Continuación
2.1 Decisiones bajo Incertidumbre Ms. Ing° Angel Miguel López Aguilar
CRITERIO DE HURWICZ Se trata de un criterio intermedio entre el criterio de Wald (maximin) y el criterio maximax. Este concepto porque muy pocas personas son tan extremadamente pesimistas u optimistas. Hurwicz (1951) considera que el decisor debe ordenar las alternativas de acuerdo con una media ponderada de los niveles de seguridad y optimismo :
Donde: es un valor específico elegido por el decisor y aplicable a cualquier problema de decisión abordado por él, por lo que α
T(ai) = αsi + (1- α)oi. Así, si x(ai , e j ) representa beneficio la regla de decisión de Hurwicz resulta ser:
máxai
máxe j x( ai , e j ) (1 )míne j x( ai , e j )
Para el caso donde x(ai , e j ) representa un costo, el criterio selecciona la acción que proporciona:
mínai míne j x(ai , e j ) (1 )máxe j x(ai , ej )
El parámetro se conoce como índice de optimismo Los valores de
α
próximos a 1 corresponden a una pensamiento optimista, criterio maximax Los valores de
α
próximos a 0 corresponden a una pensamiento pesimista, el criterio de Wald. En ausencia de una sensación fuerte de una circunstancia u otra, un valor de = 1/2 parece ser una selección razonable
EJEMPLO Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra las recompensas obtenidas junto con la media ponderada de los niveles de optimismo y pesimismo de las diferentes alternativas para un valor a = 0.4:
La alternativa óptima según el criterio de Hurwicz sería comprar las parcelas A y B, pues proporciona la mayor de las medias ponderadas para el valor de α seleccionado
CRITERIO DE SAVAGE (1951) Argumenta, al utilizar los valores x ij para realizar la elección, el decisor compara el resultado de una alternativa bajo un estado de la naturaleza con todos los demás resultados, independientemente del estado de la naturaleza bajo el que ocurran. Sin embargo, el estado de la naturaleza no es controlable por el decisor, por lo que el resultado de una alternativa sólo
debería ser comparado con los resultados de las demás alternativas bajo el mismo estado de la naturaleza .
Considerando lo anterior Savage define el concepto de: pérdida relativa o pérdida de oportunidad rij asociada a un resultado xij como la diferencia entre el resultado de la mejor alternativa dado que θ j es el verdadero estado de la naturaleza y el resultado de la alternativa ai bajo el estado θ j:
Así, si el verdadero estado en que se presenta la naturaleza es θ j y el decisor elige la alternativa a i que proporciona el máximo resultado x ij , entonces no ha dejado de ganar nada, pero si elige otra alternativa cualquiera a r , entonces obtendría como ganancia x r j y dejaría de ganar x ij -x rj .
Savage propone: seleccionar la alternativa que proporcione la m enor d e las m ay o res p é rd id as rel ati v as , es decir, si se define r i como la mayor pérdida que puede obtenerse al seleccionar la alternativa a i ,
el criterio de Savage resulta ser el siguiente:
) es una función de beneficio o de Observe que si x (a i , e j pérdida, la matriz de pérdidas relativas, formada por los elementos r ij representa en ambos casos pérdidas.
Por consiguiente, únicamente el criterio minimax ( y no el maximin) puede ser aplicado a la matriz de costo de oprtunidad r.
EJEMPLO Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra la matriz de pérdidas relativas y el mínimo de éstas para cada una de las alternativas.
Matriz de costo de oportunidad: Estados de la Naturaleza Alternativas Terreno comprado
Aeropuerto en Aeropuerto en Minimax A B r i
A
0
23
23
B
21
0
21
A y B
8
12
12
Ninguno
13
11
13
Se obs erva, el valor r i m enor s e obtiene para la tercera alternativa, po r lo qu e la decis ión óptim a según el c riterio de Savag e sería co m pr ar amb as parcelas.
CRITERIO DE LAPLACE Propuesto por Laplace en 1825. Se sustenta en el principio de razón insuficiente. Como a priori no existe ninguna razón para suponer que un estado se puede presentar antes que los demás, podemos considerar que todos los estados tienen la misma
probabilidad de ocurrencia La ausencia de conocimiento sobre el estado de la naturaleza equivale a afirmar que todos los estados son equiprobables. Un problema de decisión con n estados de la naturaleza, asignaríamos probabilidad 1/n a cada uno de ellos.
La regla de Laplace selecciona como alternativa óptima aquella que proporciona un mayor resultado esperado:
1 n máx _ ai xai , e j n j 1
EJEMPLO Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra los resultados esperados para cada una de las alternativas. Estados de la Naturaleza Alternativas
Aeropuerto en A
Aeropuerto en B
Resultado esperado
A
13
-12
0.5
B
-8
11
1.5
AyB
5
-1
2
Ninguno
0
0
0
Terreno comprado
Caso 1: Vendedor de periódicos Un canillita compra periódicos al comienzo del día y no sabe cuántos venderá realmente. Al final del día carecen de valor y tiene que desecharlos por lo que si compra más de lo necesario, simplemente desechará el excedente, sin costo adicional. Si compra menos de lo necesario pierde ventas potenciales ahora y posiblemente en el futuro. Suponga que esta pérdida de ventas futuras es representada por un costo de pérdida del buen nombre estimado en S/.0.50 por cliente insatisfecho. Si C = S/. 0.40 (costo de un periódico) y P = S/. 0.75 (precio de venta), elaborar la matriz de pagos considerando cuatro posibles acciones; comprar 0, 100, 200 y 300 unidades y suponer que los estados de la naturaleza corresponden a niveles de demanda comparables a las compras. ¿Qué decisión tomaría si el canillita es muy conservador? ¿Qué decisión tomaría si el canillita es no es ni optimista ni pesimista?
