Apunte UChile - Mecánica (Cordero)

´ MECANICA Patric ricio Cordero S.

&

Rodrig rigo Soto B.

Departamento Depar tamento de F´ısica ısica ´ Facultad de Ciencias F´ısicas ısicas y Matem M atematicas

Universidad de Chile ´ 23 de septiembre de 2005 version

2

Índice Indice general 1. Movimiento y Coordenadas

7

1.1. Posici´ osicio´ n y movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Coordenadas y movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1. Coordenadas carte rtesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2. Coorde rdenadas cil´ındric ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.3. 1.2.3. Coordenada Coordenadas s esf esfe´ ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3. Velocidad angular

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4. Rapidez, Rapidez, aceler aceleraci acio´ n cent centrr´ıpet ı peta a y tan tange genc ncia iall . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.1. Velocidad y rapidez

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.2. Coorde rdenadas intr´ınseca secas s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

´ cent 1.4.3. 1.4.3. Aceleraci Aceleración centrr´ıpet ı peta a y tan ang gen enci cial al . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.5. Movimientos parti rticulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.5.1. Movimiento uniforme rme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

´ constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. 1.5.2. Movimien Movimiento to con aceler aceleraci acion

21

1.5.3. Movimiento cir circun cunferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.5.4. Disco rodando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.6. Problemas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Din Dina´ mica

23

25

2.1. .1. Mo Mome ment ntu um line linea al, fue fuerza rza y leyes de Ne Newt wton on . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1.1. Ejemplos de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.1. 2.1.2. 2. Ejem Ejempl plo o de de arg argol olla la en un una a vara vara ho horiz rizon onta tall que que gira gira . . . . . . . . . .

28

2.2. Muchas part´ rt´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3. Momento Angular y Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3.1. Ecuaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3

4

S. & R. Soto B. 2.3 2.3.2. .2. El cen centro tro de masa asaP.yCordero el mo mome ment nto o an angu gula larr

´. de versi . . . . . . . versi´ . on . 23. de.septiembre . . . de 2005 36

2.4. 2.4. Sist Sistem emas as de do dos s pa part rt´´ıcul ı culas as:: ma masa sa redu reduci cida da . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.5. Fuerzas centrales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.5.1. La idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.5.2. Corolario rio: una ley de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.6. Problemas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Fuerzas espec´ıficas y movimiento

40

43

3.1. Ley de Grav Gravitaci itació´ n Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.1.1. La ley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.1.2. 3.1.2. Aceleraci Aceleració´ n de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.2.. Fuerza 3.2 Fuerza el´ ela´ stica ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.2.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.2.2. Caso unidimensional sencillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

´ 3.3.. Fuerza 3.3 Fuerza de de roce roce est´ estatico y dina´ mico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.3.1. 3.3 .1. Roce Roce est´ esta´ tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.3.2. 3.3 .2. Roce Roce din´ dina´ mico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.4. Roce viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.4.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.4.2. Roce viscoso lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.4.3. 3.4.3. Roce viscoso viscoso cuadr cuadrá´ tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.5. Problemas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Trabajo y energ´ıa

58

61

4.1. Trabajo y energ´ıa ıa cine´ tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

4.2. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

4.3. La energ´ıa ıa cine´ tica de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.4. 4.4. Fuer Fuerza zas s cons conserv ervat ativ ivas as y en ener erg g´ıa ı a po pote tenc ncia iall . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.4.1. Energ´ıa ıa meca´ nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

´ 4.4.2. Energ´ıa ıa mecanica de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

´ 4.5. Energ´ıa ıa mec´ mecanica total no conservada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

4.6. .6. Fue Fuerza rzas cent centrrales ales y ene nerg rg´´ıa ı a po potten enci cial al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

4.6. 4.6.1. 1. Ener Energ g´ıa ı a po pote tenc ncia iall de fuer fuerza zas s cent centra rale les s. . . . . . . . . . . . . . . . .

69

´ univer 4.6.2. La energ´ıa ıa potencial asociada a la fuerza de gravitacion universal sal .

70

ÍNDICE GENERAL

´ Facultad de Ciencias Cienci as F´ısicas ısicas y Matem aticas

´ Mecanica ´ ico 4.6.3. La energ´ıa ıa potencial del oscilador armon onic o trid tridim imen ensi sion onal al . . . . . 4.7. Problemas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Equilibrio y oscilaciones

5 71 71

73

5.1. Energ´ıa potencial y equilibrio rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

5.1.1. Punto de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

5.1. 5.1.2. 2. An´ Ana´ lisis unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

´ avanzad 5.1.3. 5.1 .3. Discus Discusiion avanzada: a: Tiempos Tiempos de frenad frenado o en puntos puntos de retorno retorno . . .

77

˜ s osci 5.2.. Pequ 5.2 eque ena nas oscila laci cion ones es en torno torno a un pu punt nto o de eq equi uililibr brio io.. . . . . . . . . . .

79

5.2.1. Oscilaciones 1D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

5.2.2. Ejemplo de energ´ energ´ıa ıa y pequen˜ as oscilaciones . . . . . . . . . . . . .

81

5.2.3. 5.2 .3. Otra Otra vez vez el pe´ ndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

5.2.4. 5.2.4. Equilibrio Equilibrio y peque pequeñ˜ as osci scilaci lacion ones es en 2D y 3D . . . . . . . . . . . .

83

5.3. Oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

5.3.1. 5.3 .1. La ecuaci ecuació´ n del oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

´ 5.3.2. 5.3 .2. Soluci Solución, resonancia y batido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

5.3.3. 5.3.3. Ejemplos Ejemplos en en la pra´ ctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

5.3.4. Un ejemplo sencillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

5.4. Oscilador amorti rtiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

5.5. Oscil cilador forzad zado y amorti rtiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

5.6. Problemas

92

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Fuerzas centrales y planetas

95

6.1. Barrera centr´ıfuga ıfuga y potencial efectivo U

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

6.1.1. 6.1 .1. La noci nocio´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

6.1.2. Ejemplo sencillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

6.1.3. Orbitas circunferenciales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

6.1.4. 6.1 .4. Ecuaci Ecuació´ n de Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

6.2. Planetas y todo eso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

´ de la orbita ´ 6.2.1. 6.2 .1. La ecuaci ecuación y su integral . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

6.2. 6.2.2. 2. Co´ n i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

6.2.3. El caso planetario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

6.2.4. La tercera ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

6.3. Problemas Universidad de Chile

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

Escuela de Ingenier´ıa y Ciencias

7. Movimiento relativo

107

7.1.. Cinem 7.1 Cinema´ tica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

7.1 7.1.1. .1. Fuer Fuerza zas s ine nerc rciiales ales y no ine nerc rciiales ales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

7.1.2. 7.1.2. Sistemas Sistemas de referenc referencia ia y su relaci´ relacio´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

7.1.3. 7.1 .3. Deriva Derivadas das tem tempor porale ales s en distin distintos tos sistem sistemas as de ref refere erenci ncia a . . . . . .

109

´ en un sistema no inercial . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Velocidad elocidad y aceleraci aceleración

110

´ de mo 7.3.. La ecuaci 7.3 ecuación movi vimi mien ento to en un sist sistem ema a no iner inerci cial al . . . . . . . . . . . .

111

7.4. Nave espacial que rota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

7.5. Efectos Efectos de la rotaci rotacio´ n de la Tierra

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

7.5.1. Cuestiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

7.6. Problemas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Sistemas extendidos

117

121

8.1. Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

8.1.1. Centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

8.1. 8.1.2. 2. Posic osicio ione nes s con con resp respec ecto to al cent centro ro de ma masa sa . . . . . . . . . . . . . .

121

8.1.3. Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

8.2. Sistemas r´ıgidos con punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

8.2 8.2.1. .1. Mo Mome men nto an angu gullar y matri atriz z de ine nerc rciia . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

8.2. 8.2.2. 2. Ejes Ejes ap apro ropi piad ados os pa para ra la ma matr triz iz de iner inerci cia a . . . . . . . . . . . . . . .

125

´ 8.2.3. 8.2 .3. Ejempl Ejemplo: o: p´ pendulo co´ nico doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

8.2 8.2.4. .4. Prop Propie ieda dad des de la ma matr triz iz de ine nerc rciia . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

8.3. L´ımite al caso continuo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129

´ 8.3.1. 8.3 .1. Ejempl Ejemplo: o: P´ Pendulo de N ma masa sas s y su l´ımit ı mite ea all con conti tinu nuo o. . . . . . . . .

129

8.3 8.3.2. .2. De Den nsida sidade des s de ma masa sa y el cen centro tro de masa asa . . . . . . . . . . . . . . .

131

8.3.3. Matriz de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

´ 8.3.4. 8.3 .4. Ejempl Ejemplo: o: p endulo circular que oscila en torno a un punto en su per´ımetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

8.3. 8.3.5. 5. Disc Disco o qu que e rota rota en c´ırcu ı rculo los s sobr sobre e un plan plano o . . . . . . . . . . . . . . .

135

8.3.6. 8.3.6. Trompo en movim movimiento iento c´ co´ nico

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137

8.4. Problemas

6

Cap´ıtu ıtulo 1 Movimiento y Coordenadas ´ y movimiento 1.1. 1.1. Posic osiciion

os primeros movimientos que fueron descritos por medio

de ecuaciones ecuacio nes en el marco de lo que entendemos entende mos por f´ısica ısica posiblemente posiblemen te fueron fuero n los que se refieren al movimientos de cuerpos en el cielo: el movimiento del Sol y la luna, el movimiento de las estrellas y—en un momento culminante—el movimiento de los planetas ´ que nos dieron Copernico, Galileo, Kepler Kepler y Newton en tres etapas de la historia. Tolomeo (siglo II) describe con mucho inge-

Todas estas primeras descripciones ciones cuantitat cuantitativas ivas de movimovimiento se hicieron como si los cuerpos cuerpos fue fuesen sen simple simples s pun pun-tos en movimiento ya que, en efecto, de este modo lo esencial queda descrito por el movimiento del centro del cuerpo. Normalemente, el movimiento descrito abarca una trayectoria trayectoria ´ grande much´ısimas ısi mas veces vece s m as ˜ del cuerpo en que el tamano ´ cuestion.

nio el movimiento de los planetas colocan´ do a la Tierra al centro. centro. Copernico (contem´ ´ expone en 1512 que el poreneo de Colon)

.

´ Sol esta´ al centro y los planetas tienen orbitas perfectamente circunferenciales alrede´ Kepler dor del Sol. Casi un siglo despu es ´ descubre que las orbitas de los planetas son realmente el´ıpticas. ıpticas. Su “Nueva Astronom´ıa” ıa” es publicada en 1607. Cuando en 1632 Ga´ lileo publico´ su libro “Dialogos sobre los dos sistemas del mundo” (el de Tolomeo y el de ´ Copernico), fue acusado y enjuiciado por la ´ Inquisicion.

´ ´ chico que el di ametro ´ Por ejemplo, ejemplo, el diametro de la Tierra es cien mil veces m as de su ´ orbita alrededor del Sol. Otro de los muchos aportes de Galileo fue describir que el movimiento de cuerpos en caida libre libr e y el movimiento de d e proyectiles en lanzamiento la nzamiento bal´ıstico ıstico depende de pende de la llamada lla mada m ´ ´ de gravedad , g. Al nivel del mar g 9 8 [ s2 ]. aceleraci on 7

8

P. Cordero S. & R. Soto B.

´ de 23 de septiembre de 2005 versi´ version

´ CANICA ´ en una buena parte del estudio de M ECANICA E Aceptemos, entonces, que la atenci on estara´ dirigida a describir puntos en puntos en movimiento. ˜ D, le comenta a su ˜ insecto El pasajero pa sajero de un veh´ıculo, ıculo, se nor s u vecino T que aquel pequeno sobre el otro asiento est a´ totalmente quieto. Lo cual quiere decir que el insecto est a´ quieto con respecto resp ecto al veh´ıculo, ıculo, pero este es te ultimo u ´ ltimo va a 50 Km/hr con respecto a la carretera.

Para describir el movimiento de un punto es necesario establecer una referencia res´ pecto a la cual se define velocidades y qu e´ esta´ inmovil. Para describir movimiento en ´ del tres dimensiones y—a veces en un plano, es decir, en dos dimensiones—la posici on ´ r t siempre se define punto en estudio es descrito por un vector r t . El vector posici ´ posici on ´ a una referencia particular y m as ´ aun, debe estar definido un punto O que es en relacion el origen de coordenadas . ´ el senor ˜ D observa que el insecto est a´ caminando por la pared plana Poco rato despues ´ D escoge un punto O sobre la pared y dos vectores del interior del veh´ıculo. ıculo. R apidamente ˆ unitarios perpendiculares entre s´ı: ı: ıˆ y j y logra logra determinar determinar que el movimien movimiento to del insecto insecto queda bien descrito por r t R0 ıˆ cos 2π t t t 0 jˆ sin 2π t t t 0 ´ donde R0 10 [cm] y t 0 2 [minutos]. ¿que´ tipo de movimiento es este? Primero calcule la r r y compruebe que resulta R0 , es decir, la magnitud magnitud de este vector, vector, r t ´ no cambia con el tiempo. En el instante t 0 se cumple r 0 R0 ıˆ mientras del vector vector posici posicion t 0 R0 jˆ. Dibuje la trayectoria del que en el instante t 1 4 es r t 1 trayectoria del insecto y sobre esa trayectoria trayectoria ´ marque parte del itinerario, según un las definiciones que se dan a continuacion.

´ r t define, en su evolucion, ´ un conjunto de puntos que se denomina El vector posici on ´ del valor de t en el cual el trayectoria . El itinerario agrega a la trayectoria la informaci on punto en movimiento pasa por las diversas posiciones de la trayectoria. trayectoria. ´ entre las coordenadas. Por ejemplo, Una trayectoria puede ser definida como una relaci on un objeto en un plano, con coordenadas cartesianas x y puede tener una trayectoria dada por x2

y2

b2

a2

1

Otro ejemplo z

4 zm xm x2m

x x

´ que representa un movimiento parab olico en el plano vertical X Z tal que cuando x 0 y ´ cuando x xm resulta z 0 mientras que cuando x xm 2 la coordenada z alcanza tambi´ tambien ´ z zm . un valor maximo

´ de la posici on ´ en el tiempo, y la aceleraci on ´ es la variaci on ´ La velocidad es la variaci on de la velocidad en el tiempo v t

´ Y MOVIMIENTO 1.1. POSICION

d r t dt

a t

d v t

d 2 r

dt

dt 2

(1.1.1)


´ Mecanica

9

´ se esta´ definiendo a la Al definir al vector velocidad como la derivada del vector posici on velocidad como el l´ımite: ımite: d r r r t ε r t v t l´ım ε dt ε 0 Para terminar de aclarar este punto compruebe, mediante un dibujo, que el vector velocidad asociado a un movimiento circunferencial es necesariamente un vector tangencial a la circunferencia.

´ de velocidad Las expresiones anteriores pueden ser invertidas. Por ejemplo, ejemplo, la definicion ´ dada puede ser integrada—utilizando ´ a una variable recien integrada—utilizando como variable de integraci on auxiliar t , desde un tiempo escogido t 0 hasta un tiempo arbitrario t , t

r t

r t 0

v t dt

(1.1.2)

v t dt

(1.1.3)

t 0

´ conveniente escribir como que es mas t

r t

r t 0

t 0

´ anterior se escoge t t 0 el t´ ´ Si en la expresi on termino integral es nulo—porque el dominio ´ es nulo—y resulta una identidad. de integracion En forma similar se puede invertir la ´ de aceleracion ´ obteniendo´ definicion se

Unidades: En estas notas se utilizar a´ el sistema MKS de unidades. Las longitudes se expresan en metros, el tiempo en segundos y la masa en ´ kilogramos.

t

v t

v t 1

(1.1.4)

a t dt t 1

caminata normal ma´ xima velocidad en ciudad vmax en caida libre avi´ avio´ n comercial velocidad velocidad del sonido sonido en Valpara´ alpara´ıso ıso

E JEMPLO : Problema de lanzamiento de

´ inici un objet objeto o desd desde e una una posi posici cion inicial al r t 0 r 0 con una velocidad v t 0 v0 sa´ tiene un valor biendo que la aceleraci on fijo: a t g. Primero se usa (1.1.4) y se obtiene

Valor aproximado de algunas velocidades

t

v t

v0

g

1 18 50 2 75 340

dt t 0

v0

t

comunes expresadas en metros por segundo.

t 0 g (1.1.5)

´ en (1.1.3) y puede comprobarse que arroja Luego se usa esta ultima u ´ ltima expresi on r t

Universidad de Chile

r 0

t

t 0 v0

t

t 0

2

2

g

(1.1.6)


10



Si el movimiento de un punto P es descrito des crito desde dos or´ıgenes ıgenes ´ r y r se relacionan por O y O fijos, los vectores posici on r t

O O

r

r t

r’

Puesto que O O no depende del tiempo, la velocidad y la ace´ respecto leracion respe cto a ambos ambo s or´ıgenes ıgenes son s on iguales. iguales . O

O’

´ es el record en carreras de 100 metros? ¿A qu ´ ¿A qu ´ qu e´ velocidad le crece el pelo? ¿Cu ´ ¿Cu al qu e´ velocidad remacha un buen tenista? ´ ´ il va a 18 me ´ ´ nega Si un auto autom m ovil ov metr tros os por por segu segund ndo o y fren frena a con con una una acel aceler erac aci i on negati tiva va de ma magni gnitud tud ´ 2g, ¿en qu ´ qu e´ distancia se detiene? ¿Cu ´ ¿Cu anto vale su “peso” en ese momento? Esta pregunta se ´ ´ total. refiere refiere a la fuerza asociada a la aceleraci aceleraci on Suponga que un veh´ıculo ıculo que iba a 18 metros por segundo en el momento momen to de chocar contra ´ ´ ´ de un proceso con aceleraci ´ ´ un obst ´ obst aculo duro, es detenido en un d ´ d ecimo de segundo, a trav ´ trav es aceleraci on ´ es el valor de la aceleraci ´ ´ durante este proceso? uniforme. ¿Cu ´ ¿Cu al aceleraci on Calcule la velocidad con que llega al suelo un cuerpo que es soltado en reposo desde una altura h. ¿Aproximadamente desde qu ´ qu e´ altura se atrever atrever´´ıa ıa usted a saltar al suelo? ¿A qu ´ qu e´ velocidad golpean sus pies el suelo? Desde el momento t 0 en que sus pies tocan el suelo hasta que su tronco se detiene, t 1 , los m´ usculos de las piernas actuan como freno. Para simplificar, ´ negativa constante a0 en el lapso t 0 t 1 . D ´ suponga que esa “frenada” es una aceleraci ´ aceleraci on D e´ alg´ un ´ valor realista al cambio de altura del su tronco en ese lapso y deduzca un valor num erico para a0 . ´ de gravedad. Compare ese valor con la aceleraci ´ aceleraci on ´ del tiempo es Si se sabe que la velocidad de un punto como funci ´ funci on v t

R0 ω R

ıˆsin ω t t

jˆcos ω t t

kˆ v3

´ en t 0 es r 0 ´ ´ del punto en todo instante t 0 y y que la posici ´ posici on ıˆR0 , det determi ermine ne la posic posici i on ´ la aceleraci ´ ´ a t . Haga un dibujo 3D del movimiento del punto y dibuje la direcci ´ ´ en tambi ´ tambi en aceleraci on direcci on que apunta a t en distintas partes de esa trayectoria.

1.2. Coord Coordenad enadas as y movimi movimiento ento El movimiento se puede describir con diversos tipos de coordenadas. En lo que sigue se ´ define tres sistemas de coordenadas que se usar a´ en Mecanica: coordenadas cartesia´ nas, cil´ındricas ındric as y esf e sf ericas. Para cada uno de estos sistemas de coordenadas tridimensionales se define tres coordenadas escalares que son x y z en cartesianas, ρ φ z ´ ´ se define vectores unitarios asociados a en cil´ c il´ındricas ındr icas y r θ φ en esfericas y ademas 1.2. COORDENADAS COORDENADAS Y MOVIMIENTO MOVIMIENTO


´ 11 Mecanica ˆ , ρˆ φ ˆ y r ˆ φ ˆ k ˆ . Estos vectores unitarios apunesas coordenadas espaciales: ıˆ jˆ k rˆ θ ´ que, en general, depende del punto que se est a´ describiendo. Solo ´ tan en una direccion en coordenadas coorden adas cart ca rtesianas esianas esto es to no ocurre as´ı. ı.

1.2.1. 1.2.1.

Coordena Coordenadas das cartesiana cartesianas s

Ellas se basan en los ejes mutuamente perpendiculares X , Y y Z . Estos ejes tienen asoˆ . Los ejes y los vectores unitarios asociados se supociados los vectores unitarios ıˆ jˆ k nen fijos al sistema de referencia en el cual se describe el movimiento. Los vectores de ´ velocidad y aceleraci on ´ son posicion, r t v t a t

ˆ z t k ˆ x˙ t ıˆ y˙ t ıˆ z˙ t k ˆ x¨ t ıˆ y¨ t ıˆ z¨ t k x t ıˆ

coorde coordenad nadas as x, y, z

y t ıˆ

(1.2.1)

vecto vectores res ˆ ıˆ, jˆ, k

´ dependen del tiempo pero los vectores Las coordenadas x t y t z t de un punto movil unitarios son constantes.

1.2.2. Coordenadas Coordenadas cil´ındricas ındricas Dado un punto P con coordenadas cartesianas x y z se dibuja un cilindro cuyo eje coincide con el eje Z y con radio ρ x2 y2 , de tal modo que P esta´ en el manto del cilindro ´ al plano XY del vector posicion ´ r del punto P tiene longitud cuyo radio es ρ . La proyeccion ´ coorden adas cil´ındricas ındric as de P son las cantidades ρ y forma un angulo φ con el eje X . Las coordenadas ρ φ z . ´ con las coordenadas cartesianas es La relacion Z

x

ρ cos φ

y

ρ sin φ

z

z

^

k

(1.2.2)

P

^ φ ^ ρ

z r

A este sistema de coordenadas se asocia vecˆ los que se relacionan a ˆ k tores unitarios ρˆ φ ˆ por ıˆ jˆ k ρˆ


φ

ρ

X

jˆ sin φ ıˆ sin φ jˆ cos φ

ıˆ cos φ

ˆ φ ˆ k

Y

ˆ k

(1.2.3) Escuela de Ingenier´ıa y Ciencias

12



´ en que una Estos vectores unitarios apuntan, en cada punto P escogido, escogido, en la direcci on sola de d e las coord c oordenad enadas as cil´ c il´ındricas ındr icas var´ıa. ıa. Por ejemplo, ejemplo, si se considera un punto Q infinitesimalmente cercano a P que comparte con P el mismo valor de ρ y de z, φ , (φ Q φ P d φ ) φ ) ent y solo difieren por la coordenada φ , entonc onces es ˆ apunta en la direccion ´ de P a Q. el vector φ coorde coordenad nadas as ρ , φ , φ , z

Y

^φ ^ ρ

vecto vectores res ˆ ρˆ , φ , φ ˆ , k

φ j ^ ^ ^ φ ρ

A diferencia del sistema cartesiano de coordenadas, ac a´ la ´ de los vectores unitarios b asicos ´ direccion depende del punto P que se este´ considerando.

φ

^ i

X

ˆ en geAl describir un movimiento los vectores base ρˆ y φ ´ Las derivadas temporales de neral cambian de orientaci on. ˙, ellos es proporcional a φ , φ

ρ˙ˆ ˙ˆ φ

˙ φ ˆ φ

φ ˙ ρˆ

´ En el caso de un punto m ovil las coordenadas dependen en general del tiempo: ρ t φ t z t y de los tres vectores uni´ φ que es tarios dos son variables y ellos dependen del angulo una coordenada coordenada que en general general depende del tiempo tiempo,, es decir: ˆ . ˆ φ t k ρˆ φ t φ A esto se debe que al derivar con respecto al tiempo, las coordenadas se derivan directamente con respecto al tiempo, mientras que los vectores unitarios se derivan utilizando la regla de la cadena. Por ejemplo, ρ˙

d ρ

pero

dt

d ρˆ

φ d ρˆ d φ

dt

φ dt d φ

r ^ zk ^ ρρ

´ velocidad y aceleCon todo lo anterior los vectores de posici on, ´ en coordenad raci´ racion c oordenadas as cil´ c il´ındricas ındric as son

r

ρ ρˆ

v

ρ˙ ρˆ

a

ρ¨

ˆ zk ˙ φ ˆ z˙ k ˆ ρ φ ˙ 2 ρˆ ˙ ρ φ 2ρ˙ φ

(1.2.4) ˆ ¨ φ ˆ z¨k ρ φ

´ ´ Notese que el ultimo u´ ltimo parentesis se puede escribir 1.2. COORDENADAS COORDENADAS Y MOVIMIENTO MOVIMIENTO


´ Mecanica ˙ 2ρ˙ φ

1 d

¨ ρ φ

ρ dt

13 ˙ ρ 2 φ

(1.2.5)

ˆ , dependen en general del tiempo, sin embargo para que Todas las cantidades, excepto k ´ no aparezca tan pesada se ha omitido colocar “ t ” en cada factor. la notacion

Ahora se puede volver a mirar el significado de la frase que dice que los “ vectores ´ en que una sola de las unitarios apuntan, en cada punto P escogido, en la direcci ´ direcci on coorden coo rdenadas adas cil´ındric ınd ricas as var´ va r´ıa. ıa. ”. En efecto, si se diferencia r dado en (1.2.4) se obtiene d ρˆ d ρˆ ˆ ˆ por lo que se obtiene φ φ φ d r d ρ ρˆ ρ d φ d dz k , pero φ φ d φ d r

ˆ ρ d φ φ φ

d ρ ρˆ

ˆ dz k

Cada uno de los tres sumandos anteriores contiene la diferencial de una de las tres coordenadas coorden adas cil´ c il´ındricas. ındric as. Si se var´ıa ıa una sola so la coordenada, coord enada, esa es la unica u ´ nica diferencial no ´ del correspondiente vector unitario. nula, y d r apunta, como se ha dicho, en la direcci on Estu Estudi die e el mo movi vimi mient ento o de un punt punto o P para para el cual cual las coorde coordenada nadas s cil´ cil´ındric ındricas as en todo momento momento 1 2 ´ y describa la α t , z t son: ρ ρ0 , φ t A φ t . Obtenga el vector velocidad y aceleraci ´ aceleraci on 2 0 geometr´ geome tr´ıa ıa de la trayectoria t rayectoria en detalle. deta lle.

´ 1.2.3. 1.2.3. Coord Coordena enadas das esf esfericas ´ Las coordenadas esfericas de un punto P son: la dis´ θ que forma r con el tancia r de P al origen, el angulo ´ φ que ya fue definido para coordenaeje Z y el angulo das cil´ındrica ındr icas: s: r θ φ . Se relacionan a las coordenadas cartesianas por x

r sin θ cos φ

y

r sin θ sin φ

z

r cos θ

^ r

^

θ

(1.2.6)

r

^

φ

θ

φ

A estas coordenadas se asocia vectores unitarios y ellos son r rˆ ˆ θ

ıˆ cos φ

ˆ φ

ıˆ sin φ

ıˆ cos φ

ˆ cos θ k ˆ sin θ jˆ sin φ cos θ k jˆ sin φ sin θ jˆ cos φ

Se destaca que ˆ k

ρˆ Universidad de Chile

ıˆ cos φ

jˆ sin φ

ˆ sin θ r rˆ cos θ θ ˆ cos θ r θ rˆ sin θ

(1.2.7) (1.2.8)


14


coorde coordenad nadas as θ , φ r , θ ,


vecto vectores res ˆ ˆ θ , φ r rˆ , θ ,

´ Tal como en el caso anterior, los vectores unitarios b asicos dependen del punto que se este´ considerando consideran do y por tanto tan to ellos, en general, genera l, var´ıan ıan con el tiempo. Sus derivadas der ivadas son so n r r˙ˆ ˙ˆ θ

˙ θ ˆ ˙ φ ˆ sin θ θ φ

˙ˆ φ

ˆ cos θ ˙ θ φ

˙ r ˙ φ ˆ cos θ θ φ rˆ

(1.2.9) r rˆ sin θ

´ la velocidad y la aceleraCon lo anterior se puede obtener expresiones para la posicion, ´ en coordenadas esfericas, ´ cion r v a

r r rˆ ˙ φ ˆ sin θ r r˙ r rˆ r φ

˙2 r r¨ r θ

˙ θ ˆ r θ

˙ 2 sin2 θ r r φ rˆ

¨ r θ

˙ 2r ˙θ

rˆ dr

ˆ r d θ θ θ

˙ sin2 θ r 2 φ r sin θ

ˆ ˙ 2 sin θ cos θ θ r φ

(1.2.10) ˆ φ

Compruebe que d r

ˆ r sin θ d φ φ φ

´ ´ Considere Considere un cono con v ertice en el origen y eje que coincide con el eje Z ´ y cuyo angulo de apertura es θ (es decir, las rectas sobre el manto forman ´ ´ ´ θ con el eje Z ). Describa en coordenadas esf ericas angulo el movimentos de un punto que baja por el manto de este cono si se sabe que pierde altura a velocidad constante (es decir, la coordenada z t satisface z˙ v3 ) y ˙ ω 0 . Tome como condici ´ ´ φ ´ inicial que el punto est ´ que adem ´ adem as condici on est a´ sobre el 0. manto con r 0 R0 y φ y φ 0

1.3. 1.3.

θ

Velocid elocidad ad angu angular lar

´ que sufre el vector posiLa velocidad angular expresa la tasa de cambio de orientaci on ´ r cuando se desarrolla el movimiento. cion movimiento. El concepto de velocidad angular, angular, ω , esta esta´ liga´ de orient do al orige origen n de coor coorde dena nada das s que que se esco escoja ja y expre xpresa sa tan tanto to la tasa tasa de vari variac aciion orientaa´ como ´ la orientaci ´ del eje en cion como tam tambi bién orientación en torno al cual r rota. Ella Ella se puede expresar expresar co´ y velocidad, dividido por el cuadrado de la mo el producto cruz entre los vectores posicion magnitud de r ,

ω t 1.3. VELOCIDAD ANGULAR

r v r

2

v0

(1.3.1)

b j

´ Facultad deφ Ciencias Cienci as F´ısicas ısicas y Matem aticas O

i

Un movimiento rectil´ıneo ıneo y uniforme. Se conocen b y v0 . MovRecB

´ Mecanica

15

Se ilustra lo anterior con un ejemplo. E JEMPLO : Un movimiento movimient o uniforme unifor me y rectil´ıneo ıneo paralelo para lelo ´ es descrito por al eje X y a distancia b de el r

b jˆ

x0

v0 t ıˆ

v0 ıˆ

v

(1.3.2)

se muestra en la figura adjunta, x

x0

v0 t

y

φ

b

arctan

b x0

(1.3.3)

v0 t

´ de ω se obtiene que De los datos dados en (1.3.2) y de la definici on ˆ b v0 k

ω

b2

x0

v0t

(1.3.4)

2

Por otro lado, se puede calcular φ ˙ directamente de observar que tan φ

b x0

v0t

´ con respecto al tiempo se obtiene que ω Derivando esta relacion

˙ vale φ

b v0

ω

b2

x0

v0t

(1.3.5)

2

´ para la forma vectorial de la velocidad angular. que es coherente con la expresion ´ Notese que si se hubiera escogido el origen sobre la recta, se tendr´ıa ıa que b habr´ıa ıa obtenido obte nido velocidad velo cidad angular a ngular nula.

0 y se

La velocidad angular, entonces, depende del origen O respecto al cual se define. Estric´ la velocidad angular es un vector cuya tamente ademas, vector cuya magnitud es d φ φ dt y que apunta ´ del eje respecto al cual el punto en movimento gira visto desde ese origen. en la direccion Se usa la regla de la mano derecha. En el ejemplo anterior la velocidad angular apunta ˆ , y la velocidad angular vectorial en ese ejemplo es ω ω k ˆ. ´ k en la direccion ´ vectorial cualquiera A t tridiUn corolario de lo anterior es que si se tiene una funci on ´ de su orientacion ´ en el tiempo es mensional, la variaci on ω A

A A

d A 2

dt

Si se hace el producto cruz de cada miembro de esta igualdad con A se obtiene ω A Universidad de Chile

A

d A dt

A

d A dt

A

A Escuela de Ingenier´ıa y Ciencias

16



´ vectorial que cambia de orientaci on ´ en el tiempo tal que su Pero si A es una funci on A 0. magnitud permanece constante, entonces A A lo que implica que A d dt ´ se reduce a En tal caso la ultima u ´ ltima ecuacion d A

ω A

dt

A

A A

constante

(1.3.6)

Un par de problemas: Considere una circunferencia de radio R en el plano XY centrada en un punto del eje X a distancia a del origen. Suponga un punto P que se mueve con rapidez uniforme v0 sobre esa circunferencia y determine la velocidad angular de P con respecto al origen. ´ de la rueda Un disco de radio R rueda sin resbalar por un suelo horizontal (el eje de rotaci ´ rotaci on ´ constante a a0 ıˆ. Encuentre la magnitud de la es horizontal). Su centro O tiene aceleraci ´ aceleraci on ´ de cualquier punto P sobre el borde velocidad angular con respecto a O y obtenga la aceleraci ´ aceleraci on ´ ´ del del disco, relativa al suelo. Encuentre los vectores t tˆ y nˆ de la trayectoria de P como funci on ´ ´ centr´ φ que O P forma con la vertical. Obtenga la magnitud de la aceleraci ´ angulo φ angulo aceleraci on cen tr´ıpeta ıpeta y el radio de curvatura de la trayectoria de P.

1.4. 1.4.

´ centr´ Rapid Rapidez, ez, aceler aceleraci ación c entr´ıpeta ıpet a y tangenci tang encial al

1.4.1. 1.4.1. Velocid elocidad ad y rapide rapidez z Considere la trayectoria de un punto en movimiento y sean A y B las posiciones del punto sobre su trayectoria en instantes t y t ∆t . Si se denota por ∆s al largo del arco de trayectoria desde A a B, se define la rapidez del ´ sobre su trayectoria como punto movil v

∆s 0 ∆t

l´ım

∆t

ds dt

(1.4.1)

´ se vera´ la reque es una cantidad escalar. A continuacion ´ que existe entre el concepto de velocidad v t y el lacion de rapidez v t . Para definir estos conceptos se debe dar un sentido (arbitrario) a la forma de recorrer la curva. Por ejemplo, ejemplo, si en la figura se escoge el sentido positivo hacia la derecha, un desplazamiento hacia la derecha se describe con un ds 0 y un deplazamiento hacia la izquierda tiene asociado un ds 0. ´ CENTRÍPETA Y TANGENCIAL 1.4. RAPIDEZ, ACELERACI ACELERACION

A ∆s B ∆α ρ

C

C

Cada punto A de una trayect trayectoria oria (curva diferenciable) diferenciable) tiene asociado un centro de curvatura C y un radio de curvatura ρC . El arco de trayectoria ∆s que describe un punto ´ en un peque no ˜ intervalo ∆t es movil ´ ∆s ρC ∆α donde ∆α es el angu-

lo que subtiende tal arco desde C . ´ lonFacultad La de cuerda Ciencias Cienci as F´ısicas ısicas ytiene Matem aticas asociada una gitud que coincide con la magnitud r t ∆t r t . El del vector ∆r t ´ angulo entre la tangente en A a la

´ Mecanica Se define radianes de modo que el largo S de un arco de ´ circunferencia, de radio R, que tiene asociado un angulo α es (1.4.2) S R α

17

˜ arco AB de una curva se puede aproximar Un pequeno a un arco de circunferencia centrada en un punto C con ˜ algún radio ρC , tal que el arco subtiende un peque no ´ angulo ∆α . La longitud ∆s de un arco se relaciona al ele´ mento de angulo por ∆s ρC ∆α

(1.4.3)

´ La longitud de la cuerda asociada es AB 2ρC sin ∆2α . Puesto Pues to que en el l´ımite ımite de d e angulo ˜ el seno de un angulo ´ ´ muy pequeno, se aproxima por el angulo mismo, entonces en ese l´ımite ımite la longitud de la cuerda es ρC ∆α y coincide con la longitud del arco. Este resultado ´ sirve, en el p arrafo que sigue, para relacionar la magnitud de la velocidad con la rapidez. ´ r t y r t ∆t del movimiento de un punto difieLos vectores posicion ren en ∆r

r t ∆t ∆r t ∆t ∆t v t ∆t

r t

S R

α

´ Tomando oman do el l´ımite ımit e ∆t 0 se obtiene obtiene que d r t v t dt . Pero ero en el parrafo anterior anterior se vi vio´ que la cuerda, cuerda, que que en este caso tiene tiene longitud longitud ∆r t , coincide coin cide en el l´ımite ımit e en que ∆t es infinitesimal, con el arco ∆s: ∆r t ∆t 0 ∆t ∆s t l´ım ∆t 0 ∆t l´ım

v

(1.4.4)

v t

es decir, v

v

(1.4.5)

´ se sabe que el radio de curvatura De (1.4.3) tambien cur vatura de una trayectoria esta´ dado por ρC

ds

α d α

(1.4.6)

Sea t tˆ el vector unitario, tangente a la trayectoria de un punto, que apunta en la misma ´ que d r , es decir, en la misma direccion ´ que v, pero no apuntan necesariamente direccion direcci on Universidad de Chile


18



´ que el vector unitario t tˆ apunte en el en el mismo sentido. Se escoge como definici on sentido en el cual crece el arco s t recorrido, de tal modo que v t t tˆ

v t

(1.4.7)

En resumen, la velocidad es siempre tangencial a la trayectoria y la magnitud de la velocidad coincide con el valor absoluto de la rapidez. ´ que se En un parque de diversiones diversiones hay un juego que consiste consiste en disparar disparar a un blanco m ´ m ovil desplaza a velocidad constante v1 a lo largo de una recta L. Se sabe que los proyectiles salen desde el sitio D de disparo con rapidez v0 . Si en el instante en que se hace el disparo el blanco ´ angulo ´ est ´ est a´ al pie de la perpendicular—de largo b—que va de D a L, ¿con qu ´ qu e se debe hacer el disparo para dar en el blanco?

