Aplicación de taylor al calculo de limites

´ DE LOS DESARROLLOS DE TAYLOR AL C ALCULO ´ APLICACI ON  DE LIMITES INDETERMINADOS Este material mater ial fu´e elaborado elab orado por p or el alumno al umno Nicol´ Nico l´as as Trias y Revisado por el Prof. de Calculo 1 Claudio Qureshi. (Noviembre de 2008) Las indeterminaciones de la forma 00 pueden pueden levant levantarse arse desarrollan desarrollando do como polinomios de Taylor , a las funciones que aparecen tanto en el numerador como en el denominador hasta un orden en el que la indeterminaci´on sea levantada levantada.. No es necesario desarrollar a las funciones involucradas en la expresi´on on hasta el mismo orden , sino hasta que desaparezca la indeterminaci´on. on. En realidad si se quiere se puede puede ser siempr siempree riguro riguroso so e indica indicarr el resto. resto. Si una funci´ funci´ on on es anal´ anal´ıtica en a se tiene que:

 f  (a) n

P n (f ( f (x), a) = f (a) +

k

k!

k =0

con

(x − a)k + Rn (x)

Rn (x) =0 a (x − a)n

lim

x→

Ejemplos: ex − 1 = 0 sen( sen(x)

1.C´ alcular alcular el limite - lim x→

0 0

Escribo i. P 4 (ex , 0) = 1 + x +

x2 x3 x4 + + 2 6 24

ii. P 4 (sen( sen(x), 0) = x −

x3 6

Luego sustituyo i y ii en la expresi´on on del limite:

lim

1+x+

x

2

2

+

x−

x→0

2. C´ alcular alcular lim t3 (e

x→+∞

1 t

−

1−

3

x

6

+

4

x

24

−

1

x3

=1

6

1 t

−

1 )= 2t2

.0

∞

Entonces para levantar esta indeterminaci´on ralizamos primero el cambio de variable z = 1t , entonces ahora z tiende a 0 + . Al sustitu sustituir ir estos estos datos , el limite limite queda escrito de la siguiente siguiente manera: manera:

1

2

1 z z2 0 − 1 − z − (e ) = 0 z3 2 0

lim

x→

entonces desarrollando Taylor para ex hasta orden 3 tenemos que:

lim

1+z+

z

2

+

2

z

3

6 3

−

1−z −

z

x→0

z

2

2

=

1 6

Notaci´ on : Al anotar P n (f (x), a) es el desarrollo de taylor de orden n en el punto a para la funci´ on f(x). Las indeterminaciones de la forma pueden ser levantadas con este m´ etodo simplemente realizando una transformaci´on para que la indeterminaci´on quede de la forma 00 . ∞ ∞

f (x) = a g(x)

lim

x→

∞ ∞

entonces transformarmos el cociente haciendo 1/g(x) 1/f (x) para que quede de la forma a.

0 0

, siempre que 1/f(x) y 1/g(x) sean anal´ıtica en x =

Nota: Una funci´ on es anal´ıtica en un punto x = a si la misma es diferenciable infinitas veces en un entorno de a. Luego se desarrolla por taylor hata el orden conveniente a las funciones 1/f(x) y 1/g(x) y se calcula el limite de dicho cocinete. O sea que todo se reduce a tener que calcular el limite siguiente:

lim

x→a

P n (1/g(x), a) P n (1/f (x), a)

BIBLIOGRAF´IA: An´ alisis matam´atico I Imerl (Fernando Paganini) p´ ags.90 a 96. Funciones Funciones