MAKALAH KAPITA SELEKTA MATEMATIKA SMA PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
Oleh : Kelompok III Matkom III-A NING MASITAH
(0!"00!#
UMMI LAILA NUR$ANNAH
(0!"00%%#
$URUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN KOMPUTASI FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNI&ERSITAS MUHAMMADI'AH MALANG "00
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
Dalam materi persamaan dan fungsi kuadrat terdapat 3 indikator, yaitu : 1. Membentuk Membentuk persamaa persamaan n kuadrat kuadrat yang yang diketahu diketahuii sifat – sifat sifat akarnya akarnya.. 2. Menentukan Menentukan fungsi fungsi kuadra kuadratt yang diketah diketahui ui satu titik titik dan titik titik puncakny puncaknya. a. 3. Mencari Mencari titik titik ekstrim ekstrim dan sumbu sumbu simetri simetri fungsi fungsi kuadrat. kuadrat.
A) Pe*+amaa Pe*+amaa, , Ka.*at ) /e,t /e,tk k Umm Umm Pe*+ama Pe*+amaa, a, Ka.*at Ka.*at))
Bentuk Bentuk umum umum persama persamaan an kuadra kuadratt dalam dalam ariab ariable le atau atau peubah peubah x adalah sebagai berikut : a x " 1 x 2 2 3 0
dengan a, b, c bilangan real, dan a ≠ !. a disebut koefisien x koefisien x2, b koefisien x koefisien x,, dan c disebut konstanta. ") Mem1e,tk pe*+amaa, ka.*at 4a,5 4a,5 .6ketah6 .6ketah6 +67at - +67at aka*,4a) aka*,4a) a) S67at S67at 8 S67at Aka* Aka* Pe*+amaa, Pe*+amaa, Ka.*at Ka.*at))
Misalkan persamaan kuadrat a x" x" # b x # c $ ! den dengan gan x1 dan x dan x2 adalah akar%akarnya. Dengan menggunakan akar%akar persamaan kuadrat dari rumus &B', yaitu:
Maka x Maka x1 $
maka x maka x2 $
(ehingga didapat hubungan :
x1 # x # x2 $ x1 . x2 $ Bentuk diatas dikenal sebagai sifat akar pada persamaan kuadrat. 1) 9a*a Me,4+ Me,4+, , Pe*+amaa Pe*+amaa, , Ka.*at Ka.*at
)ersamaan kuadrat yang akar – akarnya x akarnya x1 dan x dan x2 adalah :
* x * x – – x x1 + . * x – x – x x2 + $ ! atau x atau x2 – * x * x1 # x # x2 + x # x # * x * x1 . x . x2 + $ !. 'ontoh soal : 1+ entukan entukan persamaan persamaan kuadrat kuadrat yang yang akar – akarnya akarnya %3 dan 1-3. a/ab : * x – x – x x1 + . * x * x – – x x2 + $ ! * x – x – *%3++ . * x * x – – 1-3 + $ ! * x # x # 3 + . * x * x – – 1-3 + $ ! x2 – 1-3 x 1-3 x # # 3 x – x – 1 $ ! 2-3 x – – 1 $ ! x2 – 2 2-3 x x2 – 0-3 x 0-3 x – – 1 $ ! 2+ ika ika akar akar – akar akar persam persamaan aan kuad kuadrat rat 2 x2 – x – x % % $ ! adalah p adalah p dan dan q, maka persamaan uadrat yang akar – akarnya * p * p %1+ %1+ dan *q * q %1+ adalah a/ab : 2 x2 – x – x % % $ ! a $ 2, b $ %1, c $ % Maka : p # p # q $ -b -b - a $ % *%1+ -2 $ 1-2 dan p . p . q $ c - a $ % - 2 (ehingga : * p – * p # # q p – 1 + # * q – 1 + $ * p q + – 2 $ 1-2 – 2 $ %3 - 2 * p – p – 1+ * q – 1 + $ pq $ pq – – p p – – q # 1 $ pq – pq – * p * p # # q + # 1 $ %-2 – *1-2+ # 1 $ %2 adi persamaan kuadratnya adalah : x2 – * x * x1 # x # x2 + x + x # # * x * x1 . x . x2 + $ !. x2 – ** p – p – 1 + # * q – 1++ x 1++ x # # ** p ** p – – 1+ * q – 1 ++ $ !. x2 – * %3-2 + x + x # # * %2 + $ !. x2 # 3-2 x 3-2 x %2 %2 $ !. 2 x2 # 3 x – x – 4 $ !.
