CURVAS, INTEGRALES CURVILÍNEAS, INDEPENDENCIA DEL CAMINO, TEOREMA DE GREEN
Índice 1. Concepto de arco 1.1. Funciones vectoriales de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Arco parametrizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 3 4
2. Cambios de parámetro. Parametrizaciones equivalentes. Curvas
9
3. Métodos para parametrizar curvas 3.1. Parametrización de rectas y segmentos de recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Parametrización de curvas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Parametrización de curvas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 12 12 14
4. Curvas de clase 1. Vector tangente a una curva. Recta tangente 4.1. Recta tangente y normal a una curva en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Recta tangente a una curva de…nida por ecuaciones cartesianas . . . . . . . . . . . . .
17 19 22
5. Longitud de arco
23
6. Caminos de clase 1 a trozos
26
7. Integral curvilínea 7.1. Integral curvilínea de un campo vectorial. Circulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Integral curvilínea de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Simetrías en las integrales curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27 27 31 34
8. Independencia del camino en la integral curvilínea. Campos conservativos
36
9. Teorema de Green 9.1. Orientación de una curva de Jordan plana. Conjuntos simplemente conexos 9.2. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Algunas consecuencias y aplicaciones del teorema de Green . . . . . . . . . 9.3.1. Aplicación del teorema de Green al cálculo de áreas . . . . . . . . . 9.3.2. Condición su…ciente para que un campo en R2 sea conservativo . . . 9.3.3. Invariancia de una integral curvilínea plana al deformar el camino . 9.3.4. “Teorema de Gauss en R2 ” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
42 42 43 45 45 46 47 49
9.3.5. Fórmulas de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
50
CURVAS, INTEGRALES CURVILÍNEAS, INDEPENDENCIA DEL CAMINO, TEOREMA DE GREEN Ampliación de Cálculo - 2010-2011- Grupo 2M1
1.
Concepto de arco
Todos tenemos una idea intuitiva de lo que es una curva. Sin embargo, para trabajar con curvas es preciso dar una de…nición precisa de lo que son. Nuestra idea intuitiva de curva en Rn es la de un cierto subconjunto de Rn que tiene “longitud”pero no tiene“area”ni “volumen”. En esta sección seremos más precisos y de…niremos con rigor el concepto de “curva”. En concreto, comenzaremos trabajando con lo que se denomina “arco parametrizado”. Antes de introducir el concepto de arco parametrizado recordemos algunas propiedades, estudiadas en Cálculo II, de las funciones vectoriales de variable real.
1.1.
Funciones vectoriales de variable real
Sea I un intervalo de R, y sea la función vectorial de variable real ~r : I ! Rn t ! ~r(t) = (r1 (t); r2 (t); :::; rn (t)) Pues bien, se tienen las siguientes de…niciones y propiedades: I Continuidad. De…nición 1 ~r es continua en t0 2 I Proposición 1 ~r es continua en I
~r(t0 ) = l mt!t0 ~r(t) 8t 2 I, ~r es continua en t.
Proposición 2 ~r es continua en t0 , las funciones r1 (t); :::; rn (t) son continuas en t0 . I Derivación.
De…nición 2 ~r es derivable en t0 2 I existe y es …nito el límite l mh!0 de…ne dicha derivada ~r0 (t0 ) como el valor del límite.
~ r (t0 +h) ~ r (t) h
y en tal caso se
Proposición 3 ~r es derivable en t0 2 I , las funciones r1 (t); :::; rn (t) son derivables en t0 , y en tal caso ~r0 (t0 ) = (r10 (t0 ); :::; rn0 (t0 ))T Nótese que según la notación habitual, la matriz jacobiana de ~r(t) es ~r0 (t) considerada como vector columna. En lo sucesivo siempre consideraremos a ~r0 (t) como vector columna. Proposición 4 Regla de la cadena. Si f es una función real de variable real, la derivada de la aplicación ~r(f (t)) es, aplicando la regla de la cadena d ~r(f (t)) = ~r0 (f (t))f 0 (t) dt 3
Proposición 5 Derivada del producto escalar y el producto vectorial. d d~r dw ~ (~r(t) w(t)) ~ = (t) w(t) ~ + ~r(t) (t) dt dt dt d d~r dw ~ (~r(t) w(t)) ~ = (t) w(t) ~ + ~r(t) (t) dt dt dt I Integración. De…nición 3 Se dice que ~r es integrable en [a; b] cuando todas las funciones componentes r1 ; :::; rn son integrables en dicho intervalo y entonces se de…ne Z b Z b Z b rn (t)dt ~r(t)dt := r1 (t)dt; :::; a
a
a
Ejercicio 1 Calcular la derivada de g(t) = k~r(t)k2 . Ya estamos en condiciones de introducir el concepto de arco:
1.2.
Arco parametrizado
De…nición 4 Arco parametrizado. Ecuaciones paramétricas del arco. Un arco es una aplicación ~r : [a; b] ! Rn (1) t ! ~r(t) = (r1 (t); r2 (t); :::; rn (t)) continua. A t se le denomina “parámetro”. Las ecuaciones paramétricas del arco (1) son las ecuaciones x1 = r1 (t); x2 = r2 (t); :::; xn = rn (t); t 2 [a; b] (2)
I Comentarios: Normalmente, aunque no necesariamente, n es 2 o 3. Las aplicaciones continuas deforman los conjuntos sin “romperlos”. Por ello, la aplicación ~r anterior se puede interpretar de la siguiente forma: se toma un alambre que inicialmente ocupa el intervalo [a; b] y se lleva a Rn deformándolo sin romperlo. La siguientes …guras muestran ejemplos de arcos en R2 y R3 :
Arco en R3
Arco en R2
4
El parámetro se puede interpretar físicamente como tiempo y ~r(t) como la posición de un móvil en función del tiempo. Orientación. La parametrización lleva implícita una “orientación” o sentido de recorrido del arco. Trayectoria. Ecuaciones cartesianas del arco. La idea intuitiva que tenemos de una “curva” es la de la imagen de la aplicación anterior, es decir, del conjunto Im(~r) = f~r(t) : t 2 [a; b]g que, siguiendo con la interpretación física anterior, es la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa. Como ya se estudió en el capítulo dedicado a la integral múltiple, el conjunto Im(~r) también puede describirse mediante ecuaciones cartesianas. En concreto, si se trabaja en R2 la ecuación será del tipo g(x; y) = 0 mientras que en R3 tendremos las ecuaciones g(x; y; z) = 0 h(x; y; z) = 0 que se puede interpretar como la intersección de 2 super…cies. Obsérvese que la aplicación ~r : [a; b] ! Rn , es decir, las ecuaciones paramétricas, contiene más información que Im(~r), es decir, que las ecuaciones cartesianas, pues las primeras nos dicen en qué punto está el móvil en cada instante de tiempo, mientras que las segundas sólo informa sobre los puntos sobre los que ha pasado el móvil. Por ejemplo, las siguientes ecuaciones x = R cos t ; t 2 [0; 2 ] y = R sen t corresponden a una circunferencia de centro el origen y radio R recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj y empezando (y terminando) en el punto (R; 0)
La ecuación cartesiana correspondiente a dicho arco es x2 + y 2 = 1 5
Veamos algunas de…niciones: De…nición 5 Extremos del arco: Los extremos del arco ~r : [a; b] ! R son los puntos ~r(a) y ~r(b).
I Comentario: los extremos del arco no tienen por qué coincidir con los extremos del mismo en el sentido geométrico habitual.
De…nición 6 Arco cerrado. Arco parametrizado en el que ~r(a) = ~r(b). IComentario: Según la de…nición, un arco es cerrado cuando el móvil empieza y acaba en el mismo puntos. Por ello, un arco cerrado no tiene por qué ser cerrado en el sentido geométrico habitual. De…nición 7 Arco simple. Un arco simple es un arco ~r : [a; b] ! R inyectivo, es decir, tal que ~r(t) = ~r(s) implica t = s. De…nición 8 Arco cerrado simple o curva de Jordan. Es un arco cerrado y que cumple que es inyectivo salvo en los extremos, es decir, ~r : [a; b] ! Rn continua con ~r(a) = ~r(b) y ~r(t) inyectiva en [a; b).
Curva de Jordan (en R2 )
Arco cerrado no inyectivo (en R2 )
Ejemplos de arcos 1.
~r1 : [0; 2 ] ! R2 t ! ~r1 (t) = (cos t; sent)
cuya ecuación cartesiana es x2 + y 2 = 1
6
2.
~r2 : [0; 2 ] ! R2 t ! ~r2 (t) = (cos 2t; sen2t)
Representa la misma circunferencia del ejemplo 1 pero recorrida dos veces. 3.
~r3 : [0; 2 ] ! R2 t ! ~r3 (t) = (cos t; sent)
Representa la misma circunferencia del ejemplo 1 pero recorrida en sentido contrario
4.
p ~r4 : [0; 2 ] ! R2 t ! ~r4 (t) =
cos t2 ; sent2
Representa la misma circunferencia del ejemplo 1 pero recorrida con mayor velocidad. Se tarda p sólo 2 segundos, en vez de 2 , en recorrer la circunferencia. 5. ~r5 : [0; 2 ] ! R3 t ! ~r5 (t) = ( 10 cos t
2 cos(5t) + 15 sin(2t); 15 cos(2t) + 10 sin t
Esta parametrización tan complicada corresponde a la siguiente curva
7
2 sin(5t); 10 cos(3t))
I Noción de “punto” en un arco Cuando se habla de “punto”de un arco, geométricamente nos estamos re…riendo a un punto de la imagen de la parametrización, pero sin embargo matemáticamente esto es incompleto, pues, en arcos no inyectivos, un punto de la imagen puede corresponder a varios valores del parámetro (es decir, el móvil pasa por el mismo punto en distintos instantes de tiempo). A efectos de cálculo de la recta tangente en el punto esto no importa, pero sí lo hace si hablamos del vector tangente, pues podría cambiar el sentido
8
2.
Cambios de parámetro. Parametrizaciones equivalentes. Curvas
A continuación de…niremos el concepto de “arcos equivalentes”, que intuitivamente corresponde al de arcos que recorren los mismos puntos el mismo número de veces. En primer lugar introducimos el siguiente concepto: De…nición 9 Cambio de parámetro. Un cambio de parámetro es un difeomor…smo de clase C 1 entre intervalos cerrados, es decir, una aplicación : [c; d] ! [a; b] s ! t= que cumple: a) es biyectiva luego admite inversa b) es de clase C 1 en [a; b] c) 1 es de clase C 1 en [a; b]
(s)
(3)
1
1 . Se tiene Tipos de cambio de parámetro Sea el cambio de parámetro de (3) y sea h = entonces que h( (s)) = s y derivando se deduce que h0 ( (s)) 0 (s) = 1, por lo que 0 (s) 6= 0 para todo s 2 [a; b]. De esta forma, como 0 es continua, sólo hay dos posibilidades:
1)
0 (s)
> 0 para toda s 2 [c; d] en cuyo caso
es estrictamente creciente.
