Apuntes Matemáticas III Fen UChile

Universidad Universidad de Chile Facult acultad de Econom´ ıa y Negocios Negocios

Apunte del Curso

Méto et odos Mate Ma tem´ m´ atic at icos os I I I

Autores:

Natalia Arancibia Christopher Araya Pablo Pab lo Guti´ Gu tiérre er rezz1 Hern´ an an Herrera Hécto ec torr Her H erre rera ra Mohit Karnani Vania Mart´ Ma rt´ınez ıne z Javiera Recabal Anibal Toro Pablo Troncoso Jos´ Jo sé Urib Ur ibee 1Editor Editor del apunte, apunte, por tanto tanto todos los errores son de mi responsabilidad, responsabilidad, si encuentras encuentras alguno favor mandar un correo a [email protected]

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Borrador al 30 de abril de 2014

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Borrador al 30 de abril de 2014

Índice general

Introducci´ on

1

Parte 1. T´ opicos en c´ alculo multivariado Cap´ıtulo 1. Repaso de c´ alculo univariado 1.1. Continuidad 1.2. Derivadas 1.3. Propiedades de la operatoria de derivadas 1.3.1. Derivadas Conocidas 1.3.2. Consideraciones b´ asicas para derivar 1.4. Crecimiento y decrecimiento 1.5. Optimizaci´ on 1.6. Ejercicios Resueltos 1.6.1. Ejercicio 1 Respuesta 1.6.2. Ejercicio 2 Respuesta 1.6.3. Ejercicio 3 Respuesta 1.6.4. Ejercicio 4 Respuesta 1.6.5. Ejercicio 5 Respuesta 1.7. Ejercicios Propuestos 1.7.0.1. Ejercicio 1 1.7.0.2. Ejercicio 2 1.7.0.3. Ejercicio 3 1.7.0.4. Ejercicio 4 1.7.0.5. Ejercicio 5 1.7.0.6. Ejercicio 6 1.7.0.7. Ejercicio 7 1.7.0.8. Ejercicio 8 1.7.0.9. Ejercicio 9

5 5 6 6 6 7 7 8 9 9 9 9 9 9 10 10 10 11 12 13 13 13 13 14 14 14 14 14 14 iii

Índice general

iv

1.7.0.10. Ejercicio 10

15

Cap´ıtulo 2. Introducci´ on al concepto de funciones en varias variables Ejemplos de Funciones de Varias Variables 2.1. Funciones de varias variables importantes 2.2. Dominio de una funci´ on de varias variables 2.3. Propiedades de las funciones de varias variables 2.4. Composici´ on de Funciones 2.5. Definici´ on de norma 2.6. Funciones en R 2 : Representación gráfica 2.7. Curvas de nivel 2.7.1. Isocuanta 2.7.2. Isocosto 2.8. Ejercicios Resueltos 2.8.1. Ejercicio 1 Respuesta 2.8.2. Ejercicio 2 Respuesta 2.8.3. Ejercicio 3 Respuesta 2.8.4. Ejercicio 4 Respuesta 2.8.5. Ejercicio 5 Respuesta 2.9. Ejercicios Propuestos 2.9.0.1. Ejercicio 1 2.9.0.2. Ejercicio 2 2.9.0.3. Ejercicio 3 2.9.0.4. Ejercicio 4 2.9.0.5. Ejercicio 5 2.9.0.6. Ejercicio 6 2.9.0.7. Ejercicio 7 2.9.0.8. Ejercicio 8 2.9.0.9. Ejercicio 9 2.9.0.10. Ejercicio 10

17 17 17 17 18 18 18 19 20 20 20 20 20 21 21 21 22 23 23 23 24 24 24 24 24 24 24 25 25 25 25 25 25

Cap´ıtulo 3. Derivadas multivariadas 3.1. Derivadas parciales 3.2. Derivadas parciales de segundo orden 3.3. Continuidad en n 3.3.1. Continuidad en un punto 3.4. Diferencial 3.5. Continuidad y diferenciabilidad 3.6. Gradiente 3.7. Derivada direccional 3.8. Regla de la Cadena 3.9. Teorema de la función Impl´ıcita 3.10. Teorema de Schwartz

