TOMA DE DECISIONES BAJO CERTIDUMBRE, RIESGO E INCERTIDUMBRE
El análisis de decisiones proporciona una manera útil de clasificar los modelos para la toma de decisiones. Las situaciones de decisión se clasifican, generalmente, sobre la base de conocimiento que tenga el decisor(o crea tener) de la misma. Es costumbre dividir los grados de conocimiento o información en tres categorías, empezando desde el conocimiento completo hasta la ignorancia. Entre estas categorías están:
1. Certidumbre (información completa) 2. Riesgo (información parcial) 3. Incertidumbre (información limitada)
TOMA DE DECISIÓN BAJO CERTIDUMBRE
En el ambiente del proceso de toma de decisiones bajo certidumbre, quienes la toman conocen con certeza la consecuencia de cada una de las alternativas que implica la selección de la decisión. Naturalmente, seleccionaran la alternativa que maximizara su bienestar o que dará el mejor resultado.
Las técnicas más representativas para representar toma de decisiones bajo certidumbre, son los modelos de programación lineal.
Programación Lineal
Herramienta que permite modelar y resolver problemas donde se requiere mejorar el uso de recursos limitados. Un modelo de Programación Lineal (PL) se estructura usando un conjunto de variables de decisión con la que se forma una
función que describe lo que se quiere alcanzar, que por lo general recibe el nombre de función objetivo, y un conjunto de restricciones.
El modelo considera que las variables de decisión tienen un comportamiento lineal, tanto en la función objetivo como en las restricciones del problema.
Supuestos Básicos de la Programación Lineal.
Linealidad
Modelos Deterministas
Variables reales
No Negatividad.
La linealidad más allá de que la función objetivo y las restricciones no contengan términos no lineales, requiere satisfacer dos propiedades:
1. La proporcionalidad, requiere que la contribución de cada variable, tanto en la función objetivo como en las restricciones, debe ser directamente proporcional al valor de la variable. Un ejemplo que no cumple con esta propiedad sería el caso de venta de un producto donde se indique que es más barato si se compra más de un docena, en este caso la contribución por la venta no es la misma si es menos de una docena.
2. La aditividad, la contribución total de las variables, tanto en la función objetivo como en las restricciones, debe ser igual a la suma de la contribución individual de cada variable, es decir la variación de una variable no debe
afectar a otra variable. Ejemplo, no se cumple la propiedad en el caso de dos productos competidores, si al incrementar la venta de uno de los productos se afecta la venta de otro.
Modelo de Programación Programación Lineal Lineal
El modelo se construye con tres elementos: variables, restricciones y función objetivo. Una vez obtenido todos estos elementos se procede a presentar el modelo usando una estructura estándar, donde la función objetivo y las restricciones se presentan de forma lineal y todos los términos que contengan variables se colocan al lado izquierdo del operador, siguiendo el orden del subíndice de las variables.
En el modelado de PL, por lo general, se emplea la siguiente terminología:
Recurso: Se suele dar este nombre a la materia prima que se tiene para elaborar un producto, pero también se utiliza para indicar la demanda de un producto, el nivel de riesgo, en fin se utiliza para referirse a aquel elemento del problema que debe ser asignado o distribuido entre varias actividades y que posee limites para su uso.
Actividades: Se refiere entre que se debe distribuir el recurso, ya sean productos, tareas, entre otros. Están representadas por las variables de decisión y es los que se quiere determinar.
Ejemplos:
1.- Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de maderas y 28 horas disponibles, durante las cuales fabricará biombos decorativos. Con anterioridad, se han vendido bien 2 modelos, de manera que se limitará a producir estos 2 tipos. Estima que el modelo uno requiere 2 unidades de madera y 7 horas de tiempo disponible, mientras que el modelo 2 requiere una unidad de madera y 8 horas. Los precios de los modelos son 120 UM y 80 UM, respectivamente. ¿Cuántos biombos de cada modelo debe fabricar si desea maximizar su ingreso en la venta?
Objetivo: Maximizar el ingreso por ventas Restricciones: Unidades de madera, Tiempo disponible. Variables de decisión: X1 = Cantidad de biombos tipo I a fabricar X2 = Cantidad de biombos tipo II a fabricar
Modelo de programación lineal: Maximizar Z= 120X 1 + 80X2 Sujeto a: 2X1 + X2 ≤ 6 (Unidades de madera) 7X1 + 8X2 ≤ 28 (Tiempo disponible) X 1, X 2 ≥ 0
2.- Una empresa manufacturera está considerando dedicar su capacidad a fabricar 3 productos; llamémoslos productos 1, 2 y 3. La capacidad disponible de las máquinas que podría limitar la producción se resume en la siguiente tabla:
Tipo de Máquina
Tiempo Disponible (horas máquina)
Fresadora
500
Torno
350
Rectificadora
150
El número de horas requeridas por cada unidad de los productos respectivos es: Tipo de Máquina
Producto 1
Producto 2
Producto 3
Fresadora
9
3
5
Torno
5
4
0
Rectificadora
3
0
2
El departamento de ventas indica que el potencial de ventas para los productos 1 y 2 es mayor que la tasa de producción máxima y que el potencial de ventas para el producto 3 es de 20 unidades por semana. La utilidad unitaria sería de 30, 12 y 15 UM, respectivamente, para los productos 1, 2 y 3.
Formúlese el modelo de programación lineal para determinar cuánto debe producir la empresa de cada producto para maximizar la utilidad.
Objetivo: Maximizar la utilidad Variable de decisión:
Cantidad a fabricar del producto 1. (X1). Cantidad a fabricar del producto 2. (X2). Cantidad a fabricar del producto 3. (X3).
Restricciones: Capacidad disponible para producción de cada máquina (3 restricciones) Potencial de ventas para el producto 3. (1 restricción) Maximizar Sujeto a:
3.- Un expendio de carnes acostumbra preparar carne para hamburguesa con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80 % de carne y 20 % de grasa y le cuesta a la tienda 80 centavos por libra. La carne de cerdo contiene 68 % de carne y 32 % de grasa y cuesta 60 centavos por libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda por cada libra de carne para hamburguesa si desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25 %?
Objetivo: Minimizar el costo Variable de decisión: Cantidad de carne de res. (X1).
