11 Circuitos Polifásicos*
Introducción La mayor parte de la potencia es entregada a los consumidores en la forma de voltajes y corrientes sinusoidales, típicamente conocidas como corriente alterna o simplemente CA. Aunque hay excepciones, por ejemplo, algunos tipos de motores de trenes, la mayoría de los equipos están diseñados para trabajar en ya sea 50 o 60 Hz. La mayoría de los sistemas de 60 Hz están ahora estandarizados para trabajar con 120 V, en tanto que los sistemas de 50 Hz trabajan típicamente con 240 V (ambos voltajes mencionados están en valores eficaces o rms). El voltaje real suministrado a un artefacto puede variar un poco con respecto a estos valores, y los sistemas de distribución emplean voltajes significativamente más altos para minimizar la corriente y por tanto el tamaño de los cables. Originalmente Thomas Edison abogó por una red de distribución de CD únicamente, supuestamente debido a su preferencia por el álgebra más sencilla que se requería para analizar esos circuitos. Nikola Tesla y George Westinghouse, otros dos pioneros en el campo de la electricidad, propusieron sistemas de distribución de CA ya que las pérdidas que se presentaban eran significativamente más bajas. Finalmente fueron más persuasivos, a pesar de algunas demostraciones más bien teatrales por parte de Edison. Cuando se determina la demanda pico de la potencia, interesa la respuesta transitoria de los sistemas de potencia de CA, ya que la mayoría de los equipos requiere más corriente durante el arranque que cuando trabaja continuamente. Sin embargo, a menudo es la operación en estado estacionario (o régimen permanente) la que es de mayor interés, de modo que nuestra experiencia con el análisis fasorial demostrará su utilidad. En este capítulo se introduce un nuevo tipo de fuente de voltaje, la fuente trifásica, la cual puede conectarse bien sea en una configuración en Y de tres o cuatro alambres o en una configuración en . Las cargas también están conectadas en Y o en , dependiendo de la aplicación. También se introducen circuitos diseñados para manejar grandes cantidades de potencia eléctrica. Éstos son los circuitos que se utilizan para transportar la potencia eléctrica desde las plantas generadoras hasta los consumidores tanto industriales como residenciales. Por razones económicas, los sistemas trifásicos normalmente se diseñan para operar en estado de equilibro. Por consiguiente, en este estudio introductorio, solamente consideraremos circuitos equilibrados. El análisis de circuitos trifásicos no equilibrados depende bastante en una buena comprensión de los circuitos balanceados. 11.1
Sistemas Polifásicos
Hasta ahora, siempre que se ha utilizado el término “fuente sinusoidal”, se piensa en un solo voltaje o corriente sinusoidal con una amplitud, frecuencia y fase particulares. En este capítulo, se introduce el concepto de fuentes polifásicas , con atención particular en los sistemas trifásicos. Hay dos ventajas específicas al usar maquinaria rotativa para generar potencia trifásica en vez potencia monofásica, y hay ventajas económicas que favorecen la transmisión de potencia en un sistema trifásico. Aunque la mayoría del equipo eléctrico que hemos encontrado hasta este punto es de una sola fase, los equipos trifásicos no son poco comunes, especialmente en ambientes Estas notas fueron preparadas tomando como base los textos siguientes: Circuitos Eléctricos: Jesús Fraile Mora, (2012) Engineering Circuit Analysis: Hayt, W.H.; Kemmerly, J.E.; Durbin, S. M ., 8va. Ed. (2012) Electric Circuits: Nilsson, J. W., Riedel, S. A. , 10ma. Ed. (2015) Introduction to Electric Circuits: Svoboda, J.; Dorf, R., 9na. Ed. (2013) Fundamentals of Electric Circuits: Alexander, C., Sadiku, M., M., 5ta. Ed. (2013)
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manufactureros. En particular, los motores usados en grandes sistemas de refrigeración y en instalaciones de maquinado a menudo están diseñados para trabajar con potencia trifásica. Para el resto de las aplicaciones, una vez que nos hayamos familiarizado con las propiedades básicas de los sistemas polifásicos, encontraremos que es sencillo obtener potencia monofásica con sólo conectar un “brazo” de un sistema polifásico. Estudiemos brevemente el sistema polifásico más común, un sistema trifásico equilibrado. La fuente tiene tres terminales, a, b y c (sin contar una conexión neutra o tierra ) y mediciones con un voltímetro mostrarán que se tienen voltajes sinusoidales de igual amplitud entre dos terminales cualesquiera. Sin embargo, estos voltajes no están en fase; cada uno de los tres voltajes está desfasado 120° con respecto a los otros dos, el signo del ángulo de fase depende de la orientación de los voltajes. Un conjunto posible de voltajes se muestra en la Fig. 11.1. Las expresiones matemáticas de estos tres voltajes son van (t ) 2 V cos t ,
vbn (t) 2 V cos t 120
vcn (t ) 2 V cos t 240 2 V cos t 120
Este conjunto de tensiones y su representación fasorial constituyen un sistema simétrico ya que está formado por tres tensiones sinusoidales con el mismo valor eficaz V , la misma frecuencia y con el mismo desfase. Una carga equilibrada extrae la misma potencia de todas las tres fases. En ningún momento la potencia instantánea tomada por la carga total se hace cero; de hecho, como se demostrará más adelante, la potencia instantánea total es constante. Esto es una ventaja en maquinaria rotativa, ya que mantiene el par sobre el motor mucho más
constante que lo que sería si se usase una fuente monofásica. Como un resultado, hay menos vibraciones.
Figura 11.1 Un ejemplo de un conjunto de tres voltajes, cada uno de los cuales
está desfasado 120° con respecto a los otros dos. Como puede verse, sólo uno de los voltajes es cero en cualquier instante en particular.
El uso de un mayor número de fases, tales como sistemas de 6 y 12 fases, está limitado casi completamente al suministro de potencia para grandes rectificadores. Los rectificadores convierten corriente alterna en corriente directa permitiendo que la corriente fluya hacia la carga en una dirección, de modo que el signo del voltaje a través de la carga permanece sin cambios. La salida del rectificador es una corriente directa más una componente pulsante más pequeña, o rizo, el cual disminuye conforme aumente el número de fase. Casi sin excepción, los sistemas polifásicos prácticos contienen fuentes que pueden aproximarse bastante bien mediante fuentes ideales de voltajes o mediante fuentes ideales de voltaje en serie con pequeñas impedancias internas. Las fuentes de corriente trifásica son raras en extremo. Notación de Doble Subíndice Es conveniente describir voltajes y corrientes polifásicos usando una notación de doble subíndice . Con esta notación, un voltaje o corriente, como por ejemplo Vab o IaA, tiene más significado que se indicase simplemente como V3 o Ix. Por definición, el voltaje del punto a con respecto al punto b es Vab. Así, el signo más (“+”) está ubicado en a, como indica la Fig. 11.2a. Por tanto, los subíndices dobles se consideran como equivalentes a un par de signos más-menos: el uso de ambos sería redundante. Con referencia a la Fig. 11.2b, por ejemplo, vemos que
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manufactureros. En particular, los motores usados en grandes sistemas de refrigeración y en instalaciones de maquinado a menudo están diseñados para trabajar con potencia trifásica. Para el resto de las aplicaciones, una vez que nos hayamos familiarizado con las propiedades básicas de los sistemas polifásicos, encontraremos que es sencillo obtener potencia monofásica con sólo conectar un “brazo” de un sistema polifásico. Estudiemos brevemente el sistema polifásico más común, un sistema trifásico equilibrado. La fuente tiene tres terminales, a, b y c (sin contar una conexión neutra o tierra ) y mediciones con un voltímetro mostrarán que se tienen voltajes sinusoidales de igual amplitud entre dos terminales cualesquiera. Sin embargo, estos voltajes no están en fase; cada uno de los tres voltajes está desfasado 120° con respecto a los otros dos, el signo del ángulo de fase depende de la orientación de los voltajes. Un conjunto posible de voltajes se muestra en la Fig. 11.1. Las expresiones matemáticas de estos tres voltajes son van (t ) 2 V cos t ,
vbn (t) 2 V cos t 120
vcn (t ) 2 V cos t 240 2 V cos t 120
Este conjunto de tensiones y su representación fasorial constituyen un sistema simétrico ya que está formado por tres tensiones sinusoidales con el mismo valor eficaz V , la misma frecuencia y con el mismo desfase. Una carga equilibrada extrae la misma potencia de todas las tres fases. En ningún momento la potencia instantánea tomada por la carga total se hace cero; de hecho, como se demostrará más adelante, la potencia instantánea total es constante. Esto es una ventaja en maquinaria rotativa, ya que mantiene el par sobre el motor mucho más
constante que lo que sería si se usase una fuente monofásica. Como un resultado, hay menos vibraciones.
Figura 11.1 Un ejemplo de un conjunto de tres voltajes, cada uno de los cuales
está desfasado 120° con respecto a los otros dos. Como puede verse, sólo uno de los voltajes es cero en cualquier instante en particular.
El uso de un mayor número de fases, tales como sistemas de 6 y 12 fases, está limitado casi completamente al suministro de potencia para grandes rectificadores. Los rectificadores convierten corriente alterna en corriente directa permitiendo que la corriente fluya hacia la carga en una dirección, de modo que el signo del voltaje a través de la carga permanece sin cambios. La salida del rectificador es una corriente directa más una componente pulsante más pequeña, o rizo, el cual disminuye conforme aumente el número de fase. Casi sin excepción, los sistemas polifásicos prácticos contienen fuentes que pueden aproximarse bastante bien mediante fuentes ideales de voltajes o mediante fuentes ideales de voltaje en serie con pequeñas impedancias internas. Las fuentes de corriente trifásica son raras en extremo. Notación de Doble Subíndice Es conveniente describir voltajes y corrientes polifásicos usando una notación de doble subíndice . Con esta notación, un voltaje o corriente, como por ejemplo Vab o IaA, tiene más significado que se indicase simplemente como V3 o Ix. Por definición, el voltaje del punto a con respecto al punto b es Vab. Así, el signo más (“+”) está ubicado en a, como indica la Fig. 11.2a. Por tanto, los subíndices dobles se consideran como equivalentes a un par de signos más-menos: el uso de ambos sería redundante. Con referencia a la Fig. 11.2b, por ejemplo, vemos que
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La ventaja de la notación de doble subíndice está en el hecho de que la ley de voltajes de Kirchhoff requiere que el voltaje entre dos puntos sea el mismo, indiferente de la trayectoria escogida entre los puntos, así Vad Vab Vbd Vac Vcd Vab Vbc Vcd , y así sucesivamente. El beneficio de esto es que la LVK debe satisfacerse sin referencia al diagrama del circuito: se pueden escribir ecuaciones correctas aunque se incluya un punto, o letra de subíndice que no esté marcado en el diagrama. Por ejemplo, se podría haber escrito Vad Vax Vxd , donde x identifica la posición de cualquier punto de interés de nuestra selección. Vad
Vab Vcd .
Figura 11.2 (a) La definición del voltaje Vab. (b)
Vad
Vab Vbc Vcd Vab Vcd
.
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Una representación posible de un sistema de voltajes trifásicos se muestra en la Fig. 11.3.
Sistema de voltajes trifásicos como ejemplo numérico de la notación de doble subíndice para el voltaje.
Figura 11.3
Supóngase que se conocen los voltajes Van,, Vbn y Vcn: Van
1000 V,
Vbn
100 120 V,
Vcn
100 240 V
El voltaje Vab puede hallarse, tomando en cuenta los subíndices, como Vab
Van Vnb
Van
Vbn
10 1000 100120 100 50 j 86.6 173.230 V
Los tres voltajes dados y la construcción del fasor Vab se muestran en el diagrama fasorial de la Fig. 11.4.
Para cumplir con la convención de la industria eléctrica, se usarán implícitamente valores eficaces (rms) para corrientes y voltajes a través de este capítulo.
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Este diagrama fasorial ilustra el uso gráfica de la convención de doble subíndice para el voltaje para obtener Vab para la red en la Fig. 11.3. Figura 11.4
Una notación de doble subíndice también puede aplicarse a las corrientes. La corriente Iab se define como la corriente que fluye desde a hasta b por la trayectoria más directa . En cada circuito completo que se considere, debe haber por supuesto por lo menos dos posibles trayectorias entre los puntos a y b, y acordamos que no se usará la notación de doble subíndice a menos que sea obvio que una trayectoria es mucho más corta o mucho más directa. Usualmente, esta trayectoria es a través de un solo elemento. Así, la corriente Iab está indicada correctamente en la Fig. 11.5. De hecho, ni siquiera se necesita la flecha de la dirección cuando se habla acerca de esta corriente; los subíndices nos dicen la dirección. Sin embargo, la identificación de una corriente como Icd para el circuito de la Fig. 11.5 producirá confusión.
Figura 11.5 Una ilustración del uso y del falso uso de la convención de
doble subíndice para notación de corrientes.
Problemas de Práctica 11.1
Sea
11.2
Refiérase al circuito de la Fig. 11.6 y sean I fj = 3 A, Ide = 2 A e Ihd = 6 A. Calcular (a) Icd; (b) Ief ; (c) Iij.
Vab
1000 V ,
Vbd
4080 V y
Vca
70200 V . Determinar (a) Vad: (b) Vbc; Vcd.
Figura 11.6
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11.2
Sistemas Monofásicos de Tres Hilos
Antes de estudiar sistemas polifásicos en detalle, puede ser de utilidad mirar primero un sencillo sistema monofásico de tres hilos. Una fuente monofásica de tres alambres se define como una fuente que tiene tres terminales de salida, tales como a, n y b en la Fig. 11.7a, en la cual los voltajes fasoriales Van y Vnb son iguales. La fuente puede entonces representarse por la combinación de fuentes de voltajes idénticas; en la Fig. 11.7b, Van Vnb V1 . Es obvio que Vab 2 Van 2 Vnb y por tanto se tiene una fuente a la cual se pueden conectar cargas que operan con cualquiera de los dos voltajes. El sistema residencial en Norteamérica es monofásico de tres hilos, lo que permite la operación de aparatos de 110 V y 220 V. Los aparatos de voltaje más alto son normalmente aquellos que demandan grandes cantidades de potencia; la operación a un voltaje mayor resulta en la extracción de una corriente menor para la misma potencia. En consecuencia, se pueden usar sin ningún peligro alambres de diámetro menor en los aparatos, en el sistema de distribución residencial y en el sistema de distribución de la compañía de electricidad, ya que se debe usar alambre de mayor diámetro con corrientes más altas para reducir el calor producido por la resistencia de los alambres. El nombre monofásico se origina debido a que los voltajes Van y Vnb, como son iguales, deben tener el mismo ángulo de fase. Sin embargo, desde otro punto de vista, los voltajes entre los alambres externos y el alambre central, al que usualmente se le refiere como el neutro, están desfasados exactamente 180°. Esto es, Van Vbn y Van Vbn 0 . Más adelante se verá que los sistemas polifásicos equilibrados se caracterizan mediante un conjunto de voltajes de igual amplitud cuya suma (fasorial) es cero. Desde este punto de vista, entonces, el sistema monofásico de tres hilos es realmente un sistema bifásico equilibrado. Sin embargo, bifásico es un término que tradicionalmente se reserva para un sistema desequilibrado relativamente sin importancia que utiliza dos fuentes de voltajes que están 90° fuera de fase.
Figura 11.7 (a) Fuente monofásica de tres hilos. ( b) La representación de una
fuente monofásica de tres hilos mediante dos fuentes de voltaje idénticas.
Considérese ahora un sistema monofásico de tres hilos que contiene cargas idénticas Z p entre cada alambre externo y el neutro (Fig. 11.8). Primero se supone que los alambres que conectan la fuente a la carga son conductores perfectos. Puesto que Van
V nb
entonces, I aA
Van Z p
IBb
V nb
Zp
y por tanto InN
I Bb I Aa I Bb IaA 0
Así pues, no hay corriente en el alambre neutro y podría removerse sin cambiar ninguna corriente o voltaje en el sistema. Este resultado se consigue debido a la igualdad de las dos cargas y de las dos fuentes.
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Figura 11.8 Un sistema monofásico sencillo de tres hilos. Las dos
cargas son idénticas y la corriente en el neutro es cero.
Efecto de una Impedancia Finita de los Alambres A continuación se considera el efecto de una impedancia finita en cada uno de los alambres. Si las líneas aA y bB tienen la misma impedancia, esta impedancia puede añadirse a Z p, lo que resulta de nuevo en dos cargas iguales, y corriente cero en el neutro. Permitamos ahora que el alambre neutro posea alguna impedancia Zn. Sin entrar en un análisis detallado, la superposición debe mostrar que la simetría del circuito todavía producirá una corriente cero en el neutro. Además, la adición de cualquier impedancia conectada directamente desde una de las líneas exteriores a la otra línea exterior también producirá un circuito simétrico y corriente cero en el neutro. De modo que una corriente en el neutro igual a cero es una consecuencia de una carga equilibrada o simétrica; una impedancia diferente de cero en el neutro no acaba con la simetría. El sistema monofásico de tres hilos más general contendrá cargas desiguales entre cada línea exterior y el neutro y otra carga conectada directamente entre las dos líneas externas; se puede esperar que las impedancias de las dos líneas externas sean aproximadamente iguales, pero la impedancia del neutro con frecuencia es ligeramente mayor. Consideremos un ejemplo de un sistema así, con interés particular en la corriente que puede fluir por el alambre neutro y también en la eficiencia global con la que nuestro sistema está transmitiendo potencia a la carga desequilibrada. Ejemplo 11.1
Analice el sistema mostrado en la Fig. 11.9 y determine la potencia entregada a cada una de las tres cargas y también la potencia perdida en el alambre neutro y en cada una de las dos líneas.
Figura 11.9 Un sistema monofásico de tres hilos típico.
Identifique el objetivo del problema
Las tres cargas en el circuito son el resistor de 50 , el resistor de 100 y una impedancia de 20 j10 . Cada una de las dos líneas tiene una resistencia de 1 y el alambre neutro tiene una resistencia de 3 . Se busca la corriente que pasa por cada uno de ellos para determinar la potencia.
7 Recopilar la información conocida
Tenemos un sistema monofásico de tres hilos; el diagrama del circuito de la Fig. 11.9 está completamente identificado. Las corrientes calculadas estarán en valores eficaces (rms). Elabore un plan
El circuito conduce al análisis de mallas, pues tiene tres mallas claramente definidas. El resultado del análisis será un conjunto de corriente de malla, las cuales pueden entonces usarse para calcular la potencia absorbida. Construya un conjunto apropiado de ecuaciones Las tres ecuaciones de malla son: 115 0 I1 50 I 1 I 2 3 I 1 I 3 0
20 j10 I 2 100 I 2 I 3 50 I 2 I1 0 1150 3 I 3 I 1 100 I 3 I 2 I 3 0 las cuales pueden reacomodarse para obtener las tres ecuaciones siguientes: 54I 1
50I 2
3I 3 1150
50I1 170 j 10 I 2 100I 3 0 3I1
100I 2 104I 3 1150
Tenemos un conjunto de tres ecuaciones con tres incógnitas, de modo que es posible intentar una solución en este punto.
Determine si se requiere información adicional
Buscar la solución
Resolviendo por las corrientes fasoriales I1, I2 e I3 se encuentra que I1
11.24 19.83 A
I2
9.389 24.47 A
I3
10.37 21.80 A
Por tanto, las corrientes en las líneas exteriores son I aA
I1 11.24 19.83 A
IbB
I 3 10.37 158.20 A
e y la corriente más baja en el neutro es InN
I 3 I 1 0.9459 177.7 A
Ahora se puede determinar la potencia promedio que demanda por cada carga: P50
I1
I2
P100
I3
I2
P20 j 10
I2
2
2
50 206 W
2
100 117 W
20 1763 W
La potencia total en la carga es 2086 W. A continuación se calcula la pérdida en cada uno de los alambres: PaA
I1
2
(1) 126 W PnN
I nN
PbB 2
I3
2
(1) 108 W
(3) 3 W
lo que da una pérdida total de 237 W. Los alambres son, claramente, bastante largos; de lo contrario, la pérdida de potencia relativamente alta en las dos líneas exteriores provocaría un peligroso aumento en la temperatura.
8 Verificar la solución. ¿Es razonable o es la esperada?
La potencia total absorbida es 206 + 117 + 1763 + 237, o 2323 W, lo cual puede verificarse calculando la potencia entregada por cada fuente de voltaje: Pan 115 11.24 cos 19.83 1216 W Pbn 115 10.37 cos 21.80 1107 W
o un total de 2323 W. La eficiencia de transmisión para el sistema es
potencia total entregada a la carga 2086 89.8% potencia total gnerada 2086 237
Este valor no sería creíble para una máquina de vapor o una máquina de combustión interna, pero es demasiado bajo para un sistema de distribución bien diseñado. Se deben utilizar alambres de mayor diámetro si la fuente y la carga no pueden ubicarse más cerca entre sí. En la Fig. 11.10 se ilustra un diagrama fasorial que muestra los dos voltajes de la fuente, las corrientes en las líneas exteriores y la corriente en el neutro. En el diagrama se indicia el hecho de que I aA IbB InN 0 .
Figura 11.10 Los voltajes de la fuente y tres de las corrientes de la Fig. 11.9 se muestran en una diagrama fasorial. Observe que IaA + IbB + InN = 0.
Problema de Práctica Modifique la Fig. 11.9 añadiendo una resistencia de 1.5 a cada una de las dos líneas exteriores y una resistencia de 2.5 al conductor neutro. Encuentre la potencia promedio entregada a cada una de las tres cargas. 11.3
Resp: 153.1 W; 95.8 W; 1374 W.
CAPÍTULO 11 Nilsson, J. W., Riedel, Susan: Electric Circuits (10ma. Ed.)
Circuitos Trifásicos Equilibrados
La generación, transmisión, distribución y uso de grandes bloques de potencia eléctrica se consigue con circuitos trifásicos. El análisis general de estos sistemas es un campo de estudio por derecho propio; no podemos esperar cubrirlo en un solo capítulo. Afortunadamente, los ingenieros que no se especializan en sistemas de potencia solamente necesitan entender el comportamiento en estado estacionario sinusoidal de circuitos trifásicos equilibrados. Más adelante en el estudio definimos lo que se entiende por un circuito equilibrado. Las mismas técnicas de análisis de circuitos estudiadas en los capítulos anteriores pueden aplicarse a circuito trifásicos equilibrados o no equilibrados. Aquí usamos estas conocidas técnicas para desarrollar varios atajos en el análisis de circuitos trifásicos equilibrados. Por razones económicas, los sistemas trifásicos usualmente se diseñan para operar en estado equilibrado. Por tanto, en este tratamiento introductorio, podemos justificar la consideración de circuitos equilibrados únicamente. El análisis de circuitos trifásicos desequilibrados, que encontrará si estudia potencia eléctrica en cursos posteriores, depende en gran parte de una comprensión de los circuitos equilibrados. La estructura básica de un sistema trifásico está formada por fuentes de voltaje conectadas a cargas mediante transformadores y líneas de transmisión. Para analizar estos circuitos, podemos reducirlo a una fuente de voltaje conectada a una carga a través de una línea. La omisión del transformador simplifica el estudio sin arriesgar un entendimiento básico de los cálculos involucrados. La Fig. 11.1 muestra un circuito básico. Una característica que define un circuito trifásico equilibrado es que contiene un conjunto de voltajes trifásicos en su fuente. Comenzamos por considerar estos voltajes y después nos desplazamos hacia las relaciones de voltaje y corriente para los circuitos Y-Y y Y- . Después de considerar el voltaje y la corriente en estos circuitos, concluimos con secciones sobre potencia y su medición.
Figura 11.1 Un circuito trifásico básico.
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11.1 Voltajes Trifásicos Equilibrados Un conjunto de voltajes trifásicos equilibrados consiste de tres voltajes sinusoidales que tienen amplitudes y frecuencias idénticas pare con un desfase entre ellos de exactamente 120°. La práctica estándar es referirse a las tres fases como a, b y c, y usar la pase a como la fase de referencia. A los tres voltajes se les refiere como el voltaje de la fase a, el voltaje de la fase b y el voltaje de la fase c. Sólo pueden existir dos relaciones de fases posibles entre el voltaje de la fase y los voltajes de las fases b y c. Una posibilidad es que el voltaje de la fase b atrase al de la fase a por 120°, en cuyo caso el voltaje de la fase c debe adelantar al de la fase a por 120°. Esta relación de fase se conoce como la secuencia de fases abc (o positiva). La única otra posibilidad es que el voltaje de la fase b adelante al de la fase a por 120°, en cuyo caso el voltaje de la fase c se atrasa con respecto al de la fase a por 120°. Esta relación de fases se conoce como la secuencia de fases acb (o negativa). En notación fasorial, los dos conjuntos posibles de voltajes de fase equilibrados son Va V m0 Vb
V m 120
Vc
V m 120
Va
V m0
Vb
V m 120
Vc
V m 120
(11.1)
y (11.2)
Las Ecs. 11.1 son para la secuencia abc, o positiva. Las Ecs. 11.2 son para la secuencia acb, o negativa. La Fig. 11.2 muestra los diagramas fasoriales de los conjuntos de voltajes en las Ecs. 11.1 y 11.2. La secuencia de fase es el orden en sentido horario de los subíndices alrededor del diagrama con Va como referencia. El hecho de que un circuito trifásico puede tener sólo una de dos secuencias de fases debe tomarse en cuenta siempre que dos de estos circuitos operen en paralelo. Los circuitos pueden operar en paralelo únicamente si tienen la misma secuencia de fases.
Figura 11.2 Diagrama fasorial de un conjunto equilibrado de voltajes trifásicos. (a) La secuencia abc (positiva). (b) La secuencia acb (negativa).
Otra característica importante de un conjunto de voltajes trifásicos equilibrados es que la suma de los voltajes es cero. Así, de la Ec. 11.1 o bien de la 11.2, se obtiene Va
Vb Vc 0
(11.3)
11
Puesto que la suma de los voltajes fasoriales es cero, la suma de los voltajes instantáneos también es cero; es decir, (11.4) va vb vc 0 Ahora que conocemos la naturaleza de un conjunto equilibrado de voltajes trifásicos, podemos expresar el primero de los atajos analíticos mencionados en la introducción a este capítulo. Si conocemos la secuencia de fases y un voltaje del conjunto, conocemos todo el conjunto. Por tanto, para un sistema trifásico equilibrado, podemos concentrarnos en determinar el voltaje (o la corriente) en una fase, porque una vez conocida una cantidad de fase, conocemos todas las demás.
11.2 Fuentes de Voltaje Trifásicas Una fuente de voltaje trifásica es un generador con tres devanados separados distribuidos en la periferia del estator. Cada devanado forma una fase del generador. El rotor del generador es un electroimán conducido a velocidad sincrónica por un impulsor primario, como por ejemplo una turbina a vapor o a gas. La rotación del electroimán induce un voltaje sinusoidal en cada devanado. Los devanados de fase están diseñados de modo que los voltajes sinusoidales inducidos en ellos sean de la misma amplitud y tengan entre ellos un desfase de 120°. La devanados de las fases son estacionarios con respecto al electroimán rotativo, y por eso la frecuencia del voltaje inducido en cada devanado es la misma. La Fig. 11.2 muestra una imagen de una fuente trifásica de dos polos.
Figura 11.3 Una imagen de una fuente de voltaje trifásico.
Hay dos formas de interconectar los devanados de fase para forman una fuente trifásica: en una configuración en estrella (Y) o bien en una delta (). La Fig. 11.4 muestra ambas, con fuentes de voltaje ideales usadas para modelar los devanados de fase del generador trifásico. El terminal común en la fuente conectada en Y, marcado n en la Fig. 11.4(a) se llama el terminal neutro de la fuente. Este terminal puede estar disponible o no para conexiones externas. Algunas veces, la impedancia de cada devanado de fase es tan pequeña (comparada con otras impedancias en el circuito) que no es necesario incluirlas en el modelo del generador; el modelo consiste solamente de fuentes de
12
voltaje ideales, como en la Fig. 11.4. Sin embargo, si la impedancia de cada devanado de fase no es insignificante, colocamos esta impedancia en serie con la fuente de voltaje sinusoidal ideal. Todos los devanados en la máquina tienen la misma construcción, así que suponemos que sus impedancias son idénticas. La impedancia del devanado de un generador trifásico es inductiva. La Fig. 11.5 muestra un modelo de este tipo de máquina, en la cual la Rw resistencia del devanado, y X w es la reactancia inductiva.
Figura 11.4 Las dos conexiones básicas de una fuente trifásica ideal. (a) Una fuente conectada en Y. (b) Una fuente conectada en .
Figura 11.5 Un modelo de una fuente trifásica con impedancia de los devanados: (a) Una fuente conectada en Y; y (b) una fuente conectada en .
Puesto que las fuentes y cargas trifásicas pueden conectarse bien sea en Y o en , el circuito básico en la Fig. 11.1 representa cuatro configuraciones diferentes: Fuente
Carga
Y
Y
Y
Y
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Comenzamos con el estudio del circuito Y-Y. Los otros tres arreglos pueden reducirse a un circuito equivalente Y-Y, de manera que el análisis del circuito Y-Y es la clave para resolver todos los arreglos trifásicos equilibrados. Después se ilustrará la reducción del arreglo Y- y le dejamos al lector el análisis de los arreglos -Y y - en los Problemas.
11.3 Análisis del Circuito Estrella-Estrella La Fig. 11.6 ilustra un circuito Y-Y general, en el cual se incluye un cuarto conductor que conecta el neutro de La fuente con el neutro de la carga. Un cuarto conductor es posible solamente en la configuración Y-Y. Por conveniencia, transformamos las conexiones Y en “tés invertidas”. En la Fig. 11.6 Zga , Zgb y Zgc representan la impedancia interna asociada con cada devanado de fase del generador de voltaje; Z1a , Z1b y Z1c representan la impedancia de la carga; Z0 es la impedancia del conductor neutro que conecta el neutro de la fuente con el neutro de la carga; y ZA , ZB y ZC representan la impedancia de cada fase de la carga. Este circuito se puede describir con una sola ecuación de voltajes nodales. Usando el neutro de Lafuente como el nodo de referencia y denotando por VN el voltaje nodal entre los nodos N y n, encontramos que la ecuación de los voltajes nodales es VN
Z0
Van VN Vbn VN Vcn 0 ZA Z1a Zga ZB Z1b Zgb ZC Z 1c Z gc VN
(11.5)
Ésta es la ecuación general para cualquier circuito de la configuración Y-Y mostrada en la Fig. 11.6. Pero podemos simplificar significativamente la Ec. 11.5 si ahora consideramos la definición formal de un circuito trifásico equilibrado. Este circuito satisface los criterios siguientes: 1. 2. 3. 4.
Las fuentes de voltaje forman un conjunto equilibrado de voltajes de fases. En la Fig. 11.6, esto significa que Van , Vbn y Vcn forman un conjunto de voltajes trifásicos equilibrados. La impedancia de cada fase de la fuente de voltaje es la misma. En la Fig. 11.6, esto significa que Zga Zgb Zgc . La impedancia de cada conductor de línea (o fase) es la misma. En la Fig. 11.6, esto significa que Z1a Z1b Z1c La impedancia de cada fase de la carga es la misma. En la Fig. 11.6, esto significa que ZA ZB ZC
Figura 11.6 Un sistema trifásico Y-Y.
