MAKALAH STATISTIKA MATEMATIKA I
“Ekspektasi Matematika (Ekspektasi Satu Peubah Acak dan Ekspektasi Dua Peubah Acak)”
D i s u s u n Oleh :
Nama
: Brigita Wowiling
N I M
: 15 504 060
Kelas
: VA
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MANADO 2017
1
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur senantiasa saya panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas rahmat-Nya, saya dapat menyelesaikan penyusunan makalah yang berjudul “Ekspektasi Matematika”. Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah “Statistika Matematika I”. Saya mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang membantu dalam penyelesaian makalah ini. Saya berharap makalah ini dapat menambah pengetahuan pembaca dan memberikan gambaran mengenai materi terkait yaitu Ekspektasi Matematika. Saya menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan baik materi maupun bahasanya, maka saya mengharapkan saran dan kritik yang membangun untuk perbaikan makalah ini. Semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi semua pihak yang menjadikan makalah ini sebagai bahan literatur mengenai materi terkait.
Tondano,
Oktober 2017
Penyusun
i
2
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR............................. PENGANTAR................................................... ............................................ .......................................i .................i DAFTAR ISI .......................................... ................................................................ ............................................ ........................................ii ..................ii BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang ............................................ .................................................................. ............................................ ........................1 ..1 B. Rumusan Masalah .............................................. .................................................................... .......................................1 .................1 C. Tujuan Penulisan......................................... Penulisan............................................................... ............................................ .........................2 ...2 BAB II PEMBAHASAN A. Pengertian Ekspektasi Matematika ………………………………….. 4 B. Ekspektasi Satu Peubah Acak
1. Nilai Ekspektasi………………………………………….…………. Ekspektasi………………………………………….…………. 4 2. Sifat-sifat Nilai Ekspektasi……………………………….……….... Ekspektasi……………………………….……….... 6 3. Rataan…………………………………………………….………... Rataan…………………………………………………….………... 7 4. Varians………………………………………………….………….. Varians………………………………………………….………….. 9 5. Momen………………………………………………….………….. Momen………………………………………………….………….. 11 6. Fungsi Pembangkit Momen…………………………….………….. Momen …………………………….………….. 13 7. Pertidaksamaan Chebyshev………………..…………..…………... Chebyshev………………..…………..…………... 15 C. Ekspektasi Dua Peubah Acak
1. Nilai Ekspektasi Gabungan…………………………………………17 2. Ekspektasi Bersyarat………………………………………………. 19 3. Rataan Bersyarat…………………………………………………… 23 4. Perkalian Dua Momen………………………………………………28 ii
3
5. Kovarians………………………………………………………….. 29 6. Varians Bersyarat…………………………………………………. 33 7. Fungsi Pembangkit Pembangkit Momen Gabungan………………………….... 34 8. Koefisien Korelasi………………………………………………… 35 9. Akibat Kebebasan Stokastik…………………………………….... 35 BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan ............................................ ................................................................... .............................................. ....................... 37 B. Saran ............................................... ....................................................................... ............................................... ............................. ...... 37 DAFTAR PUSTAKA ....................................... .............................................................. .............................................. ....................... 38
iii
4
BAB 1 PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Distribusi probabilitas memiliki berbagai sifat atau karakteristik yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi suatu distribusi. Karakteris tik yang biasa digunakan antara lain rata-rata hitung yang biasa disebut “Ekspektasi Matematika” (atau nilai harapan) harapan) dan variansi. Ekspektasi matematika adalah satu konsep penting dalam teori dasar statistika. Harapan matematis (Ekspektasi Matematika) ini menentukan tendensi sentral dari distribusi probabilitas. Dalam makalah ini akan dibahas beberapa macam ukuran yang dihitung berdasarkan ekspektasi dari satu maupun dua peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Sering kali kita menjumpai data pengamatan yang memuat perubah acak tidak tunggal. Misalnya, X dan Y perubah acak, maka nilai harapan E(X), E(Y), E(Y), dan E(X,Y) , Variansi dari X da Y dinyatakan 2X , Y2 , dinyatakan E(X),
dan kovariansi dari perubah acak X dan Y dinyatakan
XY
.
B. Rumusan Masalah
1. Apa yang dimaksud dengan ekspektasi matematika? 2. Apa yang dimaksud dengan nilai ekspektasi dan sifat-sifat nilai ekspektasi? 3. Bagaimana menentukan rataan dari suatu peubah acak? 4. Bagaimana menentukan varians dari suatu peubah acak? 5. Bagaimana menghitung nilai ekspektasi dari peubah acak dengan pangkatnya lebih dari 2 (Momen)? 6. Apa yang dimaksud dengan fungsi pembangkit momen? 7. Apa yang dimaksud dengan pertidaksamaan Chebyshev? 8. Apa yang dimaksud dengan nilai ekspektasi gabungan? 9. Bagaimana rumus untuk menghitung ekspektasi bersyarat? 10. Bagaimana rumus untuk menghitung rataan bersyarat?
5
11. Bagaimana rumus untuk menghitung perkalian dua momen? 12. Bagaimana rumus untuk menentukan kovarians? 13. Bagaimana rumus untuk menentukan varians bersyarat? 14. Bagaimana rumus untuk menentukan fungsi pembangkit momen gabungan? 15. Bagaimana menentukan derajat hubungan linear antara dua buah peubah acak? 16. Apa saja akibat kebebasan stokastik dari dua peubah acak?
