FILSAFAT MATEMATIKA A. PENGERTIAN FILSAFAT MATEMATIKA 1. Pengertian filsafat
Kata filsafat populer di yunani sekitar abad kesembilan SM, dengan sebutan philospos yang philospos yang dibedakan menjadi dua kata yaitu shopia yaitu shopia dan dan philos philos.. Shopia berarti Shopia berarti kebijaksanaan, hikmah, atau bisa berarti kecakapan, sedangkan, philo bisa berarti cinta. Jadi, secara etimologi filsafat berarti love of wisdom wisdom yaitu cinta kebijaksanaan, hikmah atau kebenaran. Kebijaksanaan yang artinya kebenaran sejati atau kebenaran yang sesungguhnya. Filsafat juga berarti hasrat at au keinginan yang sungguh-sungguh sungguh-sungguh akan kebenaran sejati. Kata filsafat dalam bahasa indonesia, philosophy dalam bahasa inggris dan filsafah dalam bahasa arab dengan wazan (timbangan kata) fa’lala, fa’lalah fa’lalah dan fi’laal memiliki makna dan maksud yang sama, hanya intonasi dan penyebutan saja yang berbeda. Kata philosophos Kata philosophos awalnya dikemukakan dan digunakan oleh heraklitus (540480 SM). Menurutnya philosophos (ahli filsafat) harus mempunyai pengetahuan luas pada kecintaannya akan kebenaran dan mulai benar-benar jelas jelas digunakan pada masa kaum Sofist yang yang berarti kaum cendekiawan dan sokrates yang memberi arti philosgophein sebagai philosgophein sebagai penguasaan secara sistematis terhadap pengetahuan teoritis. Philosophia merupakan hasil perbuatan yang disebut dengan philosgophein dengan philosgophein..1 Menurut titus, kita semua mempunyai ide-ide tentang benda-benda, tentang sejarah, arti kehidupan, mati, tuhan, baik dan buruk, benar dan s alah, keindahan dan kejelekan dan sebagainya ( Harold H. Titus dkk, 1984: 10-11). Sedangkan menurut Rene Descartes filsafat ialah kumpulan segala pengetahuan di mana tuhan, alam dan manusia menjadi pokok-pokok penyelidikannya (1596-1650). Plato (427-347 SM) menyatakan bahwa objek filsafat adalah penemuan kenyataan atau kebenaran mutlak lewat dielaktika (metode pencapaian definisi bagi sebuah konsep dengan cara menguji ciri-ciri umum yang ditemukan)
lihat, soemardi soerjabrata, pengantar filsafat, (Yogyakarta, 1970), hlm.2 1
Secara istilah sangat beragam kita temukan pendefinisian tentang filsafat seperti Aristoteles (384-332 SM) yang merupakan tokoh sentral filosof klasik yang menyatakan bahwa filsafat menyelidiki sebab dan asas segala perwujudan. Dia juga mengatakan bahwa filsafat memperhatikan seluruh pengetahuan. Dan kadangkadang disamakan dengan pengetahuan tentang ontology (wujud). Immanuel Kant (1724-1804) berpendapat filsafat ialah ilmu pengetahuan yang menjadi pokok dan pangkal segala pengetahuan yang tercakup empat persoalan yang akan ditanyakan yaitu pertama apakah yang dapat kita ketahui? Maka jawabannya termasuk dalam bidang metafisika. Kedua, apakah yang seharusnya kita kerjakan? Maka jawabannya termasuk dalam bidang etika. Ketiga, sampai dimanakah harapan kita? Jawabannya termasuk pada bidang agama. Keempat, apakah yang dinamakan manusia itu? Jawabnannya termasuk pada bidang antropolgi dan sosiologi. Sedangkan, menurut Alfarabi (950 M) filsafat merupakan ilmu tentang alam yang bertujuan untuk menyelidiki hakikat atau substansi yang sebenarnya dan Ibnu Rushd (1126-1198 M) berpendapat bahwa filsafat atau hikmah merupakan pengetahuan “otonom” yang perlu dikaji oleh manusia karena karunia akal dan mafahim mafahim (pemikirannya).2 oleh karena itu, tujuan yang paling utama dalam berfilsafat adalah menemukan suatu kebenaran yang bisa dibuktikan secara rasional. Menurut Burhanuddin Salam (2000) setidaknya ada tiga karakteristik berpikir dalam filsafat yaitu: Universal (menyeluruh),Radikal (mengakar atau mendasar) dan Spekulatif . Pengertian filsafat oleh para filosof lainnya disebut sebagai induk semua ilmu pengetahuan. Sebab dari filsafatlah ilmu-ilmu i lmu-ilmu modern berkembang. Pada awalnya filsafat terbagi menjadi filsafat teoritis dan filsafat praktis. Filsafat teoritis mencakup metafisika, fisika, matematika, logika, dan ilmu pengetahuan alam. Sedangkan filsafat praktis meliputi ekonomi, politik, hukum dan etika. Filosof francis Bacon (1561-1626) tokoh pembarut zaman renaissance dari inggris, menyebutkan filsafat sebagai “the great mother of the science” yang science” yang berarti ibu teragung dari ilmu pengetahuan. Jadi, semua c abang ilmu termasuk matematika dianggap dari ibu dan bapak yang sama yaitu filsafat. 2
lihat, Amsal Bahtiar, Filsafat Bahtiar, Filsafat Ilmu, Ilmu, (Jakarta: PT Raja Grafindo, 2011), hlm.8. 2
2. Pengertian Matematika
Matematika berasal dari istilah latin yaitu
mathematica yang awalnya
mengambil istilah yunani yaitu mathematike yang berarti relating to learning yang berkaitan dengan hubungan pengetahuan. Dalam bahasa francis les mathematiques yang berarti belajar. Berdasarkan asal usulnya matematika yaitu pengetahuan yang diperoleh dari hasil proses belajar.3 Menurut
S Lunchins dan Edith N Luchins (Erman Suherman, 2001),
matematika dapat dijawab secara berbeda-beda tergantung pada bilamana pertanyaan itu dijawab , dimana dijawabnya, siapa yang menjawabnya, dan apa sajakah yang dipandang termasuk dalam matematika. Mustafa (Tri Wijiyanti, 2011) menyebutkan bahwa matematika adalah ilmu tentang kuantitas, bentuk, susunan, dan ukuran, yang utama adalah metode dan proses untuk menemukan dengan konsep yang tepat dan lambang yang konsisten, sifat dan hubungan antara jumlah dan ukuran, baik secara abstrak, matematika murni atau dalam keterkaitan manfaat pada matematika terapan. Berdasarkan Elea Tinggih (Eman Suherman, 2001), matematika berarti ilmu pengetahuan yang diperoleh dengan bernalar. Hal ini dimaksudkan bukan berarti ilmu lain diperoleh tidak melalui penalaran, akan teapi dalam matematika lebih menekankan aktivitas dalam dunia rasio (penalaran), sedangkan dalam ilmu lain lebih menekankan hasil observasi atau eksperimen disamping penalaran. James dan James (Erman Suherman, 2001), mengatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran, konsep-konsep yang berhubungan satu dengan yang lainnya dengan jumlah yang banyak yang terbagi kedalam ketiga bidang, yaitu aljabar, analisis dan geometri. Namun ada pula kelompok lain yang beranggapan bahwa ilmu matematika adalah ilmu yang dikembangkan untuk matematika itu sendiri. Ilmu adalah untuk ilmu, dan matematika adalah ilmu yang dikembangkan untuk kepentingan sendiri. Matematika adalah ilmu tentang struktur yang bersifat deduktif atau aksiomatik, akurat, abstrak dan ketat. Dengan memperhatikan definisi matematika diatas, maka menurut Asep Jihad (Destiana Vidya Prastiwi, 2011: 33-34) dapat diidentifikasi bahwa matematika jelas berbeda dengan materi pelajaran lain seperti objek pembicaraan, pembahasan, konsep, operasi.