Cambio de parametro creciente
9
2)
0 (s)
> 0 para toda s 2 [c; d] en cuyo caso
es estrictamente decreciente
Cambio de parametro decreciente
Ahora diremos que dos arcos son equivalentes cuando uno se puede obtener del otro a partir de un cambio de parámetro. Concretamente de…nimos: De…nición 10 Arcos equivalentes (directa e inversamente). Se dice que dos arcos ~r : [a; b] ! Rn y w ~ : [c; d] ! Rn son equivalentes cuando existe un cambio de parámetro que los relaciona es decir, cuando existe un difeomor…smo de clase C 1 : [c; d] ! [a; b] s ! t= tal que w ~ = ~r
(s)
, es decir, ~ r
[c; d] ! [a; b] ! Rn w=~ ~ r
[c; d] ! Rn Se dice que los arcos son: a) Directamente equivalentes: cuando el cambio de parámetro es creciente. b) Inversamente equivalentes: cuando el cambio de parámetro es decreciente. La siguiente …gura ilustra la de…nición de arcos equivalentes:
10
Ejercicio 2 Estudiar las equivalencias entre los arcos de los ejemplos que siguen a la de…nición 8. Propiedades de los arcos equivalentes 1. De la de…nición de arcos equivalentes se deduce: Los arcos equivalentes tienen la misma imagen. En los arcos directamente equivalentes, se recorren los mismos puntos el mismo número de veces y en la misma dirección. En los arcos inversamente equivalentes, se recorren los mismos puntos el mismo número de veces en sentido contrario. 2. Si w ~ = ~r es derivable, w ~ 0 (s) = ~r0 ( (s)) 0 (s) por lo que kw ~ 0 (s)k = k~r0 (t)k j 0 (s)j. Como en general 0 (s) 6= 1, la velocidad de recorrido de cada arco es distinta. 3. Se puede demostrar fácilmente que si ~r y w ~ son arcos que recorren los mismos puntos el mismo número de veces y en el mismo sentido (resp. sentido contrario), y además ~r0 y w ~ 0 no se anulan en ningún punto, entonces ~r y w ~ son directamente equivalentes (resp. inversamente equivalentes). Como resumen intuitivo: dos arcos equivalentes representan el movimiento de un mismo móvil en los que la única diferencia es la velocidad con la que se recorre el arco. A continuación introduciremos un concepto para denotar al conjunto de todos los arcos que son equivalentes a uno dado, es decir, al conjunto formado por ese arco y todos los que pasan por los mismos puntos el mismo número de veces. Para ello, primero veremos el siguiente resultado: Proposición 6 La relación “ser equivalente a” es una relación de equivalencia. En otras palabras, (i) un arco ~r : [a; b] ! Rn es equivalente a sí mismo (propiedad re‡exiva), (ii) si ~r : [a; b] ! Rn es equivalente a w ~ : [c; d] ! Rn entonces w ~ es equivalente a ~r (propiedad simétrica) y (iii) si ~r es equivalente a w ~ yw ~ es equivalente a ~ entonces ~r es equivalente a ~ (propiedad transitiva). La proposición anterior garantiza que el conjunto de los arcos queda dividido en subconjuntos (denominados “clases de equivalencia”) en los que cada subconjunto está formado por arcos equivalentes entre sí. Entonces podemos de…nir: De…nición 11 Arco geométrico correspondiente a un arco parametrizado ~r : [a; b] ! Rn , es la clase de equivalencia correspondiente a todos los arcos equivalentes a ~r : [a; b] ! Rn , es decir, es el conjunto formado por el arco ~r y todos los que son equivalentes a ~r. Cuando además de recorrerse los mismos puntos el mismo número de veces se haga en el mismo sentido, hablaremos de “curva”. Concretamente de…nimos: De…nición 12 Arco geométrico orientado, curva o camino correspondiente a un arco parametrizado ~r : [a; b] ! Rn es la clase de equivalencia correspondiente a todos los arcos equivalentes directamente a ~r, es decir, es el conjunto formado por el arco ~r y todos los que son directamente equivalentes a ~r. Hablaremos de propiedades intrínsecas de una curva como las propiedades que no dependen del representante
11
De…nición 13 Propiedades intrínsecas de una curva: son aquellas que son independientes de la parametrización que se elija (que conserve la orientación). Una vez …jadas estas de…niciones, hacemos constar que en lo sucesivo, y siguiendo el uso habitual en la física, se hará un uso muy amplio (y a veces ambiguo) de la palabra “curva”. En algunas ocasiones hará referencia a una clase de equivalencia de arcos, y en otras a la trayectoria que deja el móvil en su movimiento.
3.
Métodos para parametrizar curvas
No existe ningún procedimiento general que sirva para parametrizar una curva dada por sus ecuaciones cartesianas. A continuación se dan algunas ideas sencillas sobre algunos casos particulares de interés.
3.1.
Parametrización de rectas y segmentos de recta
Sean A; B dos puntos de Rn y considérese la siguiente …gura
! La recta que pasa por los puntos A y B se puede parametrizar de la siguiente forma: el vector OP se ! ! ! ! ! puede expresar en la forma OP = OA + AP . Además el vector AP es proporcional a AB, es decir, ! ! ! ! ! AP = AB para algún 2 R. Finalmente, como AB = OB OA tenemos ! ! ! ! OP = OA + AB = OA +
! OB
! OA ;
2R
es decir, la parametrización de la recta buscada es ! ~r( ) = OA +
! OB
! OA ;
2R
En el caso de considerar únicamente el segmento que une los puntos A y B se toma
3.2.
2 [0; 1].
Parametrización de curvas en el plano
El objetivo de esta sección es el siguiente: dada la ecuación cartesiana de una curva en R2 , encontrar una parametrización de la misma. No existe un procedimiento general que permita parametrizar curvas, por lo que nos restringiremos a algunos casos sencillos y que aparecen mucho en las aplicaciones:
12
1. Curvas de…nidas por una ecuación explícita: y = f (x), x 2 [a; b]
Una curva de este tipo se parametriza de forma inmediata mediante x=t t 2 [a; b] y = f (t) A esta parametrización se le denomina parametrización trivial de la curva de…nida en forma cartesiana explícita. 2. Curvas de…nidas por una ecuación implícita g(x; y) = 0 2.1. Si la curva es algébrica de grado 2 (es decir, si g es un polinomio en las variables x e y de grado dos, por ejemplo 2x2 + y 2 + 2xy = 1) se pueden utilizar las igualdades sen2 t + cos2 t = 1 ; ch2 t
sh2 t = 1
2.2. Si g es algébrica de grado mayor que dos, en algunas ocasiones se puede utilizar la técnica de parametrización racional de curvas planas, que no describimos en estos apuntes. Ejercicio 3 Parametrizar las siguientes curvas: 2 2 (1) xa2 + yb2 = 1 Posible solución: x = a cos t ; t 2 [0; 2 ] y = bsent 2
2
(2) xa2 yb2 = 1 Posible solución: x = acht ; t2R y = bsht para una rama (x > 0) y x = acht ; t2R y = bsht para la otra rama (x < 0). (3) y 2 = 2x2 + 3x + 1. Posible solución:
x = 14 cht 34 ; t2R 1 y = 2p sht 2
para una rama y x = 14 cht 1 y = 2p sht 2 para la otra. 13
3 4
; t2R
2.3. Parametrización polar. Se puede entrar con x = cos , y = sen en la ecuación de la curva e intentar despejar en función de en la forma = h( ), 2 [ 1 ; 2 ] Entonces, proyectando sobre los ejes x e y se obtiene que la curva se puede parametrizar en la forma x = h( ) cos y = h( )sen
2 [ 1;
2]
Ejercicio 4 Parametrizar la curva con ecuación cartesiana x2 + y 2
2
= x2
y dibujarla. Obtención de la ecuación cartesiana a partir de las paramétricas Nos planteamos ahora el problema inverso del considerado anteriormente: dadas unas ecuaciones paramétricas de una curva en R2 , queremos encontrar la ecuación cartesiana de la misma. Para obtener las ecuaciones cartesianas de una curva a partir de unas ecuaciones paramétricas, basta con eliminar el parámetro de éstas y luego identi…car la porción de la misma que nos interesa. Por ejemplo, consideremos la curva con parametrización x = t cos t ; t 2 [0; =2] y = sent p Si (x; y) 2 entonces (x; y) cumple x2 + y 2 = t2 es decir, t = x2 + y 2 por lo que entonces x=
p
x2 + y 2 cos
p
x2 + y 2
(4)
Obsérvese que la curva corresponde a sólo una parte de las soluciones de (4), pues sólo nos estamos moviendo del punto (x(0); y(0)) = (0; 0) al (x( 2 ); y( 2 )) = (0; 2 ) en el sentido contrario a las agujas de reloj. Esta situación (que las ecuaciones paramétricas corresponden sólo a una parte de la curva cartesiana obtenida al eliminar el parámetro) se da en muchos casos.
3.3.
Parametrización de curvas en el espacio
El objetivo de esta sección es el siguiente: dadas dos ecuaciones cartesianas que representan una curva en R3 , encontrar una parametrización de la misma. Como en la sección anterior, no existe un procedimiento general que permita parametrizar curvas, por lo que nos restringiremos a algunas situaciones concretas. 14
La representación cartesiana general de una curva en R3 está de…nida por dos ecuaciones del tipo g (x; y; z) = 0
(5)
h (x; y; z) = 0 es decir, como intersección de las dos super…cies de…nidas por
Veamos dos enfoques: 1. Proyectando sobre un plano coordenado. Un procedimiento para parametrizar curvas de este tipo es proyectar sobre un plano coordenado (normalmente el plano xy), parametrizar dicha proyección y luego “sustituir en la variable restante” (normalmente la z). Matemáticamente, se debe encontrar un sistema de 2 ecuaciones g (x; y; z) = 0 H (x; y) = 0 equivalente a (5) (es decir, que representa la misma super…cie que (5)) y parametrizar H (x; y) = 0 en la forma x = (t) ; t 2 [a; b] y = (t) Ahora, se despeja z en g (x; y; z) = 0 (suponiendo que esto sea viable) obteniendo una expresión del tipo z = G(x; y) y entonces x = (t) y = (t) ; t 2 [a; b] z = G( (t); (t)) es una parametrización de la super…cie. 2. Parametrizando una super…cie y encontrando una relación entre los parámetros de la misma. Otra posibilidad es parametrizar una super…cie, por ejemplo la de…nida por g (x; y; z) = 0, en la forma (x; y; z) = (u; v); (u; v) 2 . Ahora, entrando en la ecuación h (x; y; z) = 0 de la otra super…cie, se tiene h( (u; v)) = 0, es decir, una expresión del tipo H(u; v) = 0. Pues bien,
15
si de esta expresión se puede despejar una de las variables u; v en función de la otra, tenemos v = f (u); u 2 [a; b] y, entrando en (x; y; z) = (u; v) resulta que (x; y; z) = (u; f (u)); u 2 [a; b] es una parametrización de la curva . Ejercicio 5 Parametrizar las siguientes curvas 1) x2 + y 2 + z 2 = 1 ; z = 2x 2y Posible solución: p p p p 5 5 4 5 2 5 x= cos t + sent ; y = sent ; z = cos t 5 15 3 5
p 2 5 sent ; t 2 [0; 2 ] 15
2) x2 + y 2 + z 2 = r2 ; x2 + y 2 rx = 0, x; y; z 0. Posible solución: r t r r x = + cos t ; y = sent ; z = rsen ; t 2 [0; ] 2 2 2 2
16
4.
