Formulario de integrales c 2001-200 2001-2005 5 Salvador Salvador Blasco Llopis Este formulario puede ser copiado y distribuido libremente bajo la licencia Creative Commons Atribuci´ on 2.1 Espa˜ na. S´ epti epti ma r evis i´ on: Febrero 2005 on: Sexta revisi´ on: on: Julio 2003 Quinta revisi´ on: on: Mayo 2002 Cuarta revisi´ on: on: Mayo 2001 Tercera Tercera revisi´ on: on: Marzo 2001
1.
Inte Integr gral ales es inde indefin finid idas as
1.1.
Func uncione ioness raciona racionales les e irrac irraciona ionales les Contie Contienen nen ax + b
1.1.1. 1.1.1.
(1) (2) (3) (4) (5)
1.1.2. 1.1.2.
(6) (7)
1 (ax + b)n+1 + C, a(n + 1)
(ax + b)n dx =
n=1
1 dx = ln ax + b + C ax + b a
|
|
dx 1 x = ln + C x(ax + b) a ax + b dx = (1 + x) x)2
− 1 · 1 +1 x + C
xdx = (1 + bx) bx)3
1 1 − 21b · (1 +2bx) − · + C bx)2 2b 1 + bx √ Contie Contienen nen ax + b
√ √
x a + bxdx =
2(3bx 2(3bx
x 2(bx 2(bx dx = a + bx
− 2a)(a )(a + bx) bx)3/2 + C 15 15bb2
− 2a)√a + bx + C 3b 2
1
(47) (48) (49) (50) (51)
sen axdx =
(53) (54) (55) (56) (57) (58)
(60) (61) (62) (63)
−
n
x sen axdx =
·
·
−
−
1 n n x cos ax + a a
∞
±
senn−2 axdx,
cos(a + b)x 1 cos(a cos(a − b)x − 12 cos(a − + C, a+b 2 a−b
sen ax (ax) ax)2ν −1 dx = x (2ν (2ν 1) (2ν (2ν ν =0 1
− ·
dx 1 ax = tan sen ax a 2
π4
n = 0, 1;
−
a 2 = b2
xn−1 cos axdx
− 1)!
+ C
Contie Contienen nen cos ax
cos2 axdx =
1 ax + cos ax sen ax + C 2 a
·
·
dx 1 ax = ln tan cos ax 2 a
π 4
−
∞
+ C
cos ax (ax) ax)2ν dx = ln ax + ( 1)ν + C x (2ν (2 ν ) (2ν (2 ν )! ) ! ν =1
| |
−
· cosn−1 ax · sen ax n − 1 0,0 , −1; cosn axdx = + cosn−2 axdx+ axdx + C, n = a·n n 1 sen(a sen(a − b)x 1 sen(a sen(a + b)x cos ax cos bxdx = − + + C, a2 = b2 2 a−b 2 a+b
1.2.3. 1.2.3.
(59)
senn−1 ax cos ax n 1 + a n n
sen ax sen bxdx =
1.2.2. 1.2.2.
(52)
n
1 x cos axdx = xn sen ax a n
1
±
dx = cos ax
−
n a
± a1 tan ax2 + C
xn−1 sen axdx + C,
n=
−1
Contie Contienen nen tan ax o cot ax
tan axdx =
− a1 lncos ax + C
tan2 xdx = tan x
− x + C
tann−1 ax tan axdx = a(n 1) n
−
cot axdx = n
−
tann−2 axdx,
n = 1, 0;
1 lnsen ax + C a
cot axdx =
−
cotn−1 ax a(n 1)
−
−
cotn−2 axdx + C,
5
n = 1, 0;
Contie Contienen nen sec ax o csc ax
1.2.4. 1.2.4.