1.4.2. Coordenadas Coordenadas intr´ınsecas ınsecas Los vectores t tˆ y nˆ . tario t tˆ t tˆ

1

Puesto Puesto que el vector vector t tˆ es unit(t+ε)

implica

t tˆ

^ t(t)

d t tˆ

0

dt

(1.4.8)

es decir, el vector d t tˆ dt es ortogonal a t tˆ . La figura adjunta debiera ayudar a ver que este vector apunta hacia el centro de curvatura. Se denominara´ nˆ al vector unitario que apunta hacia el centro de curvatura. Ya se vi o´ que la magnitud de cuerda y arco, en el caso en que estos sean muy ˜ ´ se vio´ en (1.4.3) peque˜ pequenos, coincide y ademas que ese arco es igual al radio multiplicado por el ´ elemento de angulo. Puesto que t tˆ es unitario, al rotar describe un arco de radio 1 y por tanto la cuerda asociada, que tiene la magnitud de t tˆ , es 1 ´ multiplicado por el elemento de angulo, angulo , es decir, α . Usando (1.4.6) se obtiene que d t tˆ d α d t tˆ

α nˆ d α

ds

ρC

nˆ

P

dt^

∆α ^ ε) t(t+

∆α

C El vector d t tˆ t tˆ t ε t tˆ t donde ε es un ˜ es un vector que, en tiempo muy pequeno, el l´ımite ımi te ε 0, apunta hacia el centro de curvatura. En la figura el vector t tˆ t ε ha sido trasladado al punto correspondiente al tiem´ po t para poder hacer la diferencia geom etricamente.

equivalentemente

Fig12

d t tˆ

1

ds

ρC

nˆ

(1.4.9)

´ centr´ıpeta 1.4.3. 1.4.3. Acele Acelerac raciion ıpeta y tangencial ´ es la derivada de la velocidad, La aceleracion a t ´ CENTRÍPETA Y TANGENCIAL 1.4. RAPIDEZ, ACELERACI ACELERACION

d v t

d v t t tˆ

dt

dt ´ Facultad de Ciencias Cienci as F´ısicas ısicas y Matem aticas

´ Mecanica v t

19

d t tˆ

dv t

dt

dt

t tˆ

(1.4.10)

´ ´ es la parte de la aceleraci on ´ que apunta tangencial a El ultimo ´ t ermino en esta expresion ´ ´ tangencial . El primer termino ´ la trayectoria. Se la llama aceleraci on a la derecha es v t

pero ds dt

v t y d t tˆ ds

d t tˆ

ds d t tˆ

v t

dt

(1.4.11)

dt ds

´ se puede escribir nˆ ρC por lo que la aceleracion v2 t

a t

ρC

dv t

nˆ

dt

an t

t tˆ

(1.4.12)

at t

´ El primer t ermino es un vector que apunta hacia el centro de curvatura y se lo conoce ´ ´ centr´ ´ ´ tangencial . como aceleraci on cent r´ıpeta ıpe ta . El segundo es la aceleraci on Demuestre Demuestre que el radio radio de curvatura curvatura es igual a v2

ρC

t tˆ

v3 a

v

(1.4.13)

a

E JEMPLO : Considerem Consideremos os un punto en movimie movimiento nto en un plano cuya cuya trayectori trayectoria a es descrita

por una circunferencia: r

R0 ıˆ cos φ

jˆ sin φ

φ

φ t

(1.4.14)

Diferenciando Diferenciando se obtiene d r

R0

ıˆ sin φ

φ jˆcos φ d φ

(1.4.15)

cuya magnitud es d r

φ R0 d φ

(1.4.16)

ds

En este caso el vector tangencial es t tˆ

ıˆ sin φ

jˆcos φ

(1.4.17)

φ ds De aqu´ı se s e puede pue de calcular c alcular d t tˆ ds porque de (1.4.6) ya se sabe que d φ presente caso es ρC R0 , y se obtiene nˆ

ıˆ cos φ

jˆ sin φ

1 ρC , y en el (1.4.18)

´ es necesario dar la dependencia del Para poder calcular la velocidad y la aceleraci on ´ en el tiempo. Supongamos el caso particular en que el angulo ´ vector posicion angu lo var´ıa ıa li˙ ω . nealmente con el tiempo, tiempo, φ ω t , es decir, hay una velocidad angular constante: φ Universidad de Chile


20



Entonces, tal como ya se sabe de (1.4.7), la velocidad es tangente a la trayectoria, y en este case es (1.4.19) v ω R R0 t tˆ de donde la rapidez resulta constante: v

ω R R0 .

´ que en este caso particular la aceleraci on ´ tangencial es nula debiSe puede ver tambien ´ centr´ do a que la rapidez es constante. La aceleraci on c entr´ıpeta ıpet a es ω

an t

R0

ıˆ cos ω t t

jˆsin ω t t

(1.4.20)

que apunta siempre hacia el centro. ´ toma una curva de 50 metros de radio (aproximadamente media cuadra) a 24 Si un autom ´ autom ovil ´ ´ centr´ıpeta? ´ ´ de g o es mayor metros por segundo, ¿cu ´ ¿cu anto vale la aceleraci ´ aceleraci on ıpeta? ¿Es una fracci on que g? ´ va a dos veces la velocidad del sonido y gira describiendo un arco de circunfe- Si un avi ´ avi on ´ es el valor m´ınimo ´ m ´ ´ rencia, ¿cu ´ ¿cu al ınimo que puede tener ese radio si la acelaraci ´ acelaraci on m axima que soporta el piloto es 6g? Considere el movimiento de un punto que describe la trayectoria plana r

ρ0 ıˆ cos φ jˆsin φ

ıˆβ φ

(1.4.21)

φ , y por tanto ds dt ; calcule con φ ω t . Tanto ρ0 como β son constantes constantes dadas. dadas. Determine Determine ds d φ , ´ del tiempo; obtenga el vector velocidad en cualquier el vector tangente unitario t tˆ t en funci ´ funci on ´ ´ calcule la aceleraci ´ ´ a t e indique instante t y tambi en aceleraci on indique los valores valores de las partes centr´ centr´ıpeta ıpeta y tangencial.

^ ^ ρ Un hilo de grosor nulo est ´ est a´ enrollado enrollado en una circunferenci circunferencia a de radio φ T R manteniendo tensa la punta libre M . La parte no enrollada siempre siempre es tangente a la circunferencia y el punto T de tangencia est ´ est a´ totalmen- R M ´ φ . El hilo est ´ te determinado por el angulo polar φ . est a´ siendo desenrollado φ por medio de un mecanismo que hace que φ cambie en el tiempo en ´ ´ la forma: φ α t 2 , donde α es un n´ umero dado. dado. Calcular Calcular la ecuaci on 2 ´ param ´ param etrica de la trayect trayectoria oria del extremo M libre del hilo sabiendo que inicialmente la parte libre era de largo L0 y colgaba verticalmente. Ob- ´ expresada con tenga las componentes de la velocidad y la aceleraci ´ aceleraci on los vectores unitarios φ ˆ y ρˆ . Obtenga los vectores tangente t tˆ y normal nˆ de la trayectoria que des- ´ obtenga, cribe M cuando φ cuando φ crece. Tambi ´ Tambi en obtenga, para cada punto de la trayect trayectoria oria el radio de curvatura. curvatura.

´ de T siempre es ρT Indicaciones: La posicion

´ de M puede escribirse como R ρˆ y la posici on ˆ ´ hay que tomar en cuenta que ρ M ρT L t φ , φ , donde L t es el largo variable de T a M . Tambien si en un intervalo el punto T recorre una distancia s, en ese intervalo la longitud L t crece en esa misma cantidad s.

´ CENTRÍPETA Y TANGENCIAL 1.4. RAPIDEZ, ACELERACI ACELERACION


´ Mecanica

1.5. 1.5.

21

Movim Movimien ientos tos particu particular lares es

´ se presentan algunos movimientos particulares r t que se pueden obteA continuacion ner a partir par tir de datos espec´ es pec´ıficos. ıficos.

1.5.1. 1.5.1.

Movimi Movimiento ento uniforme uniforme

Un caso muy sencillo es el del movimiento uniforme. Este es aquel para el cual la ve´ es nula, a 0. Si se dan como datos la locidad es uniforme y por tanto la aceleraci on ´ t t 0 y que para todo instante posicion v t

v0

´ de velocidad y obtener que se puede invertir la definici on t

r t

r 0

v t dt t 0 t

1.5.2. 1.5.2.

r 0

v0

r 0

t

dt t 0

(1.5.1)

t 0 v0

´ constante Movimi Movimiento ento con aceleraci aceleracion

´ es Esta vez se da como dato que la aceleraci on a t

g

´ que la posicion ´ en un instante t 0 es r 0 y que la velocidad en un instante t 1 es y ademas v1 . ´ de aceleracion ´ se obtiene que Integrando la definci on v t

v1

t

(1.5.2)

t 1 g

´ en un instante arbitrario integrando Una vez conocida la velocidad se calcula la posici on ´ una vez mas t

r t

r 0 r 0 r 0


v t dt t 0 t t 0

t

v1

g t

t 0 v1

t 1 t 2

dt t 02

2

t

t 0 t 1

g

(1.5.3)


22



´ anterior se reduce senciSi tanto t 0 como t 1 son nulos y v1 es denotada v0 , la expresion llamente a r t

1.5.3. 1.5.3.

r 0

t 2

t v0

2

(1.5.4)

g

Movimi Movimiento ento circunfe circunferenci rencial al Y

^ φ

^ ρ

ρ

0

X

φ

Figura 1.1: Un movimiento circunferencial de radio ρ0 se describe por la velocdad angular ω t

˙ t . circunf φ

El movimiento circunferencial general est a´ caracterizado por el radio fijo ρ0 de la circun˙ . En este caso los ´ y por la velocidad angular ω t φ . φ ferencia descrita por el punto m ovil ´ velocidad y aceleraci on ´ en coordenadas vectores posicion, coorden adas cil´ındricas ındrica s son

v t

ρ0 ρˆ t ˆ ρ0 ω t φ

a t

ˆ t ρ0 α t φ

r t

(1.5.5)

ω 2 t ρˆ t

´ ´ angular la velocidad angular es ω t y α t es la aceleraci on ω t α t

˙ t φ ˙ t ω

(1.5.6)

´ para a dada arriba quedo´ naturalmente separada en un t ermino ´ La expresion radial de 2 ˆ ˆ. ´ ´ centr´ ´ ´ tangencial, ρ0 α t φ aceleraci on cen tr´ıpeta ıpe ta , ρ0 ω ρ y un termino de aceleracion

1.5.4. 1.5.4. Di Disco sco rodand rodando o 1.5. MOVIMIENTOS MOVIMIENTOS PARTICULARES PARTICULARES


´ Mecanica Veamos el movimiento que tiene un punto P de un disco de radio R que avanza a velocidad uniforme v0 y lo hace rodando sin resbalar sobre una recta, como lo muestra la figura. El disco tiene pegado un disco de radio mayor. mayor. La velocidad angular del sistema con respecto a su centro G es ω . Un punto P tiene, respec´ ρ ρ0 ρˆ y su velocidad es to a G un vector posicion ˙ ˆ ρ ω ρ0 φ . φ . Se comprueba que la velocidad angular es ˆ ω k

23

O

G

P

R

ρ˙

ρ ρ02

´ En el tiempo en que el disco gira un angulo ımetro se mueven un φ , φ , los puntos de su per´ımetro φ , con respecto al observador en G y, sin el disco no resbala, arco de longitud Rφ , r esbala, el punto G v0 tiene que avanzar esa misma distancia, es decir v0t Rφ t , lo que implica que φ t R t , pero el coeficiente de t tiene que ser la velocidad angular ω , por lo que se concluye que ω

v0

v0

R

R ω

´ que no resbala condicion

´ del punto P con respecto a O puede El vector posici on ´ el escribirse como la suma del vector de O a G mas vector de G a P:

Puntos del plano XY que recorre P para tres valores de rho0 2 1.5 1

r P

v0t ıˆ

ρ0 ρˆ

0.5 0 -0.5

y por tanto

-1

vP

v0 ıˆ

ρ0 ω φ ˆ

En la figura anterior ıˆ apunta hacia la derecha y jˆ ˆ hacia adentro. Por otro lado apunta hacia abajo y k ˆ ρˆ ıˆcos ω t t jˆsin φ y φ ıˆ sin ω t t jˆcos ω t t .

-1.5 -2 0

2

4

6

8

10

12 12

14 14

16 16

Componente Vx de la velocidad en los tres casos anteriores 3 2.5 2 1.5

En la primera figura de la derecha se ve la trayectoria de tres puntos P diferentes: diferentes: en el caso ρ0 R el punto avanza y retrocede, el el caso ρ0 R el punto avanza, se detiene en el instante en que P toca la recta y luego sigue avanzando. Si ρ0 R el punto P siempre avanza. La segunda figura muestra la velocidad de esos mismos tres puntos. Se ve que en un caso es siempre positiva, en un caso es nonegativa y en un tercer caso hay lapsos en que es negativa. 1

0.5 0

-0.5

-1

0

2

4

6

8

10

12 12

14 14

16 16

1.6. 1.6. Prob Proble lema mas s superficie terrestre con velocidad velocidad vertical uniforme v0 . Debido 1.1 Un globo asciende desde la superficie al viento, el globo adquiere una componente horizontal de velocidad que crece con la altura: Universidad de Chile


24



α z z, donde α donde α es una constante constante conocida y z es la altura sobre el terreno. Escogiendo el origen de coordenadas en el punto de partida determime: a) La trayectoria del globo; b) la ´ en funci ´ ´ de la altura z. componente tangencial y normal de la aceleraci ´ aceleraci on funci on

v z

´ P entre un pist on ´ ´ 1.2 El punto de uni ´ uni on A ω y una biela de largo D se mueve a D lo largo del eje X debido a que el a P C θ ˜ (disco) de radio a y centro cig¨ ue ˜ ue nal en un punto fijo C , rota a velocidad angular ω angular ω constante. En el instante t 0 la biela est ´ est a´ horizontal ´ para la distancia x t entre P y C como ( θ Encuent entre re una una e expr xpresi esi on θ 0, x D a ). a) Encu ´ ´ de t . b) Encuen ´ ´ para v t considere funci on Encuentre tre la veloc velocida idad d v t de P. c) En la expre xpresi si on ´ ´ aproximada para la aceleraci ´ ´ de P. D y de ah´ı encuentre el caso a encuentre una expresi expresi on aceleraci on ´ ´ m ´ ´ ´ con la aceleraci on ´ ´ del ¿C ´ ¿C omo se compara la magnitud de la aceleraci ´ aceleraci on m axima del pist ´ pist on punto A?

´ 1.3 Un punto se mueve ascendiendo por el manto de un cono de eje vertical, y v ertice abajo, de tal modo que asciende a medida que gira en torno al eje: z A φ . φ . El cono mismo se ´ ´ caracteriza por que las rectas sobre su manto que contienen al v ´ v ertice forman un angulo fijo θ fijo θ con el eje. Describa el movimiento (los vectores r t , v t y a t ) suponiendo que φ t ´ arbitraria. Calcule tambi ´ ´ la curvatura de la trayectoria como funci ´ ´ de z y es una funci ´ funci on tambi en funci on de θ de θ ..

1.4 Una barra r´ıgida ıgida de largo d se mueve apoyada entre dos paredes r´ıgidas, ıgidas, que forman un ´ angulo recto entre ellas. ´ ´ ´ arbitraria θ es una funci on Si el angulo θ θ t , (a) del tiempo tiempo θ (a) Deter Determi mine ne el vec- vec- ´ velocidad y aceleraci ´ ´ del tor posici ´ posici on, aceleraci on punto punto medio medio de la barra barra.. (b) El radio radio de curvatu curvatura ra de una traye trayecto ctoria ria se calcul calcula a 3 como ρ v v a . Calcule el radio de curvatura de esta trayectoria. Interprete el resultado resultado y dibuje dibuje la trayect trayectoria. oria. (c) Su- ponga ahora que el apoyo inferior de la barra se mueve con rapidez constante. ´ θ t que da lugar a Encuentre la funci ´ funci on ese movimiento.

1.6. PROBLEMAS PROBLEMAS

θ

d

O


Cap´ıtu ıtulo 2 ´ Dinamica 2.1. Momentu Momentum m lineal, lineal, fuerza fuerza y leyes leyes de Newton Newton

alileo observo´ que cuerpos inicialmente en reposo, soltados desde la misma

´ es común a toaltura caen con movimiento uniformemente acelerado y esa aceleraci on ´ se denomina aceleraci on ´ ´ de gravedad . Si un cuerpo es dos los cuerpos. Tal aceleracion soltado con velocidad inicial nula desde una altura z0 sobre el suelo su altura posterior, ´ del tiempo, es como funcion z t

z0

g

2

t 2

´ resulta ser z¨ sin importar cual sea la masa del cuerpo. cuerpo. De lo anterior la aceleraci aceleracion g. 2 z0 g donde el signo menos, en Deduzca que el cuerpo llega al suelo con rapidez z˙ este caso, expresa que la velocidad es hacia abajo. La cantidad de movimiento o momentum lineal p de una un a part´ par t´ıcula ıcula de masa ma sa m y velocidad v es p t

m v t

(2.1.1)

´ K y, La masa de un cuerpo es normalmente una cantidad fija y se mide en kil ogramos, salvo que expec´ expec´ıficamente ıficamente se diga lo contrario, se supondra´ que la masa de un cuerpo es constante. Sin embargo embargo hay casos en que la masa var´ var´ıa. ıa. Un ejemplo ejemplo muy t´ıpico ıpico es el de un cohete que est a´ expulsando parte de su masa, en forma de gases, para poder impulsarse.

Para percibir la cantidad de movimiento se puede experimentar dejando caer desde el reposo dos cuerpo desde la misma altura. Al recibirlos en nuestras manos y tratar de 25

26



detenerlos es necesario un “mayor esfuerzo” cuando la masa del cuerpo es mayor. La ´ de este mayor esfuerzo reside en que para detener el cuerpo, es decir, para hacer raz´ razon variar su momentum lineal desde el valor que tiene hasta cero, es necesario aplicar una fuerza. KEPLER COPERNICO

NEWTON

BRAHE GALILEO

MIGUEL ANGEL

BRUNO EL GRECO

BOTTICELLI

REMBRANDT CERVANTES

LEONARDO

J S BACH

VERMEER VIVALDI

COLON VALDIVIA

1500

XV I

1600

XVII

1700

˜ en que vivieron algunos de los fundadores de la Mec anica ´ Los anos y algunos personajes destacados en ´ otras areas.

´ gen ´ del momentum (esto es Newton descubrio´ que la relacion genera erall ent entre re la varia variaci ción d p dt ) y la fuerza total aplicada es d p t dt

F total

(2.1.2)

que se conoce como la II ley de Newton . Un caso especial es que no haya fuerza alguna aplicada. En tal caso d p dt 0 lo que implica que el momentum permanece constante en el tiempo. Esto implica (masa constante) que la velocidad del cuerpo no cambia y por tanto la trayectoria trayectoria es rectil´ınea. ınea. Esta ´ especial es el de un cuerpo en reposo. es la I ley de Newton . Un caso aun m as Inversamente, si un cuerpo tiene velocidad constante, entonces la fuerza total sobre ese cuerpo necesariamente es nula. En (2.1.2) la fuerza es la fuerza total . Sobre un cuerpo pueden estar actuando muchas ´ fuerzas simultaneamente y el lado derecho en (2.1.2) debe tener la suma vectorial de ´ actuando sobre el cuerpo. todas las fuerzas que estan 2.1. MOMENTUM LINEAL, FUERZA Y LEYES DE NEWTON NEWTON


´ Mecanica

27

Cuando un mozo lleva un vaso sobre una bandeja hay varias fuerzas actuando sobre ese vaso: su peso, mg; una fuerza, llamada normal que la bandeja ejerce sobre el vaso y que es perpendicular a la superficie de contacto; otra fuerza, esta vez contenida en el plano de contacto, llamada roce que roce que impide que el vaso deslice en la ´ el aire ejerce una fuerza viscosa sobre el vaso, porque todo fluido bandeja; tambien ´ La lista se podr´ıa ıa (el aire, por ejemplo) tiende a frenar a un cuerpo que se mueve en el. continuar (la luna, el sol etc) .

La III ley de Newton dice que si el cuerpo A ejerce una fuerza F sobre un cuerpo B, entonces entonces el cuerpo B ejerce una fuerza F sobre el cuerpo A. Un cuerpo en reposo sobre una mesa ejerce sobre ella su fuerza peso F mg, la que apunta verticalmente hacia bajo, y entonces, según un la III ley de Newton, la mesa ejerce sobre el cuerpo una fuerza, llamada normal , sobre el cuerpo, la que vale N mg, la cual apunta verticalmente hacia arriba. Puesto que sobre el cuerpo ´ la atracci on ´ que le ejerce la Tierra (el peso), entonces la fuerza total esta´ ademas sobre este cuerpo es nula, lo que permite entender porqu e´ esta´ en reposo.

Normalmente las leyes de Newton se asocian a sistemas de referencia llamados sistemas de referencia inerciales . Un ejemplo de sistema de referencia no inercial es un veh´ıculo ıculo describiendo una curva. c urva. Un cuerpo dejado en reposo respecto r especto al veh´ıculo ıculo tien´ ´ adelante se dira´ que en sistemas de a moverse alejandose del centro de curvatura. M as de referencia no inerciales aparecen fuerzas especiales como es la fuerza centr´ıfuga ıfuga y la fuerza de Coriolis . Pero en un sistema de referencia inercial no se presentan tales fuerzas.

2.1.1. 2.1.1. Ejemp Ejemplos los de fuerza fuerzas s ´ se hara´ mencion ´ de algunas fuerzas que se utiliza en estas notas. Las A continuacion ´ seran ´ explicadas con mas ´ detalle mas ´ adelante. fuerzas que se describen a continuacion o Peso. eso. Sobre un cuerpo de masa masa m cerca de la superficie de la Tierra actua una fuerza cuya magnitud es mg y apunta “hacia abajo”. ´ describe la fuerza de atracci on ´ grao Gravitac Gravitacional ional.. La Ley Universal Universal de Gravitaci Gravitación vitacional entre cuerpos masivos. ´ o Coulomb. Coulomb. Cargas Cargas el´ electricas se repelen o atraen, según un la Ley de Coulomb, dependiendo si tienen signo igual o distinto. ´ en contacto solido-s ´ ´ o Contacto. Contacto. En cada punto punto en que dos cuerpos A y B estan olido aparece una fuerza F AB sobre A debido al contacto con B (y lo mismo sobre B debido a A). Si se define el plano tangente al contacto, la fuerza F AB puede ser Universidad de Chile


28



descompuesta en forma unica u´ nica en la suma de dos fuerza: una perpendicular al plano ´ Estas dos fuerzas se denominan fuerza normal y de contacto y otra paralela a el. fuerza de roce . Normal. Si un cuerpo est a´ apoyado sobre una superficie, la superfice ejerce ´ debido a la fuerza una fuerza sobre el cuerpo que corresponde a la reaccion que el cuerpo ejerce sobre la superficie. La normal es una fuerza perpendicular a la superfice de contacto. Roce. Un cuerpo apoyado sobre una superficie puede ejercer una fuerza paralela a la superficie de contacto. Si la velocidad relativa entre el cuerpo y la ´ superficie es nula se tiene la fuerza de roce est atico y si la velocidad relativa ´ entre el cuerpo y la superficie no es nula se tiene una fuerza de roce din amico. ´ introducidas mas ´ adeltante. Por el momento subrayamos que si un Otras fuerzas seran cuerpo esta´ apo apoya yado do en una superfi superficie cie y no hay roce ent entre re ambos, ambos, ent entonc onces es la unica ´ fuerza sobre el cuerpo debido a este contacto es la fuerza normal.

2.1.2. 2.1.2.

Ejemplo Ejemplo de de argoll argolla a en una una vara vara horizo horizontal ntal que que gira gira

Consideremos el caso de una argolla que puede deslizar, libre de roce, a lo largo de una vara y esta vara gira barriendo un pla˙ ω no horizontal con velocidad angular φ constante.

k g

φ X

El problema sera´ descrito con coordenadas cil´ cil´ındricas ındricas y los vectores vectores base asociados asociados ˆ de tal forma que k ˆ es vertical son ρˆ φ ˆ k hacia arriba.

La fuerza total de contacto sobre la argolla, Una argolla que puede deslizar libremente, sin roigual que cualquier vector, puede expresar- ce, a lo largo de una varilla y la varilla gira barriendo se con los vectores base: con velocidad angular uniforme φ ˙ ω un plano hoF

f 1 ρˆ

ˆ f 2 φ

rizontal. argolla

ˆ f 3 k

´ ρˆ representar´ıa ´ en la que pero la componente componente en la direcci direccion ıa roce—ya que es la direccion ˆ puede haber movimiento—por lo cual se debe exigir que f 1 0. Lo que resta, f 2 φ ˆ f 3 k es normal a la vara y por lo tanto es la fuerza llamada normal. Las fuerzas sobre la argolla ˆ y la fuerza normal N que la varilla son: su propio peso P varilla ejerce ejerce sobre la argolla. argolla. m g k En este caso normal quiere decir ortogonal a la varilla, por lo tanto es una fuerza que ya ˆ y tambien ´ vertical k ´ se ha mencionado y que puede tener componentes en la direcci on ˆ ´ φ . Cambiandole ´ en la direcci direccion el nombre a las componentes de la normal, ella se puede escribir N 2.1. MOMENTUM LINEAL, FUERZA Y LEYES DE NEWTON NEWTON

ˆ ˆ N k φ φ k k N φ

(2.1.3) ´ Facultad de Ciencias Cienci as F´ısicas ısicas y Matem aticas

´ 29 Mecanica ´ debe Puesto que la argolla no tiene movimiento horizonal, la fuerza total en esa direcci on ˆ P 0, que implica: N k ser nula, es decir, N k k k m g. k Las condiciones que definen el movimiento son ˙ t φ

ρ 0

ω

ρ˙ 0

ρ0

0

(2.1.4)

´ tiene la forma y, puesto que el movimiento ocurre en un plano horizontal, la aceleraci on (ver (1.2.4)), a

˙ 2 ρˆ ρ φ

ρ¨

˙ 2ρ˙ φ

¨ φ ˆ ρ φ

(2.1.5)

El plante plantear ar la II ley ley de Ne Newto wton n en coorde coordenad nadas as cil´ cil´ındrica ındricas s se pue puede de separa separarr en una ˆ lo que da lugar a dos ecuaciones escalares ´ de φ componente radial y otra en la direcci on m 2ρ˙ ω

ω 2 ρ

ρ¨

N φ φ

(2.1.6)

0

(2.1.7)

´ se obtiene Al integrar la segunda ecuaci on ρ t

ρ0 cosh ω t t

(2.1.8)

que da la forma expl´ıcita ıcita del movimiento a lo largo de la vara. Este resultado implica que ´ esta´ relacionada a un coseno hiperb olico. ´ ρ cambia con el tiempo y su variaci on Esto implica, de (2.1.6), que N φ φ no es nulo. ´ para N φ Al usar la forma de ρ t , obtenida obtenida en (2.1.8), en (2.1.6) (2.1.6) se obtiene obtiene la expresi expresión φ , N φ φ

2m ω 2 ρ0 sinh ω t t

(2.1.9)

´ ose hacia Lo qu que e se ha de dedu duci cido do es qu que e la argo argolllla a se mu mue eve de desl sliz izánd andose hacia afue afuera ra de la argoll argolla. a. Su distancia al centro de giro: ρ t , aumenta exponencialmente con el tiempo (en efecto, 1 ω t para tiempos muy grandes cosh ω t t e t ). 2 ´ descrita en un experimento real debemos tomar una Si se intenta reproducir la situacion ˜ entre ambos. Con un argolla y una vara tal que haya roce insignificantemente peque no ´ motor controlado automaticamente se mantendr´ıa ıa uniforme la velocidad angular ω . Descubrir´ıamos, ıamos, sin embargo, embargo, que llegar´ıa ıa un momento en que el motor no ser´ıa ıa capaz de mantener contante la velocidad angular, porque la fuerza normal que debe ejercer sobre la argolla es demasiado grande ya que la componente N φ exponencialmente. φ crece exponencialmente.

2.2.

Muchas part´ıculas ıculas

Se considera un sistema de N part´ par t´ıculas ıculas puntuales de masas masa s ma , a 1 2 N , de posiciones r a , velocidades va y aceleraciones aa . La suma de las masas se denotar a´ M N

M

∑ ma

(2.2.1)

k 1



30



´ y la velocidad de G son y G ser´ sera´ la forma para designar el centro de masa . La posicion 1

RG

N

∑ mar a

M k

1

V G

(2.2.2)

1

N

∑ mava

M k

(2.2.3)

1

´ de Newton Cada part´ pa rt´ıcula ıcula satisface s atisface una ecuaci on m1 m2 m N

d v1

F 1

dt d v2

F 2

dt d v N

F N

dt

(2.2.4)

que, al sumarlas dan M

dV G

F total

dt

donde

(2.2.5)

N

F total

∑ F a

(2.2.6)

k 1

´ del momentum total del sistema est a´ dado por la fuerza total que es decir, la variacion ´ abajo, que esta fuerza total se debe actua sobre el sistema. Vamos a ver, un poco m as exclusivamente a fuerzas externas al sistema. La fuerza que ha sido llamada F a es la fuerza total sobre la a-part´ -par t´ıcula ıcula y puede descomponerse ponerse en la suma de las fuerzas que le ejercen las otras part´ıculas ıculas del sistema, que int ext llamaremos f a y la suma de las fuerzas externas f a que actuan ac tuan sobre s obre la part´ par t´ıcula ıcula a, F a

f aext

f aint

(2.2.7)

A su vez f aint esta´ compuesta de las fuerzas F ab que cada part´ par t´ıcula ıcula b ejerce sobre a, N

f aint

∑

F ab

(2.2.8)

b 1 b a

´ donde automaticamente la fuerza que una part´ıcula ıcula ejerce sobre si misma es nula, F bb

0

(2.2.9)

Siempre se va a suponer que la fuerza F ab entre dos part´ par t´ıculas ıculas puntuales es paralela a la l´ınea ınea que une un e ambos amb os puntos. punt os. 2.2. MUCHAS PARTÍCULAS


´ 31 Mecanica ´ se argumenta A continuacion argumenta,, a partir de (2.2.6), que las fuerzas fuerzas internas internas no contribuy contribuyen en ´ de las fuerzas internas se tiene a la fuerza total. En efecto, al calcular la contribuci on N

∑

N

f aint

N

∑ ∑ F ab

a 1

(2.2.10)

a 1b 1

´ y reaccion ´ estapero por cada sumando F ab hay otro que es F ba y el principio de accion blece que F ba F ab , lo que hace que la suma anterior sea nula. En resumen, F total

∑ f aext

(2.2.11)

a

´ de movimiento para el centro de masa G del sistema es y por tanto la ecuacion M

dV G

∑ f aext

dt

F ext

(2.2.12)

a

´ actuando fuerzas externas, el centro Corolario: si sobre un sistema de part´ıculas ıculas no est an de masa se mueve con velocidad uniforme. Estudie el movimiento del centro de masa del sistema compuesto por dos part´ par t´ıculas ıculas masivas ´ en vuelo libre unidas por un hilo, que rotan en torno a su centro de masa y est ´ est an libre en presencia presencia de gravedad g.

2.3. Momento Momento Angular Angular y Torque orque 2.3.1. 2.3.1.

Ecuacion Ecuaciones es generales generales

´ As´ı como el momentum lineal es una medida de la cantidad de movimiento de traslaci on, ´ en el momento angular , O , es—en cierto modo—la cantidad de movimiento de rotaci on torno a un punto O . Formalmente se define como la suma de los productos cruz entre las posiciones y los respectivos momentos lineales O

t

∑ r a

t

(2.3.1)

pa t

a

Por ejemplo, en el caso de la figura de 1.3 (caso de una sola part´ par t´ıcula), ıcula), r momentum es p m v0 ıˆ, por lo que el momento angular del ejemplo es O

b jˆ ıv ıˆv0 t y el ˆ. m b v0 k

Calcule el momento angular O de una part´ıcula ıcula que gira con velocidad angular uniforme en torno al punto O describiendo una circunferencia de radio R.

´ el momento angular de una sola part´ıcula Por su propia definicion ıcula “1” apunta apunta en una di´ que es perpendicular al plano que definen r 1 y p1 . Esta direcci on ´ esta´ relacionada reccion ´ con respecto al punto O en un instante determinado. En al eje de giro del punto m ovil ´ de ese eje va cambiando con el tiempo. general la direccion Universidad de Chile


32



Se tiene dos ruedas de bicicleta de igual geometr´ıa ıa —montadas sobre ejes fijos— girando a igual velocidad angular. La primera es una rueda normal mientras que la ´ otra tiene plomo en lugar de aire en su c amara. Al tratar de detenerlas se notar a´ que ´ esfuerzo para detener a la rueda con plomo. Esto se debe a que se requiere de m as ´ dif´ es mas dif´ıcil ıcil llevar llevar hasta hasta cero el momento momento angular angular de un objeto objeto que actualment actualmente e ´ grande. tiene momento angular m as

Si se toma la derivada con respecto al tiempo del momento angular, y se supone que las masas son contantes, se obtiene d

O

dt

∑

d r a

pa

dt

a

d r a

∑

pa

dt

a

∑ r a a

d pa dt

(2.3.2)

´ El prime primerr t ermino del lado derecho derecho es cero porque porque cada sumando sumando es proporcion proporcional al a va ´ y el ultimo u´ ltimo termino se puede escribir sencillamente r a p˙a , es decir, d

t

O

∑ r a

dt

F atotal

t

va

(2.3.3)

a

´ se hizo uso de la segunda ley de Newton, (2.1.2). Para escribir escribir esta ultima ´ expresion ´ anterior es lo que se conoce como torque total τ O El lado derecho de la expresion O que producen las fuerzas F a sobre el sistema sis tema de part´ par t´ıculas, ıculas, τ O total

∑ r a

t

F atotal

(2.3.4)

y por tanto d

O

t

(2.3.5)

total τ O O

dt

´ del momento angular se debe a la acci on ´ del torque que quiere decir que la variacion total que actua sobre el sistema. ´ Para estudiar la dinamica del momento angular se debe ver el valor del torque total y la forma de descomponerlo. El torque total τ O O es la suma del torque de las fuerzas externas y el de las fuerzas fuerzas internas internas.. Dem Demost ostrem remos os que este este ultimo u´ ltimo es nulo. Como la suma no depende del nombre de los ´ındices, ındices, se la puede escribir intercambiando el papel de a y b. Luego se suma ambas sumatorias y se divide por dos, int τ O

∑r a

F ab

ab

1

∑r a 2

F ab

1 ∑ r a 2a b

r b

ab

2.3. MOMENTO ANGULAR ANGULAR Y TORQUE TORQUE

1

∑r b

2a b F ab

F ba

(2.3.6)


´ Mecanica

33

es decir

∑ r a

τ O O

f aext

(2.3.7)

a

El torque total sobre un sistema depende tan solo de las fuerzas que son externas al sistema. ´ Los frenos, en un veh´ıculo ıculo ejercen torque sobre las ruedas, el motor tambi en.

Si para un sistema el torque de la fuerza total es nulo, entonces el momento angular tiene derivada temporal nula, es decir, es constante. Si para un sistema el torque no es nulo, pero una de sus componentes es nula todo el tiempo, entonces la correspondiente componente del momento angular es constante.

´ ´ ´ ´ Del pendulo esf´ esferico al pendulo conico Si una masa puntual pende de un hilo de largo R, cuyo otro extre´ ´ mo esta´ fijo se tiene, en general, un p endulo esferico. Bajo condi´ ciones iniciales particulares puede comportarse como un p endulo plano (el hilo barre siempre un mismo plano vertical) y puede ser ´ un pendulo ´ ´ tambien conico cuando la masa describe una circunferencia con coordenada cil´ındrica ındrica z fija o, equivalntemente, con ´ θ fija. En la figura adjunta se ha escogido coordenada esferica ´ coordenadas esfericas con el polo norte nor te abajo para lograr as´ı que ´ del pendulo ´ θ describa directamente la desviacion con respecto ´ vertical en reposo. a su posicion

g

θ R ^ θ r^

La fuerza total sobre la masa es la suma de su peso y de la ten´ del hilo. En coordenadas esf ericas ´ ´ de gravedad, de acuerdo sion T T r rˆ y la aceler aceleraci ación a la figura, es g r rˆ cos θ

g

ˆ sin θ θ

Se aprecia que la fuerza total no tiene componente a lo largo de φ ˆ , lo que quiere decir ´ dada en (1.2.10) debe ser nula, esto es, que la componente de la aceleraci on m

d

˙ sin2 θ R2 φ

dt

que implica que existe una constante

3

˙ φ

Si ˙ φ

3

0

y 3 2 mR sin2 θ

(2.3.8)

´ implica que θ no puede anularse porque eso dar´ıa no es nulo, esta relaci on ıa que ´ ∞. S´ı se puede afirmar es que la rapidez rapidez es muy grande grande cuando cuando el p endulo pasa



34



´ ´ de movimiento es reductible θ es muy chico. La ecuacion por puntos en que el angulo ˆ: entonces a solo dos ecuaciones escalares: las componentes r rˆ y θ ˙ 2 φ ˙ 2 sin2 θ m R θ ¨ φ ˙ 2 sin θ cos θ cos θ m R θ

mg cos θ T mg sin θ

(2.3.9)

´ ´ Un pendulo conico , tal como se aprecia en la figura ad´ junta, es “conico” cuando el punto masivo gira describiendo ´ θ permanece en una circunferencia. En tal caso el angulo una valor fijo θ 0 . Se quiere responder a la pregunta ¿bajo qu e´ condiciones ´ ´ ´ un pendulo esferico tiene movimien movimiento to conico? De (2.3.8) se obtiene que en el caso actual φ ˙ es constante, y se deno´ minara´ ω porque es la velocidad angular del p endulo que gira en torno al eje vertical. Dados R y g ¿puede tenerse un ´ ´ pendulo conico para cualquier valor de ω ?

θ L R ^ k

La segunda de las ecuaciones (2.3.9) se reduce a Rω 2 cos θ 0

g

cos θ 0

g

sin θ 0

Rω 2

1 R

ρ R2

g2

^ φ ^

ω 4

punto to mat materi erial al en el extre extre-(2.3.10) Un pun

´ Puesto que un coseno debe tener m odulo menor que la uni- mo de un hilo de largo R gira en una trayect trayectoria oria circunfer circunferenendad, se debe cumplir que ω

g

(2.3.11)

R

cial de radio ρ . El otro extremo del hilo est´ esta´ fijo. Este sistema es ´ ´ un p endulo conico. pconico

´ ´ No es posible un pendulo conico con velocidad angular menor que esta cota. Dada una velocidad angular ω superior ´ ´ a tal cota, el p endulo debe ser lanzado formando un angulo con la vertical exactamente como el que se da en (2.3.10). ´ ´ En resumen, el sistema descrito constituye un pendulo conico tan solo si la velocidad an´ θ que el hilo forma con la vertical por medio de (2.3.10). gular se relaciona con el angulo El radio de la circunferencia es ρ

R2

g2 . ω 4

´ El pendulo simple ´ Consideremos un pendulo plano como el de la figura adjunta. Este consiste en una part´ıcula ıcula puntual de masa m, unida al extremo de un hilo cuyo otro extremo est a´ fijo en un techo que tomaremos como el punto O . El movimiento ocurre en un plano. En este 2.3. MOMENTO ANGULAR ANGULAR Y TORQUE TORQUE

O

θ R ´ Facultad de Ciencias Cienci as F´ısicas ısicas y Matem aticas ^ θ

´ Mecanica ejemplo el torque se debe a la fuerza peso, g ρˆ cos θ r R ρˆ ,

r

τ O O

35 ˆ sin θ y θ sin θ

mg

ˆ m R g sin θ k

(2.3.12)

donde R es el largo del hilo. El momento angular, por otro lado, es ˙ k ˆ porque v R θ ˙ θ ˆ . De aqu´ı que sencillamente O r v m R2 θ (2.3.5) implique

¨ θ

g R

sin θ

(2.3.13)

´ de movimiento de un p endulo ´ Esta es la ecuacion de largo R. El movimiento no depende de la masa de la part´ par t´ıcula ıcula que hay en el ´ supone que el hilo esta´ siempre extremo del hilo. Esta ecuaci on tenso, lo que podr´ıa ıa no ocurrir si el movimiento excede θ π 2. ˜ θ 1, se puede hacer la aproSi las oscilaciones son peque nas, ´ sin θ θ y la ecuacion ´ queda ximacion

¨ θ


g R

θ

(2.3.14)


36



´ ´ Uso de coordenadas esf´ esfericas: movimiento en superficie c´ conica ´ ´ Consideremos una superficie conica con eje vertical y v ertice abajo. ´ El vertice se escoge como origen. Una part´ par t´ıcula ıcula P de masa m desliza sin roce por la superficie interior del cono bajo los efectos de la gravedad. Se desea plantear las ecuaciones de movimiento en coordenadas ´ esfericas, las propiedades del momento angular y reducir el pro´ blema a uno para la coordenada esferica r t . La coordenada θ es ´ constante ya que ella es el angulo entre el eje y cualquier generatriz del cono.