Cantidad de carne de cerdo (X2)
Restricciones: Contenido de grasa no mayor de 25 % Contenido de carne molida a producir
Minimizar Sujeto a:
4.- Una compañía distribuidora de agua tiene 3 depósitos con entrada diaria estimada de 15, 20 y 25 millones de litros de agua respectivamente. Diariamente tiene que abastecer 4 áreas A, B, C y D, las cuales tienen una demanda esperada de 8, 10, 12 y 15 millones de litros de agua, respectivamente. El costo de bombeo por millón de litros de agua es como sigue: DEPÓSITO
ÁREA A
B
C
D
1
2
3
4
5
2
3
2
5
2
3
4
1
2
3
Minimice el costo total de suministro de agua de los depósitos a las áreas.
Objetivo: Minimizar el costo total de suministro de agua de los depósitos a las áreas. Variables de decisión: Cantidad de agua que se envía de cada depósito a cada área. Restricciones: Entradas de agua disponible. (3 restricciones) Necesidades de agua de las áreas. (4 restricciones) Minimizar
Sujeto a:
5.- Jack Bienstaulk tiene a su cargo la compra de mercancías enlatadas para el servicio de alimentos GAGA en una gran universidad. Él sabe cuál será la demanda durante el transcurso del año escolar y ha estimado también los precios de compra. En la figura se muestran estos datos. Puede comprar anticipadamente y almacenar para evitar los aumentos de precios, pero existe un costo de mantener inventario de $0.20 por caja, por mes, aplicado al inventario en existencia al final del mes. Elabore un PL que minimice el costo y que ayude a Jack a determinar el momento de sus compras, Sugerencia: Supóngase que Pt es el número de cajas compradas en el mes t y que It es el número de cajas en existencias al final del mes t.
Datos de la demanda y el costo SEP. OCT. NOV. NOV. DIC. ENE. FEB. MAR. ABR. MAY. Demandas 1000 900
850
500
600
1000 1000
1000 500
$20
$21
$21
$21
$23
(cajas ) costo por $20
$20
$23
$23
caja
Objetivo: Minimizar el costo total (costo de compra e inventarios) Variables: Pt =Cantidad de cajas compradas en el mes t. (t=1,2,… 9) It = Cantidad de cajas en existencia en el mes t (t=1,2,…8)
Restricciones: Ecuaciones de demanda e inventarios por mes (9 restricciones)
6.- Para una cafetería que trabaja 24 horas se requieren las siguientes meseras: HORAS
DEL NÚMERO
DÍA
MESERAS
2-6
4
6-10
8
10-14
10
14-18
7
18-22
12
22-2
4
MÍNIMO
DE
Cada mesera trabaja 8 horas consecutivas por día con horarios de entrada 2, 6, 10, 14, 18 y 22 horas. El objetivo es encontrar el número más pequeño requerido para cumplir los requisitos anteriores. Formule el problema como un modelo de programación lineal.
Objetivo: Minimizar el número total de meseras requeridas. Variables de decisión: X1= Número de meseras que entran a las 2 X2= Número de meseras que entran a las 6 X3= Número de meseras que entran a las 10 X4= Número de meseras que entran a las 14 X5= Número de meseras que entran a las 18
X6= Número de meseras que entran a las 22
Restricciones: Cantidad de meseras requeridas en el horario de 2-6 (4 meseras) Cantidad de meseras requeridas en el horario de 6-10 (8 meseras) Cantidad de meseras requeridas en el horario de 10-14 (10 meseras) Cantidad de meseras requeridas en el horario de 14-18 (7 meseras) Cantidad de meseras requeridas en el horario de 18-22 (12 meseras) Cantidad de meseras requeridas en el horario de 22-2 (4 meseras)
Métodos de Resolución Resolución
Un modelo matemático de decisión, por muy bien formulado que esté, no sirve de nada sino podemos encontrar una solución satisfactoria. Una de las características de la programación lineal es que, gracias a sus propiedades matemáticas, se consigue la solución óptima sin muchas dificultades.
Método Gráfico El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de PL, representando geométricamente a las restricciones, condiciones técnicas y el objetivo. El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible.
Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos. Pasos:
Graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que satisfagan todas las restricciones en forma simultánea.
Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores posibles.
El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta.
Trazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada.
Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible.
Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo.
Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.
Ejemplos. Minimizar la función f(x, y)=2x+8y sometida a las restricciones:
Llamando, respectivamente r, s y t a las rectas expresadas en las tres últimas restricciones, la zona de soluciones factibles sería:
Siendo los vértices: A intersección de r y t:
B intersección de s y t:
C intersección de r y s:
Siendo los valores de la función objetivo en ellos:
Alcanzándose el mínimo en el punto C.
La Función objetivo:
f(x, y)=10.000x+6.000y máxima Restricciones:
Zona de soluciones factibles: Vértices:
A(0, 60) B intersección de r y s:
C(90, 0)
Valores de la función objetivo:
Ha de vender 90 plazas para fumadores y ninguna para no fumadores y así obtener un beneficio máximo de 900.000 bolívares.
Método Simplex Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.
El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.
El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig. El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables. El álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método simplex.
Construcción de la primera tabla: En la primera columna de la tabla aparecerá lo que llamaremos base, en la segunda el coeficiente que tiene en la función objetivo cada variable que aparece en la base (llamaremos a esta columna Cb), en la tercera el término independiente de cada restricción (P0), y a partir de ésta columna aparecerán cada una de las variables de la función objetivo (Pi). Para tener una visión más clara de la tabla, incluiremos una fila en la que pondremos cada uno de los nombres de las columnas. Sobre ésta tabla que tenemos incluiremos dos nuevas filas: una que será la que liderará la tabla donde aparecerán las constantes de los coeficientes de la función
objetivo, y otra que será la última fila, donde tomará valor la función objetivo. Nuestra tabla final tendrá tantas filas como restricciones.
Tabla C1
C2
...
Cn
Base
Cb
P0
P1
P2
...
Pn
Pi1
Ci1
bi1
a11
a12
...
a1n
Pi2
Ci2
bi2
a21
a22
...
a2n
...
...
...
...
...
...
...
Pim
Cim
bim
am1
am2
...
amn
Z0
Z1-C1
Z2-C2
...
Zn-Cn
Z
Los valores de la fila Z se obtienen de la siguiente forma: El valor Z0 será el de sustituir Cim en la función objetivo (y cero si no aparece en la base). El resto de columnas se obtiene restando a este valor el del coeficiente que aparece en la primera fila de la tabla.
Se observará al realizar el método Simplex, que en esta primera tabla, en la base estarán las variables de holgura.
