CAPÍTULO 10 10.4 Ecuaciones paramétricas paramétricas y cálculo Comprender el sistema de coordenadas polares. Epresar coordenadas y ecuaciones rectan!ulares en "orma polar y #ice#ersa. Tra$ar Tra$ar la !rá"ica de una ecuaci%n dada en "orma polar. &allar la pendiente de una recta tan!ente a una !rá"ica polar. 'denti"icar di#ersos tipos de !rá"icas polares especiales. Coordenadas polares Hasta ahora las gráficas se han venido representando como colecciones de puntos ( x , y ) en el sistema sistema de coordena coordenadas das rectang rectangular ulares. es. Las ecuacio ecuaciones nes corresp correspondi ondiente entes s a estas estas gráfica gráficas s han estado en forma rectangular o en forma paramétrica. En esta sección se estudiará un sistema de coordenadas denominado sistema de coordenadas polares. Para Para formar formar el sistema sistema de coorden coordenadas adas polares polares en el plano, se fija un punto O, llamado llamado polo (u inicial llamado llamado e(e polar , como se muestra en la figura ori!en), a partir de O se tra!a un rao inicial "#.$%. "#.$%. & continuac continuación, ión, a cada cada punto punto P en el plano plano se le asigna asignan n coordenadas polares ( r , θ) , como sigue.
r =¿
Distancia dirigida de O a P
θ= ¿
Ángulo dirigido , en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje polar hasta el ´ OP
segmento
.
La figura "#.$' muestra tres puntos en el sistema de coordenadas polares. sérvese *ue en este siste sistema ma es conv conveni enien ente te local locali!a i!arr los punt puntos os con con respe respecto cto a una ret+cu ret+cula la de circu circunfe nferen renci cias as concéntricas cortadas por rectas radiales *ue pasan por el polo.
( x , y ) tiene una representación nica. Esto no sucede con las coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas ( r , θ) ( r , 2 π + θ ) representan el En coordenadas rectangulares, cada punto
mismo punto -ver los incisos b) c ) de la figura "#.$'. /amién, como r es es una distancia dirigida, las coorden coordenada adas s ( r , θ) (−r , θ + π ) represen representan tan el mismo mismo punto. En general, general, el punto punto ( r , θ) puede e0presarse como ( r ,θ )=( r , θ + 2 nπ )
( r ,θ )=(−r , θ +( 2 n+ 1) π ) 1ond 1onde e
n
es cual*uier cual*uier entero. entero. &demás, &demás, el polo polo está represen representado tado por
(0, θ ) dond donde e
θ
es
cual*uier ángulo.
COO)*E+A*A, POLA)E, El matemático al -ue se le atriuye /aer usado por primera #e$ las coordenadas polares es ames ernoulli2 -uien las introdu(o en 131. ,in emar!o2 ciertas e#idencias se5alan la posiilidad de -ue "uera 'saac +e6ton el primero en usarlas. Trans"ormaci%n Tr ans"ormaci%n 7o camio8 de coordenadas Para estalecer una relación entre coordenadas polares rectangulares, se hace coincidir el eje polar polar con el eje x positivo el polo con el origen, como se ilustra en la figura "#.$2. Puesto *ue ( x , y ) se encuentra en un c+rculo de radio r se sigue *ue r 2= x 2 + y 2 . Para r > 0 , la definición de las funciones trigonométricas implica *ue
( x , y ) tiene una representación nica. Esto no sucede con las coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas ( r , θ) ( r , 2 π + θ ) representan el En coordenadas rectangulares, cada punto
mismo punto -ver los incisos b) c ) de la figura "#.$'. /amién, como r es es una distancia dirigida, las coorden coordenada adas s ( r , θ) (−r , θ + π ) represen representan tan el mismo mismo punto. En general, general, el punto punto ( r , θ) puede e0presarse como ( r ,θ )=( r , θ + 2 nπ )
( r ,θ )=(−r , θ +( 2 n+ 1) π ) 1ond 1onde e
n
es cual*uier cual*uier entero. entero. &demás, &demás, el polo polo está represen representado tado por
(0, θ ) dond donde e
θ
es
cual*uier ángulo.