14
No hay ninguna restricción sobre la impedancia de un conductor neutro; su valor no tiene efecto sobre la condición de que el sistema esté equilibrado. Si el circuito en la Fig. 11.6 está equilibrado, podemos reescribir la Ec. 11.5 en la forma VN
1 1 Van Vbn Vcn Z Z Z 0
(11.6)
donde Z ZA Z1a Zga ZB Z1b Zgb ZC Z1c Zgc
El lado derecho de la Ec. 11.6 es cero porque, por hipótesis, el numerador es un conjunto de voltajes trifásicos equilibrados y Z no es cero. El único valor de VN que satisface la Ec. 11.6 es cero. Por tanto, para un circuito trifásico equilibrado, VN
0
(11.7)
La Ec. 11.7 es extremadamente importante. Si VN es cero, no hay una diferencia de potencial entre el neutro de la fuente, n, y el neutro de la carga, N; como consecuencia, la corriente en el conductor neutro es cero. Por tanto, podemos remover el conductor neutro en una configuración Y-Y equilibrada I0 0 o bien reemplazarlo con un cortocircuito perfecto entre los nodos n y N VN 0 . El uso de ambos circuitos equivalentes es conveniente cuando se modelan circuitos trifásicos equilibrados. Ahora iniciamos el análisis del efecto que tienen unas condiciones equilibradas sobre las tres corrientes de línea. Remitiéndonos a la Fig. 11.6, cuando el sistema es equilibrado, las tres corrientes de líneas son IaA
VN V an ZA Z1a Zga Z
(11.8)
I bB
V VN bn ZB Z1b Zgb Z
(11.9)
IcC
V VN an ZC Z1c Zgc Z
(11.10)
Van
Van
Vcn
Aquí vemos que las tres corrientes de línea forman un conjunto equilibrado de tres corrientes de fase; es decir, la corriente en cada línea es igual en amplitud y frecuencia y tiene un desfase de 120° con las otras dos corrientes de línea. Por tanto, si calculamos la corriente IaA y conocemos la secuencia de fases, tenemos una forma abreviada para hallar IbB e IcC . Este procedimiento es muy parecido al atajo usado para hallar los voltajes de fase b y c de la fuente. Podemos usar la Ec. 11.8 para construir un circuito equivalente para la fase a del circuito Y-Y equilibrado. A partir de esta ecuación, la corriente en el conductor de la fase a es simplemente el voltaje generado en el devanado de la fase a del generador dividido por la impedancia total en la fase a del circuito. Así, la Ec. 11.8 describe el circuito sencillo mostrado en la Fig. 11.7, en el cual el conductor neutro ha sido reemplazado por un cortocircuito perfecto. El circuito en la Fig. 11.7 se conoce como el circuito monofásico equivalente de un circuito trifásico equilibrado. Debido a las relaciones establecidas entre las fases, una vez que se resuelve este circuito, podemos fácilmente escribir los voltajes y corrientes en las otras dos fases. Por tanto, dibujar un circuito monofásico equivalente es un primer paso muy importante en el análisis de un circuito trifásico.
15
Figura 11.7 Un circuito monofásico equivalente.
Aquí una palabra de advertencia. La corriente en el conductor neutro en la Fig. 11.7 es IaA , que no es la misma que la corriente en el conductor neutro del circuito trifásico equilibrado, la cual es Io
IaA I bB IcC
(11.11)
Por tanto, el circuito mostrado en la Fig. 11.7 da el valor correcto de la corriente de línea pero sólo la componente de la fase a de la corriente en el neutro. Siempre que este circuito monofásico equivalente sea aplicable, las corrientes de línea forman un conjunto trifásico equilibrado y el lado derecho de la Ec. 11.11 suma cero. Una vez conocida la corriente de línea en la Fig. 11.7, el cálculo de cualesquiera voltajes de interés es relativamente sencillo. De particular interés es la relación entre los voltajes de línea a línea y los voltajes de línea a neutro. Estableceremos esta relación en los terminales de carga, pero nuestras observaciones también aplican en los terminales de la fuente. Los voltajes de línea a línea en los terminales de carga pueden verse en la Fig. 11.8. Ellos son, donde la notación de doble subíndice indica una caída de voltaje entre el primer nodo nombrado y el segundo. (Como estamos interesados en el estado equilibrado, hemos omitido el conductor neutro en la Fig. 11.8.)
Figura 11.8 Voltajes de línea a línea y de línea a neutro.
Los voltajes de línea a neutro son VAN , VBN y VCN . Ahora podemos describir los voltajes de línea a línea en términos de los voltajes de línea a neutro, usando la ley de voltajes de Kirchhoff: VAB
VAN VBN
(11.12)
VBC
VBN VCN
(11.13)
VCA
VCN VAN
(11.14)
Para mostrar la relación entre los voltajes de línea a línea y los voltajes de línea a neutro, suponemos una secuencia positiva (abc). Usando el voltaje de línea a neutro de la fase a como la referencia,
16
donde
V
VAN
V 0
(11.15)
VBN
V 120
(11.16)
VCN
V 120
(11.17)
representa la magnitud del voltaje de línea a neutro. Sustituyendo las Ecs. 11.15 – 11.17 en las Ecs.
11.12 – 11.14, respectivamente, se obtiene VAB
V 0 V 120 3 V 30
(11.18)
VBC
V 120 V120 3 V 90
(11.19)
VCA
V 120 V10 3 V 150
(11.20)
Las Ecs. 11.18 – 11.10 revelan que 11.1 La magnitud del voltaje de línea a línea es 3 veces la magnitud del voltaje de línea a neutro. 11.2 Los voltajes de línea a línea forman un conjunto de voltajes trifásicos equilibrados. 11.3 El conjunto de voltajes de línea a línea adelanta al conjunto de voltajes de línea a neutro por 30°.
Dejamos para el lector la demostración de que para una secuencia negativa, el único cambio es que el conjunto de voltajes de línea a línea se atrasa con respecto al conjunto de voltajes de línea a neutro por 30°. Los diagramas fasoriales en la Fig. 11.9 resumen estas observaciones. Una vez más, aquí tenemos un atajo en el análisis de un sistema equilibrado. Si se conoce el voltaje de línea a neutro en algún punto en el circuito, entonces se puede determinar fácilmente el voltaje de línea a línea en el mismo punto y viceversa.
Figura 11.9 Diagramas fasoriales que muestran la relación entre los voltajes de línea a línea y los voltajes de línea a neutro en un sistema equilibrio. (a) La secuencia abc. (b) La secuencia acb.
Ahora tomamos un momento para dar detalles sobre la terminología. El voltaje de línea se refiere al voltaje entre cualquier par de líneas; el voltaje de fase se refiere al voltaje en una sola fase. La corriente de línea se refiere a la corriente en una sola línea; la corriente de fase se refiere a la corriente en una sola fase. Observe que en una conexión , el voltaje de línea y el de fase son idénticos, y en una conexión Y, la corriente de línea y la de fase son idénticas. Debido a que los sistemas trifásicos son diseñados para manejar grandes bloques de potencia eléctrica, todas las especificaciones de voltaje y corriente se dan como valores eficaces (rms). Cuando se dan voltajes nominales,
17
éstos se refieren específicamente al voltaje nominal de línea. Así, cuando se da el voltaje nominal de una línea de transmisión trifásica como 345 kV, el valor nominal del voltaje rms de línea a línea es 345000 V. En este capítulo expresamos todos los voltajes y corrientes como valores rms. Finalmente, la letra griega phi () se usa ampliamente en la literatura para denotar una cantidad por fase. Por tanto, V , I , Z , P y Q se interpretan como voltaje/fase, corriente/fase, impedancia/fase, potencia/fase y potencia reactiva/fase, respectivamente. El Ejemplo 11.1 muestra cómo usar las observaciones hechas hasta ahora para resolver un circuito trifásico Y-Y equilibrado. Ejemplo 11.1 Análisis de un Circuito Estrella – Estrella
Un generador trifásico equilibrado conectado en Y tiene una impedancia de 0.2 + j0.5 / y un voltaje interno de 120 V/. El generador alimenta una carga trifásica equilibrada conectada en Y que tiene una impedancia de 39 + j 28 /. La impedancia de la línea que conecta el generador a la carga es 0.8 + j1.5 /. El voltaje interno de la fase a del generador se toma como el fasor de referencia. a) b) c) d) e) f) g)
Construya el circuito equivalente de la fase a del sistema. Calcule las tres corrientes de línea IaA , IbB e IcC . Calcule los tres voltajes de fase en la carga, VAN , VBN y VCN . Calcule los voltajes de línea VAB , VBC y VCA . Calcule los voltajes de fase en los terminales del generador, Van , Calcule los voltajes de línea Vab , Vbc y Vca . Repita (a)(f) para una secuencia de fases negativa.
Vbn
y Vcn .
Solución
a)
La Fig. 11.10 muestra el circuito monofásico equivalente.
Figura 11.10 El circuito monofásico equivalente para el Ejemplo 11.1.
b)
La corriente de línea en la fase a es IaA
1200 0.2 0.8 39 j (0.5 1.5 28)
1200 40 j 30
2.4 36.87
18
Para una secuencia positiva, 2.4 156.87 A
I bB
2.4 83.13 A El voltaje de fase en el terminal A de la carga es IcC
c)
39 j 28 2.4 36.87
VAN
115.22 1.19 V
Para una secuencia positiva VBN
115.22 121.19 V
VCN
115.22 118.81 V
d) Para una secuencia de fase positiva, los voltajes de línea adelantan los voltajes de fase por 30°; por tanto 3 30 VAN
VAB
199.58 28.81 V
e)
VBC
199.58 91.19 V
VCA
199.58 148.81 V
El voltaje de fase en el terminal a de la fuente es Van
120 0.2 j0.5 2.4 36.87
120 1.29 31.33
118.90 j0.67 118.90 0.32 V
Para una secuencia positiva,
f)
g)
Vbn
118.90 120.32 V
Vcn
118.90 119.68 V
Los voltajes de línea en los terminales de la fuente son Vab
3 30 Van
205.94 29.68
Vbc
205.94 90.32
Vca
205.94 149.68
El cambio en la secuencia de fases no tiene efecto sobre el circuito monofásico equivalente. Las tres corrientes de línea son IaA 2.4 36.87 A
Los voltajes de fase en la carga son
I bB
2.4 83.13 A
IcC
2.4 156.87 A
19
VAN
115.22 1.19 V
VBN
115.22 116.81 V
VCN
115.22 121.19 V
Para una secuencia de fases negativa, los voltajes de línea se retrasan 30° respecto de los voltajes de fase: VAB
3 30 VAN 199.58 31.19 V
VBC
199.58 88.81 V
VCA
199.58 151.19 V
Los voltajes de fase en los terminales del generador son Van
118.90 30.32 V
Vbn
118.90 119.68 V
Vcn
118.90 120.32 V
Los voltajes de línea en los terminales del generador son Vab
3 30 Van 205.94 30.32 V
Vbc
205.94 89.68 V
Vca
205.94 150.32 V
PROBLEMAS DE EVALUACIÓN Objetivo 1 – Saber cómo analizar un circuito estrella-estrella, equilibrado 11.1 El voltaje entre A y N en circuito trifásico equilibrado es 240 30 V. Si la secuencia de fases es positiva, ¿cuál es el valor de VBC ? Respuesta: 415 120 V. 11.2 El voltaje de la fase c de un sistema trifásico equilibrado conectado en Y es 450 25 . Si la secuencia de fases es negativa, ¿cuál es el valor de VAB ? Respuesta: 779.4265 V. 11.3 El voltaje de fase en los terminales de una carga equilibrada trifásica conectada en Y es 2400 V. La carga tiene una impedancia de 16 + j12 / y es alimentada desde una línea que tiene una impedancia de 0.10 j0.80 /. La fuente conectada en Y en el terminal generador de la línea tiene una secuencia de fases acb y una impedancia interna de 0.02 + j0.16 /. Use el voltaje de la fase a de la carga como la referencia y calcule (a) las corrientes de línea IaA , IbB e IcC ; (b) los voltajes de línea en la fuente Vab , Vbc y Vca ; y (c) los voltajes internos de base a neutro de la fuente, Van , Vbn y Vcn . Respuesta: (a)
IaA
120 36.87 A,
(b)
Vab
4275.02 28.38 V,
I bB
12083.13 A e IcC 120 156.87 A Vbc
4275.02 91.62 V y Vca 4275.02 148.38 V
20
(c)
Van
2482.051.93 V,
Vbn
2482.05121.93 V y Vcn 2482.05 118.07 V
OBSERVACIÓN: Resuelva también los Problemas 11.9, 11.11 y 11.12 al final del capítulo.
11.4 Análisis del Circuito Estrella – Delta Si la carga de un circuito trifásico está conectada en una delta, entonces se puede transformar en una estrella usando una transformación delta-estrella. Cuando la carga está equilibrada, la impedancia de cada brazo de la estrella es un tercio de la impedancia de cada brazo de la delta o ZY
Z 3
(11.21)
la cual se obtiene directamente de las Ecs. 9.519.53. Después que la carga en ha sido reemplazada por su Y equivalente, la fase a puede ser modelada por el circuito monofásico equivalente mostrado en la Fig. 11.11.
Figura 11.11 Un circuito monofásico equivalente.
Este circuito lo usamos para calcular las corrientes de línea y entonces usamos las corrientes de línea para hallar las corrientes en cada brazo de la carga en original. La relación entre las corrientes de línea y las corrientes en cada brazo de la delta pueden deducirse usando el circuito mostrado en la Fig. 11.12.
Figura 11.12 Un circuito usado para establecer la relación entre las corrientes de línea en carga equilibrada en .
Cuando una carga (o fuente) está conectada en una delta, la corriente en cada brazo de la delta es la corriente de fase y el voltaje en cada brazo es el voltaje de fase. La Fig. 11.12 muestro que, en la configuración en , el voltaje de fase es idéntico al voltaje de línea. Para demostrar la relación entre las corrientes de fase y las corrientes de línea, suponemos una secuencia de fases positiva tomamos I como la representación de la magnitud de la corriente de fase. Entonces
21 IAB
I 0
(11.22)
IBC
I 120
(11.23)
ICA
I 120
(11.24)
Al escribir estas ecuaciones, seleccionamos arbitrariamente a IAB como el fasor de referencia. Podemos escribir las corrientes de línea en términos de las corrientes de fase mediante aplicación directa de la ley de corrientes de Kirchhoff: IaA
IAB ICA
I 0 I 120 3 I 30
I bB
IBC IAB
I 120 I 0
3 I 150
(11.25)
IcC
ICA IBC
I 120 I 120 3 I 90
(11.26)
(11.27)
Comparando las Ecs. 11.2511.27 con las Ecs. 11.2211.24, observamos que la magnitud de las corrientes de línea es 3 veces la magnitud de las corrientes de fase y que el conjunto de corrientes de línea atrasa por 30° el conjunto de corrientes de fase. Le dejamos al lector la verificación de que, para una secuencia de fases negativa, las corrientes de línea son 3 veces más grandes que las corrientes de fase y adelantan por 30° las corrientes de fase. Por tanto, tenemos un atajo para calcular las corrientes de línea a partir de las corrientes de fase (o viceversa) para una carga trifásica equilibrada conectada en delta. La Fig. 11.13 resume gráficamente este procedimiento más rápido. El Ejemplo 11.2 ilustra el cálculo involucrado en el análisis de un circuito trifásico equilibrado que consiste de una fuente conectada en Y y una carga conectada en .
Figura 11.13 Diagrama fasorial que muestra la relación entre las corrientes de línea y las de fase en una carga conectada en . (a) La secuencia positiva. (b) La secuencia negativa.
22
Ejemplo 11.2 Análisis de un Circuito Estrella-Delta
La fuente conectada en Y en el Ejemplo 11.1 alimenta una carga conectada en a través de una línea de distribución que tiene una impedancia de 0.3 + j0.9 /. La impedancia de la carga es 118.5 + j85.8 /. Use el voltaje interno de la fase a del generador como la referencia. a) b) c) d) e)
Construya un circuito monofásico equivalente del sistema trifásico. Calcule las corrientes de línea IaA , IbB e IcC . Calcule los voltajes de fase en los terminales de la carga. Calcule las corrientes de fase de la carga. Calcula los voltajes de línea en los terminales de la fuente.
Solución
a)
La Fig. 11.14 muestra el circuito monofásico equivalente. La impedancia de carga del equivalente en Y es 118.5 j 85.8 39.5 j28.6 3
Figura 11.14 El circuito equivalente monofásico para el Ejemplo 11.1.
b)
La corriente de línea de la fase a es IaA
1200 0.2 0.3 39.5 j 0.5 0.9 28.6
120 0 2.4 36.87 A 40 j 30
Por tanto
c)
I bB
2.4 156.87 A
IcC
2.4 83.13 A
Como la carga está conectada en , los voltajes de fase son iguales a los voltajes de línea. Para calcularlos, primero calculamos VAN : VAN
39.5 j28.6 2.4 36.87 117.04 0.96 V
Puesto que la secuencia de fases es positiva, el voltaje de línea
VAB
es
23
3 30 VAN
VAB
202.72 29.04 V
Por tanto VBC
202.72 90.96 V
VCA
202.72 149.04 V
d) Las corrientes de fase de la carga pueden calcularse directamente a partir de las corrientes de línea: IAB
1 30 IAA 3
1.39 6.87 A
Una vez conocida
IAB
, también conocemos las otras corrientes de fase en la carga: IBC
1.39 126.87 A
ICA
1.39 113.13 A
Observe que podemos verificar el cálculo de impedancia de la carga conectada en ; es decir IAB
VAB
Z
IAB
usando el voltaje
VAB
calculado previamente y la
202.72 29.04 118.5 j 85.8
1.39 6.87 A
e)
Para calcular el voltaje de línea en los terminales de la fuente, primero calculamos Van . La Fig. 11.14 muestra que Van es la caída de voltaje en la impedancia de línea más la impedancia de carga; esto es, Van
39.8 j29.5 2.4 36.87 118.90 0.32 V
El voltaje de línea
Vab
es Vab
3 30 Van
o Vab
205.94 29.68 V
Por tanto, Vbc
205.94 90.32 V
Vca
205.94 149.68 V
PROBLEMAS DE EVALUACIÓN Objetivo 2 – Saber cómo analizar un circuito con conexión estrella-delta, equilibrado 11.4 La corriente ICA en una carga trifásica equilibrada conectada en es 8 15 A . Si la secuencia de fases es positiva, ¿cuál es el valor de IcC ? Respuesta: 13.86 45 A.
24
11.5 Una carga conectada trifásica equilibrada conectada en es alimentada por un circuito trifásico equilibrado. La referencia para la corriente de línea de la fase b es hacia la carga. El valor de la corriente en la fase b es 12 65 A. Si la secuencia de fases es negativa, ¿cuál es el valor de IAB ? Respuesta: 6.93 85 A. 11.6 El voltaje de línea
VAB
en los terminales de una carga trifásica equilibrada conectada en es 4160 0 V .
La corriente de línea IaA es 69.28 10 A . a) Calcule la impedancia por fase de la carga si la secuencia de fases es positiva. b) Repita (a) para una secuencia de fases negativa. Respuesta: (a) 104 20 ; (b) 104 40 11.7 El voltaje de línea en los terminales de una carga equilibrada conectada en es 110 V. Cada fase de la carga consiste de un resistor de 3667 en paralelo con una impedancia inductiva de 2.75 . ¿Cuál es la magnitud de la corriente en la línea que alimenta la carga? Respuesta: 86.60 A.
11.5 Cálculos de Potencia en Circuitos Trifásicos Equilibrados Hasta ahora, hemos limitado nuestro análisis de circuitos trifásicos equilibrados a la determinación de corrientes y voltajes. Ahora estudiaremos los cálculos de potencia trifásica. Comenzamos por considerar la potencia promedio entregada a una carga equilibrada conectada en Y.
Potencia Promedio en una Carga Equilibrada en Estrella La Fig. 11.15 muestra una carga conectada en Y junto con las corrientes y voltajes pertinentes. Calculamos la potencia promedio asociada con cualquiera de las fases usando las técnicas introducidas en el Capítulo 10. Con la Ec. 10.21 como un punto inicial, expresamos la potencia promedio asociada con la fase a como PA
VAN
IaA
cos vA iA
(11.28)
donde vA y iA denotan los ángulos de fase de VAN e IaA , respectivamente. Usando la notación introducida en la Ec. 11.28, podemos hallar la potencia asociada con las fases b y c:
Figura 11.15 Una carga equilibrada en Y usada para introducir los cálculos de la potencia promedio en circuitos trifásicos.
25 PB
VBN
I bB
cos vB iB
(11.29)
PC
VCN
IcC
cos vC iC
(11.30)
En las Ecs. 11.2811.30, todos los fasores para las corrientes y los voltajes están escritos en términos del valor rms de la función sinusoidal que representan. En un sistema trifásico equilibrado, la magnitud de cada voltaje de línea a neutro es el mismo, como también lo es la magnitud de cada corriente de fase. El argumento de las funciones coseno también es el mismo para las tres fases. Subrayamos estas observaciones mediante la introducción de la notación siguiente: V
VAN
I
IaA
VBN I bB
VCN
I cC
(11.31) (11.32)
y vA iA vB iB vC iC
(11.33)
Adicionalmente, para un sistema equilibrado, la potencia entregada a cada fase de la carga es la misma y por tanto PA PB PC P V I cos (11.34) donde
P
representa la potencia promedio por fase.
La potencia promedio total entregada a la carga equilibrada conectada en Y es simplemente tres veces la potencia por fase, o PT 3P 3V I cos (11.35) También es deseable expresar la potencia total en términos de las magnitudes rms del voltaje y la corriente de línea. Si representamos por VL e I L las magnitudes rms del voltaje y la corriente de línea, respectivamente, podemos modificar la Ec. 11.35 en la forma siguiente: V L I cos L 3
PT 3
(11.36)
3 VL I L cos
Al deducir la Ec. 11.36 se utilizó el hecho de que para una carga equilibrada conectada en Y, la magnitud del voltaje de fase es la magnitud del voltaje de línea dividida por 3 , y que la magnitud de la corriente de línea es igual a la magnitud de la corriente de fase. Cuando se usa la Ec. 11.36 para calcular la potencia total entregada a la carga, recuérdese que es el ángulo de fase en el voltaje de fase y la corriente.
Potencia Compleja en una Carga Equilibrada en Estrella También podemos calcular la potencia reactiva y la potencia compleja asociada con cualquiera de las fases de una carga conectada en Y usando las técnicas introducidas en el Capítulo 10. Para una carga equilibrada, las expresiones para la potencia reactiva son Q VI sen
(11.37)
QT 3Q 3 VL IL sen
(11.38)
26
La Ec. 10.29 S Veff Ieff es la base para representar la potencia compleja asociada con cualquier fase. Para una carga equilibrada, S V ANIaA VBNIbB VCNI cC VI
donde
V
e
I
(11.39)
representan un voltaje y una corriente de fase tomados en la misma fase. Por tanto, en general, S P jQ VI
(11.40)
ST 3S 3 VL IL
(11.41)
Cálculos de Potencia en una Carga Equilibrada en Delta Si la carga está conectada en detal, el cálculo de potencia – reactiva o compleja – es básicamente el mismo que para una carga conectada en Y. La Fig. 11.16 muestra una carga conectada en , juntos con las corrientes y voltajes pertinentes. La potencia asociada con dada fase es PA
VAB
IAB
cos vAB iAB
(11.42)
PB
VBC
IBC
cos vBC iBC
(11.43)
PC
VC A
I CA
cos vCA iCA
(11.44)
Figura 11.16 Una carga conectada en cálculos de potencia.
usada para analizar
Para una carga equilibrada, VAB IAB
VBC
VCA
IBC
I CA
V I
(11.45) (11.46)
vAB iAB vBC iBC vCA iCA
(11.47)
PA PB PC P V I cos
(11.48)
y Observe que la Ec. 11.48 es la misma que la Ec. 11.34. Por tanto, en una carga equilibrada, indiferentemente de si la conexión es una estrella o una delta, la potencia promedio por fase es igual al producto de la magnitud rms
27
del voltaje de fase, la magnitud rms de la corriente de fase y el coseno del ángulo entre el voltaje y la corriente de fase. La potencia total entregada a una carga conectada en es PT 3P 3VI cos
I L cos 3
3V L
3 VL I L cos
(11.49)
Observe que la Ec. 11.49 es la misma que la Ec. 11.36. Las expresiones para la potencia reactiva y la potencia compleja también tienen la misma forma que las desarrolladas para la carga en Y: Q VI sen
(11.50)
QT 3Q 3V I sen
(11.51)
S P jQ VI
(11.52)
ST 3S 3 VL IL
(11.53)
Potencia Instantánea en Circuitos Trifásicos Aunque estamos interesados principalmente en cálculos de potencia promedio, reactiva y compleja, el cálculo de la potencia instantánea total también es importante. En un circuito trifásico equilibrado, esta potencia tiene una propiedad interesante: ¡Es invariable con el tiempo! Por tanto, el par desarrollado en el je de un motor trifásico es constante, lo que a sus vez significa menos vibraciones en la maquinaria impulsada por motores trifásicos. Supóngase que la referencia es el voltaje instantáneo de línea a neutro vAN e, igual que ante,
es el ángulo de
fase vA iA . Entonces, para una secuencia de fases positiva, la potencia instantánea en cada fase es pA vANiaA VmI m cos t cos t pB vBNibB VmI m cos t 120 cos t 120 pC vCNicC VmI m cos t 120 cos t 120
donde Vm e I m representan las amplitudes máximas del voltaje de fase y de la corriente de línea, respectivamente. La potencia instantánea total es la suma de las potencias de fase instantáneas, que se reduce a 1.5VmI m cos , es decir, pT pA pB pC 1.5Vm I m cos
Observe que este resultado es consistente con la Ec. 11.35, puesto que Vm 2 V e Im 2 I (Problema 11.26). Los Ejemplos 11.311.5 ilustra cálculos de potencia en circuitos trifásicos. Ejemplo 11.3 Cálculo de Potencia en un Circuito Y Y Trifásico
a) b)
Calcular la potencia promedio por fase entregada a la carga conectada en Y del Ejemplo 11.1. Calcule la potencia promedio total entregada a la carga.
28
c) d) e) f)
Calcule la potencia promedio total perdida en la línea. Calcule la potencia promedio total perdida en el generador. Calcule el número total de vares magnetizadores absorbidos por la carga. Calcule la potencia compleja total entregada por la fuente.
Solución
a)
Del Ejemplo 11.1, V 15.22 V , I 2.4 A y 1.19 (36.87) 35.68 . Por tanto P 115.22 2.4 cos35.68
224.64 W
La potencia por fase también puede calcular a partir de I 2 R , o 2 P 2.4 39 224.64 W
b)
La potencia promedio total entregada a la carga es PT 3P 673.92 W . En el Ejemplo 11.1 se calculó el voltaje de línea, así que también podemos usar la Ec. 11.36: PT 3 199.58 2.4 cos 53.68
673.92 W
c)
La potencia total perdida en la línea es 2 Plínea 3 2.4 0.8 13.824 W
d) La potencia interna total perdida en el generador es 2 Pgen 3 2.4 0.2 =3.456 W
e)
El número total de vares magnetizadores absorbidos por la carga es QT 3 199.58 2.4 sen 3 5.68
483.84 VAR
f)
La potencia compleja total asociada con la fuente es ST 3S 3 120 2.4 36.87
691.20 j 518.40 VA
El signo menos indica que al circuito se le está entregando potencia interna y potencia magnetizadora reactiva. Este resultado se verifica calculando la potencia total y la reactiva absorbida por el circuito: P 763.92 13.824 3.456
691.20 W Q 483.84 25.92 8.64
518.40 VAR
29
Ejemplo 11.4 Cálculo de Potencia en un Circuito Trifásico Estrella Delta
a) Calcular la potencia compleja total entregada a la carga conectada en delta del Ejemplo 11.2. b) ¿Qué porcentaje de la potencia promedio en el terminal de la fuente es entregada a la carga? Solución
a) Usando los valores de la fase a que obtuvimos en la solución del Ejemplo 11.2, da V I
VAB 202.72 29.04 V
IAB 1.39 .6.87 A
Ahora utilizamos las Ecs. 11.52 y 11.53 para obtener ST 3 202.72 29.04 1.39 6.87
682.56 j494.21 VA
b) La potencia total en el extremo generador de la línea de distribución es igual a la potencia total entregada a la carga más la potencia total perdida en la línea; por tanto, 2 Pentrada 682.56 3 2.4 0.3 687.74 W
El porcentaje de la potencia promedio que llega a la carga es 682.56/687.74, o 99.25%. Casi 100% de la potencia promedio en la entrada es entregada a la carga porque la impedancia de la línea es bastante pequeña en comparación con la impedancia de la carga. Ejemplo 11.5 Cálculo de la Potencia Trifásica con una Carga No Especificada
Una carga trifásica equilibrada requiere 480 kW con un factor de potencia atrasado de 0.8. La carga es alimentada por una línea que tiene una impedancia de 0.005 + j0.025 /. El voltaje de línea en los terminales de la carga es 600 V. a) b) c) d)
Construya un circuito monofásico equivalente del sistema. Calcule la magnitud de la corriente de línea. Calcule la magnitud del voltaje de línea en el terminal generador de la línea. Calcule el factor de potencia en el terminal generador de la línea.
Solución
a)
La Fig. 11.17 muestra el circuito monofásico equivalente. Arbitrariamente seleccionamos el voltaje de línea a neutro en la carga como la referencia.
Figura 11.17 El circuito monofásico equivalente para el Ejemplo 11.
b)
La corriente de línea
IaA
es dada por
30
600 I 3 3 aA 160 j 120 10
o
IaA
Por tanto,
IaA
577.35 36.87 A
577.35 36.87 A . La magnitud de la corriente de línea es la magnitud de IaA : I L 577.35 A
Podemos obtener una solución alterna para
I L
a partir de la expresión
PT
3 VL I L cos P
3 600 I L 0.8
480000 W I L
480000
3 600 0.8 1000 3
577.35 A
c)
Para calcular la magnitud del voltaje de línea en el terminal generador, primero calculamos Van . Por la Ec. 11.17, Van VAN Z IaA
600 0.005 j 0.025 577.35 36.87 3
357.51 1.57 V
Por tanto, V L 3
Van
619.23 V
d) El factor de potencia en el terminal fuente de la línea es el coseno del ángulo de fase entre Van e
IaA
:
fp cos 1.57 36.87 cos38.44
0.783 atrasado
Una forma alterna para calcular el factor de potencia es determinar primero la potencia compleja en el terminal fuente de la línea: 2
S 160 j 120 103 577.35 0.005 j 0.025
161.67 j128.33 kVA 206.4138.444 kVA
El factor de potencia es fp cos 38.44
0.783 atrasado
31
Finalmente, si calculamos la potencia compleja total en el lado generador, después de calcular primero la magnitud de la corriente de línea, podemos usar este valor para calcular V L . Es decir, 3 VL I L 3 206.41 103 V L
3 206.41 103 3 577.35
619.23 V
PROBLEMAS DE EVALUACIÓN Objetivo 3 – Poder calcular potencia (promedio, reactiva y compleja) en cualquier circuito trifásico. 11.8 La potencia promedio nominal de la unidad central de procesamiento (CPU) en una computadora central es 22659 W. La línea trifásica que alimenta la computadora tiene un voltaje de línea nominal de 208 V (rms). La corriente de línea es 73.8 A (rms). La computadora absorbe VARes magnetizadores a) Calcule la potencia reactiva magnetizadora total absorbida por la CPU. b) Calcule el factor de potencia. Respuesta: (a) 13909.50 VAR; (b) 0.852 atrasado. 11.9 La potencia compleja asociada con cada fase de una carga equilibrada es 144 + j192 kVA. El voltaje de línea en los terminales de la carga es 2450 V. a) ¿Cuál es la magnitud de la corriente de línea que alimenta la carga? b) La carga está conectada en delta y la impedancia de cada fase consiste de una resistencia en paralelo con una reactancia. Calcule R y X . c) La carga está conectada en estrella y la impedancia de cada fase consiste de una resistencia en serie con una reactancia. Calcule R y X . Respuesta: (a) 169.67 A; (b) R = 41.68 , X = 6.67 .
