TABLAS DE DECISIÓN BAJO INCERTIDUMBRE En los procesos de decisión bajo incertidumbre, el decisor conoce cuáles son los posibles estados de la naturaleza, aunque no dispone de información alguna sobre cuál de ellos ocurrirá. No sólo es incapaz de predecir el estado real que se presentará, sino que además no puede cuantificar de ninguna forma esta incertidumbre. En particular, esto excluye el conocimiento de información de tipo probabilístico sobre las posibilidades de ocurrencia de cada estado. REGLAS DE DECISIÓN A continuación se describen las diferentes reglas de decisión en ambiente de incertidumbre, y que serán sucesivamente aplicadas al ejemplo de construcción del hotel.. hotel AXIOMÁTICA Los criterios descritos anteriormente no son los únicos que pueden utilizarse en ambiente de incertidumbre; muchas otras reglas de decisión son válidas en este contexto, por lo que parece preciso determinar propiedades que hagan un criterio preferible a otro. Con este propósito vamos a describir los axiomas o principios de racionali racionalidad dad basados en la propuesta realizada por Milnor en 1954, y que pueden ser considerados propiedades razonables para ser verificadas por toda regla de decisión. Axioma 1: Orden El criterio debe proporcionar una ordenación total de las alternativas del problema. Esta propiedad es deseable,
pues en caso de no darse existirían alternativas no comparables, siendo preciso un nuevo criterio para dilucidar entre elementos maximales.
Axioma 2: Simetría El criterio debe ser simétrico, es decir, independiente del orden fijado a priori en el conjunto de alternativas y del orden en que se definan los estados de la naturaleza. Axioma 3: Linealidad La relación de orden establecida por el criterio no debe cambiar si los resultados xij son reemplazados por otros yij tales que yij = x ij + con
Axioma 4: Dominancia fuerte Si en una tabla de decisión existen dos alternativas ai y ak tales que xij>xkj para todos los estados de la naturaleza e j, entonces el criterio debe asignar valores a las alternativas de modo que T(ai)>T(ak ). Axioma 5: Independencia de alternativas irrelevantes El criterio debe ser abierto, es decir, el valor asignado por dicho criterio a una alternativa no debe variar al ser definido en otro conjunto de alternativas que contenga al primero con las mismas valoraciones (el orden entre dos alternativas no cambia por la adición de una nueva alternativa). Esta propiedad es muy importante, ya que garantiza que al aumentar el conjunto de alternativas, los cálculos efectuados con anterioridad siguen siendo válidos. Axioma 6: Linealidad de columnas
pues en caso de no darse existirían alternativas no comparables, siendo preciso un nuevo criterio para dilucidar entre elementos maximales.
Axioma 2: Simetría El criterio debe ser simétrico, es decir, independiente del orden fijado a priori en el conjunto de alternativas y del orden en que se definan los estados de la naturaleza. Axioma 3: Linealidad La relación de orden establecida por el criterio no debe cambiar si los resultados xij son reemplazados por otros yij tales que yij = x ij + con
Axioma 4: Dominancia fuerte Si en una tabla de decisión existen dos alternativas ai y ak tales que xij>xkj para todos los estados de la naturaleza e j, entonces el criterio debe asignar valores a las alternativas de modo que T(ai)>T(ak ). Axioma 5: Independencia de alternativas irrelevantes El criterio debe ser abierto, es decir, el valor asignado por dicho criterio a una alternativa no debe variar al ser definido en otro conjunto de alternativas que contenga al primero con las mismas valoraciones (el orden entre dos alternativas no cambia por la adición de una nueva alternativa). Esta propiedad es muy importante, ya que garantiza que al aumentar el conjunto de alternativas, los cálculos efectuados con anterioridad siguen siendo válidos. Axioma 6: Linealidad de columnas
La relación de orden establecida por el criterio no debe cambiar si se añade una constante a todos las valoraciones correspondientes a un estado de la naturaleza.
Axioma 7: Independencia de permutación de filas Si en una tabla de decisión existen dos alternativas ai y ak tales que el conjunto de valoraciones de la alternativa ak es una permutación del conjunto de valoraciones correspondiente a la alternativa ai, entonces el criterio debe asignar idéntico valor a ambas, es decir, T(ai)=T(ak ). ). Axioma 8: Independencia de duplicación de columnas El criterio debe ser invariante por extensión, es decir, el orden establecido por el criterio no debe cambiar si se añade una nueva columna (estado de la naturaleza) idéntica a alguna columna ya existente. La siguiente tabla resume la compatibilidad de los diferentes criterios analizados con los axiomas anteriores. El carácter S indica que el criterio satisface el correspondiente axioma, mientras que N indica que no lo verifica. Axioma 1 Axioma 2 Axioma 3 Axioma 4 Axioma 5
Wal Hurwic Savag Laplac d z e e S S S S Orden S S S S Simetría S S S S Linealidad S S S S Dominancia fuerte Independencia Independencia de S S N S alternativas irrelevantes
Axioma 6
N
N
S
S
Axioma 7
S
S
N
S
Axioma 8
S
S
S
N
Linealidad de columnas Independencia Independencia de permutación de filas Independencia Independencia de duplicación de columnas