27 27 29 30 31 33 34 34 35 37 38 39



Índice general

3.11. Ejercicios Resueltos 3.11.1. Ejercicio 1 Respuesta 3.11.2. Ejercicio 2 Respuesta 3.11.3. Ejercicio 3 Respuesta 3.11.4. Ejercicio 4 Respuesta 3.11.5. Ejercicio 5 Respuesta 3.12. Ejercicios propuestos 3.12.0.1. Ejercicio 1 3.12.0.2. Ejercicio 2 3.12.0.3. Ejercicio 3 3.12.0.4. Ejercicio 4 3.12.0.5. Ejercicio 5 3.12.0.6. Ejercicio 6 3.12.0.7. Ejercicio 7 3.12.0.8. Ejercicio 8 3.12.0.9. Ejercicio 9 3.12.0.10. Ejercicio 10 Cap´ıtulo 4. Concavidad y Convexidad 4.1. Concepto General 4.2. Caracterizaci´ on de la Concavidad y Convexidad 4.3. Recordando el concepto de Matriz Hessiana 4.4. Concavidad y Convexidad en funciones de varias variables 4.5. Ejercicios resueltos 4.5.1. Concavidad del Binomio Generalizado de Newton Respuesta 4.5.2. Convexidad Exponencial Respuesta 4.5.3. Convexidad Compuesta Respuesta 4.5.4. Demostraci´ on por Definición Respuesta 4.5.5. Rendimientos Decrecientes a Escala Respuesta 4.6. Ejercicios propuestos 4.6.0.1. Ejercicio 1 4.6.0.2. Ejercicio 2 4.6.0.3. Ejercicio 3 4.6.0.4. Ejercicio 4 4.6.0.5. Ejercicio 5 4.6.0.6. Ejercicio 6 4.6.0.7. Ejercicio 7 4.6.0.8. Ejercicio 8 4.6.0.9. Ejercicio 9 4.6.0.10. Ejercicio 10

v

39 39 40 40 40 41 41 43 43 43 43 44 44 44 44 44 45 45 45 45 45 45 47 47 48 48 49 49 49 50 50 50 50 50 50 51 51 51 51 51 51 51 51 52 52 52 52 52 52

vi

Índice general

Cap´ıtulo 5. Optimizaci´ on no restringida y restringida 5.1. Optimizaci´ on no restringida 5.2. Optimizaci´ on con restricciones 5.3. Condici´ on de segundo orden del problema restringido: 5.4. Condici´ on del hessiano orlado para que sea definido positivo o definido negativo 5.5. Generalizaci´ on a n variables y m restricciones 5.6. Teorema de la envolvente 5.6.1. Teorema de la envolvente cuando la optimización es no restringida: 5.6.2. Caso optimizaci´ on restringida 5.6.3. Identidad de Roy 5.7. Ejercicios Resueltos 5.7.1. Maximizaci´ on con Lagrangeano Respuesta 5.7.2. Distancia entre una recta y una elipse Respuesta 5.7.3. Maximizaci´ on sin Lagrangeano Respuesta 5.7.4. Coca-Loca Respuesta 5.7.5. Acciones Sin Incertidumbre Respuesta 5.8. Ejercicios Propuestos 5.8.0.1. Ejercicio 1 5.8.0.2. Ejercicio 2 5.8.0.3. Ejercicio 3 5.8.0.4. Ejercicio 4 5.8.0.5. Ejercicio 5 5.8.0.6. Ejercicio 6 5.8.0.7. Ejercicio 7 5.8.0.8. Ejercicio 8 5.8.0.9. Ejercicio 9 5.8.0.10. Ejercicio 10

53 53 55 56 56 57 58 59 59 60 60 60 61 62 62 62 62 63 63 64 64 65 65 66 66 66 66 66 66 66 67 67

Cap´ıtulo 6. Integrales Indefinidas 6.1. Primitiva de una funci´ on 6.2. Primitivas Conocidas 6.3. Propiedades de la Integral 6.4. M´ etodos de Resolución de Integrales 6.4.1. Integraci´ on por Partes 6.4.2. Cambio de Variable 6.4.3. Expresiones Racionales 6.4.3.1. Polinomio de grado 1 en el denominador 6.4.3.2. Polinomio de grado 2 en el denominador sin ra´ıces reales 6.4.3.3. Polinomio de grado 2 en el denominador sin ra´ıces reales y un polinomio de grado 1 en el numerador 6.4.3.4. Polinomio de grado 2 en el denominador con ra´ıces reales 6.5. Ejercicios Resueltos 6.5.1. Elena Nito Respuesta