COO)*E+A*A, POLA)E, El matemático al -ue se le atriuye /aer usado por primera #e$ las coordenadas polares es ames ernoulli2 -uien las introdu(o en 131. ,in emar!o2 ciertas e#idencias se5alan la posiilidad de -ue "uera 'saac +e6ton el primero en usarlas. Trans"ormaci%n Tr ans"ormaci%n 7o camio8 de coordenadas Para estalecer una relación entre coordenadas polares rectangulares, se hace coincidir el eje polar polar con el eje x positivo el polo con el origen, como se ilustra en la figura "#.$2. Puesto *ue ( x , y ) se encuentra en un c+rculo de radio r se sigue *ue r 2= x 2 + y 2 . Para r > 0 , la definición de las funciones trigonométricas implica *ue
y x y tanθ = ,cosθ = y senθ = , x r r
3i
r <0
estas relaciones tamién son válidas, como se puede verificar.
TEO)E9A 10.10 T)A+,:O)9AC';+ 7O CA9'O8 *E COO)*E+A*A, Las Las coor coorde dena nada das s pola polare res s
( r , θ)
de un punt punto o está están n rela relaci cion onad adas as con con las las coor coorde dena nada das s
( x , y ) de ese punto como sigue .
rectangulares
y x
1. x = rcosθ 2. tanθ = 2
2
y =rsenθ rsenθ r = x + y
2
EJEMPLO 1 Tr Trans"ormaci%n ans"ormaci%n 7o camio8 de coordenadas polares a rectan!ulares a8 1ado el punto ( r ,θ )=( 2, π ) , x =rcosθ =2 cosπ =− 2 y =rsenθ = 2 senπ =0.
Por tanto, las coordenadas rectangulares son
x , y )=(−2,0 ) ( x
b8 1ado el punto ( r ,θ )=( √ 3 , π /6 ) x =rcosθ =√ 3cos 3 cos
π √ 3 3 sen = y = rsenθ = . √ 2 6 2
π 3 6
=
Por tanto, las coordenadas rectangulares son 4er la figura "#.$5.
( x x , y )=( 3 / 2, √ 3 / 2)
EJEMPLO 2 Trans"ormaci%n 7o camio8 de coordenadas rectan!ulares a polares a8 1ado el punto del segundo cuadrante
( x , y )=(−1, 1 ) ,
y 3 π tanθ = =−1 ⇒ θ = 4 x
( x , y ) se dee usar un valor positivo para
θ se eligió en el mismo cuadrante *ue
6omo
r.
r = √ x + y =√ (−1 ) + ( 1 ) = √ 2 2
2
2
2
Esto implica *ue un conjunto de coordenadas polares es
( r ,θ )=( √ 2 , 3 π / 4 )
b8 1ado *ue el punto ( x , y )=( 0, 2) se encuentra en el eje y positivo, se elige θ= π / 2 r =2, un conjunto de coordenadas polares es 4er la figura "#.7#.
( )
( r ,θ )=
π
2,
2
.
EJEMPLO 3 Tra$ado de ecuaciones polares 1escriir la gráfica de cada ecuación polar. 6onfirmar cada descripción transformando la ecuación a ecuación rectangular. a ¿ r =2 b ¿ θ =
π 3
c ¿ r = secθ
,oluci%n a8 La gráfica de la ecuación polar
r =2 consta de todos los puntos *ue se encuentran a dos
unidades del polo. En otras palaras, esta gráfica es la circunferencia *ue tiene su centro en el 2 2 2 origen radio 9. (4er la figura "#.7" a.) Esto se puede confirmar utili!ando la relación r = x + y para otener la ecuación rectangular 2 2 2 x + y =2 Ecuación rectangular.
b8 La gráfica de la ecuación polar un ángulo de
π θ= 3
consta de todos los puntos sore la semirrecta *ue forma
π / 3 con el semieje x positivo. (4er la figura "#.7" b.) Para confirmar esto, se puede
utili!ar la relación para otener la ecuación rectangular y =√ 3 x Ecuación rectangular.
c 8 La gráfica de la ecuación polar
r = secθ no resulta evidente por inspección simple, por lo *ue
ha *ue empe!ar por pasarla a la forma rectangular mediante la relación r = secθ
rcosθ= x .
