CAPÍTULO 10 10.6 Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler Analizar y dar las ecuaciones polares de las cónicas. Entender y eplear las leyes del o!iiento planetario de Kepler. Ecuaciones polares de las cónicas En este capítulo se ha visto que las ecuaciones rectangulares de elipses e hipérbolas adquieren form formas as simp simple less cuand cuando o sus cent centros ros se encuentran en el origen. Sin embargo, existen muchas aplicaciones importantes de las cónicas en las cuales resulta más conveniente usar uno de los focos como punto de referencia referencia (el origen origen del sistema de coordenadas. !or e"emplo, e"emplo, el Sol se encuentra encuentra en uno de los focos de la órbita de la #ierra$ la fuente de lu% en un reflector parabólico se encuentra en su foco. En esta sección se verá que las ecuaciones polares de las cónicas adoptan formas simples si uno de los focos se encuentra en el polo. El teorema siguiente usa el concepto de excentricidad , definido en la sección &'.&, para clasificar los tres tipos básicos de cónicas. En el apéndice se da una demostración de este teorema.
E"ploración# Representación gráfica de cónicas
En una herramienta de graficación elegir el modo polar e introducir ecuaciones polares de la forma a a r= o r = 1 ±bcosθ
1 ± bsen bsenθ θ
Si a ≠ 0, la gráfica será una cónica. )escribir los valores de a * b que generan parábolas. +ué valores generan elipses- +ué valores generan hipérbolas-
TEO$E%A 10.16 CLA&'('CAC')* +E LA& C)*'CA& +E ACUE$+O CO* LA E,CE*T$'C'+A+ Sean F un punto fi"o ( foco * D una recta fi"a ( directriz en el plano. Sean P otro punto en el plano * e (excentricidad el cociente obtenido al dividir la distancia de P a F entre la distancia de P a D. El con"unto de todos los puntos P con una determinada excentricidad es una cónica. 1. a cónica es una elipse si 0
. a cónica es una hipérbola si e > 1 .
En la figura &'./0, obsérvese que en todos los tipos de cónicas el polo coincide con el punto fi"o (foco que se da en la definición. a venta"a de esta ubicación se aprecia en la demostración del teorema siguiente.
TEO$E%A 10.1/ ECUAC'O*E& POLA$E& +E LA& C)*'CA& a gráfica de una ecuación polar de la forma ed ed r= o r = 1 ±e cosθ cosθ
1 ±esenθ
es una cónica, donde e > 0 es la excentricidad * |d| es la distancia entre el foco, en el polo, * la directri% correspondiente.
)E12S#345678
En la figura &'./0, obsérvese que en todos los tipos de cónicas el polo coincide con el punto fi"o (foco que se da en la definición. a venta"a de esta ubicación se aprecia en la demostración del teorema siguiente.
TEO$E%A 10.1/ ECUAC'O*E& POLA$E& +E LA& C)*'CA& a gráfica de una ecuación polar de la forma ed ed r= o r = 1 ±e cosθ cosθ
1 ±esenθ
es una cónica, donde e > 0 es la excentricidad * |d| es la distancia entre el foco, en el polo, * la directri% correspondiente.
)E12S#345678
a siguiente es una demostración de r = ed /( 1 + ecosθ ) con d > 0. En la figura &'./9, considérese =(0, 0 ) . Si una una dire direct ctri ri%% verti vertical cal que se encu encuen entr tra a d unid unidad ades es a la dere derech cha a del foco foco F =( P=( r ,θ ) es un punto en la gráfica de
r = ed /( 1 + e cosθ cosθ ) , se puede demostrar que la distancia
entre P * la directri% es PQ =|d − x|=|d − rcosθ|=
|=| |
|
r ( 1+ ecosθ ) − rcosθ e
r e
4omo la distancia entre P * el polo es simplemente PF =|r| el radio PF entre PQ PF |r| = =|e|= e PQ r
|| e
es
*, de acuerdo con el teorema &'.&:, la gráfica de la ecuación debe ser una
cónica. as demostraciones de los otros casos son similares. os cuatro tipos de ecuaciones que se indican en el teorema &'.&; se pueden clasificar como sigue, siendo d > 0. a )irectri% hori%ontal arriba del polo8
b )irectri% hori%ontal aba"o del polo8
r=
ed 1 + senθ
r=
ed 1− senθ
c )irectri% vertical a la derecha del polo8
d )irectri% vertical a la i%quierda del polo8
r=
ed 1 + cosθ
r=
ed 1− cosθ
a figura &'.:' ilustra estas cuatro posibilidades en el caso de una parábola.