- Condición de parada: Comprobaremos si debemos de dar una nueva iteración o no, que lo sabremos si en la fila Z aparece algún valor negativo. Si no aparece ninguno, es que hemos llegado a la solución óptima del problema. - Elección de la variable que entra: Si no se ha dado la condición de parada, debemos seleccionar una variable para que entre en la base en la siguiente tabla. Para ello nos
fijamos en los valores estrictamente negativos de la fila Z, y el menor de ellos será el que nos de la variable entrante. - Elección de la variable que sale: Una vez obtenida la variable entrante, obtendremos la variable que sale, sin más que seleccionar aquella fila cuyo cociente P0/Pj sea el menor de los estrictamente positivos (teniendo en cuenta que sólo se hará cuando Pj sea mayor de 0). La intersección entre la columna entrante y la fila saliente nos determinará el elemento pivote. - Actualización de la tabla: Las filas correspondientes a la función objetivo y a los títulos permanecerán inalterados en la nueva tabla. El resto deberá calcularse de dos formas diferentes:
Si es la fila pivote cada nuevo elemento se calculará:
Nuevo Elemento Elemento Fila Pivote = Elemento Fila Pivote actual actual / Pivote.
Para el resto de elementos de filas se calculará:
Nuevo Elemento Fila = Elemento Fila Pivote actual - (Elemento Columna Pivote en la fila actual * Nuevo Elemento Fila)
Método de las Dos Fases Éste método difiere del Simplex en que primero hay que resolver un problema auxiliar que trata de minimizar la suma de las variables artificiales. Una vez resuelto este primer problema y reorganizar la tabla final, pasamos a la segunda fase, que consiste en realizar el método Simplex normal.
Fase I
En esta primera fase, se realiza todo de igual manera que en el método Simplex normal, excepto la construcción de la primera tabla, la condición de parada y la preparación de la tabla que pasará a la fase 2.
- Construcción de la primera tabla: Se hace de la misma forma que la tabla inicial del método Simplex, pero con algunas diferencias. La fila de la función objetivo cambia para la primera fase, ya que cambia la función objetivo, por lo tanto aparecerán todos los términos a cero excepto aquellos que sean variables artificiales, que tendrán valor "-1" debido a que se está minimizando la suma de dichas variables (recuerde que minimizar F es igual que maximizar F·(-1)).
La otra diferencia para la primera tabla radica en la forma de calcular la fila Z. Ahora tendremos que hacer el cálculo de la siguiente forma: Se sumarán los productos Cb·Pj para todas las filas y al resultado se le restará el valor que aparezca (según la columna que se esté haciendo) en la fila de la función objetivo.
Tabla C0
C1
C2
... Cn-k
... Cn
Base
Cb
P0
P1
P2
... Pn-k
... Pn
Pi1
Ci1
bi1
a11
a12
...
a1n-k
... a1n
Pi2
Ci2
bi2
a21
a22
...
a2n-k
... a2n
...
...
...
...
...
... ...
... ...
Pim
Cim
bim
am1
am2
... amn-k
... amn
Z0
Z1
Z2
... Zn-k
... Zn
Z
Siendo Zj = Σ(Cb·Pj)
- Cj y los Cj = 0 para todo j comprendido entre 0 y n-k
(variables de decisión, holgura y exceso), y Cj = -1 para todo j comprendido entre n-k y n (variables artificiales).
- Condición de parada: La condición de parada es la misma que en el método Simplex normal. La diferencia estriba en que pueden ocurrir dos casos cuando se produce la parada: la función toma un valor 0, que significa que el problema original tiene solución, o que tome un valor distinto, indicando que nuestro modelo no tiene solución.
- Eliminar Columna de variables artificiales: Si hemos llegado a la conclusión de que el problema original tiene solución, debemos preparar nuestra tabla para la segunda fase. Deberemos eliminar las columnas de las variables artificiales, modificar la fila de la función objetivo por la original, y calcular la fila Z de la misma forma que en la primera tabla de la fase 1.
Fase II
Construcción de la primera tabla: En la primera columna de la tabla aparecerá lo que llamaremos base, en la segunda el coeficiente que tiene en la función objetivo cada variable que aparece en la base (llamaremos a esta columna Cb), en la tercera el término independiente de cada restricción (P0), y a partir de ésta columna aparecerán cada una de las variables de la función objetivo (Pi). Para tener una visión más clara de la tabla, incluiremos una fila en la que pondremos cada uno de los nombres de las columnas. Sobre ésta tabla que tenemos incluiremos dos nuevas filas: una que será la que liderará la tabla donde aparecerán las constantes de los coeficientes de la función objetivo, y otra que será la última fila, donde tomará valor la función objetivo. Nuestra tabla final tendrá tantas filas como restricciones.
Tabla C1
C2
...
Cn
Base
Cb
P0
P1
P2
...
Pn
Pi1
Ci1
bi1
a11
a12
...
a1n
Pi2
Ci2
bi2
a21
a22
...
a2n
...
...
...
...
...
...
...
Pim
Cim
bim
am1
am2
...
amn
Z0
Z1-C1
Z2-C2
...
Zn-Cn
Z
Los valores de la fila Z se obtienen de la siguiente forma: El valor Z0 será el de sustituir Cim en la función objetivo (y cero si no aparece en la base). El resto de columnas se obtiene restando a este valor el del coeficiente que aparece en la primera fila de la tabla.
Se observará al realizar el método Simplex, que en esta primera tabla, en la base estarán las variables de holgura.
- Condición de parada: Comprobaremos si debemos de dar una nueva iteración o no, que lo sabremos si en la fila Z aparece algún valor negativo. Si no aparece ninguno, es que hemos llegado a la solución óptima del problema.
- Elección de la variable que entra: Si no se ha dado la condición de parada, debemos seleccionar una variable para que entre en la base en la siguiente tabla. Para ello nos fijamos en los valores estrictamente negativos de la fila Z, y el menor de ellos será el que nos de la variable entrante.
- Elección de la variable que sale: Una vez obtenida la variable entrante, obtendremos la variable que sale, sin más que seleccionar aquella fila cuyo cociente P0/Pj sea el menor de los estrictamente positivos (teniendo en cuenta que sólo se hará cuando Pj sea mayor de 0). La intersección entre la columna entrante y la fila saliente nos determinará el elemento pivote.
- Actualización de la tabla: Las filas correspondientes a la función objetivo y a los títulos permanecerán inalterados en la nueva tabla. El resto deberá calcularse de dos formas diferentes:
Si
es
la
fila
pivote
cada
nuevo
elemento
se
calculará:
Nuevo Elemento Elemento Fila Pivote = Elemento Fila Pivote actual actual / Pivote.
Para
el
resto
de
elementos
de
filas
se
calculará:
Nuevo Elemento Fila = Elemento Fila Pivote actual - (Elemento Columna Pivote en la fila actual * Nuevo Elemento Fila).