3
Lihat, The Liang Gie, filsafat matematika (Yogyakarta: YSIT, 1993), hlm 5. 3
3. Pengertian Filsafat Matematika Filsafat Matematika bersifat koheren yang konsepsional. Secara singkat, yang dimaksud dengan istilah koheren adalah terurut. Jika orang bertanya apakah arti terurut (consistent ) maka untuk menjawabnya dengan pertama-tama memberikan batasan terhadap kontra koheren. Kebalikannya disebut tidak terurut (inconsistent) atau bertentangan . Wilkins, DR, (2004), menjelaskan bahwa terdapat beberapa definisi tentang filsafat matematika yang berbeda-beda. Ahli logika Whitehead menyatakan bahwa filsafat matematika dalam arti yang paling luas adalah pengembangan semua jenis pengetahuan yang bersifat formal dan penalarannya bersifat deduktif. Boole berpendapat bahwa matematika adalah ide-ide tetang jumlah dan kuantitas. Hempeel, CG, (2001), menegaskan kembali apa yang telah dikemukakan oleh John Stuart Mill bahwa matematika itu sendiri merupakan ilmu empiris yang berbeda dari cabang lain seperti astronomi, fisika, kimia, kimia , dll terutama dalam dua hal :materi pelajaran adalah lebih umum dari pada apapun lainnya dari penelitian ilmiah dan proposisi yang telah diuji dan dikonfirmasi ketingkat yang lebih besar dibandingkan beberapa bagian yang paling mapan astronomi atau fisika. Bold, T., (2004) menyatakan bahwa elemen penting kedua untuk interpretasi konsep matematika adalah kemampuan dari abstrak, yaitu kemampuan pikiran untuk mengetahui sifat abstrak dari obyek dan menggunakan tanpa kehadiran obyek. Karena kenyataan bahwa semua matematika adalah abstrak, ia percaya bahwa salah satu motif dari intuitionists untuk berpikir matematika adalah produk satusatunya pikiran. Menurut Shapiro S (2000) bahwa logika adalah cabang kedua matematika dan cabang filsafat; bahasa formal, sistem dedukif, dan model teori semantik adalah objek matematika dan dengan demikian ahli logika yang tertarik pada mereka matematika sifat dan hubungan. Berdasarkan
penjelasan-penjelasan
tersebut
maka
filsafat
matematika
merupakan pemikiran menyeluruh terhadap persoalan mengenai sesuatu hal yang berkaitan dengan dasar dari pengetahuan matematika serta hubungan matematika disegala bidang kehidupan manusia baik secara epistemologi, ontology, metodologi, maupun aspek etis dan estetika pengetahuan matematika 4
B. HAKIKAT PENGETAHUAN MATEMATIKA Pengetahuan adalah keyakinan yang dibenarkan. Lebih tepatnya, bahwa pengetahuan awalnya terdiri dari dalil yang dapat diterima (yaitu, percaya), asalkan ada alasan yang memadai untuk menegaskannya. (Woozley, 1949)
[4]
Pengetahuan diklasifikasikan atas dasar alasan untuk pernyataan tersebut. Pengetahuan apriori terdiri dari dalil yang ditegaskan berdasarkan pemikiran sendiri, tanpa jalan lain untuk pengamatan dunia. Berikut alasan penggunaan logika deduktif dan makna istilah, biasanya dapat ditemukan dalam definisi. Sebaliknya, empiris atau pengetahuan posteriori terdiri dari dalil menegaskan berdasarkan pengalaman, yaitu, berdasarkan pengamatan dunia (Woozley, 1949). Hakikat pengetahuan matematika akan sangat berhubungan dengan proses pembelajaran matematika. Immanuel Kant menerangkan tentang hakikat Ilmu pengetahuan yang terdiri dari beberapa aspek. Dalam suatu teori yang dikemukakan oleh Imanuel Kant (Sanjaya, 2010), sifat dasar dari suatu pengetahuan (termasuk matematika) yaitu[4]: 1. Representation (Gambaran) Representasi didapatkan dari pengalaman-pengalaman yang sudah dialami sebelumnya yang terekam oleh otak sehingga seseorang akan mampu untuk menceritakan kembali apa yang pernah dilihatnya meskipun orang tersebut tidak melihat lagi secara langsung objek yang diceritakan. Di tahap inilah dibangun apersepsi (kesiapan) sebelum menuju ke persepsi. 2. Perception (Persepsi) Persepsi adalah penginderaan yang dilanjutkan ke otak untuk diterjemahkan. Dalam melakukan persepsi, seseorang membutuhkan kesadaran penuh agar bisa menghasilkan persepsi yang baik. Ukuran dalam persepsi ditentukan dengan derajatnya, bisa pasif maupun juga aktif. Objek yang diamati dalam hal ini adalah objek yang dapat dilihat atau dirasakan dalam suatu pengalaman (fenomena) dan objek yang tidak terlihat (noumena).
4
Sanjaya, Wina H. 2010. Strategi Pembelajaran Berorientasi Standar Proses
Pendidikan. Jakarta 5
3.
Knowledge (Pengetahuan) Suatu pengetahuan didapat dari adanya kombinasi representasi (gambaran) dan persepsi (anggapan). Pengetahuan juga merupakan suatu hasil dari adanya suatu pengalaman dan pemikiran dan sensasi.
4.
Concept (Konsep) Dalam hubungannya dengan pengetahuan, konsep merupakan suatu susunan atau rangkaian pemetaan dari pengetahuan itu sendiri, dalam hal ini konsep sangat penting dalam peranannya membangun suatu pengetahuan.
5. Pure (Kemurnian), dan 6. Judgement (Pengambilan keputusan)
Matematika merupakan suatu ilmu pengetahuan yang berhubungan atau menelaah bentuk-bentuk atau struktur-struktur yang abstrak dan hubungan-hubungan di antara hal-hal dalam kehidupan. Untuk dapat memahami struktur-struktur serta hubungan-hubungan tentu saja diperlukan pemahaman tentang konsep-konsep yang terdapat di dalam matematika. Menurut James (Sanjaya, 2010),dalam kamus matematikanya menyatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika mengenai, bentuk, susunan, besaran dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan yang lainnya dengan jumlah yang banyak yang terbagi dalam tiga bidang yaitu aljabar, analisis dan geometri Salah satu hal dalam pendidikan yang perlu mendapat perhatian adalah terlaksananya pembelajaran yang baik antara guru dan siswa. Dalam pembelajaran guru berusaha semaksimal mungkin agar materi yang disampaikan dapat ditangkap dan dimengerti oleh siswa yang pada akhirnya siswa dapat mencapai tujuan pembelajaran yang ditentukan. Pengetahuan matematika diklasifikasikan sebagai pengetahuan prioritas, karena terdiri dari dalil menegaskan berdasarkan nalar s emata. Termasuk alasan logika deduktif dan definisi yang digunakan, dalam hubungannya dengan seperangkat asumsi aksioma atau postulat matematika, sebagai dasar untuk menyimpulkan pengetahuan matematika. Jadi dasar pengetahuan matematika, yang merupakan alasan untuk menyatakan kebenaran dalil matematika, terdiri dari buktI deduktif.
6
Bukti dari dalil matematika adalah rentetan yang terbatas dari pernyataan akhir pada dalil, yang memenuhi sifat berikut. Setiap pernyataan merupakan aksioma diambil dari seperangkat aksioma sebelumnya, atau diturunkan dengan aturan kesimpulan dari satu atau lebih pernyataan yang terjadi sebelumnya dalam urutan. Istilah 'sekumpulan aksioma' dipahami secara luas, untuk memasukkan apa pun pernyataan diterima menjadi bukti tanpa demonstrasi, termasuk aksioma, dalil-dalil dan definisi. Jika definisi tidak eksplisit, seperti dalam definisi asli dari induktif Peano (Heijenoort, 1967), yang diasumsikan di atas sebagai sebuah aksioma, dan bukan sebagai definisi, maka definisi tidak akan eliminable pada prinsipnya. Dalam hal ini masalah dasar definisi, yaitu asumsi yang menjadi landasannya, analog dengan aksioma. Aksioma tidak terlepas pada pembuktian. Mereka harus dianggap baik sebagai kebenaran aksiomatik, atau hanya mempertahankan pembenarannya, asumsi sementara, diadopsi untuk memungkinkan perkembangan dari teori matematika yang sedang dipertimbangkan. Kami akan kembali ke hal ini. Asumsi logis, yaitu aturan inferensi (bagian dari bukti teori keseluruhan) dan sintaks logis, diasumsikan sebagai bagian dari logika yang mendasarinya, dan merupakan bagian dari mekanisme yang dibutuhkan untuk aplikasi alasan. Jadi logika diasumsikan
sebagai
landasan
bermasalah
untuk
pembenaran
pengetahuan.
