MAKALAH VEKTOR
Di Susun Oleh : Kelas : X MIPA III Kelompok : V Adisti Amelia J.M.L
PEMERINTAHAN KABUPATEN BOGOR SMAN 1 PAMIJAHAN 2017
KATA PENGANTAR
Dengan menyebut nama Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang, saya ucapkan puja dan puji syukur kehadirat-Nya yang telah melimpahkan rahmat, hidayah dan inayah-Nya, sehingga saya dapat menyelesaikan makalah ini. Makalah ini saya susun untuk menyelesaikan tugas mata pelajaran matimatika dengan judul makalah “operasi vektor”. Sistematika makalah ini dimulai dari pengantar yang merupakan apersepsi atas materi yang telah dan akan dibahas dalam bab tersebut yang dirangkai dengan peta konsep. Selanjutnya, pembaca akan masuk pada inti pembahasan dan diakhiri dengan penutup berupa kesimpulan dan saran Saya juga berterima kasih atas dukungan guru dan teman, sehingga makalah ini dapat saya buat berdasarkan pembelajaran yang sudah saya lewati. Semoga makalah ini dapat disimpan dengan baik, agar dapat terus dipelajari, dan dapat memberikan wawasan baru bagi yang membacanya. Terlepas dari semua itu, saya menyadari sepenuhnya bahwa masih ada kekurangan baik dari segi susunan kalimat maupun bahasanya.
Oleh karena itu, saya
mengharapkan kritik dan saran atau penilaian tentang makalah ini. Terima Kasih Bogor, Mei 2017
i
DAFTAR ISI
Kata Pengantar ..........................................................................................................i Daftar Isi ...................................................................................................................ii BAB I PENDAHULUAN.....................................................................................................1 A. Latar belakang .....................................................................................................1 B. Rumusan masalah.................................................................................................2 C.Tujuan.....................................................................................................................2 BAB II PEMBAHASAN .......................................................................................................3 Pengertian Vektor.......................................................................................................3 Sifat –SifatVektor.......................................................................................................4 Penjumlahan Vektor...................................................................................................4 Pengurangan Vektor...................................................................................................6 Perkalian Vektor.........................................................................................................7 Vektor pada bidang (Dimensi 2.................................................................................7 Vektor Pada Ruang(Dimensi 3...................................................................................8 BAB III PENUTUP .................................................................................................................10 Kesimpulan ...............................................................................................................10 Saran..........................................................................................................................10
ii