^ r ^ θ g

θ

´ fuerzas que el peso y la normal: No hay mas mg

mg

ˆ sin θ θ sin θ

r rˆ cos θ

ˆ N θ

N

(2.3.15)

´ en coordenadas esfericas ´ En este caso particular la aceleraci on es a

ˆ ˙ 2 sin2 θ r ˙ 2 sin θ cos θ cos θ θ r r¨ r φ rˆ r φ

d dt

˙ r 2 φ r

ˆ sin θ φ

(2.3.16)

Puesto que la fuerza total no tiene componente a lo largo de φ ˆ , esa componente de la d 2 ˙ ´ debe ser nula, lo que se reduce a dt 0, es decir, lo que hay en el aceleraci´ aceleracion r φ ´ interior del parentesis entes is es una constante constante ˙ r 2 φ

0

˙ φ

o bien

m r 2

sin θ

(2.3.17)

donde 0 es la magnit magnitud ud del moment momento o ang angula ularr. En efect efecto o, si se calcul calcula a el moment momento o angular angular se obtiene mr r rˆ

ˆ ˙ sin θ θ φ mr 2 φ sin

ˆ r φ sin ˙ sin θ φ r rˆ r r˙ φ

(2.3.18)

que, por lo que se ha dicho, es un vector de magnitud constante: ˆ

0 θ

´ de movimiento a lo largo de r La ecuacion rˆ es ˙ 2 sin2 θ r r¨ r φ

g cos θ

(2.3.19)

˙ se obtiene ´ para φ Reemplazando en ella la expresion r r¨

2 0 2 m r 3

g cos θ

(2.3.20)

´ dif´ que es una ecuacion dif´ıcil. ıcil. Pero ha hay y un caso que es interesant interesante: e: existen existen soluciones soluciones que corresponden a circunferencias horizontales de radio r H . Para estas soluciones r es 2.3. MOMENTO ANGULAR ANGULAR Y TORQUE TORQUE


´ r contante y tambien r¨ lo que implica que

´ 37 Mecanica ´ debe ser nulo, 0 y entonces el lado derecho de la ultima ´ ecuacion 2 0

3 r H

m2 g cos θ

2.3.2. 2.3.2. El cent centro ro de de masa masa y el mome momento nto angul angular ar Se define las posiciones ρa desde el centro de masa, G ρa

r a

(2.3.21)

RG

ρ

k

de velocidad con respecto al sistema CM es ρ˙ a

R

G

va

(2.3.22)

V G

r

O

k

Demuestre que N

∑ ma ρ a

0

(2.3.23)

k 1

´ es util ´ anterior, A veces tambien u´ til la derivada temporal de la relaci on N

∑ maρ˙ a

0

(2.3.24)

k 1

´ se definio´ el momento angular total del sistema y se vi o´ que obedece a En 2.2 tambien ´ la ecuacion d

O

∑ r a

dt

f aext

(2.3.25)

a

El torque total sobre un sistema depende tan solo de las fuerzas externas al sistema. El momento angular del sistema con respecto a su propio centro de masa es N G

∑ ma ρa

va

(2.3.26)

a 1

´ se hace el reemplazo va V G ρ˙ a la forma de G Sin embargo, si en la ultima u ´ ltima expresion se puede simplificar porque V G queda fuera de la sumatoria (no depende de a) y (2.3.24) ´ ´ asegura que ese termino no contribuye a G , concluyendose que N G

∑ ma ρa

ρ˙ a

(2.3.27)

a 1



38

El momento angular

P. Cordero S. & R. Soto B. O


´ se puede escribir tambien N

∑ ma

O

RG

ρ˙ a

V G

ρa

a 1

N

M RG

∑ ma ρ a

V G

ρ˙ a

(2.3.28)

a 1

´ se hizo uso de (2.3.23) y de (2.3.24). El primer t ermino ´ Para obtener la ultima u´ ltima expresion del lado derecho es el momento angular del sistema como un todo con respecto al punto ´ denotado O G O , y sera O

´ mientras que el ultimo u ´ ltimo termino es

G.

G

M RG

V G

(2.3.29)

G

(2.3.30)

D e aqu´ De a qu´ı que O

O

G

´ de movimiento La ecuacion movimiento para cada cuerpo b de masa mb del sistema es mb ρ¨ b

¨ mb RG

F b

Derivando (2.3.27) con respecto al tiempo se obtiene ˙

∑ ρb

G

La ultima ´ suma contiene ∑ mb ρb

F b

¨ mb RG

0 por lo que el resultado es d

G

∑ ρb

dt

F b

b

(2.3.31)

τ G

´ que Se puede anotar tambi en τ O O

∑ r a

f a

a

∑

RG

ρa

f a

a

RG

∑ f a a

G τ O

τ G

∑ ρa

f a

a

(2.3.32)

´ La ultima ´ l´ınea ınea define la notaci not aci on. 2.3. MOMENTO ANGULAR ANGULAR Y TORQUE TORQUE


´ Mecanica El torque del peso respecto a G: Este se calcula como

∑ ma ρa

τ G

39

g

a

0

(2.3.33)

La suma anterior se anula debido a (2.3.23). Ya que τ G el peso es la unica u ´ nica fuerza externa.

0 entonces

G

es constante si

´ a una piscina Un caso particular es el del deportista que se lanza desde un alto tabl on para, despues de algunas volteretas, clavarse en el agua en forma perfecta. Un vez que esta´ en vuelo su momento angular no puede cambiar. Tan solo alargando o acortando su cuerpo y moviendo sus brazos puede controlar su velocidad angular, pero llega al agua ´ Los gatos hacen algo con el mismo G que se dio´ en el momento de despegar del tabl on. ´ parecido para caer siempre de pie.

2.4.

Sistemas de dos dos part´ part´ıculas: ıculas: masa reducida reducida

En general las ecuaciones para un sistema de dos part´ıculas ıculas se puede escribir m1 m2

d 2 r 1

F 12

dt 2 d 2 r 2

F 12

dt 2

(2.4.1)

f 1

(2.4.2)

f 2

´ Ya se sabe que la suma de ambas ecuaciones da la din amica del centro de masa, ecua´ (2.2.12). cion ´ relativa y la masa reducida µ por Si se define el vector de posici on ρ

r 1

r 2

ρ1

ρ2

´ (2.4.1) multiplicada por m2 m1 entonces la ecuacion µ ρ¨

m2

r ¨2

m1

m2

F 12

m2 m1

m2

f 1

m1

(2.4.3)

m2

m2 queda

F 12

´ se le suma (2.4.2) multiplicada por si a esta ecuacion µ ρ¨

m1 m2

µ

m1 m1

m1

(2.4.4)

f 1

m2

m1 f 2

m2 se obtiene

(2.4.5)

´ es equivalente a la ecuaci on ´ de una sola part´ ´ ρ. Esta ecuacion par t´ıcula ıcula de d e masa µ y posicion El problema de dos part´ par t´ıculas ıculas se reduce al problema del movimiento del centro de ´ (2.4.5) para el movimiento relativo. masa y a la ecuaci on Universidad de Chile


40


En el caso usual en que f a


´ anterior se reduce a ma g la ecuacion µ ρ¨

caso especial

F 12

(2.4.6)

´ en la que no interviene sino las fuerza entre las part´ que es una ecuacion par t´ıculas. ıculas. ´ ser escrito usando ρ y la masa El momento angular con respecto a G puede tambien reducida µ . Para lograrlo se debe observar primero que ρ , ρ1 y ρ2 son paralelos y satisfacen ρ1

µ

m1

ρ

µ

ρ2

m2

(2.4.7)

ρ

Entonces G

ρ˙2

m2 ρ2

ρ˙

µ ρ

2.5. 2.5.

ρ˙1

m1 ρ 1

(2.4.8)

Fuerz Fuerzas as centra centrales les

2.5. 2.5.1. 1. La idea idea Una fuerza se dice central, con centro en el punto punto r es

O ,

si el valor de esta fuerza en un

f r r rˆ

F

(2.5.1)

´ desde O del punto donde se define la fuerza, r donde r es el vector posicion r y ´ escalar cualquiera que r rˆ r r . La magnitud f r f r θ φ de la fuerza es una funcion ´ importantes solo depende del escalar r . en los casos mas ´ importantes fuerzas de la naturaleza son centrales, tales como la Como pronto se vera, ´ y tambien ´ la Ley de Coulomb entre cargas electricas. ´ que describe la Ley de Gravitaci ´ Gravitaci on y on En ambos casos f solo depende de r (no depende ni de θ ni de φ ), en cambio en el ´ ´ descrito, la tensi on ´ del hilo es una fuerza con centro en el ejemplo del pendulo recien ´ depende del angulo ´ φ . punto fijo al techo que tambi en El torque τ O ıcula ıcula es una fuerza central, O , en el caso en que la fuerza total sobre una part´ 0 ya que se trata del producto cruz entre dos vectores es nulo, porque τ O r f r r rˆ paralelos. De esto y de (2.3.5) se concluye que en un caso as´ı d dt

0

(2.5.2)

es decir, el momento angular permanece constante,

t

0.

Pero si es constante, y puesto que r p, el plano que definen los vectores r y p permanece fijo, es decir, el movimiento trascurre en un plano fijo. 2.5. FUERZAS CENTRALES CENTRALES


´ Mecanica Resumen: si la fuerza total sobre una part´ par t´ıcula ıcula es una fuerza central, con centro en O , el momento angular O es constante en el tiempo y el movimiento es plano.

2.5.2. 2.5.2.

Corolari Corolario: o: una ley ley de de Keple Keplerr.

41

S1

S2

Si el momen momento to an angular gular se conserva, conserva, entonces entonces ´ areas barridas en tiempos iguales son igua-

Veremos que si se conserva el momento angu- les. lar, la l´ınea ınea que une al punto O con el punto que ´ r t barre areas ´ define el vector posicion iguales en tiempos iguales. Para demostrarlo hay que recordar que si se tiene dos vectores a y b definidos a partir de O , la magni´ ´ tud del producto a b es igual al area del paralelogramo que definen a y b. Si la posi´ de la part´ıcula ˜ instante posterior t ε es cion ıcula en un instante instante t es r t , en un pequeno d r ´ ε dt r t ε v t . El area r t ε r t barrida en este lapso infinitesimal ε es la mi´ ´ ´ ´ ´ tad del area del paralelogramo (porque es el area de un triangulo), es decir, esta area ε 1 infinitesimal vale dS 2 r t r t ε v t que resulta ser dS 2 r t v t que es dS

que

´ sea ε 2m . El infinitesimal ε es un elemento de tiempo dt , y de aqu´ı que qu e la conclusi conclus ion dS dt

(2.5.3)

2m

´ anterior dice que el area ´ En palabras, la expresion barrida por r t —a medida que la ´ part´ıcula ıcula se mueve mueve en su orbita—no depende de t y es proporcional a la magnitud del ´ anterior se integra entre dos instantes arbitrarios t 1 y t 2 momento angular. Si la expresi on de la historia de la part´ par t´ıcula, ıcula, el resultado es S12

Es decir, el tiempos iguales t 2

2m

t 2

(2.5.4)

t 1

´ iguales S12 . t 1 se barren areas

2.6. 2.6. Prob Proble lema mas s 2.1 Considere el movimiento de un proyectil lanzado desde ( x

0 ) con velocidad inicial ´ de gravedad g v ıˆcos θ jˆsin θ v0 y aceleraci ´ aceleraci on g jˆ. a) Determine la trayectoria y x , la rapidez v t en todo momento y el vector tangente unitario t tˆ . b) Si el proyectil ha sido ´ ´ α y α θ ), determine el angulo θ lanzado desde la base de un plano inclinado ( ´ ( angulo 0 y

´ ´ lejos posible. optimo para que el proyect proyectilil golpee al plano lo m ´ m as comienza su movimiento movimiento (sin roce) desde desde la cuspide ´ de una esfera fija de radio 2.2 Una cuerpo comienza ´ R con rapidez v0 . Determinar d ´ d onde el cuerpo pierde contacto con la esfera. Universidad de Chile


42



´ ho- posici on 2.3 Por un riel circunferencial en posici ´

F

rizontal de radio R avanza un cuerpo C 1 de masa m1 arrastrando a un cuerpo C 2 de masa m2 con un hilo de largo R 2. El cuerpo C 1 es movido por una fuerza fuerza

1

2

de magnitud F conocida y fija que es siempre tangencial a la circunferencia. En el instante ´ t 0 los cuerpos parten desde el reposo y en t 0 completan una vuelta. a) Calcule la tensi ´ tensi on del hilo en ese intervalo. b) En el instante instante t 0 se corta el hilo y sobre C 1 continua actuando la misma fuerza. Obtenga el instante t 1 en el cual C 1 alcanza a C 2 .

2.4 En una vara horizonal de largo D hay un

m1

anillo de masa m1 que puede deslizar por la vara vara sin sin roce roce algu alguno no.. De este este anil anillo lo sale sale un hilo en cuyo extremo pende un punto ´ de masa m2, es decir, se tiene un p ´ p endulo simple que no tiene un punto fijo, sino ´ que este desliza en una vara horizontal. ´ para la tensi ´ ´ Encontrar una expresi ´ expresi on tensi on ˙. ´ del angulo ´ φ y de φ del hilo en funci ´ funci on

φ m2

´ de la figura se tiene una 2.5 En la situaci ´ situaci on rueda de masa total M y radio R0 enfren- ˜ de altura a. Determine tando un pelda ˜ pelda no la m´ınima ınima fuerza horizontal horizo ntal F que se debe aplicar para que la rueda supere al ˜ pelda ˜ pelda no.

R 0

F

a

2.6 Una part´ par t´ıcula ıcu la P de masa m se mueve por la superficie interior de un cono de eje vertical, ´ ´ ´ θ y v ertice angulo abajo. Si sobre P actua una fuerza que, exprezada en coordenadas ´ γ r r esf ´ esf ericas, es F rˆ , determine las ecuaciones de movimiento de P en coordenadas ˙ 0 ´ ´ para su velocidad. Datos iniciales: r 0 ω , esf ´ esf ericas y obtenga una expresi ´ expresi on R0 , φ 0. r r˙ 0

2.7 Resuelva el caso de una argolla de masa m en una varilla que gira con velocidad angular uni- ´ ω siempre formando un angulo θ forme: φ ˙ con la vertical. No hay roce entre ambos. To- me como condiciones iniciales que z 0 z0 y 0. Si la varilla gira muy lentamente la . que z˙ 0 argolla cae hacia O . Describa todas las situaciones posibles, desde velocidad angular muy ˜ hasta muy grande y escriba el valor peque ˜ peque na de la velocidad velocidad angular cr´ cr´ıtica ıtica para decidir si cae o sube.

m z

θ O

´ usando coordenadas cil´ındricas ´ unitario Indicaci´ Indicacion: ındricas se puede ver que la varilla apunta en la direcci on ˆ cos θ ρˆ sin θ . La fuerza total es la suma del peso, mgk ˆ y la fuerza normal, que inicialmente se t tˆ k 2.6. PROBLEMAS PROBLEMAS


´ Mecanica

43

debe escribir con un vector general perpendicular a t tˆ . Demuestre que la fuerza normal entonces es ˆ sin θ ρˆ cos θ N n . Una vez que se tiene las fuerzas, la ecuaci on ˆ N φ ´ de movide la forma: N φ k φ miento (II ley de Newton) puede ser escrita y descompuesta en tres ecuaciones escalares. Hay que tomar en cuenta que la argolla solo se puede mover a lo largo de la varilla, es decir, siempre siempre se debe satisfacer ρ t z t tan θ (*). En estas ecuaciones escalares aparecen las cantidades desconocidas ´ libre de estos coeficientes. Tal ´ Tal ecuaci on N n y N φ φ , pero si se usa (*) se puede obtener una ecuaci on entonces se puede integrar y se obtiene z t . A par tir de ah´ı el problema pro blema es muy sencillo. s encillo.

2.8 Hay un hilo enrollado alrededor de un cilindro. El eje del cilindro es horizontal, su radio es R y la altura desde el suelo al eje es L. En el instante inicial est ´ est a´ de- senrollada una parte del hilo, de longitud D, la que se mantiene tirante y horizontal, φ 0. En esa punta del hilo hay un cuerpo de masa m. Este cuerpo se suelta desde el reposo y a medida que cae el hilo se va enrollando. a) Determine la ´ ´ del hilo como funci ´ ´ del angu- ´ tensi on funci on ´ y lo φ . b) D ´ D e´ la forma de la aceleraci ´ aceleraci on determine el radio de curvarura. Interpre- te.

P R

φ

m

L

´ Conviene ´ del cuerpo Indicaci´ Indicacion: Conviene tomar el origen en el eje del cilindro y escribir escribir el vector vector posici on ´ del punto P de tangencia del hilo ( r P en la direcci on ´ ρˆ ) y el como la suma de los vectores posici on ˆ ´ del hilo y que es tangente al cilindro, en la direcci on ´ φ . vector que apunta en la direcci on

´ ´ 2.9 Desde el punto de vista del momento angular estudie el p ´ p endulo c ´ c onico descrito en la sec- ´ 2.3.1. Haga su estudio en dos casos: (a) cuando el origen O para definir el momento ci ´ ci on angular angular y el torque est ´ est a´ al centro de la circunferencia que describe la part´ par t´ıcula ıcula y (b) cuando O se escoge en el punto en que el hilo se une al techo. En ambos casos escriba el vec- ´ ´ de la masa m usando los vectores unitarios asociados a coordenadas c ´ ´ tor posici on c onica, obtenga la velocidad, calcule el momento angular y el torque y compruebe que (2.3.5) se satisface.

2.10 Un astronauta de masa m se aleja de su nave unido a ella por una cuerda, pero impulsado por sus propios cohetes. Debido a que se le acaba el combustible debe ser traido de vuelta recogiendo la cuerda. Esto se comienza a hacer cuando la cuerda est ´ est a´ tirante, tiene una longitud extendida R0 desde la nave y la velocidad angular del astronauta, respecto a la nave, es Ω0 . La cuerda comienza a ser recogida con rapidez constante v0 . Suponga Suponga que ´ alguna en el momento de comenzar a recoger la cuerda. a) Encuentre no hay complicaci ´ complicaci on ´ de la distancia a la nave. b) Si se sabe que la cuersa la rapidez del astronauta en funci ´ funci on ´ m ´ ´ 27 m R0 Ω20 antes de cortarse, determine a qu ´ soporta una tensi ´ tensi on m axima qu e´ distancia de la nave se encuentra el astronauta en el momento en que la cuerda se corta. Nota: la nave tiene masa tan grande que para todos los efectos de este problema puede tomarse como Universidad de Chile


44



un punto fijo. ´ ´ bajo ( φ φ p endulo plano de largo R y masa m es liberado desde su punto m ´ m as 2.11 Un p ´

0 ) con una

velocidad angular ω 0 . No alcanza a llegar a la c´ uspide (altura 2 R medida desde el punto ´ bajo) porque cuando φ toma el valor φ M el movimiento deja de ser circunferencial. m ´ m as ´ para cos φ M en funci on ´ ´ de m, g, ω 0 y R. Obtenga una expresi ´ expresi on ˜ de masa M y sobre la cu na ˜ ˜ hay un 2.12 Sobre un plano horizontal est ´ est a´ apoyada una cu ˜ cu na m h

α

O´ cuerpo de masa m. O Despreciando todos los roces, determine ´ ´ en reposo. el movimiento de este sistema sistema si inicialmente inicialmente ambos cuerpos est an



Cap´ıtu ıtulo 3 Fuerzas Fuerzas espec´ espe c´ıficas ıficas y movimiento movimiento ´ Universal 3.1. 3.1. Ley Ley de Grav Gravit itac aciion Universal 3.1. 3.1.1. 1. La ley ley

a tercera tercera ley de Kepler Kepler dice que el cubo de la distancia media,

p laneta dividida di vidida por el cuadrado c uadrado de su per´ p er´ıodo, ıodo, T , es la misma constante para R, de un planeta todos los planetas, es decir para cualquier planeta a el cuociente R3a T a2

Kepler enuncio´ sus dos primeras leyes en ˜ 1609, mientras que la tercera es de diez a nos ´ 1619. Isaac Newton se bas o´ en la despues,

k

da un valor k que no depende del planeta. tercera ley de Kepler para afirmar en 1666 ´ Kepler Kepler estableci´ establecio´ que las orbitas son elipque existe una fuerza de atracci on o´ n gravitacio´ establecio´ la ley (2.5.3) que ses. Tambien nal que es proporcional al inverso del cuadrasabemos que significa que el momento ando de la distancia entre los dos cuerpos. cuer pos. gular se conserva. ´ Esto ultimo u´ ltimo sugiere que la din amica de los planetas est a´ gobernada por una fuerza cen´ que sufren los planetas tral. Si la fuerza es central de la forma f r r u´ nica aceleracion rˆ , la unica es la centr´ cent r´ıpeta, ıpeta, descrit de scrita a en (1.4.12). (1.4. 12). ¿Qu ¿Q u e´ forma tiene tal ley de fuerza? ´ itas el´ıpticas, ´ ´ Aun cuando los planetas se mueven en orbitas orb ıpti cas, estas son muy poco exc´ excentricas, ´ es decir, son casi circunferenciales. La velocidad media del planeta a es practicamente su velocidad real todo el tiempo, y se puede estimar dividiendo el camino recorrido en ´ 2π Ra por el tiempo T a que tarda, es decir, una orbita: decir, V a 2π Ra T a . Se sabe, ver (1.4.12), a ´ centr´ que la aceleracion cen tr´ıpeta ıpet a ac es de magnitud V a2 Ra , a ac

1

2π Ra

Ra

T a

2

4π 2 Ra

4π 2 R3a

4π 2 k

T a2

R2a T a2

R2a

(3.1.1)

´ a la derecha se ha podido escribir la aceleraci on ´ centr´ Con la ultima u´ ltima expresion cent r´ıpeta ıpet a en 45

46



´ terminos tan solo de la constante 4π 2 k y de la distancia al centro de fuerza (distancia al sol). Por tanto, tanto, la magnitud de la fuerza sobre el planeta a tiene que estar dada por esta ´ multiplicada por la masa del planeta y tiene que apuntar hacia el centro: aceleraci´ aceleracion 4π 2 k M a

F a

R2a

r rˆ

(3.1.2)

El planeta planeta J´ Jupiter u´ piter tiene muchas lunas y ese sistema se comporta como un sistema solar ´ autonomo. Cuando se estudio´ si la ley de d e Kepler (3.1.1) (3.1 .1) se cumpl´ c umpl´ıa ıa para ese es e sistema sistem a se obtuvo que se cumple, pero la constante k que resulta es otra. Hoy sabemos, gracias a ´ universal de Newton, que esa constante k es proporcional a la masa la ley de gravitaci on del objeto masivo que crea la fuerza central (el sol en un caso y Júpiter upiter en el otro). ´ El argumento dado al comienzo, en torno a (3.1.1), tiene sentido tan solo si la orbita es ´ ´ de ese caso particular, ayuda circunferencial o muy pr oxima a serlo. Pero la conclusi on ´ a entender como se puede llegar a concebir la ley de validez universal que ahora se introduce. ´ enunciada por Newton dice que la fuerza de atracci on ´ que La ley universal de gravitaci on ejerce un punto material de masa m A sobre un punto material de masa m B es F sobre B

G

m A m B 2 r AB

r rˆ

(3.1.3)

donde r rˆ es el vector unitario que apunta desde el centro A de fuerza hacia B. ´ G vale La constante universal de gravitaci´ gravitacion 6 6710

G

11

N m2

´ escribir utilizando vectoEsta misma ley se puede tambi en ´ r A y r B respecto a cualquier origen O . La fuer res posicion fuerza za sobre B debido a A es F BA

G

m A m B r B

r A

3

r B

(3.1.4)

K2

r

A

- r

B

B A

(3.1.5)

r A

El movimiento que se deduce con esta fuerza, en par ticular ´ adelante. el movimiento planetario, ser a´ discutido mas O

´ de gravedad 3.1.2. 3.1.2. Acele Acelerac raciion De acuerdo a (3.1.3) la magnitud de la fuerza que la Tierra ejerce sobre un cuerpo de masa m es F ´ UNIVERSAL 3.1. LEY DE GRAVITACION

G

Mm

R

h

2


´ 47 Mecanica donde M es la masa de la Tierra, R es su radio al nivel del mar y h es la altura sobre el nivel del mar que est a´ el cuerpo de masa m. Siempre se identifica esta fuerza con el ´ de gravedad producto m gh , por tanto, la aceleraci on gravedad resulta valer gh

G M R

h

GM 2

R2

1

1

G M

h 2 R

R2 1

G M 2h R

R2

2h

1

(3.1.7)

R

que depende de la altura h. En el calculo anterior se ha supuesto que la altura h es mucho menor que el radio de la Tierra, h R. El radio de la Tierra es R 6 37106 m lo ´ hecha es excelente aun si h es la altura del monte que garantiza que la aproximaci on 3 8 8 10 m). Everest (h ´ de gravedad al nivel del mar. Puesto que la masa de la Se llamar a´ g0 a la aceleracion Tierra es M

5 981024 Kg , resulta G M

g0

R2

98

m

(3.1.8)

s2

´ de gravedad Demuestre que la aceleraci ´ aceleraci on gravedad en Santiago Santiago difiere en menos del 1 % de g0 .

´ 3.2. 3.2. Fuer Fuerza za el´ elastica ideal 3.2.1. 3.2.1. Gener General alida idades des El tipo de problemas que se va a abordar en es´ tiene un grado de aplicabilidad que va ta seccion ´ alla´ de lo que podr´ıa mucho mas ıa aparentar. apa rentar. SuSu ´ trata perficialmente esta seccion tr ata de una part´ pa rt´ıcula ıcula de masa m en el extremo de un resorte cuyo otro extremo esta´ fijo en un punto que se ha designado A en la figura adjunta. Lo que se estudia es ´ como oscila este sistema pero los resultados que se obtiene son generalizables a todo tipo de sis´ temas elasticos.

A

k

r A

D(t)

r

P

La fuerza que ejerce un resorte ideal de largo natural D0 sobre un cuerpo P depende ´ (alargamiento o acortamiento) que sufre el resorte y es linealmente de la deformaci on ´ proporcional a la constante el ´ el astica k del resorte, F e

donde, D t del resorte,

k D t

D0 r rˆ

(3.2.1)

´ r r A es el largo actual del resorte y r rˆ es el vector unitario en la direcci on r rˆ


r r A r r A


48


En particular si A es el origen, es decir r A ´ . denominar la deformaci ´ deformaci on

0, y r rˆ

r r


. La diferencia D t

D0 se suele

Un resorte se dice duro si su constante k es grande y blando en el otro extremo. extremo. ´ de reposo La ley de Hooke se Hooke se refiere a sistemas en los que, al ser sacados de su posici on ´ de equilibrio), aparece una fuerza que es proporcional a la deformaci on, ´ tal (o posicion ´ variados contextos. Cuando una cuerda como en (3.2.1). Esta ley es aplicada en los m as ´ de equilibrio (es pulsada ) aparece una fuerza que, de guitarra es sacada de su posicion de alguna manera, puede ser asimilada a (3.2.1). Al deformar levemente cualquier cuerpo ´ ´ ´ original. Como se ver a, ´ solido aparece una fuerza el astica para restituirlo a su posici on ´ (3.2.1) conduce a una dinamica t´ıpicamente ıpicamen te oscilante, oscil ante, aunque no siempre siempr e lo es. Un sistema oscilante normalmente pierde energ´ıa ıa y, si est a´ libre de influencias que le ´ da d mantengan sus oscilaciones, regresa al reposo. La ley que rige esta p erdida erdi de e energ´ ene rg´ıa ıa ´ adelante cuando se trate al oscilador amortiguado . se vera´ mas Otra variante de los osciladores se refiere al caso real en que el sistema no es saca´ de equilibrio, sino que se aleja bastante de ella. En tales do levemente de su posici on ´ casos es muy t´ıpico ıpico que la ley (3.2.1) deje de ser v alida. Puede ocurrir que la ley sea ´ complicada, como es el caso del p endulo, ´ ´ ˜ mas (2.3.13) versus el pendulo de pequenas ´ (2.3.14). Tambi en ´ esto ocurre, por ejemplo, oscilaciones descrito por la ecuacion ejemplo, cuando ´ elastica ´ ´ plastica. ´ ´ el sistema ya no sufre una deformaci on sino una deformaci on Plastica ´ que cambia la naturaleza del material, como es el caso de un resorte es la deformacion ´ alla´ de un cier to l´ımite que es estirado mas ımite y se deforma defor ma irreversiblemente. irreversiblem ente.

3.2.2. 3.2.2.

Caso Caso unidime unidimensio nsional nal sencillo sencillo

En el caso unidimensional, unidimensional, en que la part´ par t´ıcula ıcula P en el extremo del resorte—cuyo otro extremo esta´ en el origen— se mueve mueve siempre con x t 0, no es necesario usar vectores ´ y la fuerza se puede escribir como F k x D0 lo que conduce a la ecuaci on m x¨ t

k x t

´ anterior tiene como Se puede comprobar que la ecuaci on ´ particular trivial x t solucion D0 . Ella corresponde al caso ´ especial en que el oscilador est a´ en reposo en una posici on ´ de equilibrio . La solucion ´ general del prollamada posici ´ posici on ´ blema se puede integrar f acilmente si se hace el cambio de ´ x t x¯ t D0, porque la ecuacion ´ queda funcion: m x¨¯ t

k x¯ t

(3.2.3)

D0

) t ( x

(3.2.4) t

Se define la frecuencia frecue ncia angular angul ar caracter´ carac ter´ıstica ıstic a del del sistema por ω 0 ´ 3.2. FUERZA ELASTICA IDEAL

k m


´ Mecanica La frecuencia propiamente tal se denota ν y se relaciona a ω 0 por ω 0 2π 1 de tales oscilaciones es T ω ν . 0

49 2π ν . El E l per´ p er´ıodo ıo do

´ m as ´ general de la ecuacion ´ es x¯ t Se puede comprobar que la solucion solucion ´ original x t esta solucion ´ es B cos ω 0 t . Volviendo a la funci on x t

A sin ω 0 t

D0

A sin ω 0 t

B cos ω 0 t

(3.2.6)

Las constantes A y B dependen de las condiciones iniciales. Por ejemplo, si x 0 ´ se convierte en x˙ 0 v0 entonces la solucion x t

v0

D0

ω 0

sin ω 0t

x0

x0 y

D0 cos ω 0t

(3.2.7)

γ 0

(3.2.8)

´ (compruebelo). ´ anterior en la forma Escriba la soluci ´ soluci on x t

D0

C sin ω 0 t

´ entre ( C y encuentre la relaci ´ relaci on C , γ 0 ) y ( x0 , v0 ).

´ x t que ha quedado definida oscila en el tiempo en forma sinusoidal, tomando La funcion 2π iguales valores en tiempos separados por un múltiplo ultiplo entero de T ω (T es el p per´ er´ıodo ıo do 0 ´ x t ), ver la figura asociada a la soluci on ´ de la ec. (3.2.4). de la funcion Demuestre, Demuestre, a partir de (3.2.6), que x t son x t

D0

´ cuyos valores m ´ ´ mo y m´ınimo D0 es una funci ´ funci on m aximo axi ınim o A2

max min

B2

(3.2.9)

´ Estos valores son la amplitud de amplitud de las oscilaciones y describen cuanto se aleja alej a la part´ par t´ıcula ıcula ´ de reposo. oscilante de su posici on r eposo. ´ que se ha visto est a´ caracterizada por una frecuencia ω 0 La solucion k m. Si el ´ grande, pero si se aumenta el valor de la resorte es duro ( k grande) la frecuencia es mas masa la frecuencia baja. ˜ Este compor tamiento se s e puede apreciar aprec iar de la siguiente siguie nte forma. Un veh´ıculo ıculo dise dis e nado para acarrear grandes cargas tiene resortes (sus amortiguadores) muy duros, de tal modo que cuando cuando va bien cargado cargado las vibraciones vibraciones que le provoca provoca las irregulari irregularidade dades s del camino se convierten en frecuencia frecuencias s bajas (suaves (suaves se dir´ıa ıa en lenguaje coloquial), pero si ese ´ mismo mism o veh´ıculo ıcul o va vac´ıo ıo (masa (m asa chica c hica)) vibrar vi brar a´ a alta frecuencia y se sentir a´ aspero . ´ de (3.2.6) la funci on ´ x toma valores extremos cuando x˙ En la notacion en t t 1 si A cos ω 0t 1 B sin ω 0t 1 lo que ocurre si tan ω 0t 1 Universidad de Chile

A B

0, lo que ocurre


50



Al reemplazar este valor en (3.2.7) se obtiene x

D0

v20

ω 02

x0

D0

2

(3.2.11)

´ Con signo se tiene el valor m aximo de x y con el signo sign o menos se tiene tien e el valor val or m´ınimo. ınimo. ´ es equivalente a (3.2.9). Esta expresion

´ ´ 3.3. 3.3. Fuer Fuerza za de roce oce est estatico y dinamico ´ en contacto, sobre cada uno de ellos actua Ya se ha dicho que si dos cuerpos est an ´ unica una fuerza llamada de contacto . Esta fuerza tiene una descomposici on ´ en una componente perpendicular a la superficie tangente al contacto, que se denomina normal , N , y una componente paralela al contacto, que es la fuerza de roce . Si no hay movimiento relativo entre las dos superficies en contacto, la fuerza paralela al ´ contacto que actua sobre cada uno de los dos cuerpos se llama fuerza de roce est ´ est atico , ´ relativo, se llama fuerza de roce din ´ din amico , F RD . F RE , mientras que si hay movimiento relativo,

´ 3.3. 3.3.1. 1. Roce Roce est estatico Al aplicar una fuerza F sobre un cuerpo A apoyado en una superficie, puede ocurrir que A no Fuerza aplicada ´ de se mueva. Esto se debe a que en la regi on externamente contacto entre A y la superficie aparece la fuerza, ´ llamada de roce est ´ est atico , que se opone al moviexterna sobre un cuerpo ´ co an miento miento.. Esta Esta fuerza fuerza de roce estatico ati anula ula la comcom- Al aplicar una fuerza externa est a´ apoyado apoyado sobre una superficie superficie puede puede ponente F de la fuerza F que es paralela al con- que est ´ tacto tacto.. Si F sobrepasa sobrepasa un cierto cierto valor, valor, el cuerpo ya ya ocurrir que este cuerpo no se mueva. ´ no podra´ permanecer en reposo. El valor valor m aximo alcanzado por F RE obedece la siguiente ley, que depende del valor de la magnitud de la fuerza normal, N presente en el contacto, F RE

µ e N

(3.3.1)

´ arriba y µ e es el llamado coeficiente de donde N es la fuerza normal mencionada m as ´ roce est ´ est atico . Este coeficiente depende de la naturaleza de los materiales en contacto y de la calidad, por ejemplo la rugosidad, r ugosidad, de las superficies. E JEMPLO : Las fuerzas fuerzas sobre un vaso vaso sobre una mesa inclina inclinada da son: su peso, peso, mg, que ˆ, ´ k apunta vertical hacia abajo, la normal N que apunta perpendicular a la mesa (direcci on ´ ´ paralela a la mever figura) y la fuerza de roce estatico, F RE que apunta en una direccion

sa. ´ ´ 3.3. FUERZA DE ROCE ROCE ESTATICO Y DINAMICO


´ Mecanica ´ la aceleracion ´ es Puesto que el vaso est a´ inmovil nula y por tanto la fuerza total es cero, es decir, N F RE mg 0. Las fuerzas se pueden escribir: ˆ N k

N

Normal

α

(3.3.2)

ˆ cos α m g k

mg

51

ıˆ sin α

k

(3.3.3)

´ la fuerza de Puesto que estas dos fuerzas mas roce deben sumar cero, y la fuerza de roce por ˆ, ´ no tiene componente en la direcc on ´ k definicion necesariamente se cumple que la fuerza de roce es paralela a ıˆ y F RE N

ıˆ m g sin α kˆ m g cos α

i

roce

peso

(3.3.4) Un vaso en reposo sobre una mesa inclina- (3.3.5)

´ da. La suma de la normal y el roce est est ´ atico cancelan exactamente al peso.

Como se puede apreciar, la magnitud de la fuerza ´ de roce estatico queda determinada por el valor ´ de la condici on ´ de que la suma total garantice (en este ejemplo) de otras fuerzas a traves ´ (3.3.1) implica que tan α µ e . el reposo. La condici on E JEMPLO : Una cinta como la que se muestra en la figura adjunta, tiene la forma del manto ´ circular de radio R, y gira con velocidad angular de un cilindro de eje vertical y de secci on ω . uniforme

En el interior de la cinta est a´ apoyado un cuerpo de masa m como lo muestra la figura adjunta. ´ Si se conoce el coeficiente de roce est atico entre este cuerpo y la cinta, se ver a´ que se puede determinar el m´ınimo ınimo valor que debe tener ω para que el cuerpo de masa m no caiga.

F RE N

R

mg

Usando coordenadas cil´ındricas, ındricas, la fuerza normal, que actua sobre el cuerpo tiene que apuntar perpendicular a la superficie de la cinta: N N ρˆ , pero el valor del escalar N aun no se coˆ . Se puede adivinar noce. El peso es mg m g k ˆ : Una cinta circular gira con velocidad angular ´ k que la fuerza de roce F RE apunta apunta en la direcci dirección ˆ . Esta vez la suma de todas las fuerzas uniforme ω en torno a un eje vertical. En el F RE F k interior de la cinta se mantiene fijo un objeto debe ser igual al producto de la masa por la ace´ gracias al roce est ´ est atico. ´ del cuerpo que tiene movimiento circuleracion lar con velocidad angular uniforme. Esta acelera´ de acuerdo a (1.2.4), en este caso es R ω 2 ρˆ . Todo esto conduce entonces a dos cion, relaciones escalares: (3.3.6) F mg y N m R ω 2 Universidad de Chile


52


µ e m R ω 2 , con lo que finalmente se

´ Pero la ley (3.3.1) de roce est atico exige que F obtiene que ω


g

(3.3.7)

µ e R

´ Si la velocidad angular tuviera un valor menor que este, el cuerpo cu erpo no podr´ıa ıa tene tenerr roce ´ estatico y cae. Resuelva el problema de la cinta que aparece en el texto principal, pero esta vez la velocidad angular de la cinta no es uniforme sino que ω Ω α 0 t . La velocidad velocidad angular inicial Ω satisface la desigualdad (3.3.7) . ´ ´ ´ apo- Sobr Sobre e una una supe superfi rfici cie e qu que e corr corres espo ponde nde al inte interi rior or de un cono cono verti vertica call con con v ertice abajo est a´ apoyado un cuerpo de masa m. Cuerpo y superficie giran giran con velocidad velocidad angular ω constante, constante, en torno torno al eje vertical, vertical, sin que el cuerpo deslice. deslice. Encuentre las condiciones condiciones para que esto ocurra. ocurra. Al analizar este problema debe cuidadosamente analizar diversos casos. Por ejemplo, se debe separar ´ los casos en que g cos θ ρ ω 2 sin θ es positivo positi vo o negativo. negat ivo. Aqu´ı ı θ es el angulo entre la vertical ´ ´ de gravedad y ρ es la distancia entre el cuerpo y el y una generatriz del cono, g es la aceleraci aceleraci on ´ eje de rotaci rotaci ´ on.

´ 3.3. 3.3.2. 2. Roce Roce din dinamico ´ El roce dinamico existe cuando hay movimiento relativo entre las superficies en contacto. La fuerza de roce en este caso depende de la velocidad relativa entre el cuerpo que se estudia y la superficie con la que est a´ en contacto: vrel v vs , donde v es la velocidad ´ del cuerpo y vs es la velocidad de la superficie. La ley de roce din amico es F RD

µ d d N vˆrel

(3.3.8)

donde µ d d es un coeficiente que depende de la naturaleza de las superficies en contacto, N N es la magnitud de la fuerza normal sobre el cuerpo que desliza y vˆrel vrel vrel ´ de la velocidad relativa entre ambas sues el vector unitario que apunta en la direcc on perficies. Es muy notable que esta fuerza no depende de la magnitud de la superfice de contacto. El contacto entre dos cuerpos, cuer pos, entonces, esta´ caracterizado en general por dos coeficientes de ro´ ce, el coeficiente de roce est atico y el coeficiente ´ de roce dinamico. Siempre se cumple que µ e

µ d d

φ

(3.3.9) direccion de maxima pendiente

α

´ E JEMPLO : Consideremos un pendulo de largo R ´ p endulo apoyado en un plano que produ- apoyado en un plano inclinado. El plano forma un Un p ´ ce roce. ´ ´ 3.3. FUERZA DE ROCE ROCE ESTATICO Y DINAMICO


´ 53 Mecanica ´ α con el plano horizontal. Se escoge coorangulo denadas cil´ındricas ındric as con eje ej e que pasa por po r el punto fijo del hilo y con con eje Z perpendicula perpendicularr al plano plano inclinado. Entonces la coordenada ρ siempre vale R y la coordenada z siempre es nula. Para ´ ´ φ que se indica en la figura adjunta. describir el estado del p endulo basta el angulo ˙ 0 ´ es r R ρˆ . Se da como condiciones iniciales φ 0 0 y φ 0. El vector posicion ´ se sabe que se detiene en φ φ 1 sin haber retrocedido nunca. Veremos que Ademas ˆ, estos datos determinan el valor del coeficiente de roce µ d N k d . La fuerza normal es N ˆ ´ del hilo es T µ d la tension T ρˆ , la fuerza de roce es F RD d N φ , el peso es mg ˆ cos α sin α φ cos ˆ cos φ ρˆ sin φ . La fuerza total entonces vale φ m g k F

mg sin α sin φ

T ρˆ

ˆ µ d d N φ

α cos φ mg sin α cos

ˆ mg cos α k

N

(3.3.10)

ˆ la correspondiente componente de la ´ k pero como no hay movimiento en la direcc on fuerza tiene que ser nula, lo que implica que N

El torque es τ

m g cos α

(3.3.11)

ˆ. ´ componente a lo largo de k F , por tanto el torque tiene s olo

Rρˆ

De (1.2.4) se obtiene que la velocidad y la acele´ estan ´ dadas, en el caso actual, por raci´ racion v

˙ φ ˆ R φ

a

˙ 2 ρˆ R φ

¨ φ ˆ R φ

k

(3.3.12)

Entonces el momento angular vale m Rρˆ ˆ ˙ k m R2 φ

˙ φ ˆ R φ

α (3.3.13) La situaci ´ ´ de la figura anterior pero vista en situaci on ˆ se esco- forma trasversal. El vector unitario k

y de aqu´ aq u´ı d dt

ge perpendicular al plano inclinado.