(64) (65) (66) (67) (68)
(70) (71)
(73) (74) (75) (76)
sec2 axdx = secn xdx =
ax ln cos 2
−
−
ax sen 2
+ C
1 tan ax + C a
1 tan ax secn−2 ax 1 n + a n 1 an
·
−
− 2 1 n−2ax · dx + C, − 1 sec
n = 1;
csc2 axdx =
cscn−2 ax dx+ dx + C,
·
n = 1;
Varias funciones funciones
sec x tan ax dx = sec x + C
·
·
csc x cot x dx =
·
m
·
n
− csc x + C
cos x sen x dx =
1.2.6.
(72)
− a1 cot ax + C 1 cot ax · cscn−2 1 n − 2 n csc axdx = − + · a n−1 a n−1
1.2.5. 1.2.5.
(69)
1 ax ax sec axdx = ln cos + sen 2 2 a
·
·
cosm−1 x senn+1 x m+n cosm+1 x senn−1 x m+n
· ·
m−1 +m +n n−1 + m+n
funciones trigonom´ etricas etricas inversas inversas
cosm−2 x senn x dx cosm x senn−2 x dx
·
x x arc sen dx = x arc sen + a a
a2
x2 + C,
a > 0;
x x arc cos dx = x arc cos a a
a2
x2 + C,
a > 0;
·
·
·
x x arctan dx = x arctan a a
·
− − − − 1 x2 a ln 1 + 2 a a
+ C,
x 1 x a arccot dx = x arccot + ln(a ln(a2 + x2 ) + C a a a 2
·
x arc cosxdx cos xdx = x arc cosx cos x + arc arc sen x + C
·
6
·
a > 0;
· ·
1.3.
(77) (78) (79) (80) (81) (82) (83)
Funciones exponenciales y/o logar´ logar´ıtmicas
xn eax x e dx = a n ax
n a
−
xn−1 eax dx
eax sen bx dx =
eax (a sen bx b cos bx) bx) + C 2 2 a +b
eax cos bx dx =
eax(b sen bx + a cos bx) bx) + C 2 2 a +b
−
·
·
nx
dx x = a + benx a
ln(a + be − ln(a an
)
+ C
− lnxa + C, ∀a > 0; 2x2 ln x − x2 x ln xdx = + C
loga xdx = x loga x
4
xn ln ax dx = xn+1
·
ln ax n+1
1 + C (n + 1)2
−
(84)
xn+1 m x (ln ax) ax) dx = (ln ax) ax)m n+1 n+1 n
(85) (86) (87) (88) (89) (90)
−
− x + C,
x > 0;
m
ln axdx = x ln ax
xn (ln ax) ax)m−1 dx,
∞
eax (ax) ax)i dx = ln x + + C x i i! i=1
||
e
ax
·
1 ln x dx = eax ln x a
·
| |−
∞
1 a
lni x dx = ln ln x + + C, ln x i i! i=1
|
|
dx = ln ln x + C, x ln x
|
|
·
eax dx + C x x > 0;
x > 0;
lnn x 1 dx = lnn+1 x, x x+1
n=
−1, x > 0;
7
n, m =
−1, x > 0;
1.4.
(91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101)
Func uncione ioness hiperb´ hiperb´ olicas olicas
1.4.1. 1.4.1.
(102)
(103) (104) (105) (106) (107)
senh axdx =
1 cosh ax + C a
senh2 xdx =
1 senh2x senh2x 4
cosh axdx =
1 senh ax + C a
cosh2 xdx =
1 1 senh2x senh2x + x + C 4 2
tanh axdx =
1 ln cosh ax + C a
coth axdx =
1 ln senh ax + C a
− 12 x + C
|
|
|
|
sechxdx sechxdx = arctan(senh x) + C sech2 xdx = tanh x + C x = 2
cschxdx cschxdx = ln tanh
senh x tanh x dx =
·
·
cschx cschx coth x dx =
·
·
x+1 − 12 ln cosh + C cosh x − 1
sechx + C −sechx
cschx + C −cschx
funcio funciones nes hiperb´ hiperb´ olicas olicas inversas
x x arcsenh dx = x arcsenh a a
−
a2 + x2 + C,
a>0
− √√x2 − a2 + C, arccosh xa > 0, a > 0; x2 − a2 + C, arccosh xa < 0, a > 0; x x 1 arctanh dx = x arctanh + a ln(a ln(a2 − x2 ) + C a a 2 x arccosh dx = a
x arccosh xa x arccosh xa +
x x 1 arccoth dx = x arccoth + a ln(x ln(x2 a a 2
− a2) + C
x x arcsenh dx = x arcsech a a
−
− a arc sen
1
x2 + C a2
x x x2 arcsech dx = x arccsch + a arccosh 1 + 2 + C a a a
8
2.
