ESFUERZOS TRANSMITIDOS O INDUCIDOS EN LA MASA DEL SUELO
POR: ARAUZ QUIMI MARVIN ARIAS FABRICIO BERMUDEZ JONATHAN DIAZ ACOSTA LUIGGI OCHOA WALTER
UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS Y FISICAS ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL
DOCENTE: ING. HUMBERTO GUERRERO
G-3A JUEVES, 27 DE JULIO 2017
Contenido INTRODUCCION ............................................................................................................................. 3 ESFUERZOS TRANSMITIDOS EN UNA MASA DEL SUELO ............................................................... 4 MÉTODO DE BOUSSINESQ ........................................................................................................ 6 ECUACION DE WESTERGAARD ................................................................................................ 10 METODO DE NEWMARK ......................................................................................................... 12 METODO DE FADUM ............................................................................................................... 18 SOLUCIÓN GRAFICA DE STEINBRENNER ................................................................................. 23 SOLUCIÓN GRAFICA DE FADUM.............................................................................................. 24 CONCLUSION ............................................................................................................................... 26 BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................. 27
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INTRODUCCION
El cálculo de asentamientos inmediatos, así como los que ocurren a largo plazo, requieren conocer los esfuerzos que una sobrecarga impuesta al suelo induce dentro de la masa del suelo. Por lo anterior se presentan las soluciones que se utilizan actualmente para determinar los esfuerzos dentro de la masa de suelo según sea la geometría de las cargas aplicadas.
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ESFUERZOS TRANSMITIDOS EN UNA MASA DEL SUELO
En un suelo real, evidentemente es imposible estudiar las fuerzas existentes en cada punto de contacto. Más bien es necesario emplear el concepto de esfuerzo. Aquí trataremos entender el concepto de esfuerzo tal como se aplica a los suelos, se comentan los esfuerzos que existen en una masa de suelo como resultado del peso propio y por efecto de las fuerzas aplicadas y por último se muestran algunas representaciones geométricas útiles del estado de esfuerzos en un punto de una masa de suelo. En la siguiente figura se muestra una pequeña celda de medición hipotética (elemento A) enterrada en una masa de suelo. Imaginemos que esta celda se ha colocado de tal forma que las partículas del suelo no se han desplazado. Los diagramas de la figura b representan las caras horizontales y vertical del elemento A, con las partículas de suelo que cargan sobre esas caras.
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Estas partículas ejercen generalmente fuerzas normales y tangenciales sobre dichas caras. Si cada cara es cuadrada, de lado a, podemos definir los esfuerzos que actúan sobre la celda por donde Nv y Nh representan respectivamente las fuerzas normales en direcciones vertical y horizontal; Tv y Th son respectivamente las fuerzas tangenciales en direcciones vertical y horizontal Ꝺv, Ꝺh, Tv y Th representan los esfuerzos correspondientes de esta manera hemos definido cuatro esfuerzos que al menos teóricamente pueden visualizarse y medirse directamente.
Este grafico muestra que la suma de las componentes normales al plano de todas
las fuerzas, dividida por el área del plano es el esfuerzo normal que actua sobre dicho plano
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MÉTODO DE BOUSSINESQ
Existen varios tipos de superficies cargadas que se aplican sobre el suelo. Para saber de que manera se distribuyen los esfuerzos aplicados en la superficie al interior de la masa de suelo se debe aplicar la solución del matemático francés Joseph Boussinesq (1883) quién desarrolló un método para el cálculo de incremento de esfuerzos (esfuerzos inducidos) en cualquier punto situado al interior de una masa de suelo.
La solución de Boussinesq determina el incremento de esfuerzos como resultado de la aplicación de una carga
puntualsobre la superficie de un semi-espacio
infinitamente grande; considerando que el punto en el que se desea hallar los esfuerzos se encuentra en un medio homogéneo, elástico e isotrópico.
Figura (b). Bulbo de presión para una fundación cuadrada (Coduto, 1998).
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La solución srcinal de Boussinesq (1885) para la determinación del incremento de esfuerzos en el punto A de la Figura, debido a una carga puntual P aplicada en la superficie; fue realizada inicialmente para el sistema de coordenadas polares
.
Para este sistema, el incremento de esfuerzos en el punto A es:
Figura Solución de Boussinesq para el sistema de coordenadas polares.
