BABI PENDAHULUAN 1) Lat arBel akang A. L og i k ama t e ma ma t i k ame r u p ak a np o k o kb a h as a ny a n gs a n g atp e nt i n gk a r e n a b er h ub un ga nd en ga nk e ma ma mp mp ua nb er fi k i rs e c ar al o gi s .Be r fi k i rs e c ar ae l o gi ss an ga t d i p er l u k and al a ms e t i a pa s pe kk e hi d up ans e ha r i h ar i k a r e na me me r u pa k anp en du k un g k e be r ha si l a ns ua t ut i n da ka n,mi s al n y ad al a mp en ga mb mb i l a nk e pu t u sa n. Ba ny a kha ly a ngpe r l u k i t ak et a hume me ngenai l ogi k a.Mel al ui l ogi k ak i t ada patmenget ah ui k eb en ar a ns uat u p er n y a t a anda r i s u a t uk al i ma td an me me ng e t a hu ia pa k a hp er n y a t a anpe r t a mas ma amama ma k n an y a d en ga np er n y at a ank e du a.De ng anl o gi k a ,k i t aj u gad ap atme ng et a hu ia pa k ahs u at u per n y at aanber ni l ai ben arat aus al ah.Hal t er pent i ngy angak ank i t ada pat k ans et el ah me mp mp el a j a r i l o gi k ama ma t e ma ma t i k aad al a hk e ma ma mp mp u ana t a uk e a hl i a nme ng a mb mb i l k e s i mp ul a n d e ng a nb e n ara t a us a h . B. Ru mu mu s a nMa s a l a hAd a pu nma s a l a hy a n ga k a nd i b a ha sd a l a m ma k a l a hi n i a d al a h sebagai ber i kut : 1.Apayangdi maks uddenganLogi ka? 2 .Ap ay a ngd i ma k s udd en ga np er n y a t a an ,k a l i ma tt e r b uk a ,d ani n gk a r a n? 3 .Op er a si op er a si a pas aj ay a ngt e r d ap atd al am l o gi k ama t e ma ma t i k a ? 4.Apay angdi mak s uddeng ant aut ol ogi ,k on t r adi k s i ,dank on t i ngen? 5.Apay angdi mak s udd eng anek ui v al ens i ,i mpl i k as i ,k on v er s ,i n v er s , dank ont r apos i s i ? 6 .Ap ay a ngd i ma k s udk a l i ma tb er k u an t o r ? 7 .Ba g ai ma nac a r ame me na r i kk e s i mp ul a nda nme me mb mb uk t i k a nk e b en ar a n s u at u pe r n y at a an? C.T u j u an Ad apunt uj uandar i mak al ahi ni a dal ahsebag ai ber i k ut : 1 .Me ng e t a hu ia pay a ngdi ma k s u dd en g anl o gi k a . 2 .Me ng et a hu ia pay a ngd i ma k s udd en ga np er n y a t a an ,k a l i ma tt e r b uk a , d an i n gk a r a n. 3 .Men ge t a hu io pe r a si o per as i y a ngt e r d ap atd al a ml o gi k ama t e ma ma t i k a. 4 .Men ge t a hu ia pay a ngd i mak s u dd en ga nt au t o l og i ,k o nt r ad i k s i ,d an k on t i n ge n 5.Meng et ahui apay an gdi mak s uddeng anek ui v al ens i ,i mpl i k as i ,k on v er s , i n v er s , dank ont r apos i s i . 6 .Me ng et a hu ia pay an gd i ma k s udk a l i ma tb er k u an t o r ? 7 .Me ng e t a hu ib ag ai ma nac a r ame me na r i kk e s i mp ul a nda nme me mb mb uk t i k a n k e be na r a n s ua t up er n y at a an .
BABI I PE MBAHASAN a) Penger t i anl ogi ka Penger t i anLogi k aSec ar aet i mol ogi s ,i s t i l ahLogi k aber as al dar i k at a“ l ogos ”( Yunani )y angber ar t i k a t a ,u c ap an ,fi k i r a ns e c ar au t u h,a t a ub i s aj u game ng an du ngma k nai l mupe ng et a hu an .Da l a ma r t i l u as L og i k aad al a hs e bu ahme t o deda np r i n s i p p r i n s i py an gd ap atme mi s a hk a ns e c ar at e ga san t a r ape na l a r a n y a n gb en a rd en g anpe na l a r a ny an gs al a h . 1 .Da l a m me mp el a j a r i L og i k ak i t aa ka nb er k e na l a nd en ga ni s t i l a hp en al a r a n,y a ngd i a r t i k an s eb ag ai p en ar i k ank es i mp ul a nd al a ms eb ua ha r g ume n.Pe na l a r a ny a ngs er i n gp ul adi a r t i a ka nc ar abe r fi k i r , me r u pa k anpe nj e l a s anda l a mu pa y ame mp er l i h at k a nh ub un ga na nt a r adu ah al a t a ul e bi h be r d as a r k a ns i f a t s i f a ta t a uh uk u mh uk u mt e r t e nt uy a ngs u da hd i a k ui k e be na r a nn y ad en ga nl a ng k ah l a ng k aht e r t e nt uy a ng b er a k h i rd en g ans e b ua h k es i mp ul a . 2 .Da l a ml o gi k ak i t ame mp el a j a r i d anme ne l i t i a pa ka hs eb ua hp en al a r a ny a ngki t al a k uk ani t ut e pa t a t a ut i d ak .Un t u kd ap atb er fi k i rd en ga nt e pa t , l o gi k ame na wa r k a np ad ak i t ase j u ml a ha t u r a na t a uk ai d ah k ai d ahy an gh ar u sdi p er h at i k anag ark e si mp ul a ny a ngk i t ape r o l e hh as i l n y at e pa t . “ Da l a m me ng ha da pi k e hi d up ans eh ar i h ar i k i t ad i t u nt u tu n t u kme ng gu na ka na ka lfi k i r a nd al a m me l a ku ka ns e t i a pk e gi a t a nk i t a , h ar u spe nu hp emi k r i a nd anpe r t i mb an ga n.Ol e hk ar e nai t u ,k i t aha r u sme mp un y ai p ol api k i ry a ngt e pa t , ak ur at ,r as i onal danoby ek t i fdi s ampi ngdapatber pi k i rk r i t i s .Pol aber pi k i rs eper t i i ni adal ahpol aber pi k i r a t a up en al a r a ny a ngt e r d a pa td al a mL og i k a.Ol e hk ar e nai t u , L og i k asa ng atp en t i n gd al a ms e t i a pb i d an g kehi dupanmanusi a. b ) Pe r n y a t a an ,Ka l i ma tT e r b uk a ,d anI n gk a r a n Pe ng er t i a nk a l i ma td al a mk e hi d up ans e ha r i h ar i a da l a hk u mp ul a nk a t a ,f r a s a,d anl a mb an gy a ng me mp un y ai a r t i .Da l a m ma t e ma t i k aa dad ua j e ni ska l i ma t ,y a i t uk al i ma tt e r b u kad ank al i ma tt er t u t u p ( per n y at aan) . 