Curvas de clase 1. Vector tangente a una curva. Recta tangente Ahora consideraremos los arcos de…nidos por una aplicación derivable con continuidad:
De…nición 14 Arco C 1 . Se dice que el arco ~r : [a; b] ! Rn es de clase C 1 si ~r(t) es una aplicación de clase C 1 , es decir, admite derivada continuas en [a; b], donde, en los extremos, por derivada hay que entender las derivadas laterales correspondientes. Ahora nos preguntamos si la propiedad “ser de clase C 1 ” es intrínseca, es decir, dado un arco de clase C 1 , ¿son también de clase C 1 todos los arcos equivalentes al mismo? Es sencillo ver que la respuesta es a…rmativa: Proposición 7 La propiedad “ser de clase C 1 ” es intrínseca, es decir, si un arco es C 1 también lo son todos los arcos equivalentes al mismo. Por ello se puede hablar de “caminos de clase C 1 ”. El siguiente resultado presenta una importante propiedad del vector derivada ~r0 (t), y que ya conocemos de Física, pues sabemos que la velocidad es tangente a la trayectoria: Proposición 8 La velocidad como vector tangente a la trayectoria. Vector tangente a una curva. Sea un arco ~r : [a; b] ! Rn de clase C 1 y sea t 2 [a; b]. Entonces se veri…ca que “el vector ~r0 (t) es tangente a la Im(~r) en el punto ~r(t)”, es decir, ~r0 (t) tiene la dirección del límite de las secantes ! mm0 = ~r(t + h) ~r(t) cuando el punto m0 tiende a m. ! mm0 ~r(t + h) ~r (t) = l m = lm h!0 h h!0 h 0
~r(t)
(en el caso de los extremos del intervalo, a y b, se debe entender por vector tangente el de…nido por la derivada lateral correspondiente).
Comentario: Nótese que ~r0 (t) está orientado en la dirección del movimiento sobre la curva. Por ello, si se cambia el sentido de recorrido de la curva el vector ~r0 (t) cambia de signo. A continuación introduciremos la noción de curva en la que la velocidad de recorrido es distinta de cero en todos los puntos: De…nición 15 Punto regular/punto singular de un arco. Se dice que t0 2 [a; b] es un punto regular del arco ~r : [a; b] ! Rn de clase C 1 ~r0 (t0 ) 6= ~0, es decir, cuando el vector velocidad en el punto es no nulo. Se dice que t0 es un punto singular ~r0 (t0 ) = ~0. De…nición 16 Arco regular. Arco parametrizado tal que todos sus puntos son regulares. I Comentarios: 17
Al ser, para arcos w ~ y ~r equivalentes, w ~ 0 (s) = ~r0 (t) 0 (s) y 0 0 que ~r (t) 6= ~0 si y sólo si w ~ (s) 6= ~0. Por tanto:
0 (s)
6= 0 para todo s 2 [c; d] se sigue
a) La regularidad de un punto es una propiedad intrínseca del arco. b) La dirección y el sentido del vector tangente es una propiedad intrínseca del arco. Por de…nición, un punto singular es aquel en el que la velocidad instantánea de movimiento es nulo. Por ello, no tiene que ver con una propiedad geométrica de la imagen, sino con la forma en la que se recorre dicha imagen. Por ejemplo, la porción de recta x = y = z contenida en el primer octante se puede parametrizar en la forma ~x = ~r(t), t 2 [0; 1) x = t2 ; y = t2 ; z = t2 ; t 2 [0; 1) que en t = 0 tiene un punto singular. Sin embargo, si parametrizo la recta en la forma ~x = w(s); ~ s 2 [0; 1) x = s ; y = s ; z = s ; s 2 [0; 1) todos los puntos son regulares. Es decir, s = 0 es un punto regular de w ~ pero t = 0 es punto 2 singular de ~r(t). Esto se debe a que el cambio s = t es un difeomor…smo de clase 1 en (0; 1) pero no en [0; 1) pues la derivada se anula en t = 0. En de…nitiva, ~r y w ~ no son equivalentes con la de…nición dada anteriormente, a pesar de que se recorren los mismo puntos y el mismo número de veces. Vector tangente unitario a una curva Dado un arco ~r : [a; b] ! Rn , de clase C 1 y regular (para que ~r0 (t) no se anule), a cada punto m ~ = ~r(t0 ) 2 Im(~r) se le puede asociar el vector tangente unitario ~t a la curva en ese punto, dado por ~t(~r(t0 )) :=
~ r 0 (t0 ) k~ r 0 (t0 )k
Recta tangente a un arco en un punto regular. Ecuaciones paramétricas y cartesianas Sea el arco ~r : [a; b] ! Rn de clase C 1 y sea t0 2 [a; b] un punto regular del mismo. La recta tangente a ~r en el punto m ~ := ~r(t0 ) se de…ne como la recta de…nida por el punto ~r(t0 ) y el vector ~r0 (t0 ). Su ecuación paramétrica será, por lo tanto ~h( ) = m ~ + ~r0 (t0 ). En cuanto a sus ecuaciones cartesianas: a) Si trabajamos en R2 tenemos r20 (t0 )(x
m1 ) = r10 (t0 )(y
m2 )
o, lo que es lo mismo, en el caso en que r10 (t0 ) y r20 (t0 ) sean no nulos, y m2 x m1 = 0 0 r1 (t0 ) r2 (t0 ) b) Si trabajamos en R3 , las ecuaciones son r20 (t0 )(x
m1 ) = r10 (t0 )(y
m2 )
r30 (t0 )(x
r10 (t0 )(z
m3 )
m1 ) =
o, lo que es lo mismo, si r10 (t0 ), r20 (t0 ) y r30 (t0 ) son no nulos, x m1 y m2 z m3 = 0 = 0 r10 (t0 ) r2 (t0 ) r3 (t0 ) 18
Ejercicio 6 Calcular la recta tangente a la curva de ecuaciones x = cos t + sent y = t2
cos t
z = sent en el punto correspondiente a t = 0. Recta tangente a una curva en un punto singular Si t0 es un punto singular del arco de clase C 1 , ~r : [a; b] ! Rn , para hallar la recta tangente en en dicho punto, hay que intentar parametrizar el arco de otro modo, de forma que con la nueva parametrización, el punto m ~ ya no sea un punto singular (obviamente esas dos parametrizaciones no pueden ser equivalentes, ya que éstas conservan los puntos singulares). Por ejemplo dada la curva en R2 x = t2 t>0 y = t4 + t2 el punto (0; 0); correspondiente a t = 0; es un punto singular. Sin embargo la curva puede ser parametrizada también en la forma x=u ; u>0 y = u2 + u y entonces el punto (0; 0); correspondiente a u = 0; es un punto regular. Como (x0 (0); y 0 (0)) = (1; 0), el vector tangente unitario en el punto es (1; 0) y la ecuación de la recta tangente buscada es y = 0. Ejercicio 7 Calcular las asíntotas del arco de curva x(t) =
t 1
t2
;
x(t) =
t(1 1
2t2 ) ; t2
t 2 ( 1; 1) :
y dibujarlo.
4.1.
Recta tangente y normal a una curva en R2
En primer lugar veremos cómo se calcula el vector normal unitario a una curva en R2 . Normal unitaria a una curva de R2 Sea un camino de clase C 1 en R2 y sea ~r : [a; b] ! R2 0 (t)) son una parametrización de de…nida por ~r(t) = ( (t); (t)). Entonces, los vectores ( 0 (t); perpendiculares a en el punto ~r(t). Por ello, si el punto t es regular, el vector 0 (t)) ( 0 (t); k~r0 (t)k
es unitario y normal a la curva en en el punto ~r(t). Obsérvese que si ~t = (t1 ; t2 ) es el vector tangente unitario a la curva en un punto, el vector ~n := (t2 ; t1 )
19
(6)
es perpendicular a la curva en ese punto y forma un ángulo de -90o con ~t.
Por tanto, si es una curva de Jordan en R2 con orientación positiva (es decir, tal que al recorrerla se deja el interior de la curva a la izquierda), el vector ~n(~r(t)) =
0 (t)) ( 0 (t); k~r0 (t)k
es el vector normal unitario saliente a la curva en el punto ~r(t).
20
Recta normal y tangente a una curva en R2 de…nida mediante una ecuación cartesiana En el caso de que una curva esté de…nida mediante una ecuación cartesiana g(x; y) = 0, para calcular la recta tangente y/o la recta normal, se puede utilizar el siguiente resultado, que también será útil en un capítulo posterior para calcular el plano tangente a una super…cie: Proposición 9 Sea A un abierto de R3 (respectivamente R2 ) y sea g : A ! R una función C 1 (A). Considérese un punto (x0 ; y0 ; z0 ) de la super…cie g(x; y; z) = 0. Entonces si el vector rg(x0 ; y0 ; z0 ) (resp. rg(x0 ; y0 ; z0 )) es no nulo, dicho vector es perpendicular a la super…cie, es decir, al plano tangente, en el punto (x0 ; y0 ; z0 ) (resp. perpendicular a la curva en el punto (x0 ; y0 )). En la terminología de la física decimos que rg(x0 ; y0 ; z0 ) es perpendicular a la super…cie equipotencial que pasa por (x0 ; y0 ; z0 ).