SOFTWARE Desde esta página se tiene acceso al código fuente java en el que se han implementado los criterios de decisión bajo incertidumbre descritos con anterioridad. Se requiere la utilización de la clase Terminal , empleada habitualmente durante el desarrollo del curso. Incertidumbre.java TablaIncert.java Actualmente se encuentra en desarrollo la interface de entrada de datos y presentación de resultados mediante Applets, lo que contribuirá a mejorar sustancialmente el software desarrollado. CRITERIO DE WALD Bajo la alternativa ai , el peor resultado posible que puede ocurrir tiene una valor para el decisor dado por: El valor si se denomina nivel de seguridad de la alternativa ai y representa la cantidad mínima que el decisor recibirá si selecciona tal alternativa. En 1950, Wald sugiere que el decisor debe elegir aquella alternativa que le proporcione el mayor nivel de seguridad posible, por lo que S(a )=s i i . Así, la regla de decisión de Wald resulta ser:
Este criterio recibe también el nombre de criterio maximin, y corresponde a un pensamiento pesimista, pues razona sobre lo peor que le puede ocurrir al decisor cuando elige una alternativa. EJEMPLO Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra las recompensas obtenidas junto con los niveles de seguridad de las diferentes alternativas: Alternativas Terreno comprado A
Estados de la Naturaleza Aeropuerto Aeropuerto en A en B 13 - 12
si -12
B
-8
11
-8
AyB
5
-1
-1
Ninguno
0
0
0
La alternativa óptima según el criterio de Wald sería no comprar ninguno de los terrenos, pues proporciona el mayor de los niveles de seguridad. CRÍTICA En ocasiones, el criterio de Wald puede conducir a decisiones poco adecuadas. Por ejemplo, consideremos la siguiente tabla de decisión, en la que se muestran los niveles de seguridad de las diferentes alternativas. Estados de la Naturaleza Alternativa s
e1
e2
a1
1000
99
99
100
100
100
a2
si
El criterio de Wald seleccionaría la alternativa a2, aunque lo más razonable parece ser elegir la alternativa a1, ya que en el caso más favorable proporciona una recompensa mucho mayor, mientras que en el caso más desfavorable la recompensa es similar. CRITERIO MAXIMAX Bajo la alternativa ai , el mejor resultado posible que puede ocurrir tiene un valor para el decisor dado por: El valor oi se denomina nivel de optimismo de la alternativa ai y representa la recompensa máxima que el decisor recibirá si selecciona tal alternativa. El criterio maximax consiste en elegir aquella alternativa que proporcione el mayor nivel de optimismo posible, por lo que S(a )=o i i . Esta regla de decisión puede enunciarse de la siguiente forma:
Este criterio corresponde a un pensamiento optimista, ya que el decisor supone que la naturaleza siempre estará de su parte, por lo que siempre se presentará el estado más favorable. EJEMPLO Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra las recompensas obtenidas junto con los niveles de optimismo de las diferentes alternativas:
Alternativas Terreno comprado
Estados de la Naturaleza Aeropuerto en Aeropuerto en A B
oi
A
13
- 12
13
B
-8
11
11
AyB
5
-1
5
Ninguno
0
0
0
La alternativa óptima según el criterio maximax sería comprar la parcela en la ubicación A, pues proporciona el mayor de los niveles de optimismo. CRÍTICA Al utilizar el criterio maximax las pérdidas pueden ser elevadas si no se presenta el estado de la naturaleza adecuado. Además, en ocasiones puede conducir a decisiones pobres o poco convenientes. Por ejemplo, consideremos la siguiente tabla de decisión, en la que se muestran los niveles de optimismo de las diferentes alternativas. Estados de la Naturaleza Alternativas
e1
e2
oi
a1
100
-10000
100
a2
99
99
99
El criterio maximax seleccionaría la alternativa a1, aunque lo más razonable parece ser elegir la alternativa a2, ya que evitaría las enormes pérdidas de a1 en el caso desfavorable, mientras que en el caso favorable la recompensa sería similar.
CRITERIO DE HURWICZ Se trata de un criterio intermedio entre el criterio de Wald y el criterio maximax. Dado que muy pocas personas son tan extremadamente pesimistas u optimistas como sugieren dichos criterios, Hurwicz (1951) considera que el decisor debe ordenar las alternativas de acuerdo con una media ponderada de los niveles de seguridad y optimismo: donde es un valor específico elegido por el decisor y aplicable a cualquier problema de decisión abordado por él, por lo que T(ai) = si + (1- o i. Así, la regla de decisión de Hurwicz resulta ser:
próximos a 0 corresponden a una Los valores de pensamiento optimista, obteniéndose en el caso extremo =0 el criterio maximax.
próximos a 1 corresponden a una Los valores de pensamiento pesimista, obteniéndose en el caso extremo =1 el criterio de Wald.
ELECCIÓN DE Para la aplicación de la regla de Hurwicz es preciso determinar el valor de , valor propio de cada decisor. Dado que este valor es aplicable a todos los problemas en que el decisor interviene, puede determinarse en un
problema sencillo, como el que se muestra a continuación, y ser utilizado en adelante en los restantes problemas que involucren al decisor. Estados de la naturaleza Alternativa s
e1
e2
a1
1
a2
si
oi
S(ai)
0
0
1
1-
Si las alternativas a1 y a2 son indiferentes para el decisor, se tendrá 1- = , por lo que = 1- . Por tanto, para determinar el decisor debe seleccionar repetidamente una alternativa en esta tabla, modificando el valor de en cada elección, hasta que muestre indiferencia entre ambas alternativas.
EJEMPLO Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra las recompensas obtenidas junto con la media ponderada de los niveles de optimismo y pesimismo de las diferentes alternativas para un valor =0.4:
Estados de la Alternativa Naturaleza s Terreno Aeropuert Aeropuerto comprado o en A en B A B AyB Ninguno
si
oi
S(ai)
13
-12
-12
13
3
-8 5 0
11 -1 0
-8 -1 0
11 5 0
3.4 2.6 0
La alternativa óptima según el criterio de Hurwicz sería comprar la parcela en la ubicación B, pues proporciona la mayor de las medias ponderadas para el valor de seleccionado. CRÍTICA El criterio de Hurwicz puede conducir en ocasiones a decisiones poco razonables, como se muestra en la siguiente tabla:
Estados de la naturaleza Alternativa e1 s
e2
...
e50
si
oi S(ai)
a1
0
1
...
