UNIVERISDAD NACIONAL EXPERIMENTAL ³FRANCISCO DE MIRANDA´ AREA DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE ING. MECANICA
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES: ESFUERZOS EN VIGAS.
INTEGRANTES: JOSEPH CHIRINO C.I._18.770.428 GUILLERNI PEREZ C.I._18.480.467
PUNTO FIJO, JULIO DEL 2010
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Vigas:
En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal. El esfuerzo de flexión provoca tensiones de tracción y compresión, produciéndose las máximas en el cordón inferior y en el cordón superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes. También pueden producirse tensiones por torsión, sobre todo en las vigas que forman el perímetro exterior de un forjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prisma mecánico.
Esfuerzos:
Los esfuerzos internos sobre una sección transversal plana de un elemento estructural se definen como un conjunto de fuerzas y momentos estáticamente equivalentes a la distribución de tensiones internas sobre el área de esa sección. Así, por ejemplo, los esfuerzos sobre una sección transversal plana de una viga es igual a la integral de las tensiones t sobre esa área plana. Normalmente se distingue entre los esfuerzos perpendiculares a la sección de la viga (o espesor de la placa o lámina) y los tangentes a la sección de la viga (o superficie de la placa o lámina): y
y
Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones normales , es decir, perpendiculares, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo normal. Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones cortantes , es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Esfuerzos en vigas:
Teorema de Euler-Bernoulli
La teoría de vigas es una parte de la resistencia de materiales que permite el cálculo de esfuerzos y deformaciones en vigas. Si bien las vigas reales son sólidos deformables, en teoría de vigas se hacen ciertas simplificaciones gracias a las que se pueden calcular aproximadamente las tensiones, desplazamientos y esfuerzos en las vigas como si fueran elementos unidimensionales.
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Los inicios de la teoría de vigas se remontan al siglo XVIII, trabajos que fueron iniciados por Leonhard Euler y Daniel Bernoulli. Para el estudio de vigas se considera un sistema de coordenadas en que el eje X es siempre tangente al eje baricéntrico de la viga, y los ejes Y y Z coincidan con los ejes principales de inercia. Los supuestos básicos de la teoría de vigas para la flexión simple de una viga que flecte en el plano XY son: 1. Hipótesis de comportamiento elástico. El material de la viga es elástico lineal, con módulo de Young E y coeficiente de Poisson despreciable. 2. Hipótesis de la flecha vertical. En cada punto el desplazamiento vertical sólo depende de x: u y (x, y) = w(x). 3. Hipótesis de la fibra neutra. Los puntos de la fibra neutra sólo sufren desplazamiento vertical y giro: u x (x, 0) = 0. 4. La tensión perpendicular a la fibra neutra se anula: yy = 0. 5. Hipótesis de Bernouilli. Las secciones planas inicialmente perpendiculares al eje de la viga, siguen siendo perpendiculares al eje de la viga una vez curvado. Las hipótesis (1)-(4) juntas definen la teoría de vigas de Timoshenko. La teoría de EulerBernouilli es una simplificación de la teoría anterior, al aceptarse la última hipótesis como exacta (cuando en vigas reales es sólo aproximadamente cierta). El conjunto de hipótesis (1)(5) lleva a la siguiente hipótesis cinemática sobre los desplazamientos:
Deformaciones y tensiones en vigas:
Si se calculan las componentes del tensor de deformaciones a partir de estos desplazamientos se llega a:
A partir de estas deformaciones se pueden obtener las tensiones usando las ecuaciones de Lamé-Hooke, asumiendo yy = 0, zz = 0:
Donde E es el módulo de elasticidad longitudinal, o módulo de Young, y G el módulo de elasticidad transversal. Es claro que la teoría de Euler-Bernoulli es incapaz de aproximar la energía de deformacion tangencial, para tal fin debera recurrirse a la teoría de Timoshenko en la cual:
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Esfuerzos internos en vigas:
a partir de los resultados anteriores y de las ecuaciones de equivalencia pueden obtenerse sencillamente el esfuerzo normal, el esfuerzo cortante y el momento flector al que está sometida una sección de una viga sometida a flexión simple en la teoría de Euler-Bernouilli:
Donde: A área de la sección transversal, I z el momento de inercia según el eje respecto al cual se produce la flexión. La última de estas ecuaciones es precisamente la ecuación de la curva elástica, una de las ecuaciones básicas de la teoría de vigas que relaciona los esfuerzos internos con el campo de desplazamientos verticales.