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Memasuki abad 20, perkembangan Ilmu Pengetahuan dan Teknologi sangatlah pesat. Berbagai piranti sederhana maupun elektronik telah berhasil dibuatuntuk memudahkan pekerjaan manusia. Keberhasilan demi keberhasilan yang diraih manusia, tidak lepas atau bahkan sangat bergantung dari keberadaan suatu ilmu, yakni ilmu Fisika. Fisika memiliki kaitan erat dengan matematika. Hal ini karena matematika mampu menyediakan kerangka logika di mana hukum-hukum fisika dapat diformulasikan secara tepat. Definisi, teori, dan model fisika selalu dinyatakan menggunakan hubungan matematis. Sebagai ilmu dasar, fisika memiliki pengaruh pada banyak ilmu sains lainnya. Salah satu contohnya pada ilmu kimia. Fisika banyak mempelajari partikel renik semacam elektron. Bahasan tersebut ternyata juga dipelajari dan dimanfaatkan pada ilmu kimia. Bahkan topik mekanika kuantum yang diterapkan pada ilmu kimia telah melahirkan bidang baru yang dinamakan kimia kuantum (quantum chemistry). Selain itu, ilmu fisika yang diterapkan pada bidang ilmu lain ikut berperan dalam melahirkan bidang studi baru yang menarik. Di antaranya adalah biofisika (fisika pada ilmu biologi), geofisika (fisika pada ilmu bumi), fisika medis (fisika pada ilmu kedokteran), dan yang lebih baru adalah ekonofisika (fisika pada ilmu ekonomi). Fisika adalah ilmu yang mempelajari keteraturan alam semesta dan sebisa mungkin memanfaatkan keteraturan ini untuk dua hal, yaitu menemukan keteraturan lainnya di alam semesta yang belum ditemukan dan memanfaatkan keteraturan yang telah ditemukan untuk menjadi bermanfaat bagi kehidupan manusia. Tanpa ada penemuan tentang keteraturan lensa, maka tidak mungkin di temukan planet-planet, tanpa ditemukannya planet-planet, tidak mungkin ditemukan Hukum-hukum Kepler, tanpa ditemukan Hukum Kepler, maka tidak
mungkin ditemukan hal-hal penting lainnya di tata surya, dan hal-hal ini masih terus berlanjut, keteraturan yang telah ditemukan akan menjadi dasar untuk menemukan keteraturan-keteraturan lainnya. Dengan demikian, Vektor merupakan pengetahuan yang sangat penting. Hal itulah yang melatar belakangi kami untuk menyusun makalah ini, agar nantinya dapat memahami dan mengaplikasikannya di kehidupan sehari-hari. B. Rumusan Masalah Berdasarkan uraian sebelumnya, dapat1dirumuskan masalah sebagai berikut : 1. Apakah perbedaan dari besaran skalar dan besaran vektor? 2. Apakah perbedaan dari vektor komponen dan vektor satuan? 3.
Bagaimana menentukan vektor resultan?
4. Bagaimana menentukan arah vektor? 5. Bagaimana pengaplikasian vektor dalam kehidupan sehari – hari? C. Tujuan Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah : 1. Untuk mengetahui perbedaan dari besaran skalar dan besaran vektor. 2. Untuk mengetahui perbedaan dari vektor satuan dan vektor komponen. 3. Untuk mengetahui cara menentukan vektor resultan. 4. Untuk mengetahui caramenentukan arah vektor. 5. Untuk mengetahui pengaplikasian vektor dalam kehidupan sehari – hari.
2
BAB II PEMBAHASAN A. Pengertian Vektor Secara sederhana pengertian vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Contoh dari besaran ini misalnya perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan sebagainya. Untuk menggambarkan vektor digunakan garis berarah yang bertitik pangkal. Panjang garis sebagai nilai vektor dah anak panah menunjukkan arahnya. Simbol vektor menggunakan huruf kapital yang dicetak tebal (bold) atau miring dengan tanda panah di atasnya seperti gambar berikut:
Menggambar sebuah Vektor Vektor pada bidang datar mempunyai 2 komponen yaitu pada sumbu x dan sumbu y. Khusus untuk vektor yang segaris dengan sumbu x atau y berarti hanya mempunyai 1 komponen. Komponen vektor adalah vektor yang bekerja menuyusun suatu vektor hasil (resultan vektor). Oleh karenanya vektor bisa dipindahkan titik pangkalnya asalkan tidak berubah besar dan arahnya. Secara matematis vektor dapat dituliskan A = Ax+Ay dimana A adalah resultan dari komponen-komponenya berupa Ax dan Ay.
3
B. Sifat-sifat vektor a.
Komutatif
a+b=b+a b.
Assosiatif
a + ( b + c) = (a + b) + c c.
Memiliki elemen satuan atau elemen identitas
a+0=0+a=a d.