11.6 Medición de la Potencia Promedio en Circuitos Trifásicos El instrumento básico para medir potencia en circuitos trifásicos es el vatímetro electrodinamómetro. Contiene dos bobinas. Una bobina, llamada la bobina de corriente, es estacionaria y está diseñada para conducir una corriente proporcional a la corriente de carga. La segunda bobina, llamada la bobina de potencial, es móvil y transporta una corriente proporcional al voltaje de la cara. Las características importantes del vatímetro se muestran en la Fig. 11.18. La deflexión promedio de la aguja ligada a la bobina móvil es proporcional al producto del valor eficaz de la corriente en la bobina de corriente, al valor eficaz del voltaje impreso en la bobina de potencial y al coseno del ángulo de fase entre el voltaje y la corriente. La dirección en que la aguja se mueve depende de la polarización instantánea de la corriente en la bobina de corriente y del potencial en la bobina de voltaje. Por tanto, cada bobina tiene un terminal con una marca de polaridad – usualmente un signo más – pero algunas veces se usa la marca de polaridad doble . La aguja se mueve escala arriba cuando (1) el terminal con marca de polaridad de la bobina de corriente está hacia la fuente, y (2) el terminal con marca de polaridad de la bobina de potencia está conectado a la misma línea en que se ha introducido la bobina de corriente.
32
Figura 11.18 Las características principales del vatímetro electrodinamómetro.
El Método de los Dos Vatímetros
Consideremos una red general dentro de una caja a la cual se le suministra potencia mediante n líneas conductoras. En la Fig. 11.19 se muestra un sistema así.
Figura 11.18 Un circuito general cuya potencia es suministrada por n conductores.
Si queremos medir la potencia total en los terminales de la caja, necesitamos conocer n 1 corrientes y voltajes. Esto se obtiene porque si escogemos un terminal como una referencia, entonces sólo hay n 1 voltajes independientes. En la misma forma, sólo pueden existir n 1 corrientes independientes en los n conductores que entran a la caja. Por tanto, la potencia total es la suma de n 1 términos de producto; es decir, p v1i1 v2 i2 vn1in1 . Aplicando esta observación general, podemos ver que para un circuito de tres conductores, sea éste equilibrado o no, solamente necesitamos dos vatímetros para medir la potencia total. Para un circuito de cuatro conductores, necesitamos tres vatímetros si el circuito trifásico está desequilibrado, pero solamente dos
33
vatímetros si está equilibrado porque en este último caso no hay corriente en la línea neutra. Por tanto, sólo se necesitan dos vatímetros para medir la potencia promedio total en cualquier sistema trifásico equilibrado. El método de los dos vatímetros se reduce a determinar la magnitud y el signo algebraico de la potencia promedio indicada por cada vatímetro. El problema básico se puede describir en términos del circuito mostrado en la Fig. 11.20, donde los dos vatímetros se indican mediante las cajas sombreadas y marcadas W1 y W 2 . Las notaciones de las bobinas bc y bp significas bobina de corriente y bobina de potencial, respectivamente. Hemos elegido colocar las b ovinas de corriente de los vatímetros en las líneas aA y cC. Entonces, la línea bB es la línea de referencia para las dos bobinas de potencial. La carga está conectada como una Y y la impedancia por fase se designa como Z Z . Ésta es una representación general, ya que cualquier carga conectada en puede representarse por su Y equivalente; adicionalmente, para el caso equilibrado, el ángulo de la impedancia no es afectado por la transformación -a-Y.
Figura 11.20 Un circuito para analizar el método de los dos vatímetros para medir la potencia promedio entregada a una carga equilibrada.
Ahora se desarrollarán ecuaciones generales para las lecturas de los dos vatímetros. Suponemos que la corriente extraída por la bobina de potencia del vatímetro es insignificante comparada con la corriente de línea media por la bobina de corriente. También suponemos que las cargas pueden modelarse mediante elementos de circuitos pasivos de modo que el ángulo de fase de la impedancia de carga ( en la Fig. 11.20) está entre 90° (capacitancia pura) y +90° (inductancia pura). Finalmente, suponemos una secuencia de fases positiva. De nuestro análisis introductorio acerca de la deflexión promedio del vatímetro, podemos ver que el vatímetro 1 responderá al producto de VAB , IaA y el coseno del entre VAB e IaA . Si la lectura de este vatímetro se denota como W 1 , podemos escribir W 1
VAB
cos 1
IaA
VL I L cos 1
(11.54)
(11.55)
Se deduce que W 1
VCB
Ic C
cos 2
VL I L cos 2
En la Ec. 11.54, VCB
e IcC .
1 es
el ángulo de base entre
VAB
e IaA , y en la Ec. 11.55, 2 es el ángulo de base entre
34
Para calcular W1 y W 2 , expresamos 1 y 2 en términos del ángulo de la impedancia , que es también el mismo ángulo de fase entre el voltaje y la corriente de fase. Para una secuencia de fases positiva, 1 30 30
(11.56)
2 30 30
(11.57)
La deducción de las Ecs. 11.56 y 11.57 se deja como un ejercicio (Problema 11.35). Cuando sustituimos las Ecs. 11.56 y 11.57 en las Ecs. 11.54 y 11.55, respectivamente, obtenemos W1 VL I L cos 30
(11.58)
W2 VL I L cos 30
(11.59)
Para hallar la potencia total, sumamos W1 y W 2 ; entonces PT W1 W 2 2VL I L cos cos 30
3 VL I L cos
(11.60)
que es la expresión para la potencia total en un circuito trifásico. Por tanto, hemos confirmado que la suma de las lecturas de los dos vatímetros produce la potencia promedio total. Una mirada más detallada a las Ecs. 11.58 y 11.59 revela lo siguiente acerca de las lecturas de los dos vatímetros: 1. 2. 3. 4.
Si el factor de potencia es mayor que 0.5, las lecturas de ambos vatímetros son positivas. Si el factor de potencia es igual a 0.5, la lectura de uno de los vatímetros es cero. Si el factor de potencia es menor que 0.5, la lectura de uno de los vatímetros es negativa. Si se invierte la secuencia de fases, se intercambiarán las lecturas de los dos vatímetros.
Estas observaciones se ilustran en el ejemplo siguiente y en los Problemas 11.4111.52. Ejemplo 11.6 Cálculo de Lecturas de Vatímetro en Circuitos Trifásicos.
Calcular las lecturas de cada vatímetro en el circuito en la Fig. 11.20 si el voltaje de fase en la carga es 120 V y (a) Z 8 j6 ; (b) Z 8 j6 ; (c) Z 5 j 5 3 ; y Z 10 75 . (e) Verifique para (a)(d) que la suma de las lecturas de los vatímetros es igual a la potencia total entregada a la carga. Solución
a)
Z 10 36.87 , VL 120 3 V e I L 120 10 12 A W1 120 3 12 cos 36.87 30
979.75 W W2 120 3 12 cos 36.87 30
2476.25 W
35
b)
Z 10 36.87 , VL 120 3 V e I L 120 10 12 A W1 120 3 12 cos 36.87 30
2476.25 W W2 120 3 12 cos 36.87 30
979.75 W
c)
Z 5 1 j 3 10 60 , VL 120 3 V e I L 12 A W1 120 3 12 cos 60 30 0 W2 120 3 12 cos 60 30
2160 W
d)
Z 10 75 , VL 120 3 V e I L 12 A W1 120 3 12 cos 75 30 1763 W W2 120 3 12 cos 75 30 645.53 W 2 PT (a) 3 12 8 3456 W
W1 W 2 979.75 2476.25
3456 W PT (b) PT (b) 3456 W
W1 W 2 2476.25 979.75
e)
3456 W 2 PT (c) 3 12 5 2160 W
W1 W 2 0 2160
2160 W 2 PT (d) 3 12 2.5882 1118.10 W
W1 W 2 1763.63 645.53
1118.10 W
Perspectiva Práctica Transmisión y Distribución de Potencia Eléctrica Al inicio de este capítulo se señaló la obligación que las compañías de electricidad tienen que mantener el nivel de tensión rms en los lugares de los clientes. Aunque la desviación aceptable de un nivel nominal puede variar entre las diferentes compañías, supondremos para los propósitos de nuestro estudio que un tolerancia
36
permisible es 5.8%. Por tanto, un voltaje rms nominal de 120 V podría varia de 113 a 127 V. También señalamos que capacitores colocados estratégicamente en el sistema podían usarse para mantener los niveles de voltaje. El circuito mostrado en la Fig. 11.21 representa una subestación en un sistema de potencia. Supondremos que el sistema está equilibrado, el voltaje de línea a línea en la subestación es 13.8 kV, la impedancia de fase de la línea de distribución es 0.6 + j4.8 y la carga en la subestación a las 3 PM en día cálido y húmedo en julio es 3.6 MW y 3.6 MVR magnetizadores.
Figura 11.21 Una subestación conectada a una planta eléctrica a través de una línea trifásica.
Usando el voltaje de línea a neutro en la subestación como una referencia, el circuito monofásico equivalente para el sistema en la Fig. 11.21 se muestra en la Fig. 11.22. La corriente de línea puede calcularse a partir de la expresión para la potencia compleja en la subestación. Así, 13800 6 IaA 1.2 j 1.2 10 3
Se deduce que IaA
150.61 j 150.61 A
IaA
150.61 j 150.61 A
o El voltaje de línea a neutro en la planta generadora es 13800
Van
8 780.74 j 632.58
3
0 0.6 j 4.8 150.61 j 150.61
8803.50 4.12 V
Por tanto, la magnitud del voltaje de línea en la planta generadora es Vab
3 8803.50 15 248.11 V
Figura 11.22 Un circuito monofásico equivalente para el sistema en la Fig. 11.21.
37
Estamos suponiendo que a la compañía se le exige mantener el nivel de voltaje dentro de 5.8% del valor nominal. Esto significa que la magnitud del voltaje de línea a línea en la planta eléctrica no debe pasar de 14.6 kV ni ser menor que 13 kV. Por tanto, la magnitud del voltaje de línea en la planta de generación podría ocasionar problemas para los usuarios. Cuando los vares magnetizadores son suministrados por un banco de capacitadores conectados a la barra de la subestación, la corriente de línea IaA se convierte en IaA
150.61 j 0 A
Por tanto, el voltaje en la planta de generación que se necesita para mantener un voltaje de línea a línea de 13800 V en la subestación es 13800 0 0.6 j 4.8 150.61 j 0 3
Van
8057.80 j722.94 8090.175.13 V
Por tanto, Vab
3 8090.17 14 012.58 V
Este nivel de voltaje cae dentro de la banda permitida de 13 kV a 14.6 kV.
Problemas Todos los voltajes fasoriales en los Problemas a continuación se expresan en términos del valor rms. Sección 11.1 11.1 ¿Cuál es la secuencia de fases de cada uno de los siguientes conjuntos de voltajes?
a) va 137 cos t 63 V
b) va 820 cos t 36 V
vb 137 cos t 57 V
vb 820 cos t 84 V
vb 137 cos t 183 V
vb 820 cos t 66 V
11.2 Para cada conjunto de voltajes, establezca si los voltajes forman o no un conjunto trifásico equilibrado. Si el conjunto es equilibrado, diga si la secuencia de fases es positiva o negativa. Si el conjunto no está equilibrado, explique por qué. va 188 cos 250t 60 V
(a) va 48 cos 314t 45 V vb 48 cos 314t 165 V
vb 188cos250t V
vb 48 cos 314t 75 V
vb 188 cos 250t 60 V
(c) va 426cos100t V
(d) va 1121cos 2000t 20 V
vb 426 cos 100t 120 V
vb 1121sen 2000t 50 V
vb 426 cos 100t 120 V
vb 1121cos 2000t 100 V
38
(e) va 540sen 630t V
(f) va 144 cos 800t 80 V
vb 540 cos 630t 120 V
vb 144 sen 800t 70 V
vb 540 cos 630t 120 V
vb 144 cos 800t 50 V
11.3 Verifique que la Ec. 11.3 se cumple para la Ec. 11.1 o bien la Ec. 11.2. Sección 11.2 11.4 Remítase al circuito en la Fig. 11.4(b). Supóngase que no hay conexiones externas a los terminales a, b y c. Supóngase también que los tres devanados son de un generador trifásico cuyos voltajes son los descritos en el Problema 11.2(b). Determine la corriente que circula en el generador conectado en . 11.5 Repita el Problema 11.1 pero supóngase que los voltajes trifásicos son los descritos en el Problema 11.2(c). Sección 11.3 11.6 a) El circuito en la Fig. P11.6, ¿es un sistema trifásico equilibrado o desequilibrado? Explique.
b) Halle
Io
.
Figura P11.6
11.7 a) Halle
Io
en el circuito de la Fig. 11.7.
b) Halle
VAN
c) Halle
VAB
.
d) ¿Es el circuito un sistema trifásico equilibrado o desequilibrado?
39 Figura P11.7
11.8 Halle el valor rms de
Io
en el circuito trifásico desequilibrado en la Fig. P11.8.
Figura P11.8
11.9 Las expresiones en el dominio del tiempo para tres voltajes de línea a neutro en los terminales de una carga conectada en Y son vAN 288 cos t 45 V vBN 288 cos t 165 V vCN 288 cos t 75 V
¿Cuáles son las expresiones en el dominio del tiempo para los tres voltajes de línea a línea vAB , vBC y vCA ?
11.10 Un circuito trifásico equilibrado tiene las siguientes características:
a)
Conectado en YY; El voltaje de línea en la fuente, Vab , es 110 3 60 ; La secuencia de fases es positiva. La impedancia de línea es 3 + j2 /; Dibuje el circuito monofásico equivalente para la fase a.
b)
Calcule el voltaje de línea en la carga en la fase a.
11.11 La magnitud del voltaje de línea en los terminales de una carga equilibrada conectada en Y es 6600 V. La impedancia de carga es 340 j70 /. La carga es alimentada por una línea que tiene una impedancia de 0.5 + j4 /.
a) ¿Cuál es la magnitud de la corriente de línea? b) ¿Cuál es la magnitud del voltaje de línea en la fuente? 11.12 La magnitud del voltaje de fase de una fuente trifásica ideal y equilibrada conectada en Y es 125 V. La fuente está conectada a una carga equilibrada conectada en Y por una línea de distribución que tiene una impedancia de 0.1 + j14.2 /. La secuencia de fases de la fuente es acb. Use el voltaje de la fase a como la referencia. Especifique la magnitud y ángulo de fase de las cantidades siguientes: (a) las tres corrientes de línea, (b) los tres voltajes de línea en la fuente, (c) los tres voltajes de fase en la carga, y (d) los tres voltajes de línea en la carga. Sección 11.4
40
11.13 Una carga equilibrada conectada en tiene una impedancia de 216 j288 /. La carga es alimentada a través de una línea que tiene una impedancia de 3 + j5 /. El voltaje de fase en los terminales de la carga es 7.2 kV. La secuencia de fases es negativa. Use VAB como la referencia.
a) Calcule las tres corrientes de fase de la carga. b) Calcule las tres corrientes de línea. c) Calcule los tres voltajes de línea en el terminal fuente de la línea. 11.14 Un circuito trifásico equilibrado es caracterizado en la forma siguiente:
Conectado en Y;
El voltaje de la fuente en la fase b es 150 135 V;
La secuencia de fases es acb;
La impedancia de línea es 2 + j3 /.
La impedancia de carga es 129 + j171 /;
a)
Dibuje el circuito monofásico equivalente para la fase a.
b)
Calcule la corriente de línea en la fase a.
c)
Calcule el voltaje de línea en la carga en la fase a para la carga trifásica.
11.15 Una fuente trifásica equilibrada conectada en Y y con secuencia acb suministra potencia a una carga trifásica equilibrada conectada en con una impedancia de 12 + j9 /. El voltaje de la fuente en la fase b es 240 50 V. La impedancia de la línea es 1 + j/. Dibuje el circuito monofásico equivalente para la fase a y úselo para hallar la corriente en la fase a de la carga. 11.16 En un sistema trifásico equilibrado, la fuente es una Y equilibrada con una secuencia de fases abc y un voltaje de línea Vab 208 50 V. La carga es una Y equilibrada en paralelo con una equilibrada. La impedancia de fase de la Y es 4 + j3 / y la impedancia de fase de la es 3 j9 /. La impedancia de la línea es 1.4 + j0.8 /. Dibuje el circuito equivalente monofásico y úselo para calcular el voltaje de línea en la carga en la fase a. 11.17 Una carga equilibrada conectada en Y tiene una impedancia de 60 j45 / está conectada en paralelo con una carga equilibrada conectada en que tiene una impedancia de 90 2 45 /. Las cargas en paralelo son alimentadas desde una línea que tiene una impedancia de 2+ j2 /. La magnitud del voltaje de línea a línea de la carga en es 300 3 V.
a) Calcule la magnitud de la corriente de fase en la carga conectada en Y. b) Calcule la magnitud de la corriente de fase en la carga conectada en . c) Calcule la magnitud de la corriente en la línea que alimenta las cargas. d) Calcule la magnitud del voltaje de línea en el terminal fuente de la línea. 11.18 Un generador trifásico conectado en tiene una impedancia interna de 9 + j90 m/. Cuando se remueve la carga del generador, la magnitud del voltaje terminal es 13800 V. El generador alimenta una carga conectada en a través de una línea de transmisión con una impedancia de 20 + j180 m/. La impedancia por fase de la carga es 7.056 + j3.417 .
a) Construya un circuito monofásico equivalente.
41
b) Calcule la magnitud de la corriente de línea. c) Calcule la magnitud del voltaje de línea en los terminales de la carga. d) Calcule la magnitud del voltaje de línea en los terminales de la fuente. e) Calcule la magnitud de la corriente de fase en la carga. f) Calcule la magnitud de la corriente de fase en la fuente. 11.19 La impedancia Z en el circuito trifásico equilibrado en la Fig. P11.19 es 100 j75 . Halle
a)
IAB , IBC
e ICA .
b)
IaA , I bB
e IcC .
c)
Iba , Icb
e Iac .
Figura P11.19
11.20 Para el circuito mostrado en la Fig. 11.20, determinar
a) las corrientes de fase
IAB , IBC
b) las corrientes de línea IaA ,
IbB
e ICA . e IcC cuando Z1 2.4 j0.7 , Z2 8 j6 y Z3 20 j0 .
Figura P11.20
11.21 En la Fig. P11.21 se muestra una fuente trifásica equilibrada conectada en equilibrada.
a) Halle el circuito equivalente conectado en Y. b) Demuestre que el circuito equivalente conectado en Y entrega el mismo voltaje de circuito abierto que la fuente original conectada en . c) Aplique un cortocircuito externo a los terminales A, B y C. Use la fuente conectada en para hallar las tres corrientes de línea IaA , IbB e IcC . d) Repita (c) pero use la fuente equivalente en Y para hallar las tres corrientes de línea.
42
Figura P11.21
11.22 La fuente conectada en del Problema 11.21 está conectado a una carga conectada en Y mediante una línea de distribución trifásica equilibrada. La impedancia de la carga es 1192 + j1584 / y la impedancia de la línea es 6.5 + j15 /.
a) b) c) d)
Construya un circuito monofásico equivalente del sistema. Determine la magnitud del voltaje de línea en los terminales de la carga. Determine la magnitud de la corriente de fase en la fuente en . Determine la magnitud del voltaje de línea en los terminales de la fuente.
Sección 11.5 11.23 a) Halle la magnitud rms y el ángulo de fase de ICA en el circuito mostrado en la Fig. P11.23.
b) ¿Qué porcentaje de la potencia promedio entregada por la fuente trifásica es disipado en la carga trifásica.
Figura 11.23
43
11.24 Una fuente trifásica equilibrada está suministrando 60 kVA con fp = 0.6 atrasado a dos cargas equilibradas en Y conectadas en paralelo. La línea de distribución que conecta la fuente con la carga tiene una impedancia insignificante. La carga 1 es puramente resistiva y absorbe 30 kW. Halle la impedancia por fase de la carga 2 si el voltaje de línea es 120 3 V y las componentes de la impedancia están en serie. 11.25 En un sistema trifásico equilibrado, la fuente tiene una secuencia abc, está conectada en Y y Van 120 20 V. La fuente alimenta dos cargas, las cuales están conectadas en Y. La impedancia de la carga 1 es 8 + j6 /. La potencia compleja para la fase a de la carga 2 es 600 36 VA. Halle la potencia compleja total entregada por la fuente. 11.26 El voltaje de línea a neutro en los terminales de la carga trifásica equilibrada en el circuito mostrado en la Fig. P11.26 es 1600 V. Con este voltaje, la carga está absorbiendo 480 kVA con un fp de 0.8 atrasado.
a) Use
VAN
como la referencia y exprese
I na
en forma polar.
b) Calcule la potencia compleja asociada con la fuente trifásica ideal. Verifique que la potencia promedio entregada es igual a la potencia promedio total absorbida. c) Verifique que la potencia reactiva magnetizadora entregada es igual a la potencia magnetizadora absorbida.
Figura P11.26
11.27 Una fuente trifásica de secuencia positiva y conectada en Y suministra 14 kVA con un factor de potencia de 0.75 atrasado a una combinación en paralelo de una carga conectada en Y y una carga conectada en . La carga conectada en Y utiliza 9 kVA con un factor de potencia de 0.6 atrasado y tiene una corriente de fase de 10 30 A.
a) Halle la potencia compleja por fase de la carga conectada en . b) Halle la magnitud del voltaje de línea. 11.28 Una línea de distribución trifásica equilibrada tiene una impedancia de 5 + j 10 /. Esta línea se usa para alimentar tres cargas trifásicas equilibradas que están conectadas en paralelo. Las tres cargas son L1 180 kVA con fp de 0.866 atrasado, L2 150 kVA con fp de 0.28 adelantado y L3 72.12 con fp unitario. La
magnitud del voltaje de línea en los terminales de las cargas es 1800 3 V. a) ¿Cuál es la magnitud del voltaje de línea en el terminal fuente de la línea? b) ¿Cuál es la eficiencia porcentual de la línea de distribución con respecto a la potencia promedio? 11.29 Las tres herramientas descritas a continuación son parte de un taller universitario de maquinado. Cada parte del equipo es una carga trifásica equilibrada con voltaje nominal de 220 V (rms). Calcule (a) la
44
magnitud de la corriente de línea que se suministra a estas tres herramientas y (b) el factor de potencia de la carga combinada.
Taladro: 10.2 kVA con fp de 0.87 atrasado.
Torno: 4.2 kW con fp de 0.91 atrasado
Sierra de banda: corriente de línea 36.8 A (rms), 7.25 kVAR.
11.30 Calcule la potencia compleja en cada fase de la carga desequilibrada en el Problema 11.20. 11.31 Demuestre que la potencia instantánea total en un circuito trifásico equilibrado es constante e igual a 1.5VmI m cos , donde Vm e I m representan las amplitudes máximas del voltaje de fase y la corriente de
fase, respectivamente. 11.32 La potencia aparente total entregada en un sistema trifásico Y- equilibrado es 4800 VA. El voltaje de línea es 240 V. Si la impedancia de línea es insignificante y el ángulo del factor de potencia de la carga es 50°, determine la impedancia de la carga. 11.33 Una carga trifásica equilibrada absorbe 1500 kVA con un factor de potencia adelantado de 0.96 cuando el voltaje de línea en los terminales de la carga es 600 V. Halle cuatro circuitos equivalente que puedan usarse para modelar esta carga. 11.34 A plena carga, un motor de inducción de 100 hp disponible comercialmente opera con una eficiencia de 97% y un factor de potencia de 0.88 atrasado. El motor es alimentado desde una toma trifásica con un voltaje de línea nominal de 208 V.
a) ¿Cuál es la magnitud de la corriente de línea extraída de la toma de 208 V? (1 hp = 746 W.) b) Calcule la potencia reactiva entregada al motor. 11.35 Una línea trifásica tiene una impedancia de 0.1 + j0.8 /. La línea alimenta dos cargas trifásicas equilibradas conectadas en paralelo. La primera carga está absorbiendo un total de 630 kW y absorbiendo un total de 840 kVAR magnetizadores. La segunda carga está conectada en Y y tiene una impedancia de 15.36 j4.48. El voltaje de línea a neutro en el terminal de carga de la línea es 4000 V. ¿Cuál es la magnitud del voltaje de línea en el terminal de la fuente? 11.36 Tres cargas trifásicas equilibradas están conectadas en paralelo. La carga 1 está conectada en Y y tiene una impedancia de 400 + j300 /; la carga 2 está conectada en con una impedancia de 2400 j800 /; y la carga 3 es 172.8 + j2203.2 kVA. Las cargas so alimentadas desde una línea de distribución con impedancia de 2 + j16 /. La magnitud del voltaje de línea a neutro en el terminal de carga de la línea es 24 3 kV.
a) Calcule la potencia compleja total en terminal generador de la línea. b) ¿Qué porcentaje de la potencia promedio en el terminal generador de la línea es entregado a las cargas? 11.37 La salida de la fuente trifásica equilibrada de secuencia positiva en la Fig. P11.37 es 41.6 kVA con un factor de potencia de 0.707 atrasado. El voltaje de línea en la fuente es 240 V.
a) Halle la magnitud del voltaje de línea en la carga. b) Halle la potencia compleja total en los terminales de la carga.
45
Figura P11.37
11.38 Una fuente trifásica equilibrada entrega 540 kVA con un fp de 0.96 atrasado a dos cargas en conectadas en paralelo. La línea de distribución que conecta la fuente con la cara tiene una impedancia insignificante. La potencia asociada con la carga 1 es 38.4 j208.8 kVA.
a) Determine los tipos de componentes y sus impedancias en cada fase de la carga 2 si el voltaje de línea es 1600 3 V y las componentes de la impedancia están en serie. b) Repita (a) con las componentes de la impedancia en paralelo. 11.39 La potencia total entregada a una carga trifásica equilibrada cuando se opera con un voltaje de línea de 2500 3 V es 900 kW con factor de potencia de 0.6 atrasado. La impedancia de la línea de distribución que alimenta la carga es 1 + j3 /. Bajo estas condiciones de operación, la caída en la magnitud del voltaje de línea entre el terminal generador y el terminal de carga de la línea es excesiva. Para compensar, se coloca un banco de capacitadores conectados en Y en paralelo con la carga. El banco de capacitadores se diseña para suministrar 1125 kVAR de potencia reactiva magnetizadora cuando se opera con un voltaje de línea de 2500 3 V.
a) ¿Cuál es la magnitud del voltaje en el terminal generador de la línea cuando la carga está operando con un voltaje de línea de 2500 3 V y el banco de capacitadores no está conectado? b) Repita (a) con el banco de capacitadores conectado. c) ¿Cuál es la eficiencia en potencia promedio de la línea en (a)? d) ¿Cuál es la eficiencia en potencia promedio en (b)? e) Si el sistema se opera con una frecuencia de 60 Hz, ¿cuál es el tamaño de cada capacitor en microfaradios? 11.40 Un banco equilibrado de capacitadores dispuestos en está conectado en paralelo con la carga descrita en el Problema de Evaluación 11.9. El efecto es para colocar un capacitor en paralelo con la carga en cada fase. El voltaje de línea en los terminales de la carga permanece sin cambio en 2450 V. El circuito está operando con una frecuencia de 60 Hz. Los capacitadores se ajustan de modo que la magnitud de la corriente de línea que alimenta la combinación en paralelo de la carga y el banco de capacitadores sea un mínimo.
a) ¿Cuál es el tamaño de cada capacitador en microfaradios? b) Repita (a) para capacitadores conectados en estrella. c) ¿Cal es la magnitud de la corriente de línea? Sección 11.6 11.41 El método de los dos vatímetros se usa para medir la potencia en el terminal de carga de la línea en el Ejemplo 11.1. Calcule la lectura de cada vatímetro.
46
11.42 Los vatímetros en el circuito en la Fig. 11.20 leen lo siguiente: W1 40823,09 W y W 2 103176.91 W . La
magnitud del voltaje de línea es 2400 3 V. La secuencia de fases es positiva. Determine
Z
.
11.43 En el circuito trifásico equilibrado mostrado en la Fig. P11.43, la bobina de corriente del vatímetro está conectada en la línea aA y la bobina de potencia del vatímetro está conecta entre las líneas b y c. Demuestre que la lectura del vatímetro multiplicada por 3 es igual a la potencia reactiva total asociada con la carga. La secuencia de fases es positiva.
Figura P11.43
11.44 El voltaje de línea a neutro en el circuito en la Fig. P11.43 es 680 V, la secuencia de fases es positiva y la impedancia de carga es 16 – j12 /.
a) Calcule la lectura del vatímetro. b) Calcule la potencia reactiva total asociada con la carga. 11.45 Los dos vatímetros en la Fig. 11.20 se pueden usar para calcular la potencia reactiva total de la carga.
a) Verifique esta afirmación demostrando que 3 W2 W1 3 VL IL sen . b) Calcule la potencia reactiva total usando las lecturas de los vatímetros para cada una de las cargas en el Ejemplo 11.6. Verifique sus cálculos determinando la potencia reactiva total directamente a partir del voltaje y la impedancia dados. 11.46 Deduzca las Ecs. 11.56 y 11.57. 11.47 a) Calcule la potencia compleja asociada con cada fase de la carga balanceada en el Problema 11.19.
b) Si el método de los dos vatímetros se usa para medir la potencia promedio entregada a la carga, especifique la lectura de cada medidor. 11.48 El método de los dos vatímetros se usa para medir la potencia entregada a la carga desequilibrada en el Problema 11.20. La bobina de corriente del vatímetro 1 se coloca en la línea aA y la del vatímetro 2 se coloca en la línea bB.
a) Calcule la lectura del vatímetro 1. b) Calcule la lectura del vatímetro 2. c) Demuestre que la suma de las dos lecturas de los vatímetros es igual a la potencia total entregada a la carga desequilibrada. 11.49 La carga trifásica equilibrada mostrada en la Fig. P11.49 es alimentada desde una fuente trifásica equilibrada, conectada en y de secuencia positiva. La impedancia de la línea que conecta la fuente con la carga es insignificante. El voltaje de línea a neutro de la fuente es 7200 V.
47
a) Halle la lectura del vatímetro en vatios. b) Explique cómo se conectará un segundo vatímetro en el circuito de modo que los dos vatímetros midan la potencia total. c) Calcule la lectura del segundo vatímetro. d) Verifique que la suma de las lecturas de los dos vatímetros es igual a la potencia promedio total entregada a la carga.
Figura P11.49
11.50 a) Calcule la lectura de cada vatímetro en el circuito mostrado en la Fig. P11.50. El valor de
Z
es
40 30 .
b) Verifique que la suma de las lecturas de los vatímetros es igual a la potencia promedio total entregada a la carga conectada en .
Figura P11.50
11.51 a) Calcule la lectura de cada vatímetro en el circuito mostrado en la Fig. P11.51 cuando Z 13.44 j 46.08
b) Verifique que la suma de las lecturas de los dos vatímetros es igual a la potencia total entregada a la carga. c) Verifique que 3 W1 W 2 es igual a los vares magnetizadores entregados a la carga.
Figura P11.51
48
11.52 a) Halle la lectura de cada vatímetro en el circuito mostrado en la Fig. P11.52 si ZA 20 30 , ZB 60 0 y ZC 40 30 .
b) Demuestre que la suma de las lecturas de los vatímetros es igual a la potencia promedio total entregada a la carga trifásica desequilibrada.
Figura P11.52
Secciones 11.1 11.6 11.53 Remítase al ejemplo de la Perspectiva Práctica:
a) Construya un triángulo de potencia para la carga de la subestación antes de que se conectan los capacitadores. b) Repita (a) después de que los capacitadores están conectados. c) Usando el voltaje de línea a neutro en la subestación como una referencia, construya un diagrama fasorial que muestre la relación entre VAN y Van antes de añadir los capacitadores. d) Suponga una secuencia de fase positiva y construya un diagrama fasorial que ilustre la relación entre VAN y Vab . 11.54 Remítase al ejemplo de la Perspectiva Práctica. Suponga que la frecuencia del sistema eléctrico es 60 Hz.
a) ¿Cuál es la capacidad nominal en F de cada capacitador si los capacitadores están conectados en delta? b) ¿Cuál es la capacidad nominal en F de cada capacitador si los capacitadores están conectados en estrella? 11.55 Seleccione un solo capacitador del Apéndice H que esté más cerca de los F nominales del capacitador conectado en estrella del Problema 11.54(b).
