FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
CAPÍTULO V
ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
1
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO PROBLEMA Nº 5.1
Un perfil de suelo se muestra en la figura 5.27. Calcule los valores de σ, u, σ’ en los puntos A, B, C y D. grafique la variación de σ, u, σ’ con la profundidad. Se dan los valores en la tabla.
Estrato Nº
Espesor (m)
I
H1 = 4
II
H2 = 5
II
H3 = 6
1) Cálculo en “A”:
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
′′
=0 =0 =0
Peso especifico (kN/m3) γd = 17.3 γsat = 18.9 γsat = 19.7
2
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
2) Cálculo en “B”:
′′ − − ′′ − − ′′ − − + (4
=
)·
(
)
=
=
+ (4
=0
+0
) · 17.3 17.3
= 69. 69.2
=0
= 69. 69.2
0
= 69. 69.2
3) Cálculo en “C”: =
+ (5
)·
+ (5
=
=
= 69. 69.2
(
)
)·
=0
= 163. 163.70
+ (5
+ (5
) · 18.9 18.9
= 163. 163.70 70
) · 9.81 9.81
49.05
= 49. 49.05
= 114. 114.65 65
4) Cálculo en “D”: =
+ (6
=
)·
(
+ (6
)·
=
)
= 163. 163.7 7
= 49. 49.05
= 281. 281.90
+ (6
+ (6
) · 19.7 19.7
= 281. 281.90
) · 9.81 9.81
107.91
= 107. 107.91
= 173. 173.99
OBS: a la presión de poro también se le conoce como esfuerzo neutro. En resumen tenemos:
A B C D
σ (kN/m2)
u (kN/m2)
σ’ (kN/m2)
0
0
0
92.20
0
69.20
167.70
49.05
114.65
281.90
107.91
173.99
Ahora veremos unos gráficos que prepare para una mejor visualización de los cálculos porque los cálculos son una cosa pero ver algo con más sentido como un grafico es otra cosa a unos simples y aburridos números.
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
3
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
GRAFICA DE ESFUERZOS TOTALES (σ) 16
0.00 14
Estrato Estrato I (Arena seca)
) 12 m ( H 10 , d a d 8 i d n u 6 f o r P 4
69.20 Estrato Estrato II I I (A rena saturada)
163.70
Estrato strato III (Arcilla) (Arcill a) 2
281.90
0 0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
300.00
350.00
400.00
Esfuerzo total, σ (kN/m2)
GRAFICA DE ESFUERZOS NEUTROS ( u) 16
0.00 14
) 12 m (
Estrato Estrato I (Arena seca)
0.00
H 10 , d a 8 d i d n 6 u f o r P 4
Estrato II (Arena saturada)
49.05
Estrato strato III (Arcill a) 2
107.91
0 -25.00
25.00
75.00
125.00
175.00
225.00
275.00
Esfuerzo neutro, u (kN/m2)
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
4
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
GRAFICA DE ESFUERZOS EFECTIVOS (σ') 16
0.00 14
Estrato Estrato I (Arena seca)
) 12 m (
69.20
H 10 , d a d 8 i d n u 6 f o r P 4
Estrato Estrato II I I (Arena (A rena saturada)
114.65
Estrato strato III (Arcill (A rcilla) a) 2
173.99
0 0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
300.00
Esfuerzo efectivo, σ' (kN/m2)
PROBLEMA Nº 5.3
Resuelva el problema 5.1 con los siguientes datos: Estrato Nº