Tujuan Penulisan
1. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan ekspektasi matemati ka 2. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan nilai ekspektasi dan sifat-sifat nilai ekspektasi 3. Untuk mengetahui bagaimana menentukan rataan dari suatu peubah acak 4. Untuk mengetahui bagaimana menentukan varians dari suatu peubah acak 5. Untuk mengetahui bagaimana menghitung nilai ekspektasi dari peubah acak dengan pangkatnya lebih dari 2 (Momen) 6. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan fungsi pembangkit momen 7. Untuk memahami apa yang dimaksud dengan pertidaksamaan Chebyshev 8. Untuk memahami apa yang dimaksud dengan nilai ekspektasi gabungan 9. Untuk mengetahui bagaimana rumus untuk menghitung ekspektasi bersyarat 10. Untuk mengetahui bagaimana rumus untuk menghitung rataan bersyarat 11. Untuk mengetahui bagaimana rumus untuk menghitung perkalian dua momen 12. Untuk mengetahui bagaimana rumus untuk menentukan kovarians
6
13. Untuk mengetahui bagaimana rumus untuk menentukan varians bersyarat 14. Untuk mengetahui bagaimana rumus untuk menentukan fungsi pembangkit momen gabungan gabungan 15. Untuk mengetahui bagaimana menentukan derajat hubungan linear antara dua buah peubah acak 16. Untuk mengetahui apa saja akibat kebebasan stokasti k dari dua peubah acak
7
BAB II PEMBAHASAN A. Pengertian Ekspektasi Matematika
Ekspektasi matematika atau harga harapan atau mean(rata- rata) atau sering disebut ekspektasi saja, adalah satu konsep penting dalam teori dasar statistika. Jika X adalah sembarang peubah acak, maka ekspektasi matematika dari peubah acak X biasanya dinotasikan dengan E(X) atau µ. B. Ekspektasi Satu Peubah Acak 1. Nilai Ekspektasi
D efinisi fi nisi (Ni ( Ni lai lai E kspe kspektasi ktasi Diskr D iskrii t Jika X adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluangnya di x adalah p (x) dan u (X) adalah fungsi dari X, maka nilai ekspektasi dari u (X), dinotasikan dengan E [u(X)], didefinisikan sebagai : E [u(X)] =
p(x) u(x) . p(x) x
Contoh 1 :
15 ;1,2,3,4,5
Misalnya fungsi peluang dari peubah acak berbentuk :
Hitung
1
a. E(
)
b. E[X(X + 1)] Penyelesaian : a. Berdasarkan definisi nilai ekspektasi diskrit, maka :
1
E(
)
1 . ∑== 1 . 4 1 9 1 161 1 61 251
=
(
x
=
= ( 1 – 1 – 1) 1) +
8
0 1 14 1 . ∑== 1 . =
E(
)
=
b. Berdasarkan definisi nilai ekspektasi diskrit, maka :
E[X(X + 1)]
=
x
=
= (1)(1 + 1) ( ) + (2)(2+1) + (4)(4+1)
=
E[X(X + 1)]
=
+
(5)(5+1)(
+ + (3)(3+1)
)
+
D efinisi fi nisi (N ilai ilai E kspe kspekta ktasi K ontinu) ntinu) Jika X Jika X adalah peubah acak kontinu dengan nilai fungsi densitasn ya di x di x adalah f adalah f ( x) x) dan u( X X ) adalah fungsi dari X , maka nilai ekspektasi dari u( X X ), ), dinotasikan dengan E dengan E [u( X X )], )], didefinisikan sebagai: E [u( X X )] )] =
∫ .
Contoh 2: Misalkan fungsi densitas dari peubah acak X acak X berbentuk berbentuk : f ( x) x) = 2(1 − x − x)) ; 0 < x < 1 =0 ; x lainnya Tentukan :
a. E [ − 1] b. E[X(X+1)]
9
Penyelesaian : a. Berdasarkan definisi nilai ekspektasi kontinu,maka :
∫∫−−11.. ∫ 1. ∫ 01.21 ∫ 1.0 ∫− ∫1.0 1 ∫10 1 ∫∫−− 11.. ∫ 1. ∫ 1. ∫− 0 ∫ 1.21 ∫ 0 0 ∫ 0 1.
E [
− 1]
=
= =
+
+
=0+2 =2(
)
=2(
E [
− 1]
)
=
b. Berdasarkan definisi nilai ekspektasi kontinu,maka :
E[X(X+1)]
=
= =
+
+
=0+2 =2.(
)
=2
E[X(X+1)]
=
2. Sifat-sifat Nilai Ekspektasi (Dalil 1)
maka E (c) = c. a. Jika c adalah sebuah konstanta, maka E X ) adalah fungsi dari X dari X , maka: b. Jika c adalah sebuah konstanta dan u( X E [c · u( X X )] )] = c · E [u( X X )] )] adalah dua buah konstanta dan ( X X ) dan ( X X ) adalah c. Jika dua buah fungsi dari X dari X , maka: E [ · ( X X ) + · ( X X )] )] = · E · E [ ( X X )] )] + · E · E [ ( X X )] )]
10
1 1 1 1 . 1 ∑= . 1 182764125}…1 1 1 . 15 ∑== .. 151491625 15
Contoh 3 : Hitung E( ekspektasi.
) dan E[X(X + 1)] dengan menggunakan sifat-sifat nilai
Penyelesaian : a. E(
) = E(
= E( =
x
=
={ =
= 15 – 15 – 1 1
E(
)
= 14
b. E[X(X + 1)] = E( = E(
= 15 +
x
= = =
E[X(X + 1)]
3. Rataan
=
D efinisi fi nisi (R ( R ataan Diskri Di skritt) Jika X Jika X adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluang dari X dari X di x di x adalah p adalah p(( x), x), maka rataan dari peubah acak X acak X didefinisikan sebagai: E(X) =
x . p(x)
x
11
Pemahaman penggunaan rumus rataan diperjelas melalui contoh di bawah ini : Contoh 4 : Jika Sandy mengundi sebuah dadu yang seimbang, maka tentukan rataan dari munculnya angka pada mata dadu itu. Penyelesaian : Misalnya peubah acak X menunjukkan munculnya angka pada mata dadu. Jadi nilai-nilai yang mungkin dari X adalah { x : x = 1,2,3,4,5,6}, dengan masing-
masing nilai mempunyai peluang yang sama yaitu . Jadi : E(X)
=
x . P(x)
∑123455 == .. 3, 5 x
= = E(X)
=
Sehingga apabila dadu yang seimbang itu diundi terus-menerus, maka diharapkan rataan angka pada mata dadu yang akan muncul adalah 3,5.
D efinisi fi nisi (R ataan Ko K onti nti nu) Jika X Jika X adalah peubah acak kontinu dengan nilai fungsi densitas dari X dari X di x di x adalah f adalah f ( x), x), maka rataan dari peubah acak X acak X didefinisikan sebagai: E [ X X ] =
∫− . 201 ;0<<1 ; 0<<1
Contoh 5 : Misalnya fungsi densitas dari X berbentuk : =
Hitung E(X)!