69 69 70 71 71 71 71 72 72 72 72 73 73 73 73

Índice general

Respuesta Respuesta 6.5.2. INSERTARNOMBRECREATIVO Respuesta Respuesta 6.5.3. Integral por Tramos Respuesta 6.5.4. Partes por partes por partes por partes... Respuesta 6.5.5. Fracciones parciales con sustituci´ on Respuesta 6.6. Ejercicios Propuestos 6.6.0.1. Ejercicio 1 6.6.0.2. Ejercicio 2 6.6.0.3. Ejercicio 3 6.6.0.4. Ejercicio 4 6.6.0.5. Ejercicio 5 6.6.0.6. Ejercicio 6 6.6.0.7. Ejercicio 7 6.6.0.8. Ejercicio 8 6.6.0.9. Ejercicio 9 6.6.0.10. Ejercicio 10

vii

73 73 74 74 74 75 75 75 75 76 76 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 78

Cap´ıtulo 7. Integrales Definidas 7.1. Teorema fundamental del cálculo 7.2. Segundo teorema fundamental del c´ alculo o regla de Barrow 7.3. Ejercicios Resueltos 7.3.1. Integral por sustituci´ on trigonométrica Respuesta ´ 7.3.2. Area entre funciones Respuesta 7.3.3. Graficar e integrar Respuesta 7.3.4. Integrales e inc´ ognitas Respuesta 7.3.5. Valor del l´ımite Respuesta 7.4. Ejercicios Propuestoss

79 79 80 81 81 81 82 82 83 84 85 85 85 86 86

Cap´ıtulo 8. Integrales dobles 8.1. Propiedades 8.2. Teorema de Fubini 8.3. Integrales dobles sobre dominios más generales 8.4. Teorema de Fubini para integrales dobles iteradas (intercambio de orden de integración) 8.5. Ejercicios Resueltos 8.5.1. Integral doble dominio constante Respuesta 8.5.2. L´ımite triangular Respuesta 8.5.3. Ejercicio 3

87 87 87 88 89 90 90 90 91 91 92

viii

Respuesta 8.5.4. Ejercicio 4 Respuesta 8.5.5. Cambio orden de integración Respuesta 8.6. Ejercicios Propuestos

Índice general

93 93 93 94 94 95

´ Parte 2. T´ opicos en Algebra Lineal Cap´ıtulo 9. Introducci´ on a las matrices 9.1. Vector fila 9.2. Vector columna 9.3. Matrices cuadradas 9.4. Diagonal de una matriz 9.5. Traza de una matriz 9.6. Matriz Identidad 9.7. Traspuesta de una matriz 9.8. Matriz sim´ etrica 9.9. Matriz diagonal 9.10. Matriz triangular 9.11. Matriz inversa 9.12. Ejercicios Resueltos 9.12.1. Simde Respuesta: 9.12.2. Grandes empresas Respuesta: 9.12.3. Muebles Respuesta: 9.12.4. Matriz griega Respuesta: 9.12.5. Proposici´ on Respuesta: 9.13. Ejercicios Propuestos

99 100 100 101 101 101 102 102 103 103 104 104 104 104 105 105 105 105 106 107 107 107 107 108

Cap´ıtulo 10. Operaciones Matriciales 10.1. Adici´ on y sustracción 10.2. Multiplicaci´ on por un escalar 10.3. Producto interno 10.4. Multiplicaci´ on de Matrices 10.5. Potencia de Matrices 10.6. Invertibilidad de una matriz 10.7. Matrices y Operaciones elementales 10.8. Determinantes 10.8.1. Regla de Cramer 10.8.2. M´ etodo de los Cofactores 10.9. Ejercicios Resueltos 10.9.1. Ejercicio 1

111 111 112 112 113 114 114 114 115 117 117 117 117

Índice general

Respuesta 10.9.2. Ejercicio 2 Respuesta 10.9.3. Ejercicio 3 Respuesta 10.9.4. Ejercicio 4 Respuesta 10.9.5. Ejercicio 5 Respuesta 10.10. Ejercicios Propuestos 10.10.1. Propuesto 1 10.10.2. Propuesto 2 10.10.3. Propuesto 3 10.10.4. Propuesto 4 10.10.5. Propuesto 5 10.10.6. Propuesto 6 10.10.7. Propuesto 7 10.10.8. Propuesto 8 10.10.9. Propuesto 9 10.10.10. Propuesto 10

ix

118 118 118 119 119 120 120 121 121 122 122 122 122 122 122 123 123 123 123 123

Cap´ıtulo 11. Sistemas de Ecuaciones Lineales 11.1. Clasificaci´ on de Sistemas de Ecuaciones 11.2. Sistemas homogeneos 11.3. Sistemas homogeneos 11.4. Ejercicios Resueltos 11.4.1. Ejercicio 1 11.4.2. Ejercicio 2 11.4.3. Ejercicio 3 11.4.4. Ejercicio 4 11.4.5. Ejercicio 5 11.5. Ejercicios Propuestos 11.5.1. Propuesto 1 11.5.2. Propuesto 2 11.5.3. Propuesto 3 11.5.4. Propuesto 4 11.5.5. Propuesto 5 11.5.6. Propuesto 6 11.5.7. Propuesto 7 11.5.8. Propuesto 8 11.5.9. Propuesto 9 11.5.10. Propuesto 10