1 . Pe r n y a t a an Pe r n y a t a ana da l a hs eb ua hk al i ma ty a ngme mi l i k i n i l a il o gi k a( k e be na r a n)b en ara t a u s al a h,t e t a pi t i d akse ka l i g usbe na rd ans al a h. De ng ank at al a i n ,p e r n y a t a ana da l a hs eb ua h k al i ma ty a ngs ud ahd ap atd i t e nt u ka nn i l a ik e be na r a nn y a,y a i t ub en ara t a us al a h.Be na rd an s a l a hma k s u dn y as es u a id e ng a nk e a da any a ngs e be na r n y a .Na mal a i nda r i p er n y a t a anad al a h k al i matdek l ar at i fat aupr opos i s i .Ber i k uti ni adal ahc ont ohs uat uper ny at aandanni l ai kebenar annya: a.“ Bangundat arper s egi memi l i k iempatt i t i ksudut ” ,per n yat aani ni benar . b.“ Ni l ai x y a ngme me nu hi 2 x=1 0a da l a h6 ” ,p er n y at a ani n is al a h. c .“ 3ad al a hb i l a ng anpr i ma ” , per n y at aani ni ben ar . d.“ 7k ur angdar i 6” ,per n y at aani ni s al ah. Per l udi k e t ahu ibahwas et i ap per n y at aanadal ahk al i mat ,t et api t i da ks et i apk al i matmer upak anper n y at aan.Kal i mat k al i mat
y angbuk anpe r n y at aani ni t i d akat aubel um dapatdi t ent u ka nni l ai k ebe nar a nn y a,s eper t i k al i matt an ya,k al i matper i nt ah,dankal i mats er u. 2 .Ka l i ma tT er b uk a Ka l i ma tt e r b u kaa da l a hs ua t uk al i ma ty a ngb el u md ap atd i t e nt u ka nn i l a i k e b en ar a nn y ak a r e n ama s i hbe l u m me mu atv a r i a be l .Va r i a be la t a up eu ba ha da l a hl a mb a ng y a n gd i g un ak a nu nt u kme wa k i l i a ng go t as emb ar a ngda r i s u a t us eme s t ape mb i c a r a an . Ber i k uti ni c ont ohk al i matt er buk a: a .3 x+3=7 b .2l o gx=1 c .x 2 –6x+9=0 d .y–3<4 Su at uka l i ma tt e r b u kada pa tb er u ba hme nj a di p er n y at a anap ab i l a v ar i a be l n y a d i g an t i s ua t uk on s t a nt a ,y a i t ul a mb an gy a ngme wa ki l i a ng go t ada r i s ua t use me st a p emb i c a r a an .Ko ns t a nt ap en gg an t i v a r i a be ly a ngme ny e ba bk a nk a l i ma tt e r b uk ame nj a di pe r n y at aany angber ni l a ib enardi s ebutp en y el es ai ank al i matt er buk aat aupen y el es ai an. Ku mp ul a ns e mu ap en y e l e s ai a nd i s e bu th i mp un anpe ny e l e s ai a n.Ka l i ma tt e r b uk aj u ga d a pa td i u b ahme n j a di p er n y a t a and en g anme ng gu n ak a nk u an t o r . 3 .Hu bu n gL og i k ad a nI n gk a r a n J i k at e r d ap atd uap er n y a t a ana t a ul e bi h ,k i t ad ap atme mb en t u ks e bu ahp er n y a t a an b ar ude ng a nme ng gu n ak a nk a t ahu bu ngl o g i k a . Pe r n y a t a an p e r n y a t a any a ngdi b en t u kde ng a n menggunakankat ahubungl ogi kadi namakanper nyat aanmaj emukat auper nyat aan k o mp os i s i , s e d an g k anp e r n y a t a a np er n y a t a a ny a ngme mb en t u kp e r n y a t a anma j e mu kma s i n g ma s i n gdi s e b utk o mp on enp er n y a t a anma j e mu k .Ni l a ik e b en a r a npe r n y a t a anma j e mu kh an y a d i t e nt u k ano l e hni l a ik e be na r a nk omp on en k o mp on enp emb en t u k ny ad ant i d akd i h ar u s k an adanyahubunganant arkomponenpembent ukny a. Pe r n y a t a an p er n y a t a anma j e mu kd i a nt a r a ny aa da l a hs e ba ga ib er i k u t : ˄ . a .Ko nj u n gs i ,k a t ahu nb un gn y a“ d an ”d i l a mb a ng k a nd en g an“” ˄ . b .Di s j u ng s i ,k a t ahu nb un gn y a“ a t a u”d i l a mb an gk a nd en ga n“” c .I mp l i k as i ,k at ah un bu ng ny a“ J i k a. . .ma ka. . . ”d i l a mb an gk and en ga n“ →” . ↔ ” d.Bi i mpl i k as i ,k at ah unbungn y a“ . . .j i k adanhan y aj i k a. . . ”di l ambang ka ndeng an“ . Se l a i nme ng gu na k ank at ahu bu ngl o gi k a ,s u at upe r n y a t a anba r uj u gada pa td i b en t u k d en ga nme ng gu na ka ni n gk ar a n( n eg as i ) ,y a i t upe r n y a t a anba r uy a ngbe r n i l a ib en ara pa bi l a p er n y at a ans emu l abe r n i l a is al a hd emi k i a np ul as eb al i k n y a. Ca r ame mb en t u ki n gk ar a nd ar i s u at upe r n y a t a any ai t ude ng anme na mb ah k ank at a“ t i d ak / b uk a n”a t a u“ t i d akb en arb ah wa ” s es ua ib er d as ar k anat u r a nt a t aba ha say an gb en ar . J i k as ua t upe r n y a t a andi n ot a si k ande ng an “ p ”ma kane ga si d ar i p er n y at a anpd i n ot a si k ande ng an“ ~p ”d i b ac ane ga si p . p ~pBSSBKet er angan:B=Benar S=Sal ah Ber i k uti ni c ont ohdar i i ngk ar an: a .p:1 00ha bi sdi b ag i5 . ~p:Ti d akbe na rb ah wa10 0h ab i sdi b ag i5 . ~p:1 00t i d ak habi sdi b agi 5. b .q:Se mu ai k a nb er n af a sde n ga ni n s a ng . ~ q:Ti d aks e mu ai k a nb e r n a f a sde ng a n i n s a ng . ~ q:Ti d akb en arb a hwas emu ai k a nb e r n af a sde ng a ni n s a ng . c .r:3adal ahf ak t ord ar i 1 3. ~r:Ti dakbe narba hwa3adal ahf ak t ordar i 13. ~r:3 buk anf ak t o rdar i 13.