Utilice la solución básica óptima obtenida en la fase I como solución inicial para el problema original. Esto significa que se debe utilizar el área de las restricciones de la solución obtenida en la fase I, pero con la función objetivo original modificado, ya que las variables del problema original pueden ser básicas en esa solución y por definición estas no pueden tener coeficiente diferente de cero en la función objetivo. Para esto se deben extraer las restricciones de la solución de la fase I, luego se despejan las variables básicas actuales que pertenezcan a z y por último se sustituyen en la función objetivo, expresando z en función de las variables no básicas. Para
resolver
se
aplica
el
algoritmo
del
método
simplex.
Método Símplex
Iteración:
0
1
2
Var
Lado
Z
X1
X2
X3
X4
Z
1
-120
-80
0
0
0
-
X3
0
2
1
1
0
6
3
X4
0
7
8
0
1
28
4
Z
1
0
-20
60
0
360
-
X1
0
1
0.5
0.5
0
3
6
X4
0
0
4.5
-3.5
1
7
1.5556
Z
1
0
0
44.4444 4.4444 391.1111
X1
0
1
0
0.8889
X2
0
0
1
-0.7778 0.2222
Básica
0.1111
Derecho
Cociente
-
2.2222
-
1.5556
-
Solución Óptima (X1,X2) = (2.222222222,1.555555556) Z=391.111111111
Modelo de Transporte Técnica cuantitativa que busca minimizar los costos asociados a la distribución de un bien o servicio desde diferentes orígenes hasta diferentes destinos. Esta técnica se utilizó posteriormente en otros sistemas, en los cuales, el problema no implica transporte físico de bienes pero existen relaciones lineales, y el modelo formulado tiene las características de un Modelo de Transporte.
El modelo usado en esta técnica es un modelo lineal, con características especiales, donde los coeficientes de las variables, en las restricciones, son uno o cero.
El objetivo del modelo de transporte es determinar la cantidad de mercancía que se enviará de cada fuente hasta cada destino, tal que minimice el costo de transporte.
Elementos Elementos involucrados involucrados en el el Modelo
Unid ades
a
b
a
b
a
b
●
Modelo
b
Lineal de Modelo de Transporte
Cm,n Costo de Transporte Unitario
m
n
Minimizar Minimizar Z C ij X ij i 1 j 1
sujeto a : n
X
ij
ai
i 1,2, , m
b j
j 1,2, , n
j 1 nm
X
ij
i 1
X ij 0
para todas las i, j
de
Programación Programación
●
a
Unidad es de
Este modelo implica que la oferta total debe ser cuando menos igual a la demanda
n total b . j
j 1
m n Cuando la oferta total es igual a la demanda total ai b , el modelo recibe j i 1 j 1
el nombre de Modelo de Transporte Equilibrado, en este caso las restricciones serían ecuaciones (=).
En la práctica esto no es necesariamente cierto, pero cualquier problema de transporte se puede equilibrar. Las cantidades demandadas deben ser iguales a las cantidades ofrecidas para poder solucionar el modelo.
Cada modelo tiene tantas restricciones de oferta como el número de orígenes (m) que existan y tantas restricciones de demanda como el número de destinos (n) que existan.
Las restricciones de oferta garantizan que no se transportará más de la cantidad disponible en los orígenes.
Las restricciones de demanda garantizan que las cantidades demandas serán satisfechas.
Representación Representación del del Modelo de Transporte Transporte
Destinos 1
2 C11
1 x11
Fuentes 2
…
C12 x12
C21 x21
n C1n x1n
C22 x22
C2n x2n
…
m
Cm1 xm1
Cm2 xm2
Cmn Xmn
Solución del problema de transporte
Pasos:
1.
Determinar una solución factible inicial. Una solución factible inicial debe incluir m+n-1 variables básicas. (m fuentes y n destinos). Existe varios métodos para obtener la solución inicial: método de la esquina Noroeste, método de costo mínimo y aproximación de Vogel.
2.
Elegir una variable que entra del conjunto de Variables No Básicas. Si todas estas variables satisfacen la condición de optimidad, deténgase. E lo contrario ir al paso
3.
Determinar la variable que sale del conjunto de Variable Básicas actuales, mediante el uso de la condición de factibilidad, obtenga la nueva solución básica. Regrese al paso 2.
Método de la esquina Noroeste Noroeste para para obtener obtener la solución solución factible inicial
Consiste en ir asignando la máxima cantidad posibles a las variables (comenzando por la esquina noroeste, x11) de manera que se satisfaga la demanda (columna) o se agote la oferta (fila), tachando la columna o la fila según sea el caso. Si se satisfacen ambas (la demanda y la oferta) se tacha sólo una de ellas. El proceso termina cuando se deja de tachar exactamente una columna o una fila.
Como elegir la variable que entra. Método de los Multiplicadores.
Se asocian los multiplicadores Ui y Vj con la fila i y la columna j respectivamente.
Para cada variable básica Xij de la solución actual, actual, los
multiplicadores deben satisfacer la siguiente ecuación: Ui +Vj = Cij
Obteniendo m+n -1 (cantidad de variables básicas) ecuaciones suponiendo un valor arbitrario a cualquier multiplicador (por lo general a u1 = 0 ) y así obtener el resto de los multiplicadores.
La evaluación de cada variable No Básica Xpq está dada por:
Cp q Up Vq Cpq para cada variable no básica Xpq Xpq
Se selecciona como variable que entra la variable No Básica que tenga el Cp q más positivo.
Como elegir la variable que sale
Al igual que en el método simplex se busca la razón mínima, para ello se construye un ciclo cerrado para la variable actual que entra, el ciclo empieza y termina en ésta
variable (es indistinto si el ciclo es en el sentido horario o
antihorario). El ciclo consta de segmentos horizontales y verticales conectados por puntos extremos que deben ser variables básicas, es decir todo punto de esquina debe ser una variable básica. La variable básica que sale se elige de entre las variables de esquina del ciclo que disminuirá cuando la variable que entra aumente arriba del nivel cero, esto se indica en la tabla con los signos + y – comenzando desde la esquina de la variable que entra con + y alternando. La variable que sale es la que tiene el valor más pequeño, ya que es la primera en llegar a cero y cualquier disminución adicional la volverá negativa.
Método de Costo Mínimo Mínimo para obtener obtener la solución solución factible factible inicial
Asignar el valor más grande posible a la variable con menor costo unitario de toda la tabla, los empates se rompen arbitrariamente, tache la fila o columna o satisfecha. Si una fila o columna se satisfacen simultáneamente se tacha sólo una de ellas.