Singkatnya, kebenaran matematika tergantung untuk pembenaran pada bukti matematika.
C. OBJEK MATEMATIKA
Matematika mempunyai objek kajian yang abstrak, walaupun ti dak setiap yang abstrak adalah matematika[5]. Dalam matematika objek dasar yang dipelajari adalah abstrak, sering juga disebut objek mental. Objek-objek itu merupakan objek pikiran. Objek dasar meliputi: 1) fakta 2) konsep 3) operasi ataupun relasi 4) prinsip
5
Abdul halim fathani.2009. MATEMATIKA hakikat & logika.yogyakarta:AR-RUZZ MEDIA. HAL.
59 dasar itulah dapat disusun suatu pola dan struktur matematika. 7
Pembagian objek langsung matematika oleh Gagne menjadi fakta, konsep, prinsip, dan keterampilan6 1. Fakta
fakta adalah konvensi (kesepakatan) dalam matematika seperti lambang, notasi, ataupun aturan seperti 5 + 2 × 10 = 5 + 20, di mana operasi perkalian didahulukan dari operasi penjumlahan. Jadi tidak benar bahwa 5 + 2 ×10 = 7 × 10. Lambang “1” untuk menyatakan banyaknya sesuatu yang tunggal merupakan contoh dari fakta. Begitu juga lambang “+”, “–“, ataupun ”×” untuk operasi penjumlahan, pengurangan, ataupun perkalian. Seorang siswa dinyatakan telah menguasai fakta jika ia dapat menuliskan fakta tersebut dan menggunakannya dengan benar. Karenanya, cara mengajarkan fakta adalah dengan menghafal, drill, ataupun peragaan yang berulang-ulang.
2. Konsep
konsep adalah suatu ide abstrak yang memungkinkan seseorang untuk mengklasifikasi suatu objek dan menerangkan apakah objek tersebut merupakan contoh atau bukan contoh dari ide abstrak tersebut. Seorang siswa disebut telah mempelajari konsep segitiga jika ia telah dapat membedakan yang termasuk segitiga dari yang bukan segitiga. Untuk sampai ke tingkat tersebut,siswa harus dapat mengenali atribut atau sifat-sifat khusus dari segitiga. Adaempat cara mengajarkan konsep, yaitu: 1.
Dengan cara membandingkan obyek matematika yang termasuk konsep dan yang tidak termasuk konsep.
2.
Pendekatan deduktif, dimana proses pembelajarannya dimulai dari definisi dan diikuti dengan contoh-contoh dan yang bukan contohnya.
3.
Pendekatan induktif, dimulai dari contoh lalu membahas definisinya.
4.
Kombinasi deduktif dan induktif, dimulai dari contoh lalu membahas definisinya dan kembali ke contoh, atau dimulai dari definisi lalu membahas contohnya lalu kembali membahas definisinya.
6
Gagne, R.M. (1983). Some Issues in the Psychology of Mathematics Instruction. Journal for Research in Mathematics Education. 14 (1) 8
Pada intinya, seperti halnya ketika ada orang menyatakan kucing lalu terbayang di dalam pikiran Anda yang dimaksud dengan kucing tersebut, maka ketika seorang guru atau orang lain menyatakan bilangan genap ataupun persegipanjang, maka harus ada bayangan tentang objek yang dimaksudkan, sebab jika tidak demikian si siswa telah dianggap gagal mempelajari konsep tersebut,dan ia akan mengalami kesulitan di saat mempelajari matematika lanjutannya.
3. Prinsip
Prinsip adalah suatu pernyataan yang memuat hubungan antara dua konsep atau lebih. Contohnya, rumus luas segitiga berikut: =
1
2
Pada rumus luas segitiga di atas, didapati adanya beberapa konsep yang digunakan, yaitu konsep luas, konsep panjang alas segitiga dan konsep tinggi segitiga. seorang siswa dinyatakan telah memahami prinsip tersebut jika ia: 1. Ingat rumus atau prinsip yang bersesuaian, dalam hal ini
=
1
2
2. Memahami beberapa konsep yang digunakan serta lambang atau notasinya, 3. Dapat menggunakan rumus atau prinsip yang bersesuaian pada situasi yang tepat.
4. Keterampilan atau Proses
keterampilan adalah suatu prosedur atau aturan untuk mendapatkan atau memperoleh suatu hasil tertentu. Misalkan saja anda diminta untuk menentukan hasil dari 345 × 87 tanpa menggunakan kalkulator. Apa yang harus Anda lakukan? Prosedur atau aturan untuk mendapatkan atau memperoleh hasil 345 × 87 biasanya adalah dengan perkalian bersusun. Seorang siswa dinyatakan belum menguasai suatu keterampilan jika ia tidak menghasilkan suatu penyelesaian yang benar atau tidak dapat menggunakan dengan tepat suatu prosedur atau aturan yang ada.
9
seorang siswa dinyatakan telah menguasai suatu keterampilan jika ia dapat menggunakan dengan tepat suatu prosedur atau aturan dan dapat menghasilkan suatu penyelesaian yang benar. Yang perlu diperhatikan guru, penguasaan keterampilan para siswa harus berlandaskan pada pengertian dan tidak hanya pada hafalan sematamata, dalam arti siswa harus mengetahui dan memiliki alasan mengapa ia harus melakukan hal seperti itu. Pembagian objek langsung matematika oleh Gagne menjadi fakta, konsep, prinsip, dan keterampilan dapat dimanfaatkan dalam proses pembelajaran matematika di kelas dengan alasan bahwa materi matematika memang terkategori seperti itu. Namun yang lebih penting, syarat bagi seorang siswa untuk menguasai fakta akan berbeda dengan syarat seorang siswa telah menguasai konsep; dan akan berbeda juga dengan syarat seorang siswa telah menguasai prinsip atau keterampilan. Perbedaan dalam penentuan syarat penguasaan ini akan berakibat pada perbedaan penekanan selama penyampaian materi di kelas.
D. TIGA ALIRAN BESAR FILSAFAT MATEMATIKA 1. Aliran logisisme
Aliran logisisme merupakan sebuah aliran yang yang berpendapat bahwa Matematika murni (science) didasarkan pada prinsip logika dan pengkajiannya juga harus menggunakan logika, sehingga matematika harus lebih logis dipahami. Dengan demikian logika dan matematika merupakan bidang yang sama karena seluruh konsep dan dalil matematika dapat diturunkan dari logika. Mahzab logisisme dipelopori oleh filosof Inggris bernama Arthur William Russell (18721970) dengan diterbitkan bukunya yang berjudul The Principles of Mathematics. Dalam bukunya dia menyatakan bahwa matematika dan logika yang berkembang secara bersamaan ibarat anak kecil dan orang dewas, mengutip perkataannya yaitu they different as boy and man: logic is the youth of mathematics and mathematics is the manhood of logic yang berarti perbedaan mereka seperti anak kecil dan orang dewasa: logika merupakam masa muda dari matematika dan matematika merupakan masa dewasa logika. Lihat, Betrand Russell, Introduktion to Mathematics Philosophy, (New York: McGraw-Hill,1956), hlm. 194
10
Pengakuan Bertand Rusell menerima logisisme adalah yang paling jelas dan dalam
rumusan yang sangatbeksplisit. Ada dua pernyataan penting yang
dikemukakannya,
yaitu
semua
kons
matematika
secara
mutlak
dapat
disederhanakan pada konsep logika; dan semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan melalui penarikan kesimpulan secara logika semata. Selain Betrand Rusell, ada juga filosof lainnyayang bermahzab logisisme yaitu Alferd North Whitehead (1861-1947) yang menlis buku bersama Betrand Rusell antara tahun 1910-1913 yang berjudul Principia Mathematica atau prinsip dasar matematika sebanyak tiga jilid yang membuktikan bahwa memang logika dan matematika keduanya berkembang secara bersamaan, sehingga dapat dipahamii bahwa logika dan matematika adalah satu. Namun, pernyataan Ernest (1991) mempetanyakan pernyataan matematika dalam aliran logisisme tersebut, yang menjadi kebenarannya atau pernyataannya yaitu sebagai berikut: Lihat, P.Ernest, The Philosophy of Mathematics Education, (London: The Falmer Press, 1991) hlm.144
Bahwa pernyataan matematika sebagai implikasi pernyataan sebelumnya, dengan demikian kebenaran-kebenaran aksioma sebelumnya memerlukan eksplorasi tanpa menyatakan benar atau salah. Hal ini mengarah pada kekeliruan karena tidak semua kebenaran matematika dapt dinyatakan sebagai pernyataan implikasi.
