1.3 Cálculo analítico de límites ■ Evaluar un límite mediante el uso de las propiedades de los límites. ■ Desarrollar y usar una estrategia para el cálculo de límites. ■ Evaluar un límite mediante el uso de técnicas de cancelación y de racionalización. ■ Evaluar un límite mediante el uso del teorema del encaje.
Propiedades de los límites En la sección 1.2 se vio que el límite de f x apro"ima a c no depende del valor de f en x ! cuando x se apro"ima x =c ( c ) . En esta situación% se . #in em$argo% em$argo% puede puede darse el caso caso de que este este límite límite sea f ( puede evaluar el límite por sustitución directa . Esto es& lim f ( x )=f ( ( c ) . #ustituir x por c . x→ c 'as (unciones con este buen comportamien comportamiento to son continuas continuas en c . En la sección 1.) se e"aminará con más detalle este concepto.
TEOREMA 1.1 ALG!O" L#M$TE" %&"$CO" #i b y c son n*meros reales y n un entero positivo& 1.lim b =b 2.lim x =c 3.lim x x → c
x → c
n
=c n
x → c
Demostración& +ara compro$ar la propiedad 2 del teorema 1.1% es necesario demostrar que para todo ε > 0 e"iste un δ > 0 tal que | x −c|< ε siempre que 0 <| x − c|<δ . +ara lograrlo% elegir δ =ε . Entonces% la segunda desigualdad lleva implícita a la primera% como se muestra en la (igura 1.1,. -on esto se realiza la compro$ación. 'as compro$aciones de las demás propiedades de los límites de esta sección se encuentran en el apéndice o se analizan en los ejercicios.!
!ota. -uando se tengan nuevas notaciones o sím$olos en matemáticas% /ay que cerciorarse de conocer cómo se leen. +or ejemplo% el límite del ejemplo 1 c se lee 0el lími límite te de x 2 cuand cuando o x se apro"ima a 2 es ).
EJEMPLO 1 Evaluación de límites básicos 2
2
a ¿ lim 3 =32. lim x =−43.lim x =2 =4 x →− 4
x→ 2
x→ 2
TEOREMA 1.' PROP$E(A(E" (E LO" L#M$TE" Si b y c son números reales y n un entero positivo, f y g son funciones con los límites siguientes: lim f ( x )= L y lim g ( x )= K x→ c
x →c
lim bf ( ( x ) =bL
1. *ltiplo escalar&
x→ c
2. #uma o di(erencia :
lim f ( ( x ) ± g ( x ) = L ± K x→ c
lim f ( x ) g ( x ) = LK
3. +roducto:
x→ c
). -ociente :
x→ c
lim f ( x ) / g ( x ) = L / K
4. +otencias:
[
lim f ( ( x )
siempre que
K ≠ 0
]n = Ln
x→ c
EJEMPLO 2 Límite de un polinomio 2 2 lim ( 4 x + 3 )= lim 4 x + lim 3 Propiedad Propiedad 2. x→ 2
¿4
x → 2
(
lim x
x → 2
2
x → 2
Propiedad 1. )+ lim 3 Propiedad x→ 2
¿ 4 ( 22) + 3 Ejemplo 1. ¿ 19 Simplificar 2 x )= 4 x + 3 En el ejemplo 2% se o$serva que el límite cuando x → 2 ! de la función polinomial p ( x es simplemente el valor de p en x =2 .
lim p ( x )= p ( 2 )= 4 ( 2
2
) +3 =19.
x→ 2
sustitución directa directa es válida para todas las (unciones polinomiales y racionales Esta propiedad de sustitución cuyos denominadores no se anulen en el punto considerado.