/) F,5+6 F,5+6 Ka.* Ka.*at at ) /e /e,t ,tk k Umm Umm F,5 F,5+6 +6 Ka.*a Ka.*att
(uatu (uatu fungsi fungsi yang yang mempun mempunya yaii ariab ariable le dengan dengan pangka pangkatt tertin tertinggi ggi dua disebut fungsi kuadrat. Bentuk umumnya : 5* x+ x+ $ a x2 # b x # x # c a, b, c, 6 bilangan real dan a 7 !. 'ontoh : a+ f* x+ x+ $ x $ x2 – 4 b+ f* x+ x+ $ 2 x2 # x # x # 8 ") Me,e, e,e,t tka ka, , F,5 F,5+6 +6 K Ka. a.*a *att 4a,5 4a,5 D6ke D6keta tah h66 T6t6 T6t6k k .a, .a, T6t6 T6t6k k P,2ak,4a)
ika fungsi kuadrat y kuadrat y $ a x2 # b x # x # c mempunyai titik puncak ) * x * x p , y p+, maka fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk : ' 3 a( x a( x - x - x p#" y yp
4
P (p ; 4p#
(elanutny (elanutnyaa untuk menentukan menentukan nilai a, kita subtitusika subtit nilai x dan dan y y dari dari A (;usikan 4# n nilai x suatu titik lain yang dilalui grafik fungsi kuadrat ke persamaan diatas. 'ontoh soal :
1+ entukan entukan rumus rumus fungsi fungsi kuadrat kuadrat yang yang mempunya mempunyaii titik puncak puncak ) *2, *2, %1+
0
serta melalui titik & * !,3+. a/ab : Dengan Dengan menggunakan menggunakan rumus di atas untuk untuk x p $ 2 dan dan y p $ %1, maka diperoleh: 9 $ a* x % x % x x p+2 # y # y p 9 $ a* x – x – 2+2 – 1 arena grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik &* !, 3+, maka: 3 $ a *! % 2+ 2 – 1 3 $ 4a – 1 3 # 1 $ 4a 4 $ 4a &$1 (ehingga diperoleh:
9 $ 1 * x – x – 2+2 – 1 9 $ * x % x % 2+ * x % x % 2+ – 1 9 $ x $ x2 % 4 x # x # 4 % 1 9 $ x $ x2 – 4 x # x # 3
!)
Sm1 Sm1 S6met* S6met*66 .a, .a, T6t6k T6t6k Ek+t*6 Ek+t*6m m
P 4
l
0 A (; 0#
/ ("; 0#
l
4
;rafik fungsi kuadrat berbentuk parabol *seperti gambar di atas+ dapat menghadap ke ba/ah atau ke atas. ;rafik itu mempunyai sumbu
A (; 0# / ( ; 0# "
simetri yaitu l, dan titik puncak ). itik puncak disebut uga titik balik .
0
ika ika grafik grafik fungsi fungsi y $ a x2 # b x #c dipotongkan an dengan sumbu sumbu x, x #c dipotongk x,
P
yang yang berarti berarti y $ y $ !, maka diperoleh a x2 # b x #c x #c $ !. ika grafik fungsi berpotongan di & * x1, !+ dan B * x * x2, !+, mak makaa x adal adalah ah akar akar – akar akar persamaan kuadrat a x2 # b x # x # c $ !. Dikatakan pula bah/a x bah/a x1 dan x dan x2 adalah pembuat nol fungsi f* x+ x+ $ a x2 # b x #c. x #c. ;aris l adalah sumbu simetri, yang berarti melalui tengah – tengah
&B, &B, sehi sehing ngga ga pers persam amaa aann nny ya adal adalah ah
$
.
iti itik k )
diperoleh dengan memotongkan garis x garis x $ $ %b-2a dengan kura y kura y $ $ a x2 # b x #c. y $ y $ %b-2a dan y dan y $ $ a x2 # b x #c x #c , maka : y $ y $ a *%b-2a+2 # b*%b-2a+ # c
$ b2 – 2b2 # 4ac - 4a $ % b 2 – 4ac - 4a $ %D-4a. adi koordinat titik puncak adalah ) * %b-2a , %D-4a +. arena terdapat dua akar yaitu <1 dan <2, maka pasti D = !. >ni berarti ika a = !, maka *%D-4a+ ? !, dan ika a ? !, maka *%D-4a+ = !. Dengan kata lain, ka a = ! maka grafik menghadap keatas, dan ika a ? !, maka grafik menghadap ke ba/ah. ika grafik menghadap ke atas maka titik puncaknya adalah titik puncak minimum, dan ika grafiknya menghadap ke ba/ah, maka titik puncaknya adalah titik puncak maksimum. Dengan demikian, berlaku sifat berikut : )ada fungsi kuadrat f* x+ x+ $ a x2 # b x #c x #c dengan a 7 ! a. ;rafi ;rafikn knya ya berb berben entu tuk k parab parabol olaa b. Bila a = ! grafik menghadap keatas. c. Bila Bila a ? ! grafik grafik mengha menghadap dap ke ba/ah. ba/ah. d. )ersa )ersama maan an sum sumbu bu sime simetri tri x x $ $ e. oor oordi dina natt titi titik k punc puncak ak )
,
.