ˆ ¨ k m R2 φ

(3.3.14)

ˆ . La ecuaci on ´ apunta en la direcci on ´ k ´ que es consistente con que el torque tambi en ´ dinamica que resulta es ¨ R φ

α cos φ g sin α cos

µ d d g cos α

(3.3.15)

´ es multiplicada por φ ˙ se puede integrar f acilmente ´ Si esta ecuacion y se obtiene 1 ˙2 R φ 2

sin α sin α sin φ

µ d d φ cos α g

(3.3.16)

´ Si en este resultado se reemplaza por el valor φ 1 para el cual el p endulo se detiene, se debe tener que el lado izquerdo sea nulo y entonces Universidad de Chile


54


0

sin α sin α sin φ 1

µ d d φ 1 cos α g


(3.3.17)

que implica µ d d

sin φ 1 tan α φ 1

(3.3.18)

Considere el sistema que se muestra en la figura. Se trata de un bloque de masa m sobre una cinta sin fin que ´ se mueve con rapidez uniforme v0 . El bloque est a´ ademas ´ unido a un resorte de constante elastica k y largo natural ´ ´ D0 . El bloque tiene coeficientes de roce est atico y dinamico ´ µ e y µ d exhaustivo del tipo de d con la cinta. Haga un an alisis movimiento que tiene el bloque bloque seg un u ´ n el valor de v0 cuando ´ parametros ´ ´ fijos. Puede darse las condilos demas estan ciones iniciales que estime conveniente.

Un bloque apoyado en una cinta ´ unido a un resin fin esta´ tambien sorte. Puede haber momentos en ´ que hay roce est atico.

3.4. 3.4. Roce Roce visc viscos oso o 3.4.1. 3.4.1. Gener General alida idades des Cualquier Cualqu iera a que ha haya ya tratad tratado o de correr correr con el V I E N T O agua hasta la cintura sabe que el paso de un ´ de un medio fluido encuentra una cuerpo a traves resistencia al movimiento. movimiento. A esta fuerza la llama´ remos fuerza de roce viscoso . Este fen omeno es ´ complejo porque depende de muchos par ame´ tros. Por ejemplo depende de la forma del s oliEl roce viscoso depende de la forma del ob´ do, pero ademas—dada una forma—depende del ´ del angulo ´ jeto y tambi en entre esa forma y la ´ angulo con que el cuerpo enfrenta al fluido. Develocidad relativa al medio fluido. ´ de la naturaleza de la superficie pende ademas ´ (suave, aspera ..), depende depen de de la forma espec´ e spec´ıfiıfi´ ca como el fluido se relaciona con la superficie s olida (por ( por ejemplo, ej emplo, impor ta si un u n l´ıquido ıquido ´ moja o no moja a ese s olido), depende de la temperatura etc. ´ Simplificando mucho el fen omeno se puede p uede decir deci r que hay dos reg´ımenes: ımenes: el e l fluido rodea rod ea ´ al s olido en forma suave (se dice, flujo laminar ), ), o bien el fluido forma turbulencias. En ´ abajo en la el primer caso la ley de roce queda bien descrita por una ley lineal (ver m as ´ sec. 3.4.2) o, si es turbulento, por una ley cuadr atica, descrita en la sec. 3.4.3. 3.4. ROCE VISCOSO VISCOSO


´ Mecanica

55

3.4.2. 3.4.2. Roce Roce viscos viscoso o linea lineall La ley de roce viscoso lineal establece que esta fuerza es proporcional a la velocidad ´ relativa entre el s olido y el fluido y el coeficiente de proporcionalidad es negativo F rvl

(3.4.1)

cv

´ donde c 0, y c, como ya se ha dicho depende de una gran cantidad de par ametros particulares a cada caso. E JEMPLO : Consideremos el lanzamiento de un proyectil tomando en cuenta el roce vis-

´ de movimiento coso del aire, el cual supondremos que es de tipo lineal. La ecuaci on es m

d 2 r

c

dt 2

d r dt

mg

(3.4.2)

´ del eje X tal En coordenadas cartesianas con eje Z vertical, y escogiendo la orientaci on ˆ z0 , todo el movimiento transcurre en el que la velocidad inicial conocida sea v0 ıv ıˆv x0 kv ´ se puede escribir por componentes en la forma plano X Z y la ecuacion m

dv x

m

c v x

dt dv z

c v z

dt

mg

que son dos ecuaciones independientes. independientes. ´ se puede escriLa segunda ecuacion bir en la forma dv z dt mg v z c

c

dv z

o bien

m

v z

mg c

3

c m

dt

2

(3.4.3)

1

Recordando que la primitiva asociada a integrar sobre v z al lado izquierdo es

0

ln v z

mg

-1

c

-2

y la primitiva al integra sobre t al la-3 do derecho es t mismo entonces, in0 1 2 3 4 5 6 tegrando entre t 0 y t a la derecha y, Cualquiera que sea la condicion ´ inicial para v z esta comcorrespondientemente,, entre v z0 y v z t ponente de la velocidad, con el transcurso del tiempo v z t correspondientemente a la izquierda, se obtiene ´ se acerca siempre a un mismo valor asint otico. v z t

v z0 e

ct m


mg c

1

e

ct m


56

P. Cordero S. & R. Soto B. mg . c

En particular, se puede ver que cuando t ∞, v z ´ de v z con diversos valores iniciales v z0 . la evolucion


En la figura adjunta se muestra

´ Puesto que la velocidad asint otica en este ejemplo, es negativa negativa se puede observar obser var que si el valor inicial es positivo, en algún un momento se anula. Esto quiere decir que el proyectil 0, en alg esta´ inicialmente subiendo v z 0 algun u´ n momento t su velocidad vertical se anula 0 para finalmente comenzar a descender, 0. v z t descender, v z t ´ z t que surge de lo anterior es Demuestre que la funci ´ funci on z t

z0

m c

v z0

g t

m2 g

m

mg

c2

c

c

v z0 e

Una trayectoria trayectoria bal´ıstica ıstica con este tipo de viscosidad se obtiene usando ´ similar para (3.4.5) y una expresion x t . La unica u´ nica diferencia es que en la ´ X se debe eliminar los t ermi´ direccion nos que contienen g, x t

x0

m c

v x0

m c

v x0 e

ct m

(3.4.6)

ct m

(3.4.5)

Proyectil y viscosidad

a r u t l a

Combinando (3.4.5) y (3.4.6) se obtiene trayectorias como la que se muestra en la figura. Margin Marg inal alme ment nte e se hace hace nota notarr que de x (3.4.6) se puede despejar t para utilizar Trayectoria de un proyectil para el cual la viscosidad del esa forma en (3.4.5) lo que da a z como aire tiene un efecto apreciable. Para calcular esta curva ´ de x. En efecto funcion ´ se utiliza la ley de roce viscoso lineal siguiendo el m etodo t

m c

ln 1

c x

x0

(3.4.7)

m v x0

que se indica bajo (3.4.5)

y entonces z x

z0

mg c v x0

v z0 v x0

x

x0

m2 g c2

ln 1

c x

x0

m v x0

(3.4.8)

es la trayectoria del lanzamiento lanza miento bal´ ba l´ıstico ıstico con roce viscoso lineal. lin eal. Se sabe que en lanzamiento lanzamiento bal´ıstico ıstico sin roce viscoso desde un punto a otro a igual altura, altura, π ´ ´ el alcance m ´ m aximo se obtiene cuando la velocidad inicial forma un angulo de 4 con respecto a ´ para el alcance m ´ ´ ´ similar pero cuando el la vertical. Obtenga la expresi ´ expresi on m aximo en una situaci ´ situaci on roce viscoso lineal es tomado en cuenta. cuenta.

´ (3.4.4) y (3.4.5) parecen ser singulares para c 0, ya que c aparece Tanto la solucion en denominadores. Esto, sin embargo, es solo aparente. Si se analiza, por ejemplo, el ´ ´ caso de (3.4.4), el primer t ermino sencillamente tiende a v z0 mientras que el par entesis 3.4. ROCE VISCOSO VISCOSO


´ Mecanica

57 c2 t 2

´ ´ 1 1 ct en el ultimo ´ termino contiene 1 exp ct m Si esta expresion m 2m2 0 se obtiene g t y el resultado neto es se multiplica por mg c y se hace el l´ımite ımite c ´ conocida en el caso sin roce viscoso. v z t ; c 0 v z0 g t que es la solucion

´ 3.4.3. 3.4.3. Roce Roce viscos viscoso o cuadr cuadratico ´ En el caso del roce viscoso cuadr atico la fuerza de roce es (3.4.9)

η v v

F rvc

´ Sin gravedad: Como primer ejemplo resolvamos el sencillo caso en que esta es la unica u´ nica fuerza ´ Supondremos que v y el movimiento es en una sola direcci on.

0 todo el tiempo, entonces

η v2

mv˙

´ anterior en la forma que se resuelve primero escribiendo la ecuaci on dv

η

v2

m

dt

Si el lado derecho d erecho se integra entre t 0 y un valor arbitrario de t , el lado derecho debe integrase entre el valor de v en t 0, que se denotar a´ v0 y un valor arbitrario v t . Se obtiene entonces 1

1

v t

v0

que da v t

η t m v0

1

η v0 m

(3.4.10)

t

´ Se pued puede e not notar ar que la veloc elocid idad ad inic inicia iall es real realme ment nte e v0 y que que la veloc elocid idad ad decr decrec ece e mo mon n otonamente ´ ´ a cero. con el tiempo acerc andose cada vez m as

´ hay graveda Con graveda gravedad: d: Ahora Ahora se ana analiz lizar ara´ un caso aso en que que adem además gravedad. d. Este caso caso es intr´ intr´ınseınse´ complicado que el caso de viscosidad lineal y solo se estudiar a´ el movimiencamente mucho m as to rectil´ıneo. ıneo. Se supondr a´ que el eje Z es vertical hacia arriba y que hay una fuerza constante m g. La fuerza de roce ro ce viscoso apunta apu nta hacia arriba arri ba si la par t´ıcula ıcula desciende descien de y apunta hacia ha cia abajo si va asciendiendo, es decir, m z¨ t

´ es z¨ Como siempre, la aceleraci on E L DESCENSO , v t

(3.4.11)

mg

v˙ y la velocidad es z˙

v.

´ es v y entonces la ecuaci on

0. En este caso z˙ mv˙


η z˙ t z˙

η v2

mg


58



´ en que la velocidad vale v Existe una soluci on m g η todo el tiempo, ya que con ella el lado ´ anterior es nulo. A esta velocidad (negativa) derecho de la ecuacion (negativa) tan particular par ticular la llamaremos v∞ , con mg

v∞

(3.4.13)

η

que es una cantidad positiva. ´ transparente el m etodo ´ ´ se hara´ el cambio de funci on ´ v t V t y Para hacer m as de soluci on ´ dinamica ´ como se trata del caso v 0 entonces V 0. La ecuaci on con esta nueva variable es η V 2

˙ m V

η

˙ V

o bien

mg

V 2

m

v2∞

(3.4.14)

´ diferencial, y se puede escribir como una relaci on η dt m

dV V 2 v2∞

(3.4.15)

Que, al lado izquierdo, izquierdo, se integra desde V 1 que es el valor inicial (t V t V 1

V 2

t

η

dV v2∞

m

η

dt

m

0

t

0) de V t (3.4.16)

La integral del lado izquierdo izquierdo solo tiene sentido si el denominador en el integrando no se anula en ´ Veremos que este denominador nunca se anula. el rango de la integraci´ integracion. La primitiva de la integral a la izquierda es 3

1 2v∞

ln

y del lado derecho es entonces 1 ln 2v∞

v∞

V t

v∞

V t

2.5

2

η t m. Al integrar se obtiene

1.5

v∞

V t

v∞

V 1

v∞

V t

v∞

V 1

η t m

1

0.5

Si para algún instante finito ocurriera que V t v∞ el 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 argumento argumen to del de l log aritmo se anular´ an ular´ıa ıa lo que implicar´ıa ıa Se puede apreciar el comportamiento de V t un lado izquierdo igual a ∞ que contradice que se dado en (3.4.17) para diversas velocidades trate de un instantre finito. Por tanto V t v∞ para iniciales y un v∞ común. un. todo t finito. El lado izquierdo se anula cuando V t V 1 que es lo que se debe esperar ya que V 1 es la velocidad cuando ´ expl´ t 0. La solucion exp l´ıcita ıci ta es es V 1 cosh

gt v∞

v∞ sinh

gt v∞

v∞ cosh

gt v∞

V 1 sinh

gt v∞

V t

3.4. ROCE VISCOSO VISCOSO

v∞

(3.4.17)


´ Mecanica

59

´ tiende a 1 y se obtiene v∞ como debe ser mientras que si se toma Cuando t ∞ la fracci on ´ ´ t 0 los senos hiberb olicos se anulan mientras los cosenos hiperb olicos se hacen 1 y se obtiene ob tiene ´ es mon otona ´ V 0 V 1 . Esta funci on entre t 0 y t ∞. En el caso especial V 1

0 el resultado es V t ; V 1

0

g t

v∞ tanh

(3.4.18)

v∞

´ sencillo es resolver la Otro caso especial de (3.4.17) es aquel en que no hay gravedad. Lo m as ´ desde el comienzo con velocidad ecuacion velocidad inicial V 1 y g 0. Pero si se toma el l´ımite ımite de (3.4.17) 0. Se obtiene cuando v∞ V t ; g

V 1

0

η V 1 m

1

(3.4.19)

t

que es el resultado ya visto (3.4.10). Ahora se deducira´ la velocidad v f que tiene un cuerpo, que comienza a caer desde el reposo y altura z h, al llegar al punto z 0. Cuando no hay roce un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba, regresa al punto de partida con una velocidad igual a la de partida escepto por el signo. Con viscosidad se ver a´ que eso no es cierto. ´ comoda ´ La forma m as de llegar a este resultado se consigue desde (3.4.15) retomando que V v y por tanto dV dv dv v2

g dt v2∞

(3.4.20)

v2∞

´ por v, en el numerador Al multiplicar esta relaci on numerador de la izquierda aparece v dv v˙ dt

1 2

dv 2 y al derecho

dz

1 2

v f 2

0

dv 2 v2

v2∞

0

g dz

(3.4.21)

v2∞

h

´ va Lo que se acaba de escribir es que la velocidad var´ıa ıa desde cero a v f mientras la posici on desde z h hasta z 0. Al integrar se obtiene h

v2∞

2g

ln 1

v f 2

(3.4.22)

v2∞

o bien, v f

1

exp

2g h v∞ v2∞

(3.4.23)

Haga el l´ımite ımite de (3.4.23) cuando el coeficiente de roce viscoso η se anula.



60


´ es 0. La ecuacion

E L ASCENSO , v m v˙ t

η v2


o bien

mg

η 2 v v2∞ m (3.4.24)

v˙ t

d a d i c o l e v

´ repres 0 esta ecuaci Puest Puesto o que v ecuaci on represent enta a una ´ ´ opuesta a la fuerpar pa r t´ıcula ıcu la P moviendose endos e en direcci dirección za constante m g, lo que permite adivinar que P acabara´ por detenerse. Seguidamente comenzara´ a mo´ opuesta pero ese es el otro caso verse en la direcci on ya estudiado v 0. De (3.4.24) se obtiene que v t v0

v2

t

η

dv v2∞

m

(3.4.25)

dt

tiempo

Forma como decrece v t en un movimiento ascendente, según un (3.4.27), por efecto del ´ peso y de una viscosidad cuadr atica.

0

que conduce a 1 v∞

v t

arctan

arctan

v∞

v0

η

v∞

m

t

(3.4.26)

que puede ser reescrito como v t

tan arctan

v0

g t

v∞

v2∞

v∞

(3.4.27)

´ que tiene una apariencia algo complicada est a´ representada en la figura asociada Esta expresi on ´ a (3.4.27), vale v0 cuando t 0 y luego decrece mon otonamente hasta anularse en un tiempo finito t 1 . Si se s e toma to ma el l´ımite ımite g 0 da el l´ımite ımite correcto corre cto descrito por (3.4 .10). ´ se hace cero cuando el argumento de la funci on ´ tangente se anula, lo que ocurre La solucion o curre en el instante t 1 tal que v2∞

t 1

g

v0

arctan

(3.4.28)

v∞

´ inicial hasta el la posici on ´ de maxima ´ La distancia h que recorre desde la posici on altura en el instante t 1 en que el cuerpo se detiene se puede obtener a partir par tir de multiplicar los integrandos de ´ inicial (3.4.24) por v t la ecuacion 0 v0

v2

h

η

v dv v2∞

m

dz

(3.4.29)

0

que lleva a h

m

2η

ln

v20 v2∞

1

(3.4.30)

´ se iguala con la que se obtuvo en (3.4.22) se despeja Si esta expresi on v f 2

3.4. ROCE VISCOSO VISCOSO

v20

1

v20 v2∞

(3.4.31)


´ Mecanica que claramente muestra que v f 2

61

v20 . La igualdad se da tan solo si η

0.

Deduzca que el viaje de regreso tarda un tiempo ∆,

∆

v∞ g

v0

arctan

v20

(3.4.32) v2∞

3.5. 3.5. Prob Proble lema mas s ´ senala˜ Este cap´ıtulo ıtulo tiene varios problemas propuestos en medio del texto. Ellos est an ´ dos con el signo . Aca´ se ofrece otros mas. ¨ d ω ´ angular ω dt α 0 una 3.1 Cuando comienza a girar un disco horizontal con aceleraci ´ aceleraci on angular φ ´ ´ Cuando la velocidad hormiga se encuentra durmiendo a distancia R del centro de rotaci on. angular alcanza el valor ω 0 la hormiga comienza a deslizar. Obtenga el valor de coeficiente ´ de roce est ´ est atico hormiga-disco.

3.2 Sobre una superficie horizontal hay un cuerpo de masa m unido a un resorte horizontal de ´ ´ contante el ´ el astica k y longitud natural D0 . El coeficiente de roce din ´ din amico entre entre el cuerpo y la superficie es µ . Si desde el reposo el cuerpo es liberado liberado cuando el resorte est ´ est a´ estirado un largo D 0 D0 d discuta cuantas veces el cuerpo alcanza a oscilar antes de detenerse. Analice distintas situaciones. 3.3 Un anillo desliza, en ausencia de gravedad y con coeficiente de roce µ en un riel circunfe- ˙ 0 0 y φ ω 0 , determine rencial de radio R. Si en t 0, φ 0 determine φ t . 3.4 Un cilindro de radio R y eje horizontal rota sobre su eje a velocidad angular constante ω . En el ´ movi ´ ´ instante t 0 est ´ est an movi endose solidariamente con el cilindro dos cuerpos de masa m, el primero est ´ est a´ a la misma altura que el eje, en la zona descendiente y el segundo est ´ est a´ en el punto ´ bajo. Determine los valores posibles para m ´ m as ´ el coeficiente de roce est ´ est atico para que estos cuerpos no deslicen en ese instante. Analice qu ´ qu e´ puede ocurrir en momentos posteriores.

R

ω

3.5 Un cuerpo en reposo se deja caer al agua desde una altura h1 por sobre la superficie. Desprecie las fuerzas de roce que pudiera haber con el aire. Cuando el cuerpo penetra el agua aparecen aparecen dos fuerzas, fuerzas, la de Universidad de Chile


62



roce viscoso, F rvl c v y una fuerza llamada mada empuje, empuje, vertical vertical hacia hacia arriba arriba de ´ magnitud λ m g. Determine el valor m ´ m aximo que puede tomar h1 para que el cuerpo no toque el fondo, que est ´ est a´ a distancia h2 de la superficie.

h1

h 2

3.6 Un cuerpo A de masa m est ´ est a´ sobre una mesa, unido a la pared por un resorte de resorte ´ ´ constante el astica k y largo natura D0 . De A A sale un hilo tirante horizontal que pasa por un apoyo ideal (sin roce) y luego de B ´ este hilo cuelga un cuerpo B que tambi ´ tambi en tiene masa m. Se conoce los coeficientes µ e 1 y µ d d de A con la mesa y el sistema se suelta desde el ´ reposo en el momento en que el resorte tiene su largo natural. a) Determine el largo m ´ m aximo ´ que alcanza el resorte; b) encuentre el valor m ´ m aximo que toma la rapidez rapidez desde el instante instante ´ ´ es el valor m´ınimo c) ¿cu ´ inicial hasta el momento del estiramiento m ´ m aximo; ¿cu al ınimo de µ d d para ´ que los bloques queden en reposo en el momento del estiramiento estiramiento m ´ m aximo? ´ 3.7 Se tiene una superficie c ´ c onica que gira con velocidad angular contante ω en torno a su propio propio eje de simetr simetr´´ıa, ıa, que se ´ mantiene vertical. El angulo entre el eje y π una generatriz es 4 . En la superficie interna est ´ est a´ apoyado un cuerpo de masa m, a distancia ρ0 del eje, el cual, debido al roce con coeficiente µ e , no desliza a pesar de su peso. a) Obtenga la velocidad angular ω ω c necesaria para que tal fuerza sea exactamente exactamente nula. b) Suponga Suponga que ´ ahora ω ω c y obtenga el m ´ m aximo valor que puede tener ω para que el cuerpo no deslice.

ω ρ

0

g

π/4

3.8 Hay un hilo enrollado alrededor de un cilindro de radio R. En la punta del hilo hay un cuerpo 0, con velocidad inicial v0 perpendicular al hilo, lo de masa m que se suelta, cuando φ 0 que determina que el hilo se comienza a enrollar. La distancia inicial entre el cuerpo y el punto B de tangencia del hilo con el cilindro es L0 (ver (ver figura). figura). a) Determine ´ de movimiento. b) Obtenga la ecuacion ˙ en funcion ´ de φ . la velocidad angular φ c) Suponiendo que el hilo se corta si la ´ sobrepasa el valor T max tensi´ tension max obtenga el valor de φ en el momento del corte. 3.5. PROBLEMAS PROBLEMAS

B

φ

R

φ

L(t) P m


´ Mecanica

63

´ Puede convenir tomar el origen en el eje del cilindro y escribir el vector posici on ´ del Indicaci´ Indicacion: ˆ asociados al punto B de tangencia del hilo. Es decir, ´ de vectores unitarios ρˆ y φ cuerpo en funci on ´ del cuerpo masivo es suma de los vectores posici on ´ del punto B y el vector que el vector posicion ˆ. ´ del hilo y que es tangente al cilindro, en la direcci on ´ φ apunta en la direcci on



64





Cap´ıtu ıtulo 4 Traba rabajo jo y ener energ´ g´ıa ıa 4.1.

´ Trabajo y energ energ´´ıa ıa cin´ cinetica

l trabajo

dW que efectua una fuerza apliacada F sobre un cuerpo P que se desplaza una distancia d r es . b

dW

(4.1.1)

F d r

C a

Si no hay desplazamiento no hay trabajo.

El trabajo de una fuerza F cuando el cuer-

Si la fuerza fuerza var´ var´ıa ıa de punto en punto: punto: F r y el po se desplaza desde un punto a a un punto cuerpo P se mueve desde el punto a hasta el pun- b a lo largo de un camino C . Solo ´ en casos to b, por el camino C , entonces el trabajo efectua- especiales la integral (4.1.2) no depende del do por la fuerza es camino C seguido al hacer la integral. b

W a

El trabajo se mide en

Joule,

b

C

(4.1.2)

F d r a

C

que es una unidad de energ´ıa. ıa.

´ E JEMPLO : Considerese un cuerpo que se mueve en el plano XY ´ debido a una fuerza dada por la expresi on F

A x2 y5

5

ıˆ

B x3 y4

3

Y jˆ

Se hara´ la integral de trabajo asociada a esta fuerza, entre los puntos 0 0 y x¯ y¯ siguiendo dos caminos: C 1 es el camino que primero va en forma recta desde el origen hasta x¯ 0 y luego en forma recta desde este ultimo u´ ltimo punto a x¯ y¯ y C 2 es el camino recto entre los dos puntos extremos. 65

(x,y)

(4.1.3)

C2 C X 1 ( x ,0)

66



La integral de trabajo por C 1 es x¯

y¯

ˆ F jdy

F ıˆdx

W C 1

0

0

0 x x¯ y 0

x¯3 B y¯5

3 5 B x¯3 y¯5 15

Para poder hacer la integral por C 2 se debe tener tener claro que a la recta C 2 es descrita por ´ x¯ y y¯ x, entonces se puede, por ejemplo, integrar con respecto a x usando la ecuacion ˆ un integrando donde se ha reemplazado y y¯ x x¯; b se debe usar d r ıˆdx jdy y ¯ ıˆ jˆ x¯ dx . c Ahora es trivial hacer el producto punto F d r e integrar con respecto a x lo que da: W C 2

que no coincide con W C 1 salvo que A

A

B

40

24

x¯3 y¯5

B.

Obtenga la forma de d r en el ejemplo anterior con x¯ y¯ para el caso en que se desee hacer la integral a lo largo de una semicircunfer semicircunferencia encia que parte del origen hacia arriba y tiene su centro en x¯ 0 . Calcule la integral de camino en el caso A B.

´ (4.1.2) no se ha dicho que F sea la unica En la defincion u´ nica causa del movimiento. Cuando k ´ actuando varias fuerzas F k , se puede definir un trabajo W a b C sobre el cuerpo P estan asociado a cada una de ellas usando el camino C de a a b, W a

b

k b

C a

C

F k d r

(4.1.4)

Si el despla desplazam zamien iento to es perpend perpendicu icular lar a la fue fuerza rza consid considera erada, da, esa fue fuerza rza no ejerce ejerce trabajo. El trabajo total es total es el que efectua la fuerza total, W atotalb C

b a

F total d r C b

d v

m m m

a C t b

dt

t a

dt

vb va

´ 4.1. TRABAJO Y ENERGÍA CINETICA

C

d v

d r v dt

v d v C


´ Mecanica m

v2b

67 dv 2

2 v2a C m 2 m 2 v v 2 b 2 a

(4.1.5)

´ Se define la energ´ ene rg´ıa ıa cin ´ cin etica K de un cuerpo de masa m y velocidad v como K

1 m v2 2

(4.1.6)

´ Y de aqu´ı que el trabajo total pueda pue da expresarse expres arse como la diferencia entre la l a energ´ıa ıa cin eti´ ca final fin al menos la energ´ ener g´ıa ıa cin c inetica inicial. W atotalb C

K b

(4.1.7)

K a

´ El signo de W total indica si el sistema ha ganado (W 0) o perdido (W 0) energ´ ener g´ıa ıa cinetica. Por ejemplo, si una part´ıcula ıcula es lanzada verticalmente hacia arriba con rapidez inicial v0 y en alg algun ´ momento se detiene, el trabajo efectuado por la fuerza total a lo largo de la trayectoria, trayectoria, sobre esa part´ par t´ıcula, ıcula, desde que fue lanzada hasta que se detiene, es 12 m v20 . El trabajo de la fuerza total en el caso de un cuerpo que se mueve con roce sobre una superficie a rapidez constante, es nulo. Pero, para comprender bien los conceptos es preferible separar el trabajo efectuado por la fuerza f que arrastra al cuerpo, W f f , del trabajo W r r asociado a la fuerza de roce. El trabajo W f f es positivo porque el desplazamiento ´ que la fuerza, mientras que W r r es negativo y se cumple que apunta en la misma direcci on W f W r r 0. f En un movimiento circunferencial con velocidad angular constante la fuerza total no efectua trabajo, por dos razones: ella es perpendicular al desplazamiento y la rapidez no cambia. Si un cuerpo desliza con roce sobre una superficie en reposo, la fuerza normal N no efectua trabajo, porque es perpendicular al desplazamiento.

dz

θ

ds

˜ rusa sin roce, ¿depende el tra- Cuando un carro baja por una monta ˜ monta na ˜ Al avanzar una bajo que efectua el peso de la forma de la monta ˜ monta na? ´ θ distancia ds d r en una zona en la cual el riel forma un angulo con la vertical, el carro desciende una altura dz ds cos θ . El trabajo infinitesimal es dW mg d r mgdz. Al integrar integrar se obtiene que el trabajo solo depende de la altura altura descendida descendida z: W mgz, que no depende de

la forma del riel.

´ (4.1.7) para resolver E JEMPLO : Se ilustra una forma como se puede utilizar la relaci on ´ un problema. Se considera´ el ejemplo visto en 3.3.2 de un pendulo de largo R apoyado ´ (3.3.9). El en un plano inclinado, con el cual tiene roce, figura asociada a la ecuaci on ˆ R d φ ´ T del hilo, como la normal φ . De las fuerzas, tanto la tensi on desplazamiento es d r φ Universidad de Chile


68



N son perpendiculares al desplazamiento, por tanto no efectuan trabajo. Las fuerzas que ˆ , (con N mg cos α ) y la componente µ N s´ı contribuyen son la fuerza de roce F RD N φ ˆ , que es φ ˆ mg sin α cos φ . El trabajo de la fuerza total, entonces, es del peso a lo largo de φ

el trabajo que efectuan estas dos fuerzas: W φ total 0 φ φ 1

φ 1

mg sin α cos φ

µ mg cos α R d φ φ

(4.1.8)

0

´ ´ donde φ 1 es el angulo en el cual el p endulo se detiene. Como ha partido del reposo el trabajo total tiene que ser cero y entonces la integral anterior debe ser nula mg sin α sin φ 1

´ que implica la relaci on

µ

µ mg cos α φ 1

sin φ 1

φ 1

0

(4.1.9)

tan α

que es (3.3.18).

4.2. 4.2. Poten otenci cia a ´ del trabajo con el tiempo Se define la potencia como potencia como la variacion dW

P

(4.2.1)

dt

Si esta potencia es positiva se trata de potencia entregada al sistema y, si es negativa, es potencia que el sistema pierde. Cuando se trata de la potencia asociada a la fuerza total, ´ P es energ´ ener g´ıa ıa cin etica por unidad de tiempo que el sistema gana ( P 0) o pierde (P 0). Si una de las fuerzas actuando sobre un cuerpo es F y en ese instante su velocidad en v entonces dW

F d r

F v dt

(4.2.2)

y la potencia asociada a esta fuerza es P

F v

(4.2.3)

Si la dependenc dependencia ia de P en el tiempo es conocida, el trabajo puede calcularse como t

W

P t dt t 0

ˆ y la fuerza que est a´ actuando g t k Un cuerpo en caida libre tiene velocidad v actuando ˆ ´ entregando al cuerpo que cae es el peso F m g k . La potencia que el peso le est a 2 ˆ ˆ es P g t k m g k m g t . ˆ y, mientras Pero si el cuerpo ha sido lanzado hacia arriba, entonces v v0 g t k t v0 g, se esta´ perdiendo v0 g t m g t , porque el trabajo perdiendo potencia: potencia: P trabajo de la fuerza fuerza peso en ese lapso es negativo. 4.2. POTENCIA


´ Mecanica

69

´ es opuesta La fuerza efectiva que mantiene a velocidad constante a un autom ovil 2 ´ al roce viscoso cuadr atico, y es F η v . La potencia entonces es P η v3 , lo que ´ muestra lo rapido que aumenta la potencia consumida a medida que aumenta la velocidad.

4.3.

´ La energ´ energ´ıa ıa cin´ cinetica de un sistema

´ Recordando Recordando que r a RG ρa se puede demostrar demostrar que la energ´ energ´ıa ıa cin´ cinetica puede ser ´ ´ separada en la l a energ´ ener g´ıa ıa cin c inetica del sistema en su conjunto y la energ´ıa ıa cinetica total con respecto al centro de masa: 1

tot

N

ma va 2 ∑ 2

K

a 1

1

N

∑ ma

V G

∑ ma

V G2

ρ˙ a2

2a 1

2

ρ˙

1 N

2a

a

2ρ˙ a V G

1

´ ´ pero el ultimo ´ termino en el par entesis es nulo debido a que ∑a ma ρa tot

K

1 2

M V G2

1

0. De aqu´ı que

N

ma ρ˙ a2 ∑ 2

(4.3.1)

a 1

´ ´ La energ´ ener g´ıa ıa cin etica total se divide en la energ´ıa ıa cinetica asociada a la masa total con la ´ la energ´ ´ velocidad del centro de masa m as ener g´ıa ıa cin etica con respecto al sistema de referencia G.

4.4.

Fuerzas conservativas conservativas y energ´ energ´ıa ıa potencial

´ 4.4.1. Energ´ Energ´ıa ıa mec´ mecanica Se dice que una fuerza es conservativa cuando la integral de trabajo (4.1.2) que se le asocia no depende del camino C escogido. Si se integra—por diversos caminos—entre un punto r 0 , que se fija arbitrariamente, y un punto r , siempre se obtiene el mismo valor W r .

r

C1

´ asociada a la Resulta natural, entonces, definir la funci on integral trabajo. trabajo. Universidad de Chile

C3 C2


ro El trabajo de una fuerza F con-

70



Supongamos que se escoge un punto arbitrario r 0 y se hace la integral de trabajo desde este punto a un punto cualquiera r . En general esta integral depende del camino escogido. Si la fuerza que se esta´ considerando es tal que el trabajo que ´ sino que se le asocia no depende del camino de integraci on, da el mismo valor cada vez que se integra desde r 0 hasta r , ´ adquiere sentido definir una funcion r

U r

(4.4.1)

F d r r 0

a la que se llama energ´ ener g´ıa ıa poten po tencial cial asociada a la fuerza F . Estrictamente debiera decirse que U depende tanto de r como de r 0 , pero ya se vera´ que r 0 siempre es dejado fijo mientras que el otro punto es variable y juega un papel interesante. ´ En el parrafo anterior se ha dicho que existen fuerzas, llamadas conservativas , ´ y para para las cuales la integral de trabajo no depende del camino de integraci on ´ escalar U r llamada energ´ıa estas fuerza se puede definir una funci on ıa potencial. potencia l.

Si la fuerza total F total , actuando sobre un cuerpo, es una fuerza conservativa, entonces el trabajo que esta fuerza efectua cuando el cuerpo se desplaza de a a b es W a

r b b

r a r 0

F total d r total

F

r b

d r

r a

F total d r

r 0 r a

total

F

r b

d r

r 0

F total d r

r 0

U r a

(4.4.2)

U r b

´ es pero ya se sabe que tambien W a

b

K b

(4.4.3)

K a

lo que implica que K b

U r b

K a

U r a

(4.4.4)

´ Pero los puntos a y b son arbitrario arbitrarios, s, por lo cual se puede puede afirmar que la energ´ ene rg´ıa ıa me mec c ´ anica total E

1 2

m v2

U r

(4.4.5)

.

´ del movimiento. permanece constante durante la evolucion 4.4. FUERZAS CONSERVA CONSERVATIVAS Y ENERGÍA POTENCIAL


´ Mecanica

71

´ fuerza total ´ Conclusi´ Conclusion: to tal conservativa conse rvativa implica que q ue la energ´ en erg´ıa ıa mec anica total, (4.4.5) ´ es una cantidad conservada, es decir, mantiene un mismo valor durante la evoluci on del sistema.

´ de E se puede calcular dE dt a partir de (4.4.5), Reiterando la conservacion dE dt

mv v˙

donde se ha hecho uso que dU dt dU dt

U ∂ x x j dx j dt ∑ ∂ U

˙ ∇U r

v

mv˙

∇U

0

“dU d r d r dt . En efecto ∇U

U ∂ x x j ∑ j ∂ U

y

∇U v.

´ arriba se ha dicho que si F es conservativa, entonces su integral de trabajo no Mas ´ Equivalentemente una fuerza es conservativa si y depende del camino de integracion. ´ U de energ´ıa solo si ella puede ser escrita como el gradiente de la funci ´ funci on ıa potencial potenci al , ∂ U U ∂ x x

F

U ∂ U y ∂ y

∇U r

(4.4.6)

U ∂ U ∂ z z

´ anterior, escrita en componentes cartesianas, es La expresion

∂ U U ∂ x x

F x

∂ U U ∂ y y

F y

F z

∂ U U ∂ z z

(4.4.7)

´ pero con Si se toma cualesquiera dos de estas relaciones y se las deriva una vez m as, respecto a otra coordenada, se obtiene, por ejemplo,

∂ F x ∂ y y

∂ 2U ∂ x x∂ y y

∂ F y ∂ x x

∂ 2U ∂ x x∂ y y

Una fuerza es conservativa si y solo si

∂ F x ∂ y y

∂ F y ∂ x x

∂ F y ∂ z z

∂ F z ∂ y y

∂ F z ∂ x x

∂ F x ∂ z z

(4.4.8)

´ compacta como la condici on ´ que puede ser descrito en forma m as

∇

F

0

(4.4.9)

´ de (4.1.2), se E JEMPLO : Si se usa (4.4.8) en el ejemplo visto inmediatamente despu es 2 4 2 4 obtiene ∂ F x ∂ y y A x y mientras que ∂ F y ∂ x x B x y , es decir, la fuerza de ese ejemplo ´ es conservativa si y solo si A B lo que antes se pudo meramente sospechar despues de hacer dos integrales. Si A B se concluye que U x y x3 y5 15. Universidad de Chile


72



´ 4.4.2. Energ´ Energ´ıa ıa mec´ mecanica de un sistema ´ hay fuerPara un sistema de N part´ par t´ıculas ıculas de masas ma (a 1 2 N ) en el que solo ´ externas (conservativas) al sistema, la zas conservativas c onservativas entre las part´ par t´ıculas ıculas y tambi´ tambien ´ energ´ ene rg´ıa ıa mec anica total es N

1 ∑ 2 ma v2a a 1

E

ab ∑ U ab

r a

∑ U a r a

r b

(4.4.10)

a

a b

´ ´ El primer termino es la energ´ıa ıa cinetica total, el segundo segundo es la suma de las energ´ıas ıas potenciales asociadas a las fuerzas internas y el último ultimo es la suma de las energ´ıas ıas potenciales asociadas a las fuerzas externas conservativas. Un ejemplo interesante de pensar es el sistema Tierra-Luna con la fuerza externa debiba ´ al Sol. Para simplificar simplificar se ignora ignora el resto de las fuerzas planetaria planetarias. s. La energ´ energ´ıa ıa cinetica ´ gravitacional Tierraes K K K . La fuerza interna al sistema es la atraccion atracci on mT m L ´ Luna y su energ´ ener g´ıa ıa potencial po tencial es U T L G r 2 . El ultimo ´ termino en este caso es la suma de energ´ıa ıa potencial potencial de la Tierra debido al Sol y de la Luna debida debida al Sol. No consideconside´ contribuciones a la energ´ıa ´ ramos mas ıa mecanica total, porque las que faltan son muy ˜ . Pero eso no es todo. ´ las mareas: peque˜ pequenas. nas todo. Existen Existen tambi tambien mareas: parte de la energ´ energ´ıa ıa del ´ ´ sistema Tierra-Luna se gasta en deformar los oceanos. Tal energ´ıa ıa mecanica se pierde ´ la Luna, porque se convierte en un ligero aumento de la temperatura del agua. Tambi en ´ ´ ´ cuyo interior no es ent eramente solido, se deformaba defor maba en un remoto remo to pasado pasad o y hab´ıa ıa p erdi´ da debido a esto. Este ultimo u ´ ltimo proceso de perdida de energ´ en erg´ıa ıa se optimiz opti mizo´ (minimizando la ´ ˜ haciendo que la Luna siempre muestre perdida de energ´ıa) ıa) en miles de millones de a nos la misma cara a la Tierra.