Ecuaciones de equilibrio:
Las ecuaciones de equilibrio para una viga son la aplicación de las ecuaciones de la estática a un tramo de viga en equilibrio. Las fuerzas que intervienen sobre el tramo serían la carga exterior aplicada sobre la viga y las fuerzas cortantes actuantes sobre las secciones extremas que delimitan el tramo. Si el tramo está en equilibrio eso implica que la suma de fuerzas verticales debe ser cero, y además la suma de momentos de fuerza a la fibra neutra debe ser cero en la dirección tangente a la fibra neutra. Estas dos condiciones sólo se pueden cumplir si la variación de esfuerzo cortante y momento flector están relacionada con la carga vertical por unidad de longitud mediante:
Cálculo de tensiones en vigas:
El cálculo de tensiones en vigas generalmente requiere conocer la variación de los esfuerzos internos y a partir de ellos aplicar la fórmula adecuada según la viga esté sometida a flexión, torsión, esfuerzo normal o esfuerzo cortante. El tensor tensión de una viga viene dado en función de los esfuerzos internos por:
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Donde las tensiones pueden determinarse, aproximadamente, a partir de los esfuerzos internos. Si se considera un sistema de ejes principales de inercia sobre la viga, considerada como prisma mecánico, las tensiones asociadas a la extensión, flexión, cortante y torsión resultan ser:
Donde: son las tensiones sobre la sección transversal: tensión normal o perpendicular, y las tensiones tangenciales de torsión y cortante. , son los esfuerzos internos: esfuerzo axial, momentos flectores y bimomento asociado a la torsión. , son propiedades de la sección transversal de la viga: área, segundos momentos de área (o momentos de inercia), alabeo y momento de alabeo. Las tensiones máximas sobre una sección transversal cualquiera de la viga pueden a su vez ser calculadas en términos de estas componentes del tensor tensión:
En vigas metálicas frecuentemente se usa como criterio de fallo el que en algún punto la tensión equivalente de Von Mises supere una cierta tensión última definida a partir del límite elástico, en ese caso, el criterio de fallo se puede escribir como:
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Ecuación de la elástica:
La ecuación de la elástica es la ecuación diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elástica. Concretamente la ecuación de la elástica es una ecuación para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la forma curvada o flectada final. Para una viga de material elástico lineal sometido a pequeñas deformaciones la ecuación diferencial de la elástica viene dada por:
(1) Donde: representa la flecha, ordenada (eje y) o desplazamiento vertical, respecto de la posición sin cargas. la abcisa (eje X) sobre la viga. el momento flector sobre la absciza . el segundo momento de área o momento de inercia de la sección transversal. el módulo de elasticidad del material. La ecuación (1) constituye sólo una aproximación, en la que se ha supuesto que las deformaciones son muy pequeñas con respecto a las dimensiones de la viga y, por tanto, se ha aproximado el giro de una sección de la viga con la derivada primera de la flecha. Para deformaciones mayores se obtiene la ecuación más exacta (1'):
(1') La ecuación de la elástica (1) puede ser reescrita en función de la carga distribuida q(x) sobre la viga:
(2) Esta última ecuación es interesante porque su generalización a elementos bidimensionales es precisamente la ecuación fundamental de gobierno de placas o ecuación de Lagrange para placas delgadas:
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Donde D = EI pl es la rigidez de una placa delgada en flexión. Ejemplo
Viga deformada por flexión:
Para una viga elástica en la que se aplican sólo momentos M 1 y M 2 , la forma de la curva elástica depende sólo de dos parámetros independientes, la forma aproximada de la deformada dependerá del valor y signo relativo de estos momentos, siendo un caso típico el mostrado en la figura adyacente. Escribiendo la ley de momentos flectores para los puntos intermedios de la viga y escogiendo las condiciones de contornos llegamos a la ecuación diferencial siguiente:
La solución analítica de ecuación anterior con cualquiera de los dos posibles elecciones de contorno, se obtiene como:
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Cálculo de deformaciones en vigas:
Método de integración:
Este método consiste en la integración de la ecuación descrita en la sección anterior. Es necesario obtener primero la ley de variación del momento flector para la viga estudiada, tal como se hizo en el ejemplo anterior. Una vez conocida la ley de momentos flectores, se procede por integración directa. Si se conoce para un punto concreto, digamos por ejemplo x = a, el desplazamiento vertical y el ángulo girado por la curva elástica alrededor de ese punto respecto a la posición original el resultado de la deformación el resultado de la integración directa es simplemente[1]
El llamado método del área-momento, es en realidad una versión en términos geométricos del método de integración. De acuerdo con esta versión la doble integral en la ecuación anterior puede calcularse del siguiente modo: 1. Se calcula la superficie del área bajo la curva M z /EI. 2. Se calcula la distancia centroide del área anterior medida a partir del eje de la viga. 3. La segunda integral buscada es el producto de las dos magnitudes anteriores
Método de superposición:
El método de superposición usa el principio de superposición de la teoría de la elasticidad lineal. El método de superposición consiste en descomponer el problema inicial de cálculo de vigas en problemas o casos más simples, que sumados o "superpuestos" son equivalentes al problema original. Puesto que para los casos más sencillos existen tablas y fórmulas de pendientes y deformaciones en vigas al descomponer el problema original como combinaciones de los casos más simples recogidos en las tablas la solución del problema puede ser calculada sumando resultados de estas tablas y fórmulas.