0 ; x lainnya
Penyelesaian : E(X)
= = = =
∫ . ∫ . ∫∫−− .. − . 0 0∫ ∫.20 0 0. 1 ∫ . 00 ∫020 +
+
12
= = E(X)
=
2020
Rataan dari sebuah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu biasanya dinotasikan dengan (dibaca “mu”), sehingga apabila peubah acaknya X maka Nilai rataan dari sebuah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu tidak selalu ada, artinya nilai rataan tersebut bisa mempunyai nilai dan bisa juga tidak mempunyai nilai. Nilai rataan dari sebuah peubah acak itu ada, jika hasil penjumlahannya atau pengintegralannya ada. Sebaliknya, nilai rataan dari sebuah s ebuah peubah acak tidak ada, jika hasil penjumlahannya penjumlahannya atau pengintegralannya tidak ada. 4. Varians
Berikut ini akan dijelaskan definisi varians dari sebuah peubah acak yang berlaku bagi peubah acak diskrit maupun kontinu.
Defi De finisi nisi (V aria ri ans) ns) Misalnya X Misalnya X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Varians dari X dari X didefinisikan sebagai : Var ( X X ) = E = E [ X – X – E E ( X X ) Atau Var ( X X ) = E = E ( X X − μ
]
Defi De finisi nisi (V aria ri ans D iskri t) Jika X Jika X adalah peubah acak diskrit dan p dan p(( x) x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x di x,, maka Varians dari X dari X didefinisikan sebagai: Var ( X X ) = ( x x − μ · p( p( x) x) x
Contoh 6 : Misalnya distribusi peluang dari peubah acak X adalah sebagai berikut : X 1 2 3 p(x)
12 13 16
Hitung Var (X). 13
Penyelesaian :
∑== .. 11.1 22.233.3 ∑1== . 1. 2 . 2 3 .
Berdasarkan definisi varians diskrit, maka : Var (X) = ( x x − μ · p( p( x) x) x
Dengan μ Dengan μ = E(X) = = = μ
= E(X) =
Jadi : Var (X) = = = = Var (X)
=
D efinisi fi nisi (V ari ans Kont Kontinu) inu) Jika X Jika X adalah peubah acak kontinu dan f dan f ( x) x) adalah nilai fungsi densitas dari X dari X di x di x,, maka Varians dari X dari X didefinisikan sebagai: Var ( X X ) =
∫− . −;>0
Contoh 7 : Misalnya fungsi densitas dari X berbentuk :
= 0 ; x lainnya
Hitung Var (X)! Penyelesaian :
∫ − . ∫−.. ∫∫−− ...0∫ ..∫..− ∫lim ∫.... −− → l→im .− ∫ .. −
Var ( X X ) = Dengan
= E (X)
=
= =
=0+ =
=
14
=
=
− l→liimm ..−− 1 − 1lim → → ∫∫−− 11.. 1. ∫ .0 ∫− 1. − ∫− ∫121 − l→liimm ∫∫. 21 21 . − − 2. l i m .. ∫ → → l→im ∫ −
= 0 + 1 – 0 0 = 1
Jadi : Var (X)
= = =
+
+
=0+ = =
= 2 – 2 – (2) (2) (1) + 1 =1
Dalil 2 : Jika C adalah sebuah konstanta, maka Var (c) = 0 Dalil 3 : Jika X adalah peubah peubah acak dan c adalah adalah sebuah konstanta, maka Var (X + c) = Var (X) Dalil 4 : Jika a dan b adalah dua buah konstanta dan X adalah peubah acak, maka :
.
5. Momen
D efinisi fi nisi ( M omen) Jika X Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka momen ke- k (dinotasikan dengan μ‘k dengan μ‘k )didefinisikan sebagai : k k = 1 , 2 , 3 , · · ·
.
15
D efinisi fi nisi (M ( M omen Di skrit skri t) Jika X Jika X adalah peubah acak diskrit dan p dan p(( x) x) adalah nilai fungsi peluang dari X dari X di x di x,, maka momen ke-k ke- k (dinotasikan μ’ (dinotasikan μ’ k ) didefinisikan sebagai :
′ .
Contoh 8 : X
1
P(x)
Hitung nilai
2
3
4
14 18 18 12 ′.
Penyelesaian :
Berdasarkan definisi momen diskrit, maka :
′ ∑∑==.. 1 2 4 1 ′ =
= = =
=
D efinisi fi nisi (M omen Ko K onti nti nu)
Jika X Jika X adalah peubah acak kontinu dan f dan f ( x) x) adalah nilai fungsi densitas dari X dari X di x di x,, maka momen ke-k ke-k (dinotasikan μ’k (dinotasikan μ’k ) didefinisikan sebagai :
∫− .
Contoh 9 : Misalnya fungsi densitas dari X berbentuk :
23 ;1<<2 0; 16
′′ ′′ −. ∫− . ∫ . ∫ . ∫− .0 ∫ . ∫ .0 ′′ 6215 ∑ ..
Hitung
.
Penyelesaian :
= =
+
+
+
+
=0+
D efinisi fi nisi ( M omen Seki Sekittar R ataan Di D i skri skr i t)
Jika X Jika X adalah peubah acak diskrit dan p dan p(( x) x) adalah nilai fungsi peluang dari X dari X di x di x,, maka momen sekitar rataan ke-k ke-k (dinotasikan dengan ) didefinisikan sebagai: =
D efi nisi ni si ( M omen Seki Seki tar R ataan Ko K onti nti nu) Jika X Jika X adalah peubah acak kontinu dan p dan p(( x) x) adalah nilai fungsi densitas dari X dari X di x di x,, maka momen sekitar rataan ke-k ke- k (dinotasikan dengan ) didefinisikan sebagai: =
∫− · fxx
6. Fungsi Pembangkit Momen
′′
Pada bagian sebelumnya, kita sudah membahas momen ke-k yang dinotasikan dengan . Momen ini bisa juga diperoleh melalui besaran lainnya yang dinamakan fungsi pembangkit momen. Sehingga fungsi pembangkit momen merupakan fungsi yang dapat menghasilkan momen-momen. Selain itu, penentuan distribusi baru dari peubah acak yang baru merupakan kegunaan lain dari fungsi pembangkit momen.
17
D efinisi fi nisi ( F ungsi Pe Pem mbangki ngk i t Mom Momen) Jika X Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka fungsi pembangkit momen dari X dari X (dinotasikan dengan Mx dengan Mx (t )) )) didefinisikan sebagai: Mx (t ) = E = E untuk −h −h < t < h dan h > 0
D efinisi fi nisi (F ungsi Pe P embangki t M omen Diskr Di skrii t) Jika X Jika X adalah peubah acak diskrit dan p dan p(( x) x) adalah fungsi peluang dari X dari X di x di x,, maka fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai: Mx (t ) =
∑ .