Teorema ketidaksempurnaan menyatakan bahwa bukti deduktif tidak cukup untuk mendemonstrasikan semua kebenaran matematika. Oleh karena itu reduksi yang sukses mngenai aksioma matematika melalui logika belum cukup untuk menurunkan semua kebenaran matematika.
Kepastian logika bergantung kepada sumsi-asumsi yang tidak teruji dan tidak dijustifikasi. Program logis mengurangi kepastian pengetahuan matematika dan merupakan kegagalan prinsip ddari logisisme. Logika tidak menyediakan suatu dasar tertentu untuk pengetahuan matematika.
11
2. Aliran formalisme
Aliran formalisme seperti David Hilbert (1862-1943) berpendapat bahwa matematika adalah tidak lebih atau tidak kurang sebagai bahasa matematika. Hal ini disederhanakan sebagai deretan permainan dengan rangkaian tanda-tanda lingistik, seperti huruf-huruf alpabet bahasa inggris. Bilangan dua ditandai oleh beberapa tanda seperti 2, II atau SSO. Pada saat kita membaca kadang-kadang kita memaknai bacaan secara matematika, tetapi sebaliknya istilah matematika tidak memiliki sebarang perluasan makna (anglin,1994). Formalis memadang matematika sebagai suatu permainan formal yang tak bermakna (meaningless) dengan tulisan pada kertas, yang mengikuti aturan (ernest, 1991). Menurut ernest (1991) formalis memiliki dua tesis yaitu :
Matematika dapat dinyatakan sebagai sistem formal yang tidak dapat ditafsirkan sebarangan, kebenaran matematika disajikan melalui teorema-teorema formal.
Keamanan dari sistem formal ini dapat didemostrasikan dengan terbebasnya dari ketidak konsistenan.
Ada bermacam keberatan terhadap formalisme, antara lain :
Formalis dalam memahami obyek matematika seperti lingkaran, sebagai sesuatu yang konkrit, padahal tidak bergantung pada obyek fisik.
Formalis tidak dapat menjamin permainan matematika itu konsisten.
Keberatan tersebut dijawab formalis bahwa : A. Lingkaran dan yang lainnya adalah obyek yang bersifat material dan B. Meskipun beberapa permainan itu tidak konsisten dan kadang-kadang trivial, tetapi yang lainnya tidak demikian (Anglin, 1994). Formalisme dibentuk dengan tujuan khusus menyingkirkan semua kontradiksi dalam matematika, antara lain mengatasi paradok dalam teori himpunan (paradok russel / paradok tukang cukur) dan untuk menyelesaikannya tantangan matematika klasik yang disebabkan oleh kritik kaum intuisionis. Dengan kata lain aliran formalisme bertujuan untuk menterjemahkan seluruh matematika ke dalam sistem formal yang tidak dapat diinterpretasikan (kosong dari arti).
12
Aliran formalisme menganjurkan pendekatan murni abstrak, berangkat dari prinsip awal, dan mendeduksi segalanya dari prinsip awal tersebut. Karya-karya yang dihasilkannya sama sekali tidak mempunyai hubungan dengan ilmu pengetahuan dan dunia nyata, sesuatu yang sangat membanggakan aliran ini. Menurut aliran formalisme, matematika sekedar rekayasa simbol berdasarkan aturan tertentu untuk menghasilkan sebuah sistem pernyataan tautologis, yang memiliki konsistensi internal, tetapi kosong dari makna. Matematika direduksi hanya menjadi sebuah permainan intelektual, seperti catur. Dalam bahasa populer formalisme memandang matematika sebagai permainan formal penuh makna yang dimainkan dengan lambang-lambang di atas kertas menggunakan aturan tertentu. Tesis aliran formalisme ada dua yaitu : 1. Matematika murni dapat diekspresikan dalam bentuk sistem formal yang kosong dari arti, dan di dalamnya mengandung kebenaran matematika yang direpresentasikan dalam bentuk teorema formal, dan 2. Untuk menunjukkan bahwa sistem formal yang dibangun bebas dari segala macam kontradiksi dan paradok, digunakan alat yang disebut meta-matematika dengan cara mendemonstrasikan bahwa term-termnya bebas dari inkosisteni. Secara ringkas, tesis kaum formalis adalah membangun matematika yang berpusat pada penggunaan sistem lambang formal. Programnya adalah membangun konsistensi seluruh matematika dengan menggunakan teori bukti. Tesisnya bahwa matematika harus dikontruksi kembali atas dasar kaidah konsistensi dengan lambamg-lambang formal, menemukan hasilnya dalam karya Hilbert, Grundlagen der Mathematik. Kaum formalis memandang matematika sebagai koleksi perkembangan abstrak, dimana term-termnya matematika semata-mata hanyalah lambanglambang dan pernyataan adalah rumus-rumus yang melibatkan lambang-lambang tersebut. Dasar untuk aritmatika tidak terletak pada logika tetapi pada koleksi tandatanda pralogis atau lambang-lambang dalam seperangkat operasi dengan tandatanda ini. Oleh karena itu, menurut aliran formalisme, matematika kosong dari muatan konkrit dan hanya memuat elemen-elemen lambang ideal, sehingga membangun kekonsistenan dari berbagai cabang matematika menjadi sangat penting.
13
Tanpa disertai bukti kekonsistenan, seluruh penyelidikan matematika tidak berarti sama sekali. Dengan tesis kaum formalis ini, perkembangan matematika aksiomatis terdorong kepuncak kejayaan tertinggi. 3. Aliran Intuitionisme
Aliran Intuitionisme merupakan aliran yang ketiga dari landasan matematika yang mengandalkan intuisi dalam mengkaji dan memahami matematika, karena itu intuisi merupakan sarana untuk mengetahui secara langsung dan seketika tentang matematika. Aliran ini dipelopori oleh ahli matematika Belanda yang bernama Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966). Dia berpendapat bahwa matematika adalah sama dengan bagian yang eksak dari pemikiran manusia. Ketepatan dalildalil matematika terletak dalam akal manusia tidak pada simbol-simbol di atas kertas.(Didi Haryono:2014) 7 Dalam pemikiran aliran Intuitionisme ini matematika berlandaskan pada intuisi dasar mengenai kemungkinan untuk membangun sebuah serangkaian bilangan yang tidak terbatas (infinite). Intuisi ini pada hakikatnya merupakan dasar suatu aktifitas berpikir yang tergantung pada pengalaman, bebas dari bahasa dan simbolisme, serta bersifat objektif. E. RELASI FILSAFAT DAN MATEMATIKA
Filsafat platonik memandang matematika sebagai pelatihan yang tepat untuk memahami alam semesta sejati, bukan sebagaimana alam semesta yang tampak. Plato tiba pada pandangan-pandangan demikian dengan merenungkan tempat matematika dalam pengumpulan pengetahuan rasional. Pengelompokan institusi-institusi akademik secara ekstensif, banyak matematikawan adalah filsuf. Tokoh-tokoh seperti Rene Descartes, Gottfried Wilhelm Leibniz, dan blaise pascal adalah beberapa contohnya, dan dari masa lebih kini kita pun mengenal Bernard Bolzano, Bertrand Russell, Alfred North Whitehead, David Hilbert, Gottlod Frege, Alonzo Churh, Kurt Godel, serta Alfred Tarski. Rasionalisme adalah suatu aliran filsafat yang dapat dianggap sebagai upaya untuk memperluas metodologi yang dipersepsi dari matematika keseluruh ilmu pengetahuan. Para rasional terkesan dengan fondasi kokohyang dimiliki matematika yangan dilandaskan pada rasionalitas murni.
