UNEFM - Programa de Ingenieria Biomedica Analisis de Señales y Sistemas I Prof.Leonardo Cirinos Ca!tino Unidad "- Clase #-.
Series de Fourier. Introd!cci$n% A continuación se presenta una nueva tecnica de analisis de señales y sistemas a las ya vistas en clase. Como se verá se descompondrá una señal expresada como una suma de senoides reales o complejas. Los sistemas invariantes en el tiempo LIT poseen respuestas propias que se presentan como funciones exponenciales exponenciales complejas estas pueden relacionarse con las funciones funciones senoidales reales y complejas. complejas. Al respecto Mie !o"erts menciona #$xpresar las señales de esta manera lleva al concepto del dominio de la frecuencia en la cual las ecuaciones diferenciales se convierten en eccuaciones al%e"raicas y los sistemas pueden anali&arse mediante metodos que implican sistemas de ecucaciones al%e"raicas con co'eficientes complejos en lu%ar de sistemas de ecuaciones diferenciales. Al considerar las señales de esta manera tam"i(n lleva a un nuevo conocimiento acerca de la naturale&a de los sistemas y en ciertos tipos) simplifica su diseño y análisis*. La si%uiente %uia no pretende ser ex'autiva en cuanto a los conceptos en torno a la serie de +ourier) mas "ien es una %uia practica de la aplicación de conceptos dados en clase y el desarrollo de la serie de +ourier mediante el uso del sof,are de calculo matematico -ctave. $s Cierto Cierto que es necesario que el alumno estudie estudie los conceptos conceptos li%ados li%ados al tema) y por ello ello al final de la %uia se provee al alumno de lecturas recomendadas para el estudio de la erie de +ourier) prov provey eyen endo dole le asi asi toda todass las las 'err 'erram amie ient ntas as necesarias para la comprensión del tema.
Serie de Fo!rier. Considere una señal ar"itraria que se desea presenta presentarr como una com"ina com"inación ción lineal de senoi senoides des en un inte interva rvalo lo finito finito de tiempo tiempo desd desdee el tiem tiempo po inic inicia iall fin final
t /
y un tiemp tiempo o
t /+ T F como como se ilus ilustr traa en la part partee
supe superi rior or de la +i%u +i%ura ra 0. Cons Consid ider eree que que f F =0 / T F se denomina frecuencia fundamental de la señal presentada. Como se muestra en la fi%ura 0) es posi"le a%re%ar una cons consta tant ntee y seno senoss y cose coseno noss a mult multip iplo loss enteros de la frecuencia frecuencia fundamental fundamental con las
amplitudes correctas para representar la señal ori%inal en el intervalo de tiempo finito seleccionado. e demostrará que si se si%uen sumando indefinidamente y correctamente los senos y cosenos ele%idos a multiplos enteros mas altos de la frecuencia fudamental) la representación se aproximará a la señal t /< t < t / + T F .
ori%inal en el intervalo de tiempo
$n una representación de la serie de +ourier de una señal) los senos y los cocenos de mas alta frecuencia tienen frecuencias que son multiplos enteros de la frecuencia fundamental. $l multiplo reci"e el nom"re de número de armonica y se desi%nará como k. 1e tal modo) por ejemplo) la función
( π( k f F )t ) es el 3(simo coseno
cos 2
armonico y su frecuencia es kf F . i la señal que se va a representar es x4t5 ) entonces la amplitud del 3(simo seno armonico será desi%nado como b x [ k ] y la la amplitud del 3(simo coseno armonico será
desi%nado
como
a x [ k ]
Asi
las
funciones seno y coseno son funciones de una varia"le independiente discreta) no de un tiempo discreto n, sino mas "ien del n6mero de armonica discreto k. Las funciones a x [ k ]
b x [ k ] y
) junto con el t(rmino constante) serán denominadas las funciones armonicas de la serie de
+ourier de la señal ori%inal) y en este caso de la serie de +ourier Tri%onometrica. $l proceso de determinar los valores de funciones ) b x [ k ]
a x [ k ]
a x [ / ]
y el termino
se le llama analisis de
Fourier.
Ec!aciones de la Serie de Fo!rier &rigonom'trica. f ( t )= a x [ / ]+
∑= (a [ k ] cos (ω k t dt )+ b [ k ] sin (ω k t dt )) x
k
x
/
/
0
a x [ / ]=
a x [ k ]=
b x [ k ]=
2
T
0
T
T
∫ f ( t ) dt
728
/
T
∫ f ( t ) cos (ω k t d t ) dt
2
T
/
798
/
T
∫ f ( t ) sin (ω k t dt ) dt /
/
7:8
708
Analisis de Fo!rier Com(!tacional. %Determine de serie de Fourier para la se ñal
x ( t )=u ( t )−u ( t −π / 2 )+ u ( t −π )
%Graficamos la se ñal a calcular. t=-pi/2:0.01:2*pi; u=us(t)-us(t-pi/2)+us(t-pi)-us(t-2*pi); p=plot(t,u);set(p,'LineWidth',2,'Color','b'); xlabel"t"; ylabel"x(t)"; grid axis([-2 4.5 -1 2]); %Analisis de la Se ñal: La posee periodo T=pi. %la función tiene amplitud 1 en el intervalo 0
a x [ / ]
como a0
% Llamaremos a
a x [ k ]
como Ak y
b x [ k ] como Bk.