TEOREMA 1.3 L#M$TE" (E LA" )!C$O!E" POL$!OM$ALE" * RAC$O!ALE" #i p es una (unción polinomial y c un n*mero real% entonces& lim p ( x )= p ( c ) x→ c
#i r es una (unción racional dada por entonces p ( c ) lim r ( x )=r ( c )= . q( c) x→ c
r ( x )= p ( x )/ q ( x )
y c un n*mero real tal que
q( c) ≠ 0
%
EJEMPLO 3 Límite de una +unción racional
Encontrar el límite& 2 x + x + 2 lim x + 1 x→ 1
"olución +uesto que el denominador no es 5 cuando x =1 % se puede aplicar el teorema 1.3 para o$tener 2 2 x + x + 2 1 + 1+ 2 4 lim = = =2. 1+ 1 2 x + 1 x→ 1 'as (unciones polinomiales y racionales son dos de los tres tipos $ásicos de (unciones alge$raicas. El siguiente teorema se re(iere al límite del tercer tipo de (unción alge$raica& el que contiene un radical. 6er la demostración de este teorema en el apéndice .
TEOREMA 1., L#M$TE (E !A )!C$-! RA($CAL #i n es un entero positivo. El siguiente límite es válido para toda c si n es impar% y para toda c > 0 si n es par& n n lim √ x =√ c x→ c
EL "#M%OLO (E RA# CA(RA(A El primer uso de un sím$olo para denotar a la raíz cuadrada data del siglo 768. l principio% los matemáticos emplearon el sím$olo /0 que tiene sólo dos trazos. 9ste se eligió por su parecido con una r min*scula% para representar la pala$ra latina radix % que signi(ica raíz. El siguiente teorema aumentará nota$lemente su capacidad para calcular límites% ya que muestra cómo tratar el límite de una (unción compuesta. 6er la demostración de este teorema en el apéndice .
TEOREMA 1. L#M$TE (E !A )!C$-! COMPE"TA #i f y g son (unciones tales que
lim g ( x )= L x→ c
y
lim f ( x ) =f ( L ) , x→ c
entonces&
(
lim f ( g ( x ) ) =f lim g ( x ) x→ c
x →c
)= f ( L ) .
EJEMPLO 4 Límite de una +unción compuesta a2 +uesto que 2 2 lim ( x + 4 ) =0 + 4 = 4 y lim √ x =√ 4 =2 x→ 0
x → 4
se sigue que 2 lim √ x + 4 =√ 4 =2 x→ 0
a2 +uesto que 3 3 2 2 lim ( 2 x − 10 ) =2 ( 3 )−10 =8 y lim √ x = √ 8= 2 x→ 0
x → 8
se sigue que 3 2 3 lim √ 2 x − 10=√ 8 =2. x→ 3
#e /a visto que los límites de muc/as (unciones alge$raicas se pueden calcular por medio de la sustitución directa. 'as seis (unciones trigonométricas $ásicas tam$ién cuentan con esta desea$le propiedad% como se muestra en el siguiente teorema presentado sin demostración!.
TEOREMA 1. L#M$TE" (E )!C$O!E" TR$GO!OM4TR$CA" #ea c un n*mero real en el dominio de una (unción trigonométrica dada. 1.lim senx =sen c 2.lim cosx =cos c x → c
x→ c
3.lim anx = tan c 4.lim cox =cot c x → c
x → c
5.lim secx = sec c 6.lim cscx =cscc x → c
x→ c
EJEMPLO 5 Límites de +unciones tri5onom6tricas a ¿ lim anx = tan ( 0 )=0 x→ 0
(
)(
)
b ¿ lim ( x cos x )= lim x lim cos x = ! cos ( ! )=−! x → !
x→ !
2
x→ !
2
2
c ¿ lim sen x = lim ( senx ) =0 = 0 x → 0
x → 0
na estrate5ia para el cálculo de límites
En las tres páginas previas se /an estudiado diversos tipos de (unciones cuyos límites pueden calcularse mediante sustitución directa. 'o anterior% aunado al teorema siguiente% permite desarrollar una estrategia para calcular límites. 6er la demostración de este teorema en el apéndice .