125 126 126 127 129 129 130 131 132 132 133 133 133 133 133 133 134 134 134 134 135

Cap´ıtulo 12. Valores y Vectores Propios 12.1. Definici´ on 12.2. Concepto de independencia lineal 12.3. Caracterizaci´ on de los conjuntos linealmente dependientes 12.4. Diagonalizaci´ on 12.4.1. Semejanza de matrices 12.4.2. Diagonalizaci´ on

137 137 141 142 142 142 143

Índice general

x

12.5. Ejercicios Resueltos 12.5.1. Ejercicio 1 Respuesta 12.5.2. Ejercicio 2 Respuesta 12.5.3. Ejercicio 3 Respuesta 12.5.4. Ejercicio 4 Respuesta 12.5.5. Ejercicio 5 Respuesta 12.6. Ejercicios Propuestos 12.6.1. Propuesto 1 12.6.2. Propuesto 2 12.6.3. Propuesto 3 12.6.4. Propuesto 4 12.6.5. Propuesto 5 12.6.6. Propuesto 6 12.6.7. Propuesto 7 12.6.8. Propuesto 8 12.6.9. Propuesto 9 12.6.10. Propuesto 10 Cap´ıtulo 13. Aplicaci´ on: M´ınimos Cuadrados Ordinarios 13.1. Definiciones previas 13.1.1. Producto interno 13.1.2. Normal de un vector 13.1.3. Distancia entre dos vectores 13.1.4. Ortogonalidad entre vectores 13.2. Problema de m´ınimos cuadrados 13.3. Modelos lineales 13.4. M´ınimos cuadrados desde el punto de vista de la optimización numérica 13.4.1. Derivadas de matrices

144 144 144 144 145 146 146 147 147 148 148 149 149 149 149 149 149 149 150 150 150 150 151 151 151 152 152 152 152 153 154 155

Introducci´ on

La idea de este apunte es apoyar el estudio del cálculo univariado y multivariado que deben realizar los alumnos de ingenier´ıa comercial, de ingenier´ıa en información y control de gestión y contabilidad de la Facultad de Econom´ıa y Negocios de la Universidad de Chile. Nunca un alumno habr´ a pasado por esta escuela sin conocer todos los tópicos de este apunte. En este documento se ha priorizado la aplicación y conocimiento de la materia sobre la rigurosidad matemática de las demostraciones, esto en l´ınea con el nuevo plan curricular de la escuela, el cual está en concordancias con los mejores programas de Econom´ıa y Negocios a nivel mundial. Para los estudiantes, se les recomienda tomar este apunte como un apoyo a las clases y nunca como un reemplazo absoluto de la cátedra, pues el aprendizaje realizado en el aula es único e irremplazable. En la primera parte de este apunte se revisaran los principales temas respcto al cálculo con funciones en diferentes conjuntos. Para esto, en el primer Cap´ıtulo se hace un repaso del cálculo univariado. Donde se explican temas como continuidad y todo lo relacionado con el concepto de derivada. En el Cap´ıtulo 2 se introducirá el concepto de funciones con más de una variable. En su parte, el Cap´ıtulo 3 trata del tópico de derivada en espacios multivariados. Introduciendo los conceptos de derivada parcial y total. El Cap´ıtulo 4 se concentra en los temas de concavidad y convexidad, principalmente de funciones de n variables. El Cap´ıtulo 5 trata del tópico de optimización. Tanto en situaciones con y sin restricciones. En el Cap´ıtulo 6, se revisan las integrales indefinidas. Profundizando t´ opicos como primitivas, integración por partes y expresiones racionales. Finalmente, el Cap´ıtulo 7 revisa las integrales definidas. La segunda parte de este apunte muestra las herramientas más u ´ tiles del álgebra lineal que se necesitan en pregrado para estad´ıstica, econometr´ıa, optimización e investigación de operaciones. El cap´ıtulo 9 es una introducci´ on básica a las matrices. El cap´ıtulo 10 muestra la operatoria matricial de manera sencilla. El cap´ıtulo 11 es una introducción a sistemas de ecuaciones El cap´ıtulo 12 define valores y vectores propios para aplicarlos en diagonalización Finalmente el cap´ıtulo 13 aplica los conocimientos de cálculo en varias variables y de álgebra lineal a M´ınimos Cuadrados Ordinarios que es la herramienta más utilizada por los economistas (actualmente). 1