Espesor (m)
I
H1 = 3
II
H2 = 4
II
H3 = 2
Parámetros del suelo e = 0.40 Gs = 2.62 e = 0.60 Gs = 2.68 e = 0.81 Gs = 2.73
Primero calculamos los PESOS ESPECÍFICOS de cada suelo según corresponda, las ecuaciones a usar serian:
=
=
Estrato I (arena seca):
(
·
1+
+ )·
1+
(2.62) · 9.81 9.81
(
)
(
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
=
1 + 0.40
)
= 18. 18.36
5
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
Estrato II (arena saturada):
′′ ′′ − − ′′ − − (2.68 2.68 + 0.60 0.60) · 9.81 9.81
(
)
=
1 + 0.60
(
)
= 20. 20.11
Estrato II (arcilla saturada):
(2.73 2.73 + 0.81 0.81)) · 9.81 9.81
(
)
=
1 + 0.81
(
)
= 19. 19.19
Ahora calculamos lo pedido en el problema: 1) Cálculo en “A”:
=0
=0
=0
2) Cálculo en “B”: =
+ (3
)·
(
)
=
=
+ (3
=0
+0
) · 18.36 18.36
= 55. 55.08
=0
= 55. 55.08
0
= 55. 55.08
3) Cálculo en “C”: =
+ (4 =
)·
+ (4
(
)
)·
=
= 55. 55.08
+ (4
+ (4
=0
= 135. 135.52
) · 20.11 20.11
) · 9.81 9.81
39.24
= 135. 135.52 52
= 39. 39.24
= 96. 96.28
4) Cálculo en “D”: =
+ (2
)·
(
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
)
= 135. 135.52
+ (2
) · 19.19 19.19
6
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
′′ − − = 173. 173.90
+ (2
=
)·
+ (2
= 39. 39.24
=
) · 9.81 9.81
= 58. 58.86
= 173. 173.90
58.86
= 115. 115.04 04
σ (kN/m2)
u (kN/m2)
σ’ (kN/m2)
0
0
0
55.08
0
55.08
135.52
39.24
96.28
173.90
55.86
115.04
En resumen tenemos:
A B C D
Seguidamente vamos con los gráficos:
GRAFICA DE ESFUERZOS TOTALES (σ) 16
0.00 14
Estrato Estrato I (Arena seca)
) 12 m (
55.08
H 10 , d a d 8 i d n u 6 f o r P 4
Estrato II (Arena saturada)
135.52
Estrato strato III (Arcill a) 2
173.90
0 0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
300.00
Esfuerzo total, σ (kN/m2)
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
7
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
GRAFICA DE ESFUERZOS NEUTROS ( u) 16
0.00 14
Estrato Estrato I (Arena seca)
) 12 m ( H10 , d a d 8 i d n u 6 f o r P 4
0.00 Estrato Estrato II I I (A rena saturada)
39.20
Estrato strato III (A rcilla) 2
55.86
0 -10.00
15.00
40.00
65.00
90.00
115.00
140.00
Esfuerzo neutro, u (kN/m2)
GRAFICA DE ESFUERZOS EFECTIVOS (σ') 16
0.00 14
Estrato Estrato I (Arena seca)
) 12 m (
55.08
H 10 , d a d 8 i d n u 6 f o r P 4
Estrato II (Arena saturada)
96.28
Estrato strato III (Arcill a) 2
115.04
0 0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
Esfuerzo efectivo, σ' (kN/m2)
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
8
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO PROBLEMA Nº 5.5
Un perfil de suelo se muestra en la figura 5.29. a) Calcule el esfuerzo total, la presión de poro del agua y el esfuerzo efectivo en los puntos en los puntos A, B y C.
