E SFUERZ SFUERZO OS PRI PRI NCIPALE S EN UNA UNA VIG A: Se la viga AB donde hay una fuerza P, el momento momento cortante M y la flexión V, V, se determinara en una sección que pase el punto C.
Los esfuerzos que se ejercen sobre un pequeño elemento con caras perpendiculares a los ejes x y y, respectivamente, se reducen a los esfuerzos normales σm= Mc/I, si el elemento se encuentra en la superficie libre de la viga, y a los esfuerzos cortantes τm=VQ/It si el elemento está en la superficie neutral.
En cualquier punto de la sección transversal, un elemento de material está sujeto simultáneamente a los esfuerzos normales:
=
En donde y es la distancia a la superficie neutral e I el momento de inercia centroidal de la sección, y a los esfuerzos cortantes. En la cual Q es el primer momento sobre el eje neutral de la porción del área de la sección transversal localizada, sobre el punto donde se calculan los esfuerzos, y t es el ancho de la sección transversal en ese punto.
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Cuando:
=
En donde A es el área de la sección transversal y c la mitad del peralte de la viga; se tiene que.
Y que:
E jemplo: 2
Se aplica una fuerza de 160 kN, como se muestra en la figura, en el extremo de una viga de acero laminada W200x52. a) Determine si los esfuerzos normales en la viga satisfacen una especificación de diseño menor o igual que 150 MPa en la sección A´-A´.
Momentos cortantes y flexión en la sección A´A´
= (160)(0.375 ) =60 =160 E sfuerzos normales en el plano transversal:
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Se tiene el siguiente grafico
Desarrollo: Hallar σ a , σ b.
= ()()
60 . = = 51210− = 117.2 90. 4 = = (117.2 ) 103 = 102.9 σ a , σ b ,
<150 Mpa
E sfuerzos cortantes en el plano tangencial: 4
Punto a:
τ a =0
Q = 0,
Punto b:
Q = (204 x 12.6) (96.7) =248.6 x10 -3 mm3 =248x10-6 m3
−) (160)(248. 6 10 = = (52.7 10−)(0.0079) = 95.5 E sfuerzos principales en el punto b:
Circunferencia de mohr:
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DISEÑO DE EJES DE TRANSMISIÓN: Las fuerzas ejercidas sobre los dientes de los engranes son equivalentes a sistemas de pares de fuerzas aplicados en los centros de las secciones transversales correspondientes. Esto significa que el eje está sometido a una carga transversal y a una carga de torsión.
Los esfuerzos cortantes producidos en el eje por las cargas transversales por lo general son mucho más pequeños que los provocados por los pares de torsión, por lo cual no se incluirán en este análisis. Sin embargo, los esfuerzos normales debidos a las cargas transversales, pueden ser muy grandes y, como verá, debiera tomarse en cuenta su contribución al esfuerzo cortante máximo τ máx. Hay que considerara la sección transversal del eje en algún punto C . Se representa el par de torsión T y los pares de flexión M y y M z que actúan, respectivamente, en un plano horizontal y en otro vertical por medio de los vectores. El Objetivo de calcular los esfuerzos normales σ m
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Se encuentra así que σ x es máximo al final del diámetro perpendicular al vector que representa a M.
Al recordar que los valores de los esfuerzos normales en ese punto son, respectivamente, σm = Mc/I y cero, mientras que el esfuerzo cortante es τm =Tc/J , se grafican los puntos correspondientes X y Y en un diagrama de círculo de Mohr y se determinan los vaolres de los esfuerzos cortantes maximos
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Y, como se vio, para una sección transversal circular o anular, 2I = J , queda
Se deduce que la razón mínima permisible J/c para la sección transversal de la viga es:
En donde el numerador del miembro del lado derecho de la expresión obtenida representa el valor máximo en el eje, y τ perm es el esfuerzo cortante permisible. Al expresar el momento flexionante M en términos de sus componentes en los dos planos coordenados, se puede escribir:
√ +
La determinación del máximo valor
+ + se facilitará si se dibujan los
diagramas del momento flexionante que corresponden a My y a Mz, así como un tercer diagrama que represente los valores de T a lo largo del eje.
PROBLEMA:
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SOLUCIÓN: a) Pares de torsión ejercidos sobre los engranes. :( 1 revolución por minuto = 0.0167 Hertz), entonces: f = 480 rpm, = 8 Hz y se determina el par de torsión ejercido sobre el engrane E :
30 = 2 = 2(8) = 597 La fuerza tangencial de engrane es: =3.73 = = 597 0.16 Análisis de engranajes C y D:
= 398 = () 398 = = 0.06 =6.63 9
10 = 2(8) = 199 =2.49 = = 199 0.08
Representado en el sistema equivalentes de pares de fuerza:
Sección transversal crítica. Al calcular
+ + en todas las secciones
potencialmente críticas, se encuentra que su valor máximo ocurre justo a la derecha de D:
+ + max = (1160) + (373) + (597) = 1357 .
Diámetro del eje: τ perm = 50 Mpa
+ + ) ( = 1357 − = = 27. 1 4 10 τperm 50 10
Para un eje solido circular de radio c se tiene:
= = 27.14 10− 2 c=0.02585m = 25.85mm
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