14
Sains, etika, dan sebagainya harus pula dikembangkan dengan memberikan demonstrasi-demonstrasi ketat dari penalaran semata bagi pernyataan-pernyataannya. Rasionalisme dapat ditelusuri ke Plato, dan bertahan pada abad ke-17 dan awal abad ke-18 dalam tulisan-tulisan Descartes, Baruch Spinoza, dan Leibniz. Sangkalan utama terhadap rasionalisme adalah empirisis me, yaitu suatu pandangan bahwa pengalaman inderawi, bukanlah penalaran murni, yang merupakan sumber bagi pengetahuan. Pengetahuan matematis tampaknya didasarkan pada bukti, bukan observasi, maka matematika adalah kontracontoh yang jelas terhadap tesis utama empirisisme. Matematika dipandang sebagai suatu paradigma pengetahuan a priori — pengetahuan yang mendahului, dan lepas dari, pengalaman. Para matematikawan dan filsuf sering kali sukar memahami penelitian sesama mereka dalam jurusan-jurusan mereka sendiri.pakar aljabar tidak dapat mengikuti perkembangan-perkembangan dalam analisi. Dalam filsafat fisika tidak terpahami dengan mudah oleh para filsuf etika. Matematika tidak jauh dari kajian bidang-bidang filsafat seperti epistemologi, metafisika, logika, sains kognitif, filsafat bahasa, dan filsafat sains alam dan sains sosial. Filsafat juga tidak jauh dari kajian bidang-bidang matematis seperti logika, teorin himpunan, teori kategori, komputabilitas, dan bahkan analisis dan geometri. Filsafat dan matematika terjalin secara dekat tetapi tidak saling mendominasi. Cara yang benar untuk melakukan matematika bukan merupakan konsekuensi langsung dari filsafat yang benar, dan di sisi lain, tidak pula filsafat matematika yang benar merupakan konsekuensi langsung dari matematika sebagaimana ia dipraktikkan.
Kerja filsafat dalam matematika adalah memberikan penjelasan tentang matematika dan kedudukannya dalam kehidupan intelektual kita. Sesuatu tantang matematika, sesuatu tentang aplikasi-aplikasi matematika, sesuatu tentang bahasa matematis, dan sesuatu tentang diri kita sendiri. suatu tugas yang besar, meski tanpa melibatkan pengungkapan prinsip-prinsip pertama.
15
Terdapat beberapa alasan hubungan antara matematika dan filsafat. Pertama, matematika dan filsafat merupakan upaya-upaya intelektual paling awal untuk memahami dunia di sekitar kita, dan keduanya terlahir di Yunani Kuno atau mengalami transformasi-transformasi penting di sana. Kedua, matematika adalah suatu studi kasu paling penting bagi filsuf. Dan alasan ketiga untuk keterkaitan matematika dan filsafat terletak pada epistemologi — studi pengetahuan. Matematika sangat penting karena peran sentralnya dalam hampir setiap upaya ilmiah yang di tunjukkan untuk memahami dunia materi. Matematika adalah alat utama dalam upaya-upaya terbaik untuk memahami dunia.
F. RELASI MATEMATIKA DAN FILSAFAT MATEMATIKA
Para filsuf dan beberapa matematikawan berkeyakinan bahwa persoalan filosofis, misalnya metafisika dan ontologi, menentukan praktik yang tepat bagi matematika. Plato memandang bahwa bidang kajian matematika adalah suatu alam ideal yang abadi dan tidak mengalami perubahan. Objek-objek matematis, misalnya bilangan dan objek-objek geometrik, bersifat tidak dapat diciptakan atau dihancurkan, dan objek-objek itu pun tidak dapat diubahubah. Hampir setiap sumber geometri kuno, termasuk elements dari euclid, secara ekstensif menggunakan bahasa dinamis konstruktif: garis lukis, bangun di putar, fungsiditerapkan, dan sebagainya. Filsafat plato tersebut benar, maka bahasa dinamis menjadi tidak bermakna. Euclid menuliskan bahawa diantara sebarang dua titik kita dapat melukis sebuah garis lurus. Hilbert dalam Grundlagen Der Geometrie (1899) mencantumkan sebuah aksioma yang benar secara platonistik bahwa diantara sebarang dua titik terdapat suatu garis lurus. Hilbert dsan euclid mengatakan hal yang sama jika bahasa-bahasa mereka dipahami
dengan
tepat.
Plato
tidak
mengalami
kesulitan
besar
dalam
menginterpretasikan para geometer di zamannya terutama mengeluh tentang bahasa mereka, bukan geometri yang ada ketika itu. Pada abab ke-20, perdebatan di sekitar intuisionisme memberikan satu contoh lain yang jelas mengenai tantangan filosofis terhadap praktik matematika. Para intuisional berada di sisi yang bertolak belakang terhadap plato, mereka berpandangan bahwa objek-objek matematis adalah konstruksi-konstruksi mental.
16
L. E. J. Brouwer (1948) memandang bahwa matematika intuisionistik, yang dikembangkan secara ketat dari sudut pandang deduktif teorema-teorema secara ekslusif dengan menggunakankonstruksi introspektif, adalah beberapa dari matematika klasik menyakini ekstitensi kebenaran-kebenaran yang tidak dapat di ketahui, Arend heyting (1956) menyebutkan bahwa di dalam studi konstruksi-kontruksi matematis mental , ‘ada’ bersinonim dengan ‘dikonstruksi’. Orientasi yang tersiratkan oleh situasi semacam ini adalah bahwa filsafat mendahului praktik dalam segi metafisik yang dalam. Pada tingkatan yang fundamental, filsafat menentukan praktik. Ini berarti bahwa seseorang terlebih dahulu mendeskripsikan atau mengungkap apakah matematika itu sesungguhnya — apakah, misalnya, entitas-entitas matematis itu bersifat objektif atau tergantung pada pikiran. Beberapa filsuf cenderung mengabaikan fakta bahwa prinsip filsafat-dahulu tidak sesuai dengan sejarah matematika. Filsuf-filsuf ini bersikap kritis terhadap para matematikawan apabila mereka mengabaikan atau menggar prinsip-prinsip pertama filasofis yang benar. Beberapa filsuf, sebagian besar dari mereka, menolak prinsip filasafat-dahulu karena mereka menyakini bahwa tujuan dari filsafat matematika adalah untuk memberikan penjelasan yang koheren tentang matematika, dan mau tidak mau, matematika adalah apa yang para matematikawan lakukan.pandangan yang sangat bertolak belakang terhadap prinsip filsafat-dahulu, yaitu tesis bahwa filsafat tidak relevan dengan matematika. Pandangan filosofis tidak memiliki sesuatu pun untuk disumbangkan kepada matematika dan mungkin saja menjadi cra berpikir sesat yang tidak berarti, hanya sesuatu pengembangan dan upaya campur tangan dari pihak luar. Filsafat sebaiknya hanya dapat berperan sebagai abdi yang tidak penting bagi matematika. Filsafat memang mendapatkan peran, maka tugas itu adalah memberikan penjelasan yang koheren tentang matematika peran, maka tugas itu adalah memberikan penjelasan yang koheren tentang matematika sebagaimana di praktikkan sampai sejauh itu. Istilahnya disebut prinsip filsafat-terakhir-jika-memang. Beberapa matematikawan memang memperhatikan filsafat, dan menggunakannya, paling tidak, sebagai panduan kerja mereka. Filsafat dapat menentukan arahan bagi penelitian dalam matematika. Paul bernays (1935), misalnya, dapat dianggap menolak prinsip filsafat-terakhir, saat dia menuliskan bahwa nilai dari konsepsi-konsepsi matematis yang terinspirasi oleh pandangan platonistik melengkapi model-model yang bertahan dengan kesederhanaan dan kekuatan logis. 17
Beberapa pakar pengamat berpendapat bahwa matematika telah menjadi serangkaian disiplin ilmu yang sangat terspesialisasi dan tidak terorientasi, di mana bahkan pakar-pakar dalam bodang-bidang yang masih berkaitan tidak mampu memahami kerja mereka satu sama lain. Tujuan utama dari filsafat matematika adalah menginterpretasikan mat ematika, dan dengan begitu menjelaskan kedudukan matematika dalam dunia intelektual secara keseluruhan. Filsafat matematika dilakukan oleh mereka yang peduli tentang matematika dalam kancah keilmuaan. Matematikawan yang menganut filsafat matematika
hendaknya
memperoleh
sesuatu
dengan
filsafat
matematikanya,
pemahaman tentang perspektif dan peran matematika, dan sekurang-kurangnya suatu pedoman bagi arahan matematika — masalah-masalah seperti apa yang penting, pertanyaan-pertanyaan apa yang hendaknya diajukan, metodologi-metodologi apa yang masuk akal, apa yang mungkin berhasil, dan sebagainya.