Primero calculamos los PESOS ESPECÍFICOS de cada suelo según corresponda, las ecuaciones a usar serian:
=
=
Estrato I (arena seca):
(
·
1+
+ )·
1+
(2.66) · 9.81 9.81
(
)
(
=
1 + 0.61
)
= 16. 16.21
Estrato II (arena saturada):
(2.67 2.67 + 0.48 0.48) · 9.81 9.81
(
)
=
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
1 + 0.48
9
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
′′ ′′ − − ′′ − − (
)
= 20. 20.89
Ahora calculamos lo pedido en el problema: 1) Cálculo en “A”:
=0
=0
=0
2) Cálculo en “B”: =
+ (3
)·
(
)
=
=
+ (3
=0
+0
) · 16.21 16.21
= 64. 64.84
=0
= 64. 64.84
0
= 64. 64.84
3) Cálculo en “C”: =
+ (5 =
)·
(
+ (5
=
)
)·
= 64. 64.84
=0
= 169. 169.29
+ (5
+ (5
) · 20.89 20.89
= 169. 169.29 29
) · 9.81 9.81
49.05
= 49. 49.05
= 120. 120.24 24
En resumen tenemos:
A B C
σ (kN/m2)
u (kN/m2)
σ’ (kN/m2)
0
0
0
64.84
0
64.84
169.29
49.05
120.24
Seguidamente vamos con los gráficos:
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
10
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
GRAFICA DE ESFUERZOS TOTALES (σ) 10 9
) m ( H , d a d i d n u f o r P
0.00
8
Estrato Estrato I (Arena seca)
7 6
64.84
5 4 3
Estrato Estrato II I I (A rena saturada)
2 1
169.29
0 0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
Esfuerzo total, σ (kN/m2)
GRAFICA DE ESFUERZOS TOTALES (σ) 10 9
0.00
8
) m 7 (
H , d a d i d n u f o r P
Estrato Estrato I (Arena seca)
6
64.84
5 4 3
Estrato Estrato II I I (A rena saturada)
2 1
169.29
0 0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
Esfuerzo total, σ (kN/m2)
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
11
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
GRAFICA DE ESFUERZOS EFECTIVOS (σ') 10 9
0.00
8
) m 7 (
H , d a d i d n u f o r P
Estrato Estrato I (Arena seca)
6
64.84
5 4 3
Estrato Estrato II I I (Arena (A rena saturada)
2 1
120.24
0 0.00
50.00
100.00
150.00
Esfuerzo efectivo, σ' (kN/m2)
PROBLEMA Nº 5.7
Un estrato de 10 m de espesor de arcilla firme saturada descansa sobre un estrato de arena (figura 5.30), la cual está sometida a presión artesiana. Calcule la profundidad máxima de corte H que puede hacerse en la arcilla.
Para calcular la profundidad “H” tiene que cumplir que el esfuerzo efectivo sea igual a cero en el punto “A”:
′′
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
=0
12
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
− − − − − =0
(10
)·
(
(6
)
)·
=0
Despejamos “H” de la expresión:
(6
= 10
)·
(
)
Reemplazando valores tenemos:
(6
) · 9.81 9.81
= 10
19
= 6.90 6.90
PROBLEMA Nº 5.9
Refiérase a la figura 5.8. Dado P = 30 kN, kN, determine el incremento del esfuerzo vertical en un punto con x con x = 5 m, m, y = 4 m y z = 6 m. m. use la solución de Boussinesq.
La ecuación a utilizar es:
∆ =
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
·
13
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
⁄ ∆ ∆ =
3
2 · [(
) + 1]
/
Primero: calculamos el valor de “r”:
=
(5
=
+
) + (4
) = 6.40 6.40
Segundo: calculamos “I1” y finalmente “ΔσZ”:
3
=
/
6.40 6.40
2 ·
6
+1
= 0.07 0.0715 15
=
30
(6
)
· (0.0715) 0.0715)
= 0.06 0.060 0
PROBLEMA Nº 5.11
Refiérase a la figura 5.10. Suponga q = 65 kN/m. el punto A esta localizado a una profundidad de 1.5 m bajo la superficie del terreno. Debido a la aplicación de la carga puntual, el esfuerzo vertical en el punto A se incrementa en 24 kN/m 2. ¿Cuál es la distancia horizontal entre la carga de línea y el punto A?
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
14
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
La ecuación a usar es:
∆ ∆ ∆ ∆ − − 2·
=
·
·(
)
+
Luego despejamos “x”:
·(
) =
+
+
=
2·
2·
=
·
·
·
2·
·
·
Reemplazando valores tenemos:
· (1.5
2 · 65
)
(1.5
=
)
· 24
= 0.40 0.40
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
15
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO PROBLEMA Nº 5.13
Resuelva el problema 5.12 con los siguientes valores:
q1 = 15 kN/m q 2 = 9 kN/m La ecuación a utilizar es:
x 1 = 5 m x 2 = 3 m
z=4m
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ =
2·
·
·(
)
+
Primero: calculamos “Δσ1” para la carga “q 1” y “x1+2”:
· (4
2 · 15
=
[(8 · [(8
) + (4
)
) ]
= 0.09 0.09
Segundo: calculamos “Δσ2” para la carga “q 2” y “x2”:
· (4
2· 9
=
· [(3
) + (4
)
) ]
= 0.59 0.59
Tercero: calculamos “ Δσ”:
=
+
= 0.36 0.36
+ 0.59 0.59
= 0.68 0.68
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
16
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO PROBLEMA Nº 5.15
Resuelva el problema 5.14 para q = 600 kN/m 2, B = 3 m, x = 1.5 m y z = 3 m.
