con un carpintero (nuestro cliente), éste nos comunica que sólo fabrica mesas y sillas y que vende todas las mesas y las sillas que fabrica en un mercado. Sin embargo, no tiene un ingreso estable y desea optimizar esta situación. El objetivo es determinar cuántas mesas y sillas debería fabricar para maximizar sus ingresos netos. Comenzamos concentrándonos en un horizonte de tiempo, es decir, un plazo de planificación, , para revisar nuestra solución semanalmente, si fuera necesario. Para saber más acerca de este problema, debemos ir al negocio del carpintero y observar lo que sucede y medir lo que necesitamos para para formular (para crear un modelo de) su problema. Debemos confirmar que su objetivo es maximizar sus ingresos netos. Debemos comunicarnos con el cliente. El problema del carpintero se trata de determinar cuántas mesas y sillas debe fabricar por semana; pero primero se debe establecer una función objetivo La función objetivo es: 5X1 + 3X2, donde X1 y X2 representan la cantidad de mesas y sillas; y 5 y 3 representan los ingresos netos (por ejemplo, en dólares o décimas de dólares) de la venta de una mesa y una silla, respectivamente. Los factores limitantes, que normalmente provienen del exterior, son las limitaciones de la mano de obra (esta limitación proviene de la familia del carpintero) y los recursos de materia prima (esta limitación proviene de la entrega programada). Se miden los tiempos de producción requeridos para una mesa y una silla en distintos momentos del día y se calculan en 2 horas y 1 hora, respectivamente. Las horas laborales totales por semana son sólo 40. La materia prima requerida para una mesa y una silla es de 1 y 2 unidades, respectivamente. El abastecimiento total de materia prima es de 50 unidades por semana. En consecuencia, la formulación de PL es la siguiente: Maximizar 5 X1 + 3 X2 Sujeta a: 2 X1 + X2 40 restricción de mano de obra X1 + 2 X2 50 restricción de materiales tanto X1 como X2 son no negativas. Este es un modelo matemático para el problema del carpintero. Las variables de decisión, es decir, las entradas controlables son X1, y X2. La salida o el resultado de este modelo son los ingresos netos totales 5 X1 + 3 X2. Todas las funciones empleadas en este modelo son lineales (las variables de decisión están elevadas a la primera potencia). El coeficiente de estas restricciones se denomina denomina Factores Tecnológicos (matriz). El período de revisión es de una semana, un período conveniente dentro del cual es menos probable que cambien (fluctúen) las entradas controlables (todos los parámetros tales como 5, 50, 2,..). Incluso en un plazo de planificación tan corto, debemos realizar el análisis what-if o de hipótesis para responder a cualquier cambio en estas entradas a los efectos de controlar el problema, es decir, actualizar la solución prescripta. Nótese que dado que el Carpintero no va a ir a la quiebra al final del plazo de planificación, agregamos las condiciones que tanto X1 como X2 deben ser no negativas en lugar de los requerimientos que X1 y X2 deben ser números enteros positivos. Recuerde que las condiciones de no negatividad también se denominan "restricciones implícitas". Nuevamente, un Programa Lineal funcionaría bien para este problema si el Carpintero continúa fabricando estos
productos. Los artículos parciales simplemente se contarían como trabajos en proceso y finalmente se transformarían en productos terminados, en la siguiente semana. Podemos intentar resolver X1 y X2 enumerando posibles soluciones para cada una y seleccionado el par (X1, X2) que maximice 5X1 + 3X2 (los ingresos netos). Sin embargo, lleva mucho tiempo enumerar todas las alternativas posibles y si no se enumeran todas las alternativas, no podemos estar seguros de que el par seleccionado (como una solución) es la mejor de todas las alternativas. Otras metodologías preferidas (más eficientes y efectivas), conocidas como las Técnicas de Soluciones de Programación Lineal están disponibles en el mercado en más de 4000 paquetes de software de todo el mundo. La solución óptima, es decir, la estrategia óptima, , es establecer X1 = 10 mesas y X2 = 20 sillas. Programamos las actividades semanales del carpintero para que fabrique 10 mesas y 20 sillas. Con esta estrategia (óptima), los ingresos netos son de US$110. Esta . Esta solución prescripta sorprendió al carpintero dado que debido a los mayores ingresos netos provenientes de la venta de una mesa (US$5), el solía fabricar más mesas que sillas. ¿Contratar