Operasi-operasi dalam Logika Matematika a) Kon j un gs i Ko nj u ng s ia da l a hp er n y a t a any an gd i b en t u kda r i d uape r n y a t a anpd anqy a ngdi r a ng k ai d en ga n ˄ me ng gu na k ank at ah ub un g“ d an ” . Ko nj u ng s ip er n y a t a anpd anpe r n y a t a anqdi n ot a s i k a ns e ba ga ib er i k u t : p q( d i b ac a:pda nq ) Mi s al n y ak i t aak anme ny us unsu at uk on j u ng si d ar i d uape r n y a t a an be r i k u t : p:Ad a k e nd r a anbe r mo t o r . q:T er s ed i aba ha nb ak ar . Ko nj u ng si d ar i d uape r n y a t a ant e r s e bu ta da l a hs eb ag ai
b er i k u t : p˄ q:Ad ak en da r a anbe r mo t o rd ant e r s e di aba ha nba k ar . Ka r e nak o nj u ng s ime r u pa k ans u at u p er n y at a anma kada pa td i t e nt u ka nn i l a i k e be na r a nn y a,y a i t ube na rs aj aat a us al a hs aj ada nb uk an k e du an y a . Ni l a id ant a be lk e be na r a nKo nj u ng s i . pqp˄ q BBSSBSBSBSSS2 .Di s j u ng s i Di s j u ng s ia da l a h p er n y a t a any a ngdi b en t u kda r i d uape r n y a t a anpd anqy a n gd i r a ng k a id en g anme ng g un ak a nk at ahu bu ng ˄ q( “ at a u” . Di s j ungs iper n y at aanpdanper n y at aanqdi no t as i k ans ebag ai ber i k ut : p di ba ca:pat auq) Mi s al n y a k i t aa ka nme ny us unsu at ud i s j u ng si d ar i d uape r n y a t a anb er i k u t : p:Ad ame di ael e kt r o ni k . q:Ad ame di a c et ak . Di s j ung si da r i du aper n y at aant er s ebu tadal ahs eb ag ai ber i k ut : p˄ q:Adamedi ael e kt r oni ka t aumedi a c e t a k . Ni l a id a nt a be lk e b en ar a nK on j u n gs i . pqp˄ q BBSSBSBSBBBS3 . b) I mpl i ka si I mp l i k a s ia da l a hp er n y a t a anma j e mu ky a ngdi s u s u nd ar i d uab u ah pe r n y a t a anpda nqd a l a m b en t u k“ j i k apma kaq ” . I mp l i k as ip er n y at a anpd anp er n y at a anqd i n ot a si k ans eb ag ai b er i k ut : p→ q( d i b ac a: j i k apmak aq) Mi s al ny ak i t aak anmeny us uns uat udi s j ungs i i mpl i k as i dar i duaper ny at aanber i k ut : p:2m×2n= 2 m +n . q:2 4×2 3=2 7. I mp l i k a s id ar i d uap er n y a t a ant e r s e bu ta da l a hs e ba ga ib er i k u t : p→ q:J i k a2 m×2 n= 2 m +nma k a24 ×2 3=27 . Da r i p er n y a t a a ni n i ,b ag i a n“ j i k a2 m×2n =2 m +n”d i n ama k a na l a s a na t a us e b ab a d anb ag i a n“ ma k a2 4×2 3=2 7”d i n ama k ank e s i mp ul a na t a ua k i b at . Ni l a id ant a be lk e be na r a nI mp l i k a s i . pqp → Qbbs sb sb sb s bb c) Bi i mpl i kasi Bi i mp l i k a s ia da l a hp er n y a t a any a ngd i s u s und ar i d uab ua hp er n y a t a anpd anqy a ngd i r a ng k ai d en ga nme ng gu na k anka t ahu bu ng “ j i k ada nh an y aj i k a ” .Bi i mp l i k a s ip er n y a t a anpda np er n y a t a an q di n ot a si k ans eb ag ai b er i k ut : p↔ q( d i b ac a:pj i k ada nh an y aj i k aq) Mi s al n y aki t aak anme ny us uns ua t u bi i mpl i k as idar i duaper n y at aanber i k ut : p:Du ag ar i ss al i ngber po t ong ant eg akl ur us . q:Duag ar i ss al i n g ↔ q: me mb en t u ks ud ut9 00 . Bi i mp l i k as id ar i d uap er n y at a ant er s eb uta da l a hse ba ga ib er i k ut : p Du aga r i s s al i n gb er p ot o ng ant e ga kl u r u sj i k ad anh an y aj i k ak e du ag ar i ss al i n gme mb en t u ks ud ut9 00 . Ni l a id ant a be l kebenar anBi i mpl i kasi . pqp↔ qBBSSBSBSBSSB.
Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingen 1. Tau t ol ogi T a ut o l o gi a da l a hs e b ua hp er n y a t a a nma j e mu ky a ngs e l a l ube na r u nt u ks emu a k e mu ng k i n ann i l a ik e be na r a nda r i p er n y a t a an p er n y a t a an k omp on en ny a . 6 Un t u kd ap at me mb uk t i k a na pa k ahs ua t up er n y a t a anme r u pa k an t a ut o l o gi ,k i t ada pa t me n gg un ak a nt a b el k e b en a r a n.Bu a t l a hs e b ua ht a be lk e b en ar a np er n y a t a a nu n t u k me mb u k t i k a nb ah wa ( p˄ q )→ qme r u pa k a nt a ut o l o gi . Pe n y e l e s a i a n: pqp˄ q( p˄ q ) → qBBSSBSBSBSSSBBBBb.Buat l ahsebuaht abelkebenar anper nyat aanunt uk me mb u k t i k a nb a hwa p˄ ~ pme r u pa k a nt a ut o l o gi . Pe n y e l e s a i a n: pq~ pp˄ ~pBBSSBSBSSSBBBBBB. Be r d as a r k a npa dak o l o mp al i n gk an ank e d uat a be ld ia t a s ,t a mp akb a h wa( p˄ q ) → qda np˄ ~ps el a l ube r n i l a ib en aru nt u ks et i a pn i l a i k e be na r a nd ank omp on en ny a .. Ol e hk a r e nai t u ,p er n y at a an( p˄ q )→ q da np˄ ~pa d al a hs u at ut a ut o l o gi . 2. Kont r adi ks i Kont r adi k s iadal ahsuat uper n yat aanyangsel al uber ni l ai s al ahunt uks et i apni l ai k e be na r a nda r i k o mp on en k o mp on en ny a .Se pe r t i p ad at a ut o l o gi ,u nt u kme mb uk t i k a n a pa k ahs ua t upe r n y a t a anme r u pa k an k on t r a di k s i ,k i t ada pa tme ng gu na k ant a be l k e be na r a n. Co nt o hk o nt r a di k s i : T un j u k anb ah wap er n y a t a anma j e mu kq˄ ( p˄ ~q ) me r u p ak an su at uk o nt r a di k s i . Penyel esai an:pq~qp˄ ~qq˄ ( p˄ ~q) BBSSBSBSSBSBSBSSSSSSPadakol om yangpal i ng ˄ ( k an anda r i t a be ld ia t a s,t a mp akb ah waq p˄ ~q )s el a l ube r n i l a is al a hu nt u ks et i a pk e be na r a n d ar i k o mp on enn y a.Ol e hk a r e nai t u ,p er n y at a anq˄ ( p˄ ~q )a da l a hs u at u k on t r a di k s i . 3. Kont i nge n
Ko nt i n ge na da l a hpe r n y a t a any a ngn i l a ik e be na r a nn y ame r u pa k an k ump ul a nda r i ni l ai BdanS,d il uart aut o l ogi dank ont r adi k s i . Cont o hk ont i ngen: T unj uk anbahwa p er n y at a anp˄ [ q˄ ( p˄ q ) ] me r u p ak ans ua t u k on t r a di k s i . Pe ny e l e sa i a n: pqp˄ qq˄ ( p ˄q )p˄ [ q˄ ( p˄ q) ] BBSSBSBSBBBSBSBSBSSSPadakol om pal i ngkakant abeldi a t a s,t a mp akb ah wan i l a i k e be na r a np˄ [ q˄ ( p˄ q ) ] b er n i l a is al a hd anb en aru nt u k s e t i a pk e be na r a nd ar i k o mp on en ny a .Ol e hk a r e nai t u ,p˄ [ q˄ ( p˄ q ) ] me r u pa k an k o nt i n ge n.
Ekuivalensi 1.
Membu k t i k anPer ny at aa nMaj emukde ng anMen gg un ak anT ab el Kebe na r anDua p er n y at a andi k at a ka ne ku i v a l e na pa bi l ak ed uape r n y a t a ant e r s e bu tme mp un y ai n i l a i k e b en ar a ny a n gs a ma .Du ap er n y a t a npda nq y a ngek u i v a l e nd i n o t a s i k a nd en g anp≡ q. Co nt o h:De ng anme ng gu na k ant a be lk e be na r a n,s e l i d i k i l a hap ak a hpe r n y a t a an per n y at aanber i k utek ui v al en. a. ~( p˄ q)dengan~p˄ ~qb.p˄ ( q→ r ) dengan( p˄ q)→ ( p˄ r ) Pe ny e l e s ai a n: a. ~( p˄ q)dengan~p˄ ~qpq~p~qp˄ q~( p˄ q)~p˄ ~qBBSSBSBSSSBBSBSBBBBSSSSBSSSBDar i t abel di at as, t ampakbahwani l ai k e be na r a n~( p˄ q ) s a mad en ga nn i l a ik e be na r a n~ p˄ ~q .J a di ,d ap at d i s i mp ul k a n ba hwa~ ( p˄ q )≡ ~ p˄ ~ q.
