DECISIONES BAJO CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE ANÁLISIS DE RIESGO Y SIMULACIÓN DE MONTECARLO
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Autor: Ing. Antonio Sottile Bordallo Cátedra: Titular Computación
Introducción Es una tarea muy importante comparar varios cursos de acción y finalmente seleccionar la mejor mejor alternativa que se va a realizar. En determinados determinados casos, esta tarea tarea puede resultar excesivamente desafiante y puede implicar en mayor o menor medida, asumir determinados riesgos. Las dificultades de la toma de decisiones están representadas por la complejidad asociada a las distintas alternativas del proceso de Toma de
decisión. La capacidad que tiene un Decisor de procesar información no es
ilimitada es un factor de exigencia exigencia ya sea cuando se consideran consideran las implicancias implicancias de un solo curso de acción, acción, o en el caso caso en el que que
se deben visualizar visualizar y comparar comparar las
implicancias de varios cursos de acción originados en las posibles alternativas. Además, hay factores desconocidos desconocidos
que también influyen
en la situación problemática
complicando aún más la toma de decisión; . La mayoría de las veces, el resultado es subjetivo y depende de las reacciones de otras personas. No es de sorprender entonces que a veces los Decisores demoren la elección lo más posible y frente a la misma situación problemática problemática no opten opten por la misma alternativa y que que a veces
tomen una
decisión sin haber evaluado todas las implicancias de la misma. Un hombre de negocios negocios no necesita ser un economista, economista, pero debe tener tener un cierto grado de formación que le permita solucionar los problemas que pudiera llegar a presentar la empresa, y en algunas ocasiones estas nociones lo ayudarán a tomar decisiones no sólo de la empresa empresa si no de la vida vida cotidiana, de manera manera acertada.
Algunas decisiones comerciales son tan difíciles e importantes como para justificar el uso, no sólo del análisis teórico correspondiente, si no también que requieran el estudio experimental que reflejen el comportamiento de un Sistema Real mediante la utilización de Modelos Matemáticos como se aplica en el proceso de Simulación de Montecarlo, que 1
Proyecto Subsidiado por la Cooperadora de la Facultad de Ciencias Económicas – UNC Página 1 de 1
nos permite experimentar en escenarios con incertidumbre y por lo tanto donde existe un Riesgo asociado a la Toma de Decisión.
Decisiones En la vida de las organizaciones o del individuo, siempre se presentan situaciones problemáticas que deben deben ser resueltas. Las formas de encarar una solución son diversas diversas y debemos considerar considerar los recursos necesarios necesarios que
disponemos para alcanzar alcanzar este
objetivo. Al presentarse diversas alternativas de solución, es razonable pensar en seleccionar la mejor de ellas. Aquí el término mejor puede tener diversos significados, según los objetivos del decisor. La función de un gerente o decisor es tomar decisiones. Se enfrenta a un problema y siempre tendrá que elegir un curso de acción.
Un problema tiene seis componentes: componentes:
1. La persona que lo enfrenta, enfrenta, en general se llamará el Decisor . Esta puede ser o un individuo o una organización.
2. Las variables controlables por el Decisor. Son aquellas sobre las cuales un Decisor puede influir de manera efectiva.
3. Las variables no controlables o del entorno. Son aquellas sobre las cuales el Decisor no tiene influencia alguna pero debe considerar aquellas que afecten su decisión.
4. Las alternativas. En el proceso de análisis de la situación para encontrar una solución, se encuentran alternativas que "resuelven" el problema. Estas alternativas de solución son los diferentes cursos de acción que pueden seleccionarse.
5. Las restricciones . Algunas variables o combinaciones de variables pueden tener una o más restricciones que deben satisfacerse. No hay que olvidar que la toma de decisiones no es un ejercicio obvio, ni trivial, debido precisamente a que los recursos no son ilimitados.