´ de que en el caso conservativo E dada por (4.4.10) se conserva: Comprobaci´ Comprobacion ´ Parte del calculo es saber hacer ∑a b dU ab ab dt y aun antes se debe notar que ∇r a U ab ab ∇r a r b U ab ∇r b U ab ab ab . d

ab ab ∑ U ab ∑ ∇abU ab

dt a

b

va

a b

vb

ab ∑ ∇r U ab a

ab ∑ ∇r U ab

va

a b

b

a b

vb

ab ∑ ∇r U ab a

va

ab

De aqu´ı que qu e

dE dt

∑ va a

ma v˙a

ab ∑ ∇r U ab a

∇r a U a

b

´ ´ de cada part´ y el el pa parrentesis redondo es cero porque al producto masa por aceleracion par t´ıcuıcula a se le resta la fuerza total (conservativa) proveniente de los potenciales. 4.4. FUERZAS CONSERVA CONSERVATIVAS Y ENERGÍA POTENCIAL


´ Mecanica

4.5.

73

´ Energ´ Energ´ıa ıa mec´ mecanica total no conservada

En general la fuerza total que actua sobre un cuerpo puede ser separada en una suma ´ una suma de fuerzas no conservativas, de fuerzas conservativas mas F total

F C

(4.5.1)

F NC

En consecuencia, el trabajo total efectuado desde a hasta b puede ser separado, separado, r b

total

W

r a

r b

F C d r

r a

F NC d r

W C W NC NC 1 m v2b v2a 2

(4.5.2)

pero W C

U a

(4.5.3)

U b

por lo cual K b

K a

U a

U b

(4.5.4)

W NC NC

de donde resulta que W NC NC

K b

U b

K a

(4.5.5)

U a

que se puede expresar como: el trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la ´ ´ diferencia: energ´ıa ıa mec ´ mec anica total final menos la energ´ıa ıa mec ´ mec anica total inicial , W NC NC

E finaltotal finaltotal

(4.5.6)

E inicialtotal inicialtotal

El trabajo infinitesimal de las fuerzas no conservativas conser vativas es dW NC NC ve que P

dW NC NC

dE dt

dE

dt

dt de donde se

(4.5.7)

dt

La potencia asociada a las fuerzas no conservativas es igual a la derivada de la energ´ıa ıa ´ mecanica total.

4.6.

Fuerzas centrales y energ energ´´ıa ıa potencial potencial

4.6.1. Energ´ Energ´ıa ıa potencial de fuerzas centrales ´ que toda fuerza central de la forma Se vera´ a continuacion F Universidad de Chile

f r r

con

r

r

x2

y2

z2

(4.6.1)


74



es conservativa. Para verlo primero se nota que

∂ r ∂ x x

∂ r ∂ y y

x r

∂ r ∂ z z

y r

z r

y de aqu´ aq u´ı

∂ F x ∂ y y

∂ f r x ∂ y y

∂ f x ∂ y y

∂ f ∂ r x ∂ r ∂ y y

´ que es simetrica en x e y y por tanto se satisfacen las condiciones (4.4.8).

xy r

f

(4.6.2)

r

Una vez que se sabe que estas fuerzas son conservativas ´ energ´ se puede determinar la funci on ene rg´ıa ıa potencial escogienescogie n´ conveniente entre dos puntos do un camino de integraci on cualesquiera r 0 y r . Llamaremos r 0 a la distancia entre r 0 y el centro O asociado a la fuerza central y r a la distancia de O a r .

p Ya que se tiene tres puntos especiales: r 0 , r y O , ellos definen un plano (el plano del papel en la figura adjunta). El camino se puede construir avanzando desde r 0 por un arco de circunferencia con centro en O hasta un punto p (defini´ en la recta que une a O con r y desde do por r p r p ) que esta 0 O si gue en e n l´ınea ınea recta hasta r . La integral de camino tie p se sigue ne dos partes: (a) la integral F d r de r 0 hasta r p p es nula porque mientras la fuerza es ´ r ´ tangente en la direcci direccion rˆ , el elemento de camino d r r es en la direccion tangente a la curva, que es ortogonal a r rˆ ; (b) la integral desde r p p hasta r que es una integral a lo largo de una l´ınea ınea radial radi al (pasa (pas a por el e l centro de fuerza) fuer za) como com o muestra la figura adjunta. Siendo as´ a s´ı, ı, el desplazamiento a lo largo de este camino es radial: d r rˆ dr lo que lleva a r

r

f r r rˆ dr

U r

f r r dr

r 0

(4.6.3)

r 0

´ de energ´ Es inmediato de lo anterior ver que la funci on en erg´ıa ıa potencial pote ncial depende de pende tan t an solo de la coordenada radial r . ´ que solo depende de r , escrito en coordenadas esf ericas, ´ El gradiente de una funci on se reduce a ∇U r rˆ dU dr es decir, F

dU dr

r rˆ

(4.6.4)

´ de energ´ lo que muestra que la fuerza que implica una funci on e nerg´ıa ıa po potenc tencial ial U r que solo depende de la coordenada radial r es una fuerza central del tipo restringido descrito en ´ ´ (4.6.1). Lo que se ha expresado en la f ormula de arriba se puede decir en forma m as ∂ U U ∂ U U ∂ r x ´ basica: si U r entonces F x U r . Pero como r es el vector x y z x x ∂ x ∂ r ∂ x 1 ´ f r es 1r U . entonces F U r rˆ . La funcion r U r 4.6. FUERZAS CENTRALES CENTRALES Y ENERGÍA POTENCIAL


´ Mecanica

4.6.2. 4.6.2.

75

´ uniLa energ´ energ´ıa ıa potencial potencial asociada asociada a la fuerza de gravitaci gravitacion versal

´ universal La ley de gravitacion F

G

M m r 3

(4.6.5)

r

´ energ´ ya fue mencionada en 3.1. Para determinar la funci on ener g´ıa ıa potencial pot encial basta con c on hacer hac er la integral a lo largo de un radio tal como se explic o´ en 4.6.1, es decir, decir, d r rˆ dr . En tal caso U

GMm

r r rˆ r 0

Lo normal es escoger r 0

r

r 3

dr

r dr

GMm

r 0

GMm

r 2

1

1

r

r 0

(4.6.6)

∞ de donde GMm

U r

(4.6.7)

r

´ 4.6.3. La energ´ energ´ıa ıa potencial potencial del oscilador armonico tridimensional El potencial k

U r

2

r 2

(4.6.8)

implica una fuerza, ∇U r

F

(4.6.9)

k r

´ que corresponde a la de un oscilador arm onico tridimencional de largo natural nulo. ´ generales son Casos mas U r

k

2

r D0

2

(4.6.10)

o incluso U r

k 1

2

x

D1

2

k 2

2

y

D2

2

k 3

2

z

D3

2

(4.6.11)

4.7. 4.7. Prob Proble lema mas s 4.1 Una argolla de masa m puede deslizar libremente a lo largo de una vara y esta vara gira, en torno a un punto fijo O , barriendo un plano horizontal con velocidad ˙ ω constante. angular φ constante. Inicialme Inicialmente nte es liberada a distancia distancia ρ0 del origen con ρ˙ 0. Determine el trabajo que efectua la normal desde el instante inicial hasta un tiempo t . Se conocen ρ0 , m y ω . Universidad de Chile


76



motor

4.2 Un ascensor cargado tiene masa total M 1 ´ de una polea A y esta´ conectado a traves a un motor y por otra polea a un contrapeso de masa M 2 ( M 2 M 1 ). Las poleas tienen roce despreciable pero el ascensor tiene roce viscoso lineal. Para simplificar el problema suponga que los dos cables nacen del mismo punto del techo del ascen´ sor, que no hay angulo entre ellos y que la inercia de las poleas es despreciable, de modo que el trabajo que se busca es el que ´ del cable de la izquierda. hace la tension

A

M M

2

1

a) Determine el trabajo que debe hacer el motor para que el ascensor suba una altura h a velocidad constante v0 . ´ constante b) Lo mismo que antes pero para que el ascensor suba con aceleraci on ´ y otra h metros mas ´ arriba si v t a0t , con a0 g entre esas dos entre una posicion posiciones. Datos: las masas, g, v0 , a0 , el coeficiente de roce lineal, la altura h.

4.3 Si se lanza una part´ par t´ıcula ıcula de masa m verticalmente hacia arriba con velocidad inicial η v v, determine el trabajo total efectuado por F hasta v0 y hay roce viscoso F que la part´ par t´ıcula ıcula vuelve v uelve su punto de partida. par tida.

´ apoyados en una superficie horizontal con la 4.4 Dos bloques de masas m1 y m2 estan ´ ´ µ e y µ d que ambos tienen coeficientes de roce est atico y dinamido d . ´ Los bloq oqu ues est´ stan ´ un adem´ ademas unid idos os po porr un resorte de cons´ tante elastica k y largo natural D.

m 1

m 2

En el instante inicial el resorte no est a´ deformado, el bloque de masa m2 esta´ en ´ reposo y el bloque de la izquierda tiene rapidez v1 . (a) Determine la compresi on ´ maxima del resorte para que el bloque 2 no alcance a moverse. (b) Determine el ´ µ e 2. valor maximo de v1 para que 2 no deslice si m2 2m1 y µ d d 4.7. PROBLEMAS PROBLEMAS


´ Mecanica 4.5 Una part´ıcula ıcula de masa m puede deslizar sobre una superficie horizontal con la que tiene coe´ µ . La ficiente de roce din amico masa esta´ unida a una cuerda, la cual pasa por una polea en Q y su extremo es recogido con rapidez V 0 cte. La polea tiene un radio despreciable y se encuentra a una altura h del suelo.

77

Vo

Q g h O

m

´ como funcion ´ de la posici on ´ a) Determine la tensi on ´ la part´ b) Determine en qu e´ posicion pa rt´ıcula ıcula se despega desp ega del suelo. c) Determine Deter mine el trabajo hecho hec ho por la fuerza de roce roc e desde que la part´ par t´ıcula ıcula estaba estab a a ´ en que se despega de la superficie. una distancia x0 del punto O hasta la posici on



78





Cap´ıtu ıtulo 5 Equilibrio y oscilaciones 5.1.

Energ´ Energ´ıa ıa potencial potencial y equilibri equilibrio o

5.1.1. 5.1.1. Punto Punto de equili equilibri brio o ´ La ener e nerg´ g´ıa ıa mec m ec anica total de un cuerpo cuya fuerza total es conservativa es E mec mec total

1 m v2 2

(5.1.1)

U r

´ del sistema, es decir, si se la calcula en y esta cantidad es fija durante toda la evoluci on cualquier momento de su historia se obtiene el mismo valor. La energ´ıa ıa E mec mec total queda determinada por las condiciones iniciales. ´ arbitrariamente. Al En general el movimiento no puede extenderse en cualquier direcci on despejar la magnitud de la velocidad: v

2 m

E mec mec total

(5.1.2)

U r

que obviamente es real y positiva—se observa que en ning´ ningun u´ n momento m omento la energ´ ener g´ıa ıa potencial U puede ser s er mayor que qu e la energ´ıa ıa total tot al E . Si la part´ par t´ıcula ıcula alcanza alca nza un punto pu nto en el cual cu al se cumple que E U , este es un punto con c on velocidad nula pero normalmente la fuerza F

∇U r

no lo es. El movimiento entonces se reinicia hacia puntos donde E

(5.1.3) U .

´ escalar cualquiera h r siempre apunta en la direcci on ´ El gradiente de una funci on ´ h crece mas ´ rapido, ´ ´ en que su derivada es en que la funci on esto es, en la direcci on ´ grande y positiva. Por ejemplo si h x y es la funci on ´ altura sobre el nivel del mar mas ´ de una zona de de la descripcion d e nuestra geograf´ g eograf´ıa ıa en un mapa (plano (pla no XY ), entonces ´ en que la altura crece m as ´ r´ ´ ∇h apunta en la direcci on rapido.

79

80



´ energ´ıa ´ en que el potencial El gradiente de la funci on ıa potencial apunta en la direcci on crece con mayor derivada, pero como en (5.1.3) hay un signo menos, se concluye que ´ opuesta, en la direcci on ´ en que U decrece con mayor la fuerza apunta en la direcci on derivada. ´ r e en la cual la fuerza total es cero: ∇U r e 0. Se llama punto de equilibrio a una posici on Para que el equibrio sea estable se estable se debe cumplir c umplir que al colocar c olocar en e n reposo a la part´ par t´ıcula ıcula en un punto suficientemente cercano a r e, la part´ par t´ıcula ıcula adquiera adq uiera un movimiento mov imiento oscilator os cilatorio io en torno a ese punto.

´ 5.1. .1.2. Analisis unidimensional unidimensional En un caso unidimensional la energ´ıa ıa potencial es una simple ´ U x y la fuerza es F funcion dU dx . La fuerza apunta hacia la izquierda en los puntos en que U es creciente y apunta hacia la derecha en los puntos donde es decreciente. En particular, par ticular, en la vecindad de un m´ınimo ınimo xe la fuerza que hay ´ a la izquierda de este punto apunta hacia la derecha (tambi en hacia xe ) y la fuerza que hay a la derecha de xe apunta hacia la izquierda (o sea hacia xe ). Esto permite entender porqu e´ un u n m´ınimo ıni mo de d e U es un punto de equilibrio. Si una u na part´ par t´ıcula ıcula est a´ sometida a una fuerza total conservativa, se llama punto de equilibrio estable a un punto r e para el cual se cumple que: ´ (ii) (i) si la par t´ıcula ıcula es dejada en reposo en ese punto permanece en reposo en el; (ii) si ˜ la part´ se la deja en r e con una velocidad suficientemente peque na, par t´ıcula ıcula oscila os cila en torno to rno a ese punto. Como la fuerza total es conservativa, existe un potencial U x y la fuerza total es F dU dx . En las zonas donde U es creciente F es negativo (es decir, la fuerza apunta hacia la izquierda) y en las zonas donde U es decreciente, F es positivo. Esto muestra que si xe es un m´ınimo ıni mo de d e U la fuerza en una zona en torno a xe apunta hacia xe y es nula justo en xe . Esto quiere decir que si se da ´ inicial x 0 como condicion xe y una velo˜ entonces la cidad suficientemente pequena, part´ par t´ıcula ıcula va a ser s er frenada frena da por la fuerza hasha sta que invierta el sentido de su movimiento. Debido a (5.1.1), en el punto x1 en el cual 5.1. ENERGÍA POTENCIAL Y EQUILIBRIO

X x e

´ U x con dos m´ınimos. Ejemplo Ejemplo de funci´ funcion ınimos. Las l´ıneas ıneas a trazos trazos represent representan an algunos algunos valores valores po´ sibles de la energ´ıa ıa mec anica total. Puesto que (5.1.1) asegura que esta energ´ıa ıa es siempre mayor, a lo sumo igual, a U entonces para los valores indicados de E el movimiento no puede extenderse indefinidamente en el eje x.

la velocidad se hace cero se cumple que ´ Facultad de Ciencias Cienci as F´ısicas ısicas y Matem aticas

´ 81 Mecanica ´ E U x1 . En la figura adjunta se puede ver gr aficamente en que´ puntos punt os la part´ par t´ıcula ıcula soltada desde xe con la energ´ıa ıa tot total al indicada indic ada por po r l´ınea ınea de trazos, llega un punto punt o en que su velocidad se hace cero—los puntos de retorno —y se devuelve. Para los tres valores de ´ E indicados en la figura el movimiento ocurre en una zona limitada del eje X . Tambien se puede adivinar que si la energ´ıa ıa es suficientemente alta el movimiento puede ser no acotado. E JEMPLO : La energ´ energ´ıa ıa potencial potencial debida debida a la fuerza peso es m g z.

mgz

Una pelota ideal rebotando ad infinitum contr al el suelo esta´ soinfinitum contral ´ la que reprenta el suelo: metida a esta energ´ıa ıa potencial pot encial m as ´ ∞. Dada U z 0 m g z y U 0 Dad a una un a energ´ en erg´ıa ıa cin etica inicial, la par pa r t´ıcula ıcu la tiene ti ene una u na energ´ en erg´ıa ıa total t otal E fija para siempre y, como se ve en el diagrama, el movimiento es acotado entre el suelo ´ ( z 0) y una altura maxima.

E

´ OTRO E JEMPLO : Un caso muy ilustrativo es el del p endulo plano formado por una vara r´ıgida ıgida sin masa de largo R en cuyo extremo hay una masa puntual m. ´ La energ´ ener g´ıa ıa cin etica como siempre es K 12 mv2 pero en este ˙ . La energ´ıa caso v Rφ ıa potencial esencialmente es mgh y, como se ve de la figura, h R 1 cos φ . El cero c ero de e ener nerg´ g´ıa ıa ´ bajo que tiene el potencial se ha escogido en el punto m as recorrido de la masa m.

φ R R cosφ

´ para la energ´ıa De aqu´ aq u´ı que la ecuac ec uaciion ıa total conservada conser vada sea E MT

m

2

˙2 R2 φ

mg R 1

cos φ

h

(5.1.4)

que muestra que el potencial en este caso es mg R 1 apreciar en la segunda figura adjunta.

cos φ y cuya forma se puede

Se puede comprobar que derivando (5.1.4) una vez con res´ para el pecto al tiempo, se obtiene la conocida ecuaci on ´ pendulo.

R (1-cos fi) 8 7 6

´ : Consideremos Y O TRO E JEMPLO M AS Consider emos un caso ca so con energ´ıa ıa potencial U dado por

5 4 3 2 1

U x

a

b

x

x2

0

(5.1.5)

-3

-2

-1

0

1

2

3

y x siempre positivo. positivo. Este potencial, representado en la figura adjunta es divergente en el origen, tiene un unico u´ nic o m´ınipo ınip o en e n xe 2b a y tiende a cero cuando x crece indefinidamente. indefinidamente. Para cualquier valor negativo de la energ´ıa ıa total el movimiento est a´ acotado entre dos valores xmin y xmax , (puntos de retorno) Universidad de Chile


82


xmin

a

2 E

1

1

4 E b a2

xmax

a

2 E


1

1

4 E b a2

(5.1.6)

Cuando la part´ıcula ıcula alcanza uno de estos valores extremos la velocidad se hace ce0, es decir, la fuerza es ro pero dU dx ´ no nula y la part´ p art´ıcula ıcula tiene tien e una aceleraci ac eleraci on ´ que apunta alejandose del valor extremo. ´ as´ı, En una situacion ı, el movimiento consiste en ir y volver entre estos dos valores ex´ tremos de x. El movimiento es peri odico pero en general es diferente a un movimento ´ armonico simple. En cambio, para cualquier valor positivo de la energ´ıa ıa el movimiento tiene una cota co ta infeEl potencial xa xb2 tiene un solo m´ınimo, ınimo, en rior xmin pero no tiene cota superior: una vez ∞. xe 2b a, y tiende a cero cuando x que la part´ par t´ıcula ıcula adquiere adq uiere velocidad velo cidad hacia hac ia la ´ la direcci on ´ de su derecha no cambiara´ m´ mas movimiento.

x

´ inicial, ¿cu al ´ es la m´ınima Si se escoge un punto cualquiera x x0 como posicion ınim a velocivelo cidad inicial para pa ra que la part´ par t´ıcula ıcula logre tener t ener un movimiento movimient o no acotado hacia hac ia la derecha? derecha ? La respuesta se obtiene exigiendo que en el momento inicial (y siempre) la energ´ıa ıa sea 1 2 0, es decir, no negativa, es decir, 2 m v0 U x0 v20

2 m

(5.1.7)

U x0

´ no es restricci on ´ alguna y la part´ En las zona en que U x0 es positivo esta relaci on par t´ıcula ıcula escapa a infinito siempre; en cambio en la gran zona en que U x0 es negativo (5.1.7) da una cota a la rapidez inicial. Esta cota inferior se denomina velocidad de escape. ´ Completamente en general la velocidad de escape —que depende de la posici on inicial r 0 —es la velocidad m´ınima ınima necesaria nece saria para p ara que la par t´ıcula ıcula pueda pu eda tener tene r movimiento no acotado.

´ de energ´ıa Para una funcion ıa potencial pot encial arbitraria arbitrar ia U x que tiende a un valor constante U ∞ cuando x ∞ la velocidad de escape en un punto x cualquiera esta´ dada por vesc x

2 m

U ∞

U x

(5.1.8)

´ gravi- Determine el valor en metros por segundo de la velocidad para escapar de la atracci on tacional de la Tierra partiendo desde el nivel del mar.

5.1. ENERGÍA POTENCIAL Y EQUILIBRIO


´ Mecanica ´ de caso conservativo unidimensional Integracion

83

´ (5.1.2) unidimensional en un rango en que la velocidad es La ecuacion dx

2

dt

m

E U x

la cual puede escribirse en la forma integral m

t

2

x t

dx E U x

x0

(5.1.9)

´ ´ valida, como se ha dicho, mientras la velocidad no cambie de signo. Esta es una soluci on formal de todos los problemas unidimensionales. unidimensionales.

Caso sencillo en que la energ´ıa ıa no se converva ´ En lo anterior se ha explotado el an alisis en el que las fuerzas son todas conservativas. Sin embargo si se toma el caso en que se agrega una fuerza contante no conservativa ´ ´ se tiene un gr afico ´ como es el caso del roce din amico, tambi en de energ´ en erg´ıa ıa sufiencie s ufiencientente´ ´ de interpretar. mente sencillo para poder hacer un an alisis facil ´ Considerese el caso de un oscilador oscilador sobre un plano plano horizon horizontal: tal: m x¨ k x al qu que e se ag agre rega ga ´ la fuerza de roce dinamico. Este roce apunta hacia la izquierda cuando el movimiento es ε µ mg hacia la derecha ( x˙ 0) y viceversa, es decir, F mg donde ε es el signo de x˙. Mientras el desplazamiento es hacia la derecha, la fuerza es negativa y el trabajo que ´ de esta fuerza no conservativa efectua es proporcional a x. En efecto, de la ecuaci on movimiento completa: m x¨ kx ε µ mg se puede integrar una vez para obtener 1 2

m x˙2

k 2 x 2

ε µ mg mg x

que se puede escribir como E MT t

0

E MT

ε µ mg mg x t 0

´ describe ´ Esta ultima ´ relaci on describe la forma forma como la energ´ energ´ıa ıa mecanica total inicial E MT va disminuyendo disminuyendo a medida que el sistema evoluciona. evoluciona. ´ ´ Resuelva Resuelva un caso espec´ıfico ıfico para el cual pueda hacer un gr ´ gr afico que ilustre la evoluci ´ evoluci on E MT t .

´ avanzada: Tiempos de frenado en puntos de retor5.1. 5.1.3. 3. Disc Discus usiion no ´ de los cap´ıtulos Estas notas no son necesarias para la comprensi ´ comprensi on ıtulos posteriores, pero pueden aportar a la ´ de ciertos temas avanzados de este cap´ compresi ´ compresi on c ap´ıtulo. ıtulo. Universidad de Chile


84



´ Cuando se analiza la dinamica de una part´ par t´ıcula ıcula usando usa ndo diagramas diagrama s de energ´ıa ıa en casos caso s unidimensionales unidimens ionales ´ de momentum angular, surge el concepto de punto de retorno . o en tres dimensiones con conservaci on Si la part´ıcula ıcula tiene una energ´ıa ıa constante constant e E , los puntos de retorno son aquellos donde el potencial (o el potencial potencia l efectivo) se s e iguala a la energ´ ener g´ıa ıa U x E . Al acercarse a un punto de retorno, la rapidez de la ´ pequena ˜ hasta anularse en x . Una pregunta que surge es cu anto ´ part´ıcula ıcula se hace ha ce cada cad a vez m as tiempo tarda la part´ par t´ıcula ıcula en frenarse para luego rebotar y si ese tiempo es finito o infinito. La respuesta depende de las propiedades del punto de retorno.

´ Primer caso: El punto de retorno no corresponde a un m´ maximo del potencial Se considera el caso representado en la figura, donde la par t´ıcula ıcula viaja hacia la derecha. Si x0 es la ´ inicial de ´ posicion d e la part´ıcula, ıcula, se puede pue de determinar determin ar el tiempo que tarda en llegar ll egar a x utilizando la ecuacion de la energ´ıa, ıa, donde se s e despeja la l a velocidad velocida d dx

2 E U x m

dt

´ se puede escribir como que tambien 1 2 m

E

dx dt

U x

U 1

E

´ entre t 0 y t , el instante de deIntegrando la ultima u ´ ltima expresion ´ y usando el teorema del cambio de variable, se tiene tencion, x

dx 2 m

x0

E

t U x

x*

Para Para calcular esta ultima u´ ltima integral se necesita conocer la forma expl´ıcita ıcita del potencial. Sin embargo, embargo, es posible decir si es finita ´ o no. Como x no corresponde a un m aximo del potencial, localmente U x se puede pued e aproximar aproxima r por una l´ınea ınea recta re cta U x E U x ˜ se tiene que distancia δ peque˜ pequena, δ

x

2 m

x0

Haciendo el cambio de variable y

x

dx

t

E

x

x

U x

x

x . Luego, si se considera una

dx δ

2 m

U x

x

x

x en la segunda integral se obtiene

x

x

δ

t

2 m

x0 x x0

δ

dx

δ

E

U x

dx 2 m

E

U x

0

1 2 U m

dy x y

2mδ U x

que es un valor finito. Luego, en el caso analizado, anali zado, el tiempo que tarda ta rda la part´ par t´ıcula ıcula en frenarse frena rse es finito.

5.1. ENERGÍA POTENCIAL Y EQUILIBRIO


´ Mecanica ´ Segundo caso: El punto de retorno es un m´ maximo U del potencial ´ paAl igual que en el caso anterior, hacemos una aproximaci aproximaci on ´ ra el potencial cerca del punto de retorno. Como es un m aximo, ´ correspondiente (serie de Taylor) da una par abo´ la aproximacion la: U x E U x x x 2 2, con U x 0. De esta forma se tiene δ

x

x

dx

t 2 m

x0

E

U x

dx 2 m

E

x

E

dx δ

2 m

δ

m U x

U x

85

0

U x

x

x

2

x*

2

x

dy y

´ la part´ La ultima ´ integral diverge, lo que muestra que en esta condici on pa rt´ıcula ıcula tarda tard a un tiempo infinitamente infinita mente grande en detenerse completamente. completamente. ´ corresponde a un p endulo ´ Un ejemplo de esta ultima u ´ ltima situacion (barra r´ıgida ıgida y masa ma sa en el extremo) ext remo) que es ´ soltado desde d esde el reposo, re poso, con la part´ par t´ıcula ıcula en la l a altura m axima. Demuestre Demue stre que la part´ p art´ıcula ıcula tarda tar da un tiempo ´ vertical. Tambi en ´ tarda un tiempo infinito en despegarse de la cúspide. infinito en volver a la posici on uspide.

5.2. 5.2. Pequ eque ˜ nas oscilaciones en torno a un punto de equilibrio. 5.2.1. 5.2.1. Oscil Oscilaci acione ones s 1D. 1D. Consideremos el caso de un potencial U x que tiene tien e un m´ınimo ınim o en x xe . No tendra´ im´ otros m´ınimos. porancia si U tiene ademas ınimos. Puesto que se trata t rata de un m´ınimo, ınimo, est a´ garantizado que dU dx x xe 0. Supondremos Supondrem os que el movimiento movimien to tiene u na energ´ıa ıa total tot al ´ ˜ y la levemente superior a U xe , es decir, la energ´ıa ıa cin etica es siempre muy peque na part´ par t´ıcula ıcula permanece per manece todo to do el tiempo muy cerca cer ca de x xe . El punto xe tiene a ambos lados ´ de U x en torno a xe que puntos de retorno muy cercanos. En tal caso, la expansi on ´ puede ser una excelente aproximaci´ ´ solo llega hasta la segunda derivada de la funci on aproximacion para U , U x

U xe

1

d 2U

2

dx 2

x

2

xe

(5.2.1)

x xe

Este potencial aproximado da como fuerza aproximada F x

k x

xe

con

k

d 2U dx 2

(5.2.2) x xe

´ que es la fuerza de un resorte de largo natur natural al xe y constante el astica dada por la segunda derivada de U evaluada evalua da en el e l m´ınimo. ınim o. Universidad de Chile


86



´ ´ Se ha obtenido que un sistema mec anico cualquiera, cuando esta´ cerca de una posici on de equilibrio puede ser descrito como el movimiento de una masa unida a un resorte ´ es valida ´ ´ de ideal. Esta aproximaci on cuando el desplazamiento respecto a la posici on ˜ . El estudio equilibrio es peque no no. estudio en detalle detalle del movimiento movimiento de una part´ıcula ıcula unida a ´ un resorte describe, entonces, el movimiento de cualquier sistema mec anico cerca del equilibrio. ´ de movimiento La ecuacion movimien to de la part´ par t´ıcula ıcula cerca cer ca del punto de equilibrio equilibr io es entonces entonc es m x¨

k x

donde x

xe

x t

(5.2.3)

´ que fue estudiada en el cap´ıtulo ecuacion ıtulo 3, donde se obtuvo que el movimiento que ´ armonica ´ resulta es una oscilaci on en torno a xe con una frecuencia frecuen cia caracter´ c aracter´ıstica ıstica dada por ω 0

k m

.

Luego, cuando cuan do una part´ par t´ıcula ıcula se s e mueve en las cercan´ıas ıas de un punto punt o de equilibrio, eq uilibrio, la l a fuer´ za puede ser aproximada por un resorte ideal y el movimiento que resulta es arm onico ´ en torno al punto de quilibrio estable est a´ dasimple. La frecuencia angular de oscilaci on da por U xe

ω 0

(5.2.4)

m

˜ que se llama la frecuencia de las peque nas oscilaciones. Hay que notar que como xe es un m´ınimo ınimo del potencial potenci al (equilibrio (equilib rio estable), est able), la segunda derivada es positiva po sitiva de U , lo que garantiza que la raiz existe. En algunas situaciones la derivada U en el punto de equilibrio es nula, resultando en ´ oscilaciones no armonicas; por ejemplo, en el movimiento en torno al origen en el caso 4 ´ en este curso. U a x . Este caso, sin embargo, no se estudiar a Cuando una part´ıcula ıcula se mueve mueve muy cerca del punto en que U tiene tien e un u n m´ınimo, ınim o, U U min en erg´ıa ıa total es levemente superior superi or a este valor U min min , y la energ´ min , el movimiento de ´ la part´ par t´ıcula ıcula es aproximadamen a proximadamente te un movimiento movimien to arm onico simple en torno al punto de equilibrio. ˜ El movimiento oscilatorio que ocurre en estas circunstancia se denomina peque ˜ peque nas oscilaciones en oscilaciones en torno a un punto de equilibrio.

Cuando la coordenada relevante no es una longitud: Si la energ´ıa ıa de d e un sistema ´ se expresa en t erminos de una coordanada que no es una longitud, como en, E

α ˙ 2 φ 2

U φ

(5.2.5)

¨ ´ dinamica, ´ la ecuacion dE dt 0, aqu´ı resulta ser φ 0 y U φ e equilibrio estable, se cumple que U φ e ˜ 5.2. PEQUENAS OSCILACIONES EN TORNO A UN PUNTO DE EQUILIBRIO.

1

Si φ φ e es un punto de ´ de m´ınimo). 0 (condicion (condicion ınimo). La

α U .


´ 87 Mecanica ´ dinamica ´ ˜ vencindad del m´ınimo ecuacion en una pequena ınimo en φ e aproximadamente es 1 ¨ ´ de movimiento arm onico ´ φ α U φ e φ φ e , que se reconoce como una ecuacion simple con frecuencia U φ e (5.2.6) ω α φ . En este caso la prima indica d d φ



88



˜ 5.2.2. Ejemplo de energ´ energ´ıa ıa y peque peque ˜ nas oscilaciones Para ilustrar varios de los conceptos recientes se analizar a´ el caso ´ ´ de un pendulo que tiene dos masas en varas que forman un angulo ´ es el anulo ´ ´ recto, como muestra la figura. Veremos cu al maximo si ´ el sistema se suelta del reposo con φ 0. Veremos cuanto vale la velocidad angular cuando φ π 2 y finalmente veremos la frecuencia ˜ oscilacion ´ φ e de equilibrio en el caso caso de pe peq que ueñas oscilaciones es en torno al angulo equilibrio ´ estatico. ´ ´ la La energ´ ener g´ıa ıa del de l sistema sist ema es la suma K de las la s energ´ ene rg´ıas ıas cin eticas mas suma U de las la s energ´ ene rg´ıas ıas potenciales: potencial es: E

m

2

˙ aφ

2

m

a2

2

mg a sin φ

˙ b2 φ

2

φ a

a sin φ

m b b cosφ

m

mga sin φ

b cos φ

˙ Si se suelta desde el reposo (esto es, φ E

0) con φ

0 la energ´ en erg´ıa ıa inici i nicial al es

mgb

y este es el valor que tendra´ durante todo el movimiento. movimiento. ´ ´ El angulo maximo lo alcanza en otro punto en el cual φ ˙ 0. Se debe exigir exigi r que la l a energ´ ener g´ıa ıa es ese momento sea mg 2a sin φ b cos φ mgb ´ inicial φ que tiene dos soluciones, una es la condici on ´ valor posible φ M para el angulo sin φ M

Para saber la velocidad angular cuando φ ener en erg´ g´ıa: ıa : m ˙2 2a2 b2 φ 2

´ 0 y la otra es para el m aximo

4ab 4a2 b2

´ de π 2 se vuelve a aplicar conservaci conservacion on mg2a

mgb

que implica ˙ φ φ

π 2

2g 2a b 2a2 b2

Este resultado no tiene sentido sentido salvo cuando 2a b. Esto Esto se debe a que si tal desigua desigualdad ldad ´ ´ inicial escogida. no se obedece el p endulo nunca llega a φ π 2 a partir de la condici on ´ Veamos ahora cuanto vale la energ´ıa ıa si el sistema est a´ en equilibrio estable. En tal ˙ ´ φ 0 y el sistema est a´ en un m´ınimo situacion ınimo de energ´ e nerg´ıa ıa potencial p otencial.. La derivada de la energ´ıa ıa potencial po tencial con respecto r especto a φ es U

mg 2a cos φ

˜ 5.2. PEQUENAS OSCILACIONES EN TORNO A UN PUNTO DE EQUILIBRIO.

b sin φ ´ Facultad de Ciencias Cienci as F´ısicas ısicas y Matem aticas

´ Mecanica

89

que se anula cuando 2a

tan φ e

b

´ y se comprueba comprueba que para este valor del angulo la energ´ en erg´ıa ıa potencial, potencial , que q ue es e s la energ´ıa ıa ´ total en el caso est atico, vale E

mg

4a2

b2

´ determinar que en el presente ejemplo la frecuenCon lo visto en (5.2.6) resulta muy f acil cia al cuadrado es g 4a2

ω 2

2a2

b2

b2

´ 5.2. 5.2.3. 3. Otra Otra vez vez el pendulo simple ´ del pendulo ´ Ya se obtuvo en (2.3.13) que la ecuaci on simple, como en la figura adjunta, es g ¨ φ sin φ (5.2.7)

R ´ se multiplica por φ ˙ , ambos lados de la ecuaci on ´ son Si esta ecuacion derivadas perfectas y se puede integrar desde un tiempo inicial t 0 ˙ 0 0 se obtiene φ 0 , φ hasta t arbitrario. arbitrario. Si se escoge φ 0

φ ˙ 2 t

2g

cos φ t

R

R

φ

cos φ 0

(5.2.8)

m

˙ como funcion ´ del angulo ´ ´ φ . El pendulo Se ha obtenido la velocidad angular φ comienza desde el reposo con amplitud φ φ 0 (ver figura adjunta) y se mueve disminuyendo φ , ´ bajo que corresponde a φ 0 y luego llega a φ φ 0 . En ese pasando por el punto mas recorrido recorr ido se cumple la mitad del d el per´ıodo ıodo T . ˙ es negativa por En ese lapso T la velocidad angular φ 2 lo que se debe escribir

El mismo pendulo con amplitud diferente 1.5

˙ φ

2g R

cos φ

cos φ 0

con

0

t

T

2

Para obtener la dependencia de φ en t es necesario ´ Se integra desde t 0 hasta un integrar una vez mas. T valor t menor a 2 en el que φ toma el valor φ t φ 0 φ t

φ d φ cos φ

2g cos φ 0

R

1

(5.2.9) i h p o l u g n a

0.5 0 -0.5 -1 -1.5

0

5

15

20

25

30

35

40

tiempo

t

´ El p ´ p endulo tiene per´ıodo ıodo diferente para diferentes amplitudes. La figura da φ t ´ del mismo p ´ p endulo lanzado tres veces ´ con velocidad inicial nula desde angulos

La integral al lado izquierdo pertenece a una clases de integrales llamadas el´ıpti ıp tica cas s y el resultado no pueiniciales φ 0 ´ de expresarse en t ermino de funciones elementales. Universidad de Chile

10

φ 0 diferentes.


90



´ anterior se escoge t T Si en la expresion , la integral angular es desde 2 ´ entr ´ se tiene una relaci on e ntre e el per´ p er´ıodo ıodo T y la amplitud de la oscilaci on.

φ 0 hasta φ 0 y

´ ´ En la figura anterior se muestra gr aficamente el resultado de integrar num ericamente la ´ del pendulo ´ ecuacion en tres casos que tienen el mismo valor para

g , R

y que parten del

resposo. Difieren en el valor de φ 0 . *

*

*

1 3 ´ φ En general sin φ φ 3! , pero si el p endulo tiene oscilaciones de amplitud pe˜ el lado derecho de (5.2.7) puede aproximarse por sin φ φ y la ecuacion ´ aproxiquena, mada de movimiento es

¨ φ

g R

φ

(5.2.10)

´ de ´ que qu e es es la ecua ecuaci ción de un oscila oscilador dor arm´ armonico con frecuencia frecuencia angular angular ω 0 ´ entonces es muy f acil ´ de escribir. de esta ecuacion

g . R

´ La soluci solución

˜ 5.2.4. 5.2.4. Equili Equilibri brio o y peque peque ˜ nas oscilaciones en 2D y 3D ´ En dos o tres dimensiones la situaci on ´ compleja que en una dimensi on ´ es mas ´ casos pues hay mas casos posibl posibles. es. En la figura figura adjunta se representa un potencial potencial U x y que tiene tie ne dos m´ınimos, ınimos, es e s decir, dos pun´ tos de equilibri e quilibrio o estable, es table, un m´ınimo ınimo m as profundo que el otro. Si esta superficie se cortara por un plano horizontal a alguna altura E se tendr´ıa ıa la zona en la cual el movimiento puede darse ( E U ). En la Y base de esta figura se puede ver las curX vas de nivel las cuales representan precisamente curvas U constante . Con´ siderese, por ejemplo, la curva cerrada Ejemplo de la forma de un potencial U(x,y) con dos en torno tor no al m´ınimo ınimo izquierdo izq uierdo que aparece apar ece puntos de equilibrio estable. en la base de la figura. Ella corresponde a un cierto valor U E 0 . La zona interior a esa curva cumple con E 0 U r . Es decir, si ´ inicial fue dada dentro de esta zona, el la par p art´ t´ıcula ıcul a tiene ti ene energ´ e nerg´ıa ıa total t otal E 0 y su posicion movimiento sera´ todo el tiempo dentro de esta zona. ´ es Hay otro punto interesante de este potencial: es un punto entre los dos m´ınimos ınimos y el ´ ´ X y un m´ınimo ´ Y . A tales puntos se les llama un m aximo en la direcci on ınimo en la direcci direcc ion punto silla y son puntos de equilibrio inestables. ˜ 5.2. PEQUENAS OSCILACIONES EN TORNO A UN PUNTO DE EQUILIBRIO.