TEOREMA 1.7 )!C$O!E" 8E CO$!C$(E! E! TO(O "AL9O E! ! P!TO #ea c un n*mero real y f ( x )= g ( x ) para todo x ≠ c en un intervalo a$ierto que contiene a c . #i e"iste el límite de g x ! cuando x se apro"ima a c % entonces tam$ién e"iste el límite de f x ! y lim f ( x ) = lim g ( x ) x→ c
x→ c
f y g coinciden salvo en un punto
)i5ura 1.17 EJEMPLO 6 Cálculo del límite de una +unción
Encontrar el límite& 3 lim x −1 x → 0
x −1 3
"olución #ea
x −1 f ( x )= . x −1 l (actorizar y cancelar (actores% f se puede escri$ir como
3 x −1 ( x −1 ) ( x + x + 1 ) f ( x )= = = x2 + x + 1= g ( x ) , x ≠ 1. ( x −1 ) x −1 2
De tal modo% para todos los valores de x distintos de x =1, las (unciones f y g coinciden% como se lim g ( x ) muestra en la (igura 1.1:. +uesto que el x→ 1 e"iste% se puede aplicar el teorema 1.: y concluir que f y g tienen el mismo límite en x =1 .
3 ( x −1 ) ( x + x +1 ) x −1 lim = lim "acori#ar . ( x −1 ) x→ 1 x −1 x→ 1 2
( x −1 ) ( x2 + x +1 ) ¿ lim $ancelar facoresid%nicos o facores com&nes. ( x −1 ) x→ 1 ¿ lim ( x 2 + x + 1 ) 'plicar eleorema 1.7 . x→ 1
¿ 12+ 1 + 1 (sar s&si&ci)ndireca . ¿ 3 Simplificar . AYUDA DE ESTUDIO
Cuando se aplique esta estrategia al cálculo de límites, recordar que algunas funciones no tienen límite (cuando x se aproxima a c). or e!emplo, el siguiente límite no existe 3
x + 1 lim x→ 1 x −1
!A E"TRATEG$A PARA EL C&LCLO (E L#M$TE" 1. prender a reconocer cuáles límites pueden evaluarse por medio de la sustitución directa estos límites se enumeran en los teoremas 1.1 a 1.,!. '. #i el límite de f x ! cuando x se apro"ima a c no se puede evaluar por sustitución directa% tratar de encontrar una (unción g que coincida con f para todo x distinto de x =c . ;#eleccionar una g tal que el límite de g x ! se pueda evaluar por medio de la sustitución directa.< 3. plicar el teorema 1.: para concluir de manera analítica que lim f ( x ) = lim g ( x )= g ( c ) x→ c
x→ c
,. =tilizar una gráfica o una tabla para respaldar la conclusión. T6cnicas de cancelación : de racionali;ación En los ejemplos : y > se muestran dos técnicas para calcular límites de manera analítica. 'a primera utiliza la cancelación de (actores comunes y la segunda% la racionalización del numerador de una (racción. EJEMPLO 7 T6cnica de cancelación
Encontrar el límite& 2 x + x −6 lim x + 3 x → − 3
"olución unque se trata del límite de una (unción racional% no se puede aplicar el teorema 1.3 de$ido a que el límite del denominador es 5. 2 lim ( x + x − 6 )= 0 x → − 3
2
x + x −6 lim La s&si&ci)ndireca falla. x + 3 x → − 3 lim x +3 =0
x → − 3
+uesto que el límite del numerador tam$ién es 5% numerador y denominador tienen un factor común& ( x + 3) . +or tanto% para toda x ≠ −3, se cancela este (actor para o$tener 2 ( )( ) f ( x )= x + x − 6 = x + 3 x −2 = x −2 =g ( x ) , x ≠−3 ( x +3 ) x + 3
Empleando el teorema 1.:% se sigue que 2 x + x −6 lim = lim ( x −2 ) 'plicar el eorema 1.7 . x + 3 x → − 3 x →−3 ¿−5 (sar s&si&ci)ndireca . Este resultado se muestra de (orma grá(ica en la (igura 1.1>. ?$servar que la grá(ica de la (unción f coincide con la de la (unción g ( x )= x −2 % sólo que la grá(ica de f tiene un /ueco en el punto (−3,−5 ).