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6. La decisión. Se trata de escoger una alternativa que sea eficiente, que produzca resultados satisfactorios, en relación con lo que el Decisor valora o aprecia. Aquí eficiencia se entiende por una alta relación entre los resultados obtenidos y los
recursos empleados. Entre estas soluciones o alternativas satisfactorias habrá una que es la mejor y se llama óptima. Si se busca la mejor, se está optimizando. Se puede tratar de encontrar una solución o alternativa que produzca resultados satisfactorios y no óptimos.
Se tratará de explicar lo relacionado con la toma de decisiones en escenarios con incertidumbre para así poder tener una mejor visión del riesgo que se corre por parte de una empresa u organización
La toma de decisiones pueden dividirse en dos clases:
a) Decisiones programadas que hacen al funcionamiento de las distintas áreas de una empresa, esto debido a que las decisiones diarias son rutinarias porque los gerentes suelen usar algunos procedimientos estándar para tomarlas. Algún ejemplo de este tipo de decisiones son las que se toman en el área de control de inventarios, control de costos, control de calidad, control de producción y algunas compras.
Por ejemplo dentro del control de inventarios de una empresa puede ser a través de procedimientos rutinarios, como el cálculo periódico de las cantidades económicas del periodo.
b) Decisiones no programadas que son especiales para una situación dada. Puesto que cada decisión implica un nuevo conjunto de alternativas que pueden ser difíciles de analizar, aquí los gerentes o los encargados de un negocio o empresa tienden a aplicar su criterio, experiencia, intuición y reglas empíricas para las decisiones no programadas como por ejemplo la ubicación de un nuevo producto o de un nuevo servicio, o la implementación de un nuevo proceso, la introducción de un equipo automático, etc.
Las variables comprendidas en las decisiones no programadas, por lo general son un poco más complejas que en las decisiones programadas. Página 3 de 3
Las decisiones programadas tradicionalmente se han tomado sobre la base de procedimientos estándar, confianza en los hábitos administrativos, uso de unas cuantas técnicas cuantitativas tradicionales y el paso por los canales adecuados de la organización.
El desarrollo de estos procedimientos, hábitos, técnicas y canales ha sido principalmente el resultado de la experiencia obtenida del método de prueba y error para la toma de decisiones; tales decisiones aunque son efectivas, rara vez representan la mejor opción.
Los desarrollos recientes en el área de las decisiones programadas han permitido a los gerentes moverse en dirección a las decisiones óptimas, uno de estos desarrollos se ve reflejado en el uso de la computadora que permite tener un fácil acceso a datos estadísticos o también una técnica que cada vez es más utilizada, que es la Simulación.
La simulación es una técnica numérica que facilita la manipulación de una o más variables y parámetros que se encuentran asociadas a un problema determinado. Cuando se hacen necesarios miles de cálculos, resulta muy útil el Computador para procesar los datos, la simulación proporciona experimentos mediante los cuales se prueban los cursos de acción alternativos.
Aún cuando se ha empleado la simulación para resolver algunos casos de producción, también se pueden ver cuáles son las partes de la misma producción que se verán afectados
facilitando la percepción de problemas aunados a la de decisiones
respecto a la misma producción y atacando así las posibles consecuencias de una decisión.
La mejor ventaja de usar simulación para el tomador de decisiones es que los resultados de una decisión pueden determinarse antes de su aplicación en el mundo real, esto mejora significativamente el enfoque de prueba y error, en el que la ejecución es un pre-requisito para descubrir sus resultados.
Otra tendencia reciente implica el uso de las técnicas
de investigación de
operaciones, tales como la programación lineal, la teoría de las colas (líneas en espera), así como la programación dinámica. Pero obviamente la mejor decisión es, desde luego, Página 4 de 4
la mejor en términos de la variables, las constantes, los parámetros y la metodología, asociadas a determinadas técnicas de investigación de operaciones.
Modelos en la Toma de Decisiones Los modelos son abstracciones de la vida real. Son muy útiles en la toma de decisiones por dos motivos:
a) Reducen problemas complejos a más sencillos y más fáciles de manejar
b) Proporcionan un medio para predecir cual será el resultado de una decisión.