Inte Integr gral ales es defini definida dass
(108)
∞
n!
xn e−qx dx =
q n+1
0
(109)
∞
=
(110)
0
−1, q > 0;
· · ·
=
n>
Γ[(m Γ[(m + 1)/ 1)/2] , a> 0 ( +1)/ +1) m /2 2a n! , Si m impar : m = 2n + 1 2an+1 1 3 . . . (2n (2n 1) π , Si m par : m = 2n n +1 2 n 2 a +1
2
xm e−ax dx =
0
,
1 x e−ax dx = − e−a + 2
2
2
2a
4
−
√
π erf( erf( a) a3
(111)
∞
t
(112)
n!e−at a2 t2 an tn x e−ax dx = n+1 1 + at + + ... + , n = 0, 0 , 1, . . . , a > 0;
n
a
∞
n−1 x e−ax dx = 2
n
2a
0
(113)
∞
2
e−ax dx =
0
(114)
∞
1 2
2
xe−ax dx =
0
x
(115)
0
x
(116)
0
(117)
0
(119)
0
(121) (122)
−x
n!
2
xn−2 e−ax dx
0
π a
1 2a 1
1
−x
dx x = 2 (1 x) 1 x
−
−
dx 1 = ln(1 + x) x) 1 + x
x
1 + x 1 dx = (1 + ) ln 1 x 1 x
− − x x 1 + x (1 − )x 1 − dx = ln (1 − x)2 1−x 1−x x
(120)
1
= ln
∞
x
0
(118)
dx
2!
−
(1 + x) x)2 dx = 2 2 (1 + ) ln(1 ln(1 (1 x)2
2
(1 + ) x − x) + 2 x + − 1−x 0 x dx 1 ΘB − x 1 = ln , ΘB = ΘB − 1 ΘB (1 − x) 0 (1 − x)(ΘB − x) x −2 + 2 , b2 = 4ac dx = 4 ac 0
ax2 + bx + c
2ax + b
b
(123) 9
x
0
−
x
(124)
0
3. 3.1. 3.1.
· −−
,
b2 > 4ac; ac; p, q son las ra´ıces; ıce s;
a + bx bx ag bc dx = + ln(c ln(c + gx) gx ) c + gx g g2
−
M´ etodos etodos de integraci´ integraci´ on on Inte Integra graci´ ci´ on on por partes:
·
u dv = u v
3.2. 3.2.
dx 1 q x p = ln 2 ax + bx + c a( p q ) p x q
·
− ·
v du
Inte Integra graci´ ci´ on on por sustituci´ on: on:
si x = g (t) es un funci´on on que admite derivada cont´ cont´ınua no nula y funci´on on inversa t = h(x) y F ( F (t) es una primitiva de f ( f (g (t))g ))g (t) se tiene que:
3.3. 3.3.