Método de aproximación aproximación de Vogel Vogel (VAM)
1. Evalúe una penalización para cada fila y columna restando el menor elemento de costo del elemento de costo menor siguiente en la misma fila o columna.
2. Seleccione la fila o columna con mayor penalización (romper empates arbitrariamente) y asigne el mayor valor posible a la variable con el costo más bajo y ajuste la oferta y la demanda y tache la fila o columna satisfecha ( si se satisfacen simultáneamente se tacha sólo una y se asigna la oferta o la demanda según corresponda. Cualquier fila o columna con oferta o demanda cero no se considera para el cálculo de penalizaciones futuras.
3. a.- Si sólo hay una fila o columna si tachar deténgase b.- Si sólo hay una fila (columna) con oferta (demanda) positiva sin tachar determine la variable básica de la fila (columna) a través del método de costo mínimo. Deténgase. c.- Si todas las filas y columnas sin tachar tienen ofertas y demandas cero, determine las variables básicas cero a través del método de costo mínimo, deténgase. d.- De lo contrario, calcule las penalizaciones de las filas y columnas no tachadas y diríjase al paso 2.
Programación Dinámica La programación dinámica consiste en una técnica que permite determinar de manera eficiente las decisiones que optimizan el comportamiento de un sistema que evoluciona a lo largo de una serie de etapas. En otras palabras, trata de encontrar la secuencia de decisiones que optimizan el comportamiento de un proceso polietápico.
Ejercicio # 1: Considere la siguiente red en la que cada número junto a una ligadura representa la distancia real entre el par de nodos que conecta. El objetivo es encontrar la ruta más corta del origen al destino.
Utilice programación dinámica para resolver este problema construyendo manualmente las tablas usuales para n=3, n=2 y n=1.
Solución: N=3 S3
F3*(S)
X3*
D
6
T
D
7
T
N=2 Sx2
D
E
F2*(S)
X2*
A
5+6=11
--------
11
D
B
7+6=13
8+7015
13
D
C
---------
6+7=13
13
E
N=1 Sx1
A
B
C
F1(S)
X1*
O
9+11=20
6+13=19
7+13=20
19
B
Ruta: O
B
D
T
TOMA DE DECISIÓN BAJO RIESGO
En el proceso de toma de decisiones bajo riesgo, hay varios resultados posibles para cada alternativa, y quien toma las decisiones conoce la probabilidad de que cada uno de estos resultados ocurra.
Los diferentes criterios de decisión en ambiente de riesgo se basan en estadísticos asociados a la distribución de probabilidad de los resultados. Algunos de estos criterios se aplican sobre la totalidad de las alternativas, mientras que otros sólo tienen en cuenta un subconjunto de ellas, considerando las restantes peores, por lo no que están presentes en el proceso de toma de decisiones.
Representaremos por R(ai) los resultados asociados a la alternativa ai, y por P(ai) la distribución de probabilidad correspondiente a tales resultados, esto es, el conjunto de valores que representan las probabilidades de ocurrencia de los diferentes estados de la naturaleza: R
xi1
xi1
...
xi1
P
p1
p2
...
pn
Los principales criterios de decisión empleados sobre tablas de decisión en ambiente de riesgo son:
Criterio del valor esperado
Criterio de la mínima varianza con media acotada
Criterio de la media con varianza acotada
Criterio de la dispersión
Criterio de la probabilidad máxima
Todos estos criterios serán aplicados al problema de decisión bajo riesgo cuya tabla de resultados figura a continuación:
Decisión bajo riesgo: Ejemplo Estados de la Naturaleza
Alternativas
e1
e2
e3
e4
a1
11
9
11
8
a2
8
25
8
11
a3
8
11
10
11
0.2
0.5
0.1
Probabilidades 0.2
Criterio del valor esperado El resultado o valor esperado para la alternativa ai, que notaremos E[R(ai)], viene dado por:
Por lo que el criterio del valor esperado resulta ser:
Obsérvese que esta regla de decisión es una generalización del criterio de Laplace en la que desaparece el requisito de probabilidad para los diferentes estados de la naturaleza.
Ejemplo Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla muestra el resultado esperado para cada una de las alternativas.
Criterio del valor esperado Estados de la Naturaleza
Alternativas
e1
e2
e3
e4
E[R(ai)]
a1
11
9
11
8
10.3
a2
8
25
8
11
11.7
a3
8
11
10
11
9.9
0.2
0.5
0.1
Probabilidades 0.2
La alternativa óptima según el criterio del valor esperado sería a2, pues proporciona el máximo de los valores esperados.
Criterio de mínima varianza con media acotada. Para la utilización de este criterio se consideran exclusivamente las alternativas a cuyo
valor
esperado E[R(a)] sea
mayor
o
igual
que
una
constante K fijada por el decisor. Para cada una de las alternativas ai que cumpla esta condición se determina la varianza V[R(ai)] de sus resultados,
y se selecciona la que presente menor varianza, de esta forma se consigue la elección de una alternativa con poca variabilidad en sus resultados y que proporciona, por término medio, un resultado no demasiado pequeño. En resumen, el criterio de mínima varianza con media acotada es el siguiente:
Ejemplo Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla muestra el resultado esperado y su varianza para cada una de las alternativas.
Criterio de mínima varianza con media acotada Estados
de
la
Naturaleza
Alternativas
e1
e2
e3
e4
E[R(ai)] V
11
9
11
8
10.3
1.21
a2
8
25 25
8
11
11.7
45.01
a3
8
11 11
10
11
9.9
1.09
0.2
0.5
0.1
a1
Probabilidades 0.2
Si el decisor selecciona un valor 10 para la constante K, quedaría excluida del proceso de decisión la alternativa a3, que es la que posee menor varianza. Excluida
ésta, la elección óptima corresponde a la alternativa a 1, pues es la que posee menor varianza entre las que cumplen la condición E[R(ai
Criterio de la media con varianza acotada. Para la utilización de este criterio se consideran exclusivamente las alternativas a cuya varianza V[R(a)] sea menor o igual que una constante K fijada por el decisor. Para cada una de las alternativas ai que cumpla esta condición se determina el valor esperado E[R(ai)] de sus resultados,
Y se selecciona la que presente mayor valor esperado, de esta forma se consigue la elección de una alternativa con poca variabilidad en sus resultados y que proporciona, por término medio, un buen resultado. En resumen, el criterio de la media con varianza acotada es el siguiente:
Ejemplo: Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla muestra el resultado esperado y su varianza para cada una de las alternativas.