Existen varios tipos de modelos que se utilizan para la toma de decisiones en el comercio y, especialmente en la producción como por ejemplo:
modelos matemáticos los cuales se clasifican a su vez en:
determinísticos
probabilísticos o estocásticos cuyo comportamiento lo podemos observar en la figura 1.
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Un modelo matemáticos determinístico es un enunciado expresado como ecuaciones de relaciones entre las variables y constantes asociadas con un problema. Un modelo determinístico predecirá los resultados exactos bajo ciertos hechos y suposiciones. Por ejemplo: la ecuación de una línea recta Y=a+bx es un modelo matemático determinístico que puede bien aplicarse a la proyección lineal de predicciones, las intersecciones de parámetros en programación lineal y la intersección del costo total y el ingreso total en el análisis del punto de equilibrio.
Al insertar el o los números apropiados para las letras a (intersección en y) y b (la pendiente), se puede expresar como una línea recta algebraicamente para encontrar los puntos de intersección, las expresiones que representan una línea se igualan con la otra y se resuelven con certeza obteniendo un resultado.
Un modelo probabilístico o estocástico es un enunciado de las relaciones entre variables y constantes a las que se asocia probabilidades estadísticas. Dicho de otra manera existe la probabilidad de ocurrencia asociadas al comportamiento de las variables y se describe como Incertidumbre, la salida del modelo estará expresada en n resultados.
Naturaleza del Proceso Decisorio La Decisión determina la elección de una forma de actuar frente a un número finito de alternativas posibles (A1, A2, ..., Ai) y con el objetivo de alcanzar en el futuro una situación deseable.
La variable tiempo es un elemento más en la Toma de Decisiones ya que la decisión que tomamos en el momento presente con los datos disponibles, generará un resultado en el futuro (F 1, F2,...Fi). que pueden presentarse, es decir que cada uno de estos estados deseables tendrá una probabilidad de ocurrencia asociada (P 1, P2, ...P3)
Clasificación del los Problemas de Decisión Página 6 de 6
Decisiones en Condiciones de:
Características Un
CERTEZA
único
futuro
F
posible
cuya
probabilidadad asociada es P =1
Riesgo
Varios
futuros
Fi
posibles
cuyas
probabilidades Pi son conocidas
Incertidumbre Varios ALEATORIEDAD
futuros
Fi
posibles
cuyas
probabilidades no son conocidas
En nuestro estudio abordaremos al área correspondiente a las Decisiones en condiciones de Aleatoriedad.
Incertidumbre en el Análisis de Riesgo La incertidumbre puede ser definida como la falta de conocimiento preciso o desconocimiento de las causas que determinan el comportamiento de un sistema real o las variable que definen el modelo respectivo, sea ésta cualitativa o cuantitativa.
Esto genera los siguientes inconvenientes:
1. No podemos describir con certeza el comportamiento parcial o total de un sistema. 2. Debemos realizar el Análisis de Riesgo y tomar decisiones en ese contexto de incertidumbre.
Objetivo de hacer un Análisis de Incertidumbre es mejorar sustancialmente la calidad y el resultado del proceso de toma de decisiones.
Para esto necesitamos herramientas que nos posibiliten determinar y cuantificar las fuentes de incertidumbre permitiendo de esta manera la construcción de estimadores de riesgo más confiables en un rango de probabilidades.
Para ello describiremos a continuación los distintos tipos de Incertidumbre
que
debemos tener en cuenta para considerar su efecto y poder construir de esta manera los estimadores de riesgo respectivos. Página 7 de 7
TIPOS DE INCERTIDUMBRE 1. Incertidumbre relativa a los escenarios considerados.
2. Incertidumbre en lo que respecta a los parámetros.
3. Incertidumbre en el Modelo.
Incertidumbre en los Escenarios Es la falta de información requerida para definir en forma completa el Análisis que está expresada por:
•
Errores de agregación al combinar la diferentes aproximaciones.