Memiliki elemen inverse
a + (-a) = (-a) + a = 0 e. Distributive dengan perkalian skalar K(a + b) = ka + kb , dengan k= skalar
C. Penjumlahan Vektor Inti dari operasi penjumlahan vektor ialah mencari sebuah vektor yang komponenkomponennya
adalah
jumlah
dari
kedua
komponen-komponen
vektor
pembentuknya atau secara sederhana berarti mencari resultan dari 2 vektor. Aga susah memang dipahami dari definisi tertulis. Kita coba memahaminya dengan contoh Untuk vektor segaris, resultannya R = A + B + C + n dst… untuk penjumlahan vektor yang tidak segaris misalnya seperti gambar di bawah ini
rumus penjumlahan vektor bisa didapat dari persamaan berikut
4
Menurut aturan cosinus dalam segitiga, (OR)2 = (OR)2 = (OR)2 =
(OP)2 + (OP)2 + (OP)2 +
(PR)2 –
2(OP)(PR)
(PR)2 –
cos
2(OP)(PR)
(PR)2 –
(180o cos
2(OP)(PR)
– α) (-cos α) cos α
Jika OP = A, PR = B, dan Resultan ‘R’ = OR maka R2 =
didapat A2 +
B2 –
persamaan 2AB
Rumus menghitung resultan vektornya
Dalam penjumlahan vektor sobat hitung bisa menggunakan 2 cara 1. Penjumlahan Vektor dengan cara Jajar Genjang (Pararelogram)
cos α
yaitu seprti yang dijelaskan di atas. Metode yang digunakan adalah dengan mencari diagonal jajar genjang yang terbentuk dari 2 vektor dan tidak ada pemindahan titik tangkap vektor. 2. Penjumlahan Vektor dengan Cara Segitiga pada metode ini dilakukan pemindahan titik tangka vektor 1 ke ujung vektor yang lain kemudian menghubungkan titi tangkap atau titik pangkal vektor pertama dengn titik ujung vektor ke dua. Lihat ilustrasi gambar di bawah ini.
5
Untuk vektor yang lebih dari 2, sama saja. Lakukan satu demi satu hingga ketemu resultan akhirnya. Dari gambar di atas, V = A + B dan R = V + C atau R = A + B +C
D. Pengurangan Vektor
Pengurangan Vektor pada prinsipnya sama dengan penjumlahan, cuma yang membedakan adalah ada salah satu vektor yang
mempunyai arah yang
berlawanan. Misalnya vektor A bergerak ke arah timur dan B bergerak ke arah barat maka resultannya R = A + (-B) = A – B
Rumus Cepat Vektor berikut rumus cepat panduan mengerjakan soal vektor fisika Jika α = 0o maka R = V1 + V2 Jika α = 90o maka R = √(V12 + V22) Jika α = 180o maka R = | V1 + V2 | –> nilai mutlak Jika α = 120o dan V1 = V2 = V maka R = V
Contoh Soal Dua buah vektor sebidang erturut-turut besarnya 8 satuan dan 6 satuan, bertitik tangkap sama dan mengapit sudut 30 o Tentukan besar dan arah resultan vektor tersebut tersebut! Jawaban
:
R R
82 +
= =
R = 100 + 48√3
64
+
62 + 36
2.6.8.cos +
96
30 0,5
√3
Perkalian Vektor dengan Skalar Perkalian antara vektor dan skalar adalah hasil kali suatu skalar k dengan sebuah vektor A, sehingga dapat dituliskan kA dan didefinisikan sebagai sebuah vektor baru yang besarnya adalah besar k dikalikan dengan besar A. Arah vektor yang baru ini sama dengan arah vektor A jika k positif dan berlawanan arah dengan vektor A jika k negatif.+
Perkalian Titik (Dot Product) Perkalian titik diantara dua vektor A dan B dapat ditulis A • B. Perkalian skalar dua vektor dapat dikitang sebagai perkalian antara besar salah satu vektor dengan komponen vektor lain dalam arah vektor yang pertama tadi. Maka pada perkalian vektor ini ada ketentuan, yaitu : Perkalian komponen vektor yang sejenis (searah) akan menghasilkan nilai
1, seperti : i • i = j • j = k • k = 1 Perkalian komponen vektor yang tidak sejenis (saling tegak liris) akan
menghasilkan nilai 0, seperti : i • j = j • k = k • i = 0 Perkalian Silang (Cross Product) Perkalian silang diantara dua vektor A dan B dapat ditulis A X B dan hasilnya adalah sebuah vektor lain C. Arah dari C sebagai hasil perkalian vektor A dan B didefinisikan tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh A dan B. Pada perkalian vektor ini
ada
i
x
i
=
0
j
x
j
=
0
k
x
k
=
0
ketentuan i
x j
k
j x
x
= k
i
sebagai k =
berikut j
i
=6j
B. Vektor pada Bidang Datar R2 (Dimensi Dua)
x
i
: =
-k
k
x
j
=
-i
i
x
k
=
-i
Di dalam bidang datar (R2) suatu vektor yang titik pangkalnya di A (x 1, y1) dan titik ujungnya di B (x2, y2) dapat dituliskan dalam bentuk komponen :
AB
x 2 x1 y 2 y1
Dilukiskan sebagai : y B (x2, y2) A (x1, y1) x Vektor dalam bidang datar juga dapat dinyatakan dalam bentuk : a
-
Kombinasi linear vektor satuan i, j , misalnya vektor
-
Koordinat kartesius, yaitu :
= xi + yj.