˄ pr ˄ q p˄ ( q→ r )dengan( p˄ q)→ ( p˄ r ) pqrpq →rp˄ ( q→r ) ( p˄ q)→ ( p ˄r ) BBBBSSSSBBSSBBSSBSBSBSBSBBSSSSSSBSBSSSSSBSBBBSBBBSBBSSS SBSBBBBBBDa r i t a be ld ia t a s ,t a mp a kb ah wan i l a ik e b en a r a np˄ ( q→ r ) t i d aks a ma d en ga nn i l a ik e be na r a n( p˄ q )→ ( p˄ r ) . J ad i ,d ap at d i s i mp ul k anb ah wap˄ ( q→ r ) t i d ake k ui v a l e nd en ga n( p˄ q )→ ( p˄ r ) . 2. Neg as i dar i Per ny at aanMaj emuk Ne ga s id ar i s u at up er n y a t a anma j e mu kd ap atd i b en t u kd ar i n eg as i p er n y a t a an p er n y a t a ant u ng ga ld en ga nme ng gu na k anu k ui v a l e ns i ,y a i t u ap ab i l ap er my a t a an p er n y a t a anma j e mu ki t ume mp un y a in i l a ik e b en ar a n y a ngs a mad en g anp er n y a t a an ma j e mu kne ga s id ar i k o mp on en k o mp on en ny a . 8 Da l a mh al i n i ,t e r d ap ate k ui v a l e ns i ≡ ~ ≡ p ˄ ~ s eb ag ai b er i k u t : a .~( p˄ q )≡ ~p˄ ~q b.~( p˄ q ) p˄ ~q c.~( p→ q) q d.~( p↔ q)≡ ( p˄ ~q)˄ ( q˄ ~p) 8I bi d. ,h.284. Co nt o h:a .Bu k t i k a nb ah wa~ ( p˄ q )≡ ~ p˄ ~q . Bu k t i : pq~p~qp˄ q~( p˄ q )~p˄ ≡ ~ ~qBBSSBSBSSSBBSBSBBSSSSBBBSBBBTe r buk t i bah wa~( p˄ q) p˄ ~q. b. T ul i s k anneg as idar i per n y at aanper n y at aanber i k ut : 1)Ni aadal ahanakyangpandai danpendi am. 2 )J i k aAn i kme nd ap atn i l a ib ag usma kai ana i kk e l a s. Pe ny e l e s ai a n: 1 )Ni aad al a ha na ky a ngt i d akp a nd ai d anda np en di a m. 2 )An i kme nd ap atn i l a ib ag usma kai at i d akna i kk el a s. 3.Membukt i kanPer nyat aanMaj emukt anpaMenggunakanTabel Kebenar anUnt ukmembukt i kankebenar ansuat uper nyat aanmaj emuk d ap at d i l a k uk a nd en ga nme ng gu na k ant a be lk e be na r a n.Ak a nt e t a pi , p emb uk t i a nd en ga nc ar at er s eb utk ur a nge fis i e n.Ol e hk ar e nai t u ,k i t a dapat membukt i kankebenar ansuat uper nyat aanmaj emukdengan mengguna ka ns i f at s i f ate k ui v al ens i ,d i a nt ar an y as ebag ai ber i k ut . a. *p˄p≡ p( p˄ q)˄ r≡ p˄ ( q˄ r ) p˄ q≡ q˄ p
≡ ~ ˄ r ≡ p˄ ( p˄ ( q˄ r )≡ ( p˄ q)˄ ( p˄ r ) ~( p˄ q) p˄ ~q*p˄ p≡ p( p˄ q) q˄ r ) p˄ ≡ ~ q≡ q˄ pp˄ ( q˄ r )≡ ( p˄ q)˄ ( p˄ r ) ~( p˄ q) p˄ ~q . b. ~( ~p)≡ pc .~( p→ q)≡ p~qp→ q≡ ~p˄ qp→ ( q˄ r )≡ ( p→ q)˄ ~( p→ r ) d.p↔ q≡ ( p→ q)˄ ( q→ p) d ) I mp l i k as i ,Ko nv e r s , I n v er s ,d anKo nt r a po si s i Se pe r t i y a ngt e l a hk i t ak et a hu i ,b ah wad uabu ahpe r n y a t a ana t a ul e bi h da pa td i b en t u kme nj a di suat ukal i matmaj emuk.Per nyat aanper nyat aanmaj emukyangmenggunakankat ahubung“→ “adal ah i mpl i k as i ,k on ver s , i n ver s ,dank ont r apos i s iy an gdi defi ni s i k ans ebag ai be r i k ut . J i k apdanqadal ahs uat u per nyat aan,makaper nyat aanmaj emuk: 1.p→ qd i s ebuti mpl i k as i( di k et ahui ) 2 .q→ pdi s e b utk o n v e r sd ar i p→ q 3 .~ p→ ~ qd i s e b uti n v e r sd ar i p→ q 4 .~ q→ ~ pd i s e b utk o n t r a po s i s i d ar i p→ q De n ga nme n gg un ak a nt a b el k e b en a r a n,k i t ada pa t me l i h atn i l a i k e be na r a nda r i ma si n gma si n gp er n y at a anba r ut er s eb ut .T ab el k e be na r a nn y aa da l a hs eb ag ai b er i k u t . Pe r n y a t a anI mp l i k a s i Ko n v er sI n v e r sKo nt r a po s i s i pq~ p~ qp→ qq→ p~p→ ~ q~ q→ ~pBBSBSBSSBSBSBSBBBSBBSBSBSSBBBBBB De ng anme mp er h at i k anni l a ik e be na r a np ad at a be ld ia t a s,d ap at d i s i mp ul k ans eb ag ai b er i k u t : 1 .I mp l i k a s ie k ui v a l e nd en ga nk o nt r a po s i s i n y a . p→ q≡ ~ q→ ~p 2 .Ko nv e r ss u at ui mp l i k a s ie k ui v a l e nd en ga ni n v er s n y a . q→ p≡ ~ p→ ~q Co nt o h: T ent uk ankon v er s ,i n v er s ,da nk ont r apos i s id ar i i mpl i k as i“ J i k aPQRSa dal ah p er s e g i ,ma k aPQRSa da l a hp e r s e g ip an j a ng ” .