•
Errores de juicio profesional al definir las características de los escenarios.
•
Análisis incompleto. Esta es una las causas más difíciles de subsanar ya que no es esencialmente cuantificable ya que no podemos cuantificar aquello que no hemos considerado y por lo tanto es una de las causales mas significativas.
La definición de escenarios debe ser fundamentada cualitativamente para validar las conclusiones en lo que se refiere a considerar o descartar escenarios que representen la realidad.
Ejemplos de este tipo se pueden presentar como:
•
Análisis incompleto: el mismo genera un riesgo mayor que el real por ejemplo no considerar el efecto de la competencia interna o externa en un estudio de mercado realizado para lanzar un producto al mismo.
•
Error de agregación: por ejemplo si consideramos a toda la población homogénea cuando pueden existir subconjuntos o subpoblaciones más sensibles.
Incertidumbre en los Parámetros •
Errores de medición: son bastante significativos ya que ningún proceso de medición es perfecto y podemos encontrar los siguientes tipos de errores: Página 8 de 8
Aleatorios: los mismos tienden a cero con más y mejores mediciones.
Sistemáticos: son la consecuencia de la calibración imprecisa de los
instrumentos de medida, y determinan el sesgo con respecto al valor verdadero.
•
Errores de Muestreo Se producen al analizar una muestra de la población para inferir datos acerca de la población total, disminuyen a medida que aumentamos el tamaño de la muestra.
•
Uso de Datos genéricos Se producen cuando al no tener datos reales se toman de otros Análisis similares.
•
Desacuerdo Si el conocimiento no es perfecto como ocurre en campos de innovación y desarrollo, no siempre existirá entre los científicos concordancia en el cual esa la Verdad.
Incertidumbre en el Modelo La misma esta relacionada a las variables que caracterizan el modelo y la cuantificación de las interacciones entre las mismas.
Las variables que caracterizan el Modelo son de distinto tipo en consecuencia la determinación de la Incertidumbre será en función del tipo de variable que definiremos como:
•
Constantes: en este caso por definición no es incierto.
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Cantidades Empíricas: Son aquellos atributos medibles y a los cuales se les
•
puede asociar un valor de distribución de probabilidad.
Variables de Decisión: Son aquellas sobre las que tenemos un control
•
directo sobre lo que debemos realizar, el mejor valor es el resultante del Análisis.
•
Parámetros de Valor: Son aquellos que representan las preferencias del Tomador de Decisiones
y son
los que introducen el mayor grado de
incertidumbre.
•
Resultado: El mismo será probabilístico o determinístico en función de la naturaleza de las entradas.
Tipo de Variable
Ejemplo
Tratamiento de la Incertidumbre
Constante
Cantidades Empíricas
Número atómico
Cierto por definición
Productividad de un proceso
Probabilístico o paramétrico
Peso del Pescado Precio de un combustible Tamaño de planta
Variable de Decisión
Número
de
piscinas
Paramétrico de
crianza
Resultado
Valor Actualizado Neto
Determinada
Tasa Interna de Retorno
Entradas
por
las
Incertidumbre versus Variabilidad En la práctica ambos términos se utilizan en forma intercambiable, sin embargo conceptualmente son distintos.
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La incertidumbre puede ser representada por distribuciones de probabilidad, la variabilidad por distribuciones de frecuencia. Aunque desde el punto de vista operacional son similares, representan fenómenos distintos ya que: La incertidumbre proviene del desconocimiento o errores de medición. La variabilidad se genera en diferencias espaciales, temporales del parámetro de interés. La incertidumbre se puede disminuir con un buen Análisis y con más y mejores mediciones. La variabilidad exige concentrarse en la naturaleza de fenómenos específicos.
Un ejemplo de ello puede ser determinar las concentraciones de contaminantes atmosféricos en una ciudad.
La variabilidad estará reflejada en la variación temporal (diaria, estacional ) y geográfica y La incertidumbre en lo que respecta a la medición de la concentración de contaminantes.