2

Introducción

Cada cap´ıtulo además de la materia presenta ejercicios resueltos as´ı como al final de cada cap´ıtulo se presenta una lista de ejercicios que el estudiante podrá realizar para poner a prueba los conocimientos adquiridos. La bibliograf´ıa b´ asica sugerida para complementar este apunte es el Cálculo 2 de Larson para ´ la parte de cálculo en varias variables y Algebra Lineal de Lay para los tópicos de álgebra lineal. Si quieren profundizar se recomienda el Apostol de Cálculo 2, que es un libro bien teórico, as´ı como el Alpha Chiang que es un libro aplicado a la econom´ıa. Esperando que disfruten este curso, as´ı como que estudien y que aprendan mucho, se despide el equipo de Métodos Matemáticos III.

Parte 1

T´ opic opicos os en c´ alcu alculo lo multivariado

Cap Ca p´ıtul tu lo 1

Repaso Repa so de c´ alculo alculo univariado univ ariado

1.1. 1.1.

Cont Contin inui uida dad d

Una función on continua es aquella para la cual, para puntos cercanos del dominio (para Xs cercanos) se producen producen peque˜ nas variaciones en los valores de la función nas on (da como resultados f(Xs)cercanos). Por su parte, si la función on no es continua, se dice que es discontinua. Una función continua de R en R es aquella cuya gráfica afica puede dibujarse sin levant levantar ar el lápiz apiz del papel. La definición on anterior, es un definición on medianamente informal, solo es relevante para la comprensión on de la misma. Definici´ on on 1.1. Continuidad de una función on Una definicion más as rigurosa es la que se presenta a continuación. Una función on es continua en x en x 0 (un punto) s´ı y sólo olo si: ε > 0 δ > 0 : x R, x x0 < δ f ( f (x) f ( f (x0 ) < ε

∀

∃

∀ ∈ | − |

⇒ ⇒ |

−

|

Un ejemplo de una función on que no es continua en ++ es el caso de f ( f (x) = 1x , en donde la discontinuidad viene dada porque en el dominio los valores pares de x hacen que la función tome valor 1 y en los impares la función on tome valores de -1. Como ejercicio propuesto queda al lector verificar la continuidad de la funci´ on f on f ((x) = 1/x. /x. Primero en y luego en ++





−



Un concepto relacionado con el tema de continuidad es el de derivada de que presenta a continuación. 5

6

1. Repaso de c´ alculo univariado

1.2.

Derivadas

La derivada de una función es una medida de la magnitud con la que cambia el valor de dicha función, seg´ un cambio en el valor de su variable independiente. Es decir, cómo var´ıa f (x) ante pequeñas perturbaciones de x. La derivada es un concepto local, es decir, se calcula la variación de la función en un cierto intervalo, haciendo que el intervalo considerado se haga cada vez más peque˜ no. Por esto, se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado. Definici´ on 1.2. Derivada de una función Sea f : R R una función continua, se define su derivada en el punto x 0 como: df f (x0 + h) f (x0 )  ım x=x0 = f (x0 ) = l´ h→0 dx h

→

−

|

La derivada (valor) de una función en un punto puede interpretarse geométricamente. Esto debido a que corresponde a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. Ejemplo 1.1. Sea f (x) = x 2 . Obtener la derivada de f (x) en x 0 = 5. Respuesta: (5 + h)2 l´ım h→0 h

− 52 = l´ım 25 + 10h + h2 − 25

h 10h + h h h2 = l´ım = 10 l´ım + l´ım h→0 h→0 h h→0 h h = 10 + l´ım h = 10 h 0 2

→

h

1.3.

→0

Propiedades de la operatoria de derivadas

Propiedades Sea f (x) y g(x) dos funciones derivables: 1. Suma:



(f (x) + g(x)) = f  (x) + g  (x) 2. Multiplicaci´ on: (f (x)g(x)) = f  (x)g(x) + f (x)g  (x) 3. Divisi´ on: Sea g(x) = 0



4. Regla de la cadena:

  f (x) g(x)



f  (x)g(x) f (x)g  (x) = g2 (x)

−

(f (g(x))) = f  (g(x))g  (x)

1.3.1.