1
0
1
1-
a2
1
0
...
0
0
1
1-
Según el criterio de Hurwicz ambas alternativas son equivalentes, aunque racionalmente la alternativa a1 es preferible a la alternativa a2. Más aún, si el resultado de la elección de la alternativa a2 cuando la naturaleza presenta el estado e1 fuese 1.001, se seleccionaría la segunda alternativa, lo cual parece poco razonable. CRITERIO DE SAVAGE En 1951 Savage argumenta que al utilizar los valores xij para realizar la elección, el decisor compara el resultado de una alternativa bajo un estado de la naturaleza con todos los demás resultados, independientemente del estado de la naturaleza bajo el que ocurran. Sin embargo, el estado de la naturaleza no es controlable por el decisor, por lo que el resultado de una alternativa sólo debería ser comparado con los resultados de las demás alternativas bajo el mismo estado de la naturaleza . Con este propósito Savage define el concepto de pérdida relativa o pérdida de oportunidad rij asociada a un
resultado xij como la diferencia entre el resultado de la mejor alternativa dado que e j es el verdadero estado de la naturaleza y el resultado de la alternativa ai bajo el estado e j:
Así, si el verdadero estado en que se presenta la naturaleza es e j y el decisor elige la alternativa ai que proporciona el máximo resultado xij, entonces no ha dejado de ganar nada, pero si elige otra alternativa cualquiera ar, entonces obtendría como ganancia xrj y dejaría de ganar xij-xrj. Savage propone seleccionar la alternativa que proporcione la menor de las mayores pérdidas relativas, es decir, si se define ri como la mayor pérdida que puede obtenerse al seleccionar la alternativa ai,
el criterio de Savage resulta ser el siguiente:
Conviene destacar que, como paso previo a la aplicación de este criterio, se debe calcular la matriz de pérdidas relativas, formada por los elementos rij. Cada columna de esta matriz se obtiene calculando la diferencia entre el valor máximo de esa columna y cada uno de los valores que aparecen en ella. EJEMPLO
Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra la matriz de pérdidas relativas y el mínimo de éstas para cada una de las alternativas.
Alternativa Estados de la Naturaleza s Aeropuerto Aeropuerto Terreno en A en B comprado A 0 23 B 21 0 AyB 8 12 Ninguno 13 11
i
23 21 12 13
El mayor resultado situado en la columna 1 de la tabla de decisión original es 13; al restar a esta cantidad cada uno de los valores de esa columna se obtienen las pérdidas relativas bajo el estado de la naturaleza Aeropuerto en A. De la misma forma, el máximo de la columna 2 en la tabla original es 11; restando a esta cantidad cada uno de los valores de esa columna se obtienen los elementos rij correspondientes al estado de la naturaleza Aeropuerto en B. Como puede observarse, el valor i menor se obtiene para la tercera alternativa, por lo que la decisión óptima según el criterio de Savage sería comprar ambas parcelas. CRÍTICA El criterio de Savage puede dar lugar en ocasiones a decisiones poco razonables. Para comprobarlo, consideremos la siguiente tabla de resultados:
Estados de la Naturaleza
Alternativa s
e1
e2
a1
9
2
a2
4
6
La tabla de pérdidas relativas correspondiente a esta tabla de resultados es la siguiente: Estados de la Naturaleza Alternativa s
e1
e2
a1
0
4
4
a2
5
0
5
i
La alternativa óptima es a1. Supongamos ahora que se añade una alternativa, dando lugar a la siguiente tabla de resultados: Estados de la Naturaleza Alternativa s
e1
e2
a1
9
2
a2
4
6
a3
3
9
La nueva tabla de pérdidas relativas sería: Estados de la Naturaleza Alternativa s
e1
e2
a1
0
7
7
a2
5
3
5
a3
6
0
6
i
El criterio de Savage selecciona ahora como alternativa óptima a2, cuando antes seleccionó a1. Este cambio de alternativa resulta un poco paradójico: supongamos que a una persona se le da a elegir entre peras y manzanas, y prefiere peras. Si posteriormente se la da a elegir entre peras, manzanas y naranjas, ¡esto equivaldría a decir que ahora prefiere manzanas! CRITERIO DE LAPLACE Este criterio, propuesto por Laplace en 1825, está basado en el principio de razón insuficiente: como a priori no existe ninguna razón para suponer que un estado se puede presentar antes que los demás, podemos considerar que todos los estados tienen la misma probabilidad de ocurrencia, es decir, la ausencia de conocimiento sobre el estado de la naturaleza equivale a afirmar que todos los estados son equiprobables. Así, para un problema de decisión con n posibles estados de la naturaleza, asignaríamos probabilidad 1/n a cada uno de ellos. Una vez realizada esta asignación de probabilidades, a la alternativa ai le corresponderá un resultado esperado igual a:
La regla de Laplace selecciona como alternativa óptima aquella que proporciona un mayor resultado esperado:
EJEMPLO
Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra los resultados esperados para cada una de las alternativas.
