LOGIKA MATEMATIKA MATEMATIKA (Konjugasi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi)
Diajukan Sebagai Salah Satu Tugas Matematika Kelas X Pada Madrasah Aliyah Negeri Bayah Kabupaten Lebak
MAKALAH
Disusun oleh : .........................
DEPARTEMEN AGAMA KABUPATEN LEBAK MADRASAH MADRASAH ALIYAH NEGERI ................... TAHUN ..................
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim Puji dan syukur marilah kita panjatkan kepada Allah Swt yang telah melimpahkan Rahmat dan Hidayah serta Inayah-Nya kepada kita semua. Sehingga kita dapat berupaya dan berusaha dalam menjalani hidup ini. shalawat serta salam, marilah kita curahkan kepa kepada da bagi bagind nda a Rasu Rasull yakn yaknii Nabi Nabi Besa Besarr Muha Muhamm mmad ad Saw Saw dan dan keluar keluargan ganya, ya, sahaba sahabatny tnya, a, sampai sampai pada pada umatn umatnya ya yang yang paling paling akhi akhir, r,
sem semoga
kit kita
sem semua
sela selalu lu
melaks laksa anak nakan
ajara jaran n
–
ajarannya. Amiin. Deng Dengan an ters tersus usun unny nya a maka makalah lah yang yang beri berisi si tent tentan ang g logi logika ka matematika, dengan pembahasannya yaitu mengenai konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi, merupakan suatu bahan kajian bagi kalangan pelajar di tingkat SLTA untuk lebih memahami halhal hal ters terseb ebut ut.. Ucap Ucapan an terim terima a kasi kasih h yang yang mend mendala alam m, penu penulis lis haturkan kepada yang terhormat : 1.
Bpk. Bp k. A. A. Saep Saepud udin in,, S.Ag S.Ag., ., sel selak aku u kepa kepala la MAN MAN Baya Bayah h
2.
Ibu Empat Patmawati, S.Pd., selaku guru bidang studi matematika di MAN bayah
3.
Bpk.
M.
Anton
Prayoga,
S.Pd
yang telah
memberikan
bimbingan teknis dalam penyusunan makalah ini. 4.
Rekan – rekan dan semua pihak yang telah membantu tersusunnya makalah ini. Dengan
segala
kerendahan
hati,
penulis
sangat
mengharapkan kritik & sarannya yang bersifat membangun, agar penulis dapat menyusun makalah lebih baik lagi terima kasih. Bayah, Mei 2007
Penyusun
DAFTAR ISI
Hal Jilid.................................................. Jilid...................................................................................... ......................................... .....
i
Kata Kata Peng Pengan anta tar. r.... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...
ii
Daftar Daftar Isi..... Isi.......... ........... ............ ............ ............ ............ ............ ................. ........................ ......................... ............ ................................................................................................
iii
Daftar Daftar Tabel. Tabel...... .......... .......... .......... ........... ............ ............ ............ ............... ....................... ....................... .........
iv
BAB BA B I PE PEND NDAH AHUL ULUA UAN. N.... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ...... ..
1
BAB BA B II PE PEMB MBAH AHAS ASAN AN... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ......... ....... ..
3
A.
Konj Konjun ungs gsii .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... ..
3
B.
Disj Disjun ungs gsi. i... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...
4
C.
Impl Implik ikas asi. i... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....
6
D.
Biim Biimpl plik ikas asi. i... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..... ...
9
BAB BA B III PENU PENUTUP TUP..... .......... .......... .......... .......... ........... ............ ............ ............ ................. ...................... ...........
11
A.
Kesi Kesim mpula pulan. n... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...
11
B.
Lati Latiha han n Soal Soal.. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... .....
11
DAFTAR TABEL
Hal Tabel Tabel 1
: Tabel Tabel kebenaran kebenaran konjungs konjungsi........................... i...................................... ...........
3
Tabel Tabel 2
: Tabel Tabel kebenaran kebenaran disjungsi disjungsi....................................... .......................................