Criterio de la media con varianza acotada Estados de la Naturaleza
Alternativas
e1
e2
e3
e4
E[R(ai)] V
11
9
11
8
10.3
1.21
a2
8
25
8
11
11.7
45.01
a3
8
11
10
11
9.9
1.09
0.2
0.5
0.1
a1
Probabilidades 0.2
Si el decisor selecciona un valor 20 para la constante K, quedaría excluida del proceso de decisión la alternativa a2, que es la que posee mayor valor esperado. Excluida ésta, la elección óptima corresponde a la alternativa a 1, pues es la que posee mayor valor esperado entre las que cumplen la condición V.
Criterio de dispersión Para cada alternativa ai se calcula el siguiente valor medio corregido:
donde K es una valor fijado f ijado por el decisor, y se selecciona la de mayor ma yor valor resultante. De esta forma se consigue limitar la influencia de alternativas con un valor esperado grande, pero también alta variabilidad. var iabilidad. Por P or tanto, el criterio de dispersión puede resumirse de la siguiente forma:
Ejemplo: Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla muestra, para cada una de las alternativas, el valor esperado, la varianza y el valor esperado corregido correspondiente a un factor K=2.
Criterio de dispersión Estados
de
la
Naturaleza
Alternativas
e1
e2
e3
e4
E[R(ai)] V
CR
11
9
11
8
10.3
1.21
8.10
a2
8
25
8
11
11.7
45.01
-1.72
a3
8
11
10
11
9.9
1.09
7.81
0.2
0.5
0.1
a1
Probabilidades 0.2
La alternativa óptima según el criterio de dispersión sería a 1, pues proporciona el máximo de los valores corregidos.
Criterio de la probabilidad máxima. Para cada alternativa ai se determina la probabilidad de que la variable aleatoria que proporciona el resultado tome un valor mayor o igual que una constante K fijada por el decisor:
y se selecciona aquella alternativa con mayor probabilidad asociada. Por tanto, el criterio de probabilidad máxima puede resumirse de la siguiente forma:
Ejemplo: Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla muestra, para cada una de las alternativas, la probabilidad de que el resultado sea mayor o igual que K=10.
Criterio de probabilidad máxima Estados de la Naturaleza
Alternativas
e1
e2
e3
e4
P
a1
11
9
11
8
0.7
a2
8
25
8
11
0.3
8
11
10
11
0.8
0.2
0.5
0.1
a3
Probabilidades 0.2
Para la alternativa a1, sólo los resultados correspondientes a los estados e1 y e3 superan el valor 10, siendo sus probabilidades asociadas 0.2 y 0.5; sumando ambas se obtienen la probabilidad de obtener un resultado mayor o igual que 10 para la alternativa a1. De manera análoga se determinan las restantes
probabilidades. La alternativa óptima según este criterio sería a3, pues proporciona la probabilidad más alta.
TOMA DE DECISIÓN BAJO INCERTIDUMBRE
En la toma de decisiones bajo incertidumbre se posee información deficiente para tomar la decisión, no se tienen ningún control sobre la situación, no se conoce como puede variar o la interacción de la variables del problema, se pueden plantear diferentes alternativas de solución pero no se le puede asignar probabilidad a los resultados que arrojen.
Con base en lo anterior hay dos clases de incertidumbre:
• Estructurada: No se sabe que puede pasar entre diferentes alternativas, pero sí se
conoce que puede ocurrir entre varias posibilidades.
• No estructurada: No se sabe que puede ocurrir ni las probabilidades para las
posibles soluciones, es decir no se tienen ni idea de que pueda pasar.
Características:
En las decisiones tomadas con pura incertidumbre o ignorancia total, el decisor no tiene ningún conocimiento, ni siquiera de la probabilidad de ocurrencia de cualquier estado de la naturaleza. En estas situaciones, el comportamiento del decisor se basa puramente en su actitud hacia la
incógnita. Algunos de estos comportamientos son los optimistas, los pesimistas y los de arrepentimiento.
Observe que esta categoría de problemas (es decir, los problemas con pura incertidumbre) resultan apropiados sólo para la toma de decisiones en la vida privada. El político, el conductor de un grupo humano, la persona pública tiene que tener cierto conocimiento de los estados de la naturaleza, para poder predecir las probabilidades de cada estado. De lo contrario no podrá tomar una buena decisión que sea razonable y defendible.
Siempre que un decisor tiene cierto conocimiento sobre los estados de la naturaleza puede asignar una probabilidad subjetiva a la ocurrencia de cada estado. Este es el caso de toma de decisiones bajo riesgo.
El decisor en caso de incertidumbre o ignorancia deberia invertir en limitar sus incertidumbres con respecto a la probabilidad de cada estado de la naturaleza. Si la situación y el valor de la utilidad esperada lo aconsejan se puede comprar información relevante a especialistas, para poder tomar una mejor decisión. Encuestas, estadísticas, análisis de sensibilidad, etc.
Cuando las decisiones se toman bajo ignorancia total, el decisor no tiene conocimiento de los resultados de ninguno de los estados de la naturaleza y/o es costoso obtener la información necesaria. En tal caso, la decisión depende meramente del tipo de personalidad que tenga el decisor.
Modelos matemáticos de la toma de decisiones bajo incertidumbre
Criterio de wald Este es el criterio más conservador ya que está basado en lograr lo mejor de las peores condiciones posibles. Esto es, si el resultado x(a , i, e j) representa pérdida para el decisor, entonces, para ai la peor pérdida independientemente de lo que e j pueda ser, es máx e j { x(a , i, e j) }. El criterio minimax elige entonces la acción ai asociada a :
Elegir _ ai mín ai máx e j x( ai , e j ) En una forma similar, si x(a ,i e j) representa la ganancia, el criterio elige la acción ai asociada a :
Elegir _ ai máx ai mín e j x( ai , e j ) Este criterio recibe el nombre de criterio maximin, y corresponde a un pensamiento pesimista, pues razona sobre lo peor que le puede ocurrir al decisor cuando elige una alternativa.
Características:
El decisor piensa que tome la alternativa que tome, sucederá lo peor para él.
Se determina el resultado más desfavorable con cada estrategia. Se selecciona la estrategia que ofrece el más favorable de todos los determinados.
También se le llama maxi-min ó mini-max según el caso.
Criterio maximax Las situaciones, ambientes o contextos en los cuales se toman las decisiones, se pueden clasificar según el conocimiento y control que se tenga sobre las variables que intervienen o influencian el problema, ya que la decisión final o la solución que se tome va a estar condicionada por dichas variables. Dichos ambientes pueden ser: bajo riesgo, bajo incertidumbre, certidumbre y conflicto de los cuales se desprenden algunos criterios Attach:file.ext que nos permitirán evaluar las alternativas y así elegir la que nos proporcione un mayor beneficio.