G. RUANG LINGKUP FILSAFAT MATEMATIKA
Filsafat matematika pada dasarnya merupakan pemikiran reflektif terhadap matematika. Matematikalah yang menjadi objek kajian atau pokok permasalah an yang dipertimbangkan secara cermat dengan penuh perhatian.
Sebagaimana yang
ditekankan oleh filosof inggris yang bernama R.G. Collingwood yang menyatakan the philosophy is reflective atau pemikiran filsafat bersifat reflektif adalah dalam arti senantiasa berpikir tentang pemikirannya sendiri mengenai objek tersebut. Namun, secara khusus filsafat matematika sebagaimana yang disampaikan The Liang Gie mengutip Howard W. Eves dan Carrol V. Newsom, dalam bukunya An Introduction to the foundations ad foundamentalconcepts of mathematics menyatakan bahwa:
“In particular, a phylosophy of the mathematics essentially amounts to an attempted in wich the chaotic mass of mathematical knowledge accumulated over the ages is given a certain sense or order” The Liang Gie, Op, cit, hal 33
18
Landasan matematika merupakan bidang pengetahuan yang berkaitan dengan konsep-konsep dasar atau asas-asas fundamental yang lebih pinsipil yang dipergunakan dalam matematika, misalkan yang berkaitan dengan operasi aljabar, arimatika, danyang lain sebagainya. Kemudian, dengan prinsip dasar pada landasan matematika proses pengkajiamnya atau penelahannya akan sampai pada sifat alami (ntuare) matematika dan sampai juga pada metode matematika. Sedangka meta-matematka yang dimaksudkan sebagai sbuah teori pembuktian untuk menetapkan ada atau tidaknya konsistensi dalam matematika dan menjawab permasalahan lainna, seperti problem keputusan dan kelengkapan dalam suatu sistem formal atau sistem logika. Meta-matematika merupakan suatu cabang dari logika matematika yang menelaah teori-teori tersebut formal
dan memecahkan persoalan yang berkaitan
dengan teori-teori tersebut, serta dilakukan pembuktian – pembuktian dengan menggunakan simbol-simbol tertentu yang dalam pembuktian tersebut memungkinkan adanya sebuah kesesuaian dengan kenyataan yang terjadi. Sehingga, dari metamatematika inilah muncul teori pembuktian yang diformalkan termasuk sistem logika simbolik yang berada di dalamnya dengan tujuan menggunakan simbol dalam matematika untuk membuktikan persoalan yang akan diselesaikan. Ruang lingkup filsafat matematika merupakaan pembahasan yang menyangkut problem-problem atau cakupan luas tentang kajian filsafat matematika baik problem umum yang berkaitan dengan prinsip dasar dan kriteria filsafat matematika maupun problem khusus yang berkaitan dengan problem reflektif dan membentuk filsafat matematika.( Didi Haryono:2014).Problem-problem umum dan khusus tersebut akan dijelaskan dalam ruang lingkup kajian filsafat matematika sebagaimana yang bagikan oleh The Liang Gie (1999) dalam () yang meliputi : epistemologi matematika, ontologi matematika, metodologi matematika, struktur logis dari matematika, implikasi etis matematika, aspek estetis dari matematika, dan peranan matematika dalam sejarah peradaban manusia.( Didi Haryono:2014) 7
7
afidburhanuddin.files.wordpress.com/2012/05
epistemilogi-ontologi-dan-aksiologi-pengetahuan-sains_2013_1.pdf
19
a. Epistemologi Matematika Secara etimologi, epistemologi merupakan gabungan dari dua kata dalam bahasa Yunani yaitu Episteme dan Logos. Episteme artinya pengetahuan, sedangkan logos lazim dipakai untuk menunjukkan adanya pengetahuan sistematik. Dengan demikian epistemologi dapat diartikan sebagai pengetahuan sistematik mengenai pengetahuan.(Afid Burhanuddin:2012) Epistemologi merupakan cabang filsafat yang berkaitan dengan dengan hakikat dan lingkup pengetahuan matematika yang meliputi matematika murni, matematika terapan dan berbagai cabang matematika lainnya, ciri-ciri matematika yang meliputi abstraksi, deduktif, hipotesis, eksak, simbolik, universal, rasional dan lain-lain, pengandaian-pengandaian, dan dasar-dasarnya serta pertanggungjawaban atas pernyataan mengenai pengetahuan yang dimiliki. (Didi Haryono:2014)
b. Ontologi Matematika Menurut bahasa Ontologi berasal dari bahasa Yunani yaitu On atau Ontos yang artinya ada dan Logos yang artinya ilmu. Jadi, Ontologi adalah ilmu tentang yang ada. Menurut istilah, Ontologi adalah ilmu yang membahas tentang hakikat yang ada, yang merupakan ultimate reality baik yang berbentuk jasmani/konkret maupun rohani/abstrak.(Afid Burhanuddin:2012). Ontologi mtematika merupakan suatu teori mengenai keberadaan tentang apa yang ada (metafisik), ontologi matematika menyelidiki sifat dasar dari apa yang nyata secara fundamental dan cara berbeda dimana entitas dari kategorikategori logis yang berlainan (objek-objek fisik, hal universal) dapat dikatakan ada, dalam kerangka tradisional ontologi dianggap sebagai teori mengenai prinsip-prinsip umum dari hal yang ada, sedangkan dalam hal pemakainannya akhir-akhir ini ontologi dipandang sebagai teori mengenai apa yang ada.( Didi Haryono:2014). Dalam ontologi matematika ada banyak hal yang dipersoalkan misalkan cakupan dari pernyataan matematika (cakupan dunia nyata dan tidak nyata), cakupan tersebut dalam pandangan realisme empirik menjawab bahwa cakupan tersebut merupakan suatu realitas dan eksistensi dari entitas-entitas matematika juga menjadi bahan pemikiran filsafat.(Didi Har yono:2014)
20
c. Metodologi Matematika
Metodologi matematika merupakan penelaahan atau pengkajian terhadap metode-metode yang khusus dipergunakan dalam matematika. Menurut Alfred Tarski dalam Didi Haryono bidang studi ini dikenal dengan sebutan yang berkali-kali berubah-ubah, misalkan pada awalnya dinamakan metodologi ilmu-ilmu deduktif, kemudian diganti dengan teori pembuktian (theory of proof ), selanjutnya menjadi meta-logika dan meta-matematika, sedangkan pada akhir-akhir ini muncul logika sintaks dan semantic dari ilmuilmu deduktif.[8] Metode yang khusus dari matematika kini lazim dikenal sebagai metode aksiomatik ( axiomatic method ) atau metode hipotetik-deduktif (hypothetical-deductive method ).[9]
d. Struktur Logis dari Matematika
Struktur logis dari matematika merupakan bagian dari ruang lingkup filsafat matematika yang dengan membahas dan memahami sasarannya sebagai sebuah struktur yang sepenuhnya bersifat logis. Struktur tersebut memiliki indikator tertentu dalam menjalankan hukum-hukum logika (law of logic), mensyaratkan standar tinggi dalam ketelitian logis, dan mencapai kesimpulan atau konklusi yang logis tanpa memperhatikan keadaan yang semestinya dalam dunia empirik. Dari segi struktur yang demikian maka matematika kadang-kadang didefinisikan sebagai suatu kumpulan dari sistem-sistem yang logis. Jadi sifat alami matematika adalah harus logis dan bahkan penulisan dalam bidang pengetahuan matematika perlu pula dengan gaya atau penularan yang logis.
e. Implikasi Etis dari Matematika
Implikasi etis dari perkembangan matematika di dunia ini pada abad XIX sangat berpengaruhdalam kehidupan bermasyarakat. Sebagai contoh, perkembangan aritmatika binary (binary arithmetic) yang berpadu dengan teknologi elektronik telah melahirkan macam-macam computer untuk keperluan manusia dalam menyimpan data-data perseorangan, data base penyimpanan uang di bank, mengatur persediaan barang, dan lain sebagainya.