Ecuaciones de la estática.
Consideremos un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas. Según la ley de Newton se cumplirá: F = ma. Si el cuerpo no se mueve, la ecuación anterior valdrá cero, esto es F = ma = 0. Esta ecuación se cumplirá en todas las direcciones. En un 8
sistema plano las dos direcciones principales son la horizontal y la vertical, luego: F H = 0 y F V = 0 Pero para que un cuerpo no se mueva no es suficiente que se cumpla la ecuación anterior, como se puede comprobar al aplicar a un cuerpo un par de fuerzas. Es necesario que se cumpla también que M = 0 En resumen, para garantizar que un cuerpo no se mueve es necesario que se cumplan las 3 ecuaciones anteriores que reciben el nombre de Ecuaciones de la Estática: y y y
1ª ecuación: F H = 0 2ª ecuación: F V = 0 3ª ecuación: M = 0
Tipos de apoyos en vigas
Articulación móvil.
La vamos a representar por un carro con dos ruedas. En una articulación móvil solamente existe una reacción que es perpendicular al plano de apoyo, puesto que para equilibrar la fuerza horizontal el carro se mueve y para equilibrar el momento la barra gira. La articulación móvil también se puede representar tal como se indica en la figura:
Articulación fija:
La vamos a representar por un carro sin ruedas. En este tipo de articulaciones existen dos reacciones, una paralela y otra perpendicular al plano de apoyo, aunque realmente lo que existe es una reacción inclinada a la que descompongo en dos perpendiculares. La articulación fija se suele representar también como se indica en la figura.
Empotramiento:
Consiste en una viga introducida en una pared. Supongamos que la viga está sometida a dos cargas Q1 y Q2 . A causa de estas acciones, en el empotramiento aparecen unas reacciones que tienen la forma de la figura y cuyas resultantes anulan a Q1 y Q2 . Como si tomamos momentos respecto al punto de corte de las reacciones en el empotramiento, aparece un momento (momento M en el empotramiento) de valor M = Q1 × d. En un empotramiento se puede decir que existe una reacción R desviada, la cual trasladada al empotramiento equivale a dos fuerzas y un momento. 9
Cálculo de las reacciones en los apoyos:
Consiste en aplicar las ecuaciones de la Estática para el cálculo de las reacciones en los apoyos.
Flexión pura:
Sea la
viga de la figura, los diagramas de solicitaciones son los que se muestran a continuación:
Un pura existe
trozo de viga se dice que trabaja a flexión cuando en cualquier sección de ese trozo solo momento flector.
Un simple existe
trozo de viga se dice que trabaja a flexión cuando en cualquier sección de ese trozo momento flector y esfuerzo cortante.
Un trozo de viga se dice que trabaja a flexión compuesta cuando en cualquier sección de ese trozo existe momento flector, esfuerzo cortante y esfuerzo normal.
Hipótesis de Navier o de secciones planas:
Para el estudio dela flexión pura, vamos a plantear la siguiente hipótesis de Navier: ³Las secciones planas y perpendiculares al eje de la viga antes de la deformación, siguen siendo planas y perpendiculares al eje de la viga después de la deformación´. Planteada esta hipótesis, vamos a ver como se deforma el trozo de viga comprendido entre las secciones 1-1 y 2-2. Se observa que hay fibras tales como las de arriba que se acortan y otras tales como las de abajo que se alargan. También existen un conjunto de fibras que ni se acortan ni se alargan. A éstas se las llama fibras neutras. Todas las fibras neutras forman la superficie neutra de la viga.
