EKSPEKTASI DAN VARIANSI TI2131 TEORI PROBABILITAS MINGGU KE-7
1
Definisi Ekspektasi Matematis Diberikan X sebuah X sebuah variabel random dengan distribusi probabilitas f (x ). ). Mean atau nilai (expected (expected value ) dari X adalah:
µ=E (X )= )=
∑ xf (x ) x
jika X diskrit X diskrit dan ∞
µ=E (X )= )= ∫ xf (x ) dx −∞
jika X kontinu 2
1
Contoh Ekspektasi Matematis 1.Berapa ekspektasi jumlah angka yang muncul dari pelemparan dua buah dadu? 2.Jika X merupakan variabel random yang menunjukkan jumlah hari perawatan seseorang dengan penyakit demam berdaran di sebuah rumah sakit, di mana X memiliki fungsi kepadatan sebagai berikut: ⎧ 32 , x > 0 ⎪ f (x )= ⎨ (x + 4 )3 untuk lainnya ⎪⎩ 0, tentukan rata-rata waktu perawatan pasien-pasien demam berdarah di rumah sakit tersebut!
3
Diberikan variabel random g (X ) yang nilainya tergantung pada X . Jika X merupakan variabel random dengan distribusi probabilitas f (x ), maka nilai harapan dari variabel random g (X ) adalah: µg (X ) = E [g (X )] = g (x )f (x )
∑
jika X adalah diskrit, dan
µg (X ) = E [g (X )] =
∞
∫ g (x )f (x ) dx
-∞
jika X kontinu. 4
2
Curah hujan di suatu bulan tertentu bervariasi antara –1 sampai 2 desiliter dari curah hujan standar. Tetapkan X sebagai variabel random yang menunjukkan variasi curah hujan dari standar (dalam desiliter). Variabel random X ini memiliki pdf :
⎧⎪ x 2 f (x ) = ⎨ 3 − 1 < x < 2 ⎪⎩ 0 untuk lainnya Jika g (X ) = 3X + 3 merupakan fungsi yang menunjukkan hasil panen (dalam ton/hektar) yang dapat diperoleh pada saat curah hujan bervariasi sebesar X desiliter dari standar, tentukan ekspektasi hasil panen dalam jangka panjang. 5
Ekspektasi Variabel Random Bivariat Diberikan variabel random X dan Y dengan joint probability distribution f (x,y ). Rataan atau nilai harapan dari variabel random g (X,Y ) adalah: µ g (X,Y )
= E [g (X,Y )] =
∑∑ g (x , y )f (x , y ) x
x
jika X dan Y adalah diskrit, dan ∞ ∞
µ g (X,Y )
= E [g (X,Y )] =
∫ ∫ g (x , y )f (x , y ) dx dy
− ∞- ∞
jika X dan Y kontinu. 6
3
Contoh Ekspektasi Bivariat Tentukan ekspektasi dari fungsi g (X,Y ) = Y/X , diberikan
⎧⎪ x (1 + 3y 2 ) 0 < x < 2,0 < y < 1 f (x ,y ) = ⎨ 4 ⎪⎩ 0 untuk lainnya
7
Definisi Variansi Diberikan X sebuah variabel random dengan distribusi probabilitas f (x ) dan rataan µ . Variansi dari X adalah 2 σ2 = E [(X - µ )2] = ∑ (x − µ ) f (x ) x
jika X adalah diskrit dan ∞
2 σ2 = E [(X - µ )2] = ∫ (x − µ ) f (x ) dx -∞
jika x kontinu. Akar kuadrat positif dari variansi, atau σ ,disebut dengan deviasi standar. 8
4
Teorema variansi Variansi variabel random X adalah:
σ2 = E (X )2 − µ2
9
Contoh Perhitungan Variansi 1. Hitunglah variansi dari variabel random angka hasil pelemparan dadu! 2. Hitunglah dengan menggunakan teorema variansi!
10
5
Kovariansi Dua Variabel Random Diberikan variabel random X dan Y dengan joint probability distribution f (x,y ). Kovariansi dari X dan Y adalah:
σXY = E [(X −µX )(Y − µY )] = ∑∑ (x − µ x )(y − µ y )f (x , y ) x
y
jika X dan Y adalah diskrit, dan ∞ ∞
σXY = E [(X −µX )(Y − µY )] =
∫ ∫ (x −
µ x )(y
− µ y )f (x , y ) dx dy
-∞ - ∞
jika X dan Y kontinu. 11
Teorema Kovariansi Kovariansi dari dua variabel random X dan Y dengan rataan µX dan µY , berturut-turut, diberikan oleh:
σXY = E (XY ) − µX µ Y
12
6
Contoh Perhitungan Kovariansi Fraksi pelari laki-laki X dan fraksi pelari perempuan Y yang bertanding pada suatu lomba digambarkan oleh joint distribution function :
⎧8xy , f (x ,y ) = ⎨ 0, ⎩
0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x untuk lainnya
Hitung kovariansi antara X dan Y !
13
Definisi Korelasi Diberikan variabel random X dan Y dengan kovariansi σXY dan deviasi standar berturut-turut σX dan σY . Koefisien korelasi antara X dan Y adalah: ρ XY =
σ XY σ X σ Y
14
7
Rumus-rumus Ekspektasi
E (aX +b ) = aE (X ) + b
E (b ) = b
E (aX ) = aE (X )
E [g (X ) ± h (X )] = E [g (X )] ± E [h (X )]
E [g (X,Y ) ± h (X,Y )] = E [g (X,Y )] ± E [h (X,Y )]
E [g (X ) ± h (Y )] = E [g (X )] ± E [h (Y )]
E [X ± Y ] = E [g (X )] ± E [h (Y )]
E (XY ) = E (X ) E (Y )
15
Rumus-rumus Variansi 2
σ aX + b 2
σ aX
= a 2σ X 2 = a 2σ 2
2
σ X + b
= σ X 2 = σ 2
= a 2σ X 2 = a 2σ 2
2
= a 2σ X 2 + b 2σ Y 2 + 2ab σ XY
2
= a 2σ X 2 + b 2σ Y 2
2
= a 2σ X 2 + b 2σ Y 2
σ aX + bY σ aX + bY σ aX − bY 2
σ a x +a x +...+ a x 1 1 2 2 n n
= a 2σ x 2 + a 22σ x 2 + ... + a n 2σ x 2 1
1
2
n
16
8