D efinisi fi nisi (F ungsi Pe Pem mbangki ngk i t Mome Momen K ontinu) ntinu) Jika X Jika X adalah peubah acak diskrit dan f dan f ( x) x) adalah fungsi densitas dari X dari X di x di x,, maka fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai: Mx (t ) =
∫− .
Contoh 10 : Tentukan fungsi pembangkit momen peubah acak binomial binomial X dan kemudian 2 tunjukkan bahwa np dan npq.
Penyelesaian: Dari definisi diperoleh
n n n n t n M (t ) e p q ( pe ) q jumlah yang terakhir adalah x x x 0 x 0 n
t
penguraian binomial ( pet+q)n, sehingga dMx(t ) dibeproleh bahwa dt d 2 Mx(t ) 2
dt 1 2
dan
np 1
2
np[e t (n 1)( pet q) n
2
np(n
2
1)
21
M x(t )=( )=( pe pet+q)n. Kemudian
n( pet q) n 1. pet
sehingga,
. pet ( pet q ) n 1.e t ] . Untuk t=0, maka
np[(n 1) p 1].
Jadi,
1
np
dan
npq
18
Dalil 5 :
Jika X Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu dan fungsi pembangkit momennya, maka :
′ − .
(t ) adalah
=
Dalil 6 :
Jika X adalah peubah acak dan c adalah sebuah konstanta, maka :
Dalil 7 :
Jika X adalah peubah acak dan c adalah sebuah konstanta, maka :
Dalil 8 :
Jika X adalah peubah acak, sedangkan a dan b adalah dua buah konstanta,
+ .
maka :
7. Dalil Chebyshev (Dalil 9) :
Jika masing-masing merupakan rataan dan simpangan baku dari peubah acak X, maka untuk setiap bilangan positif k peluang dari peubah acak X yang bernilai antara ditulis:
|< ≥ 1
1 ,,
|< ≤
paling sedikit sebesar
P (|x
dan dan
)
Nilai peluang di atas merupakan batas bawah peluang dari peubah acak X yang berharga tertentu. Kita bisa juga menghitung peluang dari peubah acak X yang bernilai lebih kecil atau sama dengan atau lebih besar atau sama dengan . Yaitu yang paling besar
BUKTI :
dan ditulis : P (|x
)
Menurut definisi variansi,
19
2
E ( X ) ( x ) 2 f ( x)dx 2
k
( )
k
2
f ( x)dx
k
( x )
( x ) f ( x)dx 2
k
2
f ( x)dx
k
2
( x ) f ( x)dx 2
( x ) k
2
k
( x ) f ( x)dx tak 2
karena integral
Kemudian X K
negatif.
k
dengan
x k atau x k dengan
( X ) 2
integral lainnya,
maka
k f ( x)dx f ( x)dx .
k 2 2 dalam kedua
k
2
2
2
2
kanan dibagi dengan
k
2
ruas
k k
2
Jika
, maka diperoleh
f ( x)
f ( x)dx
k
1 k 2
sehingga k
p( k X k )
f ( x)dx 1
k
1 k 2
dengan demikian terbuktilah teorema Chebyshev.
Contoh 11 : Suatu peubah acak X acak X mempunyai mempunyai rataan
8, variansi
2
9, sedangkan
distribusinya tidak diketahui. Hitunglah: a. P (-4< (-4< X <20), <20), dan b. b. P b. P ( X 8
6.
Penyelesaian: a. Telah diketahui, bahwa
8, variansi
2
9, sehingga
9
9.
yang harus dicari adalah nilai k . Nilai k ini ini dicari dengan melihat salah satu ujung interval, yaitu -4 atau 20. Berdasarkan teorema Chebyshev diketahui, bahwa k
p( k X k )
k
f ( x)dx 1
1 k 2
,
sehingga
k 8 k 3 4
Dengan menyelesaikan persamaan ini diperoleh nilai k =4. =4. Jadi, 1 15 P ( 4 X 20) P ( 4 X 20) P 8 ( 4)(3) X 8 ( 4)(3) 1 1 1
20
2
f ( x)dx
Kerena diketahui , bahwa simpangan baku = 3, maka 3k = 6 k = 2, sehingga : P ( X 8 6) 1 P (8 (2)(3) X 8 (2)(3) 1 4 b. P ( X 8
6) 1 P ( X 8 6) P (6 X 8 6) 1 P (8 6 X 8 6)
C. Ekspektasi Dua Peubah Acak
Pada bagian ini, akan dibahas beberapa macam ukuran yang dihitung berdasarkan ekspektasi dua peubah acak, baik peubah acak diskrit maupun kontinu, yaitu nilai ekspektasi gabungan, ekspektasi bersyarat, rataan bersyarat, varians bersyarat, kovarians, fungsi pembangkit momen gabungan, koefisien korelasi dan akibat kebebasan stokastik. Jika kita mempunyai fungsi peluangnatau fungsi densitas gabungan dari dua peubah acak, maka kita bisa melakukan penghitungan nilai peluang dari dua peubah acak yang berharga tertentu. Selain itu, kita juga bisa menentukan beberapa ukuran yang didasarkan pada fungsi peluang atau fungsi densitas gabungan. 1. Nilai Ekspektasi Gabungan
D efinisi fi nisi (N ilai ilai E kspe kspektasi ktasi G abungan ungan Di D i skrit skri t ) Jika X dan Y adalah dua peubah acak diskrit, p (x , y) adalah nilai fungsi peluang gabungan dari (X,Y) di (x,y) dan v(X,Y) adalah fungsi dari peubah acak X dan Y; maka nilai ekspektasi gabungan dari v(X,Y) (dinotasikan dengan E[v(X,Y)]) dirumuskan sebagai :
[ , ] ,, ., x
y
Contoh 12 : Misalnya fungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk :
,, 721 2 2;0,1,2,3 0 , 1 , 2 , 3 2 1 22 1 2 1., ∑== ∑==22 1. 2
Hitung
Penyelesaian :
Berdasarkan definisi nilai ekspektasi gabungan diskrit, maka :
x
(
)
y
=
21
[110 112 114 116 111 35315387115317175751232132735349] 15156 0246133511921290280 325161477 22 1 118472 =
=
D efinisi fi nisi (N i lai lai E kspe kspektasi ktasi G abungan ungan Ko K onti nti nu) Jika X dan Y adalah dua peubah acak kontinu, f(x,y) adalah nilai fungsi densitas gabungan dari (X,Y) di (x,y), dan v(X,Y) adalah fungsi dari peubah acak X dan Y; maka nilai ekspektasi gabungan dari v(X,Y) (dinotasikan dengan E[v(X,Y)]) dirumuskan sebagai: sebagai:
Contoh 13 : Misalnya densitas gabungan dari X dan Y berbrntuk :
,, ;0<<1, 0 <<1 2 1 2 1 ∫− ∫− 22 1. ,, 1 . ,, 2 2 ∫1−. ∫−,,22 ∫ ∫ ∫2 1. ,, 2 ∫ 1.0 ∫ ∫2 2 ∫1−. ∫−22 1.0 2 2 ∫ ∫ ∫ ∫22 0 0 ∫ =0
; x lainnya.