(a) Cuánta potencia reactiva suplirá un banco de capacitadores usando este nuevo valor? (b) ¿Qué voltaje de línea a línea se requerirá en la planta generadora cuando este nuevo banco de capacitadores está conectado a la subestación? 11.56 Seleccione un solo capacitador del Apéndice H que esté más cerca de los F nominales del capacitador conectado en delta del Problema 11.54(a).
(a) Cuánta potencia reactiva suplirá un banco de capacitadores usando este nuevo valor? (b) ¿Qué voltaje de línea a línea se requerirá en la planta generadora cuando este nuevo banco de capacitadores está conectado a la subestación?
49
11.57 En el ejemplo de la Perspectiva Práctica, ¿qué le sucede al nivel de voltaje en la planta generadora si la subestación se mantiene en 13.8 kV, se remueve la carga de la subestación y el banco de capacitadores adicional permanece conectado? 11.58 En el ejemplo de la Perspectiva Práctica, calcule la pérdida total en la línea en kW antes y después de que los capacitadores estén conectados a la subestación. 11.59 Supóngase que la carga en la subestación en el ejemplo de la Perspectiva Práctica cae a 180 kW y 480 kVAR de magnetización. Supóngase también que los capacitadores permanecen conectados a la subestación.
a) ¿Cuál es la magnitud del voltaje línea a línea que se requiere en la planta generadora para mantener un voltaje de línea a línea de 13.8 kV en la subestación? b) ¿Causará problema a otros clientes este nivel de voltaje en la planta eléctrica? 11.60 Supóngase en el Problema 11.59 que cuando la carga cae a 180 kW y 480 kVAR de magnetización, se desconecta el bando de capacitadores. Supóngase también que el voltaje de línea a línea en la subestación se mantiene en 13.8 kV.
a) ¿Cuál es la magnitud del voltaje línea a línea en la planta generadora? b) ¿Está el nivel del voltaje encontrado en (a) dentro de la banda aceptable de variación? c) ¿Cuál es la pérdida total en la línea en kW cuando los capacitadores permanecen en línea después de que la carga cae a 180 + j480 kVA? d) ¿Cuál es la pérdida total en la línea en kW cuando los capacitadores se remueven de la línea después de que la carga cae a 180 + j480 kVA? e) Con base en sus cálculos, ¿recomendaría usted desconectar los capacitadores después de que la carga caiga a 180 + j480 kVA? Explique.
50
12 Circuitos Polifásicos *
Introducción
La mayor parte de la potencia es entregada a los consumidores en la forma de voltajes y corrientes sinusoidales, típicamente conocidas como corriente alterna o simplemente CA. Aunque hay excepciones, por ejemplo, algunos tipos de motores de trenes, la mayoría de los equipos están diseñados para trabajar en ya sea 50 o 60 Hz. La mayoría de los sistemas de 60 Hz están ahora estandarizados para trabajar con 120 V, en tanto que los sistemas de 50 Hz trabajan típicamente con 240 V (ambos voltajes mencionados están en valores eficaces o rms). El voltaje real suministrado a un artefacto puede variar un poco con respecto a estos valores, y los sistemas de distribución emplean voltajes significativamente más altos para minimizar la corriente y por tanto el tamaño de los cables. Originalmente Thomas Edison abogó por una red de distribución de CD únicamente, supuestamente debido a su preferencia por el álgebra más sencilla que se requería para analizar esos circuitos. Nikola Tesla y George Westinghouse, otros dos pioneros en el campo de la electricidad, propusieron sistemas de distribución de CA ya que las pérdidas que se presentaban eran significativamente más bajas. Finalmente fueron más persuasivos, a pesar de algunas demostraciones más bien teatrales por parte de Edison. Cuando se determina la demanda pico de la potencia, interesa la respuesta transitoria de los sistemas de potencia de CA, ya que la mayoría de los equipos requiere más corriente durante el arranque que cuando trabaja continuamente. Sin embargo, a menudo es la operación en estado estacionario (o régimen permanente) la que es de mayor interés, de modo que nuestra experiencia con el análisis fasorial demostrará su utilidad. En este capítulo se introduce un nuevo tipo de fuente de voltaje, la fuente trifásica, la cual puede conectarse bien sea en una configuración en Y de tres o cuatro alambres o en una configuración en . Las cargas tamben están conectadas en Y o en , dependiendo de la aplicación. También se introducen circuitos diseñados para manejar grandes cantidades de potencia eléctrica. Éstos son los circuitos que se utilizan para transportar la potencia eléctrica desde las plantas generadoras hasta los consumidores tanto industriales como residenciales. Por razones económicas, los sistemas trifásicos normalmente se diseñan para operar en estado de equilibro. Por consiguiente, en este estudio introductorio, solamente consideraremos circuitos equilibrados. El análisis de circuitos trifásicos no equilibrados depende bastante en una buena comprensión de los circuitos balanceados. 12.1. Sistemas Polifásicos
Hasta ahora, siempre que se ha utilizado el término “fuente sinusoidal”, se piensa en un solo voltaje o corriente sinusoidal con una amplitud, frecuencia y fase particulares. En este capítulo, se introduce el concepto de fuentes * Estas notas fueron preparadas tomando como base los textos siguientes:
Circuitos Eléctricos: Jesús Fraile Mora, (2012) Engineering Circuit Analysis: Hayt, W.H.; Kemmerly, J.E.; Durbin, S. M ., 8va. Ed. (2012) Electric Circuits: Nilsson, J. W., Riedel, S. A. , 10ma. Ed. (2015) Introduction to Electric Circuits: Svoboda, J.; Dorf, R., 9na. Ed. (2013) Fundamentals of Electric Circuits: Alexander, C., Sadiku, M., 5ta. Ed. (2013)
2 polifásicas,
con atención particular en los sistemas trifásicos. Hay dos ventajas específicas al usar maquinaria rotativa para generar potencia trifásica en vez potencia monofásica, y hay ventajas económicas que favorecen la transmisión de potencia en un sistema trifásico. Aunque la mayoría del equipo eléctrico que hemos encontrado hasta este punto es de una sola fase, los equipos trifásicos no son poco comunes, especialmente en ambientes manufactureros. En particular, los motores usados en grandes sistemas de refrigeración y en instalaciones de maquinado a menudo están diseñados para trabajar con potencia trifásica. Para el resto de las aplicaciones, una vez que nos hayamos familiarizado con las propiedades básicas de los sistemas polifásicos, encontraremos que es sencillo obtener potencia monofásica con sólo conectar un “brazo” de un sistema polifásico. Estudiemos brevemente el sistema polifásico más común, un sistema trifásico equilibrado. La fuente tiene tres terminales, a, b y c (sin contar una conexión neutra o tierra ) y mediciones con un voltímetro mostrarán que se tienen voltajes sinusoidales de igual amplitud entre dos terminales cualesquiera. Sin embargo, estos voltajes no están en fase; cada uno de los tres voltajes está desfasado 120° con respecto a los otros dos, el signo del ángulo de fase depende de la orientación de los voltajes. Un conjunto posible de voltajes se muestra en la Fig. 12.1. Las expresiones matemáticas de estos tres voltajes son van (t ) 2 V cos t ,
vbn ( t) 2 V cos t 120
vcn (t ) 2 V cos t 240 2 V cos t 120
Este conjunto de tensiones y su representación fasorial constituyen un sistema simétrico ya que está formado por tres tensiones sinusoidales con el mismo valor eficaz V , la misma frecuencia y con el mismo desfase. Una carga equilibrada extrae la misma potencia de todas las tres fases. En ningún momento la potencia instantánea tomada por la carga total se hace cero; de hecho, como se demostrará más adelante, la potencia instantánea total es constante. Esto es una ventaja en maquinaria rotativa, ya que mantiene el par sobre el motor mucho más constante que lo que sería si se usase una fuente monofásica. Como un resultado, hay menos vibraciones. v(t) van
v bn
vcn
van
Vm 2V
Figura 12.1 Un ejemplo de un conjunto de tres voltajes, cada uno de los cuales
está desfasado 120° con respecto a los otros dos. Como puede verse, sólo uno de los voltajes es cero en cualquier instante en particular.
El uso de un mayor número de fases, tales como sistemas de 6 y 12 fases, está limitado casi completamente al suministro de potencia para grandes rectificadores. Los rectificadores convierten corriente alterna en corriente directa permitiendo que la corriente fluya hacia la carga en una dirección, de modo que el signo del voltaje a través de la carga permanece sin cambios. La salida del rectificador es una corriente directa más una componente pulsante más pequeña, o rizo, el cual disminuye conforme aumente el número de fase. Casi sin excepción, los sistemas polifásicos prácticos contienen fuentes que pueden aproximarse bastante bien mediante fuentes ideales de voltajes o mediante fuentes ideales de voltaje en serie con pequeñas impedancias internas. Las fuentes de corriente trifásica son raras en extremo.
3
Notación de Doble Subíndice
Es conveniente describir voltajes y corrientes polifásicos usando notación de doble subíndice . Con esta notación, un voltaje o corriente, como por ejemplo Vab o IaA, tiene más significado que se indicase simplemente como V3 o Ix. Por definición, el voltaje del punto a con respecto al punto b es Vab. Así, el signo más (“+”) está ubicado en a, como indica la Fig. 12.2a. Por tanto, los subíndices dobles se consideran como equivalentes a un par de signos más-menos: el uso de ambos sería redundante. Con referencia a la Fig. 12.2b, por ejemplo, vemos que Vad Vab Vcd . La ventaja de la notación de doble subíndice está en el hecho de que la ley de voltajes de Kirchhoff requiere que el voltaje entre dos puntos sea el mismo, indiferente de la trayectoria escogida entre los puntos, así Vad Vab Vbd Vac Vcd Vab Vbc Vcd , y así sucesivamente. El beneficio de esto es que la LVK debe satisfacerse sin referencia al diagrama del circuito: se pueden escribir ecuaciones correctas aunque se incluya un punto, o letra de subíndice que no esté marcado en el diagrama. Por ejemplo, se podría haber escrito Vad Vax Vxd , donde x identifica la posición de cualquier punto de interés de nuestra selección.
Figura 12.2 (a) La definición del voltaje Vab. (b) Vad Vab Vbc Vcd Vab Vcd .
Una representación posible de un sistema de voltajes1 trifásicos se muestra en la Fig. 12.3.
Sistema de voltajes trifásicos como ejemplo numérico de la notación de doble subíndice para el voltaje. Figura 12.3
Supóngase que se conocen los voltajes Van,, Vbn y Vcn: Van
1000 V,
Vbn
100 120 V,
Vcn
100 240 V
El voltaje Vab puede hallarse, tomando en cuenta los subíndices, como Vab
Van Vnb Van Vbn 1000 100120 100 50 j 86.6 173.230 V
Los tres voltajes dados y la construcción del fasor Vab se muestran en el diagrama fasorial de la Fig. 12.4.
1 Para
cumplir con la convención de la industria eléctrica, se usarán implícitamente valores eficaces (rms) para corrientes y voltajes a través de este capítulo.
4
Este diagrama fasorial ilustra el uso gráfica de la convención de doble subíndice para el voltaje para obtener Vab para la red en la Fig. 12.3. Figura 12.4
Una notación de doble subíndice también puede aplicarse a las corrientes. La corriente Iab se define como la corriente que fluye desde a hasta b por la trayectoria más directa . En cada circuito completo que se considere, debe haber por supuesto por lo menos dos posibles trayectorias entre los puntos a y b, y acordamos que no se usará la notación de doble subíndice a menos que sea obvio que una trayectoria es mucho más corta o mucho más directa. Usualmente, esta trayectoria es a través de un solo elemento. Así, la corriente Iab está indicada correctamente en la Fig. 12.5. De hecho, ni siquiera se necesita la flecha de la dirección cuando se habla acerca de esta corriente; los subíndices nos dicen la dirección. Sin embargo, la identificación de una corriente como Icd para el circuito de la Fig. 12.5 producirá confusión.
Figura 12.5 Una ilustración del uso y del falso uso de la convención de
doble subíndice para notación de corrientes.
Problemas de Práctica Vab 1000 V , Vbd 4080 V y Vca 70200 V . Determinar (a) Vad: (b) Vbc; Vcd.
12.1
Sea
12.2
Refiérase al circuito de la Fig. 12.6 y sean I fj = 3 A, Ide = 2 A e Ihd = 6 A. Calcular (a) Icd; (b) Ief ; (c) Iij.
Figura 12.6
5
Resp: 12.2. Sistemas Monofásicos de Tres Hilos
Antes de estudiar sistemas polifásicos en detalle, puede ser de utilidad mirar primero un sencillo sistema monofásico de tres hilos. Una fuente monofásica de tres alambres se define como una fuente que tiene tres terminales de salida, tales como a, n y b en la Fig. 12.7a, en la cual los voltajes fasoriales Van y Vnb son iguales. La fuente puede entonces representarse por la combinación de fuentes de voltajes idénticas; en la Fig. 12.7b, Van Vnb V1 . Es obvio que Vab 2Van 2Vnb y por tanto se tiene una fuente a la cual se pueden conectar cargas que operan con cualquiera de los dos voltajes. El sistema residencial en Norteamérica es monofásico de tres hilos, lo que permite la operación de aparatos de 110 V y 220 V. Los aparatos de voltaje más alto son normalmente aquellos que demandan grandes cantidades de potencia; la operación a un voltaje mayor resulta en la extracción de una corriente menor para la misma potencia. En consecuencia, se pueden usar sin ningún peligro alambres de diámetro menor en los aparatos, en el sistema de distribución residencial y en el sistema de distribución de la compañía de electricidad, ya que se debe usar alambre de mayor diámetro con corrientes más altas para reducir el calor producido por la resistencia de los alambres. El nombre monofásico se origina debido a que los voltajes Van y Vnb, como son iguales, deben tener el mismo ángulo de fase. Sin embargo, desde otro punto de vista, los voltajes entre los alambres externos y el alambre central, al que usualmente se le refiere como el neutro, están desfasados exactamente 180°. Esto es, Van Vbn y Van Vbn 0 . Más adelante se verá que los sistemas polifásicos equilibrados se caracterizan mediante un conjunto de voltajes de igual amplitud cuya suma (fasorial) es cero. Desde este punto de vista, entonces, el sistema monofásico de tres hilos es realmente un sistema bifásico equilibrado. Sin embargo, bifásico es un término que tradicionalmente se reserva para un sistema desequilibrado relativamente sin importancia que utiliza dos fuentes de voltajes que están 90° fuera de fase.
Fuente monofásica de 3 alambres
Figura 12.7 (a) Fuente monofásica de tres hilos. ( b) La representación de una
fuente monofásica de tres hilos mediante dos fuentes de voltaje idénticas.
Considérese ahora un sistema monofásico de tres hilos que contiene cargas idénticas Z p entre cada alambre externo y el neutro (Fig. 12.8). Primero se supone que los alambres que conectan la fuente a la carga son conductores perfectos. Puesto que Van
V nb
entonces, I aA
Van Z p
I Bb
V nb
Zp
y por tanto InN
IBb I Aa IBb IaA 0
Así pues, no hay corriente en el alambre neutro y podría removerse sin cambiar ninguna corriente o voltaje en el sistema. Este resultado se consigue debido a la igualdad de las dos cargas y de las dos fuentes.
6
Figura 12.8 Un sistema monofásico sencillo de tres hilos. Las dos
cargas son idénticas y la corriente en el neutro es cero.
Efecto de una Impedancia Finita de los Alambres
A continuación se considera el efecto de una impedancia finita en cada uno de los alambres. Si las líneas aA y bB tienen la misma impedancia, esta impedancia puede añadirse a Z p, lo que resulta de nuevo en dos cargas iguales, y corriente cero en el neutro. Permitamos ahora que el alambre neutro posea alguna impedancia Zn. Sin entrar en un análisis detallado, la superposición debe mostrar que la simetría del circuito todavía producirá una corriente cero en el neutro. Además, la adición de cualquier impedancia conectada directamente desde una de las líneas exteriores a la otra línea exterior también producirá un circuito simétrico y corriente cero en el neutro. De modo que una corriente en el neutro igual a cero es una consecuencia de una carga equilibrada o simétrica; una impedancia diferente de cero en el neutro no acaba con la simetría. El sistema monofásico de tres hilos más general contendrá cargas desiguales entre cada línea exterior y el neutro y otra carga conectada directamente entre las dos líneas externas; se puede esperar que las impedancias de las dos líneas externas sean aproximadamente iguales, pero la impedancia del neutro con frecuencia es ligeramente mayor. Consideremos un ejemplo de un sistema así, con interés particular en la corriente que puede fluir por el alambre neutro y también en la eficiencia global con la que nuestro sistema está transmitiendo potencia a la carga desequilibrada. Ejemplo 12.1
Analice el sistema mostrado en la Fig. 12.9 y determine la potencia entregada a cada una de las tres cargas y también la potencia perdida en el alambre neutro y en cada una de las dos líneas.
Figura 12.9 Un sistema monofásico de tres hilos típico.
Identifique el objetivo del problema
Las tres cargas en el circuito son el resistor de 50 , el resistor de 100 y una impedancia de 20 j10 . Cada una de las dos líneas tiene una resistencia de 1 y el alambre neutro tiene una resistencia de 3 . Se busca la corriente que pasa por cada uno de ellos para determinar la potencia.
7
Recopilar la información conocida
Tenemos un sistema monofásico de tres hilos; el diagrama del circuito de la Fig. 12.9 está completamente identificado. Las corrientes calculadas estarán en valores eficaces (rms). Elabore un plan
El circuito conduce al análisis de mallas, pues tiene tres mallas claramente definidas. El resultado del análisis será un conjunto de corriente de malla, las cuales pueden entonces usarse para calcular la potencia absorbida. Construya un conjunto apropiado de ecuaciones
Las tres ecuaciones de malla son:
115 0 I1 50 I 1 I 2 3 I 1 I 3 0 20 j10 I 2 100 I 2 I 3 50 I 2 I 1 0 1150 3 I 3 I 1 100 I 3 I 2 I 3 0
las cuales pueden reacomodarse para obtener las tres ecuaciones siguientes: 50I 2 3I 3 1150 50I 1 170 j 10 I 2 100I 3 0 3I1 100I 2 104I 3 1150 54I1
Tenemos un conjunto de tres ecuaciones con tres incógnitas, de modo que es posible intentar una solución en este punto. Determine si se requiere información adicional
Buscar la solución
Resolviendo por las corrientes fasoriales I1, I2 e I3 se encuentra que 11.24 19.83 A I 2 9.389 24.47 A I 3 10.37 21.80 A I1
Por tanto, las corrientes en las líneas exteriores son I aA
I1 11.24 19.83 A
I bB
I3 10.37 158.20 A
e y la corriente más baja en el neutro es I nN I 3 I1
0.9459 177.7 A
Ahora se puede determina la potencia promedio que demanda por cada carga: P50 I 1 I 2
2
50 206 W
P100 I 3 I 2
2
100 117 W
P20 j 10 I 2
2
20 1763 W
La potencia total en la carga es 2086 W. A continuación se calcula la pérdida en cada uno de los alambres: PaA I1
2
(1) 126 W
PbB I 3
2
(1) 108 W
2
PnN InN (3) 3 W
lo que da una pérdida total de 237 W. Los alambres son, claramente, bastante largos; de lo contrario, la pérdida de potencia relativamente alta en las dos líneas exteriores provocaría un peligroso aumento en la temperatura.
8 Verificar la solución. ¿Es razonable o es la esperada?
La potencia total absorbida es 206 + 117 + 1763 + 237, o 2323 W, lo cual puede verificarse calculando la potencia entregada por cada fuente de voltaje: Pan 115 11.24 cos 19.83 1216 W Pbn 115 10.37 cos 21.80 1107 W
o un total de 2323 W. La eficiencia de transmisión para el sistema es
potencia total entregada a la carga 2086 89.8% potencia total gnerada 2086 237
Este valor no sería creíble para una máquina de vapor o una máquina de combustión interna, pero es demasiado bajo para un sistema de distribución bien diseñado. Se deben utilizar alambres de mayor diámetro si la fuente y la carga no pueden ubicarse más cerca entre sí. En la Fig. 12.10 se ilustra un diagrama fasorial que muestra los dos voltajes de la fuente, las corrientes en las líneas exteriores y la corriente en el neutro. En el diagrama se indicia el hecho de que I aA IbB InN 0 .
Figura 12.10 Los voltajes de la fuente y tres de las corrientes de la Fig. 12.9 se muestran en una diagrama fasorial. Observe que IaA + IbB + InN = 0.
Problema de Práctica
Modifique la Fig. 12.9 añadiendo una resistencia de 1.5 a cada una de las dos líneas exteriores y una resistencia de 2.5 al conductor neutro. Encuentre la potencia promedio entregada a cada una de las tres cargas. 12.3
Resp: 153.1 W; 95.8 W; 1374 W.
12.3. Conexión Trifásica Y-Y
Un conjunto de tres voltajes de fase consiste de tres voltajes sinusoidales que amplitudes y frecuencias idénticas pero que tienen un desfase entre ellos de exactamente 120°. La práctica estándar es referirse a las tres fases como a, b y c y usar la fase a como la fase de referencia. Por supuesto, las fuentes trifásicas tienen tres terminales, denominados terminales de línea y pueden tener o no un cuarto terminal, la conexión neutra. Comenzaremos con el análisis de una fuente trifásica que sí tiene una conexión neutra. Se puede representar mediante tres fuentes de voltaje ideales conectadas en una Y, como muestra la Fig. 12.11; los terminales a, b, c y n están accesibles. Solamente se considerarán fuentes trifásicas equilibradas, las cuales se definen de la manera siguiente: Van
Vbn
Vcn
y Van
Vbn Vcn 0
9
Figura 12.11 Una fuente trifásica conectada en Y de cuatro hilos.
Como la suma de los voltajes fasoriales es cero, la suma de los voltajes instantáneos también es cero; esto es, van vbn vcn 0
Estos tres voltajes, cada uno tomado entre una de las líneas y el neutro, se denominan voltajes o tensiones de fase. Si arbitrariamente se escoge Van como la referencia o se define Van
V p 0
donde se usará V p en forma consistente para representar la amplitud rms de cualquiera de los voltajes de fase, entonces la definición de la fuente trifásica indica que Vbn
Vp 120 y
Vcn
V p 240
Vp 120 y
Vcn
V p 240
o Vbn
La primera secuencia se denomina secuencia de fase positiva o secuencia de fase abc y se ilustra en la Fig. 12.12a; la segunda secuencia se llama secuencia de fase negativa o secuencia de fase cba y se indica mediante el diagrama fasorial de la Fig. 12.12b. La secuencia de fases es determinada por el orden en el cual los fasores pasar por un fijo en el diagrama de fases y es muy importante en los sistemas de distribución eléctrica, ya que ella determina el sentido de rotación de los motores trifásicos. Tome nota que los circuitos pueden operar en paralelo solamente si tienen la misma secuencia de fases.
Secuencia (+)
Secuencia ( )
Figura 12.12 (a) Secuencia positiva o abc. (b) Secuencia negativa o cba.
La secuencia de fases real de una fuente trifásica física depende de la selección arbitraria de los tres terminales que se identificarán como a, b y c. Siempre pueden escogerse para proporcionar una secuencia de fases positiva y se supondrá que esto se ha hecho en la mayoría de los sistemas que se considerarán. Antes de continuar, se debe hace la siguiente aclaratoria. Como los sistemas trifásicos están diseñados para manejar grandes bloques de potencia eléctrica, todas las especificaciones de voltajes y corrientes se dan en valores eficaces (valores rms). En este capítulo, todos los voltajes y corrientes se expresan en valores eficaces o rms .
10
Voltajes de Línea a Línea
A continuación se determinarán los voltajes de línea a línea (denominados con frecuencia voltajes de línea) que se presentan cuando los voltajes de fase son los de la Fig. 12.12a. Esto es más fácil de hacer con la ayuda de un diagrama fasorial, ya que los ángulos son todos múltiplos de 30°. La construcción necesaria se muestra en la Fig. 12.13; los resultados son Vab
3 Vp 30,
Vbc
3 Vp 90,
Vca
3 V p 210
La ley de voltajes de Kirchhoff requiere que la suma de estos tres voltajes sea cero; Se sugiere al lector que verifique esta afirmación como un ejercicio. Si se denota por V L la amplitud rms de cualquiera de los voltajes de línea, entonces una de las características importantes de la fuente trifásica conectada en Y puede expresarse como VL 3 V p
Observe que con una secuencia de fases positiva, Van adelanta a Vbn y Vbn adelanta a Vcn, en cada caso en 120°, y también que Vab adelanta a Vbv y Vbc adelanta a Vca, de nuevo en 120°. La afirmación es válida para una secuencia de fase negativa si se cambian la palabra “adelanta” por “retrasa”.
Figura 12.13 Un diagrama fasorial usado para determinar los voltajes de línea a partir de los voltajes de
fase dados. O, algebraicamente,
Vab
Van Vbn Vp0 V p 120 V p 1 12 j 3 2 3V p30 .
Igual que las conexiones de una fuente, una carga trifásica puede estar conectada en estrella o en delta, dependiendo de su aplicación. La Fig. 12.14(a) muestra una carga conecta en estrella y la Fig. 12.14(b) muestra una carga conectada en delta. La línea neutra en la Fig. 12.14(a) puede estar allí o no, dependiendo de si el sistema es de cuatro o tres hilos. Se dice que una carga está desequilibrada si las impedancias de las fases no son iguales en magnitud y fase.
Figura 12.14
11
Conectemos ahora una carga trifásica conectada en Y a nuestra fuente, usando tres líneas y un conductor neutro o de retorno, como muestra la Fig. 12.15. La carga se representa mediante una impedancia Z p entre cada línea y el neutro; la carga en Y está equilibrada y por tanto Z1 Z2 Z3 Z p . Comenzamos el análisis de circuitos trifásicos con esta conexión, estrella-estrella, porque cualquier sistema trifásico equilibrado puede reducirse a un sistema Y-Y equivalente.
Figura 12.15 Un sistema trifásico equilibrado, conectado en Y-Y que incluye un neutro.
Las tres corrientes de línea se encuentran fácilmente, puesto que realmente tenemos tres circuitos monofásicos que poseen un conductor común:2 I aA
Van
I bB
Vbn
IcC
I aA 240
Z p Z p
Van 120 Zp
I aA 120
y, por tanto, I Nn
IaA IbB IcC 0
De manera que el neutro no conduce corriente si la fuente y la carga están equilibradas, es decir, no hay corriente de retorno, y los cuatro hilos tienen impedancia cero. ¿Cómo cambiará esto si se coloca una impedancia ZL en serie con cada una de las tres líneas y se inserta una impedancia ZL en el neutro? Las impedancias de línea pueden combinarse con las tres impedancias de carga; esta carga efectiva todavía está equilibrada y se podría eliminar un hilo neutro perfectamente conductor. De manera que no se producen cambios en el sistema con un cortocircuito o un circuito abierto entre n y N ; se puede introducir cualquier impedancia en el neutro y la corriente en el neutro permanecerá igual a cero. Si las impedancias de carga son diferentes en magnitud y (o) fase, las tres corrientes en la ecuación anterior serán desiguales; en este caso se dice que el receptor representa un sistema desequilibrado.
La red de la Fig. 12.15 se denomina sistema trifásico a cuatro hilos . En estos sistemas, la sección del neutro acostumbra a ser la mitad (a veces igual) de la de los otros conductores. El sistema es muy empleado en las redes de distribución de baja tensión para suministro de energía a locales comerciales, pequeñas industrias e instalaciones domésticas. Se concluye que si tenemos fuentes equilibradas, cargas equilibradas e impedancias de línea equilibradas, no hay una diferencia en potencial entre el neutro de la fuente y el neutro de la carga; por tanto, un alambre neutro de cualquier impedancia puede ser reemplazado por cualquier otra impedancia, incluyendo un cortocircuito o un circuito abierto; el reemplazo no afectará los voltajes o corrientes del sistema. Con frecuencia es de utilidad visualizar un cortocircuito entre los dos puntos neutros, ya sea que esté presente o no un alambre neutro; el problema se reduce entonces a tres problemas monofásicos, todos idénticos excepto por la diferencia presente en el ángulo de fase. Se dice entonces que el problema se resuelve en una base “por fase” o con un “ circuito
2 Se observa que esto es cierto al aplicar superposición y considerando a cada fase por separado.
12 monofásico equivalente ”. Si
cada línea tiene una impedancia ZL, entonces la corriente de línea en la fase a,
tomada como referencia, es I aA
Van ZL
Zp
y esta ecuación describe el circuito sencillo mostrado en la Fig. 12.16, en el cual el conductor neutro se ha reemplazado por un cortocircuito perfecto. El circuito en la Fig. 12.16 se conoce como el circuito monofásico equivalente de un circuito trifásico equilibrado. ZL
a
A
IaA Van
+
Z p
n
N
Figura 12.16 Circuito monofásico equivalente.
Aquí se debe tener cuidado. La corriente en el conductor neutro mostrado en la Fig. 12.16, no es la misma que la corriente en el conductor neutro del circuito trifásico equilibrado. Por tanto, el circuito en la Fig. 12.16 da el valor correcto de la corriente de línea pero sólo una componente de la corriente en el neutro. Ejemplo 12.2
Calcular las corrientes de línea en el sistema Y-Y de tres hilos en la Fig. 12.17.
Figura 12.17
Solución: El circuito trifásico en la Fig. 12.17 está equilibrado; por tanto, podemos reemplazarlo con su circuito monofásico equivalente como como en la Fig. 12.16 con Z p = ZY . Del análisis obtenemos Ia como Ia
donde
ZY 5 j 2 10 j8 15 j6 16.155 21.8 . Ia
Van ZY
Por tanto,
110 0 6.81 21.8 A 16.15 .155 21.8
13
Como los voltajes de la fuente en la Fig. 12.17 están en secuencia positiva, las corrientes de línea también están en secuencia positiva: I a 120 6.81 141.8 Ic Ia 240 6.81 261.8 A 6.81 98.2 A Ib
Ejemplo 12.3
Un generador trifásico equilibrado conectado en Y con secuencia positiva tiene una impedancia de 0.2 j0.5 /fase y un voltaje interno de 120 V/fase. El generador alimenta una carga trifásica equilibrada conectada en Y que tiene una impedancia de 39 j28 /fase . La impedancia de la línea que conecta el generador a la carga es 0.8 j1.5 /fase . El voltaje interno de la fase a del generado se toma como el fasor de referencia a)
Construya el circuito equivalente de la fase a para el circuito.
b)
Calcule las tres corrientes de línea IaA, IbB e IcC .
c)
Calcule los voltajes de fase en la caga V AN , VBN y y VCN .
d) Calcule los voltajes de línea V AB, VBC y y VCA en los terminales de la carga. e)
Calcule los voltajes de fase en los terminales del generador, Van, Vbn y Vcn.
f)
Calcule los voltajes de línea en los terminales del generador, Vab, Vbc y Vca.
g)
Repita (a)(f) para una secuencia de fases negativa.