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Fases del Análisis de Riesgo En la siguiente figura podemos observar los pasos a seguir en análisis de proyectos bajo riesgo e incertidumbre.
Identificar el Riesgo
Cuantificar el Ries o
Análisis de Ries o
Presentar los Resultados
Modelo preliminar
Identificar el Riesgo: es el conjunto de técnicas utilizadas para determinar el Riesgo y la selección del modelo apropiado.
Cuantificar el Riesgo:
en función de las características del problema debemos
seleccionar la distribución de probabilidad apropiada.
Análisis de Riesgo: para realizar el análisis, podemos utilizar la técnica de Simulación de Monte Carlo para evaluar el comportamiento del modelo en el tiempo.
Presentación de los Resultados: recabar las estadísticas que reflejen el comportamiento del Modelo y su representación gráfica que permite su sencilla evaluación para la toma de decisión.
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Primera Presentación: evaluar las salidas del modelo para determinar la conveniencia o no de su implementación (business decisión).
Incertidumbre y Análisis de Riesgo son herramientas muy útiles en el proceso de decisión por ejemplo al evaluar un proyecto de inversión que tiene dos alternativas con el mismo valor esperado pero diferente grado de incertidumbre la elección de uno u otro dependerá del menor factor de Riesgo.
Métodos para Modelar la Incertidumbre Entre los métodos podemos encontrar los siguientes:
♦
Métodos para calcular el efecto que producen cambios en los parámetros en el resultado final: Análisis de Sensibilidad.
♦
Métodos para calcular la incertidumbre en los resultados del Modelo debido a la incertidumbre de los parámetros: Propagación de la Incertidumbre
♦
Métodos para estimar la contribución de ala incertidumbre de los parámetros de entrada en la incertidumbre de los resultados: Análisis de Incertidumbre
En nuestro caso nos ocuparemos de la incertidumbre que produce cambios en el Modelo y en los posibles resultados.
Propagación de la Incertidumbre Podemos utilizar herramientas como:
♦
Métodos Analíticos: Análisis de Sensibilidad y Análisis de Escenarios.
♦
Técnicas de Simulación : específicamente la Simulación de Montecarlo.
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SIMULACIÓN DE MONTECARLO Esta método se caracteriza por lo siguiente:
♦
Una extensión del análisis de sensibilidad y de escenarios.
♦
Simultáneamente
toma
en
cuenta
las
diferentes
distribuciones
de
probabilidades y los diferentes rangos de los valores para las variables claves del proyecto. ♦
Permite la correlación entre variables.
♦ Análisis de tipo dinámico. Escenarios aleatorios consistentes. ♦
Genera una distribución de probabilidad de resultados del proyecto (VAN) en vez de un solo estimado. Perfil denominado de riesgo/rendimiento.
♦
La distribución de probabilidad del proyecto facilita la toma de decisiones pero existen problemas de interpretación y uso.
♦
Facilita el mejoramiento del Modelo y por consiguiente su aproximación al Sistema Real.
♦
Permite evaluar la información requerida para reducir la Incertidumbre.
♦
Facilita la toma de decisiones en un contexto de Incertidumbre al comprender el efecto de ésta sobre el resto de los componente considerados.
♦
Es importante no solo mostrar el valor esperado para una variable, sino también el rango de variación ya que puede ocurrir que dos proyectos tengan el mismo valor esperado pero diferente factor de riesgo.
Por lo tanto si debemos realizar Análisis de Riesgo en escenarios con Incertidumbre es fundamental la determinación de estimadores de riesgo con un rango de probabilidades que reflejen el comportamiento del sistema real y no simplemente como un conjunto de números elegidos subjetivamente.
PASOS PARA EJECUTAR EL MÉTODO DE SIMULACIÓN DE MONTECARLO Modelo Matemático: diseñar un modelo Matemático que represente el sistema real en función del objetivo de estudio para ello se puede utilizar el Excel o un software específico para Análisis de Riesgo (@risk, Crystall Ball )
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Identificar variables significativas o relevantes en función del objetivo de estudio, que son sensibles e inciertas y asociarle una función de distribución de probabilidad.