!ota
En la solución del ejemplo :% cerciorarse de distinguir la utilidad del teorema de (actorización del álge$ra. Este teorema esta$lece que si c es un cero de una (unción polinomial% entonces ( x −c ) es un (actor del polinomio. +or tanto% si se aplica sustitución directa a una (unción racional y se o$tiene r ( c )=
p ( c ) 0 = q (c ) 0
puede concluirse que ( x −c ) es un (actor com*n de p x ! y de q x !. En el ejemplo :% la sustitución directa produce la (orma (raccionaria 5@5% que carece de signi(icado. una e"presión como 5@5 se le denomina +orma indeterminada porque no es posi$le a partir sólo de esa (orma! determinar el límite. #i al intentar evaluar un límite se llega a esta (orma% de$e reescri$irse la (racción de modo que el nuevo denominador no tenga 5 como límite. =na manera de lograrlo consiste en cancelar los factores idénticos o comunes% como se muestra en el ejemplo :. ?tra manera consiste en racionalizar el numerador % como se /ace en el ejemplo >.
CO!)"$-! TEC!OL-G$CA +uesto que las grá(icas de 2 x + x − 6 f ( x )= y g ( x )= x −2 x + 3 di(ieren sólo en el punto (−3,−5 ) , la con(iguración normal de una /erramienta de gra(icación podría no distinguir entre ellas. Ao o$stante% de$ido a la con(iguración de puntos 0pi"eles! y a los errores de redondeo% quizá sea posi$le encontrar con(iguraciones de pantalla que distingan las grá(icas. De manera especí(ica% aplicando el zoom repetidas veces cerca del punto B3% B4! en la grá(ica de f % la /erramienta de gra(icación podría mostrar (allas o irregularidades que no e"isten en la grá(ica real ver la (igura 1.1C!. #i se modi(ica la con(iguración de pantalla% podría o$tenerse la grá(ica correcta de f .
EJEMPLO 8 T6cnica de racionali;ación
Encontrar el límite& lim √ x + 1 −1 x → 0
x
"olución l utilizar la sustitución directa% se o$tiene la (orma indeterminada 5@5.
lim ( √ x + 1−1 ) =0
x→ 0
lim √ x + 1 −1
La s&si&ci)n direca falla.
x → 0
x lim x = 0 x→ 0
En este caso% se puede reescri$ir la (racción racionalizando el denominador& √ x +1−1 = √ x +1−1 √ x + 1+ 1 x x √ x + 1+ 1
(
¿
¿ ¿
)(
)
( x +1 ) −1 x ( √ x + 1+ 1) x x ( √ x + 1+ 1) 1
√ x +1 + 1
, x≠0
/ora% cuando se emplea el teorema 1.:% se puede evaluar el límite como se muestra a continuación& lim √ x + 1 −1 lim 1 1 1 x → 0 x→ 0 = = = x √ x +1+ 1 1 +1 2 =na ta$la o una grá(ica puede servir para (ortalecer la conclusión de que el límite es 1@2ver la (igura 1.25!.
!ota 'a técnica de racionalización en el cálculo de límites se $asa en multiplicar por una (orma conveniente de 1. En el ejemplo >% la (orma apropiada es √ x +1 +1 1= √ x +1 +1 Teorema del enca
TEOREMA 1.= TEOREMA (EL E!CA>E #i * ( x )+ f ( x ) + g ( x ) para todos los x en un intervalo a$ierto que contiene a c % por la posi$le e"cepción de la propia c % y si lim * ( x )= L =lim g ( x ) x→ c
entonces el
x→ c
lim f ( x ) x→ c
e"iste y es igual a L.
En la demostración del teorema 1.C se aprecia la utilidad del teorema del encaje tam$ién se le llama teorema del emparedado o del pellizco!.
TEOREMA 1.? (O" L#M$TE" TR$GO!OM4TR$CO" E"PEC$ALE" 1.
lim senx
lim 1 −cosx
x→ 0
x→ 0
x
=1 2.
x
=1
(EMO"TRAC$-! -on el (in de evitar la con(usión entre dos usos distintos de x % se presenta la demostración utilizando la varia$le % donde denota un ángulo agudo positivo medido en radianes. En la (igura 1.22 se muestra un sector circular encajado o emparedado entre dos triángulos.