Estados de la Naturaleza
Alternativa s Resultad Aeropuerto Aeropuerto Terreno o en A en B comprado esperado A 13 -12 0.5 B -8 11 1.5 AyB 5 -1 2 Ninguno 0 0 0
En este caso, cada estado de la naturaleza tendría probabilidad ocurrencia 1/2. El resultado esperado máximo se obtiene para la tercera alternativa, por lo que la decisión óptima según el criterio de Laplace sería comprar ambas parcelas. CRÍTICA La objeción que se suele hacer al criterio de Laplace es la siguiente: ante una misma realidad, pueden tenerse distintas probabilidades, según los casos que se consideren. Por ejemplo, una partícula puede moverse o no moverse, por lo que la probabilidad de no moverse es 1/2. En cambio, también puede considerarse de la siguiente forma: una partícula puede moverse a la derecha, moverse a la izquierda o no moverse, por lo que la probabilidad de no moverse es 1/3.
Desde un punto de vista práctico, la dificultad de aplicación de este criterio reside en la necesidad de elaboración de una lista exhaustiva y mutuamente excluyente de todos los posibles estados de la naturaleza. Por otra parte, al ser un criterio basado en el concepto de valor esperado, su funcionamiento debe ser correcto tras sucesivas repeticiones del proceso de toma de decisiones. Sin embargo, en aquellos casos en que la elección sólo va a realizarse una vez, puede conducir a decisiones poco acertadas si la distribución de resultados presenta una gran dispersión, como se muestra en la siguiente tabla: Estados de la Naturaleza Alternativa s
e1
e2
a1 a2
15000 5000
-5000 4000
Resultad o esperado 5000 4500
Este criterio seleccionaría la alternativa a1, que puede ser poco conveniente si la toma de decisiones se realiza una única vez, ya que podría conducirnos a una pérdida elevada.
Ejercicios Propuestos y resueltos 3.1. Supongamos una empresa láctea que quiere conocer el número de litros de leche (Q) que debería vender al mes para hacer máximo su beneficio. Conoce sus funciones de ingresos y costes, que ha sido estimadas de la siguiente forma: Ingreso total: It = 100 Q — 0,005 Q2 Coste total: Ct = 0,008 Q 2 + 50 Q + 250.000
Calcular su máximo beneficio. 3.2. Un agricultor puede analizar sus diferentes estrategias de cultivo en función del terreno y clima, seleccionando como más adecuados el trigo, la patata y la remolacha. Los estados de la naturaleza pueden ser sintetizados en año lluvioso, normal y seco. En el momento de tomar la decisión el empresario agrícola no conoce cómo va a ser el año, sin embargo, puede tener una aproximación de tipo intuitivo o por predicciones a largo plazo que le permita cuantificar las probabilidades asociadas: 30% lluvioso, 50% normal, 20% seco. Además, sus conocimientos agrícolas le permiten estimar cuáles serán las cosechas de cada uno de los productos en las tres alternativas climatológicas, así como los precios esperados. Puede, en consecuencia, realizar las estimaciones de los desenlaces. La matriz de decisión donde se recoge toda la información quedaría: Estados de la Lluvioso Normal Seco . naturaleza Probabilidad 0,30 0,50 0,20 Trigo 250 290 200 Estrategias Patatas 150 200 250 Remolach -100 450 350 a
Dónde cada desenlace recoge el beneficio estimado si se adopta la estrategia i y se presenta el estado de la naturaleza j . ¿Qué elección debería tomar? Calculamos el valor esperado para cada estrategia: VE(Trigo) = 250 * 0,3 + 290 * 0,5 + 200 * 0,2 = 260 VE(Patatas) = 150 * 0,3 + 200 * 0,5 + 250 * 0,2 = 195 VE(Remolacha) = -100 * 0,3 + 400 * 0,5 + 350 * 0,2 = 265
La elección sería cultivar remolacha que es el producto que proporciona mayores beneficios. Pero si se cultiva remolacha y el tiempo es lluvioso, tendríamos un resultado negativo, lo que podría llevar al agricultor a cultivar trigo que ofreciendo un valor esperado menor no tiene posibilidades de resultados negativos.
3.3. La empresa Completo, S.A. está analizando la estrategia óptima a emprender para el próximo ejercicio. Después de analizar detalladamente sus distintas posibilidades llega a la conclusión que, básicamente, puede emprender cuatro estrategias: diversificación, expansión, diferenciación y especialización. Aunque las condiciones del entorno son dificiles de prever, estudios de mercado predicen cinco posibles estados de la naturaleza: demanda alta, media alta, media, media baja y baja; con unas probabilidades aproximadas del 10%, 20%, 30%, 30% y 10%, respectivamente. Si los posibles desenlaces resultantes de la combinación de las estrategias y de los estados de la naturaleza se recogen en la siguiente matriz: DEMANDA Diversificació n Expansión Diferenciació n Especializaci ón
Alt Media Medi Media Baj a -Alta a -Baja a 60
40
50
70
35
30
40
20
25
15
20
35
15
10
60
50
30
80
40
70
Determinar la decisión óptima a tomar en base a los siguientes criterios: a) Laplace b) Optimista c) Pesimista o de Wald d) Hurwicz e) Savage
3.4. Supongamos la siguiente matriz de pagos de un juego bipersonal de suma cero A1 A2 A3
B1 -2 1 3
B2 5 3 -7
B3 -3 5 11
¿ Que estrategia seguirá cada uno de los competidores?
3.5. Mariachi Productions es una productora de series de televisión. Acaba de firmar un contrato para producir un nuevo espectáculo de primera línea "Ya te lo dije, mi amol". El presidente de la empresa le ha pedido a Vd. que determine una inversión inicial apropiada para el programa piloto de 2 horas y para los siguientes ocho episodios de una hora de la serie. La Junta Directiva divide las inversiones para programas en tres niveles generales, que después se convierten en las alternativas de decisión: 1. Nivel Inferior: Ninguno de los actores tiene un reconocimiento sustantivo. 2. Nivel Moderado: El actor principal tiene reconocimiento, pero no así el resto de actores de apoyo. 3. Nivel Alto: Más de uno de los actores tiene reconocimiento. Las implicaciones financieras de estas decisiones dependen del éxito futuro de la serie. Las investigaciones de mercado realizadas determinan las siguientes posibilidades: 1. Fracaso: Menos del 10% de los espectadores ven el programa. 2. Éxito: Entre el 10% y el 20% de los espectadores ven el programa.