Caso de R2
Caso de R3 Dem: ver el capítulo dedicado a super…cies
Por ello, si rg(x0 ; y) 6= (0; 0), el campo de normales unitarias a una curva en R2 de…nida por g(x; y) = 0 está dado por rg(x; y) ~n(x; y) = krg(x; y)k Por ejemplo, para una circunferencia en R2 de radio R y centrada en el origen, el campo de vectores normales unitarios está de…nido por (x; y) ~n(x; y) = R donde + corresponde a la normal saliente. Es sabido que la ecuación de la recta que pasa por un punto (x0 ; y0 ) y perpendicular a una dirección de…nida por d~ = (d1 ; d2 ) tiene la ecuación (x
x0 ; y
y0 ) d~ = 0; ;
es decir, d1 (x
x0 ) + d2 (y
y0 ) = 0
~ la ecuación de la recta que pasa por (x0 ; y0 ) y Análogamente, como (d2 ; d1 ) es perpendicular a d, ~ que tiene la dirección de…nida por d es d2 (x
x0 )
d1 (y
21
y0 ) = 0
Como conclusión tenemos: si rg(x0 ; y0 ) 6= (0; 0), la ecuación de la recta tangente a la curva g(x; y) = 0 en el punto (x0 ; y0 ) es @g @x (x0 ; y0 )(x
x0 ) +
@g @y (x0 ; y0 )(y
y0 ) = 0
mientras que la ecuación de la recta normal en dicho punto es @g @y (x0 ; y0 )(x
4.2.
x0 )
@g @x (x0 ; y0 )(y
y0 ) = 0
Recta tangente a una curva de…nida por ecuaciones cartesianas
Sea la curva
de…nida en la forma g(x; y; z) = 0 h(x; y; z) = 0
y sea (x0 ; y0 ; z0 ) un punto de la misma. Queremos calcular la ecuación de la recta tangente a en dicho punto. Una posibilidad sería intentar parametrizar y luego aplicar los resultados vistos anteriormente para el cálculo de la recta tangente a una arco parametrizado. Sin embargo es mucho más directo proceder de la siguiente forma: haciendo uso de un resultado anterior, si no es nulo, el vector rg(x0 ; y0 ; z0 ) es perpendicular a la super…cie g(x; y; z) = 0 en el punto (x0 ; y0 ; z0 ). Algo análogo sucede para rh(x0 ; y0 ; z0 ), que de ser no nulo es perpendicular a la super…cie h(x; y; z) = 0 en el punto (x0 ; y0 ; z0 ). Por consiguiente, de ser no nulos los dos vectores anteriores, el vector T~ = rh(x0 ; y0 ; z0 ) es tangente a la curva
rg(x0 ; y0 ; z0 )
en el punto es cuestión, como muestra la …gura
22
5.
Longitud de arco
Para de…nir la longitud de un arco ~r, seguiremos el siguiente procedimiento: tomaremos puntos sobre la curva y construiremos la poligonal inscrita a la curva correspondiente a dichos puntos. La longitud de esta poligonal es la suma de las longitudes de los segmentos que la forman. Pues bien, de…niremos la longitud de ~r como “la longitud de la poligonal cuando se re…na la poligonal”. De forma rigurosa tenemos: De…nición 17 Arco recti…cable y longitud de arco. Sea un arco parametrizado ~r : [a; b] ! Rn . ! ! Denotemos S(P1 ; P2 ) al segmento que une P1 y P2 y LS(P1 ;P2 ) = OP2 OP1 a su longitud. Sea P = fa = t0 < t1 < ::: < tm = bg una partición de [a; b]. La poligonal inscrita asociada a ~r y a P es m P1 k=0
k~r(tk )
(~r; P ) =
m 1
[ S(~r(tk ); ~r(tk+1 )) y la longitud de poligonal correspondiente es L
k=0
(~ r ;P )
:=
~r(tk+1 )k
Entonces se dice que ~r es recti…cable
como el número no negativo
sup L P 2P
(~ r ;P )
L~r = sup L P 2P
< 1. En tal caso su longitud de arco se de…ne (~ r ;P )
En la siguiente …gura se muestra la poligonal inscrita asociada a una partición con 4 puntos:
De forma intuitiva vemos que la longitud de un arco debe ser igual a la de todos los arcos equivalente a él, es decir, que la longitud de arco es una propiedad intrínseca. La siguiente proposición establece que eso es así: Proposición 10 a) Se veri…ca que la propiedad de ser recti…cable y la longitud de arco son propiedades intrínsecas. En concreto, si ~r y w ~ son equivalentes (directa o inversamente), ~r es recti…cable si y sólo si lo es w ~ y además en ese caso su longitud es la misma. Por ello se puede hablar de camino recti…cable y de longitud de arco de un camino. b) Se cumple que cualquier subarco de un arco recti…cable es recti…cable y además L~r [a; c] + L~r [c; b] = L~r [a; b] para todo c 2 [a; b], donde L~r [a; c] denota la longitud de la porción del arco correspondiente a hacer variar el parámetro entre a y c; y algo análogo se tiene para L~r [c; b].
23
Ejemplo de arco no recti…cable A continuación veremos un ejemplo de arco no recti…cable. El arco ~r : (0; 1] ! R2 t ! ~r(t) = (t; sen 1t ) cuya grá…ca se muestra en la siguiente …gura,
no es recti…cable. La De…nición 17 no parece muy útil para calcular en la práctica la longitud de un arco. El siguiente resultado establece que, en el caso de arcos de clase 1, la longitud de arco se puede calcular mediante una integral simple: Proposición 11 Cálculo de la longitud de arco para arcos C 1 . Sea metrización ~r : [a; b] ! Rn . Entonces: 1) es recti…cable 2) La longitud de está dada por L =
Rb a
k~r0 (u)k du
un camino C 1 con para-
(7)
I Comentario. La fórmula (7) permite interpretar la longitud de arco como la integral de la celeridad, es decir, como la integral del módulo de la velocidad. Esto coincide con la idea física de que el espacio recorrido por un móvil es la integral de la celeridad. Un resultado anterior a…rmaba que la longitud de arco es una propiedad intrínseca. En el caso de arcos de clase C 1 , la expresión (7) permite demostrar fácilmente dicha propiedad. En efecto, se veri…ca: Proposición 12 Si w ~ : [c; d] ! Rn es un arco de clase 1 equivalente (directa o inversamente) a ~r : [a; b] ! Rn , se cumple, Z b Z d 0 ~r (u) du = w ~ 0 (u) du: a
c
24
Dem.
El siguiente ejercicio es muy útil para calcular la longitud de curvas de…nidas en forma cartesiana explícita: Ejercicio 8 Cálculo de la longitud de una curva en R2 dada en cartesianas explícitas. Deducir la expresión que proporciona la longitud de la curva de…nida por por y = f (x), x 2 [a; b], donde f es una función de clase uno en [a; b]. Solución Rbp L = a 1 + f 0 (x)2 dx
Ejercicio 9 Calcular la longitud de la curva x=e
t
cos t; y = e t sent
entre el punto (1;p0) y el punto límite cuando t ! 1. Asimismo, hallar la ecuación cartesiana de la curva. Solución: 2 Ejercicio 10 Calcúlese la longitud del arco de curva Z t Z t cos u senu x(t) = du; y(t) = du 2 u u2 1 1 desde el punto (0; 0) hasta el punto más próximo (donde la distancia se mide sobre la curva) que tenga 2 tangente vertical. Solución: Ejercicio 11 Calcular la longitud de un paso de hélice cuyo eje de giro es el eje z, cuyo radio de giro es a y tal que la p velocidad de desplazamiento en la dirección z es b. Solución: 2 a2 + b2
25
6.
Caminos de clase 1 a trozos
Motivación Hay muchos caminos que se utilizan en las aplicaciones y que no son C 1 . Relajaremos la condición de que la parametrización sea derivable en todos los puntos permitiendo que exista un número …nito de puntos en los que dicha derivada no exista debido a que las derivadas por la izquierda y por la derecha existan pero no coincidan. Así, introducimos la siguiente de…nición: De…nición 18 Arco C 1 a trozos. Se dice que un arco ~r : [a; b] ! Rn es C 1 a trozos si existe una partición a = t0 < t1 < : : : < tm = b de [a; b] tal que ~r (que, como ya sabemos, es continuo en [a; b]) es C 1 en cada [ti ; ti+1 ], i = 0; :::; m 1 es decir, derivable en (ti ; ti+1 ), existen las derivadas laterales en los extremos y la función derivada así de…nida es continua. En la siguiente …gura se representa un arco C 1 a trozos. La aplicación ~r no es derivable en los puntos t1 y t2 , pero sí lo es en los intervalos [t0 ; t1 ], [t1 ; t2 ] y [t2 ; t3 ]
Como parece intuitivo, se tiene: Proposición 13 La propiedad “ser arco C 1 a trozos”es una propiedad intrínseca, con lo que se puede hablar de la noción de “camino C 1 a trozos”. Como consecuencia inmediata de la Proposición 11 tenemos: Proposición 14 Cálculo de la longitud de arco para arcos C 1 a trozos. Sea a trozos con parametrización ~r : [a; b] ! Rn . Entonces: 1) es recti…cable 2) La longitud de está dada por L =
Rb a
k~r0 (u)k du
un camino C 1
(8)
donde por la expresión anterior hay que entender L =
m X1 Z ti+1 i=1
~r0 (u) du
(9)
ti
I Comentario: En lo sucesivo, todos los caminos que se considerarán son caminos C 1 a trozos y, como sucede en (9), cuando aparezca una expresión integral en la que aparezca la derivada de la parametrización, se entenderá siempre dicha integral como suma de integrales en los trozos en los que la parametrización es C 1 .
26
7.
Integral curvilínea
Tipos de integrales curvilíneas Estudiaremos dos tipos de integrales curvilíneas, cada una de las cuales tiene importantes aplicaciones físicas: 1. Integral curvilínea de un campo vectorial o “circulación”. 2. Integral curvilínea de un campo escalar.
7.1.
Integral curvilínea de un campo vectorial. Circulación
Motivación Supóngase un campo de fuerzas F~ y una partícula que se desplaza en el mismo según una curva . La “circulación”de F~ sobre corresponde al concepto físico de trabajo de F~ sobre . Introduzcamos la de…nición de circulación: De…nición 19 Circulación de un campo vectorial a lo largo de un camino. (i) Sea un camino (arco geométrico orientado) C 1 a trozos con parametrización ~r : [a; b] ! Rn . (ii) Sea F~ un campo vectorial en Rn al que por ahora sólo le pedimos que esté de…nido sobre la curva salvo quizás en un número …nito de puntos. F~ tendrá la forma (x1 ; :::; xn ) ! F~ (x1 ; :::; xn ) := (F1 (x1 ; :::; xn ); :::; Fn (x1 ; :::; xn )) un campo vectorial. Se de…ne la “circulación de F~ a lo largo de ” mediante el escalar R
F~ d~r :=
Rb a
F~ (~r(t)) ~r0 (t)dt
(10)
en el caso en que la integral en [a; b] de la función real de variable real g(t) := F~ (~r(t)) ~r0 (t) del segundo miembro exista (ya sea como integral propia o como integral impropia convergente). Obsérvese que una condición su…ciente para que dicha integral exista (en sentido propio) es que F~ esté acotado en y sea continuo en salvo quizás en un número …nito de puntos. I Comentario: Obsérvese que para que la de…nición anterior esté bien dada, el resultado de la circulación no debe depender de la parametrización que se elija para . En términos precisos, debe veri…carse que si w ~ : [c; d] ! Rn es otra parametrización de , entonces Z
a
b
F~ (~r(t)) ~r0 (t)dt =
Z
d
F~ (w(s)) ~ w ~ 0 (s)ds
(11)
c
Pues bien, se tiene: Proposición 15 Supónganse las condiciones de la de…nición anterior y sea w ~ : [c; d] ! Rn un arco directamente equivalente a ~r. Entonces se veri…ca la expresión (11) con lo que la de…nición de circulación es independiente de la parametrización que se elija para la curva. Además, si w ~ : [c; d] ! Rn es inversamente equivalente a ~r, es decir, si w ~ es una parametrización de pero con sentido contrario de movimiento, entonces Z b Z d 0 ~ F (~r(t)) ~r (t)dt = F~ (w(s)) ~ w ~ 0 (s)ds a
c
27
que permite a…rmar que la circulación es una integral orientada en el sentido de que depende del sentido de recorrido del camino, y que la circulación cambia de signo cuando se cambia la orientación del camino. Dem.