Hitung
.
Penyelesaian :
Berdasarkan definisi nilai ekspektasi gabungan kontinu, maka : = =
=
=
=0
=
22
∫ 12 2 1 = = =
=
2. Ekspektasi Bersyarat
D efinisi fi nisi (E kspe kspektasi ktasi B er sya syarat D iskr it)
||
Jika X dan Y adalah dua peubah acak diskrit, p’(x y) dalah nilai fungsi peluang bersyarat dari X diberikan Y = y di x, dan p’’(y x) adalah nilai fungsi peluang bersyarat dari Y diberikan X = x di y, maka ekspektasi ekspektasi bersyarat dari u(X) diberikan Y = y dirumuskan sebagai berikut:
[ |] | [|] | ,, 18 ; 1,2,3 1,2 33| 1 2 |1 33| 1 | = 18 123 u x . x
Dan ekspektasi bersyarat dari v(Y) diberikan X = x dirumuskan sebagai berikut :
v y . x
Contoh 14 :
Misalnya fungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk :
Hitung
Penyelesaian :
a. Berdasarkan definisi ekspektasi bersyarat diskrit, maka : =
3
x.
x
Fungsi peluang marginal dari Y adalah :
=
23
Jadi,
; 1, 2
| 183 6 ;1,2,3 3|3| 1 =33 6 149 1 49 33| 1 2|12 . | 1 = 18 12 ;1,2,3 | 186 3 ; 1, 2 . 3 22| 1 2 = 1 8
Fungsi peluang bersyarat dari X diberikan Y = y adalah :
Maka :
=
= = 7
b. Berdasarkan definisi ekspektasi bersyarat diskrit maka :
Fungsi peluang peluang marginal dari X adalah :
=
Jadi,
Fungsi peluang bersyarat dari Y diberikan X = x adalah :
Maka :
=
24
22| 1 6 D efinisi fi nisi (E kspe kspektasi ktasi B er sya syar at Ko K onti nti nu)
| |
Jika X dan Y adalah dua peubah acak kontinu, g(x y) y) adalah nilai fungsi densitas bersyarat dari X diberikan Y = y di x, dan h(y x) adalah nilai fungsi densitas bersyarat dari Y diberikan X = x di y, maka ekspektasi bersyarat dari u(X) diberikan Y = y dirumuskan sebagai berikut:
[ |] ∫− .| [|] ∫− . ℎ||
dan ekspektasi bersyarat dari v(Y) diberikan X = x dirumuskan sebagai berikut:
Contoh 15 : Misalnya fungsi densitas gabungan dari X dan Y berbentuk :
,, 143 ;0<;0 < < 2 1 < < 2 3| 1 2|1
Hitung : a. b.
Penyelesaian :
a. Berdasarkan definisi ekspektasi bersyarat kontinu, maka :
3| − 3.||
Fungsi densitas marginal dari Y adalah :
, − ∫− , ∫ , ∫ ,, ∫− 0 ∫ ∫ 0 0 = =
=
+ + 0
25
= Jadi,
37 ;1<<2 =0
; y lainnya
Fungsi densitas bersyarat dari X diberikan Y = y adalah :
3 | 1437 12 |
Jadi,
; 0< x <2
= 0 ; x lainnya
Maka :
| 3|3| 3. 3. | 3. | − 1 −3. 0 3. 3. 0 2 0 0 =
3|3| 433| 14
Sehingga :
b. Berdasarkan definisi ekspektasi bersyarat kontinu, maka :
.ℎ| 22| 2 −
Fungsi densitas marginal dari X adalah :
, − ∫− , ∫ , ∫ , ∫− 0 ∫ ∫ 0 = =
26
0141 0 12 ; 0< 0 < <2 3 14 ℎ| 12 37 ℎ| ;1<<2 22| ∫− 2.ℎ| ∫ 2 .ℎ| ∫ 2.ℎ| ∫−2 .0 ∫ 2 . ∫ 2 .0 0 0 22| 22 | 1 Jadi :
= 0 ; x lainnya
Fungsi densitas bersyarat dari Y diberikan X = x adalah :
Jadi :
=0
; y lainnya.
Maka :
+
=
+
+
+
=
= =
Sehingga :
= =
3. Rataan Bersyarat
Berikut ini akan dijelaskan definisi rataan bersyarat bers yarat dari sebuah peubah acak diskrit diberikan peubah acak diskrit lainnya, baik rataan bers yarat dari X diberikan Y = y maupun rataan bersyarat dari Y diberikan X = x
D efinisi fi nisi (R ataan Be B er sya syar at D i skri skr i t)
| |
Jika X dan Y adalah dua peubah acak diskrit, p’(x y) y) adalah nilai fungsi peluang bersyarat dari X diberikan Y = y di x, dan p’’(y x) adalah nilai fungsi peluang bersyarat bers yarat dari Y diberikan X = x di y, maka ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y = y dirumuskan sebagai berikut:
27
| ∑ .′| | ∑ .′ |
dan ekspektasi bersyarat dariY diberikan X = x dirumuskan sebagai ber ikut:
Berikut ini akan dijelaskan rataan bersyarat dari sebuah peubah acak kontinu diberikan peubah acak kontinu lainnya, baik rataan bersyarat dari X diberikan Y = y maupun rataan bersyarat dari Y diberikan X = x.
Contoh 16 : Misalnya fungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk :
Hitung :
,, 721 2 2; 0,1,2,3 0,0,1,2,3 ||21 | ∑ .| |
a. E ( b. E
)
Penyelesaian :
a. Berdasarkan definisi rataan bersyarat diskrit, maka : E(
)=
Kita akan menentukan dahulu fungsi peluang bers yarat
.