Solución
(a) La Fig. 12.18 muestra el circuito monofásico equivalente. 0.2
a’
J 0.5 0.5
a
+ 1200 V
0.8 IaA
Van
J 1.5 1.5
A
+ 39 V AN
j28
n
N
monofásico para el Ejemplo Ejemplo 12.3. Figura 12.18 El circuito equivalente monofásico
(b) La corriente de línea de la fase a es I aA
1200 0.2 0.8 39 j 0.5 1.5 28
1200 40 j 20
2.4 36.87 A
Para una secuencia positiva, IbB
2.4 156.87 A
IcC 2.483.13 A
(c) El voltaje de fase en el terminal A de la carga es
14 V AN 39 j 29 2.4 36.87
115.22 1.19 V
Para una secuencia de fases positiva VBN 115.22 121.19 A VCN 115.22118.81 A
(d) Para una secuencia de fase positiva, los voltajes de línea adelantan los voltajes de fase por 30°; por tanto V AB
3 30 VAN 199.5828.81 V
VBC 199.58 91.19 V VCA
199.58148.81 V
(e) El voltaje de fase en un terminal de la fuente es Van
120 0 2 j0.5 2.4 36.87
120 1.29 31.33 12
118.90 j0.67 11
118.90 0.32 V
Para una secuencia de fases positiva, Vbn Vc
118.90 120.32 V
118.90119.68 V
(f) Los voltajes de línea en los terminales de la fuente son 3 30 Van
Vab
205.94 29.68 V Vbc
205.95 90.32 V
Vca
205.94149.68 V
(g) El cambio de la secuencia de fases no tiene efecto sobre el circuito monofásico equivalente. Las tres corrientes de línea son I aA
2.4 36.87 A
IbB
2.483.13 A
IcC 2.4 156.87 A
Los voltajes de fase en la carga son V AN 115.22 1.19 V VBN 115.22 118.81 V VCN 115.22 121.19 V
Para una secuencia de fase negativa, los voltajes de línea retrasan los voltajes de fase por 30°: V AB
3 30 VAN 199.58 31.19 V
VBC 199.58 88.81 V VCA
199.58 151.19 V
15
Los voltajes de fase en los terminales del generador son Van
118.90 0.32 V
Vbn
118.90 119.68 V
Vcn
118.90 120.32 V
Los voltajes de línea en los terminales del generador son Vab
3 30 Van 205.94 30.32 V
Vbc
205.94 89.68 V
VCA
205.94 150.32 V
Ejemplo 12.4
Para el circuito de la Fig. 12.19, encuentra las corrientes de línea y los voltajes de fase y de línea para todo el circuito; calcule después la potencia total disipada en la carga.
a
A
b
B
10060
2000 V rms n
N
Sistema equilibrado Secuencia (+)
c
C
Figura 12.19 Un sistema trifásico equilibrado conectado en Y-Y de tres hilos.
Puesto que se da uno de los voltajes de fase de la fuente y se nos dice que se use la secuencia de fases positiva, los tres voltajes de fase son: Van
2000 V,
Vbn
200 120 V,
Vcn
200 240 V
El voltaje de línea es 200 3 346 V; el ángulo de fase de cada voltaje de línea se puede determinar construyendo un diagrama fasorial como se hizo en la Fig. 12.13 (de hecho, se aplica el diagrama fasorial de la Fig. 12.13), restando los voltajes de fase usando una calculadora científica o las Ecs. (1) a (3). Se encuentra que Vab es 34630 V, Vbc 346 90 V y Vca 346 210 V. La corriente de línea para la fase A es I aA
Van Z p
2000 2 60 A 10060
Puesto que sabemos que éste es un sistema trifásico equilibrado, se pueden escribir las restantes corrientes de línea tomando como base a IaA: IbB
2 60 120 2 180 A,
IcC
2 60 240 2 300 A
16
Finalmente, la potencia promedio absorbida por la fase A es Re VanIaA , o P AN 200 2 cos 0 60 200 W
Así pues, la potencia promedio total extraída por la carga trifásica es 600 W. El diagrama fasorial para este circuito se muestra en la Fig. 12.20. Una vez que se conoce cualquiera de las magnitudes de los voltajes de línea y cualquiera de las magnitudes de las corrientes de línea, los ángulos para los tres voltajes y las tres corrientes se podrían haber obtenido a partir de una simple lectura del diagrama.
Figura 12.20 Diagrama fasorial que aplica al circuito de la Fig. 12.19.
Ejemplo 12.5
En una red trifásica de conexión Y-Y (Fig. 12.21), la tensión de línea a línea en el extremo de la carga es de 380 V. La carga es equilibrada y tiene una impedancia por fase de 38 3 45 . La impedancia de cada fase la línea, incluyendo el neutro es de 1 j 2 . La secuencia de fases es abc. Tomando la tensión V AN como referencia, calcular: (a) las corrientes IaA, IbB e IcC ; (b) El voltaje de fase (línea a neutro) en el extremo generador. Solución:
(a) La magnitud de la tensión de línea a línea es de 380 V, lo que corresponde a una magnitud de la tensión de fase de 380 3 V, Si se selecciona el voltaje V AN como referencia y puesto que la secuencia de fases dada es abc, entonces las expresiones fasoriales para los voltajes de fase son V AN
380 0, 3
VBN
380 120, 3
VCN
380 120 3
Las corrientes que circulan por cada una de las impedancias de carga serán: I AN
V AN Z A
380 0 3 10 45 , 38 45 3
I BN
VBN ZL
10 165 ,
ICN
VCN ZL
10 75
las cuales forman un sistema simétrico ya que la carga está equilibrada. Como el sistema es Y-Y, las corrientes de las líneas son las mismas que las de fase. IaA
I AN 10 45,
IbB
IBN 10 165 ,
IcC
ICN 10 75 A
(b) El voltaje de fase a neutro en el extremo generador, por ejemplo, para la fase A (la referencia), se obtiene aplicando la LVK a la malla aZR Ana (Fig. 12.21): Van
VAN ZAIaA ZN IN VAN ZA IaA
17
Z A
a
A IaA
I AN
Van
V AN ZN
n
IN
N Vbn
Vcn
c
b IcC
IBN
ICN
IbB
VCN
C
VBN
B
Z A = ZB = Z C = ZL
ZB
ZC
Figura 12.21 Circuito Y-Y equilibrado a cuatro hilos.
o Van
380 0 1 j 2 10 45 240.71.7 V 3
Problema de Práctica
Un sistema trifásico equilibrado de tres hilos tiene una carga conectada en Y. Cada fase contiene tres cargas en paralelo: j100 , 100 y 50 j50 . Suponga una secuencia de fases positiva con Vab 4000 V. Hallar (a) Van; (b) IaA; (c) La potencia total extraída por la carga. 12.4
Resp: 231 30 V; 4.62 30 A; 3200 W .
Un generador trifásico conectado en estrella con una impedancia de 0.4 + j0.3 por fase está conectada a una carga equilibrada en estrella con una impedancia de 24 + j19 por fase. La línea que una al generador con la carga tiene una impedancia de 0.6 + j0.7 por fase. Suponiendo una secuencia positiva para los voltajes de la fuente y que Van 12030 V, hallar: (a) los voltajes de línea y (b) las corrientes de línea. 12.5
Resp: (a) 207.860 V , 207.8 60 V , 207.8 180 V .
(b)
3.75 8.66 A , 3.75 128.66 A , 3.75111.34 A
Antes de analizar otro ejemplo, ahora es un buen momento para explorar rápidamente un planteamiento que se hizo en la Sec. 12.1; es decir, que aunque los voltajes y corrientes de fases tiene valor cero en instantes específicos (cada 1/120 s en Norte América), la potencia instantánea entregada a la carga total nunca es cero. Considere de nuevo la fase A del Ejemplo 12.3, con el voltaje y la corriente de fase escritos en el dominio del tiempo: v AN 200 2 cos 120 t 0 V
e i AN 2 2 cos 120 t 60 A
Por tanto, la potencia instantánea absorbida por la fase A es p A (t ) v AN i AN 800 cos 120t cos 120t 60
En forma similar se obtiene que
400 cos 60 cos 240t 60 200 400 cos 240t 60 W pB (t) 200 400 cos 240 t 300 W
18
y
pC (t) 200 400 cos 240 t 180 W
Por tanto, la potencia instantánea absorbida por la carga total es p( y) p A (t) pB ( t) pC ( t) 600 W
independiente del tiempo y es el mismo valor que la potencia promedio calculada en el Ejemplo 12.2. Ejemplo 12.6
Un sistema trifásico equilibrado con un voltaje de línea de 300 V alimenta una carga equilibrada conectada en Y con 1200 W y un FP adelantado de 0.8. Determinar la corriente de línea y la impedancia de carga por fase. El voltaje de fase es 300 3 V y la potencia por fase es 1200 3 400 W. De modo que la corriente de línea se puede hallar a partir de la relación para la potencia: 400
300 I L 0.8 3
y la corriente de línea es entonces 2.89 A. La magnitud de la impedancia de fase es dada por Z p
V p I L
300 3 60 2.89
Puesto que el FP es igual a 0.8 adelantado, el ángulo de fase de la impedancia es 36.9°; de manera que ZP 60 36.9 . Problema de Práctica
Un sistema trifásico equilibrado de tres hilos tiene un voltaje de línea de 500 V. Están conectadas dos cargas equilibradas conectadas en Y. Una es una carga capacitiva con 7 j 2 por fase y la otra es una carga inductiva con 4 j 2 por fase. Hallar (a) el voltaje de fase; (b) la corriente de línea; (c) el potencia total extraída por la carga; (d) el factor de potencia con el cual opera la fuente. 12.6
Resp: 289 V; 97.5 A; 83.0 kW; 0.983 atrasado.
Se añade (en paralelo) una carga de iluminación de 600 W al sistema del Ejemplo 12.6. Determine la nueva corriente de línea. Ejemplo 12.7
Primero se dibuja un circuito equivalente por fase adecuado, como se muestra en la Fig. 12.22. Se supone que la carga de 600 W se distribuye uniformemente entre las tres fases, lo que resulta en 200 W adicionales consumidos por cada fase. La amplitud de la corriente de iluminación (marcada I1) está determinada por 200
300 I 1 cos 0 3
adelantado
Figura 12.22 El circuito por fase que se usa para analizar un ejemplo
trifásico equilibrado.
19
y, por tanto, I1
1.155 A
En una forma similar, se determina que la amplitud de la corriente de la carga capacitiva (identificada I2) permanece invariable de su valor previo, ya que su voltaje ha permanecido igual: I2
2.89 A
Si se supone que la fase con la cual estamos trabajando tiene un voltaje de fase con un ángulo de 0°, entonces, como cos1 0.8 36.9 , se tiene que I1
1.1550 A
I2
2.89 36.9 A
y la corriente de línea es IL
I1 I 2 3.87 26.6 A
Estos resultados se pueden verificar si se calcula la potencia generada por esta fase de la fuente: P p
300 3
3.87 cos 26.6 600 W
lo cual concuerda con el hecho de que se sabe que la fase individual está suministrando 200 W a la nueva carga de iluminación, y también 400 W a la carga original. Problema de Práctica
Tres cargas equilibradas conectadas en Y se instalan en un sistema trifásico equilibrado de cuatro hilos. La carga 1 extrae una potencia total de 6 kW con un FP unitario, la carga 2 extrae 10 kVA con FP 0.96 atrasado y la carga 3 demanda 7 kW con un FP de 0.85 atrasado. Si el voltaje de fase en las cargas es 135 V, si cada línea tiene una resistencia de 0.1 y si el neutro tiene una resistencia de 1 , hallar (a) la potencia total consumida por las cargas; (b) el FP combinado de las cargas; (c) la potencia total perdida en las cuatro líneas; (e) el factor de potencia con que opera la fuente. 12.7
Resp: 22.6 kW; 0.954 atrasado; 1027 W; 140.6 V; 0.957 atrasado.
Si una carga desequilibrada conectada en Y está presente en un sistema trifásico que está equilibrado en todas sus otras partes, el circuito todavía puede analizarse en un esquema por fase si está presente el alambre neutro y si tiene impedancia cero. Si no se cumple alguna de estas condiciones, se deben usar otros métodos, como el análisis de mallas o el nodal. Sin embargo, los ingenieros que dedican la mayor parte de su tiempo a sistemas trifásicos desequilibrados encontrarán que el uso de componentes simétricas ahorra mucho tiempo. 12.4. Análisis Alterno de la Conexión Estrella
Otra forma de analizar la conexión YY es la siguiente. La Fig. 12.23 muestra un circuito YY general, en el cual se ha incluido un cuarto conductor que conecta el neutro de la fuente con el neutro de la carga. Un cuarto conductor sólo es posible en el arreglo YY. En la figura, Z ga, Z gb y Z gc, representan la impedancia interna asociada con el devanado de cada fase del generador de voltaje; Z1a, Z1b y Z1c representan la impedancia de las líneas que conectan una fase de la fuente a una fase de la carga; Z0 es la impedancia del conductor neutro que conecta el neutro de la fuente con el neutro de la carga; y Z A, ZB y ZC representan la impedancia de cada fase de la carga. Este circuito se puede describir con una sola ecuación nodal. Usando el neutro de la fuente como el nodo de referencia y denotando por VN el voltaje de nodo entre los nodos N y n, encontramos que la ecuación de voltaje nodal es VN Z0
Van VN Vbn VN Vcn 0 Z A Z1a Z ga ZB Z1b Z gb ZC Z1c Z gc VN
(12.1)
20
Figura 12.23 Un sistema YY trifásico.
Podemos simplificar la Ec. (12.1) considerablemente si ahora consideramos la definición formal de un circuito trifásico equilibrado. Un circuito así satisface los siguientes criterios: 1.
Las fuentes de voltaje forman un conjunto de voltajes trifásicos equilibrados. En la Fig. 12.23, esto significa que Van , Vbn y Vcn forman un conjunto de voltajes trifásicos equilibrados.
2.
La impedancia de cada fase de la fuente de voltaje es la misma. En la Fig. 12.23, esto significa que Z ga Zgb Zgc .
3.
La impedancia de cada conductor de línea (o de fase) es la misma. En la Fig. 12.23, esto significa que Z1a Z1b Z1c .
4.
La impedancia de cada fase de la carga es la misma. En la Fig. 12.23, esto significa que Z A ZB ZC .
No hay ninguna restricción sobre la impedancia de un conductor neutro; su valor no tiene efecto sobre si el sistema está equilibrado. Si el circuito de la Fig. 12.23 está equilibrado, podemos escribir la Ec. (12.1) como 1 3 Van Vbn Vcn Z Z0 Z
VN
(12.2)
donde Z
Z A Z1a Zga ZB Z1b Zgb ZC Z1c Zgc
El lado derecho de la Ec. (12.2) es cero, porque por hipótesis el numerador es un conjunto de voltajes trifásicos equilibrados y Z no es cero. El único valor de VN que satisface la Ec. (12.2) es cero. Por tanto, para un circuito trifásico equilibrado VN 0 (12.3) La Ec. (12.3) es muy importante. Si VN es cero, no hay diferencia en potencial entre el neutro de la fuente n y el neutro de la carga N ; en consecuencia, la corriente en el conductor neutro es cero. Por tanto, podemos remover el conductor neutro en una configuración YY equilibrada I0 0 o reemplazarlo con un cortocircuito perfecto entre los nodos n y N VN 0 . El uso de ambos circuitos equivalentes es conveniente cuando se modelan circuitos trifásicos equilibrados. Ahora estudiamos el efecto que las condiciones equilibradas tienen sobre las tres corrientes de líneas. Remitiéndonos a la Fig. 12.23, cuando el sistema está equilibrado, las tres corrientes de líneas son I aA
VN V an Z A Z1a Z ga Z Van
(12.4)
21
VN V bn ZB Z1b Z gb Z
(12.5)
IcC
VN V cn ZC Z1c Z gc Z
(12.6)
IbB
Vbn
Vc n
Vemos que las tres corrientes de líneas forman un conjunto equilibrado de tres corrientes de fases; es decir, la corriente en cada línea es igual en amplitud y frecuencia y tiene un desfase de 120° con respecto a las otras dos corrientes de línea. Por tanto, si calculamos la corriente IaA y conocemos la secuencia de fase, tenemos un camino más corto para calcular IbB e IcC . La Ec. (12.4) puede usarse para construir un circuito equivalente para la fase a del circuito YY equilibrado. Éste es el mismo equivalente obtenido en la Sec. 12.3 y, de aquí en adelante, los dos procedimientos son prácticamente iguales. 12.5. Conexión de una Carga en Delta ( )
Una alternativa a la carga conectada en Y es la configuración conectada en (triángulo), en la cual se conectan tres impedancias de carga directamente entre los conductores de una línea trifásica sin conductor neutro, como se muestra en la Fig. 12.24. Este tipo de configuración es muy común y no posee una conexión neutra. Es importante mencionar aquí que una carga conectada en delta es más común que una conectada en estrella. Ello se debe a la facilidad con la cual se pueden añadir o quitar cargas de cada fase de una carga conectada en delta. Esto es bastante difícil con una carga conectada en estrella porque el neutro puede no estar accesible. Por otra parte, las fuentes conectadas en delta no son comunes en la práctica debido a la corriente circulante que resultará en la malla delta si las tres fases están ligeramente desequilibradas.
Figura 12.24 Una carga equilibrada conectada en en un sistema trifásico
de tres hilos. La fuente está conectada en Y.
Considérese una carga equilibrada conectada en , la cual consiste de una impedancia ZP insertada entre cada par de líneas. Con referencia a la Fig. 12.24, supóngase también que los voltajes de línea son conocidos: V L Vab Vbc Vca
o que los voltajes de fase son conocidos: V p Van Vbn Vcn
como se calculó previamente. Debido a que se conoce el voltaje en cada rama de la , las corrientes de fase se encuentran fácilmente: I AB
Vab Z p
I BC
Vbc Zp
I CA
Vca Zp
y sus diferencias proporcionan las corrientes de línea, como por ejemplo I aA
I AB ICA
22
Puesto que estamos trabajando con un sistema equilibrado, las tres corrientes de fase tienen la misma amplitud: I p I AB IBC ICA
Las corrientes de línea también son iguales en amplitud; la simetría es obvia al observar el diagrama de la Fig. 12.25. Tenemos entonces que I L I aA IbB IcC
e I L 3 I p
Por el momento se descartará la fuente y se considerará solamente la carga equilibrada. Si la carga está conectada en , entonces el voltaje de fase y el voltaje de línea resultan indistinguibles, pero las corrientes de línea son mayores que las de fase por un factor de 3 y también están 30° atrasadas respecto a las corrientes de fase; sin embargo, con una carga conectada en Y, la corriente de fase y la corriente de línea se refieren a la misma corriente, y el voltaje de línea es mayor que el voltaje de fase por un factor de 3 .
Figura 12.25 Un diagrama fasorial que podría aplicarse al circuito de la Fig. 12.24 si Z p fuese una impedancia inductiva.
Ejemplo 12.7
Determinar la amplitud de la corriente de línea en un sistema trifásico con un voltaje de línea de 300 V que entrega 1200 W a una carga conectada en con FP de 0.8 atrasado; halle después la impedancia de fase. Solución: Considérese de nuevo una sola fase. Esta fase demanda 400 W con un FP de 0.8 atrasado y un voltaje de línea de 300 V. Entonces 400 300 I p 0.8
e I p 1.667 A
y la relación entre las corrientes de fase y las corrientes de línea produce I L 3 1.667 2.89 A
También, el ángulo de fase de la carga es cos 1 0.8 36.9 , y por tanto la impedancia en cada fase debe ser Z p
300 36.9 18036.9 1.667
23
Problema de Práctica
Cada fase de una carga trifásica equilibrada conectada en consiste de un inductor de 200 mH en serie con la combinación en paralelo de un capacitor de 5 F y una resistencia de 200 . Suponga una resistencia de línea igual a cero y un voltaje de fase de 200 V con = 400 rad/s. Hallar (a) la corriente de fase; (b) la corriente de línea; (c) la potencia total absorbida por la carga. 12.8
Ejemplo 12.7
Determinar la amplitud de la corriente de línea en un sistema trifásico con un voltaje de línea de 300 V que suministra 1200 W a una carga conectada en Y con un FP (factor de potencia) de 0.8 atrasado. Éste es el mismo circuito que en el Ejemplo 12.6, pero con una carga conectada en Y . En el esquema por fase, ahora tenemos un voltaje de fase de 300 3 V, una potencia de 400 W y un FP de 0.8 atrasado. En consecuencia, 400
300 I p 0.8 3
I p 2.89 por lo que I L 2.89 A
El ángulo de fase de la carga es una vez más 36.9°, por lo que la impedancia en cada fase de la Y es Z p
300 3 36.9 6036.9 2.89
Si la carga en un circuito trifásico esta conecta en una delta, una forma alterna de analizar el circuito Y es transformar la carga en delta en una carga equivlente en estrella utilizando una transformación Y. Cuando la carga está equilibrada, la impedancia de cada rama de la Y es un tercio de la impedancia de cada rama de la delta, es decir, ZY
Z 3
Luego de que una ha sido reemplazada por Y equivalente tenemos un sistema YY y la fase a puede modelarse mediante un circuito monofásico equivalente. Este circuito equivalente puede usarse entonces para hallar las corrientes en cada rama de la carga en original. Ejemplo 12.8 Una fuente trifásica equilibrada, conectada en Y, con secuencia positiva, tiene una impedancia de 0.2 + j0.5 por fase y un voltaje interno de 120 V por fase, alimenta una carga conectada en a través de una línea de distribución que tiene una impedancia de 0.3 + j0.9 /fase. La impedancia de la carga es 118.5 + j85.8
por fase. Use el voltaje interno de la fase a del generador como la referencia. a)
Construya un circuito monofásico equivalente del sistema trifásico.
b)
Calcule las corrientes de línea IaA, IbB e IcC .
c)
Calcule los voltajes de fase en los terminales de carga.
d) Calcule las corrientes de fase de la carga. e)
Calcule los voltajes de línea en los terminales de la fuente.
Solución:
a)
La Fig. 12.26 muestra el circuito monofásico equivalente. La impedancia de carga de la Y equivalente es 118.5 j85.8 39.5 j 28.6 /fase 3
b)
La corriente de línea de la fase a es
24
0.2
a’
J 0.5
a
+ 1200 V
0.3 0.8 IaA
j0.9 J 1.5
A
+
39.5 39
V AN
Van
28.6 j j28
n
N
Figura 12.26 El circuito monofásico equivalente para el Ejemplo 12.7.
I aA
1200 0.2 0.3 39.5 j 0.5 0.9 28.6 120 0 2.4 36.87 A 40 j 30
Por tanto, IbB
c)
2.4 156.87 A,
IcC
2.4 83.13 A
Puesto que la carga está conectada en , los voltajes de fase son los mismos que los voltajes de línea. Para calcular éstos, primero calculamos V AN : V AN 39.5 j 28.6 2.4 36.87
117.04 0.96 V
Como la secuencia de fases es positiva, entonces el voltaje de línea V AB es V AB
3 30 VAN 202.72 29.04 V
Por tanto VBC
202.72 90.96 V,
VCA
202.72 149.04 V
d) Las corrientes de fase de la carga pueden calcularse directamente a partir de las corrientes de línea: I AB
1 30 I aA 1.39 6.87 A 3
Una vez conocida I AB, también se conocen las otras corrientes de fase de la carga: IBC
1.39 126.87 A,
ICA
1.39 113.13 A
Observe que el cálculo de I AB se puede verificar utilizando el voltaje V AB calculado previamente y la impedancia de la carga conectada en ; es decir, I AB
e)
V AB Z p
202.72 29.04 1.39 6.87 A 118.5 j85.8
Para calcular el voltaje de línea en los terminales de la fuente, calculamos primero el voltaje Van. La Fig. 12.26 muestra que Van es la caída de voltaje en la impedancia de la línea más la de la impedancia de carga; esto es, Van 39.8 j 29.5 2.4 36.87 118.90 0.32 V El voltaje de línea Vab es Vab 3 30 Van o
25 Vab 205.94 29.68 V
Por tanto, 205.94 90.32 V Vbca 205.94 149.68 V Vbc
La Fig. 12.27 muestra una carga equilibrada conectada en triángulo alimentada por una red simétrica de secuencia positiva a través de una línea de impedancia 1 + j2 por conductor. (1) Si el voltaje de línea en el receptor es de 380 V, calcular: a) la magnitud de las corrientes de línea; b) la magnitud del voltaje de línea al principio de la línea. 2) Si el voltaje de línea al principio de la línea es de 380 V, determinar a) la magnitud de las corrientes de línea; b) el voltaje de línea en el receptor en conectado en . Ejemplo 12.9
1 j 2
Ia
a
A
Ib
b
B
Ic
c
C A
C
B
Z
38 3 30 /fase
Figura 12.27 Carga trifásica equilibrada conecta en con impedancia de línea.
Solución: 1a. La impedancia en estrella equivalente a la carga será: ZY
Z
3
38 3 30 38 30 3 3
y el circuito monofásico equivalente es el mostrado en la Fig. 12.26. Obsérvese que se ha incluido un neutro que no está presente en el circuito original. Es indiferente que se tengan o no neutros reales.Lo importante es que la red esté equilibrada; así siempre se podrá dibujar un equivalente monofásico.
Si en el circuito de la Fig. 12.27 se toma el voltaje V AN en la carga como el voltaje de referencia para las fases, se puede escribir V AN
380 0 3
300 38
3 0
de donde se obtiene la corriente Ia: Ia
V AN Z
3 0
10 30
lo que corresponde a una magnitud de la corriente de línea I L = 10 A. 1b. El voltaje de fase Van al principio de la línea se obtiene a partir de la relación Van
VAN Z AI a
380 0 1 j 2 10 30 238.372.96 3
26
a
1 j 2
A Ia V AN
Van
ZY
38 3
30 /fase
N
n
Figura 12.28 Circuito monofásico equivalente.
Por tanto, la magnitud de la tensión de fase a principio de línea será igual a 238.37 V, lo que corresponde a una magnitud de la tensión de línea V L 3 238.37 412.87 V. 2a. Si lo que se conoce es el voltaje de línea a principio de línea, al tomar el voltaje de faseVan como referencia, se
obtiene Van
380 0 3
y en el circuito monofásico equivalente de la Fig. 12.28 se cumple que 380 0 Van 3 Ia 9.2 32.96 A 38 Z A Z 1 j 2 30 3
y la nueva magnitud de las corrientes de línea seria de 9.2 A. 2b. El voltaje de fase Van es igual a Van
VAN ZAIa
380 3
0 1 j 2 9.2 32.96 201.93 2.96 V
cuya magnitud es igual a 201.93 V y por consiguiente, el voltaje de línea en el extremo de la carga será V L 3 201.93 349.75 V
El factor 3 no sólo relaciona las cantidades de fase y de línea sino que también aparece en una expresión útil para la potencia total demandada por cualquier carga trifásica equilibrada. Si se supone una carga conectada en Y con un ángulo de factor de potencia , la potencia que absorbe cualquier fase es P p Vp I p cos Vp IL cos
V L 3
IL cos
y la potencia total es P 3P p 3 VL IL cos
De forma similar, la potencia de entrada a cada fase de una carga conectada en es I P p Vp I p cos VL I p cos VL L cos 3
lo que da una potencia total P 3P p 3 VL IL cos
(4)
Así, la Ec. (4) permite el cálculo de la potencia total entregada a una carga equilibrada a partir del conocimiento de la magnitud del voltaje de línea, de la corriente de línea y del ángulo de fase de la impedancia (o admitancia) de carga, sin que importe que la carga esté conectada en Y o en . La corriente de línea en los Ejemplos 12.6 y 12.7 puede obtenerse ahora en dos pasos sencillos:
27 1200 3 300 I L 0.8
Por tanto, I L
5 2.89 A 3
En la Tabla 12.1 se presenta una breve comparación de los voltajes de fase y de línea y de las corrientes de línea tanto para carga conectadas en Y como en alimentadas por una fuente trifásica conectada en Y. TABLA 12.1 Comparación
de Cargas Trifásicas Conectadas en Y y en . V p es la Magnitud del Voltaje de Cada Fase de la Fuente Conectada en Y.
Carga
Voltaje de Fase
Voltaje de Línea V AB
Corriente de Fase
Corriente de Línea
Potencia por Fase
Vab 3 30 V AN
V p0 VBN V p 120 VCN V p 240 V AN
Y
VBC
3 V p30
I AN
IbB
I BN
IcC
ICN
Vbc 3 30 VBN
VCA
I aA
V AN Z p VBN
3 V p 90
Vca
Z p VCN
3 30 VCN
V AB
Vab
VBC
3 V p30 Vbc
3 V p 90 VCA Vca
3 V p 210
I AN
IbB
I BN
IcC
ICN
V AN Z p
3VL I L cos
donde cos = factor de potencia de la carga
VBN Z p VCN Z p
3 V p 210
V AB
Vab
VBC
3 V p30 Vbc
3 V p 90 VCA Vca
Z p
I aA
3 V p 210
I A
IB
IC
V AB Z p VBC Z p VCA Z p
I aA
3 30
V AB
IbB
3 30
VBC
IcC
3 30
Z p Z p VCA Z p
3VL I L cos
donde cos = factor de potencia de la carga
Problema de Práctica
Una fuente equilibrada conectada en delta y de secuencia positiva, alimenta una carga conectada en delta. Si la impedancia por fase de la carga es 18 + j12 e Ia 9.609 35 A, halle I AB e V AB. 12.9
Respuesta: 5.548 65 A, 12098.69 V .
Un sistema trifásico equilibrado de tres hilos se termina con dos cargas en paralelo conectada en . La carga 1 extrae 40 kVA con un FP de 0.8 atrasado, en tanto que la carga 2 absorbe 24 kW con un FP de 0.9 adelantado. Suponga que la línea no tiene resistencia y sea Vab 44030 V . Hallar (a) la potencia total entregada a las cargas; (b) la corriente de fase I AB1 para la carga atrasada; (c) I AB 2 ; (c) I aA . 12.10.
Resp: 56.0 kW; 30.3 -6.87° A; 20.2 55.8° A; 75.3 12.46° A.