Derivadas Conocidas. Derivadas Conocidas:

7

1.4. Crecimiento y decrecimiento

f (x) xn sen(x) ex ex ln(x)

1.3.2.

f  (x) nxn−1 cos(x) ex ex 1 x

Consideraciones b´ asicas para derivar.

1. Sea una derivada del tipo af (x) dónde a es una constante, se tiene que la derivada de la misma es af  (x) pues al aplicar la regla de la multiplicación se cancela el segundo término pues a = 0. Por tanto, lo primero que uno debe hacer es distinguir la constante de las variables. 2. A veces resulta más sencillo tratar la derivada de una división como la derivada de una multiplicación 3. Lo primero que uno debe hacer es ordenarse con la derivada y no confundir derivadas de una multiplicación o divisi´ on con regla de la cadena.

1.4.

Crecimiento y decrecimiento

1. Se dice que una función f : R

→ R es creciente en todo su dominio si se tiene que: ∀x1, x2 ∈ R | x1 > x2 ⇒ f (x1) > f (x2) 2. se dice que una función f : R → R es decreciente en todo su dominio si se tiene que: ∀x1, x2 ∈ R | x1 > x2 ⇒ f (x1) < f (x2) Teorema 1.1. Funciones crecientes y decrecientes Si f (x) es derivable en todo su dominio, entonces:

⇔ ∀x ∈ Df (x) > 0 ⇔ ∀x ∈ Df  (x) < 0

1. f (x) es una funci´ on creciente 2. f (x) es una funci´ on decreciente

Definici´ on 1.3. M´ aximo global de una función Sea f (x) : D R una función. Sea x 0 D. Si se cumple que f (x0 ) m´ aximo global para la función.

≥ f (x) ∀x ∈ D. Entonces f (x0) es un

Definici´ on 1.4. M´ınimo global de una función Sea f (x) : D R una función. Sea x 0 D. Si se cumple que f (x0 ) m´ınimo global para la función.

≤ f (x) ∀x ∈ D. Entonces f (x0) es un

→ →

∈ ∈

Definici´ on 1.5. Punto extremo Sea f (x) una función derivable, x ∗ es un punto extremo de f (x) si se cumple que: df (x) x=x∗ = 0 dx

|

8


Definici´ on 1.6. Concavidad y Convexidad

→ R dos veces derivable, entonces será concava si: f  (x) ≤ 0 2. sea una función f (x) : D → R dos veces derivable, entonces será convexa si: f  (x) ≥ 0 1. sea una función f (x) : D

1.5.

Optimizaci´ on

Teorema 1.2. Existencia de m´ınimos y m´ aximos en funciones dos veces derivables 1. Si x ∗ es un punto extremo y la funci´ on es concava en f (x∗ ), entonces en x ∗ se produce un m´ aximo local en la funci´ on. 2. Si x ∗ es un punto extremo y la funci´ on es convexa en f (x∗ ), entonces en x ∗ se produce un m´ınimo local en la funci´ on. Insertar gr´ afico con la intuici´ on del resultado Ejemplo 1.2. Sea la siguiente función de demanda P = 100 Q, y la empresa posee la siguiente función de costos C = Q 2 . Suponiendo que esta empresa actúa como monopolio. Encuentre el precio y la cantidad que maximizan los beneficios de la empresa y muestre que efectivamente la cantidad encontrada maximiza el precio. Respuesta: Sea la utilidad igual a: π = I T CT Adem´ as el ingreso total está dado por:

−

−

IT = pq = (100

− Q) Q = 100Q − Q2 CT = Q2 π = 100Q Q2 Q2 π = 100Q 2Q2

− − −

Ahora encontramos el o los posibles puntos extremos, para eso, debemos encontrar los puntos que hacen que la primera derivada de la utilidad (π) sea igual a cero. Por tanto, se tiene que: dπ =0 dQ

 ⇒



d 100Q 2Q2 =0 dQ 100 4Q = 0 Q∗ = 25

−

−

Por tanto en Q ∗ = 25 hay un punto extremo. Para encontrar el precio, se debe reemplzar Q ∗ en la demanda, lo que entrega P ∗ = 75. Finalmente queda por verificar si la cantidad y el precio encontrados anteriormente maximizan la utilidad, para que eso ocurra, la función debe ser cóncava en el punto extremo, es decir: π = 100Q Q2 d2 π = 4 < 0 dQ2 Como la función es cóncava Q, se tiene que en Q = 25 y en P = 75 se maximiza el beneficio de la empresa.

−

−

∀

9

1.6. Ejercicios Resueltos

1.6.