Interpretación de la circulación De la teoría de la integral simple (concretamente de la conRb strucción de la integral mediante las sumas de Riemann) sabemos que cuando la integral a g(t)dt existe, se puede obtener considerando una partición a = t0 < t1 < < tn = b de [a; b], eligiendo un punto i en cada intervalo de la partición, es decir, i 2 [ti ; ti+1 ], i = 0; :::; n 1 y considerando la suma n X1 g( i )(ti+1 ti ) i=0
Rb
Entonces, a g(t)dt es el valor de la suma anterior cuando la partición “se re…na” haciendo tender n a in…nito (dicho límite es independiente de los puntos i elegidos). Por tanto, de (10) tenemos que, cuando la integral existe, la circulación se puede interpretar como el límite cuando n ! 1 de n X1 F~ (~r( i )) ~r0 ( i )(ti+1 ti ) i=0
Obsérvese que los sumandos de esta suma son el producto escalar de la fuerza en ciertos puntos de la curva por la velocidad de movimiento en dichos puntos y por las longitudes ti+1 ti . En la siguiente …gura se muestra la suma anterior cuando n = 3:
I Comentarios: De (10) se observa que la circulación de F~ sobre sólo depende del valor de F~ sobre . En particular, aunque F~ esté de…nido en un conjunto mayor y no sea nulo en todo , si F~ es nulo sobre la curva entonces la circulación de F~ sobre es nula. Circulación y componente tangencial . La componente tangencial de F~ según la curva como FT (~x) = F~ (~x) ~t(~x)
se de…ne
donde ~t es el vector tangente unitario a en el punto ~x y coherente con la orientación de . Sea ~ (t)) . t 2 [a; b]. Si ~x = ~r(t) corresponde a un punto regular de la curva entonces FT (~r(t)) = Fk~r(~0r(t)k En el caso en que ~x = ~r(t) corresponda a un punto singular de la curva, ~t no se puede calcular 28
con la parametrización ~r. En cualquier caso, lo que siempre se veri…ca es que F~ (~r(t)) ~r0 (t) = FT (~r(t)) k~r0 (t)k (en el caso de un punto singular, ambos miembros valen cero).
Por ello, (10) se puede escribir
R
F~ d~r =
Rb a
FT (~r(t)) k~r0 (t)k dt
En particular, la Rexpresión anterior indica que si el campo F~ es perpendicular a F~ d~r = 0. Esa situación se ilustra en la siguiente …gura: puntos, entonces
en todos sus
R Si es una curva cerrada, se demuestra fácilmente que la circulación F~ d~r es independiente del punto a partir del cual se empieza a recorrer la curva. Por ello, para calcular la circulación sobre una curva cerrada, podemos tomar un punto cualquiera como inicio del recorrido. Expresiones para la circulación en R2 y R3 R2 . Sea
~r : [a; b] ! R2 t ! ~r(t) = ( (t); (t))
una parametrización de
y F~ (x; y) = (P (x; y); Q(x; y))
Entonces Z
Z b ~ F d~r := F~ (~r(t)) ~r0 (t)dt = a Z b 0 = (P ( (t); (t)); Q( (t); (t))) (t); 0 (t) dt = a Z b = P ( (t); (t)) 0 (t) + Q( (t); (t)) 0 (t) dt a
La expresión anterior sugiere la notación R F~ d~r
R
P dx + Qdy,
muy utilizada en la práctica, para la circulación. R3 . Sea
~r : [a; b] ! R3 t ! ~r(t) = ( (t); (t); (t)) 29
una parametrización de
y F~ (x; y; z) = (P (x; y; z); Q(x; y; z); R(x; y; z))
Entonces Z Z b ~ F d~r := F~ (~r(t)) ~r0 (t)dt = a Z b 0 (P ( (t); (t); (t)); Q( (t); (t); (t))) (t); 0 (t); 0 (t) dt = = a Z b = P ( (t); (t); (t)) 0 (t) + Q( (t); (t); (t)) 0 (t) + R( (t); (t); (t)) 0 (t) dt a
Como en el caso de R2 , la expresión anterior sugiere la notación R R F~ d~r P dx + Qdy + Rdz
Algunas notaciones: A continuación introducimos las siguiente notaciones: Sean 1 y 2 dos caminos de…nidos por parametrizaciones inversamente equivalentes (es decir, y 2 son la misma curva pero recorrida con sentidos distintos). Entonces escribiremos 2 = Sean ,
1
y
2
1 1.
caminos de…nidos por parametrizaciones ;
donde c 2 [a; b]. Entonces escribiremos extremos)
1
;
2
; =
~r : [a; b] ! Rn
~r : [a; c] ! Rn ~r : [c; b] ! Rn 1
[
2
(nótese que
1
y
2
no se solapan salvo en los
A continuación introducimos algunas propiedades de la circulación que se deducen directamente de su de…nición: Proposición 16 Propiedades de la circulación. Sean , 1 y 2 caminos C 1 a trozos y sean f~, f~1 y f~2 campos vectoriales continuos (para garantizar que la circulación existe) en , 1 y 2 . Entonces se cumple: (1) Linealidad en el integrando. 8 ; 2 R, Z Z Z f~1 + f~2 d~r = f~1 d~r + f~2 d~r y
(2) Aditividad en el recinto de integración. Si son caminos que no se solapan (salvo en los extremos) = 1 [ 2 entonces Z Z Z ~ ~ f d~r = f d~r + f~d~r 1
2
(3) Acotación. Si se cumple que existe M 2 R tal que 8~x 2 , f~(~x) Z f~d~r ML donde L es la longitud de . Dem. 30
M , entonces (12)
Corolario: Como consecuencia de la acotación (12), si es una curva con longitud nula (por ejemplo, R f~d~r = 0 para cualquier campo vectorial f~. un punto) se tiene que Ejercicio 12 Calcúlese la integral curvilínea I (xy + x + y) dx + (xy + x
y) dy
siendo la circunferencia x2 + y 2 = ax con orientación contraria a las agujas del reloj. a3 Solución: 8 Ejercicio 13 Hállese el trabajo realizado por la fuerza F(x; y) = (3y 2 + 2)i + 16xj al mover una partícula desde ( 1; 0) a (1; 0) siguiendo la mitad superior de la elipse b2 x2 + y 2 = b2 . Solución: 4b2 8b + 4
7.2.
Integral curvilínea de un campo escalar
A continuación se introduce la siguiente noción De…nición 20 Integral curvilínea de un campo escalar (i) Sea un camino (arco geométrico orientado) C 1 a trozos con parametrización ~r : [a; b] ! Rn . (ii) Sea g un campo escalar en Rn al que por ahora sólo le pedimos que esté de…nido sobre la curva salvo quizás en un número …nito de puntos. Se de…ne la “integral curvilínea de g a lo largo de ” mediante el escalar R
gdr :=
Rb a
g(~r(t)) k~r0 (t)k dt
(13)
en el caso en que la integral en [a; b] de la función real de variable real h(t) := g(~r(t)) k~r0 (t)k del segundo miembro exista. Obsérvese que una condición su…ciente para que dicha integral exista (en sentido propio) es que g esté acotado en su dominio y sea continuo salvo quizás en un conjunto …nito de puntos. I Comentarios: 1. Obsérvese que para que la de…nición anterior esté bien dada, el resultado de la circulación no debe depender de la parametrización que se elija para . En términos precisos, debe veri…carse que si w ~ : [c; d] ! Rn es otra parametrización de , entonces Z
b
0
g(~r(t)) ~r (t) dt =
a
Z
d
g(w(s)) ~ w ~ 0 (s) ds
(14)
c
Pues bien, esta propiedad se veri…ca. Además, si w ~ : [c; d] ! Rn es inversamente equivalente a ~r, es decir, si w ~ es una parametrización de pero con sentido contrario de movimiento, (14) se sigue veri…cando. Esto permite a…rmar que la integral curvilínea de un campo escalar es independiente del sentido de recorrido del camino. R 2. De nuevo se observa que gdr sólo depende del valor de g sobre . 31
3. De la De…nición 20 y de (8) se sigue inmediatamente que R
Long =
1 dr
4. Relación con la circulación. Ya se vio que Z Z b ~ F d~r = FT (~r(t)) ~r0 (t) dt a
con lo que se puede escribir
Z
o bien, si de…nimos el campo
F~ d~r =
~t(~r(t)) :=
(
Z
FT dr
~ r 0 (t) k~ r 0 (t)k
si ~r0 (t) 6= 0 ~0 si ~r0 (t) = 0
)
es decir, en los puntos regulares ~t(~r(t)) es el vector tangente unitario a la curva en ~r(t), entonces R
F~ d~r =
R
F~ ~t dr
Por ejemplo, para una circunferencia en R2 de radio R y centrada en el origen, el campo de vectores tangentes unitarios está de…nido por (y; x) R
~t(~x) =
Interpretación física de la integral curvilínea de un campo escalar La integral curvilínea de un campo escalar tiene una interpretación análoga a Rla que se presentó anteriormente para la circulación. En este caso tenemos que, cuando la integral gdr existe, se puede interpretar como el límite cuando n ! 1 de n X1 g(~r( i )) ~r0 ( i ) (ti+1 ti ) i=0
Obsérvese que los sumandos de esta suma son el producto de g en ciertos puntos de la curva por el módulo de la velocidad de movimiento en dichos puntos y por las longitudes ti+1 ti . Integral curvilínea de un campo escalar en R2 y R3 Particularicemos la fórmula (13) al caso de integrales curvilíneas en R2 y R3 : En R2 . Sea
~r : [a; b] ! R2 t ! ~r(t) = ( (t); (t)) y sea g un campo escalar en R2 . Entonces
una parametrización de R
gdr =
Rb a
g(~r(t)) k~r0 (t)k dt =
Rb a
32
q g( (t); (t)) ( 0 (t))2 + ( 0 (t))2 dt
En R3 . Sea
~r : [a; b] ! R3 t ! ~r(t) = ( (t); (t); (t)) y sea g un campo escalar en R3 . Entonces
una parametrización de R
gdr =
Rb a
q g( (t); (t); (t)) ( 0 (t))2 + ( 0 (t))2 + ( 0 (t))2 dt
Proposición 17 Propiedades de la integral curvilínea de un campo escalar. Sean , 1 y 2 caminos C 1 a trozos y sean g; g1 y g2 campos escalares continuos salvo quizás en un número …nito de puntos (para garantizar que la circulación existe) en , 1 y . Entonces se cumple: (1) Linealidad en el integrando. 8 ; 2 R, Z Z Z g2 dr g1 dr + ( g1 + g2 ) dr = (2) Aditividad en el recinto de integración. Si 1 y 2 son caminos que no se solapan (salvo en los extremos) y = 1 [ 2 entonces Z Z Z gdr = gdr + gdr 1
2
(3) Acotación. Si se cumple que existe M 2 R tal que 8~x 2 , jg(~x)j Z gdr ML donde L es la longitud de . (4) Teorema del valor medio. Si ~ 2 tal que donde L es la longitud de
.