Posteriormente, estas ecuaciones fueron transformadas al sistema de coordenadas rectangulares, Fig., donde el valor de z es medido en forma descendente y es igual a la profundidad del plano horizontal que contiene al punto donde se calculan los esfuerzos, siendo x y y las dimensiones laterales. Las ecuaciones presentadas por Boussinesq para el cálculo de esfuerzos se presentan a continuación:
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Donde:
Coeficiente de Poisson referido a esfuerzos efectivos.
Figura. Solución de Boussinesq para el sistema de coordenadas rectangulares.
Las ecuaciones sirven para determinar el incremento de esfuerzos normales horizontales (esfuerzos laterales) y dependen del coeficiente de Poisson del medio; mientras que la ecuación dada para el incremento de esfuerzo normal vertical
es
independiente de tal coeficiente.
La ecuación puede rescribirse de la siguiente forma:
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Donde:
La variación de I1 para varios valores de r/z está dada por la siguiente Tabla.
TablaVariación de
para varios valores de
.
La siguiente Tabla muestra valores típicos para el coeficiente de Poisson de varios tipos de suelo.
Tabla Valores del coeficiente de Poisson para diferentes tipos de suelo
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ECUACION DE WESTERGAARD
Muchas de las soluciones obtenidas para las distribuciones de esfuerzos en suelos, se derivan de los trabajos de Boussinesq, quien en el año de 1885 desarrollo una expresión matemática para obtener el incremento de esfuerzos en una masa semiinfinita de suelo debido a la aplicación de una carga puntual en su superficie. Westergaard publicó en 1938 una fórmula que se considera se ajusta más a las condiciones elásticas de suelos estratificados. Supone que el suelo es una masa homogénea, elástica y reforzada por láminas horizontales, proponiendo la siguiente fórmula para determinar el incremento de esfuerzo vertical producido por una carga concentrada, aplicada en la superficie del suelo
Considerando el mismo criterio de aplicación de la carga y el incremento de esfuerzo que s toma con Boussinesq.
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Ejemplo Ecuación de Westergaard Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga puntual P=25 t. con x=1.0m y y=1.4m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.
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METODO DE NEWMARK Newmark (1942) en la universidad de Illinois (CHICAGO) desarrolló una carta de influencia que se usa para determinar la presión vertical en cualquier punto debajo de un área flexible uniformemente cargada de cualquier forma. A esta solución se la llama con el nombre de carta de NEWMARK.
El procedimiento para encontrar la presión vertical en cualquier punto debajo de un área cargada es el siguiente: 1.- caracteriza la carta de NEWMARK con la que se va a trabajar, que consiste en identificar el valor de la influencia y en identificar la referencia de escala (--------) que es la línea que representa la profundidad (z) a la cual se va a encontrar el incremento de esfuerzo. 2.- adoptada la profundidad z a la cual se va a encontrar el incremento de esfuerzo vertical, la línea de referencia se volverá igual a la profundidad (z) tomada de acuerdo a esto quedara definida la escala del procedimiento.
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3.- se deberá dibujar la fundacio en planta de acuerdo a la escala definida en el paso anterior, para luego colocar este esquema a escala sobre la carta de NEWMARK, haciendo coincidir el punto bajo el cual se desea encontrar el incremento de esfuerzo con el centro de la carta de NEWMARK, tal y como muestra en la figura, para el caso del incremento de esfuerzo en el centro de la fundación o la figura (a) y para el caso del incremento de esfuerzo en la esquina de la cimentación el (b)
4.- finalmente se contaran cuantos cuadros quedan dentro del esquema de la caraga sumando se los cuadros completos y las fracciones de recuadros con el cuidado de una buena apreciación. De acuerdo al anterior procedimiento descrito, el valor del incremento de esfuerzo vertical en un punto cualquiera bajo la carga, a una profundidad (z) dada se definirá como:
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CONST RUCCI ON DE LA CARTA DE NE WMARK A partir de la solución para la carga uniformemente distribuida de forma circular podemos obtener que la relación R/Z es igual a
Luego si se asume una escala cualquiera para la unidad, se deberá graficar como radios de círculos concéntricos todos los valores de R/Z obtenidos, de acuerdo a la escala seleccionada tal y como muestra la figura. 14
Se coloca una línea de longitud de una unidad, según la escala escogida, que representara la profundidad (z) con la cual se está trabajando con la carta de NEWMARK, finalmente se divide la carta en cuadros que se desea formar (de forma simétrica) y se coloca un recuadro que delimitara la carta como se muestra en la figura:
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El número de cuadros en los cuales se dividió la carta de NEWMARK construida, definirá el valor de la influencia (V) según la siguiente ecuación:
La sección transversal y la planta de la zapata de una columna se muestran en la figura 5.25. Encuentre el incremento en el esfuerzo producido por la zapata de la columna en el punto A.
