Esfuerzos Cortantes en Vigas

Esfuerzos Cortantes en vigas y elementos de pared delgada 1) ESFUERZOS CORTATES E !"#AS $a %onsidera%i&n del esfuerzo %ortante %ortante verti%al %omo tal' se (a%e en muy po%as o%asiones en el anlisis y dise*o de vigas' sin em+argo' em+argo' estos esfuerzos se rela%ionan %on los esfuerzos %ortantes (orizontales y por esto' es de importan%ia en algunos aspe%tos en el dise*o de vigas' as,- $os esfuerzos %ortantes (orizontales de+en %onsiderarse %onsiderarse en las dos apli%a%iones .ue se des%ri+en a %ontinua%i&n/ a) El material usado para la viga tiene una +a0a resisten%ia al esfuerzo %ortante en una dire%%i&n generalmente la (orizontal)- Esto o%urre en materiales %omo la madera+) $as partes fa+ri%adas de la viga de+en estar unidas en forma segura$a a%%i&n de los esfuerzos %ortantes (orizontales supone .ue una viga est %ompuesta de varias pla%as delgadas' apiladas una so+re la otra' pero sin estar unidas de forma alguna' 2gura 1a- Cuando se apli%a una %arga a la viga y o%urre la deforma%i&n' las super2%ies de %onta%to entre las pla%as se deslizarn y sus posi%iones 2nales se ilustran en la 2gura 1+Figura 1- Esfuerzos %ortantes (orizontales en una viga %argada

Si las pla%as estuvieran unidas por alg3n medio antes de .ue se apli.ue la %arga por e0emplo' pernos)' 2gura 1%' la viga a%tuar %omo una unidad' ya .ue di%(os medios de uni&n impedirn el deslizamiento de las super2%ies individuales' por lo .ue los pernos estar,an e0er%iendo fuerzas (orizontales- Si la viga est %ompuesta de un solo +lo.ue' 2gura 1d' y se apli%a una fuerza 4' %ada super2%ie (orizontal tiende a deslizarse %on respe%to respe%to a la super2%ie adya%ente- Realmente el deslizamiento no o%urre' pues la resisten%ia de la viga

al esfuerzo %ortante fuerzas internas aportadas por el material) lo impideCortando y analizando la viga' %omo se muestra en la 2gura 5-

Figura 5- Corte y anlisis de una viga-

$a viga est en e.uili+rio' enton%es sus +lo.ues estn en e.uili+rio- 4ara .ue se %umpla 6F7 8 9' 6Fy 8 9' 6: 8 9 de+e (a+er esfuerzos %ortantes iguales so+re todas sus super2%iesSe %onsidera una viga de an%(o + .ue soporta %argas transversales y se analiza una se%%i&n de longitud d7' 2gura ;Figura ;- Anlisis de las fuerzas .ue a%t3an so+re una viga

El momento
A(ora se %onsidera una se%%i&n %ortada a una distan%ia y1 del e0e neutro' 2gura >Figura >- Anlisis de las fuerzas' %on respe%to a un punto y %on una distan%ia :omento)

 Tomando todas estas %onsidera%iones se pasar,a a apli%ar la e%ua%i&n de :omento estti%o ?' y esfuerzo %ortante' %uya e%ua%i&n es τ =

VQ  IB  E%ua%i&n 1)' @onde'

τ   8 esfuerzo %ortante (orizontal' ! 8 fuerza

%ortante verti%al en la se%%i&n' ? 8 momento estti%o del rea .ue .ueda arri+a o a+a0o) del %orte' " 8 momento de iner%ia de toda el rea de la se%%i&n transversal %on respe%to al e0e neutro' + 8 an%(o de la se%%i&n del %orte 5) Esfuerzos Cortantes En Tipos Comunes @e !igas •

Esfuerzos %ortantes en vigas de se%%i&n re%tangular

4ara determinar el esfuerzo %ortante  a una distan%ia y1 arri+a del e0e neutro Figura B)' se elige una se%%i&n dA a una distan%ia y so+re el e0e neutroFigura B' Considera%iones dimensionales en una viga re%tangular

 Tomando en %uenta la e%ua%i&n de momento estti%o ? de un rea C 

transversal dA %omo en la 2gura B- Se integra Q=∫  ydA  E%ua%i&n 5) $uego  y 1

2

de integrar se sustituye ? %on la E%ua%i&n 1' .uedando %omo

2

V ( C  − y 1 ) τ = 2 I 

' en el %aso del re%tngulo se usa el momento iner%ial de la forma re%tangular' Sustituyendo se o+tiene .ue el esfuerzo %ortante m7imo se tiene para y1 8 9' .ue est en el e0e neutro-

τ max =

3 V  2  A

-

Con las diferentes formas geomDtri%as se toman las mismas %onsidera%iones' las dimensiones' el momento iner%ial de a%uerdo a su geometr,a y apli%ando la E%ua%i&n 5 y la E%ua%i&n 1' Se o+tienen las distintas formasFigura - Esfuerzo %ortante m7imo de a%uerdo a forma de la viga-