M , entonces
es de clase C 1 a trozos y g es continuo en Z
, entonces existe
gdr = g(~)L
I Comentario: Obsérvese el paralelismo entre las propiedades previas y las R b propiedades de linealidad, aditividad, acotación y teorema del valor medio para integrales simples a f (x)dx y también con las propiedades ya estudiadas de la circulación. Nótese también que en el caso de la circulación no existe ningún análogo del teorema del valor medio para integrales curvilíneas de un campo escalar. Algunas aplicaciones físicas de la integral curvilínea de un campo escalar Si un alambre con densidad lineal , entonces la masa del alambre es M asa( ) :=
R
representa
dr
De forma análoga, si c denota la densidad lineal de carga en el alambre, entonces la carga total del R alambre es cdr Asimismo, el “valor promedio” de un campo escalar g a lo largo de un arco de curva se de…ne a través de la expresión: R gdr g := Long( ) 33
En particular, las coordenadas del centro de gravedad de un alambre con densidad lineal por xgrav =
R
x dr M asa( )
; ygrav =
R
y dr M asa( )
; zgrav =
están dadas
R
z dr M asa( )
Ejercicio 14 (a) Determínese la masa de un alambre que es la intersección de la esfera x2 +y 2 +z 2 = 1 con el plano x + y + z = 0, sabiendo que la densidad en cada punto es (x; y; z) = x2 . (b) Idem si (x; y; z) = x + y + z ¿tiene este caso sentido físico? Solución a (a). 23 Ejercicio 15 Calcúlese el valor promedio del campo escalar f (x; y) = 2x curva x(t) = t4 , y(t) = t4 , t 2 [ 1; 1]. Solución. 21
y a lo largo del arco de
Ejercicio 16 Dada una curva en coordenadas polares = ( ), 2 [ 1 ; 2 ], de longitud l, decir cuáles de las fórmulas siguientes son válidas para calcular las coordenadas (x0 ; y0 ) ( 0 ; 0 ) de su centro de gravedad supuesta la curva homogénea Z Z 1 1 1) x0 = x ds ; y0 = y ds l l Z x2 Z y2 1 1 2) x0 = x dx ; y0 = y dy l x1 l y1 Z 2 Z 2 1 1 3) x0 = xd ; y0 = yd l 1 l 1 Z 2 Z 2 1 1 d ; = d 4) 0 = 0 l 1 l 1 Z Z 1 1 5) x0 = x dxdy ; y0 = y dxdy l l Ejercicio 17 Dada una curva en coordenadas polares = ( ), 2 [ 1 ; 2 ], decir cuáles de las fórmulas siguientes son válidas para calcular la integral curvilínea de un campo escalar f (x; y) Z Z 2 p ( )2 + 0 ( )2 d 1) f (x; y) ds = f (x( ); y( )) 2)
7.3.
Z
f (x; y) ds =
Z
1
2
f (x( ); y( )) d 1
Simetrías en las integrales curvilíneas
Las integrales curvilíneas de campos escalares veri…can propiedades de simetría análogas a las estudiadas para integrales dobles y triples. Por ejemplo, para integrales curvilíneas en R2 se tiene: Proposición 18 Sea camino C 1 a trozos simétrico respecto del eje x = 0 y sea g : ! R un campo escalar continuo. Entonces: R R a) Si g es par en x, gdr = 2 1 gdr donde 1 es cualquiera de las dos curvas en las que el eje x = 0 divide a . R b) Si g es impar en x, gdr = 0. 34
I Comentario: Las reglas de simetría anteriores no son directamente aplicables a las integrales de un campo vectorial. Esto es así porque en la circulación de un campo habría que tener en cuenta, además de la simetría en la curva y en el campo a integrar, la “simetría” en el vector tangente unitario. Lo que se puede hacer es utilizar que Z Z F~ d~r = F~ ~t dr y ahora intentar aplicar simetrías en la segunda integral, que es una integral del campo escalar g(~x) := F~ (~x) ~t(~x).
35
8.
Independencia del camino en la integral curvilínea. Campos conservativos
A continuación estudiaremos las condiciones en las que la circulación de un campo vectorial F~ sobre una curva que une los puntos ~a y ~b es independiente del camino seguido para ir de ~a a ~b. En tal caso la circulación sólo depende de F~ y de dichos puntos inicial y …nal. Si esta propiedad se veri…ca para todos los puntos de un determinado conjunto , se dice que “en ; la circulación de F~ es independiente del camino”. Introduzcamos la siguiente noción: De…nición 21 Conjunto conexo. Un conjunto C es conexo cuando todo par de puntos de C puede ser unido por un camino C 1 a trozos contenido en el conjunto.
Conjunto conexo
Conjunto no conexo
En lo sucesivo trabajaremos casi siempre en conjuntos
abiertos y conexos:
A le pedimos que sea abierto para poder hablar de derivadas parciales de un campo en los puntos de (si contuviese a algún punto de su frontera, en esos puntos no estarían de…nidas las derivadas parciales del campo) A le pedimos que sea conexo para que dos puntos cualesquiera de por un camino contenido en .
puedan siempre ser unidos
El siguiente resultado Proposición 19 Sea un abierto conexo de Rn y sea F~ : ! Rn continuo. Entonces se veri…ca: La circulación de F~ entre dos puntos cualesquiera de es independiente del camino (C 1 a trozos y contenido en ) que los une si y sólo si la circulación de F~ a lo largo de cualquier camino cerrado (C 1 a trozos y contenido en ) es nula. Dem.
Introducimos ahora la de…nición de campo conservativo en un dominio como aquel campo para el que la circulación sólo depende de los puntos inicial y …nal del recorrido. En concreto tenemos: De…nición 22 Campo conservativo. Sea un abierto conexo de Rn y sea F~ : ! Rn continuo. Se dice que F~ es conservativo (en ) cuando la circulación de F~ entre dos puntos cualesquiera de es independiente del camino (C 1 a trozos y contenido en ) que los une. 36
A continuación se aborda el estudio de la relación entre campos conservativos y campos que admiten un potencial escalar. De…nición 23 Potencial escalar de un campo vectorial. Sea un abierto de Rn y sea F~ : ! Rn . Se dice que U : ! R (que admite derivadas parciales de primer orden) es un potencial escalar de F~ cuando F~ = gradU . I Comentario. En Física se suele adoptar como de…nición de potencial escalar, la de F~ =
gradU
Unicidad del potencial escalar Obviamente, si U es un potencial escalar de F~ y c 2 R, U + c también es un potencial escalar de F~ . La pregunta que nos hacemos ahora es si todos los potenciales escalares de F~ son de la forma U + c, c 2 R. Veamos: sean U y V potenciales escalares de F~ . Entonces grad(U V ) = F~ F~ = ~0 en . Si un campo escalar tiene gradiente idénticamente nulo en un conjunto conexo necesariamente debe ser un campo constante. De aquí se sigue que U V debe ser constante en , con lo que se ha obtenido: Proposición 20 Sea U : ! R, U 2 C 1 ( ) un potencial escalar de F~ : conexo. Entonces el conjunto de los potenciales escalares de F~ es
! Rn y sea
abierto
fU + c : c 2 Rg El siguiente resultado muestra que los campos vectoriales que derivan de un potencial son conservativos: Proposición 21 Sea un abierto conexo de Rn y sea F~ : ! Rn , tal que existe un campo escalar U : ! R, U 2 C 1 ( ) tal que F~ =gradU . Entonces F~ es conservativo (en ) y además, si ~a; ~b 2 y es un camino C 1 a trozos y contenido en que une ~a con ~b se veri…ca R
F~ d~r = U (~b)
U (~a)
Dem.
I Comentario: Obsérvese que el resultado anterior es en cierto sentido “análogo” a la regla de Barrow para funciones reales de variable real, puesto que relaciona la “derivada” de un campo (su gradiente) sobre una curva con el valor del campo en los extremos de la curva. El recíproco del resultado anterior también se cumple en el sentido de que los campos conservativos derivan de un potencial: Proposición 22 Sea un abierto conexo de Rn y sea F~ : ! Rn , F~ 2 C( ) un campo que cumple la siguiente propiedad: la circulación de F~ entre dos puntos cualesquiera de es independiente de la poligonal (contenida en ) que una dichos puntos. Entonces F~ es conservativo en , es decir, la circulación de F~ entre dos puntos cualesquiera de es independiente del camino que los une. Todavía más, existe un campo U : ! R, U 2 C 1 ( ) tal que F~ =gradU . Además, un potencial escalar U se puede calcular de la siguiente forma: Sea ~a 2 arbitrario. Entonces R 8~x 2 , U (~x) := (~a;~x) F~ d~r 37
donde (~a; ~x) denota cualquier camino C 1 a trozos y contenido en ~x.
