MAKALAH MATEMATIKA REKAYASA DETERMINAN MATRIKS
oleh :
Dhea Ananda 111.16.002
INSTITUT TEKNOLOGI DAN SAINS BANDUNG KABUPATEN BEKASI 2017
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmat-Nya sehingga makalah ini dapat tersusun hingga selesai. Tidak lupa kami juga mengucapkan banyak terimakasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi dan lain-lain. Pada kesempatan ini kami selaku penulis mencoba untuk membuat makalah tentang “ Determinan Matriks” Makalah ini dibuat untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah “MATEMATIKA REKAYASA”.
Kami mengucapkan banyak terima kasih kepada segenap pembaca. Apabila dalam makalah ini terdapat banyak kekurangan, kami mohon maaf. Dan kami sangat menantikan saran dan kritik pembaca yang sifatnya membangun. Atas perhatiannya kami ucapkan terima kasih.
Bekasi, Oktober 2017
Penulis
ii
DAFTAR ISI DAFTAR ISI KATA PENGANTAR.................................................................
ii
BAB I
Permutasi.............................................................................................
1
Menghitung Determinan dengan OBE..............................................
2
Menghitung Determinan dengan ekspansi kofaktor........................
3
BAB II Definisi Determinan............................................................................ Sifat-sifat determinan............................................................... ..........
5 5
Determinan matriks ordo 2x2.............................................................
5
Determinan matriks ordo 3x3............................................................
6
Metode Sarrus....................................................................................
6
Metode Minor – Kofaktor...................................................................
6
BAB III Soal-soal dan solusinya.......................................................................
8
DAFTAR PUSTAKA
iii
BAB I CATATAN PERKULIAHAN Determinan suatu matriks adalah suatu fungsi skalar dengan domain matriks bujur sangkar. Dengan kata lain, determinan merupakan pemetaan dengan domain berupa matriks bujur sangkar, sementara kodomain berupa suatu nilai skalar.Pada bab ini akan dijelaskan tentang penentuan nilai determinanan suatu matriks dengan menggunakan definisi, operasi baris elementer dan ekspansi kofaktor. Selain itu, akan dijelaskan hubungan determinan dengan invers matriks, Misalkan
Maka determinan dari matriks A ditulis:
( ) | |
1. Permutasi Permutasi merupakan susunan yang mungkin dibuat dengan memperhatikan urutan. Permutasi dari {1, 2, 3} adalah (1,2,3), (1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1) Selanjutnya diperkenalkan definisi invers dalam permutasi, yaitu jika bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutan permutasi. Misalkan dalam suatu permutasi tertulis (2, 1, 3) maka dalam urutan bilangan tersebut, bilangan yang lebih kecil dari 2 hanya bilangan 1 sehingga nilai inversnya adalah 1. Misakan A merupakan matriks 3x 3.
( )
Jadi, determinan matriks A adalah :
| | ( )
Contoh :
Tentukan determinan matriks
1
|| ( ) | | det
Tentukan determinan matriks
2. Menghitung Determinan dengan OBE Secara sederhana, determinan suatu matriks merupakan hasil kali setiap unsur diagonal pada suatu matriks segitiga (atas atau bawah). Tetapi dalam kenyataannya, tak semua matriks berbentuk segitiga., Dalam menentukan determinan suatu matriks. Dengan menggunakan operasi baris elementer (OBE), kita akan mencoba merubah suatu matriks bujur sangkar (secara umum) menjadi suatu matriks segi tiga. Berikut ini adalah pengaruh OBE pada nilai determinan suatu matriks, yaitu:
Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali pertukaran baris maka : Det (B) = -Det (A) Contoh : Diketahui bahwa jika
|| maka
Jika B berasal dari A dengan perkalian sebuah baris dengan konstanta tak nol k maka
|||| ||— Contoh:
dan
Perhatikan bahwa matriks B berasal dari matriks A dengan perkalian dengan 2 pada baris kedua, maka
Terlihat bahwa:
||
Jika matriks B berasal dari matriks A dengan perkalian sebuah baris dengan konstanta tak nol k lalu dijumlahkan pada baris lain maka Contoh:
||| |
2
Misalkan
Jelas bahwa
Perhatikan:
| | OBE pada matriks tersebut adalah
Contoh: Tentukan determinan matriks berikut:
( ) | | Jawab:
(hasil perkalian unsur diagonalnya)
3. Menghitung Determinan dengan ekspansi kofaktor Misalkan sebuah matriks bujur sangkar berukuran n x n :
( )
Sebelum memaparkan penentuan determinan dengan menggunakan operasi baris elementer, perhatikan beberapa definisi berikut :
3
i.
Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A. Contoh:
( ) maka
ii.
Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu Contoh:
Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor.
Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i :
Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-j :
Contoh:
( )
Hitunglah determinan matriks dari matriks A Penyelesaian:
Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3
∑ Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke-3 :
∑
4
BAB 2 SUMBER LAIN DETERMINAN MATRIKS
Determinan adalah suatu suatu bilangan real yang diperoleh dari suatu proses dengan aturan tertentu tehadap matriks bujur sangkar. yang dinyatakan sebagai jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari matriks bujur sangkar A. Matriks determinan di notasikan sebagai berikut :
| | atau
Sifat-sifat determinan:
1) Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom=0 maka determinan matriks itu 0. 2) Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom = elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu 0. 3) Jika elemen-elemen salah satu baris/kolom adalah kelipatan dari elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu 0.
Determinan Matriks Ordo 2 x 2
Misalkan
Contoh:
| |
maka determinan dari adalah
Tentukan determinan matriks berikut: Penyelesaian:
|| 5
Jika
Determinan Matriks Ordo 3 x 3
Terdapat 2 cara untuk mencari determinan matriks A ordo 3 x 3. Yaitu aturan Sarrus dan metode minor - kofaktor. ATURAN SARRUS
Untuk menentukan determinan dengan aturan Sarrus, perhatikan alur berikut.
Contoh: Tentukan determinan dari matriks dibawah
|| =
det A = (1x2x2) +(2x4x3) + (3x2x1) - (3x1x3)- (1x4x1) - (3x2x2) = 11
METODE MINOR-KOFAKTOR
Misalkan matriks A dituliskan dengan [ _ ]. Minor elemen [ _ ] yang dinotasikan dengan [ _ ] adalah determinan setelah elemen-elemen baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalnya, dari matriks A3 × 3 kita hilangkan baris ke-2 kolom ke-1 sehingga :
Akan diperoleh
=
6
M21 adalah minor dari elemen matriks A baris ke-2 kolom ke-1 atau M21 = minor a21. Sejalan dengan itu, kita dapat memperoleh minor yang lain nya. Kofaktor elemen aij, dinotasikan K ij adalah hasil kali (–1)i+j dengan minor elemen tersebut. Dengan demikian, kofaktor suatu matriks d irumuskan dengan :
Contoh: Tentukan determinan dari matriks dibawah
Menggunakan Minor Kofaktor
det A
7
BAB 3 Kumpulan Soal dan Solusinya 1) Jika matriks A diketahui seperti ini, maka determinan A adalah..
*+ Penyelesaian:
2) Tentukan determinan dari matriks
..
det
det 3) Determinan matriks B yang memenuhi persamaan adalah..
Penyelesaian: Misalkan komponen B dgn
Dari persamaan diatas diperoleh: o
-
o
disubtitusi ke persamaan
o
o
Selanjutnya o o
Mencari nilai d: o o o o
Mencari nilai b:
subtitusi ke persamaan
8
Jadi komponen matriks
4) Tentukan determinan matriks Penyelesaian:
[ ] — — Det B
5) Tentukan determinan matriks
Minor a
menggunakan minor – kofaktor..
Minor
Minor b Minor c
Minor d Minor e
Minor f
Minor g
Minor h Minoe i
9
DAFTAR PUSTAKA
Kreyzig, Erwin. Advanced Engineering Mathematics Tenth Edition. United Statets of America