E0emplo 1 Una viga de se%%i&n re%tangular est sometida a una fuerza %ortante de 1; G @eterminar el esfuerzo %ortante en el punto 4 de la se%%i&n transversal G El esfuerzo %ortante m7imo en la viga Figura E0emplo 1 4arte A A89-1mH9-15m89-915

m

2

!81;  I18B9mmJ>9mm819mm C8(K58159mmK58B9mm Usando $a E%ua%i&n 1 I la geometr,a de la 2gura @el E0emplo 1' se determinar,a la E%ua%i&n 5

τ 

=

(

)

( ) 0.01∗0.01 ∗ 1− =1.58  MPa 0.06∗0.6 2∗0.012 m

3 13000 N 

2

4arte L y189) τ =

3 ( 13000 N ) 2∗0.012 m

2

=1.625 MPa

;) Esfuerzos %ortantes en pared delgada En la E%ua%i&n 1' ! representa la fuerza %ortante .ue a%t3a so+re la se%%i&n transversal' " es el momento de iner%ia del rea de la se%%i&n transversal %on respe%to al e0e neutro)' + es el an%(o de la viga en la u+i%a%i&n donde se determinar el esfuerzo %ortante y ? es el momento estti%o del rea de la se%%i&n transversal fuera de la u+i%a%i&n donde se determina el esfuerzoA(ora %onsideraremos los esfuerzos %ortantes en un tipo espe%ial de vigas %on se%%i&n transversal a+ierta de pared delgada- $as vigas de este tipo se distinguen mediante dos %ara%ter,sti%as/ 1) el espesor de pared es pe.ue*o %omparado %on la altura y el an%(o de la se%%i&n transversal y 5) la se%%i&n transversal est a+ierta' %omo en el %aso de una viga " o una viga en %anal' en vez de %errada' %omo en el %aso de una viga de %a0a (ue%a- En la 2gura M se muestran algunos e0emplos- $as vigas de este tipo tam+iDn se llaman se%%iones o per2les estru%turales- 4odemos determinar los esfuerzos %ortantes en vigas de pared delgada %on se%%i&n transversal a+ierta al emplear las mismas tD%ni%as .ue utilizamos al dedu%ir la f&rmula del %ortante- 4ara mantener la dedu%%i&n tan general %omo sea posi+le' %onsideraremos una viga %on su l,nea %entral de la se%%i&n transversal mm %on forma ar+itraria Figura Na)- $os e0es y y z son e0es %entroidales prin%ipales de la se%%i&n transversal y la %arga 4 a%t3a paralela al e0e y en el %entro de %ortante S 2gura N+)- 4or tanto' la
 Mz∗ y  Iz

- E%ua%i&n ;

@onde :z es el momento
Figura N- Esfuerzos %ortantes en una viga %on se%%i&n transversal a+ierta depared delgada- $os e0es y y z son e0es %entroidales prin%ipales)-

A(ora %onsideramos un elemento de volumen a+%d %ortado entre dos se%%iones transversales separadas una distan%ia d7 2gura Na)- O+serve .ue el elemento ini%ia en el +orde de la se%%i&n transversal y tiene una longitud s medida a lo largo de la l,nea %entral mm 2gura B-;1+)- 4ara determinar los esfuerzos %ortantes' aislamos el elemento %omo se muestra en la 2gura N%- $a resultante de los esfuerzos normales .ue a%t3an so+re la %ara ad es la fuerza F1 y la resultante so+re la %ara +% es la fuerza F5- Como los esfuerzos normales .ue a%t3an so+re la %ara ad son mayores .ue los .ue a%t3an so+re la %ara +% de+ido a .ue el momento
s

∫ ydA 0

 E%ua%i&n =

Esta e%ua%i&n propor%iona los esfuerzos %ortantes en %ual.uier punto en la se%%i&n transversal a una distan%ia s desde el +orde li+re- $a integral en el lado dere%(o representa el momento estti%o %on respe%to al e0e z el e0e neutro) del rea de la se%%i&n transversal dada s 8 9 (asta s 8 s- @enotemos este momento estti%o %on ? para es%ri+ir la e%ua%i&n para los esfuerzos %ortantes t en la forma ms simple τ =

Vy Qz  Izt   E%ua%i&n >

El
f  =τ t =

VyQz  E%ua%i&n B  I z

Como !y e "z son %onstantes' el
Como el elemento tiene un tama*o in2nitesimal' los esfuerzos normales .ue a%t3an so+re las %aras opuestas son iguales- $a %onven%i&n de signos para los esfuerzos normales es la usual' es de%ir' la tensi&n es positiva y la %ompresi&n es negativaUn esfuerzo %ortante t tiene dos su+,ndi%es el primero denota la %ara so+re la %ual a%t3a el esfuerzo y el segundo da la dire%%i&n so+re esa %ara- As, enton%es' el esfuerzo t7y a%t3a so+re la %ara 7 en la dire%%i&n del e0e y 2gura 19a) y el esfuerzo ty7 a%t3a so+re la %ara y en la dire%%i&n del e0e 7Figura 19