o no contratar a un ayudante? Supóngase que el carpintero pudiera contratar a un ayudante a un costo de US$2 por hora (adicionales $2) ¿Le conviene al carpintero contratar a un ayudante? En caso afirmativo, ¿por cuántas horas? X3 es la cantidad de horas extra, entonces el problema modificado es: Maximizar 5 X1 + 3 X2 - 2 X3 Sujeta a: 2 X1 + X2 40 + X3 restricción de la mano de obra con horas adicionales desconocidas X1 + 2 X2 50 restricción de materiales En esta nueva condición, veremos que la solución óptima es X1 = 50, X2 = 0, X3 = 60, con ingresos netos óptimos de US$130. Por lo tanto, el carpintero debería contratar a un ayudante por 60 horas. ¿Qué pasaría si sólo lo contrata por 40 horas? La respuesta a esta pregunta y a otros tipos de preguntas del estilo "qué pasaría si" (what-if) se estudia en la sección sobre análisis de sensibilidad en este sitio Web. Un Problema de Mezcla El taller LUBEOIL se especializa en cambios de aceite del motor y regulacion del sistema electrico. El beneficio por cambio del aceite es $7 y de $15 por regulación. Joe tiene un cliente fijo con cuya flota, le garantiza 30 cambios de aceite por semana. Cada cambio de aceite requiere de 20 minutos de trabajo y $8 de insumos. Una regulación toma una hora de trabajo y gasta $15 en insumos. LUBEOIL paga a los mecánicos $10 por hora de trabajo y emplea actualmente a dos de ellos, cada uno de los cuales labora 40 horas por semana. Las compras de insumos alcanzan un valor de $1.750 semanales. LUBEOIL desea maximizar el beneficio total. Formule el problema.
Esto es una pregunta de programación linear. Una porción de un cambio del aceite o del ajuste no es factible. X1 = Cambios del aceite, ajuste X2 = Ajuste Maximizar 7X1 + 15X2 Sujeta a: X1 30 Cuenta De la Flota 20X1 + 60X2 4800 De trabajo tiempo 8X1 + 15X2 1750 Primas Materias X1 0, X2 0. El coste de trabajo de $10 por hora no se requiere para formular el problema desde el beneficio por cambio del aceite y el ajuste toma en la consideración el coste de trabajo.
Supongamos que quiere hallar el peor de varios valores de funciones objetivos definidas con un conjunto común de restricciones en una sola corrida de computación. Como aplicación, supongamos que en el Problema del Carpintero, sin pérdida de generalidad, hay tres mercados con funciones objetivos de 5X1 + 3X2, 7X1 + 2X2, y 4X1 + 4X2, respectivamente. Al carpintero le interesa conocer el peor mercado. Es decir, la solución del siguiente problema: El problema del minimax: Min Max {5X1 + 3X2, 7X1 + 2X2, 4X1 + 4X2} Sujeta a: 2 X1 + X2 40 X1 + 2 X2 50 Y ambos, X1, X2, son no negativos. El Problema del Minimax equivale a: Maximice y Sujeta a: y 5x1 + 3X2 y 7X1 + 2X2 y 4X1 + 4X2 2X1 + X2 40 X1 + 2X2 50 Y todas las variables, X1, X2, y, son no negativas. Si se toman todas las variables a la izquierda de las restricciones y este problema se implementa en el paquete de computación, la solución óptima es X1 = 10, X2 = 20, y = $110. Esto significa que el primero y el segundo mercados son los peores (porque la primera y la segunda restricciones son obligatorias) aportando sólo $110 de utilidad neta.
CONCLUSIONES Es importante diferenciar el riesgo de la incertidumbre, el primero se presenta cuando no disponemos de la información necesaria como para asociar un evento con un conjunto de posibles resultados cada uno de los cuales tiene una ocurrencia relativa. Por otro lado la incertidumbre es una situación donde los posibles resultados de una acción no se conocen o no es posible vincularlos con probabilidades de ocurrencia. La medición del riesgo en un proyecto esta asociado con la variabilidad de los beneficios netos anuales estimados y en consecuencia con la del rendimiento que es posible estimar a partir de ellos de esta forma para determinar cuan riesgoso es un proyecto es necesario calcular la desviación estándar del riesgo y del VAN Esperado.
RECOMENDACIONES Hasta este momento se ha estado suponiendo que las proyecciones de los flujos de caja sobre los cuales se calculaba la rentabilidad de un proyecto eran totalmente ciertas sin embargo es bastante improbable ya que cualquiera sea el giro del negocio este tendrá asociado un cierto grado de éxito, este ultimo
se refleja principalmente en la posible variabilidad de los
beneficios netos anuales proyectados las que redundan en una rentabilidad incierta. Por tanto es necesario tener en cuenta los distintos métodos para la evaluación de proyectos los cuales se desarrollan a lo largo de estos capítulos