Solución El punto A está localizado a una profundidad de 3 m bajo el fondo de la zapata. La planta de la zapata cuadrada ha sido redibujada a una escala de AB = 3 m y colocada sobre la carta de influencia (figura 5.26) de manera que el punto A sobre la planta queda directamente sobre el centro de la carta. El número de elementos dentro del contorno de la planta es aproximadamente de 48.5. Por consiguiente,
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METODO DE FADUM Fadum, Desarrolla en 1941 un método gráfico (semi logarítmico) que permite obtener los incrementos de esfuerzos en el suelo, considerando los criterios de Boussineq Existen tres tipos de cargas: LINEAL
RECTANGULAR
TRIANGULAR
Este método aplica para los tres tipos de carga El incremento o variación de los esfuerzos en el suelo se lo determina por la siguiente formula:
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Donde: p: carga lineal distribuida a lo largo del eje y z: profundidad del rectángulo po: peso cero o valor de influencia Para determinar po utilizamos la siguiente formula:
Abreviando
Expresándose la fórmula para una carga rectangular:
Abreviando
Donde existen dos parámetros que son: m y n que se las haya con las siguientes formulas:
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Donde: x: el ancho del rectángulo y: largo del rectángulo z: profundidad del rectángulo Debemos tener él cuenta que el valor de influencia lo podemos obtener directamente en la carta de Fadum, al igual que los parámetros.
Ejemplo de aplicación Determine el incremento de esfuerzo vertical causado en la esquina de la carga rectangular
Datos Δσz
= W x Wo
W = 20 ton/m 2 x = 3/2 m y=6m z=3m
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Resolución
m=
=
n = =
1,5 3
6 3
= 0,5
=2
Utilizando la gráfica de Fadum obtenemos: Wo = 0,135 Teniendo ya Wo procedemos a calcular el esfuerzo Δσz
= W x Wo
Δσz = 20
Δσz =
x 0,135
2,7 ton/m2
INCREMENTO DE ESFUERZO
Parámetro m
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SOLUCIÓN GRAFICA DE STEINBRENNER En este mismo caso existe el método de Steinbrenner, que presenta un mejor modelo del incremento de esfuerzos en el suelo a cualquier profundidad, con la siguiente ecuación
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SOLUCIÓN GRAFICA DE FADUM Desarrolla en 1941 un método gráfico (semi logarítmico) que permite obtener los incrementos de esfuerzos en el suelo, considerando los criterios de Boussineq, en medio semiinfinito, homogéneo, isótropo y elástico, a través de las ecuaciones presentadas en forma adimensional introduciendo los parámetros
Expresándose la fórmula para una carga lineal:
Abreviando
Expresándose la fórmula para una carga rectangular:
Abreviando
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Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado en la esquina de una carga rectangular de w=20 t/m2 . con x=2.0m y y=4.0m, a una profundidad de 2m.
Como se puede observar el incremento de esfuerzo vertical, es el siguiente:
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CONCLUSION
La distribución de esfuerzo en una masa de suelo producido por la aplicación de cargas, depende del espesor y de la uniformidad de la masa de suelo, así como del tamaño y la forma del área cargada y de las propiedades esfuerzo deformación. Se puede obtener una estimación adecuada de los esfuerzos producidos en una masa de suelo por las cargas aplicadas, a través de la teoría elástica siempre y cuando el esfuerzo sea proporcional a la deformación. La mayoría de las soluciones de los métodos explicados hacen la suposición de que el suelo es homogéneo e isótropo; sin embargo, el suelo muy difícilmente cumple con esas condiciones, por lo que los resultados que se deriven de dicha teoría se deben de emplear conjuntamente con el criterio personal para calcular la distribución de esfuerzos en la masa de suelo.
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BIBLIOGRAFIA
Donald, W. Taylor. (1961) Principios Fundamentales de
Mecánica de Suelos. México: Compañía Editorial Continental S.A.
Braja, M. Das. (2001) Fundamentos de Ingeniería Geotécnica. México: Thomson Learning.
Medrano, Castillo. Rodolfo. (2008) Mecánica de suelos II.
México: Tehuacán
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