EJEMPLO 1 +eterinar una cónica a partir de su ecuación e cuación
)ibu"ar la gráfica de la cónica descrita por 15 r= 3 −2 cosθ
&olución !ara determinar el tipo de cónica, reescribir la ecuación como sigue 15 r= Dividir el númerador y el denominador entre 3. 2 1−( ) cosθ 3
!or tanto, la gráfica es una elipse con e =2 / 3. Se tra%a la mitad superior de la elipse locali%ando gráficamente los puntos desde θ= 0 hasta θ= π como se muestra en la figura &'.:&. uego, empleando la simetría respecto al e"e polar se tra%a la mitad inferior de la elipse.
En la elipse en la figura &'.:&, el e"e ma*or es hori%ontal * los vértices se encuentran en (15,0) * ( 3, π ) !or tanto, la longitud del e"e mayor es 2 a=18. !ara encontrar la longitud del e"e menor, 2 2 2 se usan las ecuaciones e =c / a * b = a − c para concluir que
b = a − c = a −( ea ) =a ( 1− e ) Elipse 2
2
2
2
2
2
4omo e =2 / 3 se tiene
2
2
b
( ( ))
= 92 1−
2 3
2
=45
lo cual implica que b =√ 45=3 √ 5 !or tanto, la longitud del e"e menor es
2 b=6 √ 5 .
EJEMPLO 2 Trazar una cónica a partir de su ecuación polar
#ra%ar la gráfica de la ecuación polar 32 r= 3 + 5 senθ
&olución Se divide el numerador * el denominador entre = * se obtiene 32 / 3 r= 5 1 +( ) senθ 3
4omo e =5 / 3 > 1, la gráfica es una hipérbola. 4omo d =32 / 5, la directri% es la recta y =32 / 5. El e"e transversal de la hipérbola se encuentra en la recta θ= π / 2 * los vértices se encuentran en
(
)
π π ( r ,θ )=( 4, ) * ( r ,θ )= −16, 3 . 2 2
)ado que la longitud del e"e transversal es &>, puede verse que escribe b = a ( e − 1 )= 6 2
2
2
2
a =6. !ara encontrar
b
, se
(( ) ) 5 3
2
−1 = 64
!or tanto, b =8. !or ?ltimo, se usan a * b para determinar las asíntotas de la hipérbola * obtener la gráfica que se muestra en la figura &'.:>.
Leyes de Kepler as le*es de @epler, las cuales deben su nombre al astrónomo alemán Aohannes @epler, se emplean para describir las órbitas de los planetas alrededor del Sol.
1. #odo planeta se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. -. .
Kepler oruló sus tres leyes a partir de la e"tensa recopilación de datos del astrónoo dan2s Tyc3o 4ra3e5 as coo de la o7ser!ación directa de la ór7ita de %arte. EJEMPLO 3 Coeta 8alley
El cometa Dalle* tiene una órbita elíptica, con el Sol en uno de sus focos * una excentricidad e 0.967 . a longitud del e"e ma*or de la órbita es aproximadamente =/.00 unidades astronómicas (<. (
&olución
θ= π / 2
* θ=3 π / 2
la longitud del e"e ma*or es
la suma de los valores r en los vértices, como se observa en la figura &'.:=. Es decir, 2 a=
0.967 d 1 + 0.967
+
0.967 d 1 −0.967
35.88 27.79 d 2 a 35.88
!or tanto, d 1.204 * ed ( 0.967 ) ( 1.204 ) 1.164 .