La ecuación a utilizar es:
∆ − − ∆ /
=
/
2·
·
[(
) +
]
Reemplazando valores tenemos:
∆
/
=
2 · 600
·
/
(3
[(1.5
)
) + (3
) ]
Resolviendo la integral tenemos:
= 245. 245.49
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
17
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO PROBLEMA Nº 5.17
Resuelva el problema 5.16 con R = 3 m, q = 250 kN/m 2 y z = 2.5 m.
La ecuación a utilizar es:
∆ − ∆ ⎨ − ⎬ ∆ =
1
1
/
1+
Reemplazando valores tenemos:
= 250
1
1
1+ 3
/
2.5
= 184. 184.41
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
18
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO PROBLEMA Nº 5.19
Resuelva el problema 5.18. Use la carta de influencia de Newmark para la distribución de presiones verticales.
Primero: calculamos los radios de nuestra carta de Newmark. Usaremos la ecuación siguiente:
∆ ⎨ − ⎬ ∆ − =
1
1
/
1+
Despejando y relacionando nos quedaría de la siguiente manera:
=
1
1
/
Seguidamente damos valores a la relación “ Δσ /q”, obtenemos “r/z” luego para la profundidad de z = 5 m tenemos: σ/q
r/z
r
0.1
0.27
1.35
0.2
0.40
2.00
0.3
0.52
2.59
0.4
0.64
3.18
0.5
0.77
3.83
0.6
0.92
4.59
0.7
1.11
5.55
0.8
1.39
6.94
0.9
1.91
9.54
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
19
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
Luego dibujamos nuestra carta de Newmark, y con la ecuación siguiente calcularemos los esfuerzos en cada punto.
∆ = ·
Donde:
·
I: valor de influencia (0.005). q: presión sobre el área cargada (85 kN/m 2). N: número de elementos de la carta encerrados por la planta del área cargada. De esta forma nuestra grafica quedaría así:
Como quiera que los elementos contenidos en la figura no siempre sean de forma entera, se realiza un aproximado. Bueno yo lo hice en autocad y me salió exacto pero a modo de practicar lo realizaremos a la antigua. Por otro lado la escala de “z” debe ser la misma con la que se dibujan las figuras a calcular.
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
20
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
Segundo: calculamos lo pedido: Punto “A”:
Después de dar un vistazo a la figura concluimos lo siguiente:
∆ ∆ = 39. 39.5
Reemplazando en la ecuación tenemos:
= 0.005 · 85
· (39.5) 39.5)
= 16. 16.8
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
21
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
Punto “B”:
Después de dar un vistazo a la figura concluimos lo siguiente:
∆ ∆ = 93. 93.5
Reemplazando en la ecuación tenemos:
= 0.005 · 85
· (93.5)
= 39. 39.7
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
22
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
Punto “C”:
Después de dar un vistazo a la figura concluimos lo siguiente:
∆ ∆ = 12. 12.5
Reemplazando en la ecuación tenemos:
= 0.005 · 85
· (12.5)
= 5.3
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
23
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA – BRAJA M. DAS (SOLUCIONARIO) Cap05 – ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO DEL AUTOR:
DATOS GENERALES
Nombres :
Abel Darwin
Apellidos :
VELARDE DEL CASTILLO Peruano
Nacionalidad:
Profesión :
Estudiante de la Escuela Profesional de Ingeniería Civil
Centro de Estudios :
Universidad Nacional del Altiplano - PUNO
E-mail :
[email protected]
Blog : http://ingenieriacivilabeldarwin.blogspot.com/
Abel Darwin VELARDE DEL CASTILLO
24