$a %onven%i&n de signos para los esfuerzos %ortantes es la .ue sigueUn esfuerzo %ortante es positivo %uando a%t3a so+re una %ara positiva de un elemento en la dire%%i&n positiva de un e0e' y negativo %uando a%t3a so+re una %ara positiva de un elemento en la dire%%i&n negativa de un e0e- 4or tanto' los esfuerzos t7y y ty7 .ue se muestran en las %aras 7 y y positivas en la 2gura 19a son esfuerzos %ortantes positivos- @e manera similar' so+re una %ara negativa del elemento' un esfuerzo %ortante es positivo %uando a%t3a en la dire%%i&n negativa del e0e- @e a.u,' los esfuerzos t7y y ty7 .ue se muestran so+re las %aras 7 y y negativas del elemento tam+iDn son positivosEsta %onven%i&n de signos para los esfuerzos %ortantes es f%il de re%ordar si la enun%iamos de la siguiente manera/ Un esfuerzo %ortante es positivo %uando las dire%%iones aso%iadas %on sus su+,ndi%es son msJms o menosJmenos el esfuerzo es negativo %uando las dire%%iones son msJmenos o menosJms$a %onven%i&n de signos anterior para los esfuerzos %ortantes es %onsistente %on el e.uili+rio del elemento' ya .ue sa+emos .ue los esfuerzos %ortantes so+re %aras opuestas de un elemento in2nitesimal de+en ser iguales en magnitud y %on dire%%i&n opuesta- @e a.u, .ue' de a%uerdo %on nuestra %onven%i&n de signos' un esfuerzo positivo t7y a%t3a (a%ia arri+a so+re la %ara positiva 2gura 19a) y (a%ia a+a0o so+re la %ara negativa- @e manera similar'

los esfuerzos ty7 .ue a%t3an so+re las %aras superior e inferior del elemento son positivos aun.ue tienen dire%%iones opuestas Tam+iDn sa+emos .ue los esfuerzos %ortantes so+re planos perpendi%ulares son iguales en magnitud y tienen dire%%iones tales .ue los dos esfuerzos apuntan (a%ia la l,nea de interse%%i&n de las %aras o ale0ndose de ella4uesto .ue t7y y ty7 son positivos en las dire%%iones .ue se muestran en la 2gura' son %onsistentes %on esta o+serva%i&n- 4or tanto' o+servamos .ue t7y8 ty7Figura 11- E%ua%iones @e Transforma%i&n para esfuerzo plano

5) Esfuerzos 4rin%ipales I Esfuerzos Cortantes m7imos $as e%ua%iones de transforma%i&n para esfuerzo plano muestran .ue los esfuerzos normales s71 y los esfuerzos %ortantes t71 y1 var,an %ontinuamente %onforme se giran los e0es a travDs de un ngulo u- Esta varia%i&n se representa para una %om+ina%i&n parti%ular de esfuerzos- 4or e0emplo' las fallas por fatiga de estru%turas %omo m.uinas y aeronaves a menudo se aso%ian %on los esfuerzos m7imos' y de a.u, .ue sus magnitudes y orienta%iones se de+an determinar %omo parte del pro%eso de dise*o σ 1,2 =

σx −σ y 2

∓

√

(

σ x −σ y 2

2

) + τxy 2  E%ua%i&n 

;) CRCU$O @E :OPR 4A RA ESFUERZO 4$AO $as e%ua%iones de transforma%i&n para esfuerzo plano se pueden representar en forma gr2%a mediante un trazo %ono%ido %omo %,r%ulo de :o(rEsta representa%i&n gr2%a es muy 3til ya .ue permite visualizar las rela%iones entre los esfuerzos normales y %ortantes .ue a%t3an so+re varios planos in%linados en un punto de un %uerpo sometido a esfuerzos- Tam+iDn propor%iona un medio para %al%ular esfuerzos prin%ipales' esfuerzos %ortantes m7imos y esfuerzos so+re planos in%linados- Adems' el %,r%ulo de :o(r es vlido no s&lo para esfuerzos sino tam+iDn para otras %antidades de naturaleza matemti%a similar' in%luyendo deforma%iones unitarias y momentos de iner%ia-

$as e%ua%iones del %,r%ulo de :o(r se pueden dedu%ir a partir de e%ua%iones de transforma%i&n para esfuerzo plano- $asdos e%ua%iones se repiten a.u,' pero %on un rea%omodo ligero de la primera e%ua%i&n/ σ  Prom=

σx + σy 2

√

 R= (

σx −σy

σ 

¿

 Prom ¿ x 1− σ ¿  E%ua%i&n N

¿ ¿ ¿

2

2

) + τxy 2  E%ua%i&n M