Ecuación polar.
rcosθ=1
x =1
Ecuación rectangular.
Por la ecuación rectangular se puede ver *ue la gráfica es una recta vertical. (4er la figura "#.7" c.)
TEC+OLO<ÍA 1iujar a mano las gráficas de ecuaciones polares complicadas puede ser tedioso. 3in emargo, con el empleo de la tecnolog+a, la tarea no es dif+cil. 3i la herramienta de graficación *ue se emplea cuenta con modo polar , usarlo para tra!ar la gráfica de las ecuaciones de la serie de ejercicios. 3i la herramienta de graficación no cuenta con modo polar , pero s+ con modo paramétrico, se puede tra!ar la gráfica de r = f ( θ ) e0presando la ecuación como x = f ( θ ) cosθ y = f ( θ ) senθ 1
Por ejemplo, la gráfica de
r= θ 2
*ue se muestra en la figura "#.79 se generó con una
herramienta de graficación en modo paramétrico. La gráfica de la ecuación se otuvo usando las ecuaciones paramétricas 1
x = θcosθ 2
1
y = θsenθ 2
con valores de
θ *ue van desde
denomina espiral de Ar-u=medes.
−4 π hasta
4π.
Esta curva es de la forma
r = aθ
se
EJEMPLO 4 Tra$ado de una !rá"ica polar 1iujar la gráfica de
r =2cos3 θ
,oluci%n Para empe!ar, se e0presa la ecuación polar en forma paramétrica. x =2cos3 θcosθ y y =2cos3 θsenθ /ras e0perimentar un poco, se encuentra *ue la curva completa, la cual se llama cur#a rosa, puede diujarse haciendo variar a θ desde # hasta π como se muestra en la figura "#.7$. 3i se tra!a la gráfica con una herramienta de graficación, se verá *ue haciendo variar a 2 π
se tra!a la curva entera dos veces.
θ
desde # hasta
+ota> 8na forma de os*uejar la gráfica de
r =2cos3 θ
a mano, es elaorar una tala de valores.
3i se ampl+a la tala se representan los puntos gráficamente se otiene la curva mostrada en el ejemplo 7 8sar una herramienta de graficación para e0perimentar con otras curvas rosa (estas curvas son de la forma r = acos ( nθ ) o r = asen ( nθ ) . Por ejemplo, las curvas *ue se muestran en la figura "#.77 son otros dos tipos de curvas rosa.
Pendiente y rectas tan!entes Para encontrar la pendiente de una recta tangente a una gráfica polar, considerar una función diferenciale (o derivale) r = f ( θ ) . Para encontrar la pendiente en forma polar, se usan las ecuaciones paramétricas x =rcosθ =f ( θ ) cosθ y y =rsenθ = f ( θ ) senθ :ediante el uso de la forma paramétrica de
dy / dx dada en el teorema "#.', se otiene
f ( θ ) cosθ + f ´ ( θ ) senθ dy dy / dθ = = dx dy / dθ − f ( θ ) senθ + f ´ (θ ) cosθ
con lo cual se estalece el teorema siguiente.
TEO)E9A 10.11 PE+*'E+TE E+ :O)9A POLA) 3i es una función diferenciale (o derivale) de gráfica de
r = f ( θ ) en el punto
θ entonces la pendiente de la recta tangente a la
(r , θ) es
f ( θ ) cosθ + f ´ ( θ ) senθ dy dy / dθ = = dx dy / dθ − f ( θ ) senθ + f ´ (θ ) cosθ
siempre *ue
dx / dθ ≠ 0 en
(r , θ) (4er la figura "#.7;.)
En el teorema "#."" se pueden hacer las oservaciones siguientes. dy 1. Las soluciones dθ =0 dan una tangente hori!ontal, siempre *ue dx / dθ ≠ 0 .
?. Las soluciones 3i
dy dθ
dx dθ
dx =0 dθ
dan una tangente vertical, siempre *ue dy / dθ ≠ 0
simultáneamente son #, no se puede e0traer ninguna conclusión respecto a las
rectas tangentes.