5
Tabel Tabel 3
: Tabel Tabel kebenaran kebenaran implikasi..... implikasi....................................... ..................................
7
Tabel Tabel 4
: Tabel Tabel kebenaran kebenaran tautologi.......... tautologi....................................... .............................
8
Tabel Tabel 5
: Tabel Tabel kebenaran kebenaran kontradiks kontradiksi.............. i........................ ..................... ...........
8
Tabel Tabel 6
: Tabel Tabel kebenaran kebenaran implikasi implikasi logis........... logis............................... ....................
9
Tabel Tabel 7
: Tabel Tabel kebenaran kebenaran biimplikasi biimplikasi................................ .................................... ....
10
Tabel Tabel 8
: Tabel Tabel kebenaran kebenaran biimplikasi biimplikasi logis.......... logis........................... ...................
10
BAB I PENDAHULUAN
Belakangan Belakangan ini, ilmu matema matematika tika telah berkemba berkembang ng pesat. pesat. Bukan Bu kan hanya hanya sebata sebatas s hitung hitung mengh menghitu itung ng mengg mengguna unakan kan skala skala statis statistik, tik, nilai, nilai, angkaangka-ang angka ka real, real, kalkulu kalkulus s dan peluan peluang. g. Akan Akan tetapi, tetapi, perkemba perkembangan ngan ilmu matemat matematika ika juga terjadi terjadi didasarkan didasarkan pada penalaran – penalaran yang logis atas sistem matematis. Penalaran yang dilakukan oleh para ahli matematik diperoleh atas realita kehidupan yang nyata yang dirasakan oleh manusia. Perkem Perkemban bangan gan dan aplikas aplikasii dan bagian bagian matem matematik atik ini sangat sangat dirasakan oleh manusia di berbagai kehidupan. Penalaran inilah dalam bahasa matematika sering disebut logika. Logika Logika merupaka merupakan n suatu suatu aktivitas aktivitas manusia manusia yang berkaitan berkaitan dengan dengan penggu penggunaa naan n akal akal dan pikiran pikiran sehing sehingga ga mengh menghasi asilkan lkan suat su atu u pena penala lara ran n deng dengan an kebe kebena nara ran n – kebe kebena nara ran n yang yang dapa dapatt dibuktikan secara matematis. Meskipun tanpa perhitungan melalui angka-angka atau dengan statistik, tetapi dapat diuji dan masuk akal akan kebenarannya. Berba Berbagai gai macam macam peralat peralatan an elektr elektroni onik k yang yang ada di sekitar sekitar kita, merupakan contoh nyata dari kemampuan manusia dalam menerapkan disiplin ilmu logika matematika di berbagai bidang kehidupan. Diantaranya seperti listrik, komputer, televisi dan radio dike dikem mbang bangka kan n
ata atas
dasar asar
dan dan
atur aturan an
logi logik ka
mate atematik atika a
sederhana yang dibentuk dalam sebuah rangkaian elektronik yaitu menggunakan rangkaian benar yang biasanya dinyatakan dengan on dan off. Berikut ini akan penulis uraiakan salah satu sub pokok kajian logika logika matema atematik tika a tentan tentang g konjun konjungsi, gsi, disjun disjungsi gsi,, implika implikasi si dan
biimplik biimplikasi asi.. Kajian Kajian lokasi lokasi ini semua semua terlep terlepas as dari dari pernya pernyataa taan n – pernya pernyataa taan n yang yang konkre konkret. t. Biasan Biasanya ya perny pernyata ataan an – perny pernyata ataan an tersebut ditulis dengan huruf p dan q dengan suatu ketentuan umum mengenai tabel kebenaran yang biasa ditulis dengan huruf B dan pernyataan yang salah dengan huruf S
BAB II PEMBAHASAN
A.
Konjungsi Konjungsi adalah pernyataan baru yang dinyatakan dari dua pernyataan dengan kata hubung “dan”. Kalau tersebut dinotasikan dinotasikan dengan dengan kedu keduaa-du duan anya ya
"∧" .
