Limit Bentuk Tak Tentu
Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu : 1. Bentuk terdefinisi (terte (tertentu ntu)) : yaitu yaitu bentuk bentuk yang yang nilain nilainya ya ada dan terten tertentu, tu, misalnya :
6 3
,
0
.
4
2. Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai, misalnya :
5 0
3. Bentuk tak tentu : yaitu aitu bent bentuk uk yang ang nila nilain iny ya semb sembar aran ang, g, misa misaln lny ya : ¥ , , ! ,1 ¥ 0 ¥ 0
"entin "enting g : "ers#a "ers#alan lan limit limit adala$ adala$ menguba menguba$ $ bentuk tak tentuk men% men%adi adi bentuk tertentu. Limit Fungsi Aljabar
&ika diketa$ui 'ungsi f 'ungsi f () () dan nilai f nilai f (a) (a) terde'inisi, maka #nt#$ : 1. x → (x + 2( ) = ( 3 + 2( 3 )) = * + 6 = 15 2
lim 3
2.
lim x 0
lim
x →a
f(x) = f(a)
2
x 2 + x
→ 5( + +
=
0
2
+0
5( 0 ) + +
0
=
+
=0
Beriku Berikutt ini akan diba$as diba$as limit limit imit imit -ungsi -ungsi l%aba l%abarr Bentuk Tak Tak Tentu Tentu yaitu :
0 , ¥ , ! dan 1¥ . 0 ¥ 1.
Bentuk
0 0
imit ini dapa apat diselesa esaikan den dengan memfak memfaktor torkan kan pembil pembilang ang dan penyebutnya, penyebutnya, kemu kemudi dian an “mencoret” 'akt 'akt#r #r yang yang sama sama,, lalu lalu substitusikan nilai nilai / a. atatan : 1. arena →a, maka (−a) → 0 se$ingga pembilang dan penyebut b#le$ dibagi dengan ( − a) 2. ilai limitnya limitnya ada dengan dengan syarat syarat : (a) (a) ≠ 0 3. &ika &ika pemb pembil ilang ang atau penyebu penyebutn tnya ya memu memuat at bentuk akar , maka maka sebelu sebelum m di'akt#rkan dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya. sekawannya. #nt#$ : x 2 − 5( + 6
1.
lim x 3
2.
lim x →0 3
3.
→
x
2
−*
= lim
x →3
(x − 3 )(x − 2 ) x − 2 3 − 2 1 = lim = = (x − 3 )(x + 3 ) x→3 x + 3 3 + 3 6
x 3 + x 2 − 5( x(x 2 + x − 5 ) x 2 + x − 5 0 2 + 0 − 5 5 = = lim = = x − 4( 2 + 2( x(x 2 − 4( + 2 ) x→0 x 2 − 4( + 2 02 − 4( 0 ) + 2 2
lim x 1
→
x 2 + 3 −
−
5( 1
x 2 − x
= lim
x→1
− x + 3 + 5( −1 (x + 3 ) − ( 5( −1 ) = = x − 1 x + 3 + 5( − 1 x→ (x − 1 )( x + 3 + 5( − 1)
x 2 + 3 − 2
5( 1
2
2
2
lim 1 2
2
x 2 − 5( + 4
lim x→1 2
)
(
(x −1 )(x − 4 )
= lim
) (
(
x→1
(x − 4 )
= lim
x→1
2 2 (x −1 ) x2 + 3 + 5( −1 (x − )(x 1 + )1 x + 3 + 5( − 1 (x + )1 x + 3 + 5( − 1
1
(
−4
( 1+1 )
2.
4+
4
)
−3
=
2( 2 + 2 )
)
=
=
−3
/!
3
¥ ¥
Limit Bentuk
imit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang an penyebut engan !ariabel pangkat tertinggi, kemuadian digunakan rumus : #nt#$ : 3
2
6( 2( 5(
2 5
+ + 6− + 2 6( − 2( + 5( x x 3 x 3 x x = 6 − 0 + 0 = 6 = 1 1. xli→m∞ 3 2 xli→m∞ 3 2 = xli→m∞ + 12 + 0 − 0 12 2 12 x + +( − ( 12 x +( ( 12 + − 2 − + x x x 3 x 3 x 3 3
2
3
3
2
6( +( 3(
−
2
6( + +( 3(
+
4
5(
4
4
3(
4
2
3 2
+ 4 5− 2 + 4 5( − 3( + 2 x x x x x = 5 − 0 + 0 = 5 = ∞ 3. xli→m∞ 3 2 = xli→m∞ 3 2 = xli→m∞ 2 4 + 0+0 − 0 0 2( + 4( − + 2( 4( + + 2− 4 + 4− 4 4 x x x x x x 4
2
−
2
−
6 + 3
+ 2− 3 x x x x x x = 0 + 0 − 0 = 0 = 0 2. xli→m∞ 4 3 2 = xli→m∞ 4 3 2 = xli→m∞ 1 4 2 − 0+ 0 2 2( − x + 4( 2( x 4( 2− + 2 − + x x x 4 x 4 x 4 3
4
4
esimpulan: n n −1 &ika f(x) = a0 x + a1 x + .....+ an −
g(x) = b0 x m + b1 x m 1 + .....+ bm
maka: 1. 2. 3.
f(x)
lim
x → ¥
lim
f(x)
x → ¥
lim
x → ¥
g(x)
g(x) f(x)
a0
=
= 0 untuk n m /
5.