Pe ny e l e s ai a n: Konver s:Ji kaPQRSadal ahpesegipanj ang,makaPQRSadal ah p er s e g i . I n v e r s:J i k aPQRSb uk a npe r s e g i ,ma k aPQRSb uk a npe r s e g i p an j a ng . Ko nt r a p os i s i :J i k aPQRSb uk a np es e g ip an j a ng ,ma k aPQRSb uk a n per s egi . G.Ka l i ma tKu an t o rd a nNe ga s i n y a 1.Ku an t o rUn i v e r s a l Mi s a l k a np ( x )a da l a hs u at uk a l i ma tt e r b uk a ,d en ga nxan gg ot a hi mp un an semest apembi car aan ∀x∈ ∀x Pe r n y a t a an :( S)p( x )at au( )p( x ) Di bac a“ unt uks et i apx, ber l ak ul ahp( x )di s ebutk al i matber k uant or uni v er s al ( uni v er s al quat i fi er ) . Pe ng gu na ank at a“ u nt u ks e t i a p”p ad ak u an t o ru ni v e r s a l s en i l a id en ga nk at a “ unt uks emua” ,“ unt ukt i apt i ap” , dan“ u nt uks el ur uh” . Cont oh: a .T ul i s k ank al i ma tu nt u k“ Un t u ks et i a pnan gg ot ah i mp un anbi l a ng na a s l i N,b er l a k una ng go t ah i mp un anb i l a ng nar e al R”d en ga nn ot a s i ma t e ma t i k a . Pe ny e l e s ai a n: Kal i matt er s ebutadal ahkal i matk uan t oruni v er s al s ehi ngg a ∀n d en ga nn ot a si ma t e ma t i k ad ap atd i t u l i s( )n∈ N → n∈ . a. Ji kasemest apembi car aannyabi l anganr eal ∀x R,t ent uk anni l ai k ebena r a nd ar i ( )( x+3< 6) . Pe ny e l e s ai a n:
∀x ( )( x+3<6)ber ni l ai s al ah.Mi s al k andi ambi l s al ahs at uni l ai x= 4. Ak i bat n y a,4+3<6( ber ni l ai s al ah) .Deng andemi k i a n,t i dakbe r l ak uunt u k s et i apx∈ R. 2.Ku ant orEk s i s t ens i a l Mi s al k anp( x )a dal ahsuat uk al i ma tt er buk a ∃x∈ p ad as u at uh i mp un an s e me s t ap e mb i c a r a anS. Pe r n y a t a a n: ( S)p( x )at au ∃x ( )p ( x ) Di b ac a“ t er dap atxseh i ngg ap( x ) ”di s ebu tk a l i matk uant o r ek si s t ens i al ( ex i s t ent i al quant i fi er ) .Kat a“ t er dapat ”s eni l ai dengank at a “ ada” , “ beber apa” ,“ unt uksuat u” ,dan“ unt ukpal i ngs edi k i ts at u” . Cont oh: T ent uk anni l ai k ebenar andar i k al i matber k uant orek si s t ens i al ber i k utj i k a xd anyad al a ha ng g ot ahi mp un a nb i l a ng n ar e al R. ∃x ∃x a. ( )( x 2–6x+8=0 ) b .( )( x 2 +9<0 )
Pe ny e l e s ai a n: ∃x a.( )( x 2–6 x+8=0 )b er n i l a ib en ar .Mi s al k and i a mb i l x=2a t a ux=4 . ∃x b.( )( x 2+9<0)ber ni l ai s al ah. Unt ukx∈ R,x 2 ≥0 ,s e d an g k an9>0 . J adi .Ti dakmungk i nduabi l anganr e al pos i t i fj i k adi j uml ahk anhas i l ny a ber n i l ai negat i f . e )I n gk ar a n( Ne ga si )Ka l i ma tBe r k u a nt o rNe ga si a.k al i matb er k uan t oruni v er s al a dal ahk al i matbe r k u ant or ek s i s t ens i al ,s edangk anneg as ik al i mat ∀ ber k uant orek s i s t ens i al adal ahkal i matber k uant oruni v er s al .J i k at er dapatk al i matber k uant oruni v er s al (x ) ∃x p( x )dankal i mat ber k uant orek si s t ens i al ( )p ( x ) ,negas idar i k eduan yadi t ul i ssebagai ber i k ut : ∀x ≡( ∃x ∃x ≡( ∀x ~[ ( )p( x ) ] )~p( x ) ~[ ( )p( x ) ] )~p( x ) Cont oh: T ent u kanneg as id ar i k al i matk uant or ∃x b er i k u tj i k axda nyad al a ha ng go t ah i mp un anb i l a ng anr e al . a .∀ (x )( x+7≤9) b.( )( x 2=x ) Pe ny e l e s ai a n: ∀x ≡ ( ∃x ≡ ( ∃x ∃x ≡ ( ∀x a.~[ ( )( x+7≤9 ) ] )~( x+7≤9) )( x+7>9) b.~[ ( )( x 2=x ) ] )~( x 2 = ≡( ∀x x ) )( x 2≠x ) H.Pe na r i k anKe si mp ul a nUn t u kme mb uk t i k ans ua t usi f a ta t a ume ny e l i d i k i k e be na r a nd ar i s u at u k es i mp ul a nb er d as a r k a nk e be na r a ny a ngs ud ahdi k e t a hu i ,d ap at di gunak an pol aar gument as ib er das ar k anpr i ns i ppr i ns i pl ogi k a.Kes i mp ul andi t ar i kdar i beber apa p er n y at a any a ngd i a su ms i k anb en art e r j a di .As ums i a su ms i i t u di s eb utj u gap r e mi s .Su at u penar i k ank es i mpul andi k at ak ansa hat auv al i dapabi l ai mpl i k as idar i k onj ungs ipr emi s pr emi s d en ga nk o nk l u si me r u p ak an t a ut o l o gi .Se ba l i k n y a,a pa bi l apr e mi s p r e mi st i d akme mb er i k an i nf or mas i 9I bi d. ,h.294. y a n gc u k u pu nt u kme nd u k un gk e s i mp u l a ny a n gd i a mb i l ma k adi k a t a k a np en a r i k a nk e s i mp ul a n t i dakv al i d. Pr i n si p p r i n si y a ngdi g un ak anun t u kme ng an bi kk e s i mp ul a n,a nt a r a l a i nmo du spo ne n, mo du st o l l e ns ,d ans i l o gi s me . 1. ModusPonenPenar i kank esi mpul andenganmenggunakanmodusponendi dasar kanpada p r i n si p“ J i k ap→ qbe na rma kaqp as t i b en ar ” .Pr i n si pt e r s e bu td ap atd i r u mu sk ans eb ag ai ber i k ut : ∴q Pr e mi s1:p→ qPr e mi s2:pKo nk l u s i: ∴”d Tanda“ i bac a“ ma ka”at au“ j adi ” . Pr i ns i pdi a t asdi bac a:J i k ap→ qbenardanp b en arma k aqbe na r . Sa hn y amo du sp on end ap atd i b u k t i k a nde ng a nt a be lk e b en ar a n ˄ p ˄ p( ˄ p per nyat aanmaj emuk“ [ ( p→ q) ]→ q” . pqp→ q( p→ q) p→ q) ]→ qBBSSBSBSBSBBBSSSBBBBPadat abel t er sebut t ampakbahwapadak ol om kel i ma ˄ p n i l a i k e be na r a n ny aa da l a h“ b en ar ”s el u r u h ny a .Ol e hk ar e nai t u ,( p→ q ) ]→q me r u pak ans ua t ut au t ul ogi . 10I b i d. ,h.297. Co nt o h:Pr e mi s1:J i k as e gi t i g aABCs a mas i s i ma k aAB=AC=BC. Pr e mi s2: Se g i t i g aABCs a mas i s i . Ko nk l u s i:J a d i ,AB=AC=BC.