Suat Suatu u pern pernya yata taan an yang yang apab apabila ila
memen emenuh uhii
perm permin inta taan an
bena benarr
(B)) (B
maka aka
jawabann jawabannya ya benar. benar. Jika tidak tidak demikian demikian maka maka salah. salah. Misalnya Misalnya : Alum dan Anton dipanggil Kepala Sekolah. Apabila keduanya datang memenuhi panggilan Kepala Sekolah berarti itu hal yang benar, dan salah apabila salah satu diantara mereka yang memenuhi memenuhi panggilan atau tidak ti dak sama sekali. Secara sederhana konjungsi dapat kita lihat contoh berikut ini : p
=
Irwan anak yang pandai
q
=
Irwan anak yang rajin
p
∧
q = Irwan Irwan anak anak yang yang raji rajin n dan dan sopa sopan n
Konjungsi dari pernyataan p dan q bernilai benar, apabila kompo komponen nen – kompo komponen nen pemben pembentuk tukann annya ya bernil bernilai ai benar. benar. Sebaliknya bernilai salah, apabila salah satu komponen baik p atau atau q bern bernil ilai ai sala salah h atau atau kedu keduaa-du duan anya ya.. Hal Hal ini ini dapa dapatt dinyatakan dengan tabel kebenaran berikut ini : Tabel 1 p B
q B
p
B
S
S
S
B
S
S
S
S
∧
B
q
Dari tabel di atas dapat kita ketahui bahwa pernyataan konjungsi akan bernilai benar apabila p itu benar dan q juga benar. Jika demikian berarti salah. Kata Kata peng penghu hubu bung ng konj konjun ungs gsii sela selain in “d “dan an” ” dapa dapatt pula pula diganti dengan kata lain yang mempunyai arti sepadan atau seja sejaja jarr
deng dengan an
“dan “d an” ”
dian dianta tara rany nya a
“tet “tetap api, i,
walau alaupu pun, n,
sedangkan dan lagi pula” misalnya 1.
Alum Alum wan wanit ita a yang yang cantik cantik,, tetap tetapii tidak tidak som sombong bong.. Artin Artinya ya Alum wanita yang sangat cantik dan tidak sombong. sombong.
2.
Walau laupun sering ing dihi ihina, tetapi Anton tida idak pernah marah marah.. Artin Artinya ya Anton Anton serin sering g dihina dihina dan tidak tidak pernah pernah marah.
B.
Disjungsi Apabila terdapat dua pernyataan, dapat dibentuk sebuah pern pernya yata taan an baru baru deng dengan an kata kata peng penghu hubu bung ng “ata “atau” u” yang yang dinotasikan “V”. Sesuatu pernyataan apabila salah satunya benar, maka pernyataan disjungsi benar, jika tidak demikian bernilai salah. Misalnya, Alum atau Anton ditunggu di ruang OSIS. Kalau kedu keduan anya ya data datang ng atau atau salah salah satu satuny nya a saja saja bera berart rtii dapa dapatt memenuhi memenuhi kriteria kriteria kebenaran, kebenaran, dan apabila apabila keduanya keduanya tidak hadir (S) berarti salah. Contoh lain yaitu : p
: Danar anak yang pandai
q
: Danar anak yang pintar
pVq
: Da Danar anak ya yang pa pandai at atau pin pinttar
Pernyataan Danar anak yang pandai atau pintar berarti Danar anak yang pandai atau pintar atau kedua-duanya yaitu anak anak yang yang pand pandai ai dan dan pint pintar ar.. Disj Disjun ungs gsii dari dari pern pernya yata taan an
bernil bernilai ai benar benar apabila apabila paling paling sedikit sedikit salah salah satu satu dari dari kedua kedua pernyataan tersebut bernilai benar. Hal itu dapat dinyatakan dalam bentuk tabel berikut ini :
Tabel 2 p B
q B
pVq B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
Dari tabe tabell di atas atas dapa dapatt kit kita keta etahui hui bahw ahwa nilai ilai kebe kebena nara ran n (B (B)) dari dari su suat atu u pern pernya yata taan an disj disjun ungs gsii dipe dipero role leh h apab apabila ila salah salah satu satu komp kompon onen enny nya a bern bernila ilaii bena benar, r, apab apabila ila keduanya salah maka pernyataan disjungsinya salah.