3. Gran éxito: Más del 20% de los espectadores ven el programa. Su trabajo consiste en evaluar cada alternativa de inversión sobre la base de los beneficios. Dichos beneficios no sólo están basados en la inversión inicial, sino también en le éxito resultante del programa. Para el problema de Mariachi Productions, estos beneficios dependerán de la decisión que se tome y el éxito que consiga el programa. El sentido común le dice que cuanto más grande sea el nivel de compromiso , mayor será la cantidad que puede perder el estudio. Si Vd. decide invertir en el nivel alto y el espectáculo es un fracaso, el estudio perderá mucho. Esto es así porque un nivel bajo de espectadores redundará en un nivel más bajo de entradas por publicidad de los patrocinadores y, al mismo tiempo, los costes de producción, el salario de los actores y otros gastos todavía tendrán que hacerse. En el otro extremo si Vd. decide invertir a un nivel bajo y el espectáculo resulta ser un gran éxito, esto permitirá al estudio cobrar mayores tarifas por la publicidad. En este caso, el estudio puede esperar que le vaya muy bien debido a que la inversión inicial es baja y las entradas por publicidad serán altas. Recabando toda la información las estimaciones de beneficios (en millones de pesetas) para cada decisión resultado son las siguientes: RESULTADOS GRAN DECISIONE FRACASO ÉXIT ÉXIT S S O O Baja -2 5 8 Moderada -5 10 12 Alta -8 6 15
¿Qué decisión recomendaría Vd.?
Soluciones de Ejercicios Propuestos 3.1. La función del beneficio sería: B = It - Ct = (100 Q - 0,005 Q2) - (0,008 Q 2 + 50 Q + 250.000) = - 0,003 Q2 + 50 Q - 250.000 Para obtener el volumen de ventas Q que hace máximo el beneficio, calculamos la primera derivada respecto a Q: dB / dQ = - 0,006 Q + 50 E igualando a cero, obtendremos el valor óptimo de Q: - 0,006 Q + 50 = 0 Q = 50 / 0,006 = 8.333,33 El máximo beneficio lo obtendría fabricando y vendiendo 8.334 litros de leche. 3.2. Calculamos el valor esperado para cada estrategia: VE(Trigo) = 250*0,3 + 290*0,5 + 200*0,2 = 260 VE(Patatas) = 150*0,3 + 200*0,5 + 250*0,2 = 195 VE(Remolacha) = -100*0,3 + 400*0,5 + 350*0,2 = 265 La elección sería cultivar remolacha que es el producto que proporciona mayores beneficios. Pero, si se cultiva remolacha y el tiempo es lluvioso, tendríamos un resultado negativo, lo que podría llevar al agricultor a cultivar trigo que ofreciendo un valor esperado menor no tiene posibilidades de resultados negativos.
3.3. a) El criterio de Laplace intenta convertir la incertidumbre en riesgo. Si no conociésemos las probabilidades de los estados de la naturaleza , asignaríamos la misma probabilidad a todos ellos, en este caso 0,2 (20%) Calculamos el VE de cada estrategia con estas probabilidades: VE(DIV) = (60+40+50+70+35)*0.20= 51 VE(EXP) = (30+40+20+25+15)*0.20 = 26 VE(DIF) = (20+35+15+10+60)*0.20 = 28 VE(ESP) = (50+30+80+40+70)*0.20 = 54 Elegiríamos aquella estrategia que tenga el mayor valor esperado.: Especialización b) El criterio optimista nos dice que se elegiría aquella estrategia que nos de la máxima ganancia de los máximos beneficios (MAXIMAX) DIV= 70 EXP = 40 DIF= 60 ESP = 80 Para la estrategia de diversificación el máximo beneficio se obtiene si la demanda es media baja. Para la estrategia de expansión se produce cuando la demanda es media alta. Para la estrategia de diferenciación se produce cuando la demanda es baja. Y para la estrategia de especialización se produce cuando la demanda es baja. Escogeremos aquella estrategia que nos aporte mayores ganancias: Especialización
c) Según el criterio pesimista o de Wald elegimos aquella estrategia que nos de la máxima ganancia de los mínimos beneficios (MAXIMIN). DIV= 35 EXP = 15 DIF= 10 ESP = 30 Para la estrategia de diversificación los mínimos beneficios se producen cuando la demanda es baja. Para la estrategia de expansión se produce cuando la demanda es baja. Para la estrategia de diferenciación se produce con demanda media baja. Para la estrategia de especialización se produce cuando la demanda es media alta. Escogemos aquella estrategia que aporta la mayor ganancia: Diversificación d) El criterio de Hurwicz combina optimismo y pesimismo. a Probabilidad optimista. Por ejemplo: 70% b=(1-a) Probabilidad pesimista. (10,7)=30% El problema que plantea este criterio es que depende de la actitud del decisor (subjetividad). Para aplicar este criterio debemos calcular el valor esperado para cada estrategia pero tomando el mejor desenlace y aplicandole la probabilidad optimista más el peor desenlace por la probabilidad pesimista. DIV: 70*0.70 + 35*0.30 = 59.5 EXP: 40*0.70 + 15*0.30 = 32.5 DIF: 60*0.70 + 10*0.30 = 45 ESP: 80*0.70 + 30*0.30 = 65
Escogemos aquella alternativa que tenga el mayor valor: Especialización Si a= 1 es igual que el criterio optimista Si a= 0 es igual que el criterio pesimista e) El criterio de Savage propone la utilización de una matriz de arrepentimiento, formada por los costes de opotunidad. Si la demanda es alta lo mejor que podría haber hecho es diversificarme, el coste de oportunidad es cero si me diversifico, de expansión es 30 (60-30) que es lo que dejo de ganar, de diferenciarme 40 (60-20) y de especializarme 10(60-50). Si la demanda es de otro tipo el mecanismo que se aplica es el mismo para construir la matriz de arrepentimiento. DEMANDA Diversificació n Expansión Diferenciació n Especializaci ón
Alt Media Medi Media Baj a -Alta a -Baja a 0
0
30
0
35
30
0
60
45
55
40
5
65
60
10
10
10
0
30
0
Sobre la matriz de arrepentimiento aplicamos el criterio pesimista: dejar de ganar el mínimo de lo máximo que podría dejar de ganar (MINIMAX) DIV= 35 EXP = 60 DIF= 65 ESP = 30 Elegiríamos el menor: Especialización. También podría aplicarse el criterio optimista (MINIMIN).