Sebelumnya kita akan menentukan fungsi peluang marginal dari Y. Berdasarkan definisi fungsi peluang marginal diskrit, maka :
, ∑= 2 2 [2 [2 12 1 2 22 2 2 32 3 2] 68 68 6 8;0,1,2,3 | ,, = = =
Jadi,
= =
Berdasarkan definisi fungsi peluang bersyarat, maka :
28
= =
+ +
| ++ + ∑== + [ 0 2 2 1 12 1 2 2 22 2 2 3 32 3 2 ] + + + | ++ | 1 | . ′ || ′′|| , ∑== 2 2 [ 2 4 6] 412 412 412;0,1,2,3 ′| ,, + ; x = 0,1,2,3 dan y = 0,1,2,3
Sehingga = =
E(
)=
Sehingga : E(
)=
b. Berdasarkan definisi rataan bersyarat diskrit, maka :
Kita akan menentukan dahulu fungsi peluang bersyarat , namun sebelumnya kita akan menentukan fungsi peluang marginal dari X. Berdasarkan definisi fungsi peluang marginal diskrit, maka :
= = =
Jadi,
= =
Berdasarkan definisi fungsi peluang bersyarat, maka :
=
+
29
′| ++ | ∑==++ [ 0 1 2 2 4 3 6 ] + + + | ++ |2 || | ∫− .| | ∫− .ℎ| ; x = 0,1,2,3 dan y = 0,1,2,3
Sehingga E(
)=
)
= =
E(
)=
Sehingga : E(
)=2
Definisi (Rataan Bersyarat Kontinu)
Jika X dan Y adalah dua peubah acak kontinu, g(x y) y) adalah nilai fungsi densitas bersyarat dari X diberikan Y = y di x, dan h(y x) adalah nilai fungsi densitas bersyarat dari Y diberikan X = x di y, maka rataan bersyarat dari X diberikan Y = y dirumuskan sebagai berikut:
dan rataan bersyarat dari Y diberikan X = x dirumuskan sebagai berikut:
Contoh 17 : Misalnya fungsi densitas gabungan dari X dan Y berbentuk :
,, ;0<<<∞ = 0 ; x,y lainnya
Tentukan E(X|y). Penyelesaian : Kita akan menggambarkan dahulu daerah yang memenuhi
0<<<∞ 30
y
A
0
x
Dalam penghitungan integralnya, batas-batas integral yang digunakan didasarkan pada daerah A. Berdasarkan definisi rataan bersyarat kontinu, maka :
| .− |
Kita akan menentukan dahulu fungsi densitas bersyarat
|
.
Sebelumnya kita akan menentukan fungsi densitas marginal kontinu, maka :
− ,, ∫− ,, ∫− ,, ∫ ,, ∫− 0 ∫ ∫ 0 .− − − = =
=0+
+ 0
=y.
Jadi,
= = y . =0
;y>0
; y lainnya
Fungsi densitas bersyarat dari X diberikan Y = y adalah :
| . | ;0<<<∞
Jadi, g
31
= 0 ; x,y lainnya Maka : E(X|y) = =
∫− .| ∫ .| ∫ .| ∫− .0 ∫ .. ∫ .. 0 ;>0 |2 | 2 1
=0+
E(X|y) =
+0
Jika kita akan menghitung
, maka
D alil li l 10: E kspekta kspektasi si R ataan B er syar syar at 1. E[E(X | y)] = E(X) 2. E[E(Y | x)] = E(Y)
D alil 11: Jika dua peubah acak X dan Y saling bebas, maka: 1. E(X | y) = E(X) 2. E(Y | x) = E(Y)
4. Perkalian Dua Momen
Misalnya kita mempunyai dua peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Kemudian kita bisa menghitung momen dari masing-masing peubah acak, baik momen sekitar pusat maupun momen sekitar rataan. Selain itu, kita sebenarnya bisa juga menentukan perkalian dua momen, yaitu perkalian dua momen sekitar pusat dan perkalian dua momen sekitar rataan. Penentuan perkalian dua momen sekitar pusat dan sekitar rataan dari peubah acak diskrit ditentukan berdasarkan definisi berikut.
D efinisi fi nisi (Pe (P er kali kali an Dua M omen Diskr Di skrii t)
, . ,,
Jika X dan Y adalah dua peubah acak diskrit, p(x,y) adalah nilai fungsi peluang gabungan dari X dan Y di (x,y), x adalah rataan dari X, dan y adalah rataan dari Y, maka perkalian momen sekitar pusat ke-r dan ke-s dari X dan Y (dinotasikan dengan ’r,s) dirumuskan sebagai berikut:
32
dan perkalian momen sekitar rataan ke-r dan ke-s dari X dan Y (dinotasikan dengan r,s) dirumuskan sebagai berikut:
∑ ∑ (). ,,
r,s =
E[(X - x (Y ] dengan r = 0, 1, 2, 3, … dan s = 0, 1, 2, 3, ….
Definisi (Perkalian Dua Momen Kontinu)
Jika X dan Y adalah dua peubah acak acak kontinu, f(x,y) adalah nilai nilai fungsi densitas gabungan dari X dan Y di (x,y), x x adalah rataan dari X, dan y y adalah rataan dari Y, maka perkalian momen sekitar pusat ke-r dan ke-s dari X dan Y (dinotasikan dengan ’ r,s ) dirumuskan sebagai berikut: berikut: r,s )
5. Kovarians
Berikut ini akan dijelaskan sebuah ukuran yang merupakan hal khusus dari perkalian dua momen, yaitu kovarians.