Latihan 1)
p
: Andi mempunyai anak
q
: Andi menjadi ayah
pVq 2)
: .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..
Diketahui
:p
: Siswa MAN Bayah memenangkan
piala olimpiade matematika q
: Sisw Siswa a MAN MAN Baya Bayah h men menja jadi di juar juara a
Ditanya : a) p V q b) Buatlah Buatlah tabel kebenarann kebenarannya ya Penyelesaian 1)
p
: Andi mempunyai anak
q
: Andi menjadi ayah
pVq 2)
p
: And Andii mem mempu puny nyai ai anak nak ata atau menjad njadii aya ayah h
: Sisw iswa MAN bayah memenangkan pial iala olim limpiade
matematika q
: Siswa MAN bayah menjadi juara
pVq
:
Siswa
MAN
bayah
memenangkan
piala
olimpiade matematika matematika atau menjadi juara
Tabel kebenarannya adalah : p Siswa MAN bayah
q Siswa MAN bayah
pVq Siswa MAN bayah
memenangkan
menjadi juara (B)
memenangkan
piala olimpiade
piala olimpiade
matematika (B)
matematika atau
Siswa MAN bayah
Siswa MAN bayah
menjadi juara (B) Siswa MAN bayah
memenangkan
tidak menjadi juara
memenangkan
piala olimpiade
(S)
piala olimpiade
matematika (B) Siswa MAN bayah
Siswa MAN bayah
matematika matematika (B) Siswa MAN bayah
tidak
menjadi juara (B)
menjadi juara (B)
matematika matematika (S) Siswa MAN bayah
Siswa MAN bayah
Tidak mendapat mendapat
tidak
tidak menjadi juara
juara (S)
memenangkan
(S)
memenangkan piala olimpiade
piala olimpiade matematika matematika (S)
C.
Implikasi Suatu pernyataan kebenaran dari p dan q dalam bentuk implika implikasi si dinyat dinyataka akan n dengan dengan pernya pernyataa taan n baru baru yaitu yaitu “Jika “Jika p maka q”. Hal ini dinotasikan dengan “p
q”. Yaitu suatu
pernyataan apabila p benar, q salah bernilai salah. Bila tidak dem demikian ikian bern bernila ilaii bena benar. r. Jadi Jadi pern pernya yata taan an p
q terj terjad adii
pernyataan salah, hanya karena p benar, q salah.
Contoh dalam kalimat yaitu : p
:
q
: Jumlah sudut-sudut dalam segitiga 1800 (B)
pq
: Jika
4
adalah bilangan real (B)
4
adalah adalah bilanga bilangan n real real maka maka jumlah jumlah
sudutsudut segitiga 1800 (B)
Pernyataan Pernyataan implikasi p
q bernila bernilaii benar benar atau atau salah salah
dapat dilihat pada tabel berikut ini : Tabel 3 p B
q B
pVq B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Implikasi p dapat dibaca dengan beberapa cara, antara lain a.
Jika p maka q
b.
p berimplikasi q
c.
p berakibat q
d.
q jika p
e.
p syarat cukup bagi q
f.
q syarat perlu bagi p
Perlu erlu
diin diing gat
bahw bahwa a
pen penggun ggunaa aan n
imp implik likasi asi
tid tidak
diisy diisyar arat atka kan n adan adanya ya hubu hubung ngan an seba sebab b akib akibat at (hub (hubun unga gan n
kausalitas). Oleh karena itu, nilai kebenaran implikasi hanya ditentukan oleh nilai kebenaran komponen – komponennya. Dalam implikasi terdapat implikasi logis, namun terlebih dahulu akan diuraikan pengertian teutologi dan kontradiksi. k ontradiksi.
a.