Ejercicios Resueltos

1.6.1. Ejercicio 1. Hallar la derivada de la función f (x) = ci´ on de derivada.

Respuesta. f (a) = f (3) =

f (a + h) = f (3 + h) = f (a + h)

2 3+h+1

2 3+1

=

=

2 4

2 x+1 en

el punto x = 3, aplicando la defini-

1 2

=

2 4+h

−h 2 − f (a) = f (3 + h) − f (3) = 4+h − 21 = 2(4+h)

la definici´ on de derivada queda expresado de la siguiente manera:

f (a + h) − f (a) f  (a) = l´ım h→0 h

1.6.2.

h 2(4+h)

−

⇒ f (3) = hl´ı→m0

= l´ım

h

h

−h

→0 2h(4 + h)

= l´ım

−1

→0 2(4 + h)

h

=

−1 8

Ejercicio 2. Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

1-



√

∂F ln( arcsin x3 ) ∂y

2∂F



  sin(x) (x 1)

−

∂x

Respuesta. 1-

  

∂F ln(

2∂F

sin(x) (x 1)

−

∂x

1.6.3. cadena: 1-

arcsin x3 )

∂y

=

=0

∗ − 1) − sin(x) − 1)2

cos(x) (x (x

Ejercicio 3. Calcule las derivadas totales de las siguientes funciones, considerando regla de la

F (z) = exp 2-



√

2z

 ∗

ln(5z) z + 1 2

F (x) = (1 + expsin(x ) )3

10


3F (y) =

Respuesta. 1-

∂F = 2exp2z ∂z 2-



y2 + 1

− ln(



ln(5z) + exp2z z + 1

∗

1+



y2 + 1 ) xy

1



2

∗( ln(5z)

z+1 z

− ln(5z) )

(z + 1) 2

z+1

2 2 ∂F = 3(1 + expsin(x ) )2 expsin(x ) cos(x2 ) 2x ∂x

∗

3∂F = ∂y

x

1

√ x2 + 1 − 1+√ x +1 ∗ ( 2

∗

∗

√ x2 + 1)y √ xx∗2xy − (1 + +1 (xy)2

xy

)

1.6.4. Ejercicio 4. La compa˜ n´ıa ”Patito” está evaluando sus procesos de producción por lo que conoce su función de produccto total pero no sabe cual es lo optimo de producción para ellos. Además, para calculos mas simples, necesitan información sobre lo optimo del producto medio y marginal. por lo tanto evaluelos en el siguiente orden. a)Producto Total(PT) b)Producto Medio(PME) c)Producto Marginal(PMA) P T = 90K 2

− K 3

Por u ´ ltimo aseg´ urese de saber que los óptimos son la cantidad m´ınima o la máxima.

Respuesta. a) Para ver el producto total,calculamos la condici´ on de primer orden (CPO) para encontrar

los valores cr´ıticos

− 3K 2 = 3K (60 − K ) = 0

P T  = 180K

donde K=0 y K=60 son valores cr´ıticos. Luego hay que probar la condición de segundo orden (CSO) para corroborar si son m´ınimos relativos o m´ aximos relativos: P T  = 180 Reemplazando:

− 6K

P T  (0) = 180 > 0 En este caso es un m´ınimo relativo p or lo que en ese punto hace convexa la función.

11

1.6. Ejercicios Resueltos

P T  (60) = 180 < 0 En este caso es un máximo relativo por lo que en ese punto hace cóncava la función.

−

b) P M E = PT /K P ME = 90K K 2 P ME  = 90 2K = 0

−

−

k=45 (valor critico),luego: P ME  = 2 < 0 Por lo tanto es un máximo relativo y es cóncavo en ese punto.

−

c)

P MA = P T  = 180K 3K 2 P MA = 180 6K = 0 K = 30

−

−

CSO: P MA =

−6 < 0; Es un máximo y en ese punto la función es cóncava.

1.6.5. Ejercicio 5. Los costes de fabricación C(x) de cierta variedad de galletas dependen de la cantidad elaborada (x en kg) de acuerdo con la siguiente expresión: C (x) = 10 + 170x El fabricante estima que el precio de venta de cada kg.de galletas viene dado por: P (x) = 200

−

25x2 100

En pesos chilenos. 1-¿ El precio de venta disminuye con la cantidad? 2-Suponiendo que vende todo lo que fabrica, obtén la función que recoja todas sus ganancias. 3-¿ Qué cantidad de galletas le interesa producir para maximizar las ganancias? 4-En la situación óptima ¿ Cual es el precio de venta? ¿ Que ganancia se obtiene?