2
l multiplicar cada e"presión por
sen
resulta
1 - 1 cos sen
tomando sus recíprocos e invirtiendo las desigualdades se o$tiene&
cos +
sen + 1. cos =cos (− )
+uesto que
y
sen =[ sen(− )]/(− ) , se concluye que esta desigualdad es válida
distinto de cero dentro del intervalo a$ierto (−! / 2, ! / 2) . +or *ltimo% dado que lim 1 =1 y →0 % se puede aplicar el teorema del encaje para concluir que
para todo lim cos= 1 →0
lim ( sen ) / =¿
. 'a demostración del segundo límite se deja como ejercicio para el lector ver el
→0
ejercicio 123!. EJEMPLO 9 n límite en el @ue interiene una +unción tri5onom6trica
Encontrar el límite& lim anx x → 0
x
.
"olución 'a sustitución directa tiene como resultado la (orma indeterminada 5@5. +ara resolver este pro$lema% se puede escri$ir tan x como (sen x )/(cos x ) y o$tener lim anx x → 0
x
= lim x → 0
( )( ) senx x
1
cosx
/ora% puesto que lim senx
lim 1
x → 0
x → 0
x
=1 y
cosx
= 1
se puede o$tener lim anx x → 0
x
=
(
lim senx x → 0
x
6er la (igura 1.23.!
)( ) lim 1
x → 0
cosx
= (1 ) ( 1 )=1
EJEMPLO 10 n límite en el @ue interiene una +unción tri5onom6trica
Encontrar el límite& lim sen 4 x x → 0
x
"olución 'a sustitución directa tiene como resultado la (orma indeterminada 5@5. +ara resolver este pro$lema% se puede escri$ir el límite como lim sen 4 x
=4
x → 0
x
(
lim sen 4 x x→ 0
4 x
)
&liplicar y di/idir enre 4.
l ser a/ora y = 4 x y o$servar que x → 0 si y sólo si y → 0 % se puede escri$ir lim sen 4 x
=4
x → 0
x
(
lim sen 4 x x→ 0
4 x
) ( =4
lim seny y → 0
y
)
=4 ( 1 ) 'plicar el eorema 1.9 (1 ) .
¿4 6er la (igura 1.2).!
TEC!OLOG#A =tilizar una /erramienta de gra(icación para con(irmar los límites de los ejemplos y del conjunto de ejercicios. +or ejemplo% las (iguras 1.23 y 1.2) muestran las grá(icas de& f ( x )=
tan x
x
y g ( x )=
sen 4 x x
?$servar que la primera grá(ica parece contener el punto 5% 1! y la segunda al punto 5% )!% lo cual respalda las conclusiones o$tenidas en los ejemplos C y 15.
1.3 E
En los e
2
+ 4 x
a ¿ lim * ( x ) x → 4
b ¿ lim * ( x ) x → −1
'. g ( x ) =
12 ( √ x −3 )
x −9
a ¿ lim g ( x ) x → 4
b ¿ lim g ( x ) x→ 0
3. f ( x )= xcosx a ¿ lim f ( x ) x→ 0
b ¿ lim f ( x ) x → ! / 3
,.
f ( )= | − 4|
a ¿ lim f ( ) →4
b ¿ lim f ( ) →−1
En los e
3
x → 2
6. lim x
4
x →− 2
7.lim ( 2 x −1 ) x → 0
8. lim (3 x + 2 ) x →−3
9. lim ( x
2
x → −3
+ 3 x )
10. lim (− x
2
+1)
x → 1
11. lim ( 2 x
2
12. lim ( 3 x
−2 x2 + 4 )
x → −3
3
+ 4 x +1 )
x → 1
13. lim √ x + 1 x → 3
14. lim √ x + 4 3
x → 4
15. lim ( x + 3 )
2
x →−4
16. lim ( 2 x −1 )
3
x → 0
17. lim x → 2
() 1
x
x →−3
19. lim x → 1
20. lim x → 1
21.lim x → 7
(+) 2
18. lim
x 2
( +) x
x
2
4
2 x −3 x + 5
( √ + ) 3 x
x 2
22. lim x → 2
√ x + 2 x −4
En los e
3
a ¿ lim f ( x ) b ¿ lim g ( x ) c ¿ lim g ( f ( x )) x→ 1
x→ 4
24. f ( x )= x + 7, g ( x )= x
x → 1
2
a ¿ lim f ( x ) b ¿ lim g ( x ) c ¿ lim g ( f ( x )) x → −3
x → 4
x →−3
25. f ( x )=4 − x , g ( x )=√ x + 1 2
a ¿ lim f ( x ) b ¿ lim g ( x ) c ¿ lim g ( f ( x )) x→ 1
x→ 3
26. f ( x )=2 x
2
x → 1
3 x + 6 −3 x + 1, g ( x )= √
a ¿ lim f ( x ) b ¿ lim g ( x ) c ¿ lim g ( f ( x )) x → 4
x → 21
x→ 4
En los e
28.lim tan x x → !