´ 91 Mecanica ´ No veremos en general la forma del movimiento arm onico simple en el caso de un po´ cultural que es necesario tencial U x y y tan solo se dice a modo de complementaci on ∂ 2U ∂ x considerar la matriz de valores M ab xa ∂ x xb , se debe diagonalizar y estudiar sus ab autovalores. Sin embargo, embargo, un caso simple ocurre en el movimiento en dos o tres dimensiones de una ´ o m´ınim part´ par t´ıcula ıcula unida un ida a un resorte resor te ideal. ideal . En este es te caso, la energ´ ene rg´ıa ıa potencial pot encial tiene t iene un s olo ol ın imo o ´ que es igual en todas las direcciones. Se tiene, entonces el llamado oscilador armonico tridimensional. ´ para un oscilador arm onico ´ La ecuacion tridimensional de largo natural nulo ubicado en el origen es ¨ t m r

k r t

(5.2.11)

Se trata de un problema con fuerza central, por tanto, como el momento angular respecto ´ al centro de fuerza se conserva, el movimiento es plano, como se discuti o´ en la secci on 2.5. Todo el movimiento, entonces, ocurre en un plano, el que queda determinado por las condiciones iniciales. Conviene escoger al plano XY coincidiendo con el plano del movi´ anterior se separa en dos ecuaciones independientes, miento. miento. En tal caso la ecuaci on m x¨ t

k x t

m y¨ t

k y t

(5.2.12)

´ del tipo (3.2.6) con constantes deterCada una de estas dos ecuaciones tiene soluci on minadas por las condiciones iniciales, x t y t

A1 sin ω 0 t A2 sin ω 0 t

B1 cos ω 0 t B2 cos ω 0 t

(5.2.13)

´ inicial r 0 Si se da una posici on x0 y0 y una velocidad inicial v0 v x0 v y0 , entonces se tiene cuatro condiciones para determinar a las cuatro constantes A1 .. B2 . Demuestre que (5.2.13) implica que la trayectoria en el plano XY es siempre una elipse con centro centro en el origen.

5.3. 5.3.

Oscila Oscilado dorr forzado orzado

´ del oscilador forzado 5.3. 5.3.1. 1. La ecua ecuaci cion En variadas ocasiones una part´ par t´ıcula ıcula que se encuentra cerca de un punto de equilibrio estable es forzada externamente. El movimiento que resulta es en general complejo, de´ pendiendo del tipo de fuerza externa externa que act ua u ´ a y de la amplitud de esta. Si la amplitud de la fuerza no es muy grande, entonces la part´ par t´ıcula ıcula se s e alejar a´ poco del punto de equilibrio ´ ˜ estable, pudiendose aplicar el formalismo de peque nas oscilaciones. La fuerza externa puede ser de muchos tipos, pero un caso particularmente interesante corresponde en Universidad de Chile


92



que esta depende depen de expl´ıcitamente ıcitament e del tiempo. Un ejemplo cotidiano cot idiano se da con un u n temblor ´ de equilibrio. que hace vibrar a los edificios en torno a su posici on equilibrio. ´ qu Consideremos una part´ıcula ıcula de masa m en un una a dime dimens nsiion que e se mu mue eve ba bajo jo la acci acció´ n de una fuerza conservativa que viene de un potencial U el cual tiene un punto de equilibrio ´ una fuerza que depende del tiempo pero no de la posici on ´ F e t . Cerca estable en xe , m´ mas ´ de movimiento es del punto de equilibrio estable, la ecuaci on m x¨

k x

donde

xe

F e t

d 2U

k

dx 2

x xe

´ Como el movimento movime nto natural (sin ( sin forzamiento) forzamien to) de la part´ p art´ıcula ıcula es arm ar m onico, resulta natural ´ es armonica ´ estudiar el caso en que la fuerza externa tambi en (sinusoidal). Diremos que la fuerza externa se puede escribir como F e t kQ sin ω t t , donde Q mide la amplitud de la fuerza y ω es la frecuencia angular de la misma, que no necesariamente coincide con ˜ oscilaciones. la frecuencia angular de las pequenas ´ de movimiento que resulta es La ecuacion m x¨

k x t

Q sin ω t t

(5.3.1)

donde por simplicidad se puso xe 0. Si xe 0, entonces basta con hacer el cambio de ´ variables y t x t xe y se obtiene la misma ecuaci on.

´ resonancia y batido 5.3. 5.3.2. 2. Solu Soluci cion, ´ lineal inhomog enea ´ Este tipo de ecuaci on tiene la siguiente propiedad. Si dos funciones diferencia, x¯ t y x t la satisfacen, entonces su diferencia, y t

x t

x¯ t

(5.3.2)

´ homogenea ´ satisface la correspondiente ecuaci on m y¨ t

(5.3.3)

k y t

´ como ya sabemos, es de la forma y t cuya solucion,

A sin ω 0 t

B cos ω 0 t .

´ se vera´ que existe una soluci on ´ de (5.3.1), que se denominar a´ x¯ t , que A continuacion tiene la forma (5.3.4) x¯ t D sin ω t t siempre y cuando D tenga un valor muy preciso. Puesto que x¨¯ al exigir que se satisfaga (5.3.1) se deduce que D

5.3. OSCILADOR FORZADO

ω 02 Q ω 02 ω 2

ω 2 D sin ω t t , entonces


´ Mecanica ´ x t general es x y la solucion

x t

93

y x¯,

ω 02 Q sin ω t t A sin ω 0 t ω 02 ω 2

B cos ω 0 t

(5.3.6)

´ ´ tiene frecuencia angular ω asociada a la forzante y tiene El primer termino de la soluci on coeficiente fijo, mientras que el resto tiene la frecuencia ω 0 asociada al sistema masa´ de dos dependencias temporales con distinta frecuencia resorte m k . La superposicion ´ puede producir el fenomeno de batido que se ilustra en la figura que sigue: las funcio´ con una envolvente de nes se suman y restan sucesivamente, produciendo una funci on ´ largo que las funciones que lo componen. per´ıodo ıodo mucho much o m as ´ tiene una propiedad Esta solucion propiedad muy especial. El punto oscilante puede llegar a ale´ de reposo de jarse bastante de su posici on ´ bido al primer t ermino en (5.3.6). Si se comienza mienza a variar variar lentamente lentamente la frecuencia frecuencia an´ gular ω de la forzante acercando ω a ω 0 , el coeficiente

ω 02 Q ω 02 ω 2

crece indefinidamente,

permitiendo que la amplitud de las oscila´ crezca ciones tambien c rezca sin l´ımite. ımite. La amplitud

ω 02 Q ω 02 ω 2

´ del termino resonante cambia de

signo cuando se pasa de ω

ω 0 a ω

ω 0 .

En un sistema real este proceso tiene un ˜ l´ımite ımite porque, porque, si bien para peque peque nas os˜ cilacione cilaciones s (amplitud (amplitud peque˜ pequena) un sistema puede comportarse como aquel que hemos ´ estado describiendo, para amplitudes m as grandes la ley de fuerza se hace notoriamente diferente y el sistema deja de com´ portarse en forma puramente el astica.

2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 0

20

40

60

80

100

Un oscilador de frecuencia natural ω 0 forzado por ´ una fuerza peri odica con frecuencia ω cercana a la frecuencia ω 0 muestra un comportamiento temporal en paquetes como se aprecia en la figura. Si dos cuerdas de guitarra se afinan a notas muy cercanas el sonido que resulta al tocarlas simultaneamente tiene esta propiedad que se llama de batido , clara´ mente audible. audible. Esta es una propiedad de la soluci on (5.3.6).

´ El movimiento descrito por (5.3.6) es una primera forma de ver un fen omeno de enorme ´ importancia practica llamado resonancia . Cuando la frecuencia de una forzante ω coincide (o es muy parecida) a la frecuencia natural ω 0 del sistema, se produce una resonancia . ´ Desde el punto de vista meramente matem atico (5.3.6) es divergente si ω ω 0 . En la ´ ´ adelante, el sistema oscila mucho m as ´ fuertemente. practica, como se discutir a´ mas

´ 5.3.3. 5.3.3. Ejemp Ejemplos los en la practica ´ Este fenomeno se puede ver en numerosos ejemplos de la vida cotidiana. Universidad de Chile


94



Cuando el ruido de un motor acelerando llega a una ventana, el vidrio suele, en un determinado momento, vibrar vibrar fuertemente. Esto se debe a que el panel de vidrio de ´ y el ruido que llega a trav es ´ esa ventana tiene una frecuencia natural de vibraci on ´ actua como forzante. La frecuencia del motor va del aire (ondas de compresion) variando, porque esta´ acelerando acelerando,, y en alg´ algun u´ n momento coincide con la frecuencia del panel. ´ El movimiento de cabeceo de un barco tiene una frecuencia natural de oscilaci on. Si el barco se ve enfrentado a un oleaje suave que tiene la misma frecuencia, puede llegar a cabecear tan fuerte que podr´ıa ıa hundirse. Hundimiento en dia claro y tranquilo. Por lo compleja que es la estructura de un edificio, estos tienen varias frecuen´ Si ocurriera que la frecuencia de un temblor coincide cias naturales de vibraci on. con alguna de las frecuencias naturales del edificio este se puede llegar a romper. ´ Tecnicas actules permiten que esto no ocurra. ´ En un camino irregular no muy duro las ruedas de los autom oviles rebotan y luego ´ de este golpean fuertemente al camino. La repetici on este proceso termina haciendo haciendo una superficie ondulada bastante regular que se conoce como calamina . Los L os veh´ıculos ıcu los que transitan transitan sobre un camino camino calaminad calaminado o pueden pueden entrar entrar en resonancia resonancia y deben cambiar de velocidad para evitarlo.

5.3.4. 5.3.4. Un ejempl ejemplo o senci sencill llo o ´ Un ejemplo mecanico simple que presenta presenta forzamie forzamiento nto ocurre cuando cuando se considera el caso de un resorte resor te unidimensional de largo natural nulo y en ausencia de gravedad, gravedad, cuyo extremo A extremo oscila en torno al origen: x A t Q sin ω t t con frecuencia angular ω , en general, distinta a ω 0 k m. ´ El resultado efectivo es que aparece un nuevo t ermino de ´ de movimiento, y es una fuerza oscifuerza en la ecuaci on lante que llamaremos forzante . ´ de movimiento es m x¨ La ecuacion k x t x A t . Al reemplazar el movimiento del extremo se obtiene m x¨

k x t

X O

x A(t)

ox

x(t)

El punto A se mueve oscilando en torno al origen: x A Q sin ω t t .

Q sin ω t t

´ ya vista del oscilador armonico ´ que es la ecuacion forzado. 5.3. OSCILADOR FORZADO


´ Mecanica

5.4. 5.4.

95

Oscila Oscilado dorr amortig amortiguad uado o

Como se vio v io en las secciones anteriores, cualquier part´ıcula ıcula cerca de un punto de equi´ librio estable presenta oscilaciones arm onicas con una frecuencia bien caracter´ıstica. ıstica. En ´ de las fuerzas conservativas que dan lugar al potencial que muchas ocasiones, ademas presenta el punto de equilibrio estable, hay roce viscoso. Como sabemos, el roce viscoso tiende a frenar a las part´ıculas ıculas y por lo tanto a disminuirles su energ´ıa. ıa. Si una part´ıcula ıcula ´ hay roce comienza su movimiento cerca de un punto de equilibrio estable xe y ademas viscoso, parece natural esperar que haya oscilaciones en torno a xe y al mismo tiempo ´ que disminuya su energ´ıa, ıa, manteniendose siempre cerca del punto de equilibrio. La si´ real es mas ´ compleja pudiendo no haber oscilaciones del todo, pero como se tuacion ´ la part´ıcula ver´ vera, ıcula se mantiene cerca del punto de equilibrio. ´ de movimiento que describe a una part´ıcula De esta forma, la ecuacion ıcula cerca de un punto de equilibrio equilibrio estable estable en presencia presencia de roce viscoso es m x¨ t

o equivalentemente

k x t c

x¨ t

ω 02 x t

x˙ t m

donde k

c x˙ t

(5.4.1) 0

(5.4.2)

d 2U dx 2

x xe 0

´ de equilibrio ( xe 0). Nuevamente, si no fuese y se ha escogido el origen en la posici on ´ anterior. as´ı, ı, un cambio de variable permite obtener la ecuacion ´ algebraica z2 Para resolver este tipo de ecuaciones primero se plantea la ecuaci on c m

2

c ω 02 , cuyas raices son 2cm ω 02 , que pueden ser complejas. En efecto, la 2m naturaleza naturaleza de las soluciones soluciones de (5.4.2) depende del signo de

z

2

c

∆

2m

ω 02

(5.4.3)

´ se puede escriCaso ∆ 0: Este caso, caso, denomi denominado nado caso sobreamortiguado , la solucion bir en general en la forma x t

t

A1 e

c 2 2m

ω 02

A2 e

t

c 2 2m

ω 02

e

c 2m

t

(5.4.4)

´ ´ x t decrece exEl factor exponencial que est a´ fuera del parentesis domina y la funci on ponencialmente cuando el tiempo crece. Las constantes A1 y A2 se determinan cuando se conoce las condiciones iniciales. Compruebe que se cumple que A1

x0 2

cx0 4m ∆

v0 2 ∆

A2

x0 2

cx0 4m ∆

v0 2 ∆

(5.4.5)



96



´ es A pesar de su nombre, este sistema no oscila porque el efecto de la amortiguaci on muy fuerte. ´ son menos intensos y el sistema Caso ∆ 0: En este caso los efectos efectos de la amortigaci amortigación ´ podr´ıa ´ oscila. La soluci on ıa escribirse escrib irse practicament actic amente e en la misma forma forma que antes ω 02

i t

x t

A1 e

c 2 2m

A2 e

i t

´ debe ser real para que tenpero como la soluci on ga sentido, entonces las constantes A1 y A2 deben ser complejas. Al exigir que x x para todo t se deduce que A1 A2 . Para hacer expl´ıcita ıcita esta ´ propiedad propiedad se cambia de notaci notacion, A1

D

2

ei β

D

A2

2

ω 02

c 2 2m

e

c 2m

t

) t ( x

e i β

y entonces x t

De

tiempo c 2m t

cos t

ω 02

c

2

2m

β

Las oscilaciones de un oscilador amortiguado van van decrec decrecien iendo do con el tiemp tiempo, o, ma mante nte--

(5.4.6)

niendo su frecuencia tal como se describe en (5.4.6).

´ que esta´ representada en la figura adsolucion junta. ´ en este sistema es Se aprecia que la frecuencia angular de oscilaci on ω 02

ω c

c

2

2m

(5.4.7)

que es una frecuencia menor que ω 0 . Si el coeficiente de viscocidad c aumenta la fre´ es decir el per´ ´ T 2ω π c aumenta si c cuencia ω c disminuye aun mas, per´ıodo ıodo de oscilaci oscilación aumenta. En este caso las dos constantes que deben ser fijadas una vez que se tiene las condiciones iniciales son D y β . β .

5.5. Oscilado Osciladorr forzad forzado o y amortigu amortiguado ado Finalmente, consideramos el caso general de una part´ıcula ıcula que se mueve en proximidad ´ hay roce viscoso y una fuerza externa de un punto de equilibrio estable, donde adem as ´ ´ que describe este movimiento es periodica. La ecuacion m x¨ t 5.5. OSCILADOR FORZADO Y AMORTIGUADO AMORTIGUADO

k x t

c x˙ t

k Q sin ω t t ´ Facultad de Ciencias Cienci as F´ısicas ısicas y Matem aticas

´ Mecanica

97

que se escribe equivalentemente como x¨ t

c

x˙ t m

ω 02 x t

ω 02 Q sin ω t t

(5.5.1)

´ ´ El ultimo u´ ltimo termino es el que describe a la forzante peri forzante periodica. ´ 5.3 estas ecuaciones lineales inhomog eneas ´ Tal como se comento´ en la seccion tiene ´ general que se obtiene de la soluci on ´ general de la correspondiente ecuauna soluci solucion ´ homogenea ´ ´ una solucion ´ cion (en este caso la del oscilador oscilador amortiguado amortiguado sin forzar) mas ´ inhomogenea. ´ particular de la ecuaci on ´ general del oscilador amortiguado sin forzar solo Puesto que ya se conoce la soluci on ´ ´ de la ecuacion ´ inhomogenea ´ resta calcular una solucion (5.5.1). Esta sera´ obtenida a ´ x t de la forma partir de suponer que existe soluci on x t

A sin ω t δ A sin ω t t cos δ

cos ω t t sin δ

A ω cos ω t t cos δ

sin ω t t sin δ

(5.5.2)

De donde es directo obtener que x˙ t x¨ t

A ω 2 sin ω t t cos δ

cos ω t t sin δ

(5.5.3)

´ En lo que sigue se va a usar un parametro q para describir el amortiguamiento, en lugar ´ por definicion ´ es de c. La relacion, c ω

q

m

Al reemplazar estas expresiones en (5.5.1) ´ que se factoriza en se obtiene una ecuacion dos partes, una proporsional a cos ω t t y otra proporsional a sin ω t t . Puesto que esta ecua´ debe ser valida ´ cion para todo tiempo, cada 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 una de estas dos partes debe ser nula indeLa amplitud A w , dada en (5.5.6), de un oscilador pendientemente y se obtiene q cos δ

ω 02 Q

ω 02 A

ω 2 sin δ ω 02

ω 2 cos δ

(5.5.4)

δ q sin(5.5.5)

de frecuencia natural ω 0 , amortiguado y forzado por ´ una fuerza peri odica con frecuencia ω (la forzan- ´ te ) muestra para diversos valores del par ametro de ´ q un maximo ´ amortiguacion en w wr (definido en (5.5.7)). Mientras menor el amortiguamiento mayor

De la primera de estas ecuaciones se des- es la amplitud A peja inmediatamente que q tan δ ω 02 ω 2 Universidad de Chile


98



y entonces q

sin δ

ω 02

ω 2 ω 02

cos δ

2

q2

ω 2 ω 02

ω 2

2

q2

Si el coeficiente de roce viscoso c se anula, es decir, q

0, entonces el seno se anula y el coseno vale 1.

De (5.5.5) resulta (comparar con (5.3.5)) A

ω 02

ω 02 Q ω 2 cos δ

q sin δ

ω 02 Q ω 02

(5.5.6)

ω 2 2

q2

´ y ahora se ve que el primer t ermino en el denominador es siempre positivo tal como el ´ segundo termino. Entonces la amplitud A nunca es divergente. Su forma, ´ de ω , se muestra en la figura adjunta. La como funcion ´ A tiene un maximo ´ funcion cuando 2

ω

ω r 2

ω 02

2

2

c

(5.5.7)

2m

Esto contrasta con lo que ocurre con el oscilador for´ donde la amplitud que resulta zado sin amortiguacion ´ matematicamente es divergente en la resonancia. El valor de A en el punto ω A

ω 0 Qm c

ω r r es ω 0

(5.5.8)

c2 4m2

ω 02

´ x t de un oscilador de freLa funcion cuencia natural ω 0 , amortiguado y for´ zado por una fuerza peri odica con frecuencia ω (la forzante ) mu mues estr tra a un comportamiento inicial transitorio don-

que diverge en el caso de un oscilador forzado y no de las dos frecuencias compiten, pu0. amortiguado, es decir, cuando c ´ general de la ecuacion ´ del oscilador forzaLa solucion ´ general do y amortiguado amortiguado se expresa expresa como la soluci solucion ´ homogenea ´ ´ la solucion ´ particular de la ecuacion mas ´ obtenida. Suponiendo que no hay sobreamortirecien ´ esta solucion ´ es guaci´ guacion x t

D cos t

ω 02

5.5. OSCILADOR FORZADO Y AMORTIGUADO AMORTIGUADO

c

2m

2

β exp

c

2m

diendo haber batido en esta etapa. A

tiempos tiempos largos largos el comportami comportamiento ento es oscilatorio simple con la frecuencia ω de la forzante como se desprende de (5.5.9).

ω 02 Q

t

ω 02

ω 2 2

ω c 2

sin ω t δ (5.5.9)

m


´ 99 Mecanica ´ que proviene de la ecuaci on ´ lineal homogenea ´ (osLa primera parte de esta expresi on, cilador no forzado), decrece con el tiempo en forma exponencial. A tiempos largos, en´ que domina sin competencia es la parte proporcional a sin ω t δ . A tonces, la solucion ´ largo plazo la forzante impone totalmente la frecuencia de oscilaci on.

5.6. 5.6. Prob Proble lema mas s 5.1 Una part´ıcula ıcula P de masa m esta´ sometida a la fuerza de dos resortes. Estos dos resor´ tes de constantes elasticas k A 2k y k B k tienen largos naturales 3d y 2d respectivamente y tienen puntos fijos, como lo muestra la figura, en un punto A el primero y el segundo en un punto B verticalmente sobre ´ a distancia 6d . Determinar las frecuenel ˜ oscilaciones verticales y a cias a pequenas ˜ oscilaciones horizontales. peque˜ pequenas 5.2 El sistema sistema de poleas poleas sin roce que descridescribe la figura tiene una masa colgante m1 a la izquierda y la masa total al centro es m2 . De´ a este sistema una geometr´ıa ıa sencilla ´ de equilibrio para para la situac situaciion equilibrio.. Encuentre Encuentre ˜ oscilaciones la frecuencia de las pequenas en torno a ese punto. ´ 5.3 Se tiene un pendulo plano que consta de un hilo de largo D que tiene una part´ par t´ıcula ıcula puntual de masa ma sa m en su ex´ tremo inferior. Pero no es un p endulo común porque su origen superior esta´ en e ell pun punto to d de e contac contacto to ent entre re dos dos circunfer circunferencia encias s de radio radio R, como lo ´ muestra la figura. Cuando el pendulo oscila se enrolla un poco en forma alternada en las dos circunferencias, ´ de modo que su largo instant aneo no es D sino D R φ y su centro ins´ tantaneo de giro es el punto P de tangencia (ver figura).

B

(2k,3d)

6d

(k,2d) A

y x

D

φ

R

P φ

a) Obtenga las ecuaciones escalares de movimiento, una de ellas sirve para de´ del hilo y la otra es la interesante. b) Escriba la energ´ıa ´ terminar terminar la tension ıa cin etica, Universidad de Chile


100



˙ y la energ´ K φ φ e nerg´ıa ıa gravitacional gravitaciona l U φ . c) Demuestre Demuestre que la exigen exigencia cia de conser´ de la energ´ıa ´ ´ interesante de vacion ıa mecanica, dE dt 0, conduce a la ecuacion

´ asociada a pequenas ˜ oscilaciones. movimien movimiento to.. d) Escriba Escriba la ecuacion 5.4 Considere Considere una una part´ıcula ıcula de masa m que esta´ ap apo oyada yada sobr sobre e un reso resorte rte de cons consta tant nte e ´ de la gravedad. El punto B de donde se sostiene k y largo natural l0 , bajo la acci on el resorte se encuentra en t 0 al nivel de la mesa. Encuentre tre la altura altura de equ equili ilibri brio o a) Encuen de la ma masa sa.. b) En t 0, cuan cuando do la ma masa sa est esta´ qu quie ietta y en la posi osim ´ de equilibrio, el punto B comiencion za a oscila oscilarr vertica verticalme lmente nte.. El mo movivimiento de B puede ser descrito cog mo r B t Encuentre tre la A0 sin ω t t jˆ. Encuen k, lo ´ que describe el movimienecuaci´ ecuacion to de la masa. c) Resuelva la ecua´ de mo cion movim vimien iento to para para las condicondi B ciones iniciales dadas. d) Manteniendo la amplitud A0 fija, considere que la frecuencia ω es menor que la frecuencia de resonancia. ´ es la frecuencia m ´ ´ ¿Cu ´ ¿Cu al m axima para que la masa nunca choque con la mesa?

´ 5.5 Considere el movimiento de una par t´ıcula ıcula de masa m que se mueve bajo la acci on de la fuerza F

b x y2 z2 ıˆ

y x2 z2 jˆ

ˆ z x2 y2 k

a) Demostrar Demostrar que esta fuerza es conservativ conservativa. a. b) Encontrar Encontrar la energ´ energ´ıa ıa potencial potencial U x y z asociada asociada a esta fuerza, fuerza, tal que sea nula en el origen. c) Si la part´ıcula ıcula es soltada desde el origen con rapidez v0 , determine la rapidez en un punto cualquiera x1 y1 z1 .



Cap´ıtu ıtulo 6 Fuerzas centrales y planetas 6.1.

Barrera centr´ centr´ıfuga ıfuga y potencial potencial efectivo efectivo U

´ 6.1. 6.1.1. 1. La noci nocion ´ que puede ser comprendida a partir arrera centr´ centr´ıfuga ıfuga es una nocion ´ del momento angular. Aparece naturalmente cuando la fuerza total es de la conservacion central con centro en O . En forma poco precisa se puede decir que el momento angular ´ es proporcion ıcula ıcula al centro O y tambien proporcional al O es proporcional a la distancia R de la part´ ˙ . Puesto que O es constante, si R esta´ decreciendo, φ ˙ φ a la velocidad angular, O R φ . ´ La aceleracion ´ centr´ıpeta, tiene que ir creciendo en la misma proporci on. ıpeta, por otro lado 2 2 ˙ , es decir, an crece tambien. ´ En otras palabras, para disminuir R se es an v R R φ necesita cada vez una mayor fuerza hacia el centro (centr´ıpeta), ıpeta), lo que se siente como c omo si se estuviera contrarrestando una barrera que expulsa del centro (centr´ıfuga). ıfuga). Cuando la fuerza total es central, proveniente de una energ´ıa ıa potencial U r , F

∇U

dU dr

r rˆ

(6.1.1)

el momento angular se conserva y el movimiento es plano. En tal caso se puede describir todo el movimiento con las coordenadas polares r φ r

r r rˆ

v

˙ φ ˆ r r˙ r rˆ r φ ˙ 2 r r r¨ r φ rˆ

a

ar

(6.1.2) ˙ 2r ˙φ

¨ φ ˆ r φ (6.1.3)

aφ

El momento angular con respecto al centro de fuerzas, que sabemos que se conserva en el caso de fuerza central, es m r v

101

102



ˆ ˙ k m r 2 φ

(6.1.4)

ˆ lo denominaremos , Al coeficiente que multiplica a k ˙ m r 2 φ

(6.1.5)

´ aφ tiene que ser cero, lo que equivale a Siendo central la fuerza total, la aceleraci on 0

˙ 2r ˙φ

¨ r φ

1 d ˙ mr 2 φ r dt

´ de que es cierto porque el momento angular es constante. Usando la definici on ´ arriba se puede hacer el reemplazo mas

dada

˙ φ

(6.1.6)

m r 2

´ La energ´ ener g´ıa ıa mec anica total del sistema es E K U donde K puede escribir, gracias a (6.1.6), en la forma E MT

m

2

2

r r˙

1 mr r˙ 2 2

˙ 2 que ahora se r 2 φ

2

2mr 2

U r

(6.1.7)

´ ´ a la energ´ıa ´ El primer t ermino es la contribuci on ıa cinetica del movimiento radial y el se˙. ´ a la energ´ıa ´ φ gundo es la contribucion ıa cinetica debida a la velocidad angular φ . ´ de movimiento en el La ecuacion caso actual puede escribirse en la forma m ar dU dr : 2

m

r r¨

dU

m2 r 3

dr

(6.1.8)

que se reescribe como ´ U k r A la izquie izquierda rda el pot potenc encial ial del oscilador oscilador arm´ armonico U r 2 D0 2 que se anula en r D0 y el potencial efectivo U aso2 m r 2 dr dr (6.1.9) ciado. A la derecha se compara la funci on ´ U con U en el caso puede de ser ded deduci ucida da direct directaa- del potencial gravitacional. El potencial gravitacional U es infiniy pue mente de (6.1.7 (6.1.7)) sencil sencillam lament ente e tamente negativo en el origen y crece asint oticamente ´ a cero. El calculando dE MT dt 0. Se ob- potencial efectivo U diverge a ∞ en el origen, para cierto r se ´ (6.1.9 tiene una ecuacion (6.1.9)) para para anula, pasa a valores negativos, llega a un m´ınimo ınimo y luego crece r t . Ya se establecio´ la depen- acercandose ´ ´ a U . cada vez mas

m r r¨

d

2

U

d

dencia de φ en r en (6.1.6). ´ de movimiento es equivalente a la ecuaci on ´ de moviLo notable es que esta ecuaci on A miento de una part´ par t´ıcula ıcula en el eje X con energ´ıa ıa potencial U x2 U x , siempre que en 2 ´ U y A 2m . ambos casos se tome la misma funci on 6.1. BARRERA CENTRÍFUGA Y POTENCIAL EFECTIVO EFECTIVO U


´ 103 Mecanica Se ha demostrado las siguientes propiedades del movimiento de un cuerpo de masa m bajo el efecto de una fuerza total central de la forma (4.6.1): ´ energ´ıa ıa potencial. potencia l. rˆ dU r dr , donde U r es funcion

La fuerza es conservativa y es

Hay momento angular conservado implicando que el movimiento es plano. Queda ligada la velocidad angular con el radio r por medio de (6.1.6). ´ de movimiento, que es en un plano, se reduce a la ecuaci on ´ tan solo para La ecuacion r t , es decir, se convierte en el problema unidimensional (6.1.9). ´ es matematicamente ´ ´ de un movimiento unidiEsta ecuacion equivalente a la ecuaci on mensional, solo que en lugar de tener a U r como energ´ıa ıa potencial, juega este papel la ´ potencial efectivo U , funcion 2

U r

U r

(6.1.10)

2 m r 2

barrera barr era centr´ ce ntr´ıfuga ıfu ga ´ Al ultimo u´ ltimo termino en U se le conoce como barrera centr´ıfuga ıfuga . Para el importante caso gravitacional definido con (4.6.7) el potencial efectivo tiene un a b m´ınimo. ınim o. En efecto, efect o, si U entonces U es m´ınimo ınim o en r 0 2b a. r r 2

6.1.2. 6.1.2. Ejemp Ejemplo lo sencil sencillo lo Una part´ par t´ıcula ıcula libre es un caso trivial de “fuerza central”: F 0 y puede tomarse U 0. Sin embargo U no es nulo. Nada malo hay en ilustrar este caso con el movimiento descrito en la figura en 1.3, r b jˆ ıˆt v0 . ´ puede ser descrito utilizando coordenadas r t φ t : x v0 t Este movimiento tambi en ıcula φ . Mirando la figura en 1.3 debiera resultar obvio que si la part´ıcula r sin φ y y b r cos φ . ´ bien a la izquierda, la variable r t ira´ disminuinicia su movimiento desde una posici on yendo con el tiempo, alcanzara´ un m´ınimo ıni mo r b y luego r t comenzar´ comenzara´ a crecer, de modo que si el movimiento movimiento es visto solamente solamente desde el punto punto de la variable variable r pareciera que ha habido habido un bote a distancia b en una barrera centr´ıfuga ıfuga para comenzar a alejarse. ´ de las coordenadas usadas se deduce que De la definicion r r˙

v0 sin φ

˙ φ

v0 cos φ r

de donde es inmediato inmediato calcular calcular que m r r¨

˙ cos φ m v0 φ

m v20 cos2 φ

m v20 b2

r

r 3

2

m r 3

d

2

dr 2 m r 2

Es decir, el simple movimiento con velocidad uniforme v0 ıˆ de una part´ıcula ıcula libre puede ser visto como un movimiento bajo los efectos de una barrera centr´ıfuga. ıfuga. Universidad de Chile


104

6.1.3. 6.1.3.



Orbitas Orbitas circunfe circunferenci renciales ales

´ La energ´ ener g´ıa ıa cin etica expresada con las coordenadas polares r φ es m

2

m

v2

r r˙ 2

2 m 2 r r˙ 2

˙2 r 2 φ 2

2m r 2

(6.1.11)

˙ por la expresion ´ (6.1.6) ya En el segundo paso se reemplaz o´ la velocidad angular φ ´ encontrada en terminos de .

´ Una orbita es circunferencial circunferencial cuando su velocidad radial radial es constantemente constantemente nula, es decir, decir, cuando tanto r r˙ 0 como r r¨ 0. Esto ultimo u´ ltimo implica que debe encontrarse un radio r r c tal que dU dr 0 dU

0

dr

(6.1.12)

´ Si se resuelve (6.1.12) se deduce un valor particular r r c el que depende parametrica´ ´ mente del valor . Este es el radio de la orbita circunferencial. ´ ´ La energ´ ener g´ıa ıa cinetica en el caso de la orbita circunferencial se reduce a 2

K orbitacircunf orbitacircunf

2m r 2

(6.1.13)

´ coincide con la expresion ´ del termino ´ Pued Puede e vers verse e qu que e esta esta ultima ´ expresion que se agrega a U para formar U , es decir, la barrera centr´ıfuga. ıfuga. ´ ´ Conociendo Conocien do el valor de la energ´ ener g´ıa ıa cin etica y de la energ´ en erg´ıa ıa potencial, potencial , la l a energ´ ener g´ıa ıa mec anica total es K U y esta´ dada por 2

E

U r c

2m r c2

(6.1.14)

Ella esta´ totalmente determinada por el radio r c . ´ de (6.1.12) arroja GMm r la solucion

E JEMPLO : Si se toma el caso gravitacional U 2

r c

G M m2

(6.1.15)

´ Aqu´ı se puede apreciar que las orbitas planetarias circunferenciales tienen un radio que ´ satisfactoria de decir esta´ dado por su momento angular . Pero tal vez una forma m as ´ lo mismo se logra recordando que este es un movimiento circunferencial con velocidad ˙ angular uniforme ω φ mr c2 de donde r c 6.1. BARRERA CENTRÍFUGA Y POTENCIAL EFECTIVO EFECTIVO U

G M

ω 2

1 3


´ 105 Mecanica que no depende de la masa m del planeta sino tan solo de su velocidad angular. Con este valor la energ´ e nerg´ıa ıa total es G2 M 2 m3

E

2

(6.1.17)

2

´ ´ ´ Los satelites geocentricos son satelites alrededor de la Tierra, en el plano ecuatorial, que tienen una velocidad angular igual a la velocidad angular de la Tierra. Para un observador ´ ´ ´ en la Tierra el sat elite parece estar detenido. Estas son las orbitas que usan los sat elites de comunicaciones. ˜ oscilaciones de r t en torno a una orbita ´ Las pequenas circunferencial con un momento angular fijo se obtiene de (5.2.4) usando como potencial a U , 2

GMm

U

2mr 2

r

2GMm r 3 3 2 mr 4 . Si se reemplaza Su seguna derivada con respecto a r es U ˙ es la velocidad angular del sat elit ´ ite) ´ mr 2 ω (donde ω φ el e),, el ultimo u´ ltimo termino ya no depende de r . Si seguidamente se reemplaza r por su valor dado en (6.1.16), se obtiene ˜ oscilaciones de r en torno al valor r c es que la frecuencia de estas peque nas

ω

ω

Esto significa que el tiempo que tarda el valor de r en tomar dos veces consecutivas su ´ valor m´ınimo ınimo coincide con el tiempo que tarda el satelite en dar una vuelta, lo que implica ´ que la orbita r φ es cerrada. ´ para que sea geoestacio- Calcule a qu ´ qu e´ distancia del centro de la Tierra debe estar un sat ´ sat elite ´ a decenas de miles de kil ´ ´ ´ ´ usuales est ´ ´ nario. Compruebe que est ´ est an kil ometros. (Los sat ´ sat elites m ´ m as est an ´ a pocos cientos de kil ´ kil ometros de altura). Si la fuerza total sobre un cuerpo es F k r a r rˆ α v con el tiempo? ( k k , a y α y α son constantes conocidas).

´ ´ r , ¿C ´ ¿C omo var´ıa ıa la energ´ ene rg´ıa ıa mec ´ mec anica total

´ de Binet 6.1. 6.1.4. 4. Ecua Ecuaci cion ´ generica ´ Si se considera la ecuaci on con fuerza central central ¨ mr

F r r rˆ

˙ Al escribirla en coordenadas polares y reemplazando φ

mr 2

se obtiene

2

mr r¨ Universidad de Chile

mr 3

F r


106



´ ´ para r t en una ecuacion ´ en El metodo de Binet consiste en reemplazar esta ecuaci on ´ ´ para hacer que se considera tan solo la dependencia de r en el angulo, r φ . La razon ´ facil ´ resolver la nueva ecuacion ´ que se obtiene que la ecuaci on ´ esto es que es mas original. Para obtener la dependencia en φ se hace uso de la regla de la cadena (dg dt ˙ g ). En lo que sigue la prima indica derivada con respecto a φ , φ dtdg d φ φ φ φ , d φ d

φ d φ con lo cual r r˙ r r¨

r

˙ r φ

m r 2 2

r m mr 2

r 2

m2 r 2

(6.1.19)

2

r

2r

r 2

r 3

w

2w

´ se define la funci on ´ A continuacion 1

w φ

r φ

de modo que r

w

r

w2

w2

2

w3

Si se hace estos reemplazos reemplazos en (6.1.18) se obtiene obtiene w

w

m F 1 w 2

w2

(6.1.20)

´ de Binet. que es la ecuacion

6.2. 6.2. Plan Planet etas as y todo todo eso eso ´ de la orbita ´ 6.2. 6.2.1. 1. La ecua ecuaci cion y su integral ´ de movimiento ´ solo ´ para r t es Ya se sabe que la ecuaci on movimiento reducida a la ecuacion mr r¨

2

GMm r 2

m r 3

(6.2.1)

´ Al reemplazar reemplazar todo esto en (6.2.1) (6.2.1) resulta resulta la ecuaci ecuacion w 6.2. PLANETAS PLANETAS Y TODO ESO

w

G M m2 2

(6.2.2)


´ Mecanica ´ que ya se conoce, como por ejemplo: m x¨ que es un tipo de ecuaci on ´ general es, solucion w φ

A cos φ

107 kx

m g. Su

G M m2

δ

(6.2.3)

2

´ Siempre se puede escoger el eje a donde A y δ son las dos constantes de integracion. partir del cual se mide φ de tal modo que δ 0 que es lo que se hace a partir de ahora. ´ corresponde ´ ´ Tal eleccion corresponde a conicas orientadas en forma simetrica con respecto al cambio y y. Puesto que el inverso de w es r , (6.2.3) implica que 2

r φ

GMm 2 A 2 cos φ GMm 2

1

(6.2.4)

´ Antes de continuar se hace un repaso de la forma como se puede escribir una c onica.

6.2.2.

´ Conicas

´ se va a demostrar que r φ dado por A continuacion R

r φ

(6.2.5)

e cos φ

1

´ ´ define diversas conicas según el valor de la excentricidad e. El parametro R define la ´ escala de longitud de la conica. Si (6.2.5) se escribe como r er cos φ donde se ha usado

R o equivalentemente como x2

r cos φ

x

y

y2

R

ex

2

r sin φ

(6.2.6)

R2

(6.2.7)

se obtiene 1

e2 x2

y2

2eRx

´ que es una de las formas conocidas que describe c onicas. En efecto, todo polinomio ´ ´ 0 representa una conica cuadratico x y en el plano XY . ´ Si en (6.2.7) se hace el desplazamiento (v alido tan solo si e2 x

x¯

eR

1

1) (6.2.8)

e2

´ puede ser reescrita como la ecuacion x¯2

y2

R2 1 e2

R2 1 e2

2

1

(6.2.9)

´ Esta forma describe elipses e hip erbolas centradas en el origen. En efecto, si e2 1 ´ ´ de una elipse. En particular, si e 0 esta es facilmente reconocible como la ecuaci on 2 ´ ´ (6.2.7) en 1 lo es de una hip erbola. se obtiene una circunferencia. Si e La ecuacion ´ cambio deja a uno de los focos de la c onica en el origen. Universidad de Chile


108


Elipses: e2


1

Una elipse es una curva que se caracteriza porque la suma L1 L2 de las distancia de cualquier punto P de la elipse a dos puntos especiales llamados focos , vale ´ en el interior siempre lo mismo. Estos dos focos est an de la elipse sobre su eje mayor. El caso particular en que los dos focos se funden en un solo punto produce una circunferencia.

r max

En la forma original descrita en (6.2.7) esta es una elipse con uno de sus focos en el origen y tiene sus radios ´ m´ınimo ın imo y maximo sobre el eje X . Se tomara´ el caso e 0. Para φ

0 se obtiene r min min y para φ

2b

2a

π se tiene r max max R

r min min

r min

1

e

R

r max max

1

e

(6.2.10)

Los semiejes mayor y menor son a

´ e2 Hiperbolas:

R

1

e2

b

R

1

e2

(6.2.11)

1

´ ´ Una hiperbola es una conica disconexa, constando de dos ramas. Al igual que en el caso de una elipse, hay dos puntos especiales llamados focos. Esta vez la diferencia ´ de las distancias: L1 L2 entre cualquier punto P de la hiperbola y los dos focos es una ´ constante. constante. Las hip hiperbolas erbol as son son curvas infinitas infinitas que tienden, tienden, a grandes grandes distancia, distancia, a coincidir coincidir con dos rectas llamadas las as´ıntot ın totas as . La distancia entre ambos focos es 2 e R e2 1 . ´ La menor distancia entre las dos ramas de una hip erbola es 2 R e2 1 .