3.4. Lo primero que debemos observar es si existen dominancias. Es decir, si existe alguna estrategia dominada. Entre A1 y A2 no domina ninguna. Entre A1 y A3 no domina ninguna. Entre A2 y A3 no domina ninguna. Entre B1 y B2 no domina ninguna. Entre B1 y B3 no domina ninguna. Entre B2 y B3 no domina ninguna. No puedo descartar ninguna estrategia, me interesa jugar dependiendo de lo que juegue el contrario. Utilizamos criterios pesimistas, ya que al igual que el jugador A tiene información de B, el jugador B la tiene de A. Para el jugador A la estrategia es MAXIMIN: - Si A juega A1 lo peor es que B juegue B3 y el desenlace sería -3 - Si A juega A2 lo peor es que B juegue B1 y el desenlace sería 1 - Si A juega A3 lo peor es que B juegue B2 y el desenlace sería -7 Elegiría la estrategia A2 Para el jugador B la estrategia es MINIMAX: - Si B juega B1 lo peor es que A juegue A2 y el desenlace sería 1 - Si B juega B2 lo peor es que A juegue A1 y el desenlace sería -5 - Si B juega B3 lo peor es que A juegue A3 y el desenlace sería 11 Elegiría la estrategia B1
Existe "punto de silla", que coincide con el valor del juego si la estrategia MAXIMIN para el jugador A es igual a la estrategia MINIMAX para el jugador B: MAXIMIN (A) = MINIMX(B) 1 = 1 V=1 Si A juega A2 gana como mínimo 1 unidad y B se conforma con perder como máximo 1 unidad. Si A pone un espía en B el resultado no varía, se sigue con la misma estrategia. Lo mismo sucede si lo hace B. Es decir, cuando hay estrategias puras, establecer espías no varía la toma de decisión de la estrategia.
3.5. La elección de la mejor alternativa de decisión, es decir, de inversión (inferior, moderada o alta) depende del criterio que tome Mariachi Productions. Depndendiendo del criterio elegido, se puede llegar una decisión diferente. Si se utiliza el CRITERIO OPTIMISTA O MAXIMAX, se escogería la alternativa que tenga el potencial del máximo beneficio posible. Se identifica la máxima ganancia para cada una de las alternativas de inversión: Baja: 8 Moderada: 12 Alta: 15 De estas alternativas, la que podría generar el mayor beneficio es inversión alta, con un beneficio máximo posible de 15 millones. Si Vd. Opta por elegir este criterio tenga en cuenta el alto grado de riesgo que conlleva la elección optimista: en el caso de que el espectáculo fuera •
un fracaso perdería 8 millones. Para tener en cuenta la posibilidad de pérdida puede utilizar otro criterio más conservador. Con el CRITERIO PESIMISTA O MAXIMIN se seleccionará la alternativa que maximice el beneficio mínimo posible. Para ello se identifica el peor beneficio posible para cada alternativa: Baja: -2 Moderada: -5 Alta: -8 La alternativa que maximiza esta mínima ganancia es una inversión Baja, que lleva a una pérdida de 2 millones y asegura la mínima pérdida posible. Se pueden utilizar otros criterios que combinan situaciones intermedias entre el criterio optimista y el criterio pesimista. El CRITERIO DE HURWICZ combina los dos criterios anteriores decidiendo lo optimista o pesimista que se quiere ser de la siguiente forma: - Elija un coeficiente de optimismo que tiene un valor entre 0 y 1 - Calcule para cada alternativa: Ganancia ponderada = * beneficio máximo + (1- ) * beneficio mínimo Supongamos =0.7, entonces: Ganancia ponderada (baja) = 0.7*8+0.3*(-2) =5 Ganancia ponderada (moderada) = 0.7*12+0.3*(-5) = 6.9 Ganancia ponderada (alta) =0.7*15+0.3*(-8) =8.1 En este caso se escogería la inversión alta. Si aplicamos el CRITERIO DE SAVAGE O MINIMAX se elegirá aquella alternativa que minimice los costes de oportunidad por no haber escogido en cada caso la •
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mejor decisión, basado en el resultado. Para cada resultado, identifique la decisión óptima que se pudo haber tomado. Cualquier otra alternativa, tiene como resultado un arrepentimiento o coste de oportunidad porque no fue la mejor alternativa. Este coste de oportunidad se puede cuantificar por la diferencia entre el beneficio por la mejor decisión y el beneficio por la decisión no óptima. Por tanto, habrá que construir una matriz de arrepentimiento o de costes de oportunidad: RESULTADOS GRAN DECISIONE FRACASO ÉXIT ÉXIT S S O O Baja 0 5 7 Moderada 3 0 3 Alta 6 4 0
De ella, se calcula el máximo arrepentimiento para cada alternativa: Baja: 7 Moderada: 3 Alta: 6 Se selecciona aquella alternativa que tenga el menor de los máximos arrepentimientos: Moderada. Al seleccionar la inversión moderada, independientemente de cuál sea el resultado, el estudio, en el peor de los casos ganará 3 millones menos del beneficio que hubiera obtenido si hubiera sabido el resultado final. En resumen, el criterio que se elija determinará la selección de la decisión: Criterio optimista : Inversión alta Criterio pesimista : Inversión baja