f ( f (x)dx = F ( F (h(x)) + C
Inte Integra graci´ ci´ on de funciones racionales: on
F ( F (x) Queremos hallar Q F (x) y Q(x) polinomios de coeficientes (x) dx siendo F ( reales. Si el grado de F es mayor que el de Q se hace la divisi´on on para obtener F ( F (x) R(x) C (x)dx + Q(x) dx. dx. La primera integral es inmediata. Para la Q(x) dx = segunda se admite que Q(x) se puede descomponer de la siguiente manera: Q(x) = a0 (x a) p . . . (x a)q [(x [(x c)2 + d2 ]r . . . [(x [(x e)2 + f 2 ]s y es unica. ´unica. En tal caso, el integrando i ntegrando del segundo t´ ermino ermino se puede descomponer como sigue: A B R(x) A1 A2 B1 B2 Q(x) = (x−a) + (x−a) −1 + . . . + x−a + . . . + (x−b) + (x−b) −1 + . . . + x−b + M 1 x+N 1 x+N H 1 x+K1 H x+K + . . . + (M ((x−e)2 +f 2 ) + . . . + (x−e)2 +f 2 . Todas x−c)2 +d2 + . . . + ((x ((x ((x−c)2 +d2 ) −1 las constantes se obtienen identificando coeficientes. Al resolver los sumando se obtienen integrales del siguiente tipo:
−
−
−
−
p
p
q
p
q
r
r
s
r
1. 2. 3. 4.
q
s
s
dx x a
− = ln |x − a| + C
dx (x a)p
−
=
1 (1 p)( p)(x x a)p−1
−
Mx+ Mx +N (x c)2 +d2 dx
−
+ C
−
=
Mx+ Mx +N [(x [(x c)2 +d2 ]r dx
M 2 ln
Mc +N c |(x − c)2 + d2| + Mc+ arctan x− d d + C
⇒ Llamemos I r =
−
operando operando se obtiene obtiene
1 · ((x ((x−c) +d )
I r =
M 2(1 r)
J r =
1 d2 J r 1
−
− +d
2
2
r −1
−
J r =
+ (M (M c + N ) N ) J r
·
x −c −r)((x )((x−c)
2 2(1
Mx+ Mx +N [(x [(x c)2 +d2 ]r dx y
2 +d2 )r−1
10
− d 2(11 −r) J r − 1 2
dx [(x [(x c)2 +d2 ]r dx
−
3.4.
M´ etodo etodo de Hermite
Si Q(x) = (x (x
− a)m . . . (x − b)n ·
(x
− c)2 + d2
. . . (x
− e)2 + f 2
entonces
R(x) U ( U (x) dx = p−1 q −1 + Q(x) (x a)m−1 . . . (x b)n−1 . . . [(x [(x c)2 + d2 ] . . . [(x [(x e)2 + f 2 ] dx dx Cx + D Ex + F +... +L + K dx + . . . + dx 2 2 x a x b (x c) + d (x e)2 + f 2
−
−
−
−
−
−
−
−
donde U ( U (x) es un polinomio de un grado menos que su denominador. Todas las constantes se determinan derivando la expresi´on on e identificando coeficientes.
3.5. 3.5.
Inte Integra graci´ ci´ on de funciones irracionales algebraicas on Integrales del tipo
ax + b cx + d
R x,
m1 n1
,...,
ms ns
ax + b cx + d
dx a,b,c,d
|
∈ R; ni, mi ∈ Z; ni = 0
y c y d no se anulan simult´aneamente. aneamente. Se transforma en integral racional ax+ ax+b m mediante el cambio cx+ siendo m el m´ınimo ıni mo com com´ un u ´ n m´ ultiplo ultiplo de las cx+d = t ni . Integrales del tipo casos:
R x,
√ax2 + bx + c
dx se consideran los siguientes
→ √√ax2 + bx + c = ±√a · x + t √ 2. c < 0 → ax2 + bx + c = ± c + x · t √ 3. a,c < 0 → ax2 + bx + c = t · (x − α) siendo α una de las raices del polinomio. √ax2 + bx + c + K √ dx P (x) · M´etodo eto do Alem´ Al em´an: an: √axP ( dx = Q ( x ) +bx+ bx+c ax +bx+ bx+c Donde gradQ( gradQ(x) = grad( grad(P ( P (x)) − 1 y K es una constante. Los coeficientes 1. a > 0
2
se obtienen derivando la expresi´on on e identificando identifican do t´erminos. erminos .