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Se llama línea neutra de una sección, a la intersección de esa sección con la superficie neutra. Se puede demostrar que la línea neutra pasa por el c.d.g. de la sección. Tomemos un trozo de viga que antes de deformarse mida la unidad. Después de la deformación solo la fibra neutra continuará midiendo la unidad. Una fibra situada a una distancia y, por debajo de la fibra neutra, medirá más de la unidad, puesto que está traccionada, y su alargamiento será el alargamiento unitario . En la figura:
Para un radio de curvatura dado, el alargamiento de una fibra es proporcional a la distancia de una fibra a la fibra neutra.
Diagrama de y para una sección de la viga.
El diagrama de es triangular siempre que se cumplan las hipótesis de secciones planas. Si se cumple la ley de Hooke, el diagrama de será triangular como el de , dado a que se obtiene a partir del diagrama de , ya que = / E .
Fórmula de NAVIER:
Supongamos que el material sigue las hipótesis de Navier y la ley de Hooke. Entonces el diagrama de es triangular.
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A partir de esta figura, podemos obtener:
; de donde:
Si M es el momento flector que actúa en una sección de la viga e I LN es el momento de inercia de esa sección respecto a la línea neutra, se cumple:
; por tanto
En la fórmula se ve que el signo de depende del de M e y, ya que I LN no tiene signo. El signo de M ya hemos visto en temas anteriores cuándo es positivo (+) o negativo (-). Respecto al signo de y, tenemos que: y es positivo para puntos situados por debajo de la línea neutra, y es negativo para puntos situados encima de la línea neutra.
Módulo resistente:
Se ha visto que:
, donde:
M = Momento flector W = módulo resistente de la sección. Las unidades de W son L 3. Cuando la sección es simétrica respecto de la LN, entonces existe un único W, en el caso de que la sección sea asimétrica, existirán dos módulos resistentes. EJEMPLO 1: Módulo resistente de la sección rectangular. Cuando la sección es simétrica respecto de la línea neutra (LN), existen un único módulo resistente, y su valor es:
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EJEMPLO 2: Módulo resistente de la sección triangular. Cuando la sección es asimétrica respecto de la línea neutra (LN), existen dos módulos resistentes, sus valores son:
Curvatura de una viga en función del momento flector.
Se ha visto que:
; pero
luego
Secciones ideales de la flexión.
Si el material resiste igual a tracción que a compresión, el mejor tipo de sección es la simétrica respecto de la LN. Si no sucediera así, el mejor tipo de sección sería la asimétrica respecto de la LN (p. ej.: la triangular). EJEMPLO: Supongamos que el material es hormigón, que resiste poco a tracción. De las dos posibilidades que hay de poner la viga (ver figura), es preferible la de la izquierda, ya que para un momento flector positivo los puntos que van a trabajar a tracción son los de abajo, y en ellos v es menor y, por tanto, W mayor. Siempre se ha de procurar utilizar vigas con gran módulo resistente, ya que para una tensión de trabajo dada, mayor será el momento flector que puede soportar la sección. Dado que en la fórmula del módulo resistente W interviene I LN , e interesa que sea grande, se deduce que conviene que el material de la sección esté alejado de la LN. Esto se comprueba comparando dos secciones de igual área (y por tanto, igual peso y coste), de manera que una sea cuadrada y la otra rectangular.
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Como h > a, se deduce que W rect > W cuaVeamos cómo se puede mejorar el W de la sección rectangular conservando el mismo área y la misma altura. El módulo resistente W depende de I LN y de v. Como v va a permanecer constante, la única forma de mejorar W es aumentando I LN . Para ello quitamos material por el centro y lo situamos alejado de la LN. Como se ve, se obtiene la sección doble T, que a igualdad de peso con la rectangular tiene mayor W. Conviene que el material se encuentre lejos de la LN, ya que el que se encuentra cerca es poco eficaz porque está trabajando por debajo de las posibilidades del material.
Círculo de Morh de un punto de una sección de la viga:
Sea la viga de la figura. Cortando por la sección 1-1 y quedándonos con la parte izquierda, en el punto a existirá una s a y una t a. Aislando un elemento infinitesimal alrededor del punto a y representando las tensiones a las que está sometido, tendremos:
Estudio del círculo de Morh del punto a.
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Estudio del círculo de Morh del punto b.
Estudio del círculo de Morh del punto c.
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