EJEMPLO 5 &allar las rectas tan!entes /ori$ontales y #erticales Hallar las rectas tangentes hori!ontales verticales a
r = senθ, 0 ≤ θ≤ π .
,oluci%n Para empe!ar se e0presa la ecuación en forma paramétrica. 2 x =rcosθ =senθcosθ y =rsenθ = senθsenθ = sen θ 1espués, se derivan x y con respecto de
θ
se iguala a # cada una de las derivadas.
dx π 3 π =cos 2 θ −sen2 θ =cos2 θ= 0 → θ= , 4 4 dθ dy π =2 cosθsenθ =sen 2 θ =0 →θ =0, 2 dθ
( √ , ) 2 π
Por tanto, la gráfica tiene rectas tangentes verticales en π
2
4
( √ ) 2 3 π
2
,
4
( 1, ) como se muestra en la figura "#.7%. tangentes hori!ontales en ( 0, 0 ) 2
,
tiene rectas
EJEMPLO 6 &allar las rectas tan!entes /ori$ontales y #erticales Hallar las rectas tangentes hori!ontales verticales a la gráfica de
r =2 ( 1−cosθ )
,oluci%n 3e usa y =rsenθ , se deriva dy / dθ se iguala a #. y =rsenθ = 2 ( 1− cosθ ) senθ dy =2 [ (1 −cosθ ) ( cosθ ) + senθ ( senθ ) ] dθ dy =−2 ( 2 cosθ + 1 ) ( cosθ −1 ) =0 dθ
Por tanto,
cosθ =
−1
cosθ =1,
2
se conclue *ue
dy =0 cuando dθ
θ=
2 π 3
, 4 π / 3
#. 1e
manera semejante, al emplear x =rcosθ se tiene 2
x =rcosθ =2 cosθ− 2cos θ dx =−2 senθ + 4 cosθsenθ =2 senθ ( 2cos −1 ) =0. dθ
Por tanto,
senθ =0
o
cosθ =
−1 2
, se conclue *ue
dy =0 cuando dθ
θ= 0, π , π /3
5 π / 3
.
& partir de estos resultados de la gráfica *ue se presenta en la figura "#.7', se conclue *ue la (3, 2 π / 3 ) (3, 4 π / 3 ) , tangentes verticales en gráfica tiene tangentes hori!ontales en
(1, π / 3 ) , (1, 5 π / 3 ) y ( 4, π ) . amas derivadas (
dy / dθ
& esta gráfica se le llama cardioide. sérvese *ue cuando
θ= 0
dx / dθ ) son cero (es decir, se anulan). 3in emargo, esta nica
información no permite saer si la gráfica tiene una recta tangente hori!ontal o vertical en el polo. Pero a partir de la figura "#.7' se puede oservar *ue la gráfica tiene una cspide (o punto anguloso o cuspidal) en el polo.
El teorema "#."" tiene una consecuencia importante. 3upóngase *ue la gráfica de por el polo cuando
θ= α
f ´ ( α ) ≠ 0. Entonces la fórmula para
r = f ( θ ) pasa
dy / dx se simplifica como
sigue. dy f ´ ( α ) senα + f ( α ) cosα f ´ ( α ) senα + 0 senα = = = =tanα dx f ´ ( α ) cosα − f ( α ) senα f ´ ( α ) cosα − 0 cosα
Por tanto, la recta
θ= α es tangente a la gráfica en el polo,
( 0, α ) .
TEO)E9A 10.1? )ECTA, TA+
f ( α )=0
f ´ ( α ) ≠ 0 entonces la recta
θ= α
es tangente a la gráfica de
r = f ( θ ) en el
polo.
El teorema "#."9 es til por*ue estalece *ue los ceros de
r = f ( θ ) pueden usarse para encontrar
las rectas tangentes en el polo. sérvese *ue, puesto *ue una curva polar puede cru!ar el polo más de una ve!, en el polo puede haer más de una recta tangente. Por ejemplo, la curva rosa f ( θ ) =2cos 3 θ
tiene tres rectas tangentes en el polo, como se ilustra en la figura "#.72. En esta curva, π π 5 π , , . f ( θ ) =2cos 3 θ es # cuando θ es La derivada ƒ ´ (θ )=−6 senθ no es # en 6 2 6 estos valores de
θ .