Dem. Sea ~x 2 la de…nición,
. Sea i 2 f1; :::; ng. Queremos demostrar que U (~x + h~ei ) @U (~x) = l m h!0 @xi h
donde ~ei = (0; vamos de ~a
que una el punto ~a con el punto
@U x) @xi (~
= Fi (~x). Para ello, aplicando
U (~x)
; 0) es el i ésimo vector canónico de Rn . Ahora, por de…nición de U , si Z Z Z i ~ ~ F d~r F d~r = F~ d~r U (~x + h~e ) U (~x) = ; 0; 1; 0;
(~a;~ x+h~ei )
(~ x;~ x+h~ei )
(~a;~ x)
Elegimos como (~x; ~x + h~ei ) el segmento rectilíneo S(~x; ~x + h~ei ) que une ~x con ~x + h~ei , con parametrización ~r(t) = ~x + t(h~ei ); t 2 [0; 1], donde tomamos h lo su…cientemente pequeño para que dicho segmento esté contenido en : Entonces R ~ r U (~x + h~ei ) U (~x) S(~ x;~ x+h~ei ) F d~ lm = lm = h!0 h!0 h h R1 Z 1 F~ ~x + th~ei h~ei dt = lm 0 = lm Fi ~x + th~ei dt h!0 h!0 0 h Ahora queremos “meter el límite dentro de la integral”. Pare poder hacerlo consideramos la función g(t; h) = Fi ~x + th~ei y observamos que, al ser Fi continua en , g(t; h) es continua en [0; 1] [ "; "] con lo que por un resultado ya estudiado, Z 1 Z 1 Z 1 lm Fi ~x + th~ei dt = l m Fi ~x + th~ei dt = Fi (~x) dt = Fi (~x) h!0 0
0 h!0
0
como se quería demostrar I Comentarios: Obsérvese que tomando distintos puntos ~a 2 en el teorema anterior se obtienen los in…nitos potenciales escalares del campo F~ . En efecto, si ~b 2 podemos escribir Z Z Z ~ ~ U (~x) := F d~r = F d~r + F~ d~r (~b;~ x)
(~b;~a)
(~a;~ x)
El resultado anterior se puede considerar como el “análogo” en este contexto al teorema fundamental del cálculo para las funciones reales de variable real, que recuérdese, asegura que si f : [a; b] ! R es continua, entonces la función Z x U (x) := f (t)dt a
es derivable y U 0 (x) = f (x) en [a; b]. 38
Se he visto que los campos conservativos en un abierto conexo son los campos que derivan de un potencial. Sin embargo, dado un campo F~ , el comprobar si deriva o no de un potencial no parece sencillo. Por ello, buscamos si existen condiciones necesarias y/o su…cientes, sencillas de comprobar en la práctica, para que un campo sea conservativo. En primer lugar se tiene: Proposición 23 Condición necesaria para que un campo sea conservativo. Sea un abierto de Rn y sea F~ : ! Rn , F~ 2 C 1 ( ). Entonces, si F~ es conservativo se cumple que 8i; j = 1; :::; n, @Fj @Fi ~ la denominada “igualdad de derivadas cruzadas”. @xj = @xi en , es decir, el campo F veri…ca en Dem
La condición anterior de igualdad de derivadas cruzadas es necesaria, pero no su…ciente, para que un campo sea conservativo. En efecto, considérese := R2 f(0; 0)g y el campo F~ :
R2
!
(x; y) ! F~ (x; y) =
(15)
y ; x x2 +y 2 x2 +y 2
@F2 1 Claramente F~ 2 C 1 ( ). Además, es fácil comprobar que para todo (x; y) 2 , @F @y = @x ; y sin embargo si C es la circunferencia de centro el origen y radio R recorrida una vez en sentido contrario a las agujas del reloj, se obtiene Z F~ d~r = 2 6= 0
Por tanto F~ no puede ser conservativo en Ejercicio 18 a) Calcular I = (x
3)2 2
+
(y
4)2 4
b) Idem si
R
.
F~ d~r donde F~ (x; y) =
y ; x x2 +y 2 x2 +y 2
y
es la curva de ecuaciones
= 1 recorrida una vez en sentido positivo. es la curva de ecuaciones
(x 1)2 2
+
(y 1)2 4
= 1 recorrida una vez en sentido negativo.
Se ha visto que la “igualdad de derivadas cruzadas” no es su…ciente para que un campo sea conservativo. Sin embargo, veremos que si al dominio se el ponen condiciones adicionales, entonces la “igualdad de derivadas cruzadas” es también una condición su…ciente para que el campo sea conservativo. Introduzcamos primero la siguiente noción: De…nición 24 Conjunto estrellado. Sea Rn . Se dice que es estrellado si existe un punto p~ 2 (denominado polo) que cumple que 8~x 2 , S(~ p; ~x) , es decir, para todo punto ~x de el segmento que une p~ y ~x está contenido en .
39
I Comentario: Obsérvese que estrellado ) conexo, pero el recíproco no es cierto. Por ejemplo, el conjunto de la siguiente …gura es conexo, pero no es estrellado
Proposición 24 Condición su…ciente para que un campo sea conservativo. Sea un abierto estrellado de Rn y sea F~ : ! Rn , F~ 2 C 1 ( ). Entonces, si F~ veri…ca la “igualdad de derivadas ~ cruzadas” en , se sigue que F es conservativo en . Comentario: Obsérvese que en el caso del campo de…nido por (15), no se cumple la hipótesis de que R2 f(0; 0)g sea estrellado. Una vez estudiadas las condiciones bajo las cuales un campo es conservativo, es decir, admite un potencial escalar, veamos cómo calcular dicho potencial. Cálculo del potencial escalar de un campo vectorial Supongamos que es un abierto conexo estrellado y que F~ : ! Rn es un campo C 1 ( ) que cumple la igualdad de derivadas cruzadas, con lo que admite un potencial escalar U en . Para calcular U se puede proceder de las dos formas siguientes: 1. Utilizar que para cualquier ~a 2
el campo U de…nido por U (~x) :=
es potencial de F~ .
R
~
r (~a;~ x) F d~
; ~x 2 ;
2. Imponer que gradU = F~ y resolver el sistema de ecuaciones en derivadas parciales resultante @U @x
= F1 ;
@U @y
= F2 ;
@U @z
= F3
donde U es la incógnita. Ejercicio 19 Sea Rn abierto, sea F~ : ! R, F~ 2 C 1 ( ) y sea una curva Rde clase C 1 a trozos contenida en . ¿Bajo qué condiciones podríamos asegurar que la circulación F~ d~r es nula sin necesidad de calcular explícitamente la integral? Ejercicio 20 Calcular la circulación del campo F~ (x; y) = 2xy 2 + yey ; 2yx2 + x(y + 1)ey + 1 cuando se recorre la curva de ecuación x2 + y 2
2
+ 2 (x + y)2 =
punto (0; p12 ) en el sentido contrario a las agujas del reloj.
40
5 4
desde el punto ( p12 ; 0) hasta el
Ejercicio 21 Determínese la función h(y) con h(0) = 0 que hace conservativo el campo vectorial F(x; y) = (2x2 + 4xh(y); 2x2
y2)
En ese caso, hállese la circulación de F sobre una curva arbitraria que una el punto (0; 0) con el (1; 2). Sol: h(y) = y. Circulación=2. Ejercicio 22 Relación entre trabajo y energía cinética. Sea una partícula con masa m que se mueve en un campo de fuerzas según una cierta curva . La energía cinética de la partícula en un instante t está dada por 12 m k~v (t)k2 donde ~v es la velocidad de la partícula. Demostrar que la variación de energía cinética de la partícula es igual al trabajo realizado por F~ . Ejercicio 23 Principio de conservación de la energía mecánica para campos conservativos. Sea una partícula con masa m que se mueve en bajo un campo F~ de fuerzas conservativo, de modo que existe un potencial U tal que F~ = rU . Demostrar que la energía mecánica de la partícula, de…nida como 12 m k~v (t)k2 U (~r(t)), donde ~r(t) es el vector de posición de la partícula, es constante durante la trayectoria. Si de…nimos la energía potencial como U , el resultado anterior se puede enunciar diciendo que si un campo de fuerzas es conservativo en , la suma de las energías cinética y potencial de una partícula que se desplaza en es constante. Obsérvese que el cali…cativo “conservativo” para los campos en los que la integral es independiente del camino viene precisamente de esta propiedad, pues son campos para los que se conserva la energía mecánica total. Ejercicio 24 Sea
la curva de…nida por las ecuaciones cartesianas 2x
y = 0;
z
x3=2 = 0
(x; y; z
0)
y F el campo vectorial dado por F(x; y; z) = (xy 2 ; x2 y; zx2 ) : Se pide: 1) Hallar la longitud del arco de determinado por los puntos (0; 0; 0) y (1; 2; 1). 2) Sea C la circulación de F sobre el arco de la curva determinado por el punto (0; 0; 0) y un punto P arbitrario de la misma. Estudiar si el valor de C alcanza un máximo. En caso a…rmativo, determinar las coordenadas del punto P correspondiente. 3) Sea una función de clase C 1 en R tal que (0) = 0 y una curva de…nida por las ecuaciones cartesianas 2x y = 0 ; z (x) = 0 : Determinar las funciones de la curva .
tales que se anule la circulación de F desde (0,0,0) hasta cualquier punto
41
9.
Teorema de Green
El teorema de Green relaciona, bajo ciertas condiciones, la integral de un campo vectorial plano sobre una curva de Jordan en R2 con la integral doble de una cierta función extendida al interior de la curva.
9.1.
Orientación de una curva de Jordan plana. Conjuntos simplemente conexos
En primer lugar veremos algunos conceptos que serán necesarios para introducir el teorema. Obsérvese que, dada una curva cerrada en R3 , no tiene sentido hablar de “interior” o “exterior” de la curva. En el caso de curvas cerradas en R2 se puede decir lo siguiente: Proposición 25 Teorema de la curva de Jordan en R2 . Interior y exterior de una curva de Jordan en R2 . Toda curva de Jordan en R2 divide al plano en dos abiertos conexos, de los cuales uno es acotado y el otro no acotado. Al no acotado se le denomina “exterior” de y al acotado “interior” de .
Utilizando el resultado anterior se puede de…nir la orientación de una curva de Jordan en R2 : De…nición 25 Orientación de una curva de Jordan en R2 . Se dice que una curva de Jordan tiene orientación positiva cuando al recorrerse se deja su interior a la izquierda. Las siguientes …guras muestran curvas de Jordan con orientación positiva
El concepto que aparece a continuación es clave en los desarrollos posteriores. Intuitivamente, se dice que un subconjunto de R2 es simplemente conexo cuando “no tiene agujeros”. A continuación se presenta la de…nición rigurosa: De…nición 26 Conjunto simplemente conexo en R2 . Sea un subconjunto de R2 . Se dice que es simplemente conexo cuando se cumple que para toda curva de Jordan contenida en se veri…ca 42
que el interior de
está contenido en
.
Conjunto que no es simplemente conexo
Conjunto simplemente conexo Claramente se veri…ca: Proposición 26 Sea
R2 .
estrellado =)
simplemente conexo.
I Comentario: El recíproco del resultado anterior no es cierto, como es fácil poner de mani…esto mediante ejemplos.
9.2.
Teorema de Green
Veamos primero un resultado previo que permite demostrar el teorema de Green: Proposición 27 (i) Sea R2 abierto simplemente conexo. (ii) Sea curva de Jordan, C 1 a trozos, contenida en y con orientación positiva. (iii) Sea U : ! R, U 2 C 1 ( ) Entonces se cumple R R
U dx = U dy =
RR
RR
int
int
@U @y dxdy
@U @x dxdy
(16) (17)
Dem. Haremos la demostración para el caso particular en el que el interior de es una unión disjunta …nita de recintos simples respecto de x y respecto de y. La generalización al caso general es muy elaborada y la omitiremos.