28
Fuentes Conectadas en
La fuente también puede estar conectada en una configuración . Sin embargo, esto no es típico, pues un ligero desbalance en las fases de la fuente puede producir una circulación de corrientes elevadas en el lazo . Por ejemplo, denomine las tres fuentes monofásicas como Vab, Vbc y Vcd. Antes de cerrar la mediante la conexión de d con a, determinemos la suma Vab + Vbc + Vcd. Suponga que la amplitud del resultado es sólo 1 por ciento del voltaje de línea. La corriente circulante es entonces aproximadamente por ciento del voltaje de línea divido por la impedancia interna de cualquier fuente. ¿Qué magnitud tendría esta impedancia? De la corriente depende que la fuente entregue con una caída despreciable del voltaje en sus terminales. Si suponemos que esta corriente máxima produce una caída de 1 por ciento en el voltaje terminal, entonces ¡la corriente circulante es un tercio de la corriente máxima! Esto reduce la capacidad de la corriente útil de la fuente y también aumenta las pérdidas en el sistema. 1 3
12.6. Potencia en un Sistema Equilibrado
Considérese ahora la potencia en un sistema trifásico equilibrado. Comenzamos por examinar la potencia instantánea absorbida por la carga. Esto requiere que el análisis se haga en el dominio del tiempo. Para una carga conectada en Y, los voltajes de fase son v AN 2Vp cos t ,
vBN 2Vp cos t 120
vCN 2Vp cos t 120
(12.7)
donde es necesario el factor 2 porque V p se definió como el valor rms del voltaje de fase. Si ZY Z , la corrientes de fase atrasan sus correspondientes voltajes de fase por θ. Por tanto, ia 2 I p cos t ,
ib 2 Ip cos t 120,
ic 2 Ip cos t 120
(12.8)
donde I p es el valor rms de la corriente de fase. La potencia instantánea total en la carga es la suma de de las potencias instantáneas en las tres fase; es decir, p pa pb pc v AN i a v BN i b vCNi c
2V p I p cos t cos t cos t 120 cos t 120
(12.9)
cos t 120 cos t 120
Si se aplica la identidad trigonométrica 1 cos A cos B cos A B cos A B 2
se obtiene
p V p I p 3 cos cos 2t cos 2t 240 cos 2 t 240
V p I p 3 cos cos cos 240 sen sen 240 cos cos 240 sen sen 240 1 V p I p 3 cos cos 2 cos Vp Ip cos 2
(12.10)
donde 2t . De manera que la potencia instantánea total en un sistema trifásico equilibrado es constante – no cambia con el tiempo como lo hace la potencia instantánea de cada fase. Este resultado es válido sea que la carga esté conectada en Y o en . Ésta es una razón importante para usar un sistema trifásico para generar y distribuir potencia. Más adelante se presentará otra razón. Como la potencia instantánea total es independiente del tiempo, la potencia promedio por fase P p para cualquiera de las conexiones, o Y, es p/3, o P p Vp I p cos (12.11)
29
y la potencia reactiva por fase es Q p Vp I p sen
(12.12)
S p Vp I p
(12.13)
S p Pp jQp Vp Ip
(12.14)
La potencia aparente por fase es La potencia compleja por fase es donde V p e I p representan el voltaje de fase y la corriente de fase con magnitudes V p e I p, respectivamente. La potencia promedio total es la suma de las potencias promedio en las fases: P Pa Pb Pc 3Pp 3Vp Ip cos 3 VL IL cos
(12.15)
Para una carga conectada en Y, I L = I p pero VL 3 V p , en tanto que para una carga conectada en , IL 3 I p pero V L = V p. Por tanto, la Ec. (12.15) aplica para los dos tipos de conexiones. En forma similar, la potencia reactiva es Q 3V p I p sen 3Qp 3 VL IL sen (12.16) y la potencia compleja total es S 3S p
3V p2
3VpIp 3I p2Zp
Z p
(12.17)
donde Z p Zp es la impedancia de carga por fase. (Z p podría ser ZY o Z.) Alternativamente, la Ec. (12.17) se puede escribir como S P jQ 3 VL IL (12.18) Recuerde que V p, I p, V L e I L son valores rms y que θ es el ángulo de la impedancia de carga o el ángulo entre el voltaje de fase y la corriente de fase. Una segunda ventaja importante de los sistemas trifásicos para la distribución de potencia es que el sistema trifásico utiliza una menor cantidad de alambre que el sistema monofásico para el mismo voltaje de línea V L y la misma potencia absorbida PL. Se compararán estos dos casos y se supondrá en ellos que los alambres son del mismo material (por ejemplo, cobre con resistividad ) y tienen la misma longitud y que las cargas son resistivas (esto es, con factor de potencia unitario). Para el sistema monofásico de dos alambres en la Fig. 12.29(a), IL PL V L , de modo que la pérdida de potencia en los dos alambres es Ppérdida 2 IL2 R 2 R
PL2 V L2
Para el sistema trifásico en la Fig. 12.29(b), de la Ec. (12.15),IL potencia en los tres alambres es PL2
2
3 IL R 3R Ppérdida
3VL2
Ia
R
(12.19) PL2 V L2
Ib
Ic
PL
3 V L . La pérdida de
(12.20)
Las Ecs. (12.19) y (12.20) muestran que para la misma potencia entregada PL y el mismo voltaje de línea V L, Ppérdida
Ppérdida
2R R
(12.21)
Pero sabemos que R r 2 y R r 2 , donde r y r’ son los radios de los alambres. Entonces, Ppérdida
Ppérdida
2r 2 r 2
(12.22)
30
Fuente monofásica
Carga equilibrada trifásica
Fuente equilibrada trifásica
Carga
Líneas de transmisión
Líneas de transmisió n
Figura 12.29 Comparación de la pérdida de potencia en (a) un sistema monofásico y (b) un sistema trifásico.
Si se tolera la misma pérdida de potencia en ambos sistemas, entonces r 2 2r 2 . La proporción del material requerido es determinada por el número de alambres y sus volúmenes, de manera que Material para el monofásico 2 r 2 2r 2 2 Material para el trifásico 3 r 2 3r 2 2 1.333 3
(12.23)
puesto que r 2 2r 2 . La Ec. (12.23) muestra que el sistema monofásico usa 33 por ciento más material que el sistema trifásico o que el sistema trifásico usa sólo 75 por ciento del material usado en el sistema monofásico equivalente. En otras palabras, se necesita considerablemente menos material para suministrar la misma potencia con un sistema trifásico que el que se requiere para un sistema monofásico. Para el circuito en la Fig. 12.17, Ejemplo 12.2, determinar la potencia promedio total, la potencia reactiva y la potencia compleja en la fuente y en la carga. Ejemplo 12.10.
Solución: Basta con considerar una fase ya que el sistema está equilibrado. Para la fase a, V p
1100 e
Ip
6.81 21.8
Por tanto, en la fuente, la potencia compleja absorbida es SS
3VpIp 3 1100 6.8121.8 2247 21.8 2087 j 834. VA
La potencia real o promedio absorbida es 2087 W y la potencia reactiva es 834.6 VAR. En la carga, la potencia compleja absorbida es SL
donde
Z p
10 j8 12.8138.66 e
I p
3
Ip
2
Zp
I a 6.81 21.8 . Por tanto,
SL
3 6.812 12.8138.66 176238.66 1392 j1113 VA
La potencia real absorbida es 1391.7 W y la potencia reactiva absorbida es 1113.3 VAR. La diferencia entre las dos potencias complejas es absorbida por la impedancia de la línea 5 j2 . Para demostrar que éste es el caso, hallamos la potencia compleja absorbida por la línea como S
3
I p
2
Z
3 6.812 5 j 2 695.6 j278.3 VA
31
que es la diferencia entre SS y SL; esto es,
SS
S SL 0 , como se esperaba.
Ejemplo 12.11. Dos cargas equilibradas están conectadas a una línea de 240 V rms y 60 Hz, como se muestra
en la Fig. 12.30(a). La carga 1 extrae 30 kW con un factor de potencia de 0.6 atrasado, en tanto que la carga 2 extrae 45 KVAR con un factor de potencia de 0.8 atrasado. Suponiendo una secuencia abc, determinar: (a) las potencias compleja, real y reactiva absorbidas por la carga combinada, (b) las corrientes de línea y (c) los kVAR nominales de los tres capacitores conectados en en paralelo con la carga que aumentarán el factor de potencia a 0.9 en atraso y la capacitancia de cada capacitor.
Carga equilibrada 1
Carga equilibrada 1
Carga combinada
Figura 12.30 (a) Las cargas equilibradas originales, (b) la carga combinada con el factor de potencia mejorado.
Solución:
(a) Para la carga 1, dado que P1 = 30 kW y cos 1 0.6 , entonces sen 1 0.8 y por tanto S1
P1 30 kW 50 kVA cos 1 0.6
y Q1 S1 sen 1 50 0.8 40 kVAR. De manera que la potencia compleja en la carga 1 es S1
P1 jQ1 30 j40 kVA
(12.24)
Para la carga 2, si Q2 = 45 kVAR y cos 2 0.8 , entonces sen 2 0.6 y se determina que S2
Q2 45 kVA 75 kVA sen 2 0.6
y P2 S2 cos 2 75 0.8 60 kW. Por tanto, la potencia compleja en la carga 2 es S2
P2 jQ2 60 j 45 kVA
(12.25)
De las Ecs. (12.24) y (12.25), la potencia compleja total absorbida por la carga es S S1 S2
90 j85 kVA 123.8 43.36 kVA
(12.26)
la cual tiene un factor de potencia de cos 43.36 0.727 atrasado. La potencia real es entonces 90 kW, n tanto que la potencia reactiva es 85 kVAR. (b) Puesto que S 3 VL I L , la corriente de línea es I L
S 3 V L
Aplicamos ésta a cada carga, teniendo en mente que para ambas cargas V L 240 kV. Para la carga 1,
(12.27)
32
I L1
50000 3 240000
120.28 mA
Como el factor de potencia está atrasado, la corriente de línea atrasa al voltaje por 1 arccos0.6 53.13 . Por tanto, Ia 1 120.28 53.13 Para la carga 2, I L 2
75000 3 240000
180.42 mA
y la corriente de línea atrasa al voltaje por 2 arccos0.8 36.87 . Por tanto, Ia2
180.42 36.87
La corriente de línea total es Ia1 Ia 2 120.28 53.13 180.42 36.87 72.168 j 96.224 144.336 j 108.252 216.5 j 204.472 297.8 43.36 mA
Ia
Alternativamente, la corriente se pudo obtener a partir de la potencia compleja total usando la Ec. (12.27) como I L
123800 3 240000
297.82 mA
e Ia
297.82 43.36 mA
igual que antes. Las otras corrientes de línea, Ib e Ic pueden obtenerse de acuerdo con la secuencia abc (esto es, Ib 297.82 163.36 e Ic 297.82 76.64 (c) La potencia reactiva que se necesita para llevar el factor de potencia a 0.9 atrasado se puede hallar usando la ecuación QC P tan vieja tan nueva
donde P = 90 kW, vieja = 43.36° y nueva arccos0.9 25.84 . Por tanto, QC 90 000 tan 43.36 tan 25.84 41.4 kVAR
13.8 Esta potencia reactiva es para los tres capacitores. Para cada capacitor la potencia reactiva nominal es QC kVAR. Entonces, la capacitancia requerida es QC C 2 V rms
Como los capacitores están conectados en (véase la Fig. 12.28(b), el voltaje V rms en la fórmula anterior es el voltaje de línea a línea o voltaje de línea, el cual es 240 kV. Por tanto, C
13800
2 60 240 000
2
635.5 pF
Problema de Práctica
Supóngase que los dos cargas equilibradas en la Fig. 12.31(a) son alimentadas por una línea de 840 V rms, 60 Hz. La carga 1 está conectada en estrella con 30 + j 40 por fase, mientras que la carga 2 es un motor trifásico equilibrado que extrae 48 kW con un factor de potencia de 0.8 atrasado. Suponiendo secuencia positiva, calcular: (a) la potencia compleja absorbida por la carga combinada, (b) los kVAR nominales de cada uno de los 12.11
33
tres capacitores conectados en en paralelo con la carga para elevar el factor de potencia a 1, y (c) la corriente extraída de la alimentación bajo la condición de factor de potencia igual a 1. Respuesta: (a) 56.47 + j47.29 kVA, (b) 15.76 kVAR, (c) 38.81 A.
12.7. Medición de Potencia en Sistemas Trifásicos Uso del Vatímetro
En grandes sistemas de potencia, no sólo es importante conocer el voltaje y la potencia, pero la potencia es mencionada con tanta frecuencia que su medición demuestra ser de mucho valor. Esto se realiza típicamente usando un dispositivo conocido como un vatímetro, el cual debe tener la habilidad de establecer el voltaje y la corriente asociados con bien sea la fuente, la carga o con ambas. Los dispositivos modernos son muy semejantes al multímetro digital, proporcionando una pantalla numérica de la cantidad que se está midiendo. Estos dispositivos con frecuencia utilizan el hecho de que la corriente da origen a un campo magnético, el cual puede medirse sin interrumpir el circuito. Sin embargo, en el trabajo de campo todavía se encuentran versiones analógicas del multímetro y ellas continúan teniendo ventajas sobre las versiones digitales, tales como la habilidad para funcionar sin fuente de potencia separada (por ejemplo, una batería), y la información secundaria que proviene de observar una aguja que se mueve en contraste con números que aparentemente saltan en forma aleatoria en una pantalla. Así, en esta sección, nos concentramos en la medición de potencia usando un medidor analógico tradicional, ya que el cambio a un dispositivo digital es directo si se tiene uno a disposición. Antes de embarcarnos en un análisis de las técnicas especializadas usadas para medir potencia en sistemas trifásicos, aprovecharemos para considerar cómo se usa un vatímetro en un circuito monofásico. La medición de potencia se consigue más a menudo a frecuencias inferiores a unos pocos cientos de hertz mediante el uso de un vatímetro que contiene dos bobinas separadas. Una de estas bobinas está elaborada con alambre grueso, que tiene una resistencia muy baja y se denomina la bobina de corriente y es estacionaria; la segunda bobina está compuesta de un número mayor de alambre delgado, con una resistencia relativamente alta y se denomina la bobina de potencial o bobina de voltaje y es móvil.. También se puede insertar una resistencia adicional interna o externamente en serie con la bobina de potencial. El par de torsión aplicado al sistema móvil y a la aguja indicadora es proporcional al producto instantáneo de las corrientes que fluyen en las dos bobinas. Sin embargo, la inercia mecánica del sistema móvil produce una deflexión que es proporcional al valor promedio de este par de torsión. El vatímetro se emplea conectándolo en una red de una forma tal que la corriente que fluye por la bobina de corriente es la corriente que circula en la red y el voltaje en la bobina de potencial es el voltaje entre los terminales de la red. La corriente en la bobina de potencial es entonces el voltaje de entrada dividido por la resistencia de la bobina de potencial. Es claro que el vatímetro tiene cuatro terminales disponibles y es necesario que se hagan las conexiones correctas para obtener una ascendente en el medidor. Para ser específicos, supóngase que estamos midiendo la potencia absorbida por una red pasiva. La bobina de corriente se introduce en serie con uno de los dos conductores conectados a la carga y la bobina de potencial se instala entre los dos conductores, normalmente en el “lado de la carga” de la bobina de corriente. Los terminales de la bobina de potencial con frecuencia se indican
mediante flechas, como se muestra en la Fig. 12.31a. Cada bobina tiene dos terminales y se debe observar la relación apropiada entre el sentido de la corriente y el voltaje. Un terminal de cada bobina usualmente se marca (+) y se obtiene una lectura ascendente si circula una corriente positiva hacia el terminal marcado (+) de la bobina de corriente, mientras que el terminal (+) de la bobina de potencial sea positivo con respecto al terminal sin marca. El vatímetro mostrado en la red de la Fig. 12.31a da entonces una deflexión de escala ascendente cuando la red a la derecha está absorbiendo potencia. Una inversión de cualquiera de las bobinas, pero no de ambas, provocará que el medidor trate de desviarse hacia valores inferiores de la escala; una inversión de ambas bobinas nunca afectará la lectura.
34
Bobina de corriente
Red pasiva
Bobina de potencial
(a) Conexión de vatímetro que asegura una lectura positiva (ascendente) para la potencia absorbida por la red pasiva. (b) Un ejemplo en el cual el vatímetro está conectado para dar una indicación positiva de la potencia absorbida por la fuente de la derecha. Figura 12.31
Como un ejemplo del uso de un vatímetro de este tipo en la medición de la potencia promedio, considérese el circuito mostrado en la Fig. 12.31(b). La conexión del vatímetro es tal que una lectura positiva (ascendente) corresponde a una potencia positiva absorbida por la red a la derecha del medidor, esto es, la fuente de la derecha. La potencia absorbida por esta fuente es dada por P V2 I cos ang V2 ang I
Usando superposición o análisis de mallas, se encuentra que la corriente es I 11.18153.4 A
y por tanto la potencia absorbida es P 100 11.18 cos 0 153.4 1000 W
Por tanto, la aguja indicadora reposa contra el tope de la escala descendente. En la práctica, la bobina de potencia puede invertirse más rápidamente que la bobina de corriente y esta inversión proporciona una lectura correcta en la escala ascendente de 1000 W. Problema de Práctica
Determine la lectura del vatímetro en la Fig. 12.32, establezca si la bobina de potencial se invirtió o no para obtener una lectura positiva e identifique el dispositivo o dispositivos que absorben o generan esta potencia. El terminal (+) del vatímetro está conectada a (a) x: (b) y; (c) z. 12.12
Resp: 1200 W, como está, P6 (absorbida); 220 W, como está, P4 + P6 (absorbida); 500 W, invertida, absorbida por 100V.
Figura 12.32
El Vatímetro en un Sistema Trifásico
A primera vista, la medición de la potencia consumida por una carga trifásica parece ser un problema sencillo. Sólo se necesita un vatímetro en cada una de las tres fases y añadir los resultados. Por ejemplo, en la Fig. 12.33a se muestran las conexiones apropiadas para una carga conectada en Y. Cada vatímetro tiene su bobina de corriente conectada en una fase de la carga y su bobina de potencial conecta entre el lado de la línea de esa carga
35
y el neutro. En una forma similar, se pueden conectar tres vatímetros, como se muestra en la Fig. 12.33b, para medir la potencia total absorbida por una carga conectada en . Los métodos son teóricamente correctos, pero podrían ser inútiles en la práctica ya que el neutro de la Y no siempre está accesible y las fases de la no están disponibles. Una máquina rotativa trifásica, por ejemplo, sólo tiene tres terminales accesibles, los cuales se han venido llamando A, B y C . Es claro que se necesita un método para medir la potencia total consumida por una carga trifásica con sólo tres terminales accesibles; se pueden hacer mediciones en el lado de “línea” de estos terminales, pero no en el lado de “carga”. Se dispone de un método de este tipo que puede medir la potencia tomada por una carga
desequilibrada a partir de una fuente desequilibrada . Conectemos los tres vatímetros de una forma tal que cada uno tiene su bobina de corriente en una línea y su bobina de voltaje entre esa línea y algún punto común x, como se muestra en la Fig. 12.34. Aunque se ilustra un sistema con una carga conectada en Y, los argumentos presentados son igualmente válidos para una carga conectada en . El punto x puede ser algún punto no especificado en el sistema trifásico, o puede ser simplemente un punto en el espacio en el cual las tres bobinas de potencial tienen un nodo común. La potencia promedio indicada por el vatímetro A debe ser
Figura 12.33 Tres vatímetros conectados de forma tal que cada uno lee la potencia absorbida por una fase de
una carga trifásica, y la suma las lecturas es la potencia total. ( a) Una carga conectada en Y. (b ( b) Una carga conectada en . Ninguna de las cargas ni la fuente tienen que estar equilibradas. P A
1 T
T
0
v Ax i aA dt
donde T es es el periodo de todos los voltajes de la fuente. Las lecturas de los otros dos vatímetros son dadas por expresiones similares y la potencia promedio total consumida por la carga es por tanto P P A PB PC
1 T
T
0
dt v Axi aA v BxibB vCxicC dt
Cada uno de los tres voltajes en la expresión anterior puede escribirse en términos de un voltaje de fase y el voltaje entre el punto x y el neutro: v Ax vAN vNx ,
vBx vBN vNx ,
vCx vCN vNx
y, por tanto, P
1 T
T
0
v AN iaA vBN ibB vCN icC dt
1 T
T
0
vNx iaA ibB icC dt
36
Sin embargo, toda la carga trifásica puede considerarse como un supernodo y la ley de corrientes de Kirchhoff requiere que i aA ibB icC 0 De modo que P
1 T
T
0
v AN iaA vBN ibB vCN icC dt
El diagrama del circuito muestra que esta suma es efectivamente la suma de las potencias promedio tomadas por cada fase de la carga y, por tanto, la suma de las lecturas de los tres vatímetros representa la potencia promedio total consumida ¡por la carga completa! Ilustremos este procedimiento mediante un ejemplo numérico antes de descubrir que uno de estos vatímetros en realidad resulta superfluo. Se supondrá una fuente equilibrada,
Figura 12.34 Un método de conectar tres vatímetros para medir la potencia total absorbida por
una carga trifásica. Sólo son accesibles los tres terminales de la carga.
1000 V Vbc 100 120 V Vca 100 240 V Vab
o Van
Van
Van
100 3 100 3 100 3
30 V 150 V 270 V
y una carga desequilibrada, j10 ZB j 10 ZC 10 Z A
Suponemos vatímetros ideales, conectados como se ilustra en la Fig. 12.34, con el punto x ubicado en el neutro de la fuente n. Las tres corrientes de línea se pueden obtener por análisis de mallas,
37
19.32 15 A I bB 19.32 165 A I bB 1090 A I aA
El voltaje entre los neutros es VnN
Vnb VBN Vnb IbB j10 157.7 90
La potencia promedio indicada por cada vatímetro se calcula como P A Vp I aA cos áng Van áng I aA
100
3
19.32 cos 30 15 788.7 W
PB
100 19.32 cos 150 165 788.7 W 3
PC
100 10 cos 270 90 577.4 W 3
o una potencia total de 1 kW. Puesto que por la carga resistiva fluye una corriente de 10 A rms, la potencia total consumida por la carga es P 10 2 10 1 kW
y vemos que los dos métodos coinciden. Método de los Dos Vatímetros
Hemos demostrado que el punto x, la conexión común de las tres bobinas de potencial, puede ubicarse en cualquier lugar que se desee sin afectar la suma algebraica de las lecturas de los tres vatímetros. Consideremos ahora el efecto de colocar el punto x, esta conexión común de los tres vatímetros, directamente en una de las líneas. Si, por ejemplo, un extremo de cada bobina de potencial se regresa a B, entonces no hay voltaje en la bobina de potencial del vatímetro B y este medidor debe leer cero . Por tanto, se puede eliminar y la suma algebraica de las lecturas de los dos vatímetros restantes todavía indica la potencia consumida por la carga. Cuando la ubicación de x se selecciona de esta forma, el método de medición de la potencia se describe como el método de los dos vatímetros. La suma de las lecturas indica la potencia total, independientemente de (1) el desequilibrio de cargas, (2) el desequilibrio de la fuente, (3) las diferencias en los dos vatímetros y (4) la forma de onda de la fuente periódica. La única suposición que se ha hecho es que las correcciones de los vatímetros son lo suficientemente pequeñas y se pueden ignorar. En la Fig. 12.33, por ejemplo, por la bobina de corriente de cada medidor pasa la corriente de línea consumida por la carga más la corriente que absorbe la bobina de potencial. Como esta última corriente es normalmente bastante pequeña, su efecto debe estimarse a partir del conocimiento de la resistencia de la bobina de potencial y del voltaje en sus extremos. Estas dos cantidades permiten realizar un estimado preciso de la potencia disipada en la bobina de potencial. En el ejemplo numérico descrito previamente, supóngase ahora que se usan dos vatímetros, uno con la bobina de corriente en la línea A y la bobina de potencial entre las línea A y B, el otro la bobina de corriente en la línea C y la bobina de potencial entre las líneas C y y B. El primer medidor lee P1 V AB I aA cos áng VAB áng I aA
10 1 00 19.32 cos 0 15 1866 W
y el segundo P2 VCB I cC cos áng VCB áng I cC
10 1 00 10 cos 60 90 866 W
38
y, por tanto, P P1 P2 1866 1000 1000 W
como se esperaba a partir de la experiencia reciente con el circuito. En el caso de una carga equilibrada, el método de los dos vatímetros permite determinar el ángulo del FP y también la potencia total consumida por la carga. Supóngase que una impedancia de carga con un ángulo de fase ; se puede usar una conexión Y o una y se supondrá la conexión mostrada en la Fig. 12.35. La construcción de un diagrama fasorial estándar, como el de la Fig. 12.25, nos permite determinar el ángulo de fase apropiado entre los diferentes voltajes y corrientes de línea. Por tanto, se determinan las lecturas P1 V AB I aA cos áng VAB áng I aA VL I L cos 30
y
Figura 12.35 Dos vatímetros conectados para leer la potencia total consumida por una carga
trifásica equilibrada. P2 VCB I cC cos áng VCB áng I cC VL I L cos 30
La razón entre las dos lecturas es P1 cos 30 P2 cos 30
(5)
Si se expanden los términos coseno, esta ecuación se resuelve fácilmente por tan , tan 3
P2 P1 P2 P1
(6)
De manera que, dos lecturas iguales de los vatímetros indican una carga con FP unitario; lecturas iguales y opuestas indican una carga puramente reactiva; una lectura de P2 que es (algebraicamente) mayor que P1 indica una impedancia inductiva; y una lectura de P2 que sea menor que P1 significa una carga capacitiva. ¿Cómo se puede saber cuál vatímetro lee P1 y cuál lee P2? Es cierto que P1 está en la línea A y P2 está en la línea C y nuestro sistema con secuencia de fases positiva obliga a que V an esté retrasado con respecto a V cn. Esta información basta para diferenciar entre los dos vatímetros, pero resulta confuso aplicarla en la práctica. Incluso si no se pudiese distinguir entre los dos, conocemos la magnitud del ángulo de fase pero no su signo, lo cual muchas veces es información suficiente; si la carga es un motor de inducción, el ángulo debe ser positivo y no es necesario realizar ninguna prueba para determinar cuál lectura es cuál. Si se supone que no se tiene conocimiento previo de la carga, entonces hay varios métodos para resolver la ambigüedad. Quizás el más sencillo es el que involucra agregar una carga reactiva de alta impedancia, digamos, un capacitor trifásico, en paralelo con la carga desconocida. La carga debe volverse más capacitiva. Así pues, si la magnitud de tan (o la magnitud de )
39
disminuye, entones la carga total era inductiva, en tanto que un incremento en la magnitud de tan significa una impedancia capacitiva original. Ejemplo 12.12
La carga equilibrada en la Fig. 12.36 se alimenta mediante un sistema trifásico equilibrado que tiene V ab 2300 V rms y secuencia de fases positiva. Determine la lectura de cada vatímetro y la potencia total consumida por la carga. La bobina de potencial del vatímetro #1 se conecta para medir el voltaje Vac y su bobina de corriente mide la corriente de fase IaA. Puesto que sabemos usar la secuencia de fases positiva, los voltajes de línea son
Figura 12.36 Un sistema trifásico equilibrado conectado a una carga trifásica equilibrada,
cuya potencia se mide usando la técnica de los dos vatímetros.
2300 V Vbc 230 120 V Vca 230120 V Vab
Observe que
Vac
Vca 230 60 V .
La corriente de fase IaA está dada por el voltaje de fase Van dividido por la impedancia de fase 4 j15 : I aA
Van
230
3 30
4 j 15 4 j 15 8.554 105.1 A
Ahora se puede calcular la potencia medida por el vatímetro #1 como P1 Vac I aA cos áng Vac áng I aA
230 8.554 cos 60 105.1 1389 W
En forma similar, se determina que P1 Vbc IbB cos áng Vbc áng IbB 230 8.554 cos 120 134.9 512.5 W
Así pues, la potencia promedio total absorbida por la carga es P P1 P2 876.5 W
40
Problema de Práctica
Para el circuito de la Fig. 12.34, suponga que las cargas son Z A 2560 , ZB 60 60 y ZC 5060 , que V AB 6000 V rms con secuencia de fases (+) y ubique el punto x en C . Determinar (a) P A; (b) PB; (c)PC . 12.13
Resp: 0; 7200 W: 0.
12.6. Cargas Desequilibradas
Para cargas desequilibradas, no aplica ninguna de las relaciones para circuitos equilibrados porque se han perdido las condiciones de simetría. Por tanto, cada problema debe tratarse como un problema trifásico. Examinaremos algunos ejemplos que pueden ser manejados mediante técnicas fundamentales tales como las leyes de Kirchhoff y el análisis de mallas. Sólo se considerarán ejemplos con voltajes de alimentación provenientes de fuentes equilibradas. Cargas Desequilibradas Conectadas en Y
Sistemas en Y de cuatro hilos desequilibrados sin impedancias de línea pueden manejarse fácilmente usando la ley de Ohm. Sin embargo, para sistemas de tres o cuatro hilos con impedancias de línea y de neutro, generalmente se tienen que usar ecuaciones de mallas o métodos asistidos por computadora. Uno de los problemas con sistemas en estrella de tres alambres desequilibrados es que se obtienen diferentes voltajes en cada fase de la carga y un voltaje entre los puntos neutros. Esto se ilustra a continuación. Para la Fig. 12.37, el generador está equilibrado con un voltaje de línea a línea de 208 V. Seleccione E AB como referencia y determine las corrientes de línea y los voltajes en la carga. Ejemplo 12.13
Figura 12.37
Solución Dibuje de nuevo el circuito en la forma mostrada por la Fig. 12.38 y luego use análisis de mallas con E AB 2080 V y EBC 208 120 V .
Las ecuaciones de mallas correspondientes son: Malla 1:
8 j 4 I1 3 j4 I2 208 0
Malla 2: 3 j 4 I1 9 j4 I 2 208 120
Las soluciones a estas ecuaciones son
41 I1
29.9 26.2 A e
I2
11.8 51.5 A
de donde I1 29.9 26.2 A I b I 2 I 1 19.9168.5 A I c I 2 11.8128.5 A Ia
y
Figura 12.38
I a Zan 29.9 26.2 5 149.5 26.2 V Vbn Ib Zbn 99 138.4 V Vcn Ic Zcn 11875.4 V Van
Cargas en Delta Desequilibradas
Los sistemas sin impedancia de línea se manejan fácilmente ya que el voltaje de la fuente es aplicado directamente a la carga. Sin embargo, para sistemas con impedancia de línea, se utilizan ecuaciones de mallas. Ejemplo 12.14
Para el circuito de la Fig. 12.39, el voltaje de línea es 240 V. TomeVab como referencia y
a. Determine las corrientes de fase y dibuje sus diagramas fasoriales. b. Determine las corrientes de líneas. c. Determine la potencia total en la carga.
Figura 12.39
Solución:
a.
Vab I bc Vbc I ca Vca I ab
2400 25 9.60 A Zbc 240 120 1260 20 180 A Zca 240120 16 30 15150 A Z ab
42
Figura 12.40 Corrientes de fase para el circuito de la Fig. 12.39.
b.
Ia Ib Ic
I ab Ica 9.60 15150 23.8 18.4 A Ibc I ab 20 180 9.60 29.6180 A Ica Ibc 15150 20 180 10.3 46.9 A Pab Vab I ab cos ab 240 9.6 cos 0 2304 W
c.
Pbc Vbc I bc cos bc 240 20 cos 60 2400 W Vca I ca cos ca 240 15 cos 30 3118 W PT Pab Pbc Pca 7822 W Ejemplo 12.15 Cargas Desequilibradas Conectadas en Estrella
Considérese ahora el siguiente ejemplo, en el cual la fuente y las cargas están conectadas en estrella y en el que los conductores de la línea, incluyendo el neutro, tienen una impedancia finita, como se muestra en la Fig. 12.41. a ZaL
Ia Z A 1
Van VnN
n
N
Vbn
c
Vcn
In
ZN ZbL
b
ZC 1
C Iv
ZcL
ZB 1
B Ib
Figura 12.41 Cargas desequilibradas conectadas en estrella.
Las impedancias de las fases de línea conectadas en serie con las fases de las cargas pueden incluirse en las impedancias de estas fases y por tanto sólo es necesario tomar en cuenta por separado la impedancia del hilo neutro. Esta idea se muestra en la Fig. 12.42, donde ZN representa la impedancia del hilo neutro y Z A , ZB y ZC son las impedancias totales de cada fase. A
A I A
Z A
Van
N
Vbn
C
Vcn
IN
VNn
n
ZA1 ZaL
ZB
ZN
B
IB
C
ZC
ZC 1 ZcL
ZB1 ZbL B
IC
Figura 12.42 Esquema equivalente de las cargas en Y desequilibradas de la Fig. 12.41.
43
Los voltajes en cada una de las cargas son iguales respectivamente a: V AN
VAn VNn ;
VBN
y entonces las corrientes de línea son V V VNn I A AN An ; Z A
IB
ZA
VBn VNn ;
VBN ZB
VBn
VNn ZB
VCN
;
VCn VNn
IC
VCN ZC
(12.28)
VCn
VNn
ZC
(12.29)
y la del neutro es IN
VNn
(12.30)
ZN
En el nodo N se cumple que I A
IB IC IN
(12.31)
por lo que al sustituir las Ecs. (12.29) y (12.30), se obtiene: V An
VNn
Z A
VBn VNn ZB
VCn
VNn
ZC
VNn ZN
(12.32)
de donde se puede despejar el voltaje VNn: V An VNn
Z A
1 Z A
VBn
1 ZB
ZB
1
ZC
VCn ZC
1
VAn YA VBnYB VCnYC Y A
YB YC YN
(12.33)
ZN
donde las Yi representan las admitancias correspondientes a las impedancias Zi. Una vez conocido el voltaje del neutro de las cargas VNn, conocido como el voltaje del desplazamiento del neutro , las Ecs. (12.29) permiten calcular las corrientes de línea y las Ecs. (12.28) determinan los voltajes totales en las cargas. Ejemplo 12.16 Pérdidas en la Línea
La Fig. 12.43a muestra un circuito Y-Y equilibrado. Determine la potencia promedio entregada por la fuente trifásica y absorbida por la línea trifásica.