TEC+OLO<ÍA Las curvas rosa descritas arria son de la forma
r = acos ( nθ )
o r = asen ( n θ)
donde n es un entero positivo maor o igual a 9. 8sar una herramienta de graficación para tra!ar las
gráficas de
r = acos ( nθ )
o r = asen ( nθ )
con valores no enteros de n. <3on estas gráficas 2
tamién curvas rosa= Por ejemplo, tra!ar la gráfica de
r = cos θ , 0 ≤ θ ≤ 6 π . 3
PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sore curvas rosa otras curvas relacionadas con ellas, ver el art+culo >& ?ose is a ?ose...@ de Peter :. :aurer en The American Mathematical Monthly . La gráfica generada por computadora *ue se oserva al lado i!*uierdo, es resultado de un algoritmo *ue :aurer llama >La rosa@.
10.4 E(ercicios En los e(ercicios 1 a 32 representar !rá"icamente el punto dado en coordenadas polares y /allar las coordenadas rectan!ulares correspondientes. π
1. ( 8,
2
)
3oluciónA
2. (−2,
5 π 3
3oluciónA
)
3. (−4,−
3 π 4
3oluciónA
4 . ( 0,−
7 π
3oluciónA
6
)
)
5. ( √ 2 , 2.36 )
3oluciónA
6. (−3,−1.57 )
3oluciónA
En los e(ercicios @ a 102 emplear la "unci%n ángulo de una /erramienta de !ra"icaci%n para encontrar las coordenadas rectan!ulares del punto dado en coordenadas polares. )epresentar !rá"icamente el punto. 7. ( 7,
5 π 4
)
3oluciónA
8. (−2,
11 π
3oluciónA
6
)
9. (−4.5, 3.5)
3oluciónA
10. ( 9.25, 1.2)
3oluciónA
En los e(ercicios 11 a 132 se dan las coordenadas rectan!ulares de un punto. Locali$ar !rá"icamente el punto y /allar do con(untos de coordenadas polares del punto con 0 ≤θ ≤ 2 π . 11.( 2, 2 )
3oluciónA
12. ( 0,− 6)
3oluciónA
13. (−3, 4 )
3oluciónA
14. ( 4, −2)
3oluciónA
15. (−1,−√ 3 )
3oluciónA 16. ( 3,− √ 3 )
3oluciónA
En los e(ercicios 1@ a ?02 emplear la "unci%n ángulo de una /erramienta de !ra"icaci%n para /allar un con(unto de coordenadas polares del punto dado en coordenadas rectan!ulares. 17. ( 3,−2 )
3oluciónA
18. ( 3 √ 2 , 3 √ 2)
3oluciónA
19. (
7 5
, )
4 2
3oluciónA
20. ( 0,−5 )
3oluciónA
9". ?epresente gráficamente el punto (7, $.;) si el punto está dado a) en coordenadas rectangulares ) en coordenadas polares. 3oluciónA
??. )a$onamiento !rá"ico a) En una herramienta de graficación, seleccionar formato de ventana para coordenadas polares colocar el cursor en cual*uier posición fuera de los ejes. :over el cursor en sentido hori!ontal en sentido vertical. 1escriir todo camio en las coordenadas de los puntos. ) En una herramienta de graficación, seleccionar el formato de ventana para coordenadas polares colocar el cursor en cual*uier posición fuera de los ejes. :over el cursor en sentido hori!ontal en sentido vertical. 1escriir todo camio en las coordenadas de los puntos. c)