29. lim cos
!x
x → 1
30. lim sen x → 2
3
!x 3
31. lim sec 2 x x → 0
32.lim cos3 x x →!
33. lim senx x → 5 ! / 6
34. lim cos x x → 5 ! /3
35. lim tan x → 3
( )
36. lim sec x → 7
!x 4
( ) !x 6
En los e
lim g ( x )=2 x→ c
a ¿ lim [ 5 g ( x ) ] x→ c
b ¿ lim [ f ( x ) + g ( x )] x→ c
c ¿ lim f ( x ) g ( x ) x → c
d ¿ lim [ f ( x ) / g ( x ) ] x → c
38. lim f ( x )= x → c
lim g ( x )= x→ c
3 2
1 2
a ¿ lim 4 f ( x ) x→ c
b ¿ lim [ f ( x ) + g ( x )] x→ c
c ¿ lim f ( x ) g ( x ) x → c
d ¿ lim [ f ( x ) / g ( x ) ] x → c
39. lim f ( x )= 4 x → c
a ¿ lim [ f ( x ) ]
3
x→ c
b ¿ lim √ f ( x ) x→ c
c ¿ lim 3 f ( x ) x → c
d ¿ lim [ f ( x ) ]
3/ 2
x → c
40. lim f ( x )=27 x→ c
a ¿ lim √ f ( x ) 3
x→ c
lim f ( x )
b¿
x → c
18
c ¿ lim [ f ( x ) ]
2
x → c
d ¿ lim [ f ( x ) ]
2/ 3
x → c
En los e
x − x 41 . g ( x )= x
a ¿ lim g ( x ) x→ 0
b ¿ lim g ( x ) x → −1
2 − x + 3 x 42 . * ( x ) =
x
a ¿ lim * ( x ) x→ 2
b ¿ lim * ( x ) x→ 0
3
x − x 43 . g ( x ) = x −1
a ¿ lim g ( x ) x→ 1
b ¿ lim g ( x ) x → −1
44 . f ( x )=
x 2
x − x
a ¿ lim f ( x ) x→ 1
b ¿ lim f ( x ) x→ 0
En los e
( ) 2
x −1 45. lim x → −1 x + 1
46. lim x → −1
(
2
− x −3 x + 1
2 x
)
( ) 3
x −8 47. lim x→ 2 x −2
( ) 3
x + 1 48. lim x → −1 x + 1
En los e
50. lim x → 0
51. lim x → 4
52. lim x → 3
( −) x
2
x
( (
x
3 x 2
x + 2 x x−4 2
x −16
) )
( −) 3− x
x
2
(
9
2
x + x −6 53. lim 2 x →−3 x − 9
(
2
)
x −5 x + 4 54. lim 2 x → 4 x −2 x − 8
)
55. lim x → 4
56.lim x → 3
57. lim x → 0
58.lim x → 0
59. lim
(
√ x + 5−3 x − 4
( √ +− − ) x 1 2 x 3
( √ + −√ ) x 5 x
2 x
[ 1 /( 3 + x ) ]−( 13 ) x
[ 1 /( x + 4 )] −( 14 ) x 2 ( x + 0 x )−2 x
0x
x → 0
62. lim
( x + 0 x )2− x 2 0x
x → 0
63. lim
2
x
x → 0
61. lim
5
( √ + −√ )
x → 0
60. lim
)
( x + 0 x )2− 2 ( x +0 x ) + 1−( x2 −2 x +1 ) 0x
x → 0
64. lim
( x + 0 x )3 − x3 0x
x → 0
En los e
66. lim x → 0
senx 5 x 3 ( 1− cosx )
x
.