Las igualdades (16) y (17) se pueden escribir en una forma más más fácil de memorizar. Para ello, recordamos la relación (6) n 1 = t2 n2 =
43
t1
entre el vector ~t tangente unitario a una curva de Jordan orientada positivamente y el vector ~n normal unitario saliente a dicha curva. Entonces, entrando en las expresiones (16) y (17) se tiene Z Z Z Z Z U dx = (U; 0)d~r = (U; 0) ~t dr = U t1 dr = U n2 dr Z Z Z Z Z U dy = (0; U )d~r = (0; U ) ~t dr = U t2 dr = U n1 dr es decir, se ha llegado al siguiente resultado: Proposición 28 (i) Sea R2 abierto simplemente conexo. (ii) Sea curva de Jordan, C 1 a trozos, contenida en . (iii) Sea U : ! R, U 2 C 1 ( ) Entonces se cumple RR
int
@U @x dxdy
=
R
U n1 dr
;
RR
int
@U @y dxdy
=
R
U n2 dr
(18)
donde ~n = (n1 ; n2 ) es el vector normal saliente unitario a . Estas expresiones se puden escribir, de forma más compacta, como RR
int
@U @xi dxdy
=
R
U ni dr ; i = 1; 2
A partir de lo anterior se sigue el siguiente resultado: Proposición 29 Teorema de Green. (i) Sea R2 abierto simplemente conexo. (ii) Sea curva de Jordan, C 1 a trozos, contenida en y con orientación positiva. (iii) Sea F~ : ! R2 , de…nido por F~ = (P; Q) y tal que F~ 2 C 1 ( ), Entonces R RR @Q @P F~ d~r = dxdy @x
int
@y
Dem
Ejercicio 25 Calcúlese la integral curvilínea I (xy + x + y) dx + (xy + x
y) dy
siendo la circunferencia x2 + y 2 = ax con orientación positiva. a3 Solución: 8 Ejercicio 26 Determinar todas las circunferencias del plano tales que la integral curvilínea Z y 2 dx + x2 dy es nula. 44
(19)
9.3. 9.3.1.
Algunas consecuencias y aplicaciones del teorema de Green Aplicación del teorema de Green al cálculo de áreas
Proposición 30 Aplicación del teorema de Green al cálculo de áreas. Sea R R2 tal que su frontera es una curva de Jordan C 1 a trozos, que denotamos y que suponemos orientada positivamente.
Entonces, el área Rde R se puede calcular mediante cualquiera de las siguientes expresiones: 1. Área(R) = xdy R ydx 2. Área(R) = R 3. Área(R) = 12 xdy ydx Dem.
Ejercicio 27 Calcular el área de una elipse mediante una integral curvilínea.
Ejercicio 28 Determínese el área de la región del interior de una elipse que es también interior a una circunferencia cuyo centro es el mismo que el de la elipse y cuyo radio q es la media geométrica de a las longitudes a y b (a > b) de los semiejes de la misma. Sol: 4abarcos a+b .
Ejercicio 29 Se considera una elipse de semiejes a y b recorrida en sentido directo y en cada punto M de la misma, el vector M P = L , en donde es el vector tangente en dicho punto y L > 0 es una cantidad constante. Sea la curva descrita por los puntos P anteriores. Se pide: 1. Escribir unas ecuaciones paramétricas de . 2. Expresar el área de la región comprendida entre la curva y la elipse en términos de la longitud L.
45
9.3.2.
Condición su…ciente para que un campo en R2 sea conservativo
Utilizando el teorema de Green es posible encontrar una condición su…ciente para que un campo sea conservativo más fuerte que la que se dio en la sección anterior para campos en Rn , en la que se requería que el dominio en el que el campo era de clase 1 fuese estrellado. En efecto, en el siguiente resultado, al conjunto en el que el campo en cuestión veri…ca la igualdad de derivadas cruzadas sólo tiene que ser simplemente conexo, no necesariamente estrellado: Proposición 31 Condición su…ciente para que un campo en R2 sea conservativo. Sea un abierto simplemente conexo de R2 y sea F~ : ! R2 , F~ 2 C 1 ( ). Entonces, si F~ veri…ca la “igualdad de derivadas cruzadas” en , se sigue que F~ es conservativo en . Dem.
Ejercicio 30 Calcular un potencial escalar del campo F~ (x; y) = en los que sea posible. Discutir si existe un potencial escalar en
y ; x x2 +y 2 x2 +y 2 R2 f(0; 0)g.
en aquellos conjuntos
Sea un abierto conexo (no necesariamente simplemente conexo) de R2 y F~ : ! R2 , F~ 2 C 1 ( ) que suponemos que veri…ca la igualdad de derivadas cruzadas. Si es una curva de Jordan, sabemos que en principio no es posible asegurar que la circulación de F~ sobre sea nula. Sin embargo, cuando exista un conjunto 0 simplemente conexo contenido en y que contenga a la curva , entonces se puede aplicar el teorema de Green a 0 y asegurar que la circulación de F~ sobre es nula. Por ejemplo, considérese la siguiente …gura
1 ~ En las hipótesis R anteriores (F 2 C ( ) y que veri…ca la igualdad de derivadas cruzadas), no se puede asegurar que 1 F~ d~r valga cero, pero sin embargo, aplicando el teorema anterior (o, equivalentemente, R el teorema de Green) a F~ y 0 se sigue que F~ d~r = 0. 2
46
9.3.3.
Invariancia de una integral curvilínea plana al deformar el camino
Ya se ha visto que la igualdad de derivadas cruzadas de un campo vectorial en un recinto que no sea simplemente conexo, no garantiza que el campo sea conservativo. Sin embargo, la igualdad de derivadas cruzadas permite que las integrales sobre curvas cerradas mantengan su valor si la curva se “deforma de manera suave” en el conjunto en cuestión: Proposición 32 Invariancia de una integral curvilínea plana al deformar el camino cuando se veri…ca la igualdad de derivadas cruzadas en el dominio. Sea R2 abierto conexo 2 1 (no necesariamente simplemente conexo) y sea F~ : ! R , F~ 2 C ( ), tal que F~ veri…ca la igualdad de derivadas cruzadas en . Sean 1 y 2 curvas de Jordan C 1 a trozos contenidas en tales que ” (el signi…cado de esta 2 se puede obtener “deformando 1 de manera continua sin salirnos de a…rmación se dejará a nivel intuitivo aunque para proceder con rigor habría que precisar exactamente qué se entiende por “deformar de manera continua” una curva, noción que corresponde al concepto matemático de homotopía) (ver …gura)
Entonces
R
1
F~ d~r =
R
2
F~ d~r
Idea de la demostración.
Ejercicio 31 a) Calcular I = ciones (x 3)2 2
x2 4
y2
+ 3 (y 4)2 4
R
F~ d~r donde F~ (x; y) =
y3 (x2 +y 2 )2
2
xy ; (x2 +y 2 )2
= 1 recorrida una vez en sentido positivo. d) Idem cuando
+ = 1. Sol: a) I = .
47
y
es la curva de ecua-
es la curva de ecuaciones
Ejercicio 32 Sea F~ (x; y) =
y ; x x2 +y 2 x2 +y 2
una curva de Jordan de clase C 1 a trozos que no pasa por el origen. Calcular razonadamente los posibles valores que puede tomar la circulación de F~ sobre . y sea
Veamos una aplicación del resultado anterior. Considérese el conjunto en la siguiente …gura.
y las curvas
,
1
y
2
Supongamos que F~ 2 C 1 ( ) y que veri…ca la igualdad de derivadas cruzadas en . Pues bien, entonces se cumple que Z Z Z ~ ~ F d~r = F d~r + F~ d~r 1
1
En efecto, por el resultado anterior podemos deformar hasta obtener 0 y posteriormente deformar 0 hasta obtener 1 [ 2 [ S [ ( S), donde S es el segmento de la …gura.
Por ello, como las integrales de F~ sobre S y sobre S se anulan se tiene Z Z Z Z Z Z Z F~ d~r = F~ d~r + F~ d~r + F~ d~r F~ d~r = F~ d~r + 1
1
S
S
1
F~ d~r 1
como se quería demostrar. Ejercicio 33 Esquema de ideas para el cálculo de una circulación en R2 : Enumérense todas las formas de calcular la circulación de un campo F~ en R2 sobre una curva . Discutir las ventajas e inconvenientes de cada método en función del tipo de campo F~ y del tipo de curva .
48
9.3.4.
“Teorema de Gauss en R2 ”
Como consecuencia del teorema de Green se sigue el siguiente resultado Proposición 33 “Teorema de Gauss en R2 ” (i) Sea R2 abierto simplemente conexo. (ii) Sea curva de Jordan, C 1 a trozos y contenida en . (iii) Sea F~ : ! R2 , F~ 2 C 1 ( ) Entonces RR R ~ F~ ~n dr = int divF dxdy
donde ~n es el vector normal unitario saliente a la curva y donde divF~ :=
Dem.
49
@F1 @F2 @x ; @y
.
Consecuencias del teorema anterior Si R2R es simplemente conexo y F~ es de clase 1 y solenoidal en (es decir, si divF~ = 0 en F~ ~n dr = 0 para toda curva de Jordan (C 1 a trozos y contenida en ) entonces
)
En un resultado anterior vimos que en el caso de campos que veri…caban la igualdad de derivadas cruzadas en un recinto conexo , la circulación sobre una curva cerrada no varía si la curva se deforma de manera continua sin salirnos de . Pues bien, razonando de forma análoga se sigue de forma inmediata: Proposición 34 Sea R2 conexo (no necesariamente simplemente conexo) y F~ : ! R2 de clase 1 y solenoidal en . Sean 1 y 2 curvas de Jordan C 1 a trozos contenidas en tales que 2 se puede obtener “deformando 1 de manera continua sin salirnos de ”.
Entonces 9.3.5.
R
1
F~ ~n dr =
R
F~ ~n dr
2
Fórmulas de Green
Proposición 35 Fórmulas de Green.(i) Sea R2 abierto simplemente conexo y sea curva de Jordan, C 1 a trozos, contenida en y con orientación positiva. Denotemos por R al interior de (ii) Sean u; v : ! R, u; v 2 C 1 ( ). Entonces se veri…ca: (1) Z Z Z Z Z @v @u vdxdy = uvn1 ds u dxdy @x @x Z ZR Z Z ZR @u @v vdxdy = uvn2 ds u dxdy R @y R @y (obsérvese que estos resultados guardan cierta analogía con la integración por partes de funciones reales de variable real) (2) Z Z Z @v @v @u @u uvdx + uvdy = v +u dxdy @x @y @x @y R (3) Si u 2 C 2 ( )
Z Z
R
donde
@u @n
v udxdy =
Z
@u v dr @n
Z Z
gradu gradvdxdy
R
:=gradu ~n siendo ~n el vector normal unitario saliente a la curva.
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