En los e(ercicios ? a ?32 /acer -ue corresponda la !rá"ica con su ecuaci%n polar. BLas !rá"icas están eti-uetadas a82 b82 c 8 y d 8. 3oluciónA
23. r = senθ
3oluciónA
24. r =4 cos2 θ
3oluciónA
25. r =3 ( 1 + cosθ )
3oluciónA
26. r =2 secθ
3oluciónA
En los e(ercicios ?@ a 32 trans"ormar la ecuaci%n rectan!ular a la "orma polar y tra$ar su !rá"ica. 27. x
2
+ y 2= 9
3oluciónA
28. x
2
− y2 =9
3oluciónA
29. x
2
+ y 2= a2
3oluciónA
30. x
2
+ y 2−2 ax =0
3oluciónA
31. y =8
3oluciónA
32. x = 10
3oluciónA
33.3 x − y + 2 =0
3oluciónA
34. xy =4
3oluciónA
35. y
2
=9 x
3oluciónA
36. ( x
2
2
+ y 2 ) − 9 ( x2 − y 2) =0
3oluciónA
En los e(ercicios @ a 432 pasar la ecuaci%n polar a la "orma rectan!ular y tra$ar su !rá"ica 37. r =4
3oluciónA
38. r =−5
3oluciónA
39. r = senθ
3oluciónA
40. r =5 cosθ
3oluciónA
41. r =θ
3oluciónA
42. θ=
5 π 6
3oluciónA
43. r =3 secθ
3oluciónA
44. r =2 cscθ
3oluciónA
45. r = secθtanθ
3oluciónA 46. r = cotθcscθ
3oluciónA
En los e(ercicios 4@ a D32 emplear una /erramienta de !ra"icaci%n para representar la ecuaci%n polar. &allar un inter#alo para θ en el -ue la !rá"ica se trace s%lo una #e$. 47. r =2 −5 cosθ
3oluciónA
48. r =3 ( 1− 4 senθ )
3oluciónA
49. r =2 + 5 senθ
3oluciónA
50. r =4 + 3 cosθ
3oluciónA
51. r =
2 1+ cosθ
3oluciónA
52. r =
2 4 −3 senθ
3oluciónA
53. r =2cos
( ) 3θ 2
3oluciónA
54. r =2 sen
( ) 5θ 2
3oluciónA
55. r
2
=4 sen ( 2 θ )
3oluciónA
56. r
2
=
1
θ
3oluciónA
;'. Pasar la ecuación
r =2 ( hcosθ + ksenθ ) a la forma rectangular verificar *ue sea la ecuación de
un c+rculo. Hallar el radio las coordenadas rectangulares de su centro. 3oluciónA
D. F!"#ula $a"a la d%&anc%a
a) 4erificar *ue la fórmula para la distancia entre dos puntos
(r 1 ,θ 1)
(r 2 ,θ 2)
dados en
coordenadas polares es 2 2 d = √ r 1 + r 2− 2 r 1 r 2 cos ( θ1−θ 2)
b) 1escriir las posiciones de los puntos, en relación uno con otro, si
θ 1= θ 2 .
3implificar la fórmula
de la distancia para este caso.
En los e(ercicios D a 3?2 usar el resultado del e(ercicio D para aproimar la distancia entre los dos puntos descritos en coordenadas polares.
( )
59. 1,
5 π 6
3oluciónA
π , ( 4, ) 3
( ) (
60. 8,
7 π 4
, 5, π )
3oluciónA
61. (2,0.5 ) , ( 7,1.2)
3oluciónA
62. ( 4,2.5 ) , ( 12,1 )
3oluciónA
En los e(ercicios 3 y 342 /allar dy / dx y las pendientes de las rectas tan!entes -ue se muestran en las !rá"icas de las ecuaciones polares. 63. r =2 + 3 senθ
3oluciónA
64. r =2 ( 1− senθ )
3oluciónA
En los e(ercicios 3D a 32 usar una /erramienta de !ra"icaci%n y a8 tra$ar la !rá"ica de la ecuaci%n polar2 b8 diu(ar la recta tan!ente en el #alor dado de θ y c 8 /allar dy / dx en el #alor dado de
θ
'ug("(nc%a) Tomar incrementos de
65. r =3 ( 1−cosθ ) ,θ =
3oluciónA
π 2
θ
i!uales a
π 24
.