[8]
Didi Haryono, Filsafat Matematika, Alfabeta, Bandung 2014, hlm. 53 21
[9]
Lihat, The Liang Gie,Op,cit, hal 56
Kemajuan teknik-teknik statistic yang semakin rumit, mendorong manusia untuk melakukan penelitian ilmiah mengenai kehidupan masyarakat atau kepribadian individual penuh dengan perhitungan angka dan penerapan rumus sehingga kualitas tidak lagi nampak. Oleh karena itu, implikasi etis dapat menjadi pokok persoalan yang menarik dalam pemikiran filsafat matematika.
f.
Aspek Estetis dari Matematika
Mempelajari dan mengkaji matematika tentunya memerlukan kehati-hatian, dan harus dinikmati karena matematika merupakan suatu karya seni yang besar yang mengandung keindahan. Misalkan dalam bidang geometri yang memerlukan kehati-hatian dalam menggambar suatu bangun ruang (di dunia nyata seperti gedung dan lain sebagainya) baik yang dua dimensi, tiga dimensi, empat dimensi,maupun yang multi dimensi. Jika salah menggambarnya maka output yang dihasilkan tidak bermanfaat, sebaliknya gambarnya bagus maka output yang dihasilkan bagus, indah dan bermanfaat bagi manusia dalam kehidupannya. Keindahan dapat tercapai dengan adanya ide yang orisinil penuh kehatihatian, tercemerlangnya jalan pikiran, dan ciri yang lainnya dalam matematika. Ciri seni dan sifat indah merupakan aspek estetis dari matematika yang juga ditelaah dalam filsafat matematika. Keindahan matematika juga sangat berkaitan dengan bentuk benda yang simetris, asimetris, anti simetris dan keteraturan yang meliputi susunan indah secara sistematis baik berkaitan dengan bilangan, space dan time yang mempengaruhi kehidupan manusia dewasa ini.
g. Peranan Matematika dalam Sejarah Peradaban Manusia
Matematika sangat memiliki peran penting dalam peradaban manusia, tanpa matematika maka kita tidak bisa mengenal perhitungan yang akan memudahkan manusia dalam melakukan aktifitas mereka, misalkan di bidang perdagangan, bisnis, perhitungan, dan di segala bidang lainnya. Peranan matematika dalam sejarah peradaban manusia merupakan sejarah tentang peran filsafat matematika mempengaruhi segala bidang kehidupan dan bidang kajian manusia dalam memajukan ilmu pengetahuan dan teknologi. 22
Perkembangan dan kemajuan peradaban manusia tidak bisa dilepaskan dari peran ilmu pengetahuan. Kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi ibarat mata rantai yang tidak terputus satu sama lain. Hal hal baru yang ditemukan pada suatu masa menjadi unsur terpenting bagi penemuan-penemuan di masa selanjutnya. Oleh karena itu, melihat sejarah perkembangan ilmu pengetahuan pada zaman kontemporer, tidak lain yaitu mengamati pemanfaatan dan pengembangan lebih lanjut dari rentetan sejarah sebelumnya. Kondisi itulah yang kemudian mengalami percepatan atau bahkan radikalisasi yang tidak jarang berada di luar dugaan manusia lainnya. Kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi mempunyai pengaruh yang sangat besar terhadap kehidupan individu, sosial, dan negara. Dengan adanya peningkatan produksi yang tinggi, maka berbagai macam kebutuhan manusia dapat dipenuhi dengan lebih baik. Tetapi di lain pihak teknologi cenderung membuat manusia menjadi suatu unit yang abstrak dalam hubungannya antara manusia dengan kebutuhannya, sehingga ada anggapan bahwa manusia tidak bekerja dan yang menggantikan mereka adalah mesin - mesin yang telah diciptakannya. Sekarang kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi sudah sampai pada pengembangan otomatisasi. Misalkan, sudah bukan lagi pada peningkatan kemampuan organorgan tubuh manusia atau manusia yang bekerja, akan tetapi pekerjaan manusia telah dianggap sebagai suatu sistem tertutup. Sehingga, dalam otomatisasi, mesinlah yang mengambil alih segala pekerjaan yang dilakukan oleh manusia. Alat teknologi yang telah dihasilkan cukup banyak sekali, hampir segala bidang teknik dan rekayasa lainnya memiliki alat tertentu yang memudahkan manusia melakukan pekerjaan mereka. Ketika manusia manusia membutuhkan waktu cepat untuk menempuh jarak yang jauh, maka untuk memenuhi kebutuhan manusia digunakanlah alat teknologi misalkan, sepeda, motor, mobil, dan pesawat tergantung yang mana dipilih oleh manusia. Pada zaman dulu benda-benda yang kecil tidak mampu dilihat dengan mata telanjang, akan tetapi pada zaman sekarang orang mampu melihat benda yang terkecil dengan bantuan teknologi. Alat optik misalnya, mampu membantu mata melihat benda benda yang sangat kecil atau letaknya sangat jauh. Telpon dan radio mampu meningkatkan kemampuan manusia dalam mendengar, kemudian komputer banyak sekali kegunaannya dalam proses pemikiran manusia. 23
SOAL DAN PENYELESAIAN
1.
Sebutkanlah pengertian Filsafat matematika! Jawab: Ahli logika Whitehead menyatakan bahwa filsafat matematika dalam arti yang paling luas adalah pengembangan semua jenis pengetahuan yang bersifat formal dan penalarannya bersifat deduktif. Boole berpendapat bahwa matematika adalah ide-ide tetang jumlah dan kuantitas. Hempeel, CG, (2001), menegaskan kembali apa yang telah dikemukakan oleh John Stuart Mill bahwa matematika itu sendiri merupakan ilmu empiris yang berbeda dari cabang lain seperti astronomi, fisika, kimia, kimia , dll terutama dalam dua hal :materi pelajaran adalah lebih umum dari pada apapun lainnya dari penelitian ilmiah dan proposisi yang telah diuji dan dikonfirmasi ketingkat yang lebih besar dibandingkan beberapa bagian yang paling mapan astronomi atau fisika. Bold, T., (2004) menyatakan bahwa elemen penting kedua untuk interpretasi konsep matematika adalah kemampuan dari abstrak, yaitu kemampuan pikiran untuk mengetahui sifat abstrak dari obyek dan menggunakan tanpa kehadiran obyek. Berdasarkan
penjelasan-penjelasan
tersebut
maka
filsafat
matematika
merupakan pemikiran menyeluruh terhadap persoalan mengenai sesuatu hal yang berkaitan dengan dasar dari pengetahuan matematika serta hubungan matematika disegala bidang kehidupan manusia baik secara epistemologi, ontology, metodologi, maupun aspek etis dan estetika pengetahuan matematika
2. Mengapa Pengetahuan matematika diklasifikasikan sebagai pengetahuan prioritas ? Jawab: Pengetahuan matematika diklasifikasikan sebagai pengetahuan prioritas, karena terdiri dari dalil menegaskan berdasarkan nalar semata. Termasuk alasan logika deduktif dan definisi yang digunakan, dalam hubungannya dengan seperangkat asumsi aksioma atau postulat matematika, sebagai dasar untuk menyimpulkan pengetahuan matematika. Jadi dasar pengetahuan matematika, yang merupakan alasan untuk menyatakan kebenaran dalil matematika, terdiri dari bukti deduktif.