Par´ Parabola: ´ e2

1

´ Una parabola tiene un solo punto llamado foco, el cual est a´ sobre el unico ´ eje de simetr´ıa ıa ´ de la curva. La distancia entre el punto de m axima curvatura y el foco es R. ´ Si en un punto P de la parabola se traza la recta hasta el foco y la paralela al eje de ´ simetr´ simetr´ıa, ıa, la bisectriz bisectriz es perpendicul perpendicular ar a la tangente tangente a la parabola. Esta propiedad es la ´ que hace tan utiles u´ tiles los espejos parab olicos para hacer desde focos de linterna hasta telescopios y antenas. El caso e2 tiene con e

1 debe ser analizado antes de dividir por e2 1 y2 R2 2 R x

6.2. PLANETAS PLANETAS Y TODO ESO

1. Por ejemplo de (6.2.7) se (6.2.12)


´ Mecanica ´ que son ecuaciones para dos parabolas.

109

6.2.3. 6.2.3. El caso caso planet planetari ario o ´ Ahora que se sabe la forma de describir las c onicas se puede identificar 2

R

A

e

G M m2

2

(6.2.13)

G M m2

´ se vera´ como ´ A continuacion relacionar A con la energ´ e nerg´ıa ıa total E y el momento angular . La energ´ ener g´ıa ıa est a´ dada por

m

E

2

v2

(6.2.14)

U G r

pero de (6.1.2) y luego de (6.1.19) 2

2

˙2 r φ

r r˙

v

2

2

m2 r 4

r 2

r

2

(6.2.15)

entonces 2

E

r 2

2m r 4 2

r

w2

2m

w

GM m

2

r

2

(6.2.16)

GMmw

´ w se obtiene Al reemplazar la forma expl´ expl´ıcita ıcita de la funci on A2

E

2

m

2m

2

GMm

lo que permite establecer que A depende de E y G M m2

A

2

2

(6.2.17)

en la forma 2 E 2 GM m 2 m

1

(6.2.18)

De todo lo anterior se reconoce que 2

R

G M m2

2

e

1

2 E

2

G M 2 m3

(6.2.19)

´ Si se reemplaza el valor (6.1.17) de la energ´ıa ıa de una orbita orbit a circunfer circunferencia enciall se comprueba comprueba que e 0. Universidad de Chile


110


excent excentriricidad e 0.206 0.007 0.017 0.093 0.048 0.056 0.047 0.008 0.249 0.857 ? 0.967 0.967

Mercurio Venus Tierra Marte Ju´ piter Saturno Urano Neptuno Plutón Sedna Cometa Cometa Halley Halley


radio radio medio medio de la orbita ´ [108 Km] 0.58 1.08 1.50 2.28 7.78 14.27 28.89 44.98 59.00 1367.00

Cuadro 6.1: Los planetas, las excentricidades de sus orbitas o ´ rbitas y el radio medio de las respectivas o´ rbitas. Sobre Sedna aun no se tiene datos muy seguros. orbitas.

e2 e2 e2

Para elipses, ´ Para parabolas, ´ Para hiperbola,

1 1 1

y entonces E y entonces E y entonces E

0. 0. 0.

´ E JEMPLO : Desde una distancia r 0 del centro de fuerza se lanza un sat elite con velocidad ´ inicial r 0 . v0 , perpendicular al vector posicion posicion La energ´ ener g´ıa ıa es E

m 2 v 2 0

GMm r 0

y

2

m2 r 02 v20 .

´ El caso l´ımite ımite es el de la par abola, es decir, el caso con E v20

v2P

0,

2GM r 0

´ Si v0 vP la orbita es una elipse. Para el caso particular v0 GM r 0 se obtiene una ´ ´ circunferencia. Para v0 vP la orbita que resulta es una hip erbola.

6.2.4. 6.2.4. La tercer tercera a ley ley de Keple Keplerr De la segunda segunda ley de Kepler, epler, (2.5.4), (2.5.4), se desprende desprende que el per´ per´ıodo ıodo T del movimiento ´ planetario se relaciona al area de la elipse, S π ab ab, T

6.2. PLANETAS PLANETAS Y TODO ESO

2mS

2mπ ab ab

R2

2mπ 1

e2

3 2


´ Mecanica pero se sabe que 2 GMm2 R. Calculando T 2 se puede reemplazar ´ escrita, resultando recien 4π 2 a3 2 T

111 2

´ por la relacion

GM

que es la tercera ley de Kepler expresada con el semieje mayor, a.

6.3. 6.3. Prob Proble lema mas s ´ de energ´ıa 6.1 Determine Determine la fuerza fuerza F que implica la funci on ıa potencial potencia l U

k

2

r B r

´ realista se puede tener una donde B es una constante positiva. ¿En qu e´ situacion fuerza como esta? 6.2 Una part´ıcula ıcula se mueve sin roce por la superficie interior de un cono de eje vertical, ´ ´ α entre una generatriz y la vertical. vertice abajo y angulo ver tical. Demuestre que la energ´ıa ıa potencial efectiva efectiva U es 2

2mρ 2

m g ρ cotanα

donde ρ es la coordenada radial de coordenadas cil´ındricas. ındricas. Encuentre la frecuen˜ oscilaciones cuando ρ oscila levemente en torno a un valor ρ0 . cia de las pequenas ´ 6.3 Se tiene tiene en orbira geoestacionaria una gran esfera hueca. Al centro de esa esfera ˜ masa. Si se le da un peque no ˜ impulso, ¿cual ´ es su frecuencia flota una pequena ´ en torno al centro de la gran esfera? de oscilacion ´ ´ 6.4 Un sat´ satelite artificial tiene una distancia m axima y m´ınima ınima a la superficie terrestre de ´ en funcion ´ R y 3 R, siendo R el radio de la Tierra. Determine el per´ıodo ıodo de rotacion ´ de la masa de la Tierra y de su radio. Suponga que en el momento en que el sat elite ´ bajo se activa su sistema de propulsi on ´ que lo deja en orbita ´ esta´ en su punto mas ´ es el per´ ´ circuferencial. ¿Cual pe r´ıodo ıodo de esta e sta nueva orbita? 6.5 Una part´ par t´ıcula ıcula P esta´ sometida a la fuerza central dada por F r

12 B

a6

a12

r 7

r 13

r rˆ

´ donde B y a son constantes positivas conocidas. Si esta es la unica ´ fuerza sobre ´ es la rapidez m´ınima etermi rmine ne,, a) cu´ cual ınima que debe tener P en r a para que P dete ´ es la distancia m axima ´ la part´ıcula ıcula pueda pueda escapar escapar sin retorno; retorno; b) cual axim a (o ( o m´ınima) ınim a) entre P y el centro de fuerzas si P se esta´ moviendo radialmente de tal modo que pasa por r a con una rapidez que es la mitad de la encontrada en la pregunta anterior. Universidad de Chile


112



´ ´ 6.6 Un satelite esta´ describiendo una orbita circular de radio R alrededor de la Tierra. ´ ´ En cierto momento los cohetes del sat elite se encieden brevemente d andole una 27 ´ puramente ´ aceleraci´ aceleracion pura mente tangencia t angencial. l. Si el per´ıodo ıodo de la nueva orbita es 8 del per´ per ´ıodo ıo do que ten´ıa ıa antes, determine determine la rapidez rapidez de la nave cuando pasa por el punto en que ´ alejada de la Tierra (apogeo). se encuentra mas ´ ´ 6.7 Un sat´ satelite es colocado en orbita alrededor de la Tierra desde una altura de 600 Km ´ sobre la superficie con una velocidad inicial de 30 mil kil ometros por hora, paralela a ´ la superficie superficie terrestre. Suponie Suponiendo ndo que el radio de la Tierra Tierra es de 6378 kilometros y 24 ´ su masa es de 5,976 10 Kg, determine la excentricidad de la orbita y la velocidad ´ del satelite en su apogeo. 6.8 Desde Desde muy lejos y con rapide rapidez z v0 se dispara una part´ıcula ıcula de masa m contra un blanco que esta´ definido como un campo de fuerza central repulsiva de magnitud A m r 2 . La recta en la que la part´ıcula ıcula inicia su movimient movimiento o pasa a distancia distancia b del centro de fuerza. Calcule la distancia r m´ınima ınima que logra tener la part´ pa rt´ıcula ıcula con el centro de fuerza. ´ ´ describiendo orbitas ´ 6.9 Dos sat´ satelites de la Tierra, S1 y S2 , cada uno de masa m, estan ´ cerradas en un mismo plano y en el mismo sentido. S1 esta´ en una orbita circun´ ferencial de radio R y S2 esta´ en una orbita el´ıptica ıptica caracterizada por r R y ´ ´ del proceso 8 R. En un cierto instante ambos satelites r se acoplan (la duracion ´ de acoplamiento se supone nulo) formando un sat elite compuesto S12 . Durante el acoplamien acoplamiento to se conserva el momentum momentum total pero pero no la energ´ıa. ıa. Determine Determine a) el ´ cuociente entre la suma de las energ´ıas ıas cineticas K 1 K 2 y K 12 Determi rmine ne las las 12 . b) Dete ´ caracter´ısticas ısticas de la orbita de S12 . ´ 6.10 6.1 0 Sea R0 el radio de la Tierra. Una nave espacial gira en torno a la Tierra en orbita ´ 16 R0 . Para regresar a la Tierra procede el´ıptica ıpti ca de radio radi o m´ınimo ınim o 8 R0 y radio maximo como sigue: en t 0 se encuentra en su apogeo (r A 16 R0 ). Al llegar a su perigeo (r B 8 R0 ) enciende sus cohetes por un instante para frenar tangencialmente ´ ´ quedando en una orbita el´ıptica ıptica con radios maximo axim o y m´ınimo: ınim o: 8 R0 y 4 R0 . Tan pronto alcanza por primera vez r 4 R0 nuevamente frena de igual manera quedando en ´ una tercera orbita el´ıptica ıptica caracterizada por 4 R0 y 2 R0 . Finalmente, la primera vez ´ que se encuentra en r 2 R0 frena para estar el una orbita orbit a [2 R0 , R0 ] con lo que logra ´ Obtenga ´ terminar su misi on. Obteng a las variaciones var iaciones de energ´ıa ıa cin etica cada vez que frena y obtenga el tiempo que tarda en llegar a la Tierra. ´ ´ 6.11 6.1 1 Un sat satelite esta´ en orbita circunferencial de radio r 0 sometida a una fuerza central ´ de energ´ıa que implica la funci on ıa potencial potencia l U r k r . En un instante recibe un ´ de la velocidad, sin cambiar su impacto que produce un cambio en la direcci on ´ es en un angulo ´ π 3. Determine las distancias magnitud. El cambio de direcci on ´ ´ ´ m´ınima ın ima y maxima que el satelite pasa del centro de fuerzas en su nueva orbita.



Cap´ıtu ıtulo 7 Movimiento Movimiento relativo relativo 7.1.

´ Cinematica relativa relativa

7.1.1. 7.1.1.

Fuerzas Fuerzas inercial inerciales es y no no inercial inerciales es

as fuerzas que se han estudiado hasta ahora son: las de contacto (que

´ ´ ´ ´ abarcan normal, roce estatico, roce dinamico, roce viscoso, tensi on), elasticas y gravita´ ´ ´ cional. Y se podr´ıa ıa agregar fuerzas electricas, magneticas, nucleares y unas pocas m as. ´ tenemos acSe conocen relativamente pocas fuerzas en la naturaleza y de ellas s olo ´ ceso directo a las fuerzas: gravitacional y electromagn eticas (se deja afuera las fuerzas ´ se pueden observar en laboratorios muy especializanucleares y subnucleares que solo dos). ´ Casi todas las fuerzas mencionadas en el p arrafo anterior son consecuencias de las in´ ´ ´ la teracciones electromagneticas entre las mol eculas que componen la materia. Tan s olo ´ es una fuerza aparte. Todas las fuerzas de contacto se deben a las fuerzas gravitaci on ´ en una cuerda es una fuerza intermoleculares que ocurren en el contacto. La tensi on ´ electromagnetica ´ ´ debida a la cohesion entre las mol eculas que constituyen la cuerda. La ´ fuerza elastica que ejerce, por ejemplo, un resorte, se debe a estas fuerzas intermolecu´ las moleculas ´ ´ lares que tratan de mantener el orden en que estan en el solido. ´ fuerzas en los sistema de referenc No hay mas referencias ias que se denominan denominan inerciales . Sin embargo, la experiencia en un veh´ıculo ıculo que aumenta o disminuye fuertemente su velocidad ´ siente una fueres de una fuerza que no esta´ entre las anteriores. El pasajero tambi en za cuando cuando el veh´ veh´ıculo ıculo toma una curva a cierta velocida velocidad. d. Estas fuerzas son propias propias de los sistemas de referencias no inerciales . Ellas no se deben a fuerzas moleculares o gravitaciones, sino a que nuestro sistema de referencia no tiene una velocidad uniforme. En un sistema de referencia no inercial ya no vale la ley ma

F

113

114



´ definida La aceleracion definida con respecto respecto a un sistema de referencia referencia no inercial inercial obedece una ´ complicada y este cap´ıtulo ley mas ıtulo describe esta nueva ley y sus usos.

7.1.2. 7.1.2.

´ Sistemas Sistemas de referenci referencia a y su su relac relaciion Siempre un sistema de referencia ser a´ descrito por su origen de ´ coordenadas y por ejes cartesianos asociados cartesianos asociados a el.

´ ica. No importa que´ sistema de coordenadas (cartesianas, cil´ındricas, ındricas, esf eric er a. . . ) se use, use, un sistema de referencia esta´ definido por su origen O y sus ejes cartesianos X Y Z , es ´ los ejes cartesianos X Y Z son fijos en el sistema de referencia en decir, por definicion ˆ a el cual se definen. Lo mismo se puede decir de los vectores vectores unitarios asociados asociados ıˆ jˆ k los ejes. ´ rotando con respecto a los ejes Si los ejes X Y Z de un sistema de referencia S estan ˆ asociado al eje Z de S cambia X Y Z de un sistema S, entonces, por ejemplo, el vector k en el tiempo con respecto al sistema S pero, como ya se dijo, no cambia con respecto a S . Formalmente esto se expresa ˆ d k dt

0 S

´ pero, por definicion ˆ d k dt

0 S

Esto ilustra que las derivadas temporales calculadas en sistemas de referencia distintos pueden ser diferentes. ´ entre un sistema de Para definir la relacion referencia S y otro S se utilizan dos vectores: - el vector R t que va desde el origen de S al origen de S y

Z’ Y’ Z

´ - el vector Ω t que describe como giran los ejes de S con respecto a los ejes de S. Una buena forma de comprender el signifi´ cado de Ω se logra considerando una replica de los ejes X Y Z que se obtiene por ´ paralela de los ejes de S hasta O , traslaci´ traslacion El vector Ω es la velocidad angular de estos ejes (representados (r epresentados con l´ıneas ıneas a trazos ´ 7.1. CINEMATICA RELATIVA

X’ Y

O’

R(t)

X O


´ Mecanica en la figura adjunta) con respecto a los ejes de S.

115

E JEMPLO : Se puede tener ejes fijos a una mesa (sistema S). El sistema S puede ser un libro que es movido en c´ırculos ırculos sobre la mesa, manteniendo sus aristas siempre paralelas a las de la mesa. En tal caso Ω 0 porque los ejes de S no rotan con respecto a los ejes de S. El movimiento circular del libro es descrito por R t .

´ compacta es Una notacion (7.1.1)

R t Ω t

S S

´ definidos en S. Por otro lado, desde S los ejes de S rotan en Los vectores R y Ω estan ´ de O con respecto a O es R t . Entonces Ω t y la posision S S

7.1.3. 7.1.3.

R t

Ω t

Derivad Derivadas as temporal temporales es en distint distintos os sistem sistemas as de referenc referencia ia

´ se define movimiento entre sistemas de referencia que tiene movimiento En esta seccion relativo muy general. Se hace notar que la derivada con respecto al tiempo depende del sistema de referencia. ´ es el caso de dos sistemas de referencia Un caso obvio obvio en que se aprecia esta afirmaci´ afirmacion que difieren tan solo en que S se mueve con velocidad V v0 ıˆ con respecto a S. Un cuerpo que esta´ en reposo en S se mueve con velocidad V con respecto a S, es decir, 0, se tiene que dx dt S v0 . mientras dx dt S ´ mas ´ sencilla de la ley (1.3.6) es la de variaci on ´ de los vectores cartesianos La aplicacion ˆ propios ıˆ jˆ k propios de S con respecto al sistema de referencia S. El resultado es d ıˆ

ıˆ

Ω t

dt

(7.1.2)

S

y relaciones similares para los otros vectores base en S . ´ resulta facil ´ obtener la derivada de una funcion ´ vectoUna vez que se tiene esta relaci on rial cualquiera B t

b1 t ıˆ

b2 t jˆ

ˆ b3 t k

´ Al hacer la derivada de este vector hay dos tipos de t erminos: ermino s: aquellos aquellos en que aparecen aparecen las derivadas de los coeficientes ba t y otros en que aparece la derivada de los vectores unitarios. Al agruparlos se obtiene


d B B

db 1

dt

dt

S

ıˆ

Ω

b1 ıˆ

(7.1.3)


116



´ pero el primer parentesis a la derecha es la derivada de B en S ya que en S los vectores unitarios prima son fijos. De aqu´ı que el resultado final sea d B B

d B

dt

dt

S

Ω

B

(7.1.4)

S

.

Por ejemplo: el vector CD que describe la longitud de un sistema de dos part´ par t´ıculas ıculas unidas por un resorte que se mueve mueve ˙ en el plano XY de S girando con velocidad angular φ t . Este ´ puevector tiene longitud variable h t . Este vector tambien de ser descrito con respecto a un sistema de referencia S que tiene el mismo origen que S pero cuyo eje X se mantiene paralelo al sistema, es decir, CD h t ıˆ . En S por ´ el vector definicion vector es siempre siempre paralelo paralelo a X , y solo su longitud cambia en el tiempo, d CD dt S h˙ ıˆ , mientras que en ´ cambia su orientacion. ´ S tambien

Y’ Y

D C X’ φ

X

´ : Si S0 S1 A FIRMACION R1 Ω01 y S1 S2 R2 Ω12 se puede afirmar que S0 S2 R1 R2 Ω02 Ω01 Ω12 . En palabras: si la velocidad angular de S1 es Ω01 con respecto a S0 y la velocidad angular de S2 es Ω12 con respecto a S1 entonces la velocidad angular de S2 con respecto a S0 es Ω02 Ω01 Ω12 (7.1.5)

Lo anterior se puede resumir diciendo que las velocidades angulares relativas se suman vectorialmente. Para demostrar esto se hace uso de (7.1.4) con B un vector variable cualquiera d B

d B

dt

dt

S0

B

Ω02

B

S1

d B dt

Ω01

(7.1.6)

S2

´ es cierto que pero tambien d B

d B

dt

dt

S1

Ω12

B

(7.1.7)

S2

´ se reemplaza en la primera y el resultado se compara con la Si esta esta ultima ´ relaci on ´ se concluye (7.1.5). segunda relacion ´ 7.1. CINEMATICA RELATIVA


´ Mecanica

7.2. 7.2.

117

´ en un sistema no inercial Velocid elocidad ad y aceler aceleraci ación

´ ´ La f ormula general (7.1.4) sera´ utilizada para relacionar la cinem atica descrita desde dos sistemas de referencia diferentes. ´ del movimiento de un punto P visto desde los sistemas de Consideremos la descripcion ´ de P es r t con referencia S y S que tienen una velocidad angular relativa Ω. La posicion ´ entre ambos vectores posicion ´ es respecto respecto a S y es r t con respecto a S y la relacion r t

El vector R es el que va desde

R t

(7.2.1)

r t

O a O .

Directamente de (7.1.4) se obtiene que P

d r t

Ω t

v t

dt

(7.2.2)

r t

S

Combinando las dos ultimas u´ ltimas relaciones se deduce que ˙ R

v t

Ω t

v t

r(t)

(7.2.3)

r t

R(t)

´ anterior con respecto O Al tomar la derivada de la relaci on al tiempo en el sistema S se debe calcular primero ´ El punto movil d v dt

d v dt

S

O’

P es visto desde un

sistema de referencia S con origen O y desde un sistema de refe-

(7.2.4) en

v

Ω

r’(t)

S

rencia S con origen en

O

tal que el

´ ´ a en El primer t ermino de la derecha es la aceleraci on ´ R de O . Los ejes de vector posicion ´ en (7.2.3) es S . La derivada del segundo termino

S rotan con respecto a S con veloci-

d Ω dt

r

d Ω

r

dt

S

˙ Ω

d r

Ω

dt

S

r

v

Ω

dad angular Ω. S

Ω

r

d Ω

r

(7.2.5)

´ es Entonces la aceleracion d v

a

dt

S

d v

¨ R ¨ R

dt a

dt

S

Ω

v

˙ Ω

r

S

Ω

Ω

v

Ω

r

que se puede ordenar ordenar para obtener obtener finalmente finalmente ¨ a R

a

Ω

Ω

r

2Ω

´ De los cinco t erminos del lado derecho, el tercero, centr ce ntr´´ıfuga ıfu ga y el cuarto, Universidad de Chile

2Ω

v

Ω

˙ Ω

r

Ω

´ ´ r , se llama aceleraci on

(7.2.6)

´ ´ de Coriolis . v , se llama aceleraci on Escuela de Ingenier´ıa y Ciencias

118



´ de movimiento en un sistema no iner7.3. 7.3. La ecuac cuaciion cial ´ de Newton m a F , valida ´ La ecuacion en el sistema de referencia inercial S, toma en el sistema de referencia arbitrario S , la forma ma

F

¨ m R

mΩ

Ω

r

2mΩ

v

˙ mΩ

(7.3.1)

r

´ El primer t ermino de la derecha es la fuerza total que se tiene en el sistema de referencia ´ inercial S. Los cuatro terminos restantes a la derecha se les suele llamar seudo fuerza ´ fuerzas no inerciales . De ellos, aquel que es cuadr atico ´ o tambien en Ω es la fuerza ´ centr ce ntr´´ıfuga ıfu ga y el que sigue es la fuerza de Coriolis . El ultimo u´ ltimo termino se denomina fuerza trasversal . En un sentido estricto la Tierra no es un sistema inercial y se ver a´ algunos ejemplos que ´ muestran los efectos de esto. Sin embargo para muchos otros fen omenos los efectos ˜ que es razonable despreciarlos. noinerciales de la Tierra son tan peque nos E JEMPLO : El sistema de refencia S de un ascensor al que se le acaban de cortar los ´ R¨ g. Respecto al edificio cables es no inercial. Cae a lo largo del eje Z con aceleracion ´ esto es, Ω 0 por lo que la ecuaci on ´ de movimiento de un objeto P S no hay rotacion, soltado soltado dentro dentro del ascensor S que cae es m a m g m g 0, es decir, P se mueve con velocidad v uniforme. En S el cuerpo flota libremente.

´ E JEMPLO : Normalmente una plomada es un p endulo en reposo y sirve para determinar ´ vertical: ´ de la tension—p ´ ´ la direccion vertical: la direcci direccion endulo en reposo—define la vertical. ´ horizontal En el caso de un veh´ıculo ıculo S con aceleracion ¨ a constante R a a ıˆ, con respecto a un suelo S inercial, ´ la masa en el extremo del hilo de un p endulo en reposo— con respecto al veh´ıculo—est´ ıculo—esta´ sometida a las fuerzas ´ T del hilo y a su propio peso, inerci inerciale ales s de la ten tensi sión ˆ ´ (7.3.1), tomando en cuenta que mg mg k . La ecuacion 0 se reduce a T a m g a . Es decir, la plomada ´ si a 0. Si alguien camina determina una “vertical” que apunta en diagonal hacia atr as ´ de estar subiendo por un plano hacia adelante dentro del veh´ıculo ıculo tendra´ la sensacion inclinado caracterizado por una pendiente α tal que tan α a g. E JEMPLO :

Consideremos un sistema S de ejes coordenados con ori´ gen en el centro del Sol y tal que un sat elite (puede ser la Tierra) esta´ siempre sobre el eje X .

Y Y’

T ´ DE MOVIMIENTO EN UN SISTEMA NO INERCIAL 7.3. LA ECUACI ECUACION

X’

´ Facultad de Ciencias Cienci as F´ısicas ısicas y Matem aticas x’ S

φ

X

´ Mecanica ˙ del Este sistema S esta´ rotando a la velocidad angular φ ˆ mientras que R 0 todo el tiempo. ´ satelite. Esta vez Ω φ ˙ k Entonces r x ıˆ , pero es natural llamar r a x , por lo cual ´ de las coorr r ıˆ , v r r˙ ıˆ y a r r¨ ıˆ , es decir, por eleccion ´ solo ´ apunta en la denadas en el sistema S la aceleracion ´ del eje ıˆ . direccion

119

´ (7.3.1) se obtiene que Trabajando la ecuacion mr r¨ ıˆ

˙ 2 r ıˆ m φ

F gravit

m d

˙ r 2 jˆ φ

r dt

(7.3.2)

Al igualar separadamente los coeficientes de los dos vectores unitarios se obtiene que d ˙ 2 ˙ r 2 ´ de movimiento en S se reduce 0, es decir, m φ φ r es constante y la ecuacion dt a mr r¨

GMm r 2

2

m r 3

d

GMm

dr

r

2

2mr 2

(7.3.3)

´ de movimiento unidimensional de una part´ıcula As´ı se ha obtenido ob tenido la ecuaci ec uaci on ıcula sometida 2 a un potencial GMm que contiene al potencial gravitacional y al potencial asociado r 2mr 2 a la l a fuerza f uerza centr´ıfuga. ıfuga.

7.4. 7.4.

Nave Nave espaci espacial al que que rota

Para hacer largos viajes espaciales parece conveniente que los astronautas vivan en un ambiente que simule la gravedad terrestre. Esto se logra con una nave que est e´ rotando. Consideremos una nave que se mueve en el espacio interestelar con velocidad uniforme, esto es con R¨ 0, que tiene forma de un gran anillo de radio r 0 como la que se describe en la figura adjunta. Se considerara´ ejes cartesianos X Y para el sistema sistema inercial inercial y ejes X Y fijos a la nave. Ambos sistemas de ejes tienen su origen en el centro de giro de la nave. La velocidad angular de la nave, con resp respec ecto to a un sist sistem ema a de ref referen eren-ˆ. cia inercial, es Ω Ω k Sobr Sobre e un cuerp cuerpo o solt soltad ado o mu muy y cerca del suelo no est a´ actuando fuerza inercial inercial alguna. alguna. Le ecua´ de movimiento (7.3.1) para cion

Y Y’

X’

Ω h X



120



este caso es x¨

Ω2 r 0

(7.4.1)

´ y numericamente se desea que esta sea precisamente la acele´ de gravedad terrestre, es raci´ racion ˜ tiene la condici on ´ decir, el diseno Ω2 r 0

(7.4.2)

g

Puede verse que si r 0 es de alre´ dedor de un kilometro entonces la na nave ve deb debe e girar girar aprox aproxima imadadamente dando una vuelta por minuto. Un cuerpo que se mueve por el “corredor central” de la nave mantiene ρ r 0 constante (ρ˙ 0) y tanto la fuerza centr´ıfuga ıfuga como la de Coriolis apuntan radialmente: F

˙ mΩr 0 2φ

F

Ω ρˆ

´ de movimiento completa tiene aceleraci on ´ y fuerzas y puede hacerse cero. La ecuacion ´ ρˆ , incluyen solo en la direccion incluyendo do la normal N N ρˆ , y es ˙2 m r 0 φ

N

˙ mΩr 0 2φ

N

Ω

˙ de donde se ve que la normal se anula cuando φ

˙ mr 0 φ

Ω

2

Ω.

´ de la Tierra 7.5. 7.5. Efec Efecto tos s de la rotac otaciion 7.5.1. 7.5.1. Cuest Cuestion iones es genera generale les s Si un sistema S (Tierra) rota con velocidad angular Ω constante con O X Y Z ˆ . Los 0 y Z respecto al sistema inercial S O X Y Z , y R Z , entonces Ω Ω k ´ velocidad y aceleracion ´ de un cuerpo P en la Tierra son, vectores posicion, son, como siempre, siempre, r v a

ˆ ρ ρˆ z k ˆ ρ˙ ρˆ z˙ k ˆ ρ¨ z¨ k

˙ φ ˆ ρ φ ˙ 2 ρˆ ρ φ

(7.5.1) ˙ 2ρ˙ φ

¨ φ ˆ ρ φ

´ P y el eje de rotacion ´ de la Tierra y el angulo ´ donde ρ es la distancia desde el punto m ovil φ define el meridiano en el cual est a´ P, es decir, es la coordenada cil´ıdrica ıdrica φ de P con respecto al eje X fijo al sistema noinercial S . ´ DE LA TIERRA 7.5. EFECTOS DE LA ROTACION


´ 121 Mecanica Se considerara´ a la Tierra como un sistema con velocidad angular Ω constante constante con respecto a un eje fijo—que une al polo norte con el polo sur. La velocidad angular de la Tierra es aproximadamante

ΩT

5

7 10

radianes/segundos

0 00007

Las unicas ´ fuerzas noinerciales en S (descritas en coordenadas cil´ındricas) ındricas) son mΩ2 ρ ρˆ

F

˙ ρˆ 2mΩ ρ φ

F

ˆ ρ˙ φ

(7.5.2)

´ Todo el analisis se hara´ como si la Tierra estuviese aislada de toda influencia externa y su centro puede ser considerado fijo en un sistema de referencia inercial. En particular, ´ de la Tierra entonces, se despreciara´ los efectos que pudieran provenir de la rotacion alrededor del Sol. El vector radial desde el centro de la Tierra y el vector unitario, tangencial a la superfi´ cie esferica y hacia el Sur, expresados en la base de vectores asociados a coordenadas cil´ındricas ındric as son r rˆ

ˆ ρ ρˆ zk z2

ρ2

zρˆ

ˆ θ

ˆ ρ k

z2

r φ θ

(7.5.3)

ρ2

ˆ común a coordenadas cil´ındriEl vector φ ındri´ ´ Este. cas y esfericas apunta en direcci direccion ´ de la Tierra sobre un cuerpo que se mueve cerca Se analizara´ los efectos de la rotacion de la superficie de ella, es decir, se toma g con valor fijo. La fuerza total sobre este este cuerpo, entonces, es F total

f

(7.5.4)

mg

donde f es la suma de las fuerzas inerciales: de resorte, de roce, de viscosidad etc excepto el peso que se ha escrito aparte. ´ de movimiento del cuerpo es La ecuacion ma

f

mg

mΩ

Ω

r

2m Ω

(7.5.5)

v

´ centr´ıfugo ıfugo se ver´ vera´ que es una fuerza La fuerza centr´ıfuga: ıfuga: Si se analiza el t ermino perpendicular al eje de la Tierra, apunta hacia afuera y depende de la latitud, es decir, ´ ´ ´ θ de coordenadas esfericas. depende del angulo Esta fuerza solo depende de la posici on ´ en la Tierra del objeto y resulta natural sumarla con el t ermino de peso produciendo: glocal

g

Ω

Ω

g

Ω2 ρ ρˆ gz z2


ρ2

r

ˆ k

g z2

ρ2

Ω2

ρ ρˆ

(7.5.6)


122



´ ´ de gravedad que efectivamente actua en ese lugar. N otese ´ que define la aceleraci on ´ centr´ıfuga. que glocal no apunta hacia el centro de la Tierra debido a la aceleraci on ıfuga. En ´ en el Ecuador particular, por tanto, una plomada apunta hacia el centro de la Tierra s olo ´ de gravedad se le agrega un vector en la direcci on ´ ρˆ y en los Polos. A la aceleraci on ´ de la Tierra. El denominad que es perpendicular al eje de rotacion denominador or z2 ρ 2 puede ser aproximado al valor R0 del radio de la Tierra. ´ distante del centro De lo anterior justifique que la desembocadura del rio Mississippi est ´ est a´ m ´ m as ´ de la Tierra que su superficie varios kil ´ kil ometros ometro s “r´ıo ıo arriba”. arriba ”. ´ entre el valor de la aceleraci ´ ´ centr´ıfuga Calcule, para un punto a nivel del mar, la raz ´ raz on aceleraci on ıfuga en ´ de la Tierra sobre su eje, y la aceleraci ´ ´ de gravedad. el ecuador, debido a la rotaci ´ rotaci on aceleraci on ´ ´ ´ Compruebe Compruebe que al comparar num ´ num ericamente los dos t ´ t erminos que hay en el gran par ´ par entesis ´ de 200 veces m ´ ´ grande que el segundo. redondo en (7.5.6), el primero es m ´ m as m as

2m Ω v . La Tierra gira hacia La fuerza de Coriolis: La fuerza de Coriolis es F Coriolis el Este, por lo que la regla de la mano derecha da que Ω apunta del polo Sur al polo ´ para esta fuerza en coordenadas esfericas ´ Norte. La expresion es F

˙ sin2 θ 2mΩ rˆ r φ

ˆ r φ ˙ sin θ cos θ φ ˆ r θ r˙ sin θ

˙ cos θ r θ

ˆ hacia el Sur y φ ˆ hacia el Este. Los vectores unitarios apuntan: r rˆ hacia arriba, θ ˙ Cuerpo que sube: Este es un caso en el cual r r˙ 0, θ se reduce a ˆ 2mΩr φ r˙ sin θ

˙ 0 y φ

0 y la fuerza de Coriolis

que es una fuerza que apunta hacia el Oeste. Por ejemplo, el aire que se calienta en contacto con el suelo caliente en las zonas tropicales sube y la fuerza de Coriolis hace que se desvie hacia el Oeste. En todo el globo, los vientos que dominan en el Ecuador van hacia el Oeste. Si, por el contrario se deja caer un cuerpo desde el reposo, la fuerza de Coriolis lo desv´ıa ıa hacia el Este. Combinada Combinada con el efecto sobre los aires que en latitudes latitudes polares se enfr´ enfr´ıan ıan y bajan bajan se ´ ˜ continental tienden obtiene el efecto neto que los vientos y oc eanos en zonas de tamano a tener un movimiento rotatorio que es (mirado en un mapa) tipo punteros de un reloj en el hemisferio Norte y en el sentido contrario en el hemisferio Sur. Ejemplo, la corriente de ´ ´ Humbolt. El efecto sobre costas Oeste es que acerc andose al tropico los aires son cada ´ secos y de ah´ı la existencia vez mas existencia del desierto desierto de Atacama, el de California California y el de Namibia. r˙ Cuerpo que se mueve hacia el Sur: Este es un caso en el cual r fuerza de Coriolis se reduce a ˙ cos θ ˆ φ 2mΩr θ

que apunta hacia el Oeste en el hemisferio Norte ( θ hemisferio Sur (π (π 2 θ π ). ). ´ DE LA TIERRA 7.5. EFECTOS DE LA ROTACION

˙ 0, θ

˙ 0 y φ

0 y la

π 2) y apunta hacia el Este en el


´ 123 Mecanica ˙ 0 y φ ˙ 0y r˙ 0, θ Cuerpo que se mueve hacia el Este: Este es un caso en el cual r ´ que se escribe en forma muy sencilla en la fuerza de Coriolis se reduce a una expresion coordenadas coorden adas cil´ındricas ındric as 2mΩφ˙ ρ ρˆ

Esta Esta fue fuerza rza es parale paralela la a la fue fuerza rza centr centr´´ıfuga ıfuga y aument aumenta a o dismin disminuy uye e el efect efecto o de la ˙ φ . En efecto, un cuerpo que se mueve horizontalmente de centr´ıfuga ıfuga segun ´ el signo de φ . Oeste a Este experimenta experimenta una fuerza de Coriolis Coriolis paralela paralela a la fuerza fuerza centr´ centr´ıfuga. ıfuga. Si se mueve de Este a Oeste estas dos fuerzas son antiparalelas.

De todo lo anterior se puede comprender que Buenos Aires tiene clima húmedo umedo y Santiago tiene clima seco.

´ T ´ T omese un sistema de referencia S con origen en el centro O de la Tierra y que gira solidariamente riamente con ella, y otro sistema S con el mismo origen pero que no gira. Si un cuerpo, cuerpo, en reposo con respecto a la Tierra S , es soltado desde una altura h del suelo, tiene un momento angular en S que es R0 h 2 Ω donde R0 es la distancia desde O hasta el suelo. Se sabe que se conserva porque solo est ´ est a´ actuando una fuerza central, pero h va cambiando a medida que el ´ ´ va a ir cambiando cuerpo cae, por tanto la velocidad angular del cuerpo, visto desde S, tambi en ´ se desv´ para poder conservar conservar el valor valor de . Analice desde este punto de vista en qu ´ qu e´ direcci ´ direcci on des v´ıa ıa de la vertical vertical el movimiento movimiento a media que cae (norte, sur, sur, este, oeste). oeste).