a
= (a1, a2).
a
-
Koordinat kutub, yaitu :
dan tg =
= r dengan r =
( x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2
y 2 y1 x 2 x1 .
F.Vektor Pada Ruang ( Dimensi 3) Vektor di ruang 3 adalah vektor yang mempunyai 3 buah sumbu yaitu x , y , z yang saling tegak lurus dan perpotongan ketiga sumbu sebagai pangkal perhitungan. Vektor p pada bangun ruang dapat dituliskan dalam bentuk :
7
koordinat
kartesius p
vektor kolom p =
=
(x,
y,
z)
atau, vector baris p=(x,y,z)
kombinasi linear vektor satuan i, j, k yaitu : p = xi + yj + zk
dengan i =
,j =
, dan k =
i = vektor satuan dalam arah OX j = vektor satuan dalam arah OY k = vektor satuan dalam arah OZ Modulus Vektor Modulus vektor yaitu besar atau panjang suatu vektor. Jika suatu vektor dengan koordinat titik A (x1 , y1 ,z1) dan B (x2 , y2 , z2) maka modulus (besar) atau panjang vektor dapat dinyatakan sebagai jarak antara titik A dan B yaitu :
Dan jika suatu vektor a disajikan dalam bentuk linear a = a1i + a2j + a3k , maka modulus vektor a adalah :
8
Vektor Posisi
Vektor posisi titik P adalah vektor yaitu vektor yang berpangkal di titik O (0 , 0 , 0)
dan
berujung
di
titik
9
P
(x
,
y
,
z),
bila
ditulis
BAB III PENUTUP Kesimpulan Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Untuk menyatakan suatu vektor dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang koordinat Cartesius XOY dengan menggambar ruas garis dengan anak panah di salah satu ujungnya. Panjang ruas garis mewakili besar (panjang) vektor dan anak panah mewakili arah vektor. Vektor disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan huruf yang digaris bawahi. Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A dinamakan suatu fungsi u yang dilambangkan dengan A (u). Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i + A2(u)j + A3(u)k . Contoh fungsi vektor, misalnya persamaan dari gerakan bebas suatu partikel dalam ruang. Jika setiap titik dalam suatu ruang (R3) dikaitkan dengan suatu vektor, maka ruang tersebut disebut medan vektor. Contoh medan vektor, misalnya aliran fluida (gas, panas, air dan sebagainya) dalam suatu ruangan. Fungsi vektor dalam dalam duniawi, berkaitan dengan masalah transportasi, navigasi, komputerisasi, dsb. Sedangkan dalam urusan keagamaan, vektor berperan untuk menunjukkan kemuliaan Allah SWT. serta menjadikan kita manusia yang lebih baik lagi. Saran Pembahasan tentang fungsi vektor ini bukan pembahasan singkat yang akan selesai dalam sekali duduk. Masih ada banyak lagi yang belum dibicarakan disini. Untuk itu, diharapkan kita mau mencari sumber-sumber lain diluar sana untuk menambah pengetahuan kita tentang Fungsi vektor dalam segala aspeknya yang belum terjelaskan dalam karya ilmiah ini.
10