4
2( + x lim x → ¥
6( x
5
10
lim x → ¥
x
− −
12
3.
x → ¥
+(
2
2( + 3(
+
5
2
+ 12 x + x
6
3
2( + (
+
6.
−
3
3( + 6( lim
atau !∞ untuk n m
g(x) 5
4.
untuk n / m
b0
2( + +(
4
4
−
2
− x
3
=
2 6
=0
/
=
1 3
(kesimpulan (1))
(kesimpulan (2)) (kesimpulan (3))
Limit Bentuk ( ! ) imit ini umumnya memuat bentuk akar:
lim x → ¥
a x
= 0.
ara "enyelesaian : 1. alikan dengan bentuk sekaannya 7 f(x) + g(x) f(x) − g(x) f(x) − g(x) x→∞ f(x) + g(x) = x→∞ f(x) + g(x) lim
lim
¥ ¥
2. Bentuknya beruba$ men%adi
3. 8elesaikan seperti pada (2.4.2) #nt#$: x 1. lim
2
+ 6( + 2
x → ∞
x + 6( + 2 − x 2
lim
x →∞
lim
(x 2 + 6( + 2 ) − (x 2 − 4( + 1 )
x →∞
x 2
−
2
2
x + 6( + 2 + x − 4( + 1
4( + 1
−
=
− 4( + 1
2
10 x − 1
= lim
x →∞
2
x 2 + 6( + 2 + x 2 x 2 + 6( + 2 + x 2
− 4( + 1 = − 4( + 1
=
2
x + 6( + 2 + x − 4( + 1
pangkat tertinggi pembilang 1, pangkat tertinggi penyebut 1,
x 2 = x
sebab
−1
10 x
∴ lim x →∞
2(
2
− x −
x
2
− 4( +1
10
=
1+ 1
=
2( − x + 2( − x + 2
2.
2(
lim x
→∞
lim
2
− x −
2
x + 3( =
x
( 2( 2 − x)(x 2 + 3( )
x →∞
2(
2
lim
2
− x + x + 3(
− x −
x 2 − 4(
= lim
x →∞
→∞
2(
2
2(
2
2
x + 3(
2
2
10 2
2
=5
= + 3(
x + 3( x
2
=∞
2
− x + x + 3(
pangkat tertinggi pembilang 2, pangkat tertinggi penyebut 1.
Secara umum: lim
x →∞
1)
ax # + bx + c
b−" 2
a
4. 5.
lim
x →∞ lim
4(
2
4(
2
4(
2
x →∞ lim
x →∞
px # + "x + r =
%ika a / p
2) ∞ %ika 3) !∞ %ika 3.
−
a p a p
− 3( + 1 − + +( −
−1 −
2( + 3
−
4( 3(
2
5(
2
2
− 5( − 2 = −
=
∞
+ 4(
−
+
=
+ x
− 3 − ( −5 )
−∞
2 4
=
2 4
=
1 2
4.
(1 ) ¥
Limit Bentuk
1 + →∞
lim
9e'inisi :
n
1 n
n
=
e =
2,
+13231 .....
bilangan asli
n
9ari de'inisi dapat dibuktikan te#rema berikut : x
− x
x
1 1 1 1. x→∞ 1+ = x→∞ 1+ = x→∞ 1 − = e x x x lim
lim
lim
1
x bilangan real
1
2. (1+ x) x = (1 − x) − x = e → → lim 0
lim 0
x
x
#nt#$ : x 4 1+ 4 = 1+ 1 = 1+ 1 →∞ x →∞ x →∞ x 4 4
4
x 4 1 1+ = →∞ x 4
x
1.
x
lim x
lim
lim
x
lim x
4
2(
lim
x
1
3.
=:
x
1 1 1 1+ 1 = 1+ 1 2 = 1+ 1 2 = e 2 →∞ 2( →∞ 2( →∞ 2( x
2.
lim
x
4
lim x 0
→
(1 − 3( ) x
lim
x
1 (1 − 3( ) − 3( →
= lim x 0
−3
1 = (1 − 3( ) − 3( → lim x 0
−3 =e
−3