8
66. r =3 −2 cosθ,θ=0
3oluciónA
67. r =3 senθ ,θ =
3oluciónA
π 3
68. r = 4, θ =
π 4
3oluciónA
En los e(ercicios 3 y @02 /allar los puntos de tan!encia /ori$ontal y #ertical 7si los /ay8 a la cur#a polar. 69. r =1− senθ
3oluciónA
70. r =asenθ
3oluciónA
En los e(ercicios @1 y @?2 /allar los puntos de tan!encia /ori$ontal 7si los /ay8 a la cur#a polar 71. r =2 cscθ + 3
3oluciónA
2
72. r =asenθ cos θ
3oluciónA
En los e(ercicios @ a @32 usar una /erramienta de !ra"icaci%n para representar la ecuaci%n polar y /allar todos los puntos de tan!encia /ori$ontal. 2
73. r =4 senθ cos θ
3oluciónA
74. r =3cos2 θsecθ
3oluciónA
75. r =2 cscθ + 5
3oluciónA
76. r =2cos ( 3 θ−2 )
3oluciónA
En los e(ercicios @@ a 42 diu(ar la !rá"ica de la ecuaci%n polar y /allar las tan!entes en el polo 77. r =3 senθ
3oluciónA
78. r =5 cosθ
3oluciónA
79. r =2 ( 1− senθ )
3oluciónA
80. r =3 ( 1 −cosθ )
3oluciónA
81. r =2cos3 θ
3oluciónA
82. r =−sen 5 θ
3oluciónA
83. r =3 sen 2 θ
3oluciónA
84. r =3cos2 θ
3oluciónA
En los e(ercicios D a 32 tra$ar la !rá"ica de la ecuaci%n polar 85. r =8
3oluciónA
86. r =1
3oluciónA
87. r = 4 ( 1 + cosθ )
3oluciónA
88. r =1 + senθ
3oluciónA
89. r =3 −2 cosθ
3oluciónA
90. r =5 − 4 senθ
3oluciónA
91. r =3 cscθ
3oluciónA
92. r =
6 2 senθ −cosθ
3oluciónA
93. r =2 θ
3oluciónA
94. r =
1
θ
3oluciónA
95. r
2
= 4cos2 θ
3oluciónA
96. r
2
= 4 senθ
3oluciónA
En los e(ercicios @ a 1002 usar una /erramienta de !ra"icaci%n para representar la ecuaci%n y mostrar -ue la recta dada es una as=ntota de la !rá"ica. ombre de la grá!ica
"cuaci#n polar
97. Concoide r=2 −secθ x =−1
3oluciónA
As$ntota
98. Concoider =2 + cscθ y =1
3oluciónA
99. s!ira" hi!erb#"icar =2 / θ y =2
3oluciónA
100 . strofoide r =2cos2 θsecθ x =−2
3oluciónA
*esarrollo de conceptos "#". 1escriir las diferencias entre el sistema de coordenadas rectangulares el sistema de coordenadas polares. 3oluciónA
"#9. 1ar las ecuaciones para pasar de coordenadas rectangulares a coordenadas polares viceversa. 3oluciónA
"#$. <6ómo se determinan las pendientes de rectas tangentes en coordenadas polares=
Para discusi%n "#7. 1escriir las gráficas de las siguientes ecuaciones polares. a ¿ r =7 2
b ¿ r =7
c ¿r =
d ¿ r =
7
cosθ 7
senθ
e ¿ r =7 cosθ
f ¿ r =7 senθ
"#;. /ra!ar la gráfica de π a ¿ 0 ≤θ ≤ 2
3oluciónA
r = 4 senθ
en el intervalo dado.
π b¿ ≤θ≤π 2
3oluciónA
c ¿−
π 2
π ≤θ ≤ 2
3oluciónA
103. Pa"a $(na" 8tili!ar una herramienta graficadora para representar la ecuación polar r =6 [1 + cos ( θ−$ ) ] para a) $ =0, b) $ =π / 4 c ) $ =π / 2. 8sar las gráficas para descriir el efecto del ángulo
$ . Escriir la ecuación como función de
senθ para el inciso c ).
3oluciónA
10@. 4erificar *ue si la curva correspondiente a la ecuación polar r = f ( θ ) gira un ángulo alrededor del polo, entonces la ecuación de la curva girada es r = f ( θ− $ ) .
$,
3oluciónA
10. La forma polar de una ecuación de una curva es
r = f ( senθ ) .