12


Respuesta. Para comprobar como se comporta el crecimiento de la función ”precio de venta¸con respecto

a la cantidad de kg.estudiamos dicho crecimiento: 2

P (x) = 200

P  (x) =

− 25x 100 −x 2

y el punto óptimo seria x = 0 Por lo tanto como el dominio de la función es para x tamente decreciente en todo su dominio.

≥ 0 podemos determinar que la función es estric-

2Ganancias o utilidad: G(x) Ingresos: I (x) = x P (x) Gastos o costes: C(x)

∗

∗

G(x) = x P (x)

− C (x)

2

G(x) = x (200

∗

− 25x ) − (10 + 170x) 100 3

G(x) = 30x

− 25x − 10 100

3- Para que G(x) alcance un máximo, implica que G  (x) = 0 G (x) = 30

2

− 75x 100

=0

al despejar x nos queda: x2 = 40

x =

x1 = x1 =

√

40 =

±6, 324

√ 40 ¿Máximo o m´ınimo? −√ 40 ¿Máximo o m´ınimo?

Estudiamos la segunda derivada: G (x) =

−75 ∗ 2x 100

13

1.7. Ejercicios Propuestos

2∗6,324 G (6, 324) = −75∗100 < 0 M´ aximo − 75∗2∗−6,324  G ( 6, 324) = > 0 M´ınimo 100

−

Como las cantidades no pueden ser negativas entonces la ganacia max. se alcanzará cuando se produzcan 6,32 kg.de galletas. 4-

2

P (x) = 200

√

P ( 40) = 200

−

− 25x 100 √

2

25 40 = 190 100

Su ganancia correspondiente será:

√

G(x) = 30 40

−

√

3

25 40 100

− 10 = 116, 49

a un precio de venta de 190 pesos por kg. la ganancia es de 116,49 pesos

1.7.

Ejercicios Propuestos

1.7.0.1.

Ejercicio 1. Derive la siguiente funci´ on: 1

f (x) = (1 + x) x

1.7.0.2.

Ejercicio 2. Dada la siguiente funci´ on:

f (x, y) =



x 1+21/x

si x = 0 0 si x = 0

¿ Es continua en X=0?

1.7.0.3.

Ejercicio 3. Seg´ un la siguiente función 1

y = (3x) x 5x Derive mediante regla de la cadena.



14


1.7.0.4.

Ejercicio 4. Si (f+g) es derivable, demuestre

(f + g) = f  + g 

1.7.0.5.

Ejercicio 5. Si f*g es derivable, demuestre

(f g) = f  g + f g 

1.7.0.6.

Ejercicio 6. Si f es derivable en a y g es derivable en f(a), entonces f o g es derivable en a,

demuestre Si f es derivable en a y g es derivable en f(a), entonces f o g es derivable en a, (f og) (a) = g  [f (a)] f  (x)

∗

1.7.0.7.

Ejercicio 7. Un fabricante de productos qu´ımicos advierte que el costo por semana de producir

√

x toneladas de cierto fertilizante está dado por c(x) = 2000 x3 + 40x pesos y el ingreso obtenido por la 2 20x √

venta de x toneladas está dado por R(x) = 65x . la compa˜ n´ıa actualmente produce 3100 toneladas por semana, pero esta considerando incrementar o disminuir la producción ya que no están seguros de si su utilidad será positiva. Como estudiante de la FEN, le solicitan que evalu´ e la situaci´ on y cual es la utilidad optima. Luego explique lo que ocurre si se produce una unidad menos de la optima ( cual es su variación)

1.7.0.8.

Ejercicio 8. Derive la siguiente funci´ on: 2 +3x √ xln(3x) −5x + 5x x2x √ (1/x)+1 +2

ln(

F (x) =

(x2

+ 1)3

√

+ ln(ln(ln(ln( 4x))))

− (1 + 1x)1/x

⊂ RN → R,  un abierto. Supongamos que x 0 es un m´ınimo local de f y que f es diferenciable en x 0 . Entonces ∇f (x0 ) = 0. Lo mismo se tiene si x 0 es un máximo local. 1.7.0.9.

Ejercicio 9. Sea f : 

Demuestre esta proposición.

1.7. Ejercicios Propuestos

1.7.0.10.

15

Ejercicio 10. Si se tiene una función costo estrictamente creciente, positiva y convexa y una

funci´ on ingreso cóncava hacia abajo, entonces el ingreso marginal y el costo marginal son iguales en un punto x; en este punto el beneficio total será m´ aximo. Demuestre esta proposición.

Apuntes Matemáticas III Fen UChile

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