2 . Mo du sT o l l e nsPe n ar i k a nk e s i mp ul a npa damo d usT o l l e nsd i d as a r k a npa dap r i n s i p “ J i k ap→ q b en ard anqt i d akbe na rma kappa s t i t i d akbe na r ” .Pr i n si p t er s eb utd ap atd i r u mu sk anse ba ga i ber i k ut : ∴ Pr e mi s1:p→ q Pr e mi s2:~q Ko nk l u s i: ~pPr i ns i pi n id i bac a:J i k ap→ q b en ard an~qbe na rma k a~pbe na r . Ke be na r a nd ar i mo du st o l l e nsd ap atd i b uk t i k a n d en g anme ng gu n ak a nt a be lk e b en ar a nk o n t r a po s i s i . Co nt o h:Pr e mi s1:J i k as e gi t i g aABCs i k u s i k ud it i t i kBma k aAC2 =AB2 + BC2 . Pr e mi s2:AC2 ≠AB2 +BC2 . Ko nk l u si :J ad i ,s eg i t i g aABCt i d aksi k u s i k ud it i t i k B. 3 .Si l o gi s me Pe na r i k a nk e s i mp ul a nd en ga ns i l o gi s meb er d as a r k a np r i n s i p“ J i k a p→ qbe na rd anq→ rb en arma k ap→ rp as t i b en ar ” .Pr i n s i pt e r s e bu t d ap atd i r u mu s k an s ebag ai ber i k ut : ∴ Pr e mi s1:p→ q Pr e mi s2:q→ r Ko nk l u s i: p→ r Ke be na r a nd ar i s i l o gi s me ˄ ( d ap atd i l i h atp ad at a be lk e be na r a n[ ( p→q ) q→ r ) ]→ ( p→ r )a da l a hs u at u ˄( ˄( t aut ol ogi . pqrp→qq→rp→r( p→q) q→r ) [ ( p→q) q→r ) ]→ ( p→r ) BBBBSSSSBBSSBBSSBSBSBSBSBBSSBBBBBSBBBSBBBSBSBBBBBSSSB SBBBBBBBBBB Co nt o h:Pr e mi s1:J i k agu r uMa t e ma t i k at i d akma s uks e k o l a hma k amu r i d mu r i d ber cengkr ama. Pr e mi s2:J i k amu r i d mu r i dbe r c e ng k r a mama k ame r e k ab er g emb i r a . Ko nk l u s i: J a di ,j i k ag ur uMa t e ma t i k at i d akma s uks ek o l a hma k ame r e k ab er g emb i r a . I . Pe mb uk t i a n Pe mb uk t i a ns u a t us i f a td al a nma t e ma t i k ame nu n j u k a nk e b en ar a n s i f a t d al a m ma t e ma t i k as ec ar al o gi k a. Pe mb u k t i a nde ng a nBu k t i L an gs u n gPe mb u k t i a nde ng a nb uk t i l a n gs u n gd i g un ak a nun t u k me mb uk t i k a ns i f a td al a m ma t e ma t i k ade ng ani mp l i k a s ip→ q .Pe mb uk t i a ni n ime ng gu na k ann i l a ik e be na r a n per n yat aan( i mpl i k as i ) ,y ai t uj i k adi k et ahui pber ni l ai benar( ant es edenbenar )d ani mpl i k as iber ni l ai benar , k e mu di a nd en ga nl a ng ka hl a ng ka hy a ngb en ar ,p as t i d i h as i l k anqy a ngb er n i l a ib en ar ( k o ns ek u enb er n i l a i b e n a r ) . Co nt o h:Bu k t i k a nba hwaj i k ax+2=5ma k ax=3 . Buk t i :Di k et ahui x+2=5. Ke mu d i a n,a k a nd i b uk t i k a nba hwax=3. Kar enax+2=5makax+2–2=5–2at aux=3. J ad i ,t e r b u kt i b ah waj i k ax+2=5 ma kax=3 . Pe mb uk t i a nd en ga nBu k t i T e r b al i k Pe mb uk t i a nd en ga nb uk t i t e r b al i kme ng gu na k anpr i n s i pmo du s t ol l ens .T er dap atduac ar ad al am pe mbu kt i andeng anbuk t i t er bal i k ,y ai t uk ont r apos i s idank ont r adi k s i . a. Kont r aposi si Pe mb uk t i a nd en ga nk o nt r a po s i s i d i g un ak a nu nt u kme mb uk t i k a ns i f a tma t e ma t i k ay a ng me mp un y ai i mp l i k a s ip→ q .Ni l a ik e be na r a ns u at ui mp l i k a s is a mad en ga nn i l a ik e be na r a n k ont r apos i s i n y a.Ol ehk ar enai t u,pembuk t i andeng ank ont r apos i s idar i s i f atmat emat i k a d en g ani mp l i k a s i p→ qdi l a k u k and en g anme nu nj u k a nk e b en ar a ns i f a tma t e ma t i k a~q→ ~p . Mi s a l k a na k and i b uk t i k a ns i f a tma t e ma t i k ap→q .Pe mb uk t i a nd i l a k uk a nd en ga n membuk t i k an~q→ ~p.Dal a m hal i ni ,di k et ahui ~qbe r n i l ai bena rd ani mpl i k as iber ni l ai b enar , k e mu di a nd en ga nl a ng k ah l a ng k ahy an gb en ar ,p as t i d i h as i l k a n~py an gb en ar . Co nt o h: Bu k t i k a nb ah waj i k axd anyb i l a ng anga nj i l ma k ax+yb i l a ng nage na p. Buk t i : Kont r apos i s idar i i mpl i k as i“ J i k axdanybi l anganganj i l mak ax +ybi l angna g e na p”a d al a h“ J i k ax+yb u k anbi l a n ga ng e na pma k ax da nyb uk a nbi l a ng na ge nap” . Di k et ahui x+ybuk anbi l ang angena p,ber ar t i x+ybi l ang ang an j i l .Ol ehkar enai t u , xat a uymer u pak anb i l angn ag anj i l ber ar t i xat a uybuk anbi l ang angenap.J adi ,t er buk t i b ah waj i k axat a uyb i l a ng anga nj i l ma kaxat a uyb i l a ng nage na p. b. Kont r adi ks i
