Esfuerzos en Un Plano

Esfuerzos en un plano d A n

d sen  

n 

 

xy

d cos  

y

a

x

xy

b

Fig. 1 a) Elemento Elemento de un suelo bajo esfuerzos b) Diagrama de cuerpo libre EFB

Suma de fuerzas en el eje N σn d A – σx (d A sen )

sen  – σy (d A cos ) cos  – xy (d A sen ) cos  – xy (d A cos ) sen  = 0

σn d A – σx d A sen2  – σy d A cos2  – 2xy d A sen  cos  σn – σx sen2  - σy cos2  – 2xy sen  cos 

=0

=0

σn = σx sen2  + σy cos2  + 2xy sen  cos 

(a)

Suma de fuerzas en el eje T n d A + σx (d A sen )

cos  – σy (d A cos ) sen  – xy (d A sen ) sen  + xy (d A cos ) cos  = 0

n d A + σx d A sen  cos  – σy d A cos  sen  – xy d A sen2  + xy d A cos2  = n + σx sen  cos  – σy cos  sen  – xy sen2  + xy cos2  = n + (σx – σy)

0

0

sen  cos  – xy sen2  + xy cos2  = 0

n = – (σx – σy)

sen  cos  + xy sen2  – xy cos2  

(b)

MI Araceli Aguilar Mora Mecánica de suelos II con laboratorio 1

Utilizando las siguientes identidades trigonométricas: 1 2  sen    (1  cos 2 ) 2 1 2 cos    (1  cos 2 ) 2 1  sen  cos     sen2  2 Sustituyendo las identidades en (a) se tiene:  1 1    1 1    1    n    x   cos 2      y   cos 2    2  xy   sen2    2 2    2 2    2    n 

  x



2

  x 2

cos 2  

  y 2



  y 2

cos 2     xy sen2 

   x    y      y     x      cos 2     xy sen2       2 2        

 n   

(1)

Sustituyendo las identidades en (b) se tiene: n = – (σx - σy)

sen  cos  + xy sen2  – xy cos2  

 1    1 1    1 1    sen2        cos 2        cos 2    2    2 2    2 2  

   (     ) n

 n 

 x

  y

 y

 sen2  

2

(b)

 xy

  x 2

sen2  

  xy 2

 xy



  xy 2

cos 2  

  xy 2



  xy 2

cos 2 

         sen2     cos 2  2    

 n  

 y

(2)

 x

xy

De esta ecuación podemos obtener el ángulo en el cual el esfuerzo cortante vale cero   xy    y    x    sen2    sen2    xy cos 2   cos 2    y    x   2   2 tan 2  

  xy   y    x

2 

 tan 1

2  xy 

 y     x 

(3)

2

Los esfuerzos principales se obtienen sustituyendo en la ecuación 1 los valores de sen 2  y cos 2 Para 1

MI Araceli Aguilar Mora Mecánica de suelos II con laboratorio 2

         2  y

 sen2 

  xy



         2  y

Para

cos 2 

2

 x

     2  



         2  y

 xy

 x

 x

    

2

     2  

 xy

3

          2  y

 sen2 

  



 xy

         2  y

cos 2 

2

 x

     2  



         2  y

 xy

 x

 x

    

2

     2  

 xy

Sustituyendo en la ecuación 1 2

   x    y      1     2    

  y     x        2 xy      2  

   x    y      3     2    

  y     x         2 xy      2  

 max

          2  y

 x

(4)

2

(5)

2

     2  

 xy

(6)

Como un caso especial, si los planos AB y AD son los principales

  1   3     1   3     cos2  2 2        

 n  

(7)

MI Araceli Aguilar Mora Mecánica de suelos II con laboratorio 3

  1   3   sen2    2  

 n  

   45 

 

(9)

2

tf  = c +  tan     

 1   3 tan2  45 

(10)   

       2c tan 45   2  2   

tf  = c + ´ tan  (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)

(8)

(11)

(12)

Esfuerzo normal en el plano inclinado EF (ángulo  Esfuerzo cortante en un plano inclinado EF (ángulo  Angulo de inclinación de los esfuerzos principales Esfuerzo principal máximo Esfuerzo principal mínimo Esfuerzo cortante máximo Esfuerzo normal en el plano inclinado EF (ángulo  cuando xy = 0 Esfuerzo cortante en un plano inclinado EF (ángulo  cuando xy = 0 Ángulo del plano de falla Criterio Mohr Coulomb Relación de esfuerzos principales Ley de falla en suelos saturados

MI Araceli Aguilar Mora Mecánica de suelos II con laboratorio 4