%Se utiliza OctSympy
el
paquete
de
calculo
simbolico
de
Octave
llamado
>> pkg load symbolic >> syms t k % Se declaran las variables simbolicas t y k OctSymPy v2.2.4: this is free software without warranty, see source. Initializing communication with SymPy using a popen2() pipe. Some output from the Python subprocess (pid 7037) might appear next. warning: sleep is obsolete and will be removed from a future version of Octave, please use pause instead warning: called from sleep at line 35 column 5 readblock at line 57 column 7 python_ipc_popen2 at line 77 column 14 python_ipc_driver at line 30 column 13 python_cmd at line 138 column 9 sym at line 361 column 5 syms at line 158 column 9 Python 2.7.12 (default, Dec
4 2017, 14:50:18)
[GCC 5.4.0 20160609] on linux2 Type "help", information.
"copyright",
"credits"
or
"license"
for
more
>>> >>> Waiting.......
OctSymPy: Communication established.
SymPy v0.7.6.1.
>> %Este ultimo mensaje es normal en el proceso de comunicacion entre el Octave y el modulo Sympy. >> %con el animo de poder tener resultados mas convertiremos el valor Pi en unavariable simbolica.
simplificados,
>> pi=sym(pi)
π
pi = (sym)
>> %Se calculan las funciones expresiones simbolicas.
a0,
Ak
y
Bk
y
se
obtienen
sus
>> %Se usara la funcion "int" de Sympy para calcular las integrales. >> T=pi T = (sym)
%Variable T con el valor del periodo
π
>> wo=(2*pi)/pi % Variable wo con el calculo de la frecuencia angular wo = (sym) 2 >> a0=int(1/T,t,0,pi/2); >> disp(a0) % disp() muestra el resultado de a0 1/2 >> Ak=int(2/T*cos(wo*k*t),t,0,pi/2); %calculo de Ak >> disp(Ak)
⎛⎧
π
⎞
⎜⎪
─
for 2 ⋅k = 0 ⎟
⎜⎪
2
⎟
2⋅⎜⎨
⎟
⎜⎪sin(π⋅k)
⎟
⎜⎪──────── ⎝⎩ 2⋅k
otherwise
⎟ ⎠
────────────────────────── π >> Bk=int(2/T*sin(wo*k*t),t,0,pi/2);
%calculo de Bk
>> disp(Bk)
⎛⎧ 0
for 2 ⋅k = 0 ⎞
⎛⎧
⎜⎪
⎟
⎜⎪
2⋅⎜⎨-1
⎟
⎜⎪───
otherwise
⎝⎩2⋅k -
for 2 ⋅k = 0 ⎞
0
⎟
2 ⋅⎜⎨-cos( π⋅k)
⎟
⎟
⎜⎪──────────
⎠
⎝⎩
⎟
otherwise
2 ⋅k
⎠
───────────────────── + ──────────────────────────── π
π
>> %podemos simplificar Bk usando el comando simplify >> Bk=simplify(Bk) Bk = (sym)
⎧
0
for 2 ⋅k = 0
⎪ ⎨-cos(π⋅k) + 1
⎪───────────── ⎩
otherwise
π⋅k
>> serie=a0 serie = (sym) 1/2 >> armonicos= 7 % Variable armonicos armonicos k a calcular.armonicos = 7
contiene
la
cantidad
de
>> for k=1:armonicos % bucle for para el calculo de serie de fourier.serie=serie+(int((2/T)*cos(wo*k*t),t,0,pi/2)*cos(wo*k*t))+ (int((2/T)*sin(wo*k*t),t,0,pi/2)*sin(wo*k*t)) endfor %finaliza el bucle for
serie = (sym)
2⋅sin(2⋅t)
1
────────── + ─ π
%Primer armonico k=1
2
serie = (sym)
2⋅sin(2 ⋅t)
2 ⋅sin(6 ⋅t)
1
────────── + ────────── + ─ π
3⋅π
k=1,3
2
serie = (sym)
2⋅sin(2⋅t)
2 ⋅sin(6 ⋅t)
2 ⋅sin(10 ⋅t)
1
────────── + ────────── + ─────────── + ─ π
3⋅π
5 ⋅π
2 ⋅sin(6 ⋅t)
2 ⋅sin(10 ⋅t)
k=,1,3,5
2
serie = (sym)
2⋅sin(2⋅t)
2 ⋅sin(14 ⋅t)
1
────────── + ────────── + ─────────── + ─────────── + ─ k=1,3,5,7 π
3⋅π
5 ⋅π
7 ⋅π
2
%Observaciones: Ak=0 para todo k, por ello se observa que no hay funciones coseno en la funci ón. %La función Bk existe solo para k=1,3,5,7 (numeros impares).
%La función bajo analisis es una funci ón impar.
x(t)=x_ot
% Grafica de los armonicos k de la funci ón x(t)
%grafica de la funci ón x(t) con k=7 y k=100 p=ezplot(serie); set(p,'LineWidth',2,'Color','b'); axis([-2 4.5 -1 2]); xlabel"t"; ylabel"x(t)”;
Lect!ras )ecomendadas% 7A8erie de +ourier 7A08'ttp;<<,,,.matematica.ciens.ucv.ve
Metodos de +ourier en Tiempo Continuo. ?a%.20@. 7A:8Analisis de Circuitos en In%enieria .B.Bayt)=r $dición Capitulo 0D Analisis de Circuitos por +ourier ?a%. 9@. 7E8Calculo im"olico -ctave; 7E08'ttp;<0.pdf
Bi*liografia 708Analisis de eña les y istemas M.= !o"erts 0 $dición Capitulo : Metodos de +ourier en Tiempo Continuo. ?a%.09. 728Analisis de Circuitos en In%enieria .B.Bayt)=r $dición Capitulo 0D Analisis de Circuitos por +ourier ?a%. 9@. 798 'ttps;<