Criterio de Hurwicz :Inversión alta Criterio de Savage : Inversión moderada
Cómo se hacen los ejercicios de los criterios Criterio de esperanza matemática o de riesgo: Este criterio dice que cada posible decisión tiene un % de probabilidad diferente de ser la mejor opción. 1) Encima de cada columna del cuadro, se indica su %. 2) A parte, se representa con “E” y un número a partir del 1. Habrá tantas como posibles acciones (filas). Por filas, se multiplica cada nº de la tabla por el % de probabilidad indicado en su columna. Se suman los resultados de cada fila por separado. 2) Comparando los diferentes resultados, “gana” el más alto. Criterio de Laplace: Este criterio dice que todas las posibles decisiones a tomar tienen la misma probabilidad de ser la mejor. Por tanto, no existe % de probabilidad. 1) Se representa con “L” y un número a partir del 1. Habrá tantas como posibles acciones (filas). Por filas, se suman los nº y se multiplican por 1 (uno) dividido por el nº de columnas que haya. 2) Comparando los diferentes resultados, “gana” el más alto. Criterio de Wald o pesimista: Este criterio dice que dice que sea cual sea la decisión que se tome, las variables incontrolables (o estados de la naturaleza) harán que el resultado sea desfavorable para la empresa. 1) Se representa con “W” y un número a partir del 1. Habrá tantos como posibles acciones (filas). Se indica el peor
resultado (el más bajo) de cada fila (teniendo en cuenta que, por ejemplo, el 0 es mayor que un nº negativo). 2) Se busca el “Maximín” (máximo entre los mínimos) que es el nº más alto entre los anteriores. Criterio optimista: Este criterio dice que las variables incontrolables (o estados de la naturaleza) siempre beneficiarán a la empresa. 1) Se representa con “O” y un número a partir del 1. Habrá tantos como posibles acciones (filas). Se indica el mejor resultado (el más alto) de cada fila (teniendo en cuenta que, por ejemplo, el 0 es mayor que un nº negativo). 2) Se busca el “Maximax” (máximo entre los máximos) que es el nº más alto entre los anteriores. Criterio Hurwicz u optimismo parcial: Este criterio dice que el optimismo es en 1 grado igual al pesimismo, es decir, que 1 - optimismo = pesimismo, y viceversa. max (a * Ri + (1-a) * r i) a = % optimismo Ri = mejor resultado 1-a = % pesimismo r i = peor resultado 1) Se representa con “H” y un número a partir del 1. Habrá tantos como posibles acciones (filas). Se aplica esa fórmula (multiplicando el % de optimismo * nº más alto de su fila) + (% optimismo * nº más bajo de su fila). 2) Comparando los diferentes resultados, “gana” el más alto. Criterio Savage o coste de oportunidad:
Este criterio dice que para cada estado de la naturaleza (variable incontrolable) hay una decisión que es mejor que el resto. Hay que buscar qué se deja de ganar o qué se pierde si se toma otra decisión que no sea ésa (es decir, que permite el arrepentimiento). 1) Encima de cada columna del cuadro, se indica el nº más alto de su columna. 2) Dentro de la tabla, se va restando ese nº más alto de cada nº de la tabla. 3) A parte, se representa con “S” y un número a partir del 1. Habrá tantos como posibles acciones (filas). Se busca el “Minimax” (mínimo entre los máximos) que es el nº más alto de cada fila (teniendo en cuenta que, por ejemplo, el 0 es mayor que un nº negativo).
PRINCIPIO de HURWICZ Este criterio de toma de decisiones parte de establecer un coeficiente de pesimismo α, entre 0 y 1, y queda, a su vez, fijado (1- α). Para decidir se multiplica el máximo valor de cada estrategia por (1- α) y también el mínimo valor por el coeficiente de pesimismo α, sumando los resultados para cada estrategia. Se elige finalmente la estrategia que conlleve un mayor valor. Así podemos decir que este criterio distingue los resultados máximos y mínimos posibles de cada alternativa; hecho esto aplica el factor de ponderación a llamado "índice de optimismo relativo", para llegar a la decisión mediante el cálculo de utilidades esperadas. El criterio se aplica siguiendo la siguiente secuencia: 1.- De la matriz de decisiones se seleccionan el mejor y el peor valor para cada alternativa, dando lugar a un vector de óptimos y a otro de pésimos. 2.- El vector de óptimos se afecta por el índice a y el vector de pésimos por (1 - a). El índice a varia entre 0 y 1; a = 0 para el caso más pesimista ( criterio minimin ) a = 1 para el caso más optimista ( criterio maximax ) 0 < a < 1 para los casos intermedios. 3.- La suma de los vectores ( de óptimos y pésimos ) ya ponderados, es el vector de valores esperados. La alternativa seleccionada es aquella que corresponde al máximo valor esperado.