Pe mb uk t i a nd en ga nk o nt r a di k s i d ap atd i g un ak a nu nt u k me mb uk t i k a ns i f a tma t e ma t i k a y a ngme r u pa k ans u at ui mp l i k a s i .Un t u k me mb uk t i k a ns i f a tma t e ma t i k ay a ngme r u pa k ans u at u i mpl i k as ip→ q, di andai k ant i dakq.Sel anj ut ny a,j i k adi has i l k ankont r adi k s i( s es uat uyang s al a hmi s al k ant i d akpk ar e nay a ngd i k e t a hu ia da l a hp ) , b er a r t i p en ga nd ai a ns al a h.Ol e h k ar e nai t u ,p en ga nd ai a nh ar u sd i i n gk ar .J ad i , d i p er o l e hq .Se da ng ka nu nt u kme mb uk t i k ans i f a t mat emat i k ay angber upasi f atp,di andai k ant i dakp.Sel anj ut n ya,j i k adi has i l k ankont r adi k s i ( s es ua t uy a ngs al a hmi s al k an1b i l a ng ang en ap ) , b er a r t i p en ga nd ai a ns al a h.Ol e hk ar e nai t u , p en ga nd ai a nh ar u sdi i n gk ar . Cont oh:Bukt i kanbahwa2+4=6. Bu k t i :An da i k a n2+4≠6ma k a2+4–4≠6–4at a u2≠2 .Ha li n ik o nt r a di k s i d e ng a nk e t e nt u anba hwa2=2.Pe ng a nd ai a n2+4≠6ha r u sd i i n gk a rs e h i n gg a2+4=6 . J adi ,t er buk t i 2+4=6. .
BABI I I KESI MPULAN •
L og i k aad al a hs e bu ahme t o deda np r i n s i p p r i n s i py a ngda pa tme mi s a hk a ns e c ar at e ga s a nt a r ape na l a r a ny a ngbe na rd en ga np en al a r a ny a ngs al a h. Da l a m me mp el a j a r i l o gi k a
•
•
ma t e ma t i k ap as t i b er h ub un ga nd en ga ni s t i l a hp er n y a t a an ,k a l i ma tma j e mu kd ani n gk a r a n. Pe r n y a t a an p er n y a t a anma j e mu kd i a nt a r a ny aa da l a hs e ba ga ib er i k u t : ˄ 1. ,kat ahunbungnya“ dan”di l ambangkandengan“” 2. Di ˄ . s j u ng s i ,k a t ahu nb un gn y a“ a t a u”d i l a mb an gk a nd en ga n“” 3. I mp l i k as i ,k at ah un bu ng ny a“ J i k a. . .ma ka. . . ”d i l a mb an gk and en ga n“ →” . 4. Bi i mpl i k as i ,k at ahunbungny a“ . . .j i k adanhany aj i k a. . . ” ↔” d i l a mb an gk a n de ng a n“ . Di d al a ml o g i k ama t e ma t i k at e r d ap atb eb er a pa j eni soper as i y angdi gunak an,di ant ar any ay ai t uoper as i k onj ungs i ,di s j ungs i , i mpl i k as i ,danbi i mpl i k as i . Ad at i g aj e ni sc ar ape na r i k ank e si mp ul a nd al a ml o gi k ama t e ma t i k a, d i a nt ar a ny aad al a h s eba ga ib er i k ut : 1.Denga nModusPonen . 2.DenganModusTol l ens. 3 .De n ga nSi l o gi s me . Un t u kme mb uk t i k a nk e be na r a nd ar i s u at upe r n y a t a anda pa td i l a k uk a nd en ga nt i g ac a r a y ai t u: 1 .Pe mb uk t i a nd en ga nb uk t i l a ng s un g. 2 .Pe mb uk t i a nd en ga nb uk t i t i d akl a ng s un g. 3 .Pe mb uk t i a nde ng ani n du k s ima t e ma t i k a .
DAFTAR PUSTAKA
Kusumah,YayaS.1986. L og i k aMa t e ma t i k aEl e me nt e r . Bandu ng:T ar s i t o . Muni r ,Ri na l di .20 12.Mat emat i k aDi s k r i t .Ban dung: I n f o r ma t i k a . Ru s eff en di .1 98 9.Da s ar d as a rMa t e ma t i k aMo de r nda nKo mp ut e r . Ba nd un g:T ar s i t o . Si s wa nt o .2 00 9.Th eo r ya ndAp pl i c at i o no fMa t h ema t i c s . So l o :Bi l i n gu al . Wi r o di k r o mo ,Sa r t o no .2 00 1.Ma t e ma t i k au nt u kSMAk e l a sX. J ak ar t a:Er l angg a.
Nama kelompok: 1. Fitriana 2. Fitri rahmayanti
3. Nikmatul jannah . !ian retno "uri