D efinisi fi nisi (K ovari ans) Jika X Jika X dan dan Y dua dua peubah acak bebas dengan rataan kovarians peubah acak acak X X dan dan Y didefinisikan didefinisikan sebagai
2
XY
x dan y
E [( X
, maka
x )(Y
y )]
a. untuk kasus X dan Y diskret
XY
E [( X )( Y X
Y
)]
(x X )( y Y ) f (x, y) x
y
33
b. untuk kasus X dan Y kontinu
XY
E [( X X )( Y Y )]
(x
X
)( y
Y
)f ( x, y ) dxdy
T eor ema (K ovar var i ans) Jika X Jika X dan dan Y dua dua peubah acak bebas dengan rataan
x dan y
, maka
kovarians peubah acak acak X X dan dan Y dapat ditentukan ditentukan dengan dengan : 2 xy
E ( XY ) E ( X ) E (Y )
Bukti : a. untuk kasus X dan Y diskrit
XY
( x x )( y y ) f ( x, y ) x y
( xy y x x y ) f ( x, y ) X
x y
Y
xyf ( x, y) X yf ( x, y) Y xf ( x, y) x y
x y
x y
x y f(x,y) x y
x xf ( x, y ); y y f ( x, y ); dan
Karena :
x y
f ( x, y ) 1
x y
x y
Maka diperoleh :
XY
E ( XY) xy
x y x y E( XY ) x y
b. Untuk kasus X dan Y kontinu (seperti a) dengan mengganti tanda dengan integral)
34
XY
(x )(y )f(x, y)y)dxdy x
y
(xy
X
y x x y )f ( x, y )dxdy
XY
Y
xyf (x(x, y)y)dxdy
X
Y
xf ( x, y) y)dxdy x y
karena : x
y f (x (x, y) y)dxdy
f (x, y)y)dxdy
xf(x, y)dxdy ; yf(x, y)dxdy; y
dan
f (x(x, y)y)dxdy
Maka diperoleh
XY
1
XY ) x y x y x y E( XY E(XY) x y
Contoh 18: Dimas mengambil 2 buah pensil secara acak dari sebuah kotak yang berisi tiga pensil warna biru, dua warna merah dan tiga warna kuning. Jika X menyatakan pensil warna biru dan Y warna warna yang diambil, hitunglah kovariansi dua peubah tersebut! Penyelesaian: Distribusi peluang gabungannya sebagai berikut: X
0
1
2
Y 0
1
3
9
3
28
28
28
6
6
28
28
35
1
2
28 2
2
Sehingga E XY xyf ( x, y) x 0 y 0
3 14
(lihat nilai harapan peubah acak
gabungan X dan Y) 2
x
2
2
E X xf ( x, y ) xg ( x ) (0)( x 0 x 0 2
y
2
2
x 0 y 0
xy
E ( XY )
x 0
28
x 0
E Y yf ( x, y ) yh( y ) (0)(
Jadi
10
x y
3
14
3 1 ( )( ) 4 2
15 28
) (1)(
) (1)(
15
3 3 ) (2)( ) 28 2 4
12 28
) ( 2)(
1 28
)
1 2
9
56
C ontoh ntoh 19: Tentukan kovariansi peubah acak X dan Y yang fungsi padat peluang gabungannya dinyatakan sebagai
4 0 x y;0 y 1 f ( x, y) x lainnya 0 Penyelesaian : x
1 y
1
00
4
E ( X ) 4 ydxdy
sehingga
xy
E ( Xy ) x y
1 y
1
00
2
dan E ( XY ) 4 xydxdy
1 2 4 ( )( ) 2 3 3
10
9
Dalil 12 (Perumusan (Perumusan Kovarians Umum)
36
6. Varians Bersyarat
D efinisi fi nisi ( V ar i ans B er sya syar at Umum Umum)) Jika X dan Y adalah dua peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka varians bersyarat dari X diberikan Y = y didefinisikan sebagai: Var(X | y) = E[{X - E(X | y) y] atau Var(X | y) = E( | y) - [E(X | y) dan varians bersyarat dari Y diberikan X = x didefinisikan sebagai: Var(Y | x) = E[{Y - E(Y | x) x] atau Var(Y | x) = E( | x) - [E(Y | x)
} ] } ]
Penentuan varians bersyarat dari sebuah peubah acak diskrit diberikan peubah acak diskrit lainnya, baik varians bersyarat dari X diberikan Y = y maupun varians bersyarat dari Y diberikan X = x dijelaskan dalam definis di bawah ini :
D efinisi fi nisi (V ari ans Bersya Bersyarr at D iskri iskr i t) Jika X dan Y adalah dua peubah acak diskrit, p’(x | y) adalah nila i fungsi peluang bersyarat dari X diberikan diberikan Y = y di x, dan p’’(y | x) adalah adalah nilai fungsi fungsi peluang bersyarat dari Y diberikan X = x di y, maka varians bersyarat dari X diberikan Y = y dirumuskan sebagai berikut: Var(X | y) = X | y)
∑[ ].′| ∑[ ].′ |
Dan varians bersyarat dari Y diberikan X = x dirumuskan sebagai : Var(Y | x) =
Y | x)
Definisi (Varians Bersyarat Kontinu) Jika X dan Y adalah dua peubah acak kontinu, g(x | y) adalah nilai fungsi densitas bersyarat dari X diberikan Y = y di x, dan h(y | x) adalah nilai fungsi densitas bersyarat dari Y diberikan X = x di y, maka varians bersyarat dari X diberikan Y = y dirumuskan sebagai berikut: Var(X | y) = dan varians bersyarat dari Y diberikan X = x dirumuskan sebagai berikut: Var(Y | x) =
∫− [ | ].| ∫− [ | ].ℎ|
37
7. Fungsi Pembangkit Momen
Fungsi pembangkit momen gabungan dapat didefinisikan sebagai fungsi pembangkit momen yang diperoleh berdasarkan fungsi peluang gabungan atau fungsi densitas gabungan dari dua peubah acak. Dalam hal ini, fungsi pembangkit momen gabungan dapat digunakan untuk memperoleh momenmomen, baik untuk satu peubah acak maupun dua peubah acak. Fungsi pembangkit momen gabungan dari dua peubah acak diskrit dijelaskan dalam definisi di bawah ini
D efi nisi (G abungan ungan Um U mum) um) Jika X dan y adalah dua peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka fungsi pembangkit momen gabungan dari X dan Y (dinotasikan dengan M(t1,t2)) didefinisikan sebagai: M(t1,t2) = E[exp(t1X + t2Y)] untuk -h1 < t1 < h1 , -h2 < t2 < h2 , h1 > 0 , h2 > 0.
Di bawah ini merupakan definisi dari fungsi pembangkit momen gabungan dari dua peubah acak diskrit
D efinisi fi nisi (F ungsi pembangki ngk i t Mome Momen G abungan ungan Di D i skri skr i t) Jika X dan Y adalah peubah acak diskrit dengan p(x,y) adalah nilai fungsi peluang gabungan gabungan dari X dan Y di (x,y), maka fungsi fungsi pembangkit momen gabungan dari X dan Y didefinisikan sebagai:
, ∑ ∑ + .,
Selanjutnya definisi dari fungsi pembangkit momen gabungan dari dua peubah acak kontinu.