24
3. Jelaskanlah macam- macam objek Marematika menurut Gagne dan berilah contoh pada masing masing objek! Jawab: Pembagian objek langsung matematika oleh Gagne menjadi fakta, konsep, prinsip, dan keterampilan 1. Fakta fakta adalah konvensi (kesepakatan) dalam matematika seperti lambang, notasi, ataupun aturan seperti 5 + 2 × 10 = 5 + 20, di mana operasi perkalian didahulukan dari operasi penjumlahan. Jadi tidak benar bahwa 5 + 2 ×10 = 7 × 10. 2. Konsep konsep adalah suatu ide abstrak yang memungkinkan seseorang untuk mengklasifikasi suatu objek dan menerangkan apakah objek tersebut merupakan contoh atau bukan contoh dari ide abstrak tersebut. Seorang siswa disebut telah mempelajari konsep segitiga jika ia telah dapat membedakan yang termasuk segitiga dari yang bukan segitiga. Untuk sampai ke tingkat tersebut,siswa harus dapat mengenali atribut atau sifat-sifat khusus dari segitiga. 3. Prinsip Prinsip adalah suatu pernyataan yang memuat hubungan antara dua konsep atau lebih. Contohnya, rumus luas segitiga berikut:
=
1 2
.
Pada rumus luas segitiga
di atas, didapati adanya beberapa konsep yang digunakan, yaitu konsep luas, konsep panjang alas segitiga dan konsep tinggi segitiga. 4. Keterampilan atau Proses keterampilan adalah suatu prosedur atau aturan untuk mendapatkan atau memperoleh suatu hasil tertentu. Misalkan saja anda diminta untuk menentukan hasil dari 345 × 87 tanpa menggunakan kalkulator. Apa yang harus Anda lakukan? Prosedur atau aturan untuk mendapatkan atau memperoleh hasil 345 × 87 biasanya adalah dengan perkalian bersusun.
25
4. Jelaskanlah 3 aliran besar filsafat matematika Jawab: 1. Aliran logisisme Aliran logisisme merupakan sebuah aliran yang yang berpendapat bahwa Matematika murni (science) didasarkan pada prinsip logika dan pengkajiannya juga harus menggunakan logika, sehingga matematika harus lebih logis dipahami. 2. Aliran formalisme Aliran formalisme merupakan aliran berpendapat bahwa matematika adalah tidak lebih atau tidak kurang sebagai bahasa matematika. 3. Aliran Intuitionisme Aliran Intuitionisme merupakan aliran yang ketiga dari landasan matemati ka yang mengandalkan intuisi dalam mengkaji dan memahami matematika, karena itu intuisi merupakan sarana untuk mengetahui secara langsung dan seketika tentang matematika.
5. Jelaskanlah relasi Filsafat dan matematika terjalin secara dekat tetapi tidak saling mendominasi ! Jawab: Filsafat dan matematika terjalin secara dekat tetapi tidak saling mendominasi, merupakan relasi yang mempunyai fungsi yang setara. Matematika tidak jauh dari kajian bidang-bidang filsafat seperti epistemologi, metafisika, l ogika, sains kognitif, filsafat bahasa, dan filsafat sains alam dan sains sosial. Filsafat juga tidak jauh dari kajian bidang-bidang matematis seperti logika, teorin himpunan, teori kategori, komputabilitas, dan bahkan analisis dan geometri.Terdapat beberapa alasan hubungan antara matematika dan filsafat. Pertama, matematika dan filsafat merupakan upaya-upaya intelektual paling awal untuk memahami dunia di sekitar kita, dan keduanya terlahir di Yunani Kuno atau mengalami transformasi-transformasi penting di sana. Kedua, matematika adalah suatu studi kasu paling penting bagi filsuf. Dan alasan ketiga untuk keterkaitan matematika dan filsafat terletak pada epistemologi — studi pengetahuan. Matematika sangat penting karena peran sentralnya dalam hampir setiap upaya 26
ilmiah yang di tunjukkan untuk memahami dunia materi. Matematika adalah alat utama dalam upaya-upaya terbaik untuk memahami dunia. 6. Bagaimanakah Implikasi etis dari perkembangan matematika ? Jawab: Contoh Implikasi etis dari perkembangan matematika ialah perkembangan aritmatika binary (binary arithmetic) yang berpadu dengan teknologi elektronik telah melahirkan macam-macam computer untuk keperluan manusia dalam menyimpan data-data perseorangan, data base penyimpanan uang di bank, mengatur persediaan barang, dan lain sebagainya.
7. Jelaskanlah mengapa matematika memiliki aspek estetika ? Jawab: Mempelajari dan mengkaji matematika tentunya memerlukan kehati-hatian, dan harus dinikmati karena matematika merupakan suatu karya seni yang besar yang mengandung keindahan. Misalkan dalam bidang geometri yang memerlukan kehati-hatian dalam menggambar suatu bangun ruang (di dunia nyata seperti gedung dan lain sebagainya) baik yang dua dimensi, tiga dimensi, empat dimensi,maupun yang multi dimensi. Keindahan dapat tercapai dengan adanya ide yang orisinil penuh kehati-hatian, tercemerlangnya jalan pikiran, dan ciri yang lainnya dalam matematika. Keindahan matematika juga sangat berkaitan dengan bentuk benda yang simetris, asimetris, anti simetris dan keteraturan yang meliputi susunan indah secara sistematis baik berkaitan dengan bilangan, space dan time yang mempengaruhi kehidupan manusia dewasa ini. 8. Jelaskanlah apa yang dimaksud dengan epistemologi matematika? Jawab: epistemologi dapat diartikan sebagai pengetahuan sistematik mengenai pengetahuan.(Afid Burhanuddin:2012) Epistemologi meliputi matematika murni, matematika terapan dan berbagai cabang matematika lainnya, ciri-ciri matematika yang meliputi abstraksi, deduktif, hipotesis, eksak, simbolik, universal, rasional dan lain-lain, pengandaian-pengandaian, dan dasar-dasarnya serta pertanggungjawaban atas pernyataan mengenai pengetahuan yang dimiliki. (Didi Haryono:2014)
27
9. Jelaskanlah apa yang dimaksud dengan Ontologi matematika? Jawab: Menurut bahasa Ontologi berasal dari bahasa Yunani yaitu On atau Ontos yang artinya ada dan Logos yang artinya ilmu. Jadi, Ontologi adalah ilmu tentang yang ada. Menurut istilah, Ontologi adalah ilmu yang membahas tentang hakikat yang ada, yang merupakan ultimate reality baik yang berbentuk jasmani/konkret maupun rohani/abstrak.(Afid Burhanuddin:2012).
10. Mengapa Matematika memiliki peran penting dalam peradaban manusia? Jawab: Matematika sangat memiliki peran penting dalam peradaban manusia, karena tanpa matematika maka kita tidak bisa mengenal perhitungan yang akan memudahkan manusia dalam melakukan aktifitas mereka, misalkan di bidang perdagangan, bisnis, perhitungan, dan di segala bidang lainnya. Peranan matematika dalam sejarah peradaban manusia merupakan sejarah tentang peran filsafat matematika mempengaruhi segala bidang kehidupan dan bidang kajian manusia dalam memajukan ilmu pengetahuan dan teknologi.
28
DAFTAR PUSTAKA
Bahtiar, amsal. 2011. Filsafat Ilmu.Jakarta: PT Raja Grafindo: Jakarta Haryono, didi. 2014. Filsafat Matematika. Alfabeta: Bandung
Sumber Internet: Afidburhanuddin.files.wordpress.com/2012/05 epistemilogi-ontologi-dan-aksiologi pengetahuan-sains_2013_1.pdf Sanjaya, Wina H. 2010. Strategi Pembelajaran Berorientasi Standar Proses Pendidikan Pengetahuan-Matematika_Pdf. Soerjabrata, soemardi. 1970. Pengantar- filsafat-Yogyakarta_1.pdf Aliran-Aliran Filsafat Dalam Matematika oleh agung prabowo.pdf Sejarah dan filsafat matematika oleh endang mulyana pdf
29