6omproar *ue la forma se convierte en a ¿ r = f (−cosθ ) si la curva gira π / 2 radianes alrededor del polo en sentido contrario a las manecillas del reloj. b ¿ r = f (−senθ )
si la curva gira
π
radianes alrededor del polo en sentido contrario a las
manecillas del reloj. c ¿r = f (cosθ )
si la curva gira
3 π / 2 radianes alrededor del polo en sentido contrario a las
manecillas del reloj. 3oluciónA
En los e(ercicios 10 a 11?2 usar los resultados de los e(ercicios 10@ y 10. "#5. 1ar la ecuación del caracol
r =2 −senθ
después de girar la cantidad indicada. 8tili!ar una
herramienta de graficación para representar el giro del caracol. a ¿ π / 4 b ¿ π / 2 c ¿ π d ¿ 3 π / 2
3oluciónA
110. 1ar una ecuación para la curva rosa
r =2 sen 2 θ después de girar la cantidad dada. 4erificar
los resultados usando una herramienta de graficación para representar el giro de la curva rosa. a ¿ π / 6 b ¿ π /2 c ¿ 2 π / 3 d ¿ π
3oluciónA
111. 1iujar la gráfica de cada ecuación.
( )
π a ¿ r =1 −senθ b ¿ r =1− sen θ− 4
3oluciónA
11?. 1emostrar *ue la tangente del ángulo
% =0 ≤% ≤ π / 2 ) entre la recta radial la recta tangente
en el punto ( r , θ) en la gráfica de r = f ( θ ) (ver la figura) está dada por
| |
tan% = r /(
dr ) . dθ
3oluciónA
En los e(ercicios 11 a 112 usar los resultados del e(ercicio 11? para /allar el án!ulo entre las rectas radial y tan!ente a la !rá"ica en el #alor indicado de Usar una /erramienta de
!ra"icaci%n para representar la ecuaci%n polar2 de la recta radial y la recta tan!ente en el #alor indicado de 'denti"icar el án!ulo % . Ecuaci%n polar 113. r =2 ( 1− cosθ ) θ= π
3oluciónA
114. r =3 ( 1− cosθ ) θ= 3 π / 4
3oluciónA
115. r =2cos3 θ θ =π / 4
3oluciónA
Falor de θ
116. r =2 sen 2 θ θ =
π 6
3oluciónA
117. r =
1 1− cosθ
3oluciónA
θ =2 π /3
118. r =5 θ =π / 6
3oluciónA
*+("dad("o o ,alo- En los e(ercicios 11 a 1??2 determinar si la a"irmaci%n es #erdadera o "alsa. ,i es "alsa2 eplicar por -ué o dar un e(emplo -ue muestre -ue es "alsa. 11. 3i entonces
(r 1 ,θ 1)
|r |=|r | 1
(r 2 ,θ 2) representan el mismo punto en el sistema de coordenadas polares,
2
.
3oluciónA
1?0. 3i (r 1 ,θ 1) ( r 2 ,θ 2) representan el mismo punto en el sistema de coordenadas polares, θ1=θ 2+ 2 πn entonces para algn entero n . 3oluciónA
1?1. 3i
x > 0
( x , y )
entonces el punto
cartesianas) puede representarse mediante r = √ x + y 2
2
en el sistema de coordenadas rectangulares (o
(r , θ) en el sistema de coordenadas polares, donde
y θ= arctan ( ) x
3oluciónA
1??. Las ecuaciones polares r = sen 2 θ r =−sen 2 θ tienen la misma gráfica. 3oluciónA
Proyecto de traa(o Arte anam%r"ico El arte anamórfico parece distorsionado, pero cuando se ve desde un particular punto de vista o con un dispositivo como un espejo parece *ue está normal. 8sar las siguientes transformaciones anamórficas 3 π 3 π − π r = y + 16 y θ = x ,− ≤θ≤ 8
4
4
para diujar la imagen polar transformada de la gráfica rectangular. 6uando se oserva la refle0ión (en un espejo cil+ndrico centrado en el polo) de una imagen polar desde el eje polar, el espectador ve la imagen rectangular original. a ¿ y =3 b ¿ x =2 c ¿ y = x + 5 d ¿ x + ( y−5 ) =5 2
2
2