D efini fi nisi si (F ( F ungsi P embangki ngk i t M omen Ga G abungan K onti nti nu) Jika X dan Y adalah peubah acak kontinu dengan f(x,y) adalah nilai fungsi densitas gabungan dari X dan Y di (x,y), maka fungsi pembangkit momen gabungan dari X dan Y didefinisikan sebagai:
, ∫− ∫− +. ,,
Berdasarkan fungsi pembangkit momen gabungan dari X dan Y, kita dapat menentukan fungsi pembangkit momen masing-masing dari X dan Y yang dinamakan fungsi pembangkit ngki t momen margina rg inall dar i X dan fungsi pembangkit ngki t momen mar gina gi nall
dar i Y.
38
Fungsi pembangkit momen marginal dari X diperoleh dari fungsi pembangkit momen gabungan dengan mensubstitusikan t2 = 0, sehingga: M(t1,0) = M(t1) = E[exp(t1X)]
8. Koefisien Korelasi
Penentuan derajat hubungan linier antara dua buah peubah acak digunakan koefi koefi sie si en ko k or elasi lasi . Rumus yang digunakan untuk menentukan derajat hubungan linier tersebut bisa dilihat dalam definisi berikut.
Definisi (Koefisien Korelasi)
ρ −−.
Jika X dan Y adalah dua peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka koefisien korelasi (dinotasikan dengan ) didefinisikan sebagai:
√{{−[]{−]}
Selain itu, penghitungan koefisien korelasi dapat juga dilakukan berdasarkan fungsi pembangkit momen momen gabungan dari X dan Y. Rumus yang digunakannya sama seperti di atas, dengan mengganti:
9. Akibat Kebebasan Stokastik Sudah dijelaskan sebelumnya bahwa dua peubah acak dikatakan saling bebas, jika distribusi gabungannya gabungannya sama dengan perkalian perkalian dari distribusi marginal masingmasingmasing peubah acaknya. Beberapa akibat kebebasan stokastik dari dua peubah acak bisa dilihat dalam dalil-dalil berikut ini.
D alil li l 12 Aki ( kib A bat Pe Perta rtam ma K ebebasan san Stoka Stokast stii k) Jika X dan Y adalah dua peubah acak yang saling bebas, maka: E(XY) = E(X).E(Y)
39
D alil 13 ( Aki A kib bat K edua K ebebasan san Stoka Stokast stii k ) Jika X dan Y adalah dua peubah acak yang saling bebas, maka: E[(u(X).v(Y)] = E[u(X)].E[v(Y)]
D alil li l 14 (Ak (A k i bat K etiga tig a K ebebasan san Stokast Stokastii k)
Jika X dan Y adalah dua peubah acak yang saling bebas, maka: M( , ) = MX( ).MY( )
D alil alil 15 (A ( A k i bat K eempat pat Ke K ebe beb basan asan Sto S tokkastik sti k)
Jika X dan Y adalah dua peubah acak yang saling bebas, maka: Kov(X,Y) = 0
D alil li l 16 (A ( A k i bat Ke K elim li ma K ebebasan san Sto S tokk astik) stik )
ρ
Jika X dan Y adalah dua peubah acak yang saling bebas, maka: = 0
ρ
Dalam hal ini, hubungan antara kebebasan stokastik dua peubah acak dan koefisien korelasinya = 0 sebagai berikut: 1. Jika X dan Y adalah dua peubah acak yang saling bebas, maka = 0. 2. Jika
ρ
ρ
= 0, maka X dan Y adalah dua peubah acak yang belum tentu saling bebas.
D alil li l 17 (A ( A k i bat Ke K eenam nam Ke K ebebasan san Sto S tokk astik) stik )
Jika X dan Y adalah dua peubah acak yang saling bebas, maka: ’
r,s =
’
r.
’
s
40
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan
Ekspektasi matematika adalah satu konsep penting dalam teori dasar statistika. Ekspektasi Matematika (Harapan matematis) ini menentukan tendensi sentral dari distribusi probabilitas. Jika X adalah sembarang peubah acak, maka ekspektasi matematika dari peubah acak X biasanya dinotasikan dengan E(X) atau µ. Ekspektasi matematika terbagi dalam 2 bagian yaitu ekspektasi satu peubah acak dan ekspektasi dua peubah acak. Dalam ekspektasi satu peubah acak dibahas mengenai nilai ekspektasi, rataan, varians, momen, fungsi pembangkit momen, dan pertidaksamaan Chebyshev. Sedangkan dalam ekspektasi dua peubah acak membahas mengenai nilai ekspektasi gabungan, ekspektasi bersyarat, rataan bersyarat, perkalian dua momen, kovarians, varians bersyarat, fungsi pembangkit
momen gabungan, koefisien
stokastik, dan akibat kebebasan stokastik. B. Saran
Ekspektasi matematika adalah satu konsep penting dalam teori dasar statistika.. Oleh karena itu sebagai mahasiswa penting bagi kita untuk statistika mempelajari contoh-contoh yang berkaitan dengan ekspektasi matematika baik satu maupun dua peubah acak serta mengembangkannya dalam kehidupan sehari-hari. Dalam menyusun makalah ini, penulis menyadari sepenuhnya bahwa isi makalah ini belumlah sempurna dan masih kurang baik mengenai materi maupun cara penulisannya. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang sifatnya membangun dari pihak lain yang dapat menyempurnakan makalah ini.
41
Daftar Pustaka
N. Herrhyanto dan T.Gantini, Pengantar T.Gantini, Pengantar Statistika Matematik , Bandung, Yrama Widya, 2009.
http://chandra-novtiar.dosen.stkipsiliwangi.ac.id/files/2017/04/Pertemuan_5.pdf http://chandra-novtiar.dosen.stkipsiliwangi.ac.id/files/2017/04/Pertemuan_6.pdf http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/1961061819 87031NAR_HERRHYANTO/FILE_12 87031NAR_HERRHYANTO/FILE_12_PERTEMUAN_KESEMBIL _PERTEMUAN_KESEMBILAN_STAT AN_STAT MAT_1.pdf http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/1961061819 87031NAR_HERRHYANTO/FILE_11_ 87031NAR_HERRHYANTO/FILE_11_PERTEMUAN_KETU PERTEMUAN_KETUJUH_STATMAT JUH_STATMAT _1.pdf
42