1.164 1 + 0.967 senθ
)onde r se mide en unidades astronómicas. !ara hallar el punto más cercano al Sol (el foco, se escribe c = ea (0.967 )( 17.94 ) 17.35 . !uesto que c es la distancia entre el foco * el centro, el punto más cercano es a − c 17.94 −17.35 0.59 !" 55000000 millas a segunda le* de @epler establece que cuando un planeta se mueve alrededor del Sol, un ra*o que va del Sol hacia el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Esta le* también puede aplicarse a cometas * asteroides con órbitas elípticas. !or e"emplo, la figura &'.:F muestra la órbita del asteroide polo alrededor del Sol. plicando la segunda le* de @epler a este asteroide, se sabe que cuanto más cerca está del Sol ma*or es su velocidad, *a que un ra*o corto debe moverse más rápido para barrer la misma área que barre un ra*o largo.
EJEMPLO 4 El asteroide Apolo
El periodo del asteroide polo es de ::& días terrestres, * su órbita queda descrita aproximadamente por la elipse 1 9 r= = 9 + 5 cosθ 5 cosθ 1+
() 9
)onde r se mide en unidades astronómicas. +4uánto tiempo necesita polo para moverse de la posición dada por θ=− π / 2 a θ= π / 2 como se ilustra en la figura &'.:/-
&olución !ara empe%ar se encuentra el área barrida cuando θ aumenta de −π / 2 a π / 2. " =
1
$
∫r 2
2
dθ F%rm&la parael 'rea de&na (r')ica polar .
#
" =
1
π / 2
∫
(
9
2 −π /2 9 + 5 cosθ
)
2
" =
81 112
[
dθ θ &= tan ( ) 2
, anali%ada en la sección 0.:, se obtiene θ
− 5 senθ 18 + arctan 9 + 5 cosθ √ 56
√ 5 6 tan ( ) 2
14
]
π / 2 0.90429 −π / 2
4omo el e"e ma*or de la elipse tiene longitud
2 a=81 / 28
* la excentricidad es
e =5 / 9
se
2 encuentra que b =a √ 1−e =9 / √ 56 !or tanto, el área de la elipse es
( )( )
¿ πab = π Grea de la elipse
81
9
56
√ 56
5.46507
4omo el tiempo requerido para recorrer la órbita es ::& días, se puede aplicar la segunda le* de @epler para concluir que el tiempo t requerido para moverse de la posición θ=− π / 2 a la posición θ= π / 2 está dado por t 661
=
'rea del se(mento el+ptico 0.90429 'rea delaelipse 5.46507
lo cual implica que t 109 días.
10.6 E9ercicios
Razonamiento gráfico En los e9ercicios 1 a :5 usar una 3erraienta de ;raicación para representar la ecuación polar cuando a e =1 b e =0.5 y c e =1.5 'dentiicar la cónica. 1. r =
2e 1+ ecosθ
Solución8
2. r =
2e 1−e cosθ
Solución8
3. r =
2e 1−e senθ
Solución8
4. r =
2e 1 + e senθ
Solución8
<. Redacción 4onsiderar la ecuación polar r=
4 1 + e senθ
a
cuando
−¿ e1
¿
de graficación para representar la ecuación con e =0.9 . 5dentificar la cónica * anali%ar la variación en su forma
+¿ .
* e 0¿
b
e =1. 5dentificar la
cónica. c
*
6. 4onsiderar la ecuación polar 4 r= 1− 0.4 cosθ a 5dentificar la cónica sin elaborar la gráfica de la ecuación. b Sin elaborar la gráfica de las ecuaciones polares siguientes, describir la diferencia de cada una
con la ecuación polar de arriba. 4 4 r= , r= 1 + 0.4 cosθ 1 −0.4 senθ
c Herificar en forma gráfica los resultados del inciso b.