Definir el riesgo: Establecer un rango de opciones (mínimo y máximo) en función de la naturaleza del problema y considerando las características probabilísticas de las variables consideradas.
Identificar y definir
variables correlacionadas: Es muy importante definir la
interacción existente entre las variables cuya modificación generan un cambio en la variable correlacionada, un ejemplo de ello puede ser el precio de un producto con la posible demanda del mismo.
Diseñar el experimento de Simulación Análisis de resultados Resultados estadísticos
Distribuciones
Ejemplo : Análisis de Riesgo de un proyecto de Inversión analizando el VAN con respecto a la distribución acumulada de frecuencias graficados en los casos 1 , 2 y 3.
Vamos a suponer que aplicamos todos los pasos que requiere
el método de
Montecarlo y debemos analizar los resultados de la simulación que son graficados utilizando un Histograma en donde se grafica la frecuencia de ocurrencia de los valores de la variable estocástica considerada, luego en función del porcentaje de casos en el cuadrante negativo o positivo se puede observar el Factor de Riesgo asociado a la toma de decisión respectiva en cuanto a las distintas alternativas que se pueden presentar.
Los modelos de simulación para proyectos de inversión utilizan algunos indicadores o estimadores para analizar si un proyecto es económicamente viable, y en qué medida. Los que se consideran como los más utilizados por los expertos son los siguientes:
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•
VAN (Valor actual neto): que consiste en actualizar a valor presente los flujos de caja futuros que va a generar el proyecto, descontados a un cierto tipo de interés ("la tasa de descuento"), y compararlos con el importe inicial de la inversión.
•
TIR (Tasa interna de retorno): que es la tasa de descuento que iguala el VAN a cero.
•
Período de retorno: que es el período que se tarda en recuperar la inversión inicial por medio de los flujos de caja generados por el proyecto.
Luego de aplicada la Técnica de Simulación de Montecarlo debemos analizar los n resultados obtenidos, es decir la curva de respuesta del Modelo Probabilístico analizando el comportamiento en este caso de uno de los estimadores, el
y
VAN, el
Decisor opta en función del resultado de la Simulación por la conveniencia o no de realizar el emprendimiento. El procedimiento se detalla a continuación y nos ocuparemos fundamentalmente de analizar la gráfica de los posibles resultados considerando que la misma está representada por la frecuencia acumulada de la variable simulada que en nuestro caso particular es el VAN.
Análisis de resultados
Distribución de probabilidades de posibles resultados del proyecto.( valor esperado, varianza)
Riesgo del proyecto representado en la posición y forma de la distribución de probabilidades acumuladas de la variable considerada en nuestro caso el VAN.
Determinar el perfil de riesgo, decisión final subjetiva según actitud del inversionista al riesgo y las características particulares del proyecto.
En la figura siguiente se representa a través de un Histograma, la respuesta o salida de la aplicación CRISTAL BALL, luego se representa en forma aproximada las posibles respuestas del estimador VAN y la Toma de Decisión asociada.
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Simulación de Monte Carlo (un ejemplo) Aplicación del Crystal Ball
Forecast: VPN al 20% 1,000 Trials
Cumulative Chart
7 Outliers
1.000
1000
.750
750
.500
500
.250
250
.000 -400,000.00
0 -200,000.00
0.00
200,000.00
400,000.00
Caso 1: Probabilidad de VAN Negativo = 0, es decir no existen valores en el cuadrante negativo.
f
Distribución Acumulada
Decisión: Aceptar
−
0
VAN
El límite menor de la distribución acumulada está a la derecha del VAN con valor de cero.
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Caso 2: Probabilidad de VAN Positivo = 0, es decir no existen valores en el cuadrante positivo.
f
Distribución Acumulada
Decisión: Rechazar
0
VAN
−
El límite mayor de la distribución acumulada está a la izquierda del VAN con valor de cero.