senx ( 1 −cosx )
67. lim
x
x → 0
2
cosan
68. lim →0
2
sen x 69. lim x x → 0 2
tan x
70. lim
x
x → 0
(1−cos * )2
71. lim
*
* →0
72. lim ϕ
secϕ
ϕ → !
cosx cox
73. lim x →! /2
1−anx
74. lim
senx − cosx
x →! /4
sen 3 2
75. lim →0
[
(
2 sen 2 x sen 2 x S&gerencia : Enconrar lim 2 x sen 3 x x→ 0
76. lim x → 0
)(
3 x 3 sen 3 x
)]
Análisis gráfico, nu!rico " anal#$ico En los e
5ra+icación para representar la +unción : estimar el límite. Emplear una taFla para respaldar la conclusión. Posteriormente0 calcular el límite empleando m6todos analíticos. 77. lim x → 0
(
78. lim x → 16
√ x+ 2−√ 2
(
x 4 −√ x x −16
)
)
[+] 1
79. lim
2 x
1 2
−( )
x
x → 0
( ) 5
x −32 80. lim x −2 x → 2
81. lim →0
82. lim
sen 3 cosx −1 2 x
2
sen x 83. lim x x → 0
2
x → 0
84. lim
sen x
x → 0
3 x √
En los e
f ( x + 1 x )− f ( x ) 1 x
85. f ( x )=3 x −2 86. f ( x )=√ x
87. f ( x )=
1
x + 3
88. f ( x )= x
2
−4 x
En los e
89. c =0 4 − x + f ( x ) + 4 + x 2
2
90. c =a
b −| x −a|+ f ( x ) +b −| x − a|
En los e
95. f ( x )= xsen
1
96. * ( x ) = xcos
x 1
x
(esarrollo de conceptos ?7. En el conte"to del cálculo de límites% analizar qué se quiere decir mediante las (unciones que coinciden en todo salvo en un punto. ?=. Ela$orar un ejemplo de (unciones que coinciden en todo salvo en un punto. ??. ué se quiere decir con indeterminación o (orma indeterminadaF 1. E"plicar el teorema del encaje. 11. %&'acci(n =tilizar una /erramienta de gra(icación para /acer la representación de f ( x )= x , g ( x )= senx y* ( x )=
senx x
en la misma ventana. -omparar las magnitudes de f x ! y g x ! cuando x se acerca a 5. =tilizar la comparación para escri$ir un $reve párra(o en el que se e"plique por qué lim * ( x )=1 x→ 0
1'. %&'acci(n =tilizar una /erramienta de gra(icación para representar
2
sen x f ( x )= x , g ( x )= sen x y * ( x )= x 2
en la misma ventana. -omparar las magnitudes de f x ! y g x ! cuando x se acerca a 5. =tilizar la comparación para escri$ir un $reve párra(o en el que se e"plique por que lim * ( x )=1 x→ 0
O)*&$o &n ca#'a li)r& En los e
una altura de pies. La elocidad en el instante lim →a
=a
se5undos está dada por
s ( a )− s ( ) a −
13. #i a un al$aGil se le cae una /erramienta desde una altura de 455 pies% a qué velocidad estará cayendo luego de 4 segundosF 1,. #i a un al$aGil se le cae una /erramienta desde una altura de 455 pies% cuánto tiempo tardará ésta en llegar al sueloF qué velocidad se producirá el impactoF O)*&$o &n ca#'a li)r& En los e
s ( )=− 4.9
2
+ 200 0 @ue da la altura en metros2 de un oF
s ( a )− s ( ) a −
1. Determinar la velocidad del o$jeto cuando =3 . 1. qué velocidad golpeará el sueloF 17. Encontrar dos (unciones f y g tales que
[
lim f ( x ) + g ( x ) x→ 0
]
lim f ( x ) x→ 0
y
lim g ( x ) x→ 0
no e"istan% pero sí
si e"iste.