• Criterio Maximax.
El criterio maximax propone que el decisor debe buscar los mayores beneficios posibles para cada acción y escoger la acción que tenga mayores beneficios. Esta estrategia solo contempla el mayor beneficio posible e ignora las probabilidades y consecuencias de los otros sucesos que pueden ocurrir. Por ejemplo se tiene:
Acción Estado de la naturaleza: d1 d2 d3 La demanda es: Comprar 0 Comprar 1 Comprar 2 q1 ═ 0 0 −30 −60 q2 ═ 1 0 20 −10 q3 ═ 2 0 20 40
Para el ejemplo anterior el criterio maximax elegiría la acción “comprar 2”, ya que ofrece beneficios posibles de cuarenta pesos; sin embargo, ignora la posibilidad de que pueda generar pérdidas por sesenta pesos.
El criterio maximax no es una regla de decisión prudente. Hay algunas circunstancias en las que se desea tomar riesgos prudentes, pero debe hacerse tomando en cuenta las posibilidades y las consecuencias de lo que puede suceder.
• Criterio Minimax.
El criterio minimax sugiere que se seleccione la acción con menor perdía máxima posible, de otro modo, la que presente los mayores beneficios mínimos posibles. En otras palabras, hay que asegurar que se ganen por lo menos R pesos y buscar la acción que brinde R mayor (la menor perdida, si se analizan las perdidas).
La acción minimax del ejemplo propuesto en el criterio maximax, seria pedir cero unidades. La pérdida máxima que puede ocurrir con cero unidades es cero pesos; las perdidas máximas de las otras dos acciones son treinta y sesenta.
El criterio minimax tiende a llevar a la decisión de no hacer nada, a menos que no haya probabilidad de perdida. Es un criterio muy conservador. La persona que use el criterio minimax se vería, al final de cuentas, ante la amenaza de morirse de hambre (al no hacer nada) y estaría obligado a actuar. En términos de las actividades empresariales, la corporación se estancaría y seria superada por la competencia dispuesta a innovar y a tomar riesgos razonables de sufrir pérdidas.
En otras situaciones se puede llegar a una decisión totalmente irracional al usar el criterio minimax. Por ejemplo suponga que la siguiente tabla nos muestra los costos condicionales de dos acciones:
Acción Estado de la naturaleza: Comprar seguro No comprar seguro q1 $1000 $1001 q2 1000 10
La mejor acción es “comprar el seguro”, de acuerdo con el criterio minimax, ya que el costo máximo es de 1000 pesos (el costo máximo de la acción “no comprar (el
seguro) es 1001 pesos). Sin embargo, si los dos estados tuvieran la misma probabilidad, o si el estado q2 es más probable que q1, entonces la mayoría de las personas opinarían que la acción deseable es “no comprar”. Minimax no es una
estrategia deseable en un juego contra la naturaleza, pero si es útil frente a adversarios que piensan.
• Enfoque de arrepentimiento minimax.
El enfoque de arrepentimiento para la toma de decisiones no es puramente optimista ni puramente conservador. Se ilustra el enfoque de arrepentimiento mostrando cómo puede emplearse para seleccionar una alternativa en el siguiente ejemplo.
Criterio de hurwicz
Este criterio representa un intervalo de actitudes desde la más optimista hasta la más pesimista. En las condiciones más optimistas se elegiría la acción que proporcione el máx ai máx e j { x(a ,i e j ) }. Se supone que x(a ,i e j ), representa la ganancia o beneficio. De igual manera, en las condiciones más pesimistas, la acción elegida corresponde a máx ai mín e j { x(a ,i e j ) }. El criterio de Hurwicz da un balance entre el optimismo extremo y el pesimismo extremo ponderando las dos condiciones anteriores por los pesos respectivos y (1- ), donde 0 ≤
≤ 1. Esto es, si x(a ,i e j)
representa beneficio, seleccione la acción que proporcione:
máx ai máx e j x( ai , e j ) (1 )míne j x( ai , e j )
Para el caso donde x(a ,i e j) representa un costo, el criterio selecciona la acción que proporciona:
mín ai mín e j x( ai , e j ) (1 )máx e j x( ai , e j ) El parámetro
se conoce como índice de optimismo: cuando
criterio es demasiado optimista; cuando
= 1, el
= 0, es demasiado pesimista . Un valor de
entre cero y uno puede ser seleccionado dependiendo de si el decisor tiende hacia el
pesimismo o al optimismo. En ausencia de una sensación fuerte de una circunstancia u otra, un valor de
= 1/2 parece ser una selección razonable.
Ejemplo: Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra las recompensas obtenidas junto con la media ponderada de los niveles de optimismo y pesimismo de las diferentes alternativas para un valor a = 0.4:
Alternativas
Estados de la Naturaleza
Terreno comprado
Aeropuerto en A
Aeropuerto en B
mínei
máxei
S(ai)
A
13
-12
-12
13
-2
B
-8
11
-8
11
-0.4
AyB
5
-1
-1
5
1.4
Ninguno
0
0
0
0
0
La alternativa óptima según el criterio de Hurwicz sería comprar las parcelas A y B, pues proporciona la mayor de las medias ponderadas para el valor de a seleccionado.
Criterio de savage
En 1951 Savage argumenta que al utilizar los valores xij para realizar la elección, el decisor compara el resultado de una alternativa bajo un estado de la naturaleza con todos los demás resultados, independientemente del estado de la naturaleza bajo el que ocurran. Sin embargo, el estado de la naturaleza no es controlable por el decisor, por lo que el resultado de una alternativa sólo debería ser comparado con los resultados de las demás alternativas bajo el mismo estado de la naturaleza.
Con este propósito Savage define el concepto de pérdida relativa o pérdida de oportunidad rij asociada a un resultado xij como la diferencia entre el resultado de la mejor alternativa dado que e j es el verdadero estado de la naturaleza y el resultado de la alternativa ai bajo el estado e j:
Así, si el verdadero estado en que se presenta la naturaleza es e j y el decisor elige la alternativa ai que proporciona el máximo resultado xij, entonces no ha dejado de ganar nada, pero si elige otra alternativa cualquiera a r, entonces obtendría como ganancia xrj y dejaría de ganar xij-xrj.