Criterios de Decisión en situaciones de incertidumbre. Cuatro ejemplos La distinción entre riesgo e incertidumbre fue establecida por F. Knight en 1921, quien en su obra Risk, Uncertainty and Profit se refería a la primera como aquella situación en la que no existe certeza sobre el resultado de la decisión, aunque se conoce al menos la probabilidad de los distintos resultados alternativos. Este sería el caso, por ejemplo, de la elección entre cara o cruz de una moneda: desconocemos de antemano el resultado (si la moneda no está trucada, claro está) pero conocemos la probabilidad objetiva de las dos alternativas. Las situaciones de incertidumbre se caracterizarían, en cambio, por el hecho de que no sólo desconocemos el resultado final, sino que no podemos predecirlo tampoco en términos de probabilidades objetivas. Así pues, uno de los problemas centrales a los que se ha enfrentado la teoría de la decisión ha consistido en establecer algún criterio (o criterios) que nos permita optar por una acción u otra en situaciones de incertidumbre. Algunos de los criterios más conocidos se exponen a continuación (7).
1. Criterio maximín. Supongamos que hemos de decidir si hacemos A o B, cuyas consecuencias son C, D y E, como queda reflejado en la matriz de pagos o resultados que presentamos más abajo. Si optamos por A podemos obtener el resultado más
favorable (100), pero tenemos también dos resultados muy malos (2 y 1). Si elegimos B corremos el riesgo de no ganar nada, si bien C y D no ofrecen ambas un buen resultado. ¿Cómo decidiremos qué hacer si no podemos atribuir objetivamente ninguna probabilidad a las consecuencias de nuestra acción? Acciones A B
Resultados C 100 99
posibles D E 2 1 98 0
Si conociéramos la probabilidad de cada uno de los sucesos elegiríamos sin más el que nos beneficiara con mayor seguridad. Pero como no es así, como desconocemos las probabilidades de los sucesos, lo que el criterio maximín nos aconseja es seguir aquella acción que nos asegure el máximo de los mínimos; esto es, la acción que nos libre del peor resultado posible. En esta ocasión sería la acción A la que el maximín recomendaría seguir pues, en el peor de los casos, obtendríamos como mínimo 1, es decir, un resultado mejor que el peor de los resultados de la acción B. El criterio maximín compara entre sí los peores resultados de cada una de las opciones posibles y elige el mejor de ellos (el máximo de los mínimos). Se trata, pues, de un criterio esencialmente «conservador» ?sólo busca que no salgamos muy mal parados? que desperdicia buena parte de la información que nos procura la matriz de pagos, pues solamente tiene en cuenta los peores resultados de cada fila (8).
2. Criterio maxímax.
Este criterio, a diferencia del anterior, sólo tiene en cuenta el mejor resultado posible de cada acción (el máximo de los máximos). En el ejemplo anterior, de nuevo la acción A saldría favorecida, pues el mejor resultado posible es 100. Aunque no es una estrategia que busque precisamente evitar el riesgo a toda costa ?más bien lo contrario? adolece del mismo defecto que el criterio maximín: no tiene en cuenta la mayor parte de la información que nos ofrece la situación de elección.
3. Criterio a de Hurwicz. Para evitar el conservadurismo del maximín y el optimismo del maximax, Hurwicz propuso un criterio que equivale a la suma ponderada de los resultados extremos de ambas líneas de acción. Puesto que nadie es siempre optimista o siempre pesimista, el criterio de Hurwicz establece una vía intermedia entre el maximín y el maximax. Así, por ejemplo, si alguien otorga a los peores resultados de A y B un valor a = 3/4, y de 1/4 (es decir, 1-a) a los mejores resultados, el criterio de Hurwicz valorará las distintas líneas de acción de la siguiente manera: A = 1 X 3/4 + 100 X 1/4 = 18,75 B = O X 3/4 + 99 X 1/4 = 18 De nuevo sale elegida la acción A en nuestro ejemplo. La elección del valor de a determina, pues, el grado de pesimismo u optimismo del decisor: si a fuera igual a 1, el criterio de Hurwicz sería idéntico al maximín; si fuera igual a O sería idéntico al maximax. En cualquier caso, distintos decisores darán valor distinto a A por motivos puramente subjetivos. Así pues, si bien este criterio no excluye tanta
información como los dos anteriores, tampoco la tiene toda en cuenta, pues excluye los valores intermedios.
4. Criterio de «razón insuficiente» de Laplace. El criterio de Laplace sí considera, en cambio, todos los valores. Puesto que no tenemos información sobre la probabilidad de que ocurra C, D o E, lo más racional sería, según este criterio, asignarle a cada valor la misma probabilidad y elegir el que nos dé el mayor valor esperado (la mayor utilidad esperada). De esta forma obtendríamos los siguientes resultados para A y B: A = 1/3 X 100 + 1/3 X 2 + 1/3 X 1 = 34^3 B = 1/3 X 99 + 1/3 x 98 + 1/3 X O = 65^3 A diferencia de los que ocurre con los demás criterios, éste es el único que sitúa la acción B por encima de A. Ello se debe sin duda al hecho de que se tomen en consideración todos los valores (9). Como vemos, pues, no sólo es evidente que no existe un único criterio recomendable para tomar decisiones en situaciones inciertas, sino que, excepto el de Laplace, todos apelan a la subjetividad de quien decide: a su optimismo o pesimismo con respecto a la situación de elección. ???????. (7) Para lo que sigue nos basamos en Baumol (1977: 460463). Una información más detallada sobre estos y otros criterios se encontrará en Luce y Raiffa (1957, cap. 13) y en French (1986, cap. 2). Una interesante aplicación práctica de esos criterios se encontrará en Cañas y de Haro (1982).