Solución8
En los e9ercicios / a 1- 3acer corresponder la ecuación polar con su ;r=ica. >Las ;r=icas est=n eti?uetadas a5 b5 c 5 d 5 e y f .@
7. r =
6 1−cosθ
Solución8
8. r =
8 2−cosθ
Solución8
9. r =
3 1−2 senθ
Solución8 10. r =
2 1+ senθ
Solución8
11. r =
6 1− senθ
Solución8 12. r =
2 2+ 3 cosθ
Solución8
En los e9ercicios 1 a -65 3allar la e"centricidad y la distancia del polo a la directriz de la cónica. +espu2s trazar e identiicar la ;r=ica. Usar una 3erraienta de ;raicación para conirar los resultados. 13. r =
1 1−cosθ
Solución8 14. r =
1 1+ senθ
Solución8 15. r =
−4 1−senθ
Solución8
16. r =
1 1+ cosθ
Solución8 17. r =
6 2+ cosθ
Solución8
18. r =
10 5 + 4 senθ
Solución8 19. r ( 2 + senθ ) = 4
Solución8
20. r ( 3 − 2 cosθ ) = 6
Solución8
21. r =
5
−1 + 2 cosθ
Solución8
22. r =
−6 3 + 7 senθ
Solución8
23. r =
3 2+ 6 senθ
Solución8
24. r =
8 1+ 4 cosθ
Solución8 25. r =
300
−12 + 6 senθ
Solución8 26. r =
180 15−3.75 cosθ
Solución8
En los e9ercicios -/ a 05 usar una 3erraienta de ;raicación para representar la ecuación polar. 'dentiicar la ;r=ica. 27. r =
3
−4 +2 senθ
Solución8
28. r =
−15 2+ 8 senθ
Solución8
29. r =
−10 1−cosθ
Solución8
30. r =
6 6 + 7 cosθ
Solución8
En los e9ercicios 1 a :5 usar una ;raicadora para representar la cónica. +escri7ir en ?u2 diiere la ;r=ica de la del e9ercicio indicado.
−4
31. r =
1− sen ( θ −
( ver eercicio 15 )
π
)
4
Solución8
4
32. r =
1+ cos ( θ −
π
( ver eercicio 16 )
)
3
Solución8
33. r =
6
π
2+ cos ( θ +
6
)
( ver eercicio 17 )
Solución8
−6
34. r =
3 + 7 sen ( θ +
2 π 3
( ver eercicio 22 )
)
Solución8
<. )ar la ecuación de la elipse que se obtiene al girar del relo" la elipse 8 r= 8 + 5 cosθ Solución8
π / 6 radianes en sentido de las manecillas
6. )ar la ecuación de la parábola que se obtiene al girar manecillas del relo" la parábola 9 r= 1 + senθ
π / 6
radianes en sentido contrario a las
Solución8
En los e9ercicios / a :5 3allar una ecuación polar de la cónica con oco en el polo. BPor con!eniencia5 la ecuación de la directriz est= dada en ora rectan;ular. Cónica
Excentricidad
37. Par'bola e =1 x =−1
Solución8
38. Par'bola e =1 y =1
Solución8
39. Elipse e=1 / 2 y =1
Solución8
Directriz
40. Elipse e =3 / 4 y =−2
Solución8
41 . Hipérbola e =2 x =1
Solución8
3 42 . Hipérbola e = x =−1 2
Solución8
Cónica
Vértice o vértices
43 . Par'bola( 1, −
π 2
)
Solución8
44 .Par'bola ( 5 , π )
Solución8
45 . Elipse ( 2 , 0 ) , ( 8, π )
Solución8
( )( π
46 . Elipse 2,
2
, 4,
3 π 2
)
Solución8
( )
47 . Hipérbola 1 ,
Solución8
3 π 2
,(9 ,
3 π 2
)
48 . Hipérbola ( 2, 0 ) , ( 10,0 )
Solución8
F9. Encontrar la ecuación para la elipse con foco r = 4 secθ .
(0, 0 ) , excentricidad de &I> * directri% en
Solución8
<0. Encontrar la ecuación para una hipérbola con foco r =−8 cscθ .
Solución8
+esarrollo de conceptos /&. 4lasificar las cónicas de acuerdo con su excentricidad. Solución8
0, 0
¿
, excentricidad de > * directri% en
/>. 5dentificar cada cónica. a ¿ r=
5 1−2 cosθ
Solución8 b ¿ r=
5 10− senθ
Solución8 c ¿r =
5 3−3 cosθ
Solución8 5
d ¿ r=
1−3 sen ( θ −
π 4
)
Solución8
/=. )escribir qué pasa con la distancia entre la directri% * el centro de una elipse si los focos permanecen fi"os * e se aproxima a '.
