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ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO Ing. William Rodríguez Serquén.
ECUACIONES BASICAS DE LA TEORIA ELASTICA.‐
Fig. B. Esfuerzos en una masa elástica.
…(D) Con: A, B y D, resultan
Fig. A. Desplazamientos y deformaciones elásticas
Las Ecuaciones de Navier:
Las componentes del tensor de deformaciones:
…(E) …(A) La deformación unitaria de volumen:
El problema de Boussinesq: Dada una carga sobre la superficie de una masa elástica, semi‐infinita, elástica, isotrópica y homogénea, hallar los esfuerzos en el interior de la masa de suelo.
La Ley de Hooke en tres dimensiones:
…(B) Las constantes de Lamé (l), Módulos de Young (E) y Poisson (n):
Fig. C. Carga aplicada sobre una masa de elástica. La solución de Boussinesq:
…(C) Las Ecuaciones de equilibrio:
Para cargas sobre la superficie de una masa elástica, el método de Boussinesq, consiste en introducir una función potencial F: Los desplazamientos en función de F
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…(F) Reemplazando (F) en (E), resulta La ecuación de Laplace:
…(G) Ahora la solución consiste en hallar la función F, que
Fig. D. Carga concentrada aplicada a una masa elástica. El valor de la función F:
satisfaga la Ec. de Laplace. Para carga concentrada Boussinesq propone:
Con las Ecs. (A), (B) y (G), resultan Los esfuerzos normales en una masa de suelo:
…(J)
La cual será válida si además de la Ec. de Laplace, se cumple: ..(H) Y los esfuerzos cortantes en una masa de suelo: Se deriva la función F:
…(I) De las dos últimas dos ecuaciones se obtiene:
Lo que significa que en la superficie no hay cortantes horizontales.
…(K) Los valores de (K), van a (H), y se obtiene para el esfuerzo szz: El esfuerzo vertical szz = tzz vale
Caso de carga concentrada.‐ …(L) Donde R = L, en Fig. (D): Esfuerzo que satisface:
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Con la Ec. (F) se obtiene las deformaciones en z:
…(2) Como =
…(3)
Resulta la
Donde
Ecuación del asentamiento en una masa de elástica: Para z = 0:
…(M) La Ec. (3) se transforma en: Esfuerzos debido a carga Puntual.‐ …(4) A partir de la Ec. (4) se pueden calcular: 1.1. La variación de esfuerzos con la profundidad 1.2. La variación de esfuerzos con la distancia. 1.3. El diagrama de isóbaras. 1. 1 Variación de esfuerzos con la profundidad.‐ En la Ec. (4), r = 0, para diversos valores de z.
Fig. 1. El problema de Boussinesq de carga puntual. Boussinesq en 1883, solucionó el problema hallando los esfuerzos normales y cortantes en todas las direcciones. Los esfuerzos normales valen:
Fig. 2. Variación del esfuerzo vertical con la profundidad. 1.2. Variación de esfuerzos con la distancia.‐ …(1)
En la Ec. (4), z = constante, para diversos valores de r.
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Fig. 3. Variación del esfuerzo vertical con la distancia. 1.3. Diagrama de isóbaras.‐ Representa el lugar geométrico, donde los esfuerzos son iguales. De la Ec. (4), se despeja r en función de z, para un esfuerzo constante.
Fig. 5. Diagrama de isóbaras para carga puntual, dibujado a escala.
Fig, 4. Diagrama de isóbaras.
Fig. 5.1 Diagrama de isóbaras para carga cuadrada y continua. 2. ESFUERZOS DEBIDO A CARGA LINEAL.‐ Se trata de calcular los esfuerzos que se producen en una masa de suelo debido a una carga lineal, aplicada en su superficie. Dados q, X, Y, Z, hallar el esfuerzo vertical.
ROBLEMA Nro o. 1 .‐ PR
5
Sii X = 3 m, Y = 4 m, Z = 5 m, q = 10 t/m2, calcular Dszz.
Fig. 6. 6 El problem ma de Boussineesq extendido o a carga lineaal. Se esstudia un elem mento diferen ncial, ubicando o la carga diferrencial, de tal manera que se s pueda Aplicar la ecuaaciñon de Bou ussinesq para carga c vertical.
SO OLUCION.‐ 1. 2. 3. 4.