´ NDULO DE F OUCAULT: El siguiente problema es s olo ´ para quienes les atrae haP ENDULO E

´ ´ ´ cer analisis prolijos y complejos. Ya se sabe que un p endulo plano es un p endulo que ´ espec´ oscila en un plano fijo. Sin embargo, al decir plano fijo se quiere decir m as esp ec´ıfiıficamente que el plano es fijo con respecto a un sistema de referencia inercial. Esto es equivalente a decir que la velocidad angular de la masa en el extremo del hilo ´ (horizontal) no cambia ya que es cambia de magnitud en el tiempo pero su direcci on ´ La Tierra al girar, sin embargo, hace que el siempre ortogonal al plano de oscilaci on. ´ movimien movimiento to se vea diferent diferente. e. Un caso caso trivial trivial de analizar analizar es el de un p endulo oscilan´ do justo en el polo Sur. El p endulo mantiene mantiene su plano fijo mientras el terreno terreno bajo el ´ pendulo gira en torno al eje que pasa justo por el punto fijo en el extremo superior del ´ ´ hilo. Para alguien parado junto al p endulo le va a parecer que el plano del p endulo va ´ girando (es la Tierra y no el p endulo quien gira) y completa una vuelta completa en ´ 24 horas. Analice el caso de un p endulo en Santiago y compruebe que el plano del ´ pendulo hace un giro completo en un tiempo T 2π Ω cos θ donde Ω es la velociθ expresado en grados es la latitud de Santiago. Un dad angular de la Tierra y π 2 ´ ´ pendulo suficientemente estable que permita observar este fen omeno se denomina ´ pendulo de Foucault. Universidad de Chile


124



7.6. 7.6. Prob Proble lema mas s 7.1 Una vara vara con un extrem extremo o en un pun pun-to O fijo al sistem sistema a inerci inercial al S, gira gira con velocida velocidad d angular angular constante constante Ω1 en torno a O en el plano XY de S. P El otro extremo de la vara de largo R 1 R0 es el punto O . Se pide escribir la Ω ´ de movimiento (7.3.1) para ecuaci´ ecuacion 2 O’ el punto masivo P, masa m, que gira, R en torno a O con velocidad uniforme 0 Ω Ω2 con respecto a la vara, como lo in1 ´ dica la figura. (a) Obtenga la ecuaci on O de movimiento de P en el sistema de referencia S centrado en O y que mantiene sus ejes paralelos a los del sistema ´ centrado en O pero con sus ejes inercial S; (b) idem para el sistema S , tambien girando de tal modo que P siempre esta´ sobre el eje X . 7.2 Dos part´ par t´ıculas ıculas de masa m, unidas unidas por un alambre alambre r´ıgido ıgido de masa despreciable despreciable y largo R, pueden moverse a lo largo del interior de un tubo. El tubo est a´ girando barriendo un plano horizontal con velocidad angular constante ω . ´ ca (las a) Decid ecida a si la po posi sici ció´ n simetrica etri (las part´ıculas ıculas en reposo y a igual distancia del centro de giro) es estable o no. b) Si el punω to medio medio del alambre alambre ahora es colocado colocado a ˜ distancia d del centro de giro una pequena R ¿Que´ rapidez, con respecto del tubo, tiene el sistema cuando esa distancia crece hasta el valor R? c) Compare la energ´ıa ıa inicial y final del movimiento anterior y comente. ´ de O siempre 7.3 En dos dimensi dimensione ones s la posici posición siempre puede puede escribirse escribirse como R R t ´ de R˙ , es decir, por ıˆ cos φ jˆsin φ donde φ φ t . Se escoje jˆ en la direccion ´ R˙ R˙ jˆ . Es tal caso la velocidad angular Ω, apunta en la direcc on ´ perdefinicion ˙ donde cos α jˆ jˆ . Determine Ω en general. pendicular al plano y su magnitud es α Luego especialice su resultado al caso φ ω t y R R0 exp B ω t , donde B es una constante cualquiera. 7.4 Un an anillo illo de de masa m se puede mover solo a lo largo de un vara que tiene un extremo fijo O y gira en el plano XY del sistema intercial S. El anillo est a´ unido a un resorte ´ (enrollado a lo largo de la vara), de largo natural ρ0 y constante elastica k . Escriba 7.6. PROBLEMAS PROBLEMAS


´ 125 Mecanica ´ de movimiento del anillo en el sistema S que gira junto a la vara (la vara la ecuacion ˜ oscilaciones en torno a es el eje X ), obtenga su punto de equilibrio y las peque nas ´ el. 7.5 En el caso de la nave nave espacial descrita en el texto principal, compruebe que cuando un astronauta sale a trotar a lo largo del gran corredor central, el peso que sus piernas deben soportar puede aumentar o disminuir considerablemente si lo hace en un sentido o el otro del corredor. 7.6 Desde Desde un pun punto to B en el techo se suelta un cuerpo en reposo con respecto a la nave y cae sobre en el punto A del suelo. Luego se coloca una plomada en B y se determina el punto A del suelo justo bajo B. ¿Que´ distancia hay entre A y A ? ´ Calcule todo numericamente suponiendo que el techo est a´ 5 metros sobre el suelo, ´ de gravedad” en el suelo es g. ¿Cuanto ´ tarda r 0 1000 metros, que la “aceleracion el cuerpo en golpear el suelo? ˆ barriendo un 7.7 Una vara gira en un plano con velocidad velocidad angular angular constante constante Ω Ωk plano fijo. Una cuenta de collar de masa m puede deslizar por la vara. El contacto cuenta-vara se caracteriza por los coeficientes de roce µ e y µ d d . No hay gravedad. Si S es un sistema de referencia inercial fijo al plano de giro y S es un sistema de referencia noinercial cuyo eje X coincide todo el tiempo con la vara, determine (a) la fuerza fuerza centr´ centr´ıfuga ıfuga y de Coriolis que actuan actuan sobre la cuenta cuenta en el sistema sistema de ´ de movimiento de la cuenta y la ecuaci on ´ que referencia S . (b) Obtenga la ecuaci on determina la fuerza normal. Decida bajo qu e´ condiciones (si es que hay alguna) la ´ ´ de cuenta podr´ıa ıa estar estatica con respecto a la vara. (c) Resuelva la ecuaci on movimiento suponiendo que en el instante t 0 la cuenta parte del centro de giro con rapidez v0 , con respecto a la vara.

˜ de angulo ´ α , oscilando 7.8 Se tiene una cu na oscilando horizontalmen horizontalmente te tal que O O x ˜ a altura h sobre el eje X , hay un cuerpo A sin ω t t . Sobre la cara inclinada de la cu na, ´ µ . de masa m que tiene, con la superfice inclinada, un coeficientede roce est atico ˜ no oscilara el cuerpo Se da como dato que si la cuna cuer po no deslizar´ıa. ıa. Si se conoce A, ´ sobre ω para que el cuerpo no se mueva con respecto a la se pide una condici on ˜ cuna.



126





Cap´ıtu ıtulo 8 Sistemas extendidos 8.1. 8.1. Repaso aso 8.1.1. 8.1.1. Centr Centro o de masa masa ´ 2.2 se dio´ algunas de las definiciones basicas ´ En la seccion necesarias para describir ´ y sistemas sistemas de muchas muchas part´ıculas. ıculas. Entre ellos, la masa total del sistema sistema y la posici posici on velocidad del centro de masa, N

M

∑ ma

RG

k 1

1

N

∑ mar a

M a

1

V G

N

∑ ma va

M a

1

(8.1.1)

1

´ de movimiento El centro de masa tiene como ecuaci on M

dV G dt

total

F

donde

ext

F

N

∑ F a

(8.1.2)

k 1

y se demostro´ que la fuerza a la derecha es la suma de las fuerzas externas sobre el sistema.

8.1.2. 8.1.2.

Posicione osiciones s con respecto respecto al centro centro de masa

´ Ya se ha visto que la energ´ energ´ıa ıa cin´ cinetica puede ser separa´ da en la energ´ energ´ıa ıa cin´ cinetica del sistema en su conjunto y la ´ energ´ ener g´ıa ıa cin etica total con respecto al sistema de referencia ˜ al centro de masa: que acompana tot

K

G

ρ

k

R

1 N ma va 2 ∑ 2a 1

G r

127

O

k

128


1

N

2

∑ ma

V G

ρ˙

∑ ma 2

V G2

ρ˙ a2

2a 1

1 N


a

2ρ˙ a V G

a 1

´ ´ pero el ultimo ´ termino en el par entesis es nulo debido a (2.3.24). De aqu´ı que 1 N ma ρ˙ a2 ∑ 2a 1

1 M V G2 2

tot

K

(8.1.3)

8.1.3. 8.1.3. Moment Momento o angula angularr ´ se definio´ el momento angular total del sistema y se vi o´ que obedece a En 2.2 tambien ´ la ecuacion d

O

dt

f aext

∑ r a

(8.1.4)

a

´ con un sistema inercial S. Hasta aqu´ı se ha trabajado tr abajado solo ´ se define Tambien G

∑ maρa

va

∑ maρa

ρ˙a

a

(8.1.5)

a

y el momento angular de la masa total ubicada en el centro de masa G

O

M RG

V G

(8.1.6)

G

(8.1.7)

de modo que se cumple que G

O

O

˙

´ La dinamica de G se obtiene a partir de tomar la derivada G ∑ ma ρa ρä y hacer uso ´ de que ma ρä ma r ä ma R¨G . El primer termino es la fuerza total F a sobre la part´ par t´ıcula ıcula a ¨ mientras que el segundo, al sumar sobre a se anula porque queda ∑a ma ρa RG por lo cual ˙ τ G ∑ ρa F a (8.1.8) G a

´ se vio´ que Todo esto fue visto en el cap´ c ap´ıtulo ıtulo 2. Tambien τ O O

RG

∑ f a a

G

τ O 8.1. REPASO REPASO

τ G

∑ ρa

f a

a


´ Mecanica

8.2.

129

Sistemas r´ıgidos ıgidos con punto fijo

El movimiento de sistemas r´ıgidos ıgidos puede ser bastante complejo. complejo. Es conveniente conveniente plantear el tema a partir de casos relativamente sencillos. Se comienza por el caso en que el sistema r´ıgido ıgido se mueve mueve manteniendo un punto fijo. Los trompos suelen girar manteniendo fijo el punto de contacto con el suelo. ´ “sistema r´ıgido La expresion ıgido con punto fijo” significa que la distancia entre los puntos del sistema permanencen fijos y que la distancias entre los puntos del sistema y el punto fijo ´ permanecen constantes. tambien

8.2.1. 8.2.1.

Momento Momento angular angular y matriz matriz de inercia inercia

´ introducir Si P es el punto fijo y existe un sistema inercial S P; X Y Z , interesa ademas un sistema de referencia S P; X Y Z en el cual el sistema r´ıgido ıgido est a´ fijo. Puesto ´ relativa de ambos sistemas en nulo y puesto que v 0, la que el vector R de posicion ´ (7.2.3) se reduce a expresi´ expresion Ω r v t En particular, la velocidad de cada masa ma del sistema es

Ω

va

(8.2.1)

r a

´ notamos que, puesto teniendo presente que en gereral Ω cambia en el tiempo. Adem as que R 0 se cumple que r a r a (ver (7.2.1)). (7.2.1)) . De aqu´ı que qu e P

∑ ma r a

Ω

r a

a

r a2 Ω

∑ ma

r a Ω r a

a

que qu e po porr comp compon onen ente tes s es

´ xai (se (se usa usa la no nota taci ción

P i

∑ ma

r a2 Ωi

a

i

)

∑ xa j Ω j xai j

∑ ma ∑ a

r a

r a2 δ i j

xai xa j Ω j

j

∑ I iPj Ω j

(8.2.2)

j

lo que se resume como P


IP Ω


130



donde la matriz de inercia inercia es es I iPj

∑ ma

r a2 δ i j

xai xa j

a

´ de matriz La definicion matriz de inercia contiene contiene N sumandos, uno por cada c ada part´ par t´ıcula ıcula del sistema. En algunos casos puede ser util u´ til separar a un sistema sistema r´ıgido ıgido en dos sistemas sistemas con N 1 y par t´ıculas ıculas cada uno, N N 1 N 2 y en tal caso la matriz de inercia se puede separar N 2 part´ en dos, una u na con ´ındices ındices a que toma N 1 valores y la otra que toma el resto de los valores. ´ que la suma de las dos matrices de La matriz de inercia del sistema completo no es m as inercia parciales, 1 P I i j

I iPj

2 P I i j

(8.2.4)

´ ´ el producto escalar entre dos vectores tridimensionales pueUn parentesis sobre notacion: de ser escrito como la suma de los productos de sus componentes cartesianas, a b

a x b x a1 b1

a yb y a2b2

a zb z a3 b3

donde las componentes son designadas sub- una letra (como a y ) y luego por un número umero ´ nos resultara´ m as ´ c omoda, ´ (como a2 ). Esta ultima u´ ltima notacion porque ahora se puede escribir 3

∑ aibi

a b

i 1

´ el producto de una matriz por un vector, Aa se puede escribir por componentes, Tambi´ Tambien 3

Aa Aa

∑ Ai j a j

i

j 1

Y por ultimo ´ δ i j se usa para designar a los elementos de la matriz identidad, es decir, δ i j vale cero si i

j y vale la unidad si i

j.

Las componentes en la diagonal de la matriz I P se llaman los momentos momentos de inercia inercia . Por ejemplo P I 11

∑ ma a

r a2

x2a

∑ ma y2a

z2a

a

y los tres son: I 11 11

∑a ma y2a

z2a

I 22 22

∑a ma z2a

x2a

I 33 33

∑a ma x2a

y2a

(8.2.5)

´ En el caso de I iiii el parentesis en la sumatoria contiene la distancia entre la part´ par t´ıcula ıcula a y ´ X i que pasa por P. el eje en direcci on 8.2. SISTEMAS SISTEMAS RÍGIDOS CON PUNTO FIJO


´ Mecanica

I

131

ya 2 za 2 xa ya xa za 2 2 xa ya za xa ya za 2 xa za ya za xa ya 2

∑ ma a

(8.2.6)

´ ´ de la barra en el punto O como funci on ´ ´ del angulo. ´ Obtenga el valor de la tensi on

8.2.2. 8.2.2.

Ejes apropiad apropiados os para para la matriz matriz de inerc inercia ia

Normalmente es conveniente calcular la matriz de inercia en ejes en los que IP resulta ´ de una eleccion ´ de ejes “acompanantes” ˜ constante. Puede existir m as en los cuales esto se logra. ´ ´ como se comento´ bajo (8.2.7), es La matriz de inercia es real y sim etrica y ademas, positiva semidefinida, lo que implica que es diagonalizable y en la diagonal quedan can´ de los ejes en que se logra esta forma para IP se tidades no negativas. La orientaci on llaman los ejes principales y son autovectores de IP . ´ Si un cuerpo es sim etrico existen planos distintos (perpendiculares entre s´ı) ı) respecto a los cuales, al reflejar el sistema, este queda igual. El caso extremo es una esfera que queda igual al ser reflejada con respecto a cualquier plano que pase por su centro. Un ´ cubo es un caso donde no cualquier plano sirve. Un cilindro es sim etrico con respecto al ´ lo es con respecto plano perpendicular a su eje y que pasa por su punto medio, y tambi en a cualquier plano que contenga al eje del cilindro.

´ ´ 8.2. 8.2.3. 3. Ejem Ejempl plo: o: pendulo conico doble ´ directa Descripcion ´ ´ Consideremos un pendulo conico doble como el de la ´ θ fijo y por figura. Esta´ caracterizado por un angulo brazos para las masas m1 y m2 colineales de largos b y c respectivamente. Los vectores de posiciones y ´ ´ velocidades de las dos part´ par t´ıculas ıculas del p endulo conico que se muestra en la figura son r 1

ˆ cos θ kb

v1

φˆ ω b sin θ

ρˆ b sin θ

r 2

ˆ cos θ kc

v2

φˆ ω c sin θ

´ Con ellos facilmente se calcula que P

m1 r 1 v1 m2 r 2 v2 ˆ sin θ ω m1 b2 m2 c2 sin θ k


Z

^ φ

^ k 1

θ b

ρˆ c sin θ

^ ρ

Y

P c

X ρˆ cos θ

2


132



´ ´ La velocidad angular del p endulo conico es ˆ ω k

Ω

Ahora se describira´ lo mismo pero usando, por un lado, la matriz de inercia descrita en el ´ sistema de referencia S unida al pendulo, para luego calcular el momento angular como producto de esa matriz con el vector de velocidad angular.

Matriz de inercia y momento angular ˜ Se define el sistema acompanante S con eje Z coincidiendo con ´ la barra del pendulo y se escoje el eje X en el plano ZZ . La matriz de inercia de la barra con dos masas en sus extremos es particularmente sencilla en el sistema S porque las coordenadas 0 0 b y r 2 0 0 c lo que da la de las dos masas son r 1 matriz de inercia m1 b2

m2 c2 m1 b2

0 0

I

0

0 0 0

m2 c2

0

1 k

b

θ c

Z’

ρ X’

La matriz de inercia que se definiera con respecto a los ejes de S ´ correcta es dependiente del tiempo y conduce a una descripci on correcta ´ bastante complicada. pero mas

La velocidad angular y el momento angular La matriz de inercia esta´ expresada en la base de S , de modo que la velocidad angular ˆ k ˆ cos θ ıˆ sin θ por lo cual se debe escribir en la misma base. De la figura se ve que k ω sin θ

Ω

ˆ cos θ ω k

ıˆ sin θ

0 ω cos θ

De esta forma los vectores cil´ındricos ındricos de S se relacionan con los vectores cartesianos de S El momento angular se calcula multiplicando a la matriz deinercia con la velocidad angular, m1 b2 P

m2 c2

0 0

8.2. SISTEMAS SISTEMAS RÍGIDOS CON PUNTO FIJO

0 m1 b2

m2 c2

0

0 0 0

ω sin θ 0 ω cos θ

ω sin θ m1 b2

m2 c2

0 0


´ Mecanica

133

es decir, ω sin θ m1 b2 m2 c2 iˆ ˆ sin θ ω sin θ m1 b2 m2 c2 k

P

ρˆ cos θ

que es el resultado que se obtuvo en la primera parte.

Torque y velocidad angular Aun no se ha dicho el valor de ω , pero si se desea que la unica u ´ nica fuerza externa que ejerza torque desde P sea el peso, entonces ω debe tener un valor muy preciso. Para determinar ˙ ω se exige que P τ P y se deduce que el torque del peso es τ P

m1 b

ˆ m2 c sin θ gφ

mientras que la derivada del momento angular es ˙

ω 2 m1 b2

P

ˆ m2 c2 sin θ cos θ φ

Puesto Puesto que estas dos expresio expresiones nes deben ser iguales se obtiene obtiene que ω 2

m2 c m1 b2

m1 b g m2 c2 cos θ

´ es Pareciera que el numerador pudiera ser negativo, pero se puede ver que tal situaci on inestable. En efecto, para que este sistema sea estable el centro de masa G, que esta´ en la recta que une a las dos masas, tiene que estar debajo de P.

8.2.4. 8.2.4.

Propieda Propiedades des de la matriz matriz de de inerc inercia ia

Expresion ´ para la energ´ıa ıa cin´ cinetica ´ Aproverchando que va

Ω

r a se puede deducir: deducir: K

1 2 1 2 1 2 1 2

∑ mava

Ω

r a

a

∑ ma Ω

r a

va

a

Ω

P

Ω IP Ω

(8.2.7)

´ Puesto que esta propiedad es valida para cualquier velocidad angular Ω que se le de´ al sistema, y puesto que K 0 entonces la matriz IP es positiva semidefinida. Esto implica que IP es diagonalizable y sus autovalores son nonegativos. Universidad de Chile


134



´ de Ω, Si se define nˆ como el vector unitario que en cada instante apunta en la direcci on es decir, Ω Ω nˆ entonces

1

K

2

1

Ω2 nˆ IP nˆ

2

I P n Ω2

(8.2.8)

´ Aqu´ı I P n es el escalar momento de inercia relativo inercia relativo al eje que pasa por P y tiene direccion nˆ , P nˆ y su forma expl´ıcita ıcita es

∑ ma

I P n

r a2

r nˆ

2

(8.2.9)

a

´ con el momento de inercia respecto a G Relacion Es util ´ notar que r nˆ

r nˆ

r nˆ

nˆ

r

r r nˆ r n r nˆ r 2

r nˆ

2

(8.2.10)

lo que permite ver que otra forma de escribir la matriz de inercia es

∑ ma

I P n

r a

nˆ

nˆ

r a

(8.2.11)

a

Si G es el centro de masa, el que suponemos que no esta´ en el eje P nˆ , se puede relacionar los momentos de inercia I P n y I G n donde el segundo se define relativo a un eje G nˆ con ´ nˆ . Si se denota por r a la posicion ´ de ma la misma direccion ´ desde G, y el vector de P a G se le desde P y ρa la posicion designa R entonces r a R ρa

a

r a n

A partir de (8.2.11) se obtiene que I P n

∑ ma

r a

n

2

∑ ma

ρa

nˆ

2

ρa G

R P

a a

∑ ma

R

nˆ

a

2

2 ∑ ma R

ρa

nˆ

nˆ

a

La ultima ´ de las sumatorias se anula debido a (2.3.23) lo que finalmente conduce a I P n

I G n

Si G estuviese sobre el eje P nˆ , entonces R iguales. 8.2. SISTEMAS SISTEMAS RÍGIDOS CON PUNTO FIJO

nˆ

M R nˆ

2

(8.2.12)

0 y ambos momentos resultar´ıan ıan


´ Mecanica

135

Teorema de Steiner Considerem Consideremos os la matriz matriz de inercia inercia IP con respecto a ciertos ejes con origen en un punto ´ con la matriz de inercia con respecto al centro de masa G y ejes P y veamos su relacion ´ entre los vectores posici on ´ es paralelos a los anteriores. La relaci on r a

R

ρa

y

∑ mar a 2

∑ ma

ρa2

R2

∑ ma

ρa2

R2

2ρa R

a a

mientras que

∑ ma xai xa j ∑ ma a

ρaiρa j

Ri ρa j

ρai R j

Ri R j

a

∑ maρaiρa j

MR i R j

a

lo que determina que I iPj

I iGj

M R2 δ i j

Teorema de Steiner

Ri R j

(8.2.13)

´ anterior para dos puntos E JERCICIO : Escriba Escriba la la relaci´ relacion P1 y P2 (ejes paralelos) y reste ambas relaciones. Vea ´ entre I que obtiene una relaci on

8.3.

P1

ρ a

r a R

P2

eI .

G

P

L´ımite ımite al caso continuo continuo

´ 8.3. 8.3.1. 1. Ejem Ejempl plo: o: Pendulo de N masas y su l´ımite ımite al continuo c ontinuo Del discreto al continuo ´ Veamos el caso de un p endulo que consta de una barra de ´ fijas N masas m a intervalos masa despreciab despreciable le a la cual est´ estan regulares, ˙ φ ˆ (8.3.14) r k k a ρˆ vk k a φ k donde k 1 2 fijo es

N . El mo mome ment nto o an angu gula larr con con resp respec ecto to al pu punt nto o

φ

N O

∑ m r k k

vk

k 1



136


m


ˆ ˙ k a2 φ

∑ k 2 k

m N N 6

ˆ ˙ k 1 a2 φ

1 2 N

(8.3.15)

En este caso el momento de inercia I es m

I

6

1 2 N

N N

M 2 R 3

1 a2

(8.3.16)

El torque que produce el peso de las part´ par t´ıculas ıculas puede ser reducido siguiendo un procedimiento similar al usado para determinar el momento angular. Se obtiene m

τ O O

2

N N

ˆ 1 a g sin φ k

(8.3.17)

sin φ

(8.3.18)

´ dinamica ´ Se concluye que la ecuaci on es 3g

¨ φ

2 N

1 a

´ El caso N 1 recupera lo que ya se conoc´ıa ıa del pendulo simple. Otro caso interesante es aquel en que se toma el l´ımite ımite N ∞ con a 0 tal que R N a quede fijo. En tal l´ımite ımite ´ se trata de un pendulo en forma de barra con masa distribuida a todo lo largo en forma ´ queda continua. La ecuacion g ¨ sin φ (8.3.19) φ 2 3

R

´ para el pendulo ´ ´ es que en la La diferencia entre la ecuaci on simple y esta ecuacion 2 primera aparece R donde aca´ aparece 3 R. Tangencialmente se menciona que en este ´ se debe tomar m 0 tal que la masa total M N m permanezca fija. caso cas o l´ımite ımit e tambi t ambi en ´ ´ Determinar Deter minar la energ´ e nerg´ıa ıa cin ´ cin etica y potencial para el p ´ p endulo de N masas y luego determinar determinar los ´ casos extremos N 1 y N ∞. En particular demuestre que la energ´ en erg´ıa ıa cin ´ cin etica es m N N

K

2 1 ˙2 I φ 2

1 2 N 6

1

˙2 a2 φ (8.3.20)

La cantidad I es el ya definido momento de inercia que juega un papel importante en la ´ dinamica de cuerp c uerpos os r´ıgidos. ıgidos. ´ En el caso c aso l´ımite ımite ya discutido dis cutido la energ´ en erg´ıa ıa cin etica toma la forma K

8.3. 8.3. LÍMITE AL CASO CONTINUO

1 2

˙2 I φ

con

I

1 3

M R2

(8.3.21)


´ Mecanica

137

Directamente el caso continuo Existe una forma diferente de estudiar el caso de la barra continua. En el planteamiento se reemplaza a por un diferencial de largo a d ρ , se reemplaza ma por una densidad lineal de masa, ma λ y en lugar del producto k a se escribe la variable continua de longitud ρ . Entonces el momento angular es R

˙ φ ˆ d ρ λ ρ φ

ρ ρˆ

O

R

ˆ λ ˙ λ φ k

0

R3 ˆk λ ˙ λ φ 3

2

ρ d ρ 0

(8.3.22)

En forma semejante semejante el torque es τ O O

kˆ g sin φ λ

2

R

ρ d ρ 0

ˆ λ g sin φ R k 2

(8.3.23)

lo que permite recuperar (8.3.19). ´ ´ de p ´ ´ Obtenga la ecuaci on p endulos continuos para los cuales cuales la densidad lineal no es uniforme, ´ ´ aplique sus resultados sino que depende de s, λ s . H ´ H agalo para el caso general y tambi ´ tambi en resultados para algunas funciones λ funciones λ s sencillas.

8.3.2. 8.3.2. Densi Densidad dades es de masa masa y el cent centro ro de de masa masa Un cuerpo r´ıgido ıgido continuo continuo ya no es descrito descrito por un conjunto conjunto discreto de masas sino por ´ densidad de masa . Si el cuerpo puede ser asimilado medio de una funcion asimilado a una l´ınea ınea (el caso de una delgada barra ideal), la densidad de masa es una densidad por unidad ´ de largo y se designa λ r . Si el cuerpo es una lamina entonces es descrito por una densidad de masa por unidad de superficie, la que se denota σ r y si se trata de un ´ ´ la integral de la densidad ρ r . Por definicion volumen se usa la densidad volum etrica sobre todo el cuerpo da la masa total M del cuerpo. ´ La masa masa total del cuerpo continuo continuo se se obtiene obtiene integ integrand rando o su densidad. densidad. Según un la dimens dimensiion ´ y lo dicho en el p arrafo anterio la masa se calcula M

λ r ds

M

σ r d S S

M

ρ r dV

(8.3.24)

´ S es un elemento de area φ ) donde ds es un elemento de l´ınea, ınea, d S (como dxdy o´ ρ d ρ d φ ) φ dz o´ r 2 dr sin θ d θ θ d φ ). φ ). y dV es un elemento de volumen (como dxdydz o´ ρ d ρ d φ Universidad de Chile


138



1 El centro de masa en estos casos continuos es una integral de M r multiplicado por la densidad que corresponda y se integra sobre todo el cuerpo. Por ejemplo,

RG

1 M

r ρ r d 3 r

(8.3.25)

volumen

Ejemplo: c´ırculo ırculo con punto fijo en su per´ımetro ımetro P

´ Se quiere calcular el momento de inercia de una l amina circular de masa M relativo a un eje perpendicular per pendicular al c´ırculo ırculo y que pasa por un punto P en el per´ımetro. ımetro. Se supone s upone densidad de nsidad uniforme por lo que ella es

R G

M

σ 0

Y

π R R2 Se designara´ Z al eje perpendicular a la figura. El momento de intercia relativo al eje que pasa por el centro ˆ es, según ´ k G del c´ırculo ırculo (el centro centro de masa) con direcci direccion (8.2.11), I G k ˆ

ρ

X

ˆ 2 dm k

donde, ρ ρ ρˆ y si dS es el elemento de superficie, dm σ 0 dS y en coordenadas polares ˆ ρ ρˆ k ˆ ´ φ . Notese ρ φ ˆ por lo que la interal anterior es dS ρ d ρ d φ . que ρ k I G k ˆ

M

π R R2

3

ρ d ρ d φ φ

MR 2

2

Lo que se necesita necesita es I P k ˆ y, segun ´ (8.2.12) se cumple que I P k ˆ ´ el vector R es el que va de P a G: R ultima ´ expresion esto es I P k ˆ

3 2

I G k ˆ

M R

R ıˆ , de modo que I P k ˆ

2

ˆ . En esta k MR 2 2

MR 2 ,

MR2

Elementos de superficie y de volumen en coordenadas ´ esf´ esfericas La figura adjunta muestra un elemento de superficie en coor´ denadas esfericas. Como se explica en la leyenda de la figura, ese elemento de superficie vale dS r 2 sin θ d θ θ d φ . φ . Integrando tegrando sobre φ entre cero y 2π y sobre θ entre cero y π se cubre la superficie completa. d φ φ 2π mientras que θ 2, con lo cual se obtiene que S 4π r sin θ d θ r 2 , como debe ser. 8.3. 8.3. LÍMITE AL CASO CONTINUO

θ r φ


En gris un paralelep´ paralelep´ıpedo ıpedo φ y rd θ . θ . con lados: r sin θ d φ

´ Mecanica Usando la misma figura se puede agregar una tercera di´ colocando una pequena ˜ superficie mension superficie semejante semejante a dis˜ tancia dr de la anterior. Se obtiene algo como un pequeno 2 cubo de volumen dV r dr sin θ d θ θ d φ . φ . Si se integra este elemento de volumen usando los mismos l´ımites ımites angulares e integrando sobre r entre cero y R se obtiene 43 π R3 .

139

Ejemplo ´ del centro de Esto se puede ilustrar calculando la posici on masa de la semiesfera z 0 cuyo centro esta´ en el origen y radio R. Por simetr´ s imetr´ıa ıa se s e infiere in fiere que RG tiene tan solo com0 0 zG y zG se calcula ponente a lo largo del eje Z , RG integrando z por la densidad que supondremos uniforme. ´ Una forma comoda de integrar hace uso de coordenadas ´ φ r 2 dr cos θ d φ esfericas. El elemento de volumen es dV d cos θ . Entonces mientras que z r cos θ . zG

V 3 R

2π

1

1

cos θ d cos cos θ 0

R

φ d φ 0

r 3 dr

0

(8.3.26)

8

Demuestre que el centro de masa de un alambre semicircular apoyado en el plano XY de radio R, y 0, centrado en el origen y con densidad λ uniforme est ´ est a´ en xG

0

yG

2 R

(8.3.27)

π

8.3.3. 8.3.3. Matriz Matriz de inerc inercia ia En tales casos los momentos de inercia se definen como I i j I i j I i j

λ r r 2 δ i j xi x j ds σ r r 2 δ i j xi x j d S S 2 ρ r r δ i j xi x j dV

caso lineal caso laminar ´ caso volumetrico

(8.3.28)

Ejemplo



140



´ Calculo de los momentos de inercia de un cilindro de densidad uniforme ρ0 , radio R, eje es el eje Z , altura h y cuya cara inferior esta´ a altura z0 sobre el origen. Su volumen es V π R R2 h. Su masa es M ρ0 π R R2 h. El elemento de volumen es (8.3.29) φ dz dV ρ d ρ d φ En este caso r 2 es z2

ρ z

r

ρ2 y z2

ρ0

I 33 33

ρ 2 δ 33 33 R

ρ0 2π h M

2 I 11 11

12

La magnitud de un vector ´ es z2 ρ 2 . posicion

ρ 3 d ρ

0

R2

(8.3.30)

z2

ρ0 M

φ dz z2 ρ d ρ d φ

ρ 2 δ 11 11

4 3 z20

ρ 2 cos2 φ ρ d ρ d φ φ dz h2

3 z0 h

3 R2

(8.3.31)

El mismo resultado se obtiene al calcular I 22 22 . De este ejemplo ejemplo se puede tomar casos particulares: particulares: 0 manteniendo M fijo, lo que requiere que Primero, una vara se obtiene en el l´ımite ımite R ´ la densidad volum etrica tienda a infinito, la matriz de inercia es

Ivara

M

3 z20

3

3 z0 h 0 0

Primer caso especial, vara con extremo en Ivara

0 3 z0 h 0

3 z20 O ,

es decir, z0

2

h

0 0 0

3 O ,

(8.3.33) h , 2

es decir, z0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

M h2

12

(8.3.34)

El caso de un disco se obtiene obtiene del caso del cilindro cilindro tomando tomando el l´ımite ımite h M , Idisco

8.3. 8.3. LÍMITE AL CASO CONTINUO

M

4

4 z20

R2

0 0

0 4 z20

R2

0

(8.3.32)

0,

1 0 0 0 1 0 0 0 0

M h2

Segundo caso especial, vara centrada en Ivara

h2

0 0 2 R2

0 y masa fija

(8.3.35)


´ Mecanica Caso especial, disco centrado en O , es decir, z0 0, 1 0 0 0 1 0 0 0 2

M R2

Idisco

141

4

(8.3.36)

Calcule la matriz de inercia de una superficie cil´ındrica ındrica de radio R, altura altura h centrada en el eje Z , con su parte inferior inferior con coordenada z0 . ´ Determine la matriz de inercia de una cuerpo c ´ c onico con Z como su eje e je de simetr´ıa, ıa, altura h, radio basal R y densidad uniforme ρ uniforme ρ0 .

´ 8.3. 8.3.4. 4. Ejem Ejempl plo: o: pendulo circular que oscila en torno a un punto en su per´ per ´ımetr ımetro o ´ Se considerara´ un pendulo como el que se vi o´ en un ejemplo en 8.3.2. ˆ . El momento ˙ k ´ a) Si el pendulo oscila en el plano del c´ırculo ırculo la velocidad angular es Ω φ G ´ Ω angular se debe descomponer en P ´ termino, ell G se obtiene de I G . El ultimo P ´ (8.3.36), que es la matriz cde inercia con respecto al centro de masa. usando la expresion As´ı se obtiene que G

0 0 φ ˙

1 0 0 0 1 0 0 0 2

M R2

4

MR 2 ˙ ˆ φ k 2

Mientras que G P es el momento angular con respecto a P de una masa M ubicada en G: G 2˙ˆ ˆ sin φ , de MR φ k . El torque del peso es trivialmente τ Rρˆ M g y g g ρˆ cos φ φ P ˆ . La ecuacion ´ de este pendulo ´ donde, τ entonces es MRg sin φ k ¨ φ

2g sin φ 3 R

´ intere b) Mas interesan sante te es el caso caso en que el c´ırculo ırculo oscila oscila en ´ La matriz de inercia con restorno a un eje Y tangente a el. pecto a G expresada en el sistema S de la figura es precisa˙ jˆ, mente la dada en (8.3.36). La velocidad angular es Ω φ donde jˆ jˆ . Por lo tanto M R2 G

4

1 0 0 0 1 0 0 0 2

0 ˙ φ 0

M R2

4

˙ jˆ φ

P

eje del circulo

Z

φ

Z’

G

X

X’

Mientras que G P es el momento angular con respecto a P de ˆ ˙ k ˙ jˆ una masa M ubicada en G: G MR ıˆ Rφ MR 2 φ P lo que da un momento angular total P 54 MR 2 φ ˙ jˆ . Universidad de Chile


142



Al igual que antes, el torque total coincide con el torque de una masa M ubicada en G, ˆ sin φ lo que da τ ´ es τ Rıˆ M g pero g g ıˆ cos φ k MRg sin φ jˆ y la ecuacion ¨ φ

4g sin φ 5 R

8.3.5. Disco que rota en c´ c´ırculos ırculos sobre un plano Se tiene un eje vertical que nace de un ω 2 ´ nace, a altura R plano horizontal, de el sobre el plano, un brazo horizontal de k φ largo L y en cuyo extremo hay un dis R ρ co de radio R. El disco tiene densidad uniforme, masa total M y gira en tor L no a su eje con una velocidad angular ω1 dada ω 1 . Puesto que no desliza sobre C ´ gira en torno al eje el plano, ademas vertical con velocidad angular ω 2 , totalmente determinada por la anterior. Se desea determinar el momento angular del disco. Se escoge coordenadas polares, con lo cual ω 1

ρˆ ω 1

ˆ ω ω2 k

ω 2

lo que determina determina que la velocidad velocidad angular angular total del disco sea

Ω

ρˆ ω 1

ˆ ω ω2 k

El punto material C del disco que en el instante actual est a´ apoyado sobre el plano tiene velocidad nula en ese instante, pero, porque es parte par te de un sistema r´ıgido ıgido con punto fijo, tiene que valer vC Ω r C C , esto es, 0

Ω

ρˆ ω 1

r C C

ˆ ω ω2 k

Lρˆ

ˆ Rk

ω 2

R L

ω 1

Para calcular el momento angular se va a usar la matriz de inercia del disco que ya fue calculada y se la va a multiplicar por Ω y como matriz de inercia se va a usar directamente (8.3.35) con z0 L. Para poder hacer eso es necesario identificar las direcciones de los ˆ ρˆ respectivamente. ˆ k ejes X Y Z usados al calcular (8.3.35) con las direcciones φ Ω se escribe Entonces I M

4 8.3. 8.3. LÍMITE AL CASO CONTINUO

4 L2

R2

0 0

0 4 L2

R2

0

0 0 2 R2

0 R ω L 1

ω 1


´ Mecanica 0 4 L R2 2 R2 ω 1

M

2

4

ρˆ 2 R

8.3.6. 8.3.6.

ˆ 4 L k

2

143

R ω L 1

R2

MRω 1

(8.3.37)

4

L

´ Trompo rompo en movim movimiento iento conico

Se considera un trompo que consiste en un brazo de largo L que nace de un punto O en cuyo extremo hay un disco de densidad uniforme, radio R y masa M . ´ El brazo mantendra´ un angulo θ constante con la vertical tal como indica la figura. figura. En cada instante instante el disco esta´ girando con velocidad angular ω 1 respecto a un sistema fijo al brazo, pero el brazo mismo est a´ girando ˆ ω ω2 . Este movimiento con una velocidad angular ω 2 k ´ es posible tan solo si ω 1 y ω 2 satisfacen una condicion ´ θ que se deduce en lo que sigue. En general el angulo no es constante y el movimiento del trompo es bastante complicado.

O

ω 2 θ

L

ω1 R

G En general el torque es τ O u´ nica τ O τ G pero si la unica O fuerza externa es el peso, se cumple que τ G 0 por lo que el torque es

τ

MgL r rˆ

r rˆ cos θ

ˆ sin θ θ

disco

^

θ

r^

ˆ (8.3.38) MgL sin θ φ

La velocidad angular total del sistema es

Ω

ω 1 r rˆ r rˆ ω 1

ˆ sin θ r θ rˆ cos θ ω 2 ω 2 cos θ θˆ ω 2 sin θ

El momento angular es I Ω y, para poder hacer uso directo de (8.3.35) se hace la ˆ φ ˆ r ´ X Y Z con las direcciones θ identificacion rˆ , I 11 I 33 11 Ωθ 33 Ωr M ˆ 4 L2 R2 ω 2 sin θ θ 4

2 R2 ω 1

ω 2 cos θ r rˆ

(8.3.39)

˙

´ entre ω 1 y ω 2 se impone que τ . Para tomar la derivada de Para obtener la relacion ˙ ω 2 constante, ω 1 y θ tambien ´ son constantes. En tal caso se hace uso que φ r r˙ˆ Universidad de Chile

φˆ ω 2 sin θ

˙ˆ θ

φˆ ω 2 cos θ Escuela de Ingenier´ıa y Ciencias

144



˙

lo que asegura que ∝ φ ˆ y se obtiene M

4

4 L2 R2 ω 22 sin θ cos θ

2 R2 ω 1

ω 2 cos θ ω 2 sin θ

MgL sin θ

´ que deben satisfacer ω 1 y ω 2 para que el trompo tenga un movimiento que es la relacion ´ ´ ´ no cambia. Se puede conico. Notese que si se cambia el signo de ω 1 y de ω 2 la ecuacion reescribir en la forma L2

R2

4

ω 22 cos θ

1 2 R ω 1 ω 2 2

gL

0

8.4. 8.4. Prob Proble lema mas s 8.1 Una placa placa cuadra cuadrada da de lado lado a y masa total M puede girar libremente en torno a un eje perpendicular al plano ´ de la figura y que pasa por su vertice P (ver figura). Inicialmente el cuadrado esta´ sugeto por un hilo horizontal como indica la figura. (a) Obten´ del hilo. (b) Si el hilo ga la tension se corta obtenga la velocidad angular ´ maxima que puede alcanzar el sistema. (c) Obtenga la frecuencia de pe˜ oscilaciones en torno a su poquenas ´ de equilibrio. sicion 8.2 8.2 Un Una a plac placa a rect rectan angu gula larr de ma masa sa M , lados a y b y espesor espesor despreciab despreciable le se hace hace girar girar con veloc velocida idad d ang angula ularr constante Ω0 por un eje que pasa por ´ la diagon diagonal al del rectangulo angu lo.. El movimovimiento ocurre en ausencia de gravedad. Determine las fuerzas que ejercen los soportes en cada extremo del eje. Comente. 8.3 Sistema: Sistema: un disco de densidad densidad uniforuniforme, radio R y masa M y un eje de masa despreciable que une un punto fijo de un plano horizontal con el centro del disco. El disco gira apoyado en el plano horizontal. (a) Determine el momento angular. (b) Determine el torque total que actúa ua sobre el disco. 8.4. PROBLEMAS PROBLEMAS

a

hilo

a g P

g R

L


´ Mecanica ´ 8.4 Se tiene tiene una especi especie e de p endulo que consta de una vara de masa despreciabl ciable e y largo largo L que solo puede girar en un plano vertical en torno a un punto fijo P. En su extremo libre la vara tiene un disco de densidad uniforme, radio R y masa M en forma perpendicular a la vara. El disco gira, con respecto a la vara (ella como eje), con velocidad angular uniforme ω . (a) Determine el momento angular del sistema. (b) Si el sistema se suelta cuando la vara esta´ vertical apuntando ha´ para la velocia arriba, una ecuacion cidad angular de la vara con respecto ´ al angulo que ella forma con la vertical.


145

P g L

R

ω


Apunte UChile - Mecánica (Cordero)

Recommend Documents