1=. Demostrar que si
lim f ( x ) x→ 0
e"iste y
[
lim f ( x ) + g ( x ) x→ 0
e"iste.
1?. Demostrar la propiedad 1 del teorema 1.1.
]
no e"iste% entonces
lim g ( x ) x→ 0
tampoco
11. Demostrar la propiedad 3 del teorema 1.1. #e puede utilizar la propiedad 3 del teorema 1.2!. 111. Demostrar la propiedad 1 del teorema 1.2. lim f ( x ) =0
11'. Demostrar que si 113. Demostrar que si
lim f ( x ) g ( x )=0
entonces
% entonces
x→ c
x→ c
11,. a! Demostrar que si
lim f ( x ) =0 x→ c
y
lim |f ( x )|=0 x→ c
.
|g ( x )|+ para un n*mero (ijo
M y todas las
x ≠ c %
. lim |f ( x )|=0
x→ c
% entonces
lim f ( x ) =0 x→ c
.
Nota& Este ejercicio es inverso al del pro$lema 112.! b! Demostrar que si
lim f ( x ) = L x→ c
entonces
;Sugerencia& =tilizar la desigualdad
lim |f ( x )|=| L|
x→ c
||f ( x )|−| L||+|f ( x )− L|
. .<
11. Para +&nsar Encontrar una (unción f que muestre que el recíproco del ejercicio 11) b no es lim f ( x ) lim |f ( x )|=| L| verdadero. ;Sugerencia& Huscar una (unción f tal que x→ c % pero donde x→ c no e"ista.<
Para discusión 116. Sea f ( x ) =
Encontrar
{
3, x ≠ 2 5, x =2
lim f ( x ) x→ 2
-&r'a'&ro o falso. En los e
+alsa. "i es +alsa eDplicar por @u6 o proporcionar un e
118 . lim x→ 0
| x| =1 x
sen x =1 x
11C. #i f ( x )= g ( x ) para todos los n*meros reales distintos a x =0 % y
lim f ( x ) = L, x→ 0
entonces
lim g ( x )= L . x→ 0
125. #i
121.
lim f ( x ) = L, x→ c
lim f ( x ) =3,
entonces f ( L )= L .
donde
x→ 2
{
f ( x )= 3, x + 2 0, x > 2
122. #i para f ( x )< g ( x ) todas las x ≠ a , entonces
lim f ( x ) < lim g ( x ) . x→ a
x →a
123. Demostrar la segunda parte del teorema 1.C pro$ando que lim 1−cos x x → 0 =0 x
12). #ean
{
f ( x )= 0, si x esracional 1, six esirracio nal y
-alcular si es posi$le!
lim f ( x ) x→ 0
y
{
g ( x ) = 0, si x es racional x , si x esirracional
lim g ( x ) x→ 0
1'. %a/onai&n$o gráfico -onsiderar
f ( x )=
sec x −1 2
x
a! Determinar el dominio de f . b! =tilizar una /erramienta de gra(icación para /acer la representación de f . Iesulta evidente el dominio de f a partir de la grá(icaF #i no es así% e"plicar por qué. lim f ( x ) . c ! =tilizar la grá(ica f para calcular x→ 0 d ! -on(irmar la respuesta del apartado c ! utilizando el método analítico.
1'. A+roiaci(n lim 1− cosx x → 0 a! -alcular 2 x
b! =tilizar el resultado del apartado anterior para o$tener la apro"imación
cercanas a 5. c ! plicar el resultado del apartado b! para estimar
1 2 x 2
para x
cos ( 0.1) .
d ! =tilizar una /erramienta de gra(icación para estimar
el resultado con el del apartado c !.
cos x 2 1 −
cos ( 0.1)
con cuatro decimales. -omparar
1'7. Para +&nsar l utilizar una /erramienta de gra(icación para generar una ta$la con el (in de lim ¿ [ ( senx )/ x ] , un estudiante concluye que el límite% y no 1% era 5.51:)4. Determinar estimar x→ 0 la pro$a$le causa del error.