SOLUCIÓN
Caso 2: Operación financiera Un inversionista debe tomar la mejor decisión para invertir su dinero sobre la base de la siguiente tabla:
Si el inversionista no tiene ninguna información sobre los estados de la economía, determinar: a. ¿Qué decisión tomaría el inversionista si evalúa sus alternativas tomando en cuenta el costo de oportunidad? b. ¿Qué decisión tomaría si el inversionista aplica el concepto de razón insuficiente?
Caso 3: Negocio de la moda Un vendedor puede comprar pantalones a precios referenciales. Si compra 100 unidades, el costo unitario es $ 10. Si compra 200 unidades, el costo unitario es $ 9. Si compra 300 o más unidades, el costo es de $8,5. El precio de venta es de $ 12. Los que quedan sin vender al final de la temporada se rematan a $6. La demanda puede ser de 100, 150 ó 200 unidades, pero si la demanda es mayor que la oferta hay una pérdida de prestigio de $0,50 por cada unidad no vendida. Aplique los criterios estudiados e indique las alternativas elegidas.
Caso 4: Estrategia de mercado Una empresa puede elegir entre tres estrategias de marketing (A, agresiva, altos inventarios y gran campaña de publicidad nacional; B, básica, solo los productos básicos y publicidad regional; C, cautelosa, inventarios mínimos y publicidad a cargo del vendedor). El mercado puede ser fuerte o débil . La matriz de pagos es la siguiente:
¿Qué decisión tomaría si utiliza los criterios de Savage y el de Laplace?
Caso 5: Venta de artesanías Un vendedor de artesanías en una ciudad de la costa peruana descubre que las ventas en julio dependen en gran medida del clima. Para vender debe hacer los pedidos a un mayorista de la región en Enero. Este mayorista ofrece paquetes pequeños, medianos y grandes a precios especiales y el vendedor debe elegir alguno de ellos. La tabla de pagos es la siguiente:
¿Qué acción debe seguir el vendedor de artesanía si utiliza el criterio de Savage?
Caso 6: Perforación pozos de petróleo PETROINKA SAC, empresa petrolera que perfora pozos en la selva, requiere cierta pieza que usa en cada pozo la cual está sujeta a rotura accidental y debe ser reemplazada a la brevedad. Es posible transportar piezas de repuesto desde el inicio del proyecto o enviarlas posteriormente si es necesario. Se requiere determinar el número de piezas que se debe transportar inicialmente se sabe que: El costo de cada pieza es US $ 100. El costo de transporte por pieza es de US $ 50 si el embarque es al inicio y de US $ 150 por pieza si es posterior. Las piezas transportadas y no usadas deben regresarse por un costo de US $ 50 por transporte por pieza. Considerar que no se van a romper más de 2 piezas. Construir la matriz de costos.
Caso 7: Stock de medicinas Dentro del stock de medicinas que tiene la veterinaria “EL ARCA DE NOÉ”, se encuentran las vacunas de inmunización contra la rabia. Debido a las características de la vacuna, estas se compran en cajas(10 vacunas por caja) el lunes de cada semana y las vacunas que no son usadas se desechan el domingo. La vacuna cuesta $7.00 por dosis y el veterinario cobra $10.00 por la misma dosis. Si en la veterinaria se tiene la siguiente información estadística para las últimas 40 semanas:
¿Cuántas cajas se debe comprar si usa los criterios Maximin, Minimax y Hurwicz ( α = 0.4)
CASO 8: Sistema Tributario El sistema tributario de un país es tal que cobra una tasa única de impuesto de un 35% sobre los Ingresos de las personas. Además, se fiscaliza un porcentaje de las declaraciones y en el 100% de los casos inspeccionados en que el contribuyente declara menos ingresos que los reales, se detecta dicha evasión, procediéndose a cobrar el impuesto sobre los ingresos reales, además de una multa sobre el monto del ingreso real. Planteado frente a este sistema, un contribuyente neutro al riesgo debe decidir entre declarar sus ingresos reales o un monto inferior a éstos. Si su ingreso real es de 1000 y la tasa de impuestos es igual a un 35%, determine:
(a) El ingreso máximo declarado D, cuando la multa es de un 10% y la probabilidad de fiscalización es de un 60%, tal que deja indiferente al individuo entre declarar ese monto y todo su ingreso. (b) La multa mínima, para que el individuo prefiera NO evadir, si la fiscalización es de un 50%. (c) El porcentaje mínimo de declaraciones a fiscalizar, para que el individuo prefiera NO evadir nada si la multa es de un 60%. Determine: a) La matriz de consecuencias o resultados b) ¿Qué decisión tomaría si usa el criterio de Savage?