(b)
(a) Figura 12.43
Solución Como el circuito en la Fig. 12.43a se representa en el dominio del tiempo, se da la magnitud del voltaje
de la fuente y no su valor eficaz. Puesto que este circuito trifásico está equilibrado, se puede analizar usando el circuito equivalente por fase. La Fig. 12.43b muestra el circuito equivalente por fase apropiado. La corriente de línea de línea se calcula como
44
I aA
100 1.894 18.7 A 50 j 377 0.045
El voltaje de fase en la carga es V AN
40 j 377 0.04 IaA 812 V
Como se han utilizado valores pico de los voltajes y corrientes sinusoidales en vez de los valores eficaces, las fórmulas apropiadas para la potencia son las obtenidas para los valores picos. La potencia entregada por la fuente se calcula con I aA 1.894 18.7 y Van 100 0 y, por tanto, Pa
100 1.894
2
cos 18.7 89.7 W
La potencia entregada a la carga se calcula a partir de I aA
1.894 18.7 y RA 40
De manera que P A
1.894 2 40 71.7 W 2
La potencia perdida a la carga se calcula a partir de I aA
1.894 18.7 y RaA 10
De manera que PaA
1.894 2 10 17.9 W 2
La carga trifásica recibe 3P A 215.1 W y en la línea se pierden 3PaA 53.7 W. Un total de 80 por ciento de la potencia suministrada por la fuente se entrega a la carga. El otro 20 por ciento se pierde en la línea. La fuente trifásica entrega 3P A 269.1 W. Ejemplo 12.17 Reducción de Pérdidas en la Línea
Como se señaló en el Ejemplo 12.16, 80 por ciento de la potencia entregada por la fuente es entregado a la carga y el otro 20 por ciento se pierde en la línea. La pérdida en la línea se puede reducir si se reduce la corriente en la línea. La reducción de la corriente en la carga reduciría la potencia entrega a la carga. Los transformadores proporcionan una forma de reducir la corriente de la línea sin reducir la corriente en la carga. En este ejemplo, se añaden dos transformadores trifásicos al circuito trifásico considerado en el Ejemplo 12.14. Un transformador en la fuente eleva el voltaje y baja la corriente. En forma inversa, un transformador en la carga reduce el voltaje y eleva la corriente. Como las relaciones de vueltas de estos transformadores son recíprocas entre sí, el voltaje y la corriente en la carga no cambian. La corriente en la línea se reducirá para disminuir la potencia perdida en la línea. El voltaje se elevará. El mayor voltaje de línea requerirá de mejor aislamiento y de mayor atención a la seguridad. La Fig. 12.44a muestra el circuito equivalente por fase del circuito Y-Y equilibrado de tres hilos que incluye los dos transformadores. Determinar la potencia promedio entregada por la fuente trifásica, la entregada a la carga trifásica y la absorbida por la línea trifásica. Solución Para analizar el circuito equivalente por fase en la Fig. 12.44a, observe que 1.
El voltaje secundario del transformador del lado izquierdo es 10 veces el voltaje primario, esto es, 1000cos 377t .
45 2.
La impedancia conectada al secundario del transformador en el lado derecho puede reflejarse hacia el primario de este transformador multiplicándola por 100. El resultado es un resistor de 4000 en serie con un inductor de 4 H,
Estas observaciones conducen al circuito de una malla en la Fig. 12.44b. La corriente de malla en este circuito es la corriente de línea del circuito trifásico. La corriente de línea se calcula como I aA
1000 0.2334 20.6 A 4010 j 377 4.005
Fuente
Línea
Carga
(a)
(b) Figura 12.44
La corriente de entrada al terminal con punto del secundario del transformador de lado izquierdo es IaA, de modo que la corriente hacia el terminal con punto del primario de este transformador es 10I aA 2.334 20.6 A
Ia
La corriente al terminal con punto del primario del transformador en el lado derecho es IaA, de modo que la corriente hacia el terminal con punto del secundario es I A
10IaA 2.334 20.6 A
El voltaje de fase en la carga es V AN
40 j 377 0.04 I A 99.77 0 V
La potencia entregada por la fuente se calcula a partir de Ia 2.334 20.6 A y Pa
100 2.334
2
Van 1000 V como
cos 20.6 109.2 W
y la potencia entregada a la carga se calcula a partir de I A 2.334 20.6 A y R A 40 , esto es, P A
2.334 2
2
40 108.95 W
46
La pérdida de potencia en la línea se calcula a partir de PaA
I aA
0.2334 2
2
0.2334 20.6 A y RaA 10 , esto es,
10 0.27 W
Ahora se entrega a la carga 98 por ciento de la potencia suministrada por la fuente. Sólo se pierde 2 por ciento en la línea.
EJERCICIOS
12.1
Sistemas Polifásicos
1.
Un dispositivo desconocido de tres terminales tiene terminales b, c y e. Cuando se instala en cierto circuito, las mediciones indican que V ec = 9 V y V eb = 0.65 V. (a) Determinar la potencia disipada en la unión b-e si la corriente I b que fluye hacia el terminal marcado b es igual a 1 A.
2.
Para una cierta fuente trifásica conectada en Y, Determinar (a) Vcn; (b) Van V bn ; (c) Vbx.
3.
Describa lo que se entiende por una fuente “polifásica”, establezca una posible ventaja de estas fuentes
V an
40033 V ,
V bn
400153 V y
V cx
160208 V .
que podría ser más valiosa que su complejidad adicional sobre fuentes monofásicas y explique la diferencia entre fuentes “equilibradas” y “desequilibradas”.
930 V,
3130 V y
4.
Se dan los siguientes voltajes asociados con un cierto circuito: V 14 210 V. Determine V21, V13, V34 y V24.
5.
Los voltajes nodales que describen un cierto circuito se pueden expresar como V y V34 8 V. Calcule V12, V32 y V13. Exprese sus respuestas en forma fasorial.
6.
En el circuito de la Fig. 12.45, las marcas del resistor, desafortunadamente, se omitieron, pero se conocen varias de las corrientes. Específicamente, I ad = 1 A. (a) Calcule I ab, I cd, I de. I fe e I be. (b) Si V ba 125 V , determine el valor del resistor que conecta los nodos a y b.
7.
Para el circuito mostrado en la Fig. 12.46, (a) determine I gh, I cd e I dh. (b) Calcule I ed, I ei e I jf . (c) Si todos los resistores en el circuito tienen cada uno un valor de 1 , determine las tres corrientes de malla que fluyen en el sentido de las manecillas del reloj.
Figura 12.45
8.
V 12
V14
V 32
9 j V ,
V24
3 j 3
Figura 12.46
Se añaden resistores en paralelo a los resistores entre los terminales d y e, y entre los terminales f y j, respectivamente, del circuito en la Fig. 12.46. (a) ¿Cuáles voltajes pueden describirse todavía usando
47
notación de doble subíndice? (b) ¿Cuáles corrientes de línea pueden todavía describirse mediante notación de doble subíndice? 12.2
Sistemas Monofásicos de Tres Hilos
9.
La mayoría de los aparatos electrónicos comerciales son alimentados por tomas de 110 V, pero varios tipos de ellos (tales como secadores de ropa) son alimentados por tomas de 220 V. En general, los voltajes más bajos son más seguros. ¿Entonces, cuál es la motivación de los fabricantes de esos equipos para diseñarlos que trabajen con 220 V?
10.
El sistema monofásico de tres hilos de la Fig. 12.47 tiene tres impedancias de carga separadas. Si la fuente es equilibrada y Van 110 j0 V rms, (a) exprese Van y Vbn en notación fasorial. (b) Determine el voltaje fasorial que aparece en la impedancia Z3. (c) Determine la potencia promedio entregada por las dos fuentes si Z1 50 j0 , Z2 100 j45 y Z3 100 j90 . (d) Represente la carga Z3 mediante una conexión en serie de dos elementos y determine sus valores respectivos si las fuentes operan a 60 Hz.
Figura 12.47
11.
Para el sistema representado en la Fig. 12.48, las pérdidas óhmicas en el hilo neutro son tan pequeñas que pueden despreciarse y puede ser modelado adecuadamente como un cortocircuito. (a) Calcula la potencia perdida en las dos líneas como un resultado de su resistencia no cero. (b) Calcule la potencia promedio entregada a la carga. (c) Determine el factor de potencia de la carga total.
12.
Con referencia a la carga equilibrada representada en la Fig. 12.49, si se conecta a una fuente equilibrada de tres hilos operando a 50 Hz de modo que V AN = 115 V, (a) determine el factor de potencia de la carga si se omite el capacitor; (b) determine el valor de la capacitancia C con que se alcanzaría un factor de potencia unitario para la carga total.
Figura 12.48
13.
Figura 12.49
En el sistema de tres hilos de la Fig. 12.48, (a) reemplace el resistor de 50 por una de 200 y calcule la corriente que circula por el alambre neutro. (b) Determine un nuevo valor para el resistor de 50 de modo que la magnitud de la corriente en el neutro sea 25% de la corriente de línea IaA.
48
12.3 Conexión Trifásica Y-Y 14.
(a) Demuestre que si Van 40033 V , Vbn 400 87 V y Vcn 400 207 V , entonces Van Vbn Vcn 0 . (b) Los voltajes en la parte (a) ¿representan una secuencia de fase positiva o una negativa? Explique.
15.
Considere un sistema trifásico de tres hilos, sencillo con una secuencia de fase positiva que opera a 60 Hz y con una carga equilibrada. Cada voltaje de fase de 220 V está conectada a una carga compuesta de una combinación den serie de 50 y 500 mH. Calcular (a) las corrientes de línea; (b) el factor de potencia de la carga; (c) la potencia total entregada por la fuente trifásica.
16.
Suponga que el sistema mostrado en la Fig. 12.50 está equilibrado, Rw = 0, Van 2080 V y aplica una secuencia de fase positiva. Calcular todas las corrientes de fase y de línea y todos los voltajes de fase y de línea si ZP es igual a (a) 1 k; (b) 100 j 48 ; (c) 100 j48 .
17.
Cada impedancia Z p en el sistema trifásico equilibrado de la Fig. 12.50 se construye usando la combinación en paralelo de una capacitancia de 1 mF, una inductancia de 100 mH y una resistencia de 10 . Las fuentes tienen secuencia de fase positiva y operan a 50 Hz. Si Vab 2080 y Rw 0 , calcular (a) todos los voltajes de fase; (b) todos los voltajes de línea; (c) todas las tres corrientes de línea; (d) la potencia total consumida por la carga.
Figura 12.50
18.
Con la suposición de que el sistema trifásico ilustrado en la Fig. 12.50 está equilibrado y tiene un voltaje de línea de 100 V, calcule la corriente de línea y la impedancia de carga por fase si Rw 0 y la carga consume (a) 1 kW con un FP de 0.85 atrasado; (b) 300 W por fase con un FP de 0.92 adelantado.
19.
El sistema trifásico equilibrado de la Fig. 12.50 está caracterizado por una secuencia de fase positiva y un voltaje de línea de 300 V, y ZP es dada por la combinación en paralelo de una carga capacitiva de 5 j 3 y una carga inductiva de 9 j2 . Si Rw 0 , calcule (a) el factor de potencia de la fuente; ( b) la potencia total entregada por la fuente. (c) Repita las partes (a) y (b) si Rw 1 .
20.
Una carga equilibrada conectada en Y de 100 j50 se conecta a una fuente trifásica equilibrada. Si la corriente de línea es 42 A y la fuente entrega 12 kW, determine (a) el voltaje de línea; (b) el voltaje de fase.
21.
Un sistema trifásico se construye a partir de una fuente equilibrada conectada en Y que opera a 60 Hz y tiene un voltaje de línea de 210 V, y cada fase la carga equilibrada consume 130 W con un factor de potencia adelantado de 0.75. (a) Calcule la corriente de línea y la potencia total entregada a la carga. (b) Si se conecta una carga puramente resistiva de 1 en paralelo con cada carga existente, calcule la nueva corriente de línea y la potencia total entregada a la carga.
22.
Regresando al sistema trifásico equilibrado descrito en el Ejercicio 20, determine la potencia compleja entregada a la carga para Rw = 0 y Rw = 1 .
49 23.
Cada carga en el circuito de la Fig. 12.50 está compuesta por una inductor de 1.5 H en paralelo con un capacitor de 100 F y un resistor de 1 k. La resistencia está marcada como Rw 0 . Usando secuencia de fase positiva con Vab 1150 V y f = 60 Hz, determine la corriente rms de línea y la potencia total entregada a la carga.
12.4 La Conexión Delta ( ) 24.
Un sistema trifásico equilibrado está alimentando una carga conectada en con 10 kW y una factor de potencia de 0.7 adelantado. Si el voltaje de fase es 208 V y la fuente opera a 50 Hz, (a) calcule la corriente de línea; (b) determine la impedancia de fase; (c) calcule el nuevo factor de potencia y la nueva potencia total entregada a la carga si se conecta un inductor de 2.5 H en paralelo con cada fase de la carga.
25.
Si cada una de las tres fases en una carga conectada en está compuesta de un capacitor de 10 mF en paralelo con una combinación conectada en serie de un resistor de 470 y un inductor de 4 mH. (a) Calcule la corriente de fase; (b) la corriente de línea; (c) el voltaje de línea; (d) el factor de potencia con el que opera lafuente; (e) la potencia total entregada a la carga.
26.
Una carga trifásica debe ser alimentada por una fuente trifásica conectada en Y de tres hilos con un voltaje de fase de 400 V y operando a 60 Hz. Cada fase de la carga consiste de una combinación en paralelo de un resistor de 500 , un inductor de 10 H y un capacitor de 1 mF. (a) Calcule la corriente de línea, el voltaje de línea, la corriente de fase y el factor de potencia de la carga si la carga también está conectada en Y. (b) Reconecte la carga de manera que esté conectada en y halle las mismas cantidades pedidas en la parte (a).
27.
Para las dos situaciones descritas en el Ejercicio 26, calcule la potencia total entregada a cada una de las cargas.
28.
Dos cargas conectadas en se conectan en paralelo y son alimentadas por un sistema equilibrado conectado en Y. La menor de las dos cargas demanda 10 kVA con un FP de 0.75 atrasado y la más grande demanda 25 kVA con FP adelantado de 0.80. El voltaje de línea es 400 V. Calcule (a) el factor de potencia con el cual está operando la fuente; (b) la potencia total consumida por las dos cargas; (c) la corriente de fase de cada carga.
29.
Para el sistema trifásico equilibrado de la Fig. 12.51, se determinó que se pierden 100 W en cada hilo. Si el voltaje de fase de la fuente es 400 V y la carga demanda 12 kW con una FP de 0.83 atrasado, determine la resistencia Rw del alambre.
Figura 12.51
30.
La carga equilibrada conectada en de la Fig. 12.51 demanda 10 kVA con un FP de 0.91 atrasado. Si las pérdidas en las líneas son despreciables, calcular IbB y Van si Vca 16030 V y los voltajes de la fuente se describen usando secuencia de fase positiva.
31.
Repita el Ejercicio 30 si Rw = 1 .
32.
Calcule I aA , I AB y Van si la carga conectada en de la Fig. 12.51 demanda una potencia compleja total de 1800 j700 W , Rw = 1.2 y la fuente genera una potencia compleja de 1850 j700 W .
50 33.
Un sistema trifásico equilibrado con un voltaje de línea de 240 V rms contiene una carga conectada en de 12 j k por fase y también una carga conectada en Y de 5 j3 k por fase. Halle la corriente de línea, la potencia consumida por la carga combinada y el factor de potencia de la carga.
12.5 34.
Medición de Potencia en Sistemas Trifásicos
Determine la lectura del vatímetro (estableciendo si los terminales tienen que ser invertidos o no para obtenerla) en el circuito de la Fig. 12.52 si los terminales A y B, respectivamente, se conectan a (a) x y y; (b) x y z; (c) y y z.
Figura 12.52
35.
En el circuito de la Fig. 12.53 se conecta un vatímetro de modo que I1 entra por el terminal (+) de la bobina de corriente, en tanto que V2 es el voltaje en la bobina de potencia. Halle la lectura del vatímetro y verifique su solución con una simulación apropiada en PSpice.
Figura 12.53
36.
Halle la lectura del vatímetro conectado en el circuito de la Fig. 12.54.
Figura 12.54
51 37.
(a) Halle las lecturas de los vatímetros en la Fig. 12.55 si V A 1000 V rms , V A 5090 V rms, Z A 10 j10 , ZB 8 j6 y ZC 30 j10 . (b) ¿Es la suma de estas lecturas la potencia total consumida por las tres cargas?
Figura 12.55
38.
Los valores del circuito en la Fig. 12.56 son Vab 2000 , Vbc 200120 , Vca 200240 V rms, Z4 Z5 Z6 2530 , Z1 Z2 Z3 50 60 . Halle la lectura de cada vatímetro.
Figura 12.56
39.
La carga trifásica equilibrada mostrada en la Fig. 12.57 es alimentada por una fuente trifásica conectada en Y, equilibrada y de secuencia positiva. La impedancia de la línea que conecta la fuente a la carga es despreciable. El voltaje entre línea y neutro de la fuente es 7200 V. a)
Halle la lectura del vatímetro en vatios.
b)
Explique cómo conectaría un segundo vatímetro en el circuito de modo que los dos vatímetros midan la potencia total.
c)
Calcule la lectura del segundo vatímetro.
d) Verifique que la suma de las lecturas de los dos vatímetros es igual a la potencia promedio total entregada a la carga.
52
Fuente fp = 0.96 0.96 adelantado Figura 12.57
40.
a)
Calcule la lectura de cada vatímetro en el circuito mostrado en la Fig. 12.58 cuando Z 13.44 j46.98 .
b)
Verifique que la suma de las lecturas de los dos vatímetros es igual a la potencia total entregada a la carga.
c)
Verifique que 3 W1 W 2 es igual a los vares magnetizadores entregados a la carga.
Figura 12.58
41.
Para la Fig. 12.59, Rab = 60 , Zbc 80 j60 . Calcule (a)Las corrientes de fase y de línea; (b) la potencia en cada fase y la potencia total.
42.
Repita el Problema 39 si Pab = 2400 W y
43.
Para la Fig. 12.59, Rab = 60 , calcule lo siguiente a.
Las corrientes de fase y de línea.
b.
La corriente del neutro.
Zbc
5040 .
c. La potencia en cada fase. d. La potencia total en la carga. 44.
Remueva el conductor neutro de la Fig. 12.60 y calcule las corrientes de línea. Sugerencia: Use ecuaciones de mallas.
45.
Una línea trifásica tiene una impedancia de 1 + j3 por fase. La línea alimenta una carga en delta equilibrada que absorbe una potencia compleja total de 12 + j5 kVA. Si el voltaje de línea en el extremo de la carga tiene un magnitud de 230 V, calcule la magnitud del voltaje de línea en el extremo de la fuente y el factor de potencia de la fuente.
46.
A partir del Problema 42, siguiente:
Ia
1.94 0.737 A ,
Ib
4.0 117.7 A e
a.
Los voltajes en cada fase de la carga.
b.
El voltaje entre el neutro de la carga y el neutro del generador.
Ic
3.57 91.4 A . Calcule lo
53
Figura 12.59
47.
Figura 12.60
Una fuente trifásica con un voltaje de línea de 45 kV rms está conectado a dos cargas balanceadas. La carga conectada en Y tiene Z 10 j20 , y la carga en tiene una impedancia ramal de 50 . Las líneas de conexión tienen una impedancia de 2 . Determine la potencia entregada a las cargas y la potencia perdida en los conductores. ¿Qué porcentaje de la potencia se pierde en los conductores?
Ejercicios Integradores del Capítulo 48.
Explique bajo qué circunstancias se podría preferir una carga conectada en sobre una conectada en Y que demanda iguales potencias promedio y compleja.
49.
Una fuente trifásica de 208 V y 60 Hz está conectada en un configuración en Y y exhibe una secuencia de fase positiva. Cada fase de la carga equilibrada consiste de una bobina modelada mejor como una resistencia de 0.2 en serie con una inductancia de 580 mH. (a) Determine los voltajes de línea y las corrientes de fase si la carga está conectada en . (b) Repita la parte (a) si la carga está conectada en Y.
50.
(a) ¿Se considera la carga representada en la Fig. 12.61 una carga trifásica? Explique. ( b) Si Z AN 1 j7 , ZBN 322 y Z AB 2 j , calcule todas las corrientes y voltajes de fase (y de línea) suponiendo un voltaje de fase a neutro de 120 VAC (las dos fases están desfasadas 180°). (c) ¿Bajo qué circunstancias fluye corriente por el alambre neutro?
Figura 12.61
51.
Considere el sistema mostrado en la Fig. 12.62. Tome Halle (a) Las corriente de las fases
I AB , IBC e ICA .
(b) Las corrientes de línea IaA ,
IbB e IcC .
Z1
8 j6 , Z2 4.3 j2.2 y
Z3
10 j0
.
54
Figura 12.62
52.
Un circuito estrella-estrella de cuatro hilos tiene Van
120120 V,
Vbn
1200 V,
Vcn
120 120 V
Si las impedancias son Z AN
2060 ,
ZBN
30 0 ,
ZBN 40 30
calcule la corriente en la línea neutra. 53.
El equipo de computación en una pequeña fábrica funciona completamente con 120 VCA estándar, pero sólo se tiene disponible 208 V CA trifásico. Explique cómo se puede conectar el equipo de computación a la canalización eléctrica existente.
COMPONENTES SIMÉTRICAS (Una Introducción)
1. Introducción La operación de un sistema de potencia se desvía de lo normal luego de que ocurre una falla. Las fallas dan lugar a condiciones de operación anormales – usualmente corrientes y voltajes excesivos en ciertos puntos del sistema – las cuales se vigilan y corrigen con diferentes tipos de equipos de protección. Ejemplos de fallas son un árbol en contacto con un conductor, el impacto de un relámpago o una línea de potencia caída. La mayoría de las fallas, 70 a 80%, en las líneas de transmisión son fallas entre una línea y tierra. Aproximadamente 5% de las fallas involucran todas las tres fases. Éstas son fallas simétricas de tres fases. Otros tipos de fallas son las fallas de línea a línea, las cuales no involucran tierra, y las fallas de doble línea a tierra . Todas las fallas anteriores, excepto las de tipo trifásico, producen un desequilibrio entre las fases y por ello se denominan fallas no simétricas. Uno de los métodos más poderosos para tratar con circuitos polifásicos no equilibrados es el método de componentes simétricas. Este método es una técnica matemática que le permite al ingeniero resolver sistemas desbalanceados usando técnicas balanceadas. Desarrollado por C. Fortescue a principios de 1913 y presentado en un artículo* en la AIEE en 1918, el método permite el desarrollo de conjuntos de fasores equilibrados, los cuales pueden entonces combinarse para resolver el sistema original de fasores no equilibrados. El método se basa en el hecho de que un conjunto de fasores trifásicos desbalanceados puede resolverse en tres conjuntos de componentes simétricas , las que se denominan las componentes de secuencia positiva , de secuencia negativa y de secuencia cero . Los fasores del conjunto de componentes de la secuencia positiva tienen una rotación o secuencia de fase en dirección antihoraria abc; los de la secuencia negativa tienen una secuencia de fase inversa acb y los de la secuencia cero están todos en fase entre sí. Las componentes de la secuencia positiva se identifican con el subíndice 1 y los subíndices 2 y 0 se usan para las componentes de las secuencias negativa y cero, respectivamente. En un sistema trifásico que está normalmente balanceado, unas condiciones de falla no balanceadas generalmente producen corrientes y voltajes no equilibrados en cada una de las fases. Si las corrientes y voltajes están relacionados por impedancias constantes, se dice que el sistema es lineal y el principio de superposición aplica. La respuesta de voltaje del sistema lineal a corrientes no equilibradas puede determinarse considerando las respuestas separadas de los elementos individuales a las componentes simétricas de las corrientes. Los elementos del sistema de interés son las máquinas, transformadores, líneas de transmisión y cargas conectadas a configuraciones en o Y. En estas notas se introducen las componentes simétricas y se demuestra que la respuesta de cada elemento de un sistema depende, en general, de sus conexiones y de la componente de la corriente bajo consideración. Se desarrollarán circuitos equivalentes, denominados circuitos de secuencia, para reflejar las respuestas separadas de los elementos a cada componente de la corriente. Hay tres circuitos equivalentes para cada elemento del sistema trifásico. Al organizar los circuitos equivalentes individuales en redes según las interconexiones de los elementos, obtenemos el concepto de tres redes de secuencias . Resolviendo estas redes para las condiciones de falla da las componentes simétricas de voltajes y corrientes que entonces pueden combinarse para reflejar los efectos de las corrientes de falla desequilibradas originales en todo el sistema. El análisis mediante componentes simétricas es una herramienta poderosa que hace que el cálculo de fallas no simétricas sea casi tan fácil como el de fallas trifásicas. La Fig. 1 ilustra un sistema equilibrado de fasores trifásicos. Observe que los tres fasores tienen magnitudes iguales y están desplazados entre sí por 120 grados. Además, la dirección de rotación positiva es en sentido *
“Método de Coordenadas Simétricas Aplicadas a la Solución de Redes Polifásicas”.
2
José R. Morón
antihorario. Un diagrama así podría representar las corrientes trifásicas en un sistema de potencia operando normalmente.
Figura 1. Sistema trifásico equilibrado
2. Fasores No Simétricos a Partir de sus Componentes Simétricas De acuerdo con el teorema de Fortescue, tres fasores desequilibrados de un sistema trifásico pueden resolverse en tres sistemas de fasores equilibrados . El método de las componentes simétricas reduce la complejidad en la solución de cantidades eléctricas durante perturbaciones en el sistema de potencia. Los conjuntos equilibrados de componentes son a.
Las componentes de secuencia directa o positiva, que consisten de tres fasores iguales en magnitud, desfasados entre sí por 120 y que tienen la misma secuencia que los fasores originales; esto es, este conjunto consiste de componentes trifásicas equilibradas (simétricas).
b. Las componentes de secuencia inversa o negativa, que consisten de tres fasores iguales en magnitud, desfasados entre sí por 120 y que tienen una secuencia opuesta a la de los fasores originales. c.
Las componentes de secuencia cero u homopolar , que consisten de tres fasores iguales en magnitud y con cero desfase entre ellos.
Cuando se resuelve un problema mediante componentes simétricas se acostumbra designar las tres fases del sistema como a, b y c (o A, B, C) de forma que la secuencia de fases de los voltajes y corrientes en el sistema es abc. Así, la secuencia de fases de las componentes de secuencia positiva de los fasores desequilibrados es abc y la secuencia de fases de las componentes de secuencia negativa es acb. Si los fasores originales son corrientes, pueden ser designados como Ia, Ib e Ic. Los tres conjuntos de componentes simétricas se designan mediante el subíndice adicional 1 para las componentes de secuencia positiva, 2 para los de la secuencia negativa y 0 para los de secuencia cero. La Fig. 2 muestra un sistema no equilibrado, donde las magnitudes de los tres fasores no son iguales, Ia
Ib
Ic
y los tres ángulos de fase no son necesariamente 120 grados. Los fasores identificados como el Sistema Original en la Fig. 2 son típicos de las corrientes en un sistema trifásico con un cortocircuito a tierra en una de las fases, la fase a en este caso. El conocimiento de las componentes simétricas es importante en la realización de cálculos matemáticos y en comprender fallas en un sistema. El método también es valioso en el análisis de fallas y cómo se aplican en la operaciones de relés. Los conceptos ilustrados en la Fig. 2 se expresan matemáticamente en las Ecs. (1.1), (1.2), y (1.3): Ia
I a0 I a 1 I a 2
(1.1)
Ib
Ib 0 Ib 1 Ib 2
(1.2)
Ic
Ic 0 Ic 1 Ic 2
(1.3)
3
José R. Morón
Figura 2. Sistema Trifásico No Equilibrado.
Para identificar el desplazamiento angular, conviene usar el operador fasorial unitario „ a‟, definido como a 1 120
(1.4)
entonces el operador a produce una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj de 120 (en la misma forma que el operador j produce una rotación de 90), de manera que 1 3 a 1120 1 e j 120 j 2 2 1 3 a2 1240 j a* 2 2 a3 1360 10 1.0 j 0
y puesto que 1 a a2 0
(1.5)
3. El Sistema Por Unidad En muchas situaciones de ingeniería es útil escalar, o normalizar, cantidades dimensionadas. Esto se hace comúnmente en el análisis de sistemas de potencia. El método estándar utilizado se conoce como el sistema por unidad. Históricamente, esto se hizo para simplificar los cálculos numéricos que se hacían manualmente. Aunque esta ventaja es eliminada por la calculadora, todavía permanecen otras ventajas:
Los parámetros de los dispositivos tienden a caer en una banda relativamente angosta, lo que resalta valores erróneos.
Al usar este método, todas las cantidades se expresan como razones de algún valor o valores base.
La impedancia equivalente por unidad de cualquier transformador es la misma cuando se refiere a bien sea el lado primario o el secundario.
El método por unidad es independiente de cambios de voltaje y de desplazamientos de fase a través de transformadores, donde los voltajes base en los devanados son proporcionales al número de vueltas en los mismos.
3.1 Normalización del Voltaje y la Corriente La base para el sistema de notación por unidad es la expresión del voltaje y la corriente como fracciones de niveles base. Por tanto, el primer paso en el establecimiento de una normalización por unidad es la selección del voltaje y la corriente base. Consideremos la sencilla situación mostrada en la Fig. 3. Para esta red, las cantidades complejas del voltaje y la corriente son V IZ
(1.6)
4
José R. Morón
Comenzamos por definir dos cantidades base, V B para el voltaje e I B para la corriente. En muchos casos, éstas se seleccionarán iguales a los valores nominales. Para plantas de generación, por ejemplo, es común usar el voltaje y la corriente nominales del generador como cantidades base. En otras situaciones, tales como en estudios de la estabilidad de sistemas, se acostumbra usar un sistema base estándar.
Figura 3 Ejemplo
El voltaje y la corriente por unidad son entonces simplemente v
i
V
V B I
iB
(1.7) (1.8)
Aplicando las Esc. (1.7) y (1.8) a la Ec. (1.6), encontramos que v iz
(1.9)
donde la impedancia por unidad es z
Z
I B V B
(1.10)
Esto conduce a una definición para una impedancia base para el sistema: ZB
V B I B
(1.11)
Por supuesto, también tenemos una potencia base, la cual para un sistema monofásico es PB VB I B
(1.12)
siempre que VB e I B se expresen en RMS. Es interesante observar que, siempre que la normalización se realice de una forma consistente, no hay ninguna ambigüedad en la notación por unidad. Es decir, las cantidades pico normalizadas a cantidad picos base serán las mismas, en por unidad, que las cantidades RMS normalizadas a bases RMS. Esta ventaja es todavía más impresionante en los sistemas polifásicos, como veremos ahora.
3.2 Sistemas Trifásicos Cuando describimos sistemas polifásicos, tenemos la opción de usar ya sea voltaje de línea a línea o de línea a neutro y corriente de línea o corriente en cargas equivalentes en delta. Para mantener un análisis directo en variables ordinarias, es necesario acarrear información acerca de cuál de estas cantidades se está usando. Este problema no existe en la notación por unidad. Podemos usar como cantidades base ya sea el voltaje de línea a neutro V Bl g o el voltaje de línea a línea V Bl l . Tomando la corriente de línea I Bl como la corriente base, podemos expresar la potencia base como PB 3VBl g I Bl
(1.13)
5
José R. Morón
Como el voltaje de línea a línea es, bajo operación normal, 3 veces el voltaje de línea a neutro, una expresión equivalente es PB 3VBl l I Bl
(1.14)
Si la impedancia base se expresa en términos del voltaje de línea a neutro y la corriente de línea (ésta es la convención común, pero no es requerida), ZB
V Bl g
(1.15)
I Bl
entonces, la impedancia base es, escrita en términos de la potencia base: ZB
PB 3I B2
3
V Bl2 g PB
V Bl2 l PB
(1.16)
Observe que un solo voltaje por unidad aplica igualmente bien a la cantidades de línea a línea, línea a neutro, pico y RMS. Para una situación dada, cada una de estas cantidades tendrá una valor ordinario diferente, pero existe sólo un valor por unidad.