Dond de:
La in ntegral resueltta vale:
…(5) Haciendo m = x/zz, n = y/z, la eccuación (5) se convierte en:
… …(6) o y graficado en e Lo que está entre corchetes ha sido tabulado ue se llama Grráfico de Fadu um. lo qu
X = ‐m = X/Z –n = Y/Z Y/ = De la gráfica g po = Sz = (q q/Z)*po =
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Fig. 8. Superficie rectangular uniformemente cargada. Se usa un elemento diferencial, y se ubica la carga diferencial de tal manera que se pueda ubicar la ecuación de Boussinesq para esfuerzo vertical.
La integral resuelta es:
…(7) Fig. 7. Gráfico de Fadum para carga lineal. 3. ESFUERZOS DEBIDO A SUPERFICIE RECTANGULAR UNIFORMEMENTE CARGADA.‐ Se trata de calcular los esfuerzos que se producen por acción de una superficie rectangular, cargada uniformemente sobre una masa elástica, tal como se muestra en la figura siguiente. Dados w, X, Y, Z, hallar el esfuerzo vertical.
Haciendo m = x/z, n = y/Z resulta:
…(8)
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La exxpresión wo fue graficada por p Ralph Fadum.
So olución.‐ 1. 2. 3. 4.
X = ‐m = X/Z ‐n = Y//Z = De la gráfica g wo = Dsz = (w)*wo ( =
Fig. 9. 9 Gráfico de Ralph R Fadum para superficie rectangularr unifo ormemente caargada. El prroceso de cálcculo será el sigguiente: 1. 2. 3.
m = x/z, n = y/z Del gráficco obtenemoss wo El esfuerzo vale sz= w*wo w
PROBLEMA Nro. 2 .‐ m Z = 5 m, w = 10 t/m2, ca alcular Dsz. Si X = 3 m, Y = 4 m,
Fig. 10. Ralph Fadum, de la U Universidad de e Harvard, 194 41. 4. ESFUERZO DEBIDO D A CAR RGA CIRCULAR R.‐ Se e determina el e esfuerzo en una masa de suelo,debido a un na carga circular w, de radio R, aplicada en la superficie, haaciendo un an nálisis de un elemnto difere encial:
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Fig. 12. Nathan. Mortimore Newmark de la universidad de Illinois, 1942. Ingeniero estrucutral, Medalla Nacional de ciencias para la ingeniería.
Fig. 11. Determinación del esfuerzo debido a carga circular a través de un elemento diferencial de análisis. 3
4.2 Entre dos circulos se puede formar una corona de carga, y se produce un esfuerzo de 0,1 w.
1 2
1
1
4.1 El esfuerzo que produce cada circulo de carga, formado con los radios de la tabla 1, vale 0.1 w.
/
4.3 Si se divide la corona formada en 20 partes iguales, el esfuerzo de cada segmento de corona vale =0,1w/20.
1 1
/
Ejemplo, para R/z = 0,27 sz = 0,1 w 4.
LA CARTA DE NEWMARK.‐
Para diversas relaciones de R/z, se encuentran los valores de esfuerzo sz /w: Tabla 1. sz /w 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
R/z 0,27 0,40 0,52 0,64 0,77 0,92 1,11 1,39 1,91 Infinito
R para z=5 cm 1,35 2,00 2,60 3,20 3,85 4,60 5,55 6,95 9,55 Infinito
Fig. 13. Corona circular de carga para la carta de Newmark.
Fig. 15. Esfuerzo producido por un segmento de corona de carga.
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Fig. 14. Determinación del esfuerzo producido por un segmento de corona de carga. 4.4 El esfuerzo producido por un segmento de corona vale: s z = 0,1/20 w s z = 0,005 w 4.5 El esfuerzo producido por una carga de forma irregular, se puede calcular, sumando los segmentos de corona contenidos en la superficie irregular: s z = 0,005* N* w N = número de segmentos dentro de la superficie de carga.
Fig. 16. Carta de Newmark y carga de forma irregular en la que se puede determinar el esfuerzo vertical, sumando los esfuerzos que produce cada segmento de corona contenido en el área irregular.
PROBLEMA Nro. 2 .‐ Si X = 2 m, Y = 2 m, Z = 5 m, w = 10 t/m2, calcular Dsz.
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Fig. 17. Determinación de la escala para convertir las medidas reales de la carga, en medidas para la carta de Newmark.