Savage propone seleccionar la alternativa que proporcione la menor de las mayores pérdidas relativas, es decir, si se define ri como la mayor pérdida que puede obtenerse al seleccionar la alternativa ai,
el criterio de Savage resulta ser el siguiente:
Conviene destacar que, como paso previo a la aplicación de este criterio, se debe calcular la matriz de pérdidas relativas, formada por los elementos rij. Cada columna de esta matriz se obtiene calculando la diferencia entre el valor máximo de esa columna y cada uno de los valores que aparecen en ella.
Explicación Explicación de los pasos pasos para realizar el criterio de savage :
Este criterio dice que para cada estado de la naturaleza (variable incontrolable) hay una decisión que es mejor que el resto. Hay que buscar qué se deja de ganar o qué se pierde si se toma otra decisión que no sea ésa (es decir, que permite el arrepentimiento).
1) Encima de cada columna del cuadro, se indica el nº más alto de su columna. 2) Dentro de la tabla, se va restando ese nº más alto de cada nº de la tabla. 3) A parte, se representa con “S” y un número a partir del 1. Habrá tantos como posibles acciones (filas). Se busca el “Minimax” (mínimo entre los máximos) que es
el nº más alto de cada fila (teniendo en cuenta que, por ejemplo, el 0 es mayor que un nº negativo).
Ejemplo:
Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra la matriz de pérdidas relativas y el mínimo de éstas para cada una de las alternativas.
Alternativas Terreno
Estados de la Naturaleza Aeropuerto en A
Aeropuerto en B
A
0
23
23
B
21
0
21
AyB
8
12
12
Ninguno
13
11
13
comprado
i
El mayor resultado situado en la columna 1 de la tabla de decisión original es 13; al restar a esta cantidad cada uno de los valores de esa columna se obtienen las pérdidas relativas bajo el estado de la naturaleza Aeropuerto Aeropuerto en A. De la misma forma, el máximo de la columna 2 en la tabla original es 11; restando a esta cantidad cada uno de los valores de esa columna se obtienen los elementos rij correspondientes al estado de la naturaleza Aeropuerto Aeropuerto en B . Como puede observarse, el valor
i
menor se obtiene para la tercera alternativa, por lo que la decisión óptima
según el criterio de Savage sería comprar ambas parcelas.
El criterio de Savage puede dar lugar en ocasiones a decisiones poco razonables. Para comprobarlo, consideremos la siguiente tabla de resultados:
Estados
de
la
Naturaleza Alternativas e1
e2
a1
9
2
a2
4
6
La tabla de pérdidas relativas correspondiente a esta tabla de resultados es la siguiente:
Estados
de
la
Naturaleza Alternativas e1 a1 a2
e2
i
0
4
4
5
0
5
La alternativa óptima es a 1. Supongamos ahora que se añade una alternativa, dando lugar a la siguiente tabla de resultados:
Estados
de
Naturaleza Alternativas e1
e2
a1
9
2
a2
4
6
a3
3
9
la
La nueva tabla de pérdidas relativas sería:
Estados
de
la
Naturaleza Alternativas e1
e2
a1
0
7
7
5
3
5
6
0
6
a2 a3
i
El criterio de Savage selecciona ahora como alternativa óptima a2, cuando antes seleccionó a1. Este cambio de alternativa resulta un poco paradójico: supongamos que a una persona se le da a elegir entre peras y manzanas, y prefiere peras. Si posteriormente se la da a elegir entre peras, manzanas y naranjas, ¡esto equivaldría a decir que ahora prefiere manzanas!
Criterio de Laplace Este criterio, propuesto por Laplace en 1825, está basado en el principio de razón insuficiente: como a priori no existe ninguna razón para suponer que un estado se puede presentar antes que los demás, podemos considerar que todos los estados tienen la misma probabilidad de ocurrencia, es decir, la ausencia de conocimiento sobre el estado de la naturaleza equivale a afirmar que todos los estados son equiprobables. Así, para un problema de decisión con n posibles estados de la naturaleza, asignaríamos probabilidad 1/n a cada uno de ellos.
Una vez realizada esta asignación de probabilidades, a la alternativa ai le corresponderá un resultado esperado igual a:
La regla de Laplace selecciona como alternativa óptima aquella que proporciona un mayor resultado esperado:
Ejemplo: Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra los resultados esperados para cada una de las alternativas.
Alternativas
Estados de la Naturaleza
Terreno
Aeropuerto en A
Aeropuerto en B
comprado
Resultado esperado
A
13
-12
0.5
B
-8
11
1.5
AyB
5
-1
2
Ninguno
0
0
0
En este caso, cada estado de la naturaleza tendría probabilidad ocurrencia 1/2. El resultado esperado máximo se obtiene para la tercera alternativa, por lo que la decisión óptima según el criterio de Laplace sería comprar ambas parcelas.
La objeción que se suele hacer al criterio de Laplace es la siguiente: ante una misma realidad, pueden tenerse distintas probabilidades, según los casos que se consideren. Por ejemplo, una partícula puede moverse o no moverse, por lo que la probabilidad de no moverse es 1/2. En cambio, también puede considerarse de la siguiente forma: una partícula puede moverse a la derecha, moverse a la izquierda o no moverse, por lo que la probabilidad de no moverse es 1/3.
Desde un punto de vista práctico, la dificultad de aplicación de este criterio reside en la necesidad de elaboración de una lista exhaustiva y mutuamente excluyente de todos los posibles estados de la naturaleza.
Por otra parte, al ser un criterio basado en el concepto de valor esperado, su funcionamiento debe ser correcto tras sucesivas repeticiones del proceso de toma de decisiones. Sin embargo, en aquellos casos en que la elección sólo va a realizarse una vez, puede conducir a decisiones poco acertadas si la distribución de resultados presenta una gran dispersión, como se muestra en la siguiente tabla: Estados de la Naturaleza Alternativas
e1
e2
Resultado esperado
a1 a2
15000
-5000
5000
5000
4000
4500
Este criterio seleccionaría la alternativa a1, que puede ser poco conveniente si la toma de decisiones se realiza una única vez, ya que podría conducirnos a una pérdida elevada.
LISTA DE REFERENCIAS
Render, B. (2006). Métodos cuantitativos cuantitativos para para los negocios. negocios. Novena edición. Editorial PEARSON EDUCACIÓN.
Taha, H. (2004). Investigación Investigación de Operaciones Operaciones.. Séptima Edición. México: Editorial PEARSON EDUCACIÓN.
Vicens, E. (s.f.). Métodos Cuantitativos, Cuantitativos, Volumen Volumen II. Editorial Servicio de Publicaciones.
(http://es.scribd.com/doc/61178886/1/PROGRAMACION-DINAMICADETERMINISTICA)
(http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0191-03/intro.htm)
(http://systemvzla.blogspot.com)