Taut Tautol olog ogi i Tautologi Tautologi adalah suatu suatu pernyataan pernyataan yang selalu bernila ilai
benar
untuk
nila ilai
suatu
kebenaran
dari
kompon komponen en – kompon komponen ennya nya.. Untuk Untuk menen menentuk tukan an atau atau membu embukt ktik ikan an apak apakah ah su suat atu u
pern pernya yata taan an merup erupak akan an
tautol tautolog ogi. i. Kita Kita dapat dapat mengg mengguna unakan kan tabel tabel keben kebenara aran n berikut ini : Tabel 4 p
q
p
∧
q
(p
q)
∧
B
B
B
q B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
B
Pada kolom terakhir terdapat ( p
∧
q )
q yaitu
notasi tautologi yang terbentuk dari pernyataan “jika ( p dan q ) maka q”. Yang nilai kebenarannya selalu benar untuk semua komponen – komponennya.
b.
Kont Kontra radi diks ksi i Kontr Kontradik adiksi si adalah adalah suatu suatu pernya pernyataa taan n yang yang selalu selalu bernila ilai
salah lah
untuk
setiap
nila ilai
kebenaran
dari ari
komponen – komponennya. Hal ini merupakan kebalikan dari dari taut tautol olog ogii yang yang ters tersus usun un dari dari komp kompon onen en “p dan dan negari q” ( p
∧
~ q), sebagaimana tabel berikut ini
Tabel 5 p B
q B
~q S
B
S
B
B
S
S
B
S
S
S
S
S
B
S
S
Kolom lom
p
terakhir
~q S
q
∧
tampak
∧
jelas,
(p ∧ ~q) S
bahw ahwa
kompone komponen n bernilai bernilai salah. salah. Oleh karena karena itu q
semua ( p
∧
∧
~
q ) adalah suatu kontradiksi.
c.
Impl Implik ikas asii logi logis s Implika likas si mempunyai kebe kebena nara ran n impl implik ikas asii
log logis nila ilai
dari ari
adalah lah
log logika
sutau
selalu lalu
kom kompone ponenn nnya ya..
logi logis s
adal adalah ah
imp implik likasi
benar Dengan ngan
impl implik ika asi
yang ang
yang
untuk
nila ilai
kata kata
lain lain,,
merup rupakan akan
tautologi yang dilambangkan dengan “ “
Contoh : Dengan tabel kebenaran, kebenaran, tunjukan bahwa ( p
∧
q)
( p V q ) merupakan suatu implikasi logis.
Penyelesaian : Tabel 6 p B
q B
B
p
B
pVq B
S
S
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
S
B
∧
q
(p
∧
q)
(p V q ) B
Pada kolom kel enam tabel di atas, tampak bahwa nilai nilai logika logika ( p
∧
q )
( p V q ) selalu benar. Hal ini
yang dinamakan implikasi logis.
D.