itik ekstrim disebut uga titik puncak, yaitu: )
,
.
'ontoh soal: 1+ entuk entukan an sumbu sumbu simetri simetri dan titik puncak puncak maksimu maksimum m dari dari persam persamaan aan f* x+ x+ $ % x % x2 # 0 x – x – 12@ a/ab: a $ %1 ? ! A membuka ke ba/ah, punya titik puncak maksimum. D $ b2 – 4ac $ 02 – 4*%1+ *%12+
$ 84 – 40 $ 18
itik potong dengan sumbu x sumbu x,, berarti f* x+ x+ $ ! f* x+ x+ $ ! A % x % x2 # 0 x – x – 12 $ ! A x2 – 0 x # x # 12 $ ! A * x – x – 8+ * x – x – 2+ $ ! A x $ x $ 8 x 8 x $ $ 2 adi titik potong dengan sumbu x sumbu x adalah adalah M *8, !+ dan *2, !+ itik potong dengan sumbu 9 berarti x berarti x $ $ ! C $ ! A f* x+ x+ $ % !2 # 0 . ! – 12 $ % 12 adi, titik potong dengan sumbu 9 adalah ) $ *!, 12+
)ersamaan sumbu simetri: x simetri: x $
itik puncak:
$
$4
$
$4
adi, titik puncak maksimumnya adalah ; *4, 4+
$4
9) LATI LATIHA HAN N SOAL SOAL
1. itung itunglah lah persama persamaan an kuadrat kuadrat yang akar akar – akarny akarnyaa mempun mempunya yaii umlah umlah 2-3 dan hasil kalinya @ 2. &kar &kar – akar akar pers persam amaa aan n kuadr uadrat at x2 # b x # c $ ! ada adalah x1 dan x2. itunglah persamaan kuadrat yang akar – akarnya x akarnya x1 # x # x2 dan x dan x1 . x . x2@ 3. 5ungsi 5ungsi kuadr kuadrat at yang grafik grafikny nyaa berpun berpuncak cak di titik titik *3, 2+ dan melalui melalui titik *2, 4+ adalahEE. 4. ;ambarl ;ambarlah ah grafik grafik fungs fungsii kuadrat kuadrat berik berikut ut ini@ ini@ 5* x+ x+ $ x $ x2 – 2 x % x % 0 . umlah umlah dan dan hasil hasil kali akar%a akar%akar kar dari dari persam persamaan aan 3<2 – 8< # 3 $ ! adalah F
D&5&G )H(&&
&bdurahman, Maman. 2!!8. >ntisari Matematika (M& >)& : Gingkasan Materi Iengkap Disertai 'ontoh (oal – a/ab dan (oal – (oal Iatihan H&(. urikulum Berbasis ompetensi, )enerbit 'J )H(&& (K>&. unc uncor oro o )riy )riyo o dan dan >hsa >hsanu nudi din. n. 2!!0 2!!0.. )and )andua uan n )rak )rakti tiss (iap (iap Hi Hi Menghadapi H ()MB >)& (M&. )enerbit KGI&;;&. 5oster, Bob. 2!!8. 1!!1 )lus (oal dan )embahasan Matematika (eleksi )enerimaan Mahasis/a Baru. )enerbit KGI&;;&. &lders, &lders, '.. dan >r. Bahar. 1L0. 1L0. >lmu &labar &labar 2. )enerbit ). )radny )radnyaa )aramita. ohanes. astolan. (ulasim. 2!!3. ompetensi Matematika untuk elas 1 (M& (emester )ertama. )enerbit 9udhistira.
///.belaar%matematika.com
httpcom.umy.ac.idelschoolmualliminNmuhammadiyahfile.php1materiMatematika )KG(&M&&O2!D&O2!5H;(>O2!H&DG )KG(&M&&O2!D& O2!5H;(>O2!H&DG&O2!%O2!2OB1O &O2!%O2!2OB1OD.pdf D.pdf