Caso 3: La Probabilidad de un VAN de cero es mayor a 0 pero menor a 1, es decir que los valores obtenidos se distribuyen en ambos cuadrantes.
f
Distribución Acumulada
Decisión: Ambigua
−
0
VAN de cero atraviesa la distribución acumulada.
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VAN
Conclusiones El utilizar la Simulación nos permite experimentar con las variables del modelo y en función del análisis del comportamiento de las variables significativas del Modelo Estocástico, se puede obtener la curva de respuesta completa, no sólo el valor esperado, lo que nos permite precisar el Factor de Riesgo asociado a la Toma de Decisiones en escenarios con Incertidumbre. Es fundamental en estos escenarios determinar el perfil de riesgo, porque no siempre es suficiente con obtener el valor esperado de la variable estocástica que puede ser el mismo para dos respuestas o alternativas diferentes, pero en las cuales varía sustancialmente el perfil de riesgo asociado.
En síntesis las ventajas de la Simulación son: ♦
Nos permite identificar el Riesgo asociado a la Toma de Decisión
♦
Mejora el entendimiento del proyecto como consecuencia de los ensayos realizados.
♦
Podemos realizar proyecciones bastantes confiables.
♦
Nos permite experimentar en distintos escenarios y analizar el resultado de aplicar diferentes estrategias.
Ahora recordaremos algunos estimadores utilizados para medir el Factor de Riesgo:
Medidas de Riesgo
Valor esperado = Σ x i . P(x i)
La varianza es una medida del riesgo; por lo tanto, cuanto mayor sea la varianza, mayor el riesgo
Varianza = [Σxi . x i . P(xi)] - (Valor esperado)2 ]
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•
Desviación estándar. Desviación estándar = (Varianza) 1/2 Ambas, la varianza y la desviación estándar, proporcionan la misma
información; siempre se puede obtener una de la otra. En otras palabras, el proceso de calcular una desviación estándar siempre involucra el cálculo de una varianza. Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, siempre se expresa en las mismas unidades que el valor esperado.
Pérdida esperada: Total de rendimientos negativos x probabilidad respectiva.
Ganancia esperada: Total de rendimientos positivos x probabilidad respectiva.
Razón de pérdida esperada: Pérdida esperada
Ganancia esperada Pérdida esperada
•
Coeficiente de Variación
El Coeficiente de Variación (C.V.) =(Desviación estándar / Valor esperado)100 % Observe que el C.V. es independiente de la medida de unidad delvalor esperado. El coeficiente de variación se usa para representar la relación entre la desviación estándar y el valor esperado; expresa el riesgo como porcentaje del valor esperado.
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Bibliografía Métodos Cuantitativos para los Negocios Autor Anderson David R. Editorial Thomson International Edición 1999
Investigación de Operaciones Autores: Kamlesh Mathur – Daniel Solow Editorial: Prentice Hall Edición 1996
Simulación y Análisis de Modelos Estocásticos Autores: mamad r. Azarang – Eduardo García Duna Editorial: Ma Graw Hill Edición: 1996
Introducción a los Modelos Cuantitativos en Administración Autor: Anderson David Editorial Iberoamerica Edición 1993
Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones en Administración Charles A. Gallagher Hugh Watson Mc Graw Hill
Análisis Cuantitativo para los Negocios Bonini – Asuman – Bierman Mc Graw Hill 1999
Técnicas Cuantitativas Dresdner – Evelson – Dreiyfus Ediciones Universo 1998 Página 21 de 21
Articulo de la Dra. Karla Aguirre Torres Riesgo e Incertidumbre en la Toma de Decisiones http://elprisma.com
Sitios consultados en Internet: http://ubmail.ubalt.edu/~harsham/ http://consulting.hord.com/finmodelling.html http://csep1.phy.ornl.gov/mc/mc.html http://www.palisade-europe.com/espanol/ http://www.decisioneering.com/ http://www.sra.org/ http://www.montecarlosimulations.org/
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