2
R; m,n,p Q. Estas inteSeries bin´omicas: omicas: xm (a + bxn ) p dx a, b grales se convierten en racionales en los siguientes casos con los cambios indicados.
|
∈
∈
∈ Z → x = tq donde q es el m.c.m. de los denominadores n y m. m+1 n q n ∈ Z → a + bx = t siendo q el denominador de p. m+1 a+bx = tq siendo q el denominador de p. n +p∈ Z→ x
1. p 2. 3.
n
n
En cualquier otro caso se puede expresar como funci´on elemental.
3.6. 3.6.
Inte Integra graci´ ci´ on de funciones trascendentes on
Si R(u) es una funci´on on racional y u = f ( f (x) es una funci´on on que admite funci´on on inversa con derivada racional, entonces la integral de R(f ( f (x)) se reduce a una integral racional mediante el cambio f ( f (x) = t .
11
3.7. 3.7.
Inte Integra graci´ ci´ on on de funciones funci ones trigonom´ trig onom´ etricas etric as Integraci´ on on de R(sen x, cos x)dx: dx: en general se hace el cambio tan x2 = t 2dt 1−t2 2t con lo que sen x = 1+t 1+t2 , cos x = 1+t 1+t2 , dx = 1+t 1+t2 . En elgunos casos se pueden intentar otros cambios:
1. Si R(sen x, cos x) =
−R(sen x, − cos x) se hace el cambio sen x = t 2. Si R(sen x, cos x) = −R(− sen x, cos x) se hace el cambio cos x = t 3. Si R(sen x, cos x) = R(− sen x, − cos x) se hace el cambio tan x = t Integrales del tipo I m,n senm xn ·x·dx se puede reducir de las siguientes m,n =
formas:
1. I m,n m,n =
senm+1 x cosn−1 x m+1
2. I m,n m,n =
senm+1 x cosn−1 m+n
5.
6. I m,n m,n =
4. 4.1.
·
m−1
·
m−1
·
m+1
·
− sen sen I m,n m,n = − sen I m,n m,n = −
3. I m,n m,n = 4.
·
n −1 +m +2,n−2 , +1 I m+2,n
−1 x n−1 0 +m m+n = m,n−2 , +n I m,n −1 +2,n+2 x +m m = −1 +2 , n+1 I m+2,n x m−1 0 +m m+n= +n I m−2,n , x n −2 + mn++1 I m,n+2 n = −1 m,n+2 , +n−2 x + mm m = −1 +2,n+2 +2 , +1 I m+2,n
x cosn+1 m+1
x cosn+1 m+n x cosn+1 n+1
senm+1 x cosn+1 m+1
·
Ecuaci Ecuacione oness difer diferenc encial iales es ordi ordinar narias ias Ecuacion Ecuaciones es dife diferen rencial ciales es linea lineales les
R y + p(x)y = q (x) =⇒ y = e− (x)dx
1 τ y + y = p(t) =⇒ y = e−t/τ
τ
5. 5.1.
m=
R
q (x)e
t
p(x)dx
+ C
p( p(t)et/τ dt + y0
0
Soluci´ on on num´ erica erica de ecuaciones ecuacio nes diferenciales diferen ciales M´ etodo etodo de Runge-Kutta Runge-Kutta de cuarto orden orden y = f ( f (x, y )
→ yi+1 = yi + 16 (k1 + 2k 2k2 + 2k 2k3 + k 4)h 4)h
k1 = f ( f (xi , yi) k2 = f ( f (xi + h/2 h/2, yi + k1 h/2) h/2) k3 = f ( f (xi + h/2 h/2, yi + k2 h/2) h/2) k4 = f ( f (xi + h, yi + k3 h)
12