Para discusión /F. Explicar en que difiere la gráfica de cada cónica de la gráfica de 4 r= 1 + senθ a ¿ r=
4 1− cosθ
Solución8 b ¿ r=
4 1− senθ
Solución8
c ¿r =
4 1+ cosθ
Solución8 4
d ¿ r=
1−3 sen ( θ −
π 4
)
Solución8
2
<<. )emostrar que la ecuación polar de r
2
=
b
2
x y + 2 =1 2 a b
es
2
1− e cos θ 2
2
Elipse .
Solución8
2
<6. )emostrar que la ecuación polar de r
2
=
−b2 1− e cos θ
Solución8
2
2
Hipérbola.
2
x y − 2 =1 es 2 a b
En los e9ercicios
π ¿ .
<. Dipérbola8 foco en (/, '$ vértices en (F, ', (F, Solución8 x
59.
2
9
−
y
2
16
=1
Solución8
x
60 .
2
4
+ y 2=1
Solución8
En los e9ercicios 61 a 6:5 usar las unciones de inte;ración de una 3erraienta de ;raicación para estiar con una precisión de dos ciras deciales el =rea de la re;ión liitada por la ;r=ica de la ecuación polar
61. r =
3 2−cosθ
Solución8
62. r =
9 4 + cos θ
Solución8 63. r =
2 3−2 cosθ
Solución8
64. r =
3 6 + 5 senθ
Solución8
6<. Exporer 1! El >; de noviembre de &9:=, Estados = ''' millas, respectivamente (ver la figura. El centro de la #ierra es el foco de la órbita. Dallar la ecuación polar de la órbita * hallar la distancia entre la superficie de la #ierra * el satélite cuando θ= 60 / (#omar como radio de la #ierra F ''' millas.
Solución8
66. Mo"imiento panetario os planetas giran en órbitas elípticas con el Sol como uno de sus focos, como se muestra en la figura.
a 1ostrar que la ecuación polar de la órbita está dada por ( 1 −e2 ) a r= 1− ecosθ
donde e es la excentricidad. b 1ostrar que la distancia mínima ( perihelio entre el Sol * el planeta es
distancia máxima ( afelio es r = a (1 + e ) Solución8
r = a ( 1− e ) * que la
En los e9ercicios 6/ a /05 usar el e9ercicio 66 para 3allar la ecuación polar de la ór7ita elptica del planeta5 as coo las distancias en el peri3elio y en el aelio. :;. #ierra Solución8
:0. Saturno Solución8
8
a =1.496 0 10 1il%metros e =0.0167
9
a =1.427 0 10 1il%metros e =0.0542
9
:9. 7eptuno Solución8
a =4.498 0 10 1il%metros e= 0.0086
;'. 1ercurio Solución8
a =5.791 0 10 1il%metros e =0.2056
7
/1. Mo"imiento panetario En el e"ercicio :9 se encontró la ecuación polar para la órbita elíptica de 7eptuno.
#
tal que el área barrida por un ra*o que va del Sol al
planeta cuando θ aumenta de π a # sea igual al área encontrada en el inciso a (ver la figura. +Karre el ra*o un ángulo ma*or o menor que el del inciso a, para generar la misma área- + qué se debe-
c proximar las distancias que recorrió el planeta en los incisos a * b.
aproximar la cantidad promedio de Lilómetros al aJo que recorrió el planeta en los dos casos. Solución8
/-. #ometa $ae%&opp El cometa DaleKopp tiene una órbita elíptica con el Sol en uno de sus focos * una excentricidad de e 0.995 a longitud del e"e ma*or de la órbita es aproximadamente /'' unidades astronómicas. a Dallar la longitud del e"e menor. b Dallar la ecuación polar de la órbita. c Dallar distancias en el perihelio * en el afelio. Solución8 En los e9ercicios / y /:5 sea r 0 la distancia del oco al !2rtice =s cercano5 y distancia del oco al !2rtice =s le9ano. /. 1ostrar que la excentricidad de una elipse puede expresarse como r 1 −r 0 e= r 1 +r 0 )espués mostrar que r1 1+ e = r 0 1− e Solución8
r1
la