Biimplikasi Suatu pernyataan majemuk yang terbentuk “ .... jika dan hany hanya a jika jika ....” ....” dina dinama maka kan n diim diimpli plika kasi si yang yang diny dinyat atak akan an dengan notasi p ↔ q (dibaca : p jika dan hanya jika q ) artinya pern pernya yata taan an nila nilaii kebe kebena nara ran n akan akan bern bernila ilaii bena benarr apab apabila ila anta antara ra p dan dan q kom kompone ponenn nnya ya sam sama, jika jika berb berbed eda, a, maka aka bernilai salah. Biimplikasi merupakan bentuk singkat dari ( p
q)
∧
( p q ). Hal ini dinyatakan dalam tabel di bawah ini. Tabel 7 p B
q B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Biimp implik likasi
bernila ilai
benar
p
q B
apabila
komponen
–
komponennya komponennya memiliki kebenaran yang sama. Contoh : 1)
p
: Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi (B)
q
: Ketiga sisi segitiga ABC sama panjang (B)
p↔q
: Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi jika
dan hanya jika Ketiga Ketiga sisi segitiga segitiga ABC sama sama panjang panjang (B) 2)
p
: Anton akan selalu mencintai Alum (B)
q
: Alum setia kepada Anton sampai tua (B)
p↔q
: Anton akan sel selalu mencintai Alum jik jika dan
hanya jika Alum setia kepada Anton sampai tua (B) Mengenai biimplikasi logis, tidak jauh dari implikasi logis yang merupakan tautologi yaitu suatu nilai logika yang selalu
benar. Diimplikasi logis dilambangkan “
kebenarannya, yaitu biimplikasi logis ( p
“. Berikut ini tabel
~q )
( q
p ). Tabel 8 p
q
~p
~q
p
q ~p S
(p
~ q) ~ p) B
B
B
S
S
~q S
B
S
S
B
B
B
B
S
B
B
S
B
B
B
S
S
B
B
B
B
B
(q
~
BAB III PENUTUP
A.
Kesimpulan Dari berbagai uraian di atas, a tas, dapat penulis simpulkan bahwa : 1.
Konj Konjun ungs gsii merup erupak akan an perny pernyat ataa aan n kebe kebena nara ran n apab apabil ila a p dan q benar, bila tidak demikian bernilai salah.
2.
Disj Disjun ungs gsii yait yaitu u p ata atau u q ( p V q ), sua suatu tu per perny nyat ataa aan n haru harus s salah lah
satu
kompenen
yang ang
bernila ilai
benar
atau
keduanya, maka akan bernilai benar. 3.
Implik likasi asi yaitu itu pernyata ataan “jika ika p amaka q” dengan ketentuan q tidak boleh salah (S) untuk mendapatkan nilai kebenaran yang benar, kecuali kedua-duanya salah (S).
4.
Biimp implik likasi (.... ... jika ika dan hanya jika ika ...” yaitu itu suatu pernyataan
bernila ilai
benar
apabila ila
komponen
–
komponennya komponennya memiliki kebenaran yang sama
B.
Latihan Soal Setelah mempelajari bahasan – bahasa di atas, silahkan kerjakan soal – soal di bawah ini ! 1.
Tent Tentuk ukan an konj konjun ungs gsii masi masing ng – mas masin ing g pasan pasanga gan n di bawa bawah h ini ! a.
b.
2.
p
: Ahmad adalah adik Nova
q
: Ahmad adalah adik Amin
p
: Setiap hari Andi bangun pagi
q
: Se Setiap iap hari An Andi be berolah lah ra raga
Dike Diketa tahu huii p : 12 12 adal adalah ah bila bilang ngan an gen genap ap dan dan q : 4 ada adala lah h faktor dari 30. tentukan !
3.
4.
a.
p
∧
q
b.
q
∧
p
c.
~p V q
d.
p V ~q
e.
q
f.
~p
∧
~q
Tent Tentuk ukan an nila nilaii kebe kebena nara ran n dari dari impl implika ikasi si ber beriku ikutt ini ini ! a.
Jika x = 5 ; maka maka x2 = 25
b.
Jika 42
≠
16 maka
c.
(pq)q
d.
p
e.
(pVq)
16 = 4
~q
(q
∧
p)
Tent Tentuk ukan an biim biimpl plik ikas asii d dii b baw awah ah ini ini ! a.
b.
5.
~p
∧
p
: 16 adalah bilangan kuadrat
q
: 19 habis dibagi 2
p
: Aku akan selalu menjagamu
q
: Kamu tetap mencintaiku
Buat Bu atla lah h tabe tabell kebe kebena nara ran n dar darii nota notasi si di di bawa bawah h ini ini : a.
~pV(p
b.
(pVq)
c.
(~pV~q)
∧
q) ~q ↔
(p
∧
q)