3.3 Redes con Transformadores Una de las ventajas más importantes del uso de los sistemas por unidad aparece en el análisis de redes con transformadores. Aplicada apropiadamente, una normalización por unidad hará que desaparezcan casi todos los transformadores ideales de la red por unidad, simplificando mucho el análisis. Para demostrar cómo sucede esto, considérese el transformador ideal mostrado en la Fig. 4. El transformador ideal impone las restricciones siguientes: V2 I2
N V1
1 I N 1
Figura 4 Transformador ideal con convenciones de voltaje y corriente
Normalizada a cantidades base en los dos lados del transformador, el voltaje y la corriente por unidad son v1
i1
v2
i2
V1
V B1 I1
I B1 V2
V B2 I2
I B2
6
José R. Morón
Observe ahora que si las cantidades base están relacionadas entre sí como si ellas hubiesen sido procesadas por el transformador, es decir, VB2 NV B1 I B2
entonces ideal).
v1
(1.17)
I B1 N
(1.18)
v2 e i 1 i 2 , como si el transformador ideal no estuviese allí (esto es, consistente de un alambre
Las expresiones (1.17) y (1.18) reflejan una regla general en el establecimiento de normalizaciones por unidad para sistemas con transformadores. Cada segmento del sistema debería tener la misma potencia base. Los voltajes base se transforman de acuerdo con las razones de voltaje de los transformadores. Para sistemas trifásicos, por supuesto, las razones de voltaje pueden diferir de las razones de vueltas físicas por un factor de 3 si se usan conexiones delta-estrella o estrella-delta.
3.4 Transformación de una Base en Otra Con frecuencia datos tales como la inductancias de fuga de los transformadores se dan en términos de por unidad, sobre alguna base (quizás los valores nominales), mientras que para analizar un sistema es necesario expresar los mismos datos en por unidad en alguna otra base (quizás una base en un sistema unificado). Siempre es posible hacer esto mediante el proceso de dos etapas de convertir los datos por unidad a su forma ordinaria, y después re normalizándolos en la nueva base. Observe que la impedancia en ohmios (unidades ordinarias) es dada por Z z1ZB1
Aquí, por supuesto, escribirse como
z1
z2ZB2
(1.19)
y z2 son la misma impedancia por unidad expresada en bases diferentes. Eso podría
z1
VB21 V 2 z 2 B2 PB1 PB2
(1.20)
Ésta produce una regla conveniente para convertir de un sistema base a otro: PB1 V B2 z1 PB2 V B1
2
z2
Ejemplo 1 Un sistema tiene Sbase 100 MVA; calcule la corriente base para a) V base 230 kV b) V base 500 kV Solución
Usando la Ec. (1.14), Ibase a) Ibase
1000 100 3 230
kVAbase 3 kV base
amperios , obtenemos
amperios 251 A
(1.21)
7
José R. Morón
1000 100
b) Ibase
amperios 115.5 A
3 500
Ejemplo 2 Un autotransformador de 900 MVA, 525/241.5 tiene una impedancia de placa de 10.14%. a)
Determine la impedancia en ohmios, referenciada al lado de 525 kV.
b)
Determine la impedancia en ohmios, referenciada al lado de 241.5 kV.
Solución
Primero se convierte de % a pu. Z pu
Z% 0.1014 100
Reacomodando la Ec. (1.15) y despejando Zreal, da 2 kV base Z Z pu
MVAbase
Por tanto, a) Z525kV 0.1014
31.05
5252 900
b) Z241.5 kV 0.1014
6.57
241.52 900
Esto se puede verificar para ver si la razón de las impedancias del lado alto al lado bajo es igual a la relación de vueltas al cuadrado: 2
525 4.726 241.5
31.05 4.726 6.57
4. Redes de Secuencias Refiriéndonos al sistema básico de tres fases mostrado en la Fig. 5, hay que considerar cuatro conductores; a, b, c y neutro n. Ia
a
Ib
b Red A
Ic
c
n
Van Vbn Vcn
In
Figura 5
Red A Red B
8
José R. Morón
Los voltajes de fase, V p, para el caso 3 equilibrado con una secuencia de fases abc son
Vcn
Van
Va V p0
(1.22)
Vbn
Vb V p 120
(1.23)
Vc Vp 120 V p 240
(1.24)
Los voltajes de fase a fase, VLL, se escriben como Vab
Va Vb V LL 30
(1.25)
Vbc
Vb Vc V LL 90
(1.26)
Vca
Vc Va V LL150
(1.27)
Las Ecs. (1.22) a (1.27) se muestran en forma fasorial en la Fig. 6.
Figura 6
Existen dos configuraciones equilibradas de conexiones de impedancias en un sistema de potencia. Para el caso Y y con una conexión de impedancia de Z , la corriente se puede calcular como Ia
V ZY
V p ZY
0
(1.28)
donde está entre 90° y +90°. Para mayor que cero, la carga sería inductiva (Ia retrasa de Va). Para menor que cero, la carga sería capacitiva (Ia adelanta a Va). Las corrientes de fase en el caso trifásico equilibrado son Ia
I p0
(1.29)
Ib
I p 120
(1.30)
Ic
I p 240
(1.31)
Vea la Fig. 6 para la representación fasorial de las corrientes.
9
José R. Morón
5. Sistemas de Componentes Simétricas El sistema eléctrico de potencia trabaja en una operación sinusoidal trifásica equilibrada. Cuando un árbol entra en contacto con una línea, un relámpago impacta un conductor o dos conductores se ponen en contacto, a eso lo llamamos una falla o una falla en la línea. Cuando esto ocurre, el sistema pasa de una condición equilibrada a una de desequilibrio. Para ajustar apropiadamente los relés de protección, es necesario calcular las corrientes y voltajes en el sistema bajo estas condiciones de operación desequilibradas. En su trabajo. el Dr. C. L. Fortescue describió cómo las componentes simétricas pueden transformar una condición desequilibrada en componentes simétricas, cómo calcular la respuesta del sistema mediante análisis circuital directo con modelos de circuito sencillos y transformar después los resultados a las variables de las fases originales. Cuando ocurre una falla de cortocircuito, el resultado puede ser un conjunto de voltajes y corrientes desequilibrados. La teoría de componentes simétricas resuelve cualquier conjunto de voltajes o corrientes desequilibrados en tres conjuntos de fasores simétricos equilibrados. Estos se conocen como componentes de secuencias positiva, negativa o cero. La Fig. 7 muestra un sistema equilibrado y uno no equilibrado.
C
C
A
A B
B Sistema Equilibrado
Sistema Desequilibrado
Figura 7
Se pueden utilizar las propiedades del operador fasorial a para escribir las componentes de una secuencia dada en términos de cualquiera otra componente seleccionada. Considere el sistema simétrico de fasores de la Fig. 8. V Ic1
c1
V I a2 a2
V Iaa0 0 V Ibb0 0 V Icc0 0
V Ib2
b2
V Ia1 a1 I
V Ib1 b1
Secuencia Positiva
Secuencia Negativa
V c2 c2
Secuencia Cero
Figura 8
Puesto que los fasores están equilibrados, tienen amplitudes iguales y están desplazados 120° entre sí. Por tanto, por la definición de las componentes simétricas, podemos escribir Ib 1
a2 I a 1 e
Ic 1
aI a1 e
aIa 2
(1.32)
a2Ia 2
(1.33)
Ib 2 Ic 2
En forma similar, en las componentes de las secuencias negativa y cero, se deduce que
10
José R. Morón
Ia 2
Ia2
(1.34)
Ib 2
aI a2
(1.35)
Ic 2
a2 I a 2
(1.36)
I a0
Ia0
(1.37)
Ib0
Ia0
(1.38)
Ic 0
Ia0
(1.39)
e
Entonces, en términos de las componentes de la fase a, Ia
I a0 I a 1 I a 2
(1.40)
Ib
Ia0 a2 Ia1 aI a 2
(1.41)
Ic
I a0 aI a1 a2Ia 2
(1.42)
De las Ecs. (1.40), (1.41) y (1.42) se puede ver que cada conductor de fase tendrá sus propias corrientes de secuencia independientes que fluyen por él. La corriente total en cualquiera de los conductores de fase se expresa entonces como la suma de las tres componentes de secuencia. Es importante observar que, aunque la corriente total en cualquier fase dada puede ser igual a cero, las secuencias individuales no son necesariamente iguales a cero. En una falla de una sola fase, por ejemplo, Ib e Ic son ambas cero; sin embargo, las componentes de las secuencias en las fases b y c Ib1 , Ib2 , I b0 , I c1 , I c 2 , I c 0 no son cero. También es muy importante recalcar que el conjunto de corrientes o voltajes de las secuencias siempre existe en la forma que se definió. Ia1 o Ib1 o Ic1 nunca pueden existir solas o en pares, siempre existen todas tres. De modo que es necesario definir sólo uno de los fasores (cualquiera de ellos), a partir del cual se pueden deducir los otros dos como se define en las Ecs. (1.32) y (1.33). El problema en la práctica es determinar las componentes simétricas de los voltajes (o corrientes) conociendo los voltajes (o corrientes) desequilibrados. En forma matricial, las Ecs. (1.40), (1.41) y (1.42) pueden escribirse como I a 1 1 1 I a 0 Ia0 I 1 a 2 a I A I a1 b a1 2 Ic 1 a a Ia2 Ia 2
(1.43)
1 1 1 2 A 1 a a 1 a a 2
(1.44)
donde, por conveniencia, se tomó
Entonces, como se puede verificar fácilmente, se tiene que A
1
1 1 1 1 a 3 2 1 a
1
a2
a
y, premultiplicando ambos lados de la Ec. (1.43) por A, se obtiene
(1.45)
11
José R. Morón
1 1 1 I a I a0 Ia 1 I 1 a a2 I A 1 I b a1 3 b 2 Ia2 Ic a Ic 1 a
(1.46)
que muestra cómo resolver tres fasores no simétricos en función de sus componentes simétricas. La Ec. (1.46) es la base para determinar si las cantidades de las secuencias existen en cualquier conjunto de corrientes o voltajes trifásicos equilibrados. Se debe señalar que aunque las Ecs. (1.43) y (1.46) se dedujeron para las corrientes de fase, debe quedar claro que ellas son válidas para cualesquiera variables en un circuito trifásico; es decir, sean voltajes o corrientes (de línea o de fase). En un sistema trifásico, la suma de las corrientes de línea es igual a la corriente In de retorno por el hilo neutro; es decir, Ia Ib Ic I n (1.47) Entonces, de (1.46) se deduce que 1 3
I a Ib Ic
I a0
1 In 3
(1.48)
lo cual indica que la corriente de retorno por el neutro es dada por In
3Ia0
(1.49)
Cuando el sistema trifásico tiene solamente tres hilos, es decir, no tiene neutro, entonces In es cero y en consecuencia, de acuerdo con (1.49) las corrientes en las líneas no contienen componentes de secuencia cero.
5.1 Las Cantidades de las Secuencias Las relaciones dadas en la Ec. (1.46) son muy importantes y por ello las escribimos en la forma expandida I0
1 3
Ia Ib Ic
(1.50)
I1
1 Ia aIb a2Ic 3
(1.51)
I2
1 I a2Ib aIc 3 a
(1.52)
y para los fasores de las secuencias de voltaje se obtienen relaciones similares: V0
1 3
Va Vb Vc
(1.53)
V1
1 Va aVb a2Vc 3
(1.54)
V2
1 Va a2 Vb aVc 3
(1.55)
Observe también que, por convención, se omite el subíndice para la fase. Así Ia1 se convierte en I1. Esto no debe producir confusión ya que la convención se aplica generalmente en toda la literatura.
Ejemplo 3 Dado Va 553 , Vb 7 164 y fases se muestran en la Fig. 9.
Vc
7105 , halle las componentes simétricas. Las componentes de las
12
José R. Morón
V c
V a
V b
Condición desequilibrada
Figura 9
Solución
Se aplican las Ecs. (1.53) a (1.55). Resolviendo por la componente de secuencia cero, se obtiene Va 0
1 3 1 5 53 7 164 7 105 3 3.5 122
Va Vb Vc
Por las Ecs. (1.38) y (1.39) Vb 0 Vc 0
3.5122 3.5122
Resolviendo ahora por la componente de secuencia positiva, se obtiene Va1
1 Va aVb a2 Vc 3 1 5 53 1120 7 164 1 240 7 105 3 5.0 10
Por las Ecs. (1.32) y (1.33), 5.0 130 Vc 1 5.0110 Vb1
Resolviendo por la componente de secuencia negativa, se obtiene Va 2
1 Va a2 Vb aVc 3 1 5 53 1240 7 164 1 120 7 105 3 1.9 92
Por las Ecs. (1.35) y (1.36), 1.9148 Vc 1 1.9 28 Vb 2
Las componentes de las secuencias se muestran en forma fasorial en la Fig. 10.
13
José R. Morón
V c1
V V b0a0 V c0
V a2
V a1
V c2
V b2
Secuencia Negativa V b1
Secuencia Cero
Secuencia Positi va
Figura 10
Ejemplo 4 Dado V0 3.5122, V1 5.0 10, V2 1.992 , halle las componentes de las secuencias de fases. Los fasores correspondientes se muestran en la Fig. 11. V c
V c0
V c1
V a
V a 0
V a 2 V b
V a 1
V b 0 V b 1 V b 2
Figura 11
Solución
Usando las Ecs. (1.40) a (1.42), despejamos la componente de las secuencia de la fase A: Va V0
V1 V2 3.5122 5.0 10 1.9 92 5.053
por la componente de la secuencia de la fase B: V0 a2 V1 aV2 3.5122 5.0 130 1.9 148 7.0 164
Vb
y por la componente de la secuencia de la fase C:
14
José R. Morón
V0 aV1 a2 V2 3.5122 5.0110 1.9 28 7.0105
Vc
Todos estos resultados se muestran en la Fig. 11 en forma fasorial. Observe en la Fig. 11 que al sumar los fasores de la Fig. 10, se reconstruyen las cantidades de la fase original, Fig. 9.
Ejemplo 5 Una carga trifásica conectada en Y está conectada a un sistema trifásico alimentado por una fuente equilibrada (Fig. 10). Obtenga un conjunto de ecuaciones que relacione las componentes simétricas de los voltajes de línea y de fase.
Figura 10 Solución: El
sistema simétrico, las direcciones supuestas de los voltajes y la nomenclatura se muestran en la Fig. 10, a partir de las cuales obtenemos Vab
Puesto que
Vab
Va Vb ,
Vbc
Vb Vc ,
Vca
Vc Va
Vbc Vca 0 , se obtiene Vab0
Vbc0 Vca0 0
Se escoge Vab como el fasor de referencia. Para la componente de secuencia positiva, se obtiene Vab 1
1 Vab aVbc a2 Vca 1 Va Vb a Vb Vc a2 Vc Va 3 3 1 Va aVb a2 Vc a2 Va Vb aVc 3 1 Va aVb a2 Vc a2 Va aVb a2 Vc 3 1 1 a2 Va aVb a2 Vc 1 a2 Va1 3 3 Va1 e j 30
En forma similar, para la componente de secuencia negativa se obtiene
(1.56)
15
José R. Morón
Vab 2
1 Vab a2 Vbc aVca 3 1 Va Vb a2 Vb Vc a Vc Va 3 1 Va a2 Vb aVc aVa Vb a 2Vc 3
(1.57)
1 Va a2 Vb aVc a Va a2 Vb aVc 3 1 1 a Va a2 Vb aVc 1 a Va 2 3
3 Va2 e j 30
En las Ecs. (1.56) y (1.57), Va1 y Va2 son, respectivamente, las componentes de las secuencias positiva y negativa del voltaje de fase Va. Procediendo como en la derivación de (1.56) y (1.57), pero ahora escogiendo Vbc como el fasor de referencia, se puede demostrar que Vbc1
j 3 Va1
(1.58)
6. Análisis de Fallas Equilibradas y Desequilibradas Ensamblemos ahora los resultados obtenidos hasta aquí. Las componentes simétricas se usan extensivamente para los cálculos en estudios de fallas. En estos cálculos, las impedancias de las secuencias positiva, negativa y cero son dados por el fabricante o son calculados por el usuario usando voltajes base y potencia base para su sistema. Cada una de las redes de las secuencias se conecta de formas diferentes para calcular las corrientes y voltajes de falla dependiendo del tipo de falla.
Ejemplo 6 Un conductor de una línea trifásica está abierto. La corriente que fluye en una carga conectada en a través de la línea a es 10 A. Tomando la corriente en la línea a como referencia y suponiendo que la línea c está abierta, halle las componentes simétricas de las corrientes de línea. Solución. La
Fig. 11 es un diagrama del circuito. Las corrientes de línea son Ia
100 A
Ib
10180 A
Ic
0 A
Figura 11
De las Ecs. (1.50), (1.51) y (1.52) se obtiene para las corrientes de las secuencias
16
José R. Morón
1 100 10 180 0 0
I a0
3 1 I a1 100 10 180 120 0 3 5 j 2.89 5.78 30 A 1 3 5 j 2.89 5.7830 A
I a2
100 10 180 240 0
0 Ib1 5.78 150 A Ib 2 5.78150 A Ib0
El resultado
I a0
0 Ic 1 5.7890 A Ic 2 5.78 90 A
Ic 0
Ib0 Ic0 0 se cumple para cualquier sistema de tres conductores.
En este ejemplo se observa que las componentes Ic1 e Ic2 tienen valores diferentes de cero aunque la línea c está abierta y no transporta una corriente neta. No obstante, como se esperaba, la suma de las componentes en la línea c es cero. Por supuesto, la suma de las componentes en la línea a es 100 A y en la línea b es 10180 A. Vbc 2
j 3 Va2
(1.59)
Las Redes de las Secuencias. La clave que posibilita la división de cantidades trifásicas desequilibradas en las componentes prácticas de las secuencias es la independencia de las componentes en una red equilibrada. Para todos los propósitos prácticos, los sistemas de potencia eléctricos son equilibrados o simétricos desde los generadores hasta el punto de carga monofásico, excepto en un área de una falla o desequilibrio como, por ejemplo, un conductor abierto. En esta área esencialmente equilibrada, existen las condiciones siguientes:
1.
Las corrientes de secuencia positiva que fluyen en la red simétrica o equilibrada producen solamente caídas de voltaje de secuencia positiva, no producen caídas de secuencia negativa o cero.
2.
Las corrientes de secuencia negativa que fluyen en la red simétrica o equilibrada producen solamente caídas de voltaje de secuencia negativa, no producen caídas de secuencia positiva o cero.
3.
Las corrientes de secuencia cero que fluyen en la red simétrica o equilibrada producen solamente caídas de voltaje de secuencia cero, no producen caídas de secuencia positiva o negativa. Esto no se cumple para cualquier punto o área desequilibrada o no simétrica como, por ejemplo, una falla no simétrica, de fase abierta, etc. En éstas:
4.
La corriente de secuencia positiva que fluye en un sistema desequilibrado produce caídas de voltaje de secuencias positiva, negativa y, posiblemente, cero.
5.
La corriente de secuencia negativa que fluye en un sistema desequilibrado produce caídas de voltaje de secuencias positiva, negativa y, posiblemente, cero.
6.
La corriente de secuencia cero que fluye en un sistema desequilibrado produce las tres caídas de voltaje de secuencias positiva, negativa y cero.
La caída de tensión que se origina en una parte cualquiera de un circuito por la corriente de una secuencia determinada, depende de esa parte del circuito para la corriente de dicha secuencia. Entonces, se tiene que 1.
Para cualquier sistema trifásico, se pueden obtener tres conjuntos de componentes independientes de las secuencias, tanto para el voltaje como para la corriente.
2.
Puesto que las tres componentes de las secuencias son independientes, se puede inferir que cada corriente de secuencia fluye en una red única creando cada voltaje de secuencia.
Tomados en conjunto, todo lo anterior implica la existencia de redes de impedancias independientes para las secuencias, como muestra la Fig. 12. Cada red de secuencia representa todo el sistema de potencia reducido a
17
José R. Morón
una sola impedancia. Los terminales N x son los terminales neutro o de retorno para cada red. Para un estudio de corto circuito, los terminales F x representan el punto supuesto para el cortocircuito. Z0
Z1
I0
V0
Red de secuencia cero
Z1
I1
V1
I2
V2
Red de secuencia positiva
Red de secuencia negativa
Figura 12. Redes de impedancias de las secuencias
La impedancia que ofrece un circuito cuando por él circulan solamente corrientes de secuencia positiva se denomina impedancia de secuencia positiva y es Z1
Va1 I a1
Vb1 Ib 1
Vc 1 Ic 1
(1.60)
Cuando circulan solamente corrientes de secuencia negativa, la impedancia se denomina impedancia de secuencia negativa y es dada por Z2
Va 2 Ia2
Vb 2 Ib 2
Vc 2 Ic 2
(1.61)
La impedancia correspondiente para las corrientes de secuencia cero se denomina impedancia de secuencia cero y es dada por Z0
Va0 I a0
Vb0 Ib 0
Vc 0 Ic 0
(1.62)
Tan pronto como se hayan desarrollado las tres redes de impedancias de las secuencias, se puede proceder con el análisis del sistema. Los valores de Z1 y Z2 para aparatos estáticos, tales como resistencias, capacitores, transformadores, líneas de transmisión, etc., son los mismos, ya que la impedancia no depende del sentido de sucesión de las fases. En los casos en los que se produce una interacción de los campos magnéticos o eléctricos de las tres fases, la impedancia de secuencia cero Z0 seria diferente de Z1 y Z2 ya que las corrientes de secuencia cero producen un tipo de campo totalmente diferente al de las otras corriente (en un caso es rotativo y en el otro pulsante). En general, en las máquinas eléctricas rotativas las impedancias Z1 y Z2 y Z0 serán diferentes. El análisis de una falla asimétrica en un sistema simétrico consiste en la determinación de las componentes simétricas desequilibradas que circulan. Comoquiera que las corrientes componentes de la secuencia de una fase dan lugar a caídas de tensión solamente de la misma secuencia y son independientes de las corrientes de las otras secuencias, en un sistema equilibrado las corrientes de cualquier secuencia pueden considerarse como circulando en una red independiente formada solamente por las impedancias a la corriente de esa secuencia. La red de secuencia incluye las tensiones generadas de igual secuencia. Las redes de secuencia que transportan las corriente Ia1 , Ia2 e Ia0 se interconectan para representar diversas condiciones en las fallas desequilibradas.
Ejemplo 7 En la Fig. 13 se muestra un generador sincrónico trifásico conectado a tierra a través de una impedanciaZn. El generador no está alimentando carga, pero debido a una falla en los terminales del generador, por las fases a, b y c fluyen las corrientes Ia, Ib e Ic, algunas de las cuales pueden ser nulas. Para dibujar las redes monofásicas de las secuencias, se debe tener en cuenta que las tensiones generadas son solo de secuencia positiva, ya que el generador suministra tensiones trifásicas equilibradas. Por tanto, como se indica en el lado derecho de la Fig. 6,
18
José R. Morón
la red está formada por la tensión del generador (sólo se indica la fase a) en serie con la impedancia Z1 de impedancia positiva del generador. Las redes de secuencia negativa y cero no contienen ningún generador Ea2 Ea0 0 pero incluyen las impedancias de éste a las corrientes de secuencia negativa Z2 y cero Z0 , respectivamente. También hay que tener en cuenta que lo que respecta a las componentes de secuencias positiva y negativa, el neutro del generador está al potencial de tierra Vn 0 ya que solamente circula corriente de secuencia cero entre el neutro y tierra. La corriente que pasa por el Zn es igual a 3Ia0 y por tanto, la red de secuencia cero contiene una impedancia 3Zn entre el nodo n y el nodo 0 (tierra), de este modo la impedancia total de secuencia cero es Z g 0 3Zn . Las ecuaciones de los voltajes para la fase a se obtienen de los circuitos en la Fig. 6: Va1
Ega I a1Z1
(1.63)
donde Ia1Z1 es la caída de voltaje de secuencia positiva en la impedancia de secuencia positiva Z1 del generador. Si Z2 es la impedancia de secuencia negativa del generador, el voltaje de secuencia negativa en el terminal de la fase a es simplemente Va2
Ia2 Z2
(1.64)
ya que no hay un voltaje generado de secuencia negativa. Las corrientes de secuencia cero del generador fluyen a través de Zn y también a través de Z g 0 , la impedancia de secuencia cero del generador. La corriente de secuencia cero total a través de Zn es Ia0 Ib0 Ic0 3Ia0 , pero la corriente a través de Z g0 es Ia0. Por tanto, Va0
donde 13
Z0
I a0Z g0 3I a0Zn I a 0 Z g 0 3Zn I a 0Z 0
(1.65)
Z g0 3Zn . Las Ecs. (1.63), (1.64) y (1.65) se representan, respectivamente en el lado derecho de la Fig.
Ia1 Z1 E ga = Ega1
a Ia
Z g
Va1
n= 0 Ia2
E g a In
Zn
n
Z2 E ga2 = 0
E g b
n=0
Z g
c
Z g
E g c
Va2
b
Ib Ia0 Ib
Z g 0
3 Zn
Va0
n= 0
Figura 13. Redes de secuencias.
Los voltajes en los circuitos de las secuencias positiva y negativa pueden considerarse como voltajes medidos con respecto ya sea a neutro o a tierra, exista o no una conexión de impedancia de algún valor finito entre el
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José R. Morón
neutro y tierra. En consecuencia, en el circuito de secuencia positiva no hay diferencia entre Va1 y afirmación similar aplica para Va 2 y Van 2 en el circuito de secuencia negativa.
Van1 y
una
Si el neutro de un circuito conectado en Y está a tierra a través de una impedancia cero, se hace Zn = 0 y entonces una conexión de impedancia cero une el punto neutro con el nodo de referencia del circuito de secuencia cero. Si no hay conexión entre el neutro y tierra, no puede fluir ninguna corriente de secuencia cero, ya que entonces Zn = , lo que se indica mediante el circuito abierto entre el neutro y el nodo de referencia en el circuito de secuencia cero de la Fig. 14(a). Obviamente, un circuito conectado en no puede proporcionar una trayectoria a través de un neutro y, por tanto, las corrientes de línea fluyen hacia una carga conectada en o su circuito Y equivalente no puede contener ninguna componente de secuencia cero. Considere el circuito conectado en de la Fig. 15 con Vab
ZIab
Vbc
Z Ibc
Vca
Z Ica
(1.66)
Sumando estas tres ecuaciones, se obtiene Vab
Vbc Vca Vab0 3ZIab0
(1.67)
y como la suma de los voltajes de línea a línea siempre es igual a cero, tenemos entonces que Iab0 0 (1.68) Así pues, en circuitos conectados en con sólo impedancias y ninguna fuente o acoplamiento mutuo, no pueden haber corrientes circulantes. Algunas veces se pueden producir corrientes circulantes en los circuitos de transformadores y generadores ya sea por inducción o por voltajes generados de secuencia cero. En la Fig. 14(b) se muestra un circuito y su circuito de secuencia cero. Observe, sin embargo, que aun si se generasen voltajes de secuencia cero en las fases de la , ningún voltaje de secuencia cero podría existir entre los terminales de , ya que la subida en voltaje en cada fase sería compensada por la caída de voltaje en la impedancia de secuencia cero de cada fase. Vab0
Referencia
Referencia
Referencia
Referencia
Figura 14. Circuitos (a) Y no conectado a tierra y ( b) conectado a tierra y sus circuitos de secuencia cero.
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José R. Morón
Figura 15
Ejemplo 8 Tres impedancias iguales de j21 están conectadas en . Determine las impedancias de las secuencias y los circuitos de la combinación. Repita la solución para el lado donde existe una impedancia mutua de j6 entre cada par de ramas en la . Solución: Los
voltajes de línea a línea están relacionadas a las corrientes de la por 0 I ab Vab j 21 0 V 0 j 21 0 I bc bc Vca 0 0 j 21 Ica
Transformando a componentes simétricas de voltajes y corrientes da 0 Vab 0 j 21 0 0 I ab A I 1 A V 1 j 0 21 0 ab ab 2 0 0 j 21 I 2 Vab ab
y premultiplicando cada lado por
A
1
, se obtiene
0 Iab0 j 21 0 Iab0 Vab 0 1 1 1 I ab1 j j 21 0 21 0 A A I Vab ab 2 2 0 j 21 I 2 I ab 0 Vab ab
Los circuitos de las secuencias positiva y negativa tienen impedancias por fase de
Z1
Z2 j7 , como se
muestra en la Fig. 16(a) y puesto que Vab0 0 . la corriente de secuencia cero Iab0 0 , de modo que el circuito de secuencia cero es un circuito abierto. La resistencia de j21 en la red de secuencia cero sólo tiene significado cuando hay una fuente interna en el circuito original. Cuando hay una inductancia mutua de j6 entre las fases, Vab 0 j 21 j6 j 6 Iab0 A I 1 A V 1 j 6 j j 21 6 ab ab 2 j6 j6 j 21 2 I ab Vab
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José R. Morón
Referencia
Referencia
Secuencia cero
Secuencia positiva
Referencia
Referencia
Secuencia cero
Secuencia positiva
Referencia Secuencia negativa
Referencia Secuencia negativa
Figura 16. Circuitos de secuencias cero, positiva y negativa para las impedancias conectadas en del Ejemplo 8.
La matriz de los coeficientes puede separarse en dos partes en la forma siguiente: j21 j6 j6 1 0 0 1 1 1 j6 j21 j6 j15 0 1 0 j6 1 1 1 j6 j6 j21 0 0 1 1 1 1
y sustituyendo en la ecuación previa, se obtiene Vab 0 Iab0 1 1 1 1 Vab j15A 1 j6A 1 1 1 1 A Iab1 2 1 1 1 I 2 Vab ab 0 j15 0 0 3 0 0 I ab 0 j15 0 j6 0 0 0 I ab1 0 0 0 0 I 2 0 j15 ab 0 0 I ab j 33 0 0 j15 0 I ab1 0 0 j15 I 2 ab
Las impedancias de las secuencias positiva y negativa Z1 y Z2 toman ahora el valor j5 , como muestra la Fig. 16(b) y como Vab0 Iab0 0 , el circuito de secuencia cero está abierto. De nuevo, notamos que la resistencia de j33 en la red de secuencia cero no significa nada debido a que no hay fuente interna en el circuito original. En un sistema de potencia pueden ocurrir cuatros tipos de cortocircuitos. La configuración básica de cada cortocircuito se muestra en la Fig. 17. Obsérvese que la naturaleza de cada tipo de cortocircuito crea ciertas condiciones de frontera matemáticas, las cuales se enumeran en la Tabla 1. Estas condiciones de frontera son particularmente útiles ya que pueden usarse para determinar cómo modelar un sistema con fallas con las redes de impedancias de las secuencias.
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José R. Morón
Figura 17. Cuatro tipos de fallas en sistemas. Tabla 1 – Condiciones de frontera para un sistema con falla
Tipo de falla
Condiciones de frontera
Una sola fase
Ib = Ic = 0 y Va = 0
2 fases a tierra
Ia = 0 y Vb = Vc = 0
2 fases
Ib = Ic = 0 y Vb = Vc
3 fases
Ia + Ib + Ic = 0 y Va = Vb = Vc
Modelado de Corto Circuitos En el ejemplo a continuación se desarrollará el modelo para un corto circuito en una sola fase. Los otros tres tipos de conexiones pueden desarrollarse usando métodos similares; uno de ellos se analizará más adelante. Con el fin de evitar interacciones entre tensiones y corrientes de diferentes secuencias, se supondrá (a) que las tensiones en el generador son únicamente de secuencia positiva; (b) por la red circulan solamente las corrientes debidas a la falla y (c) las impedancias de la red en cada fase están equilibradas. En la Fig. 18 se ilustra una falla sencilla entre la fase a y tierra.
Figura 18. Falla de línea a tierra.
Para un cortocircuito en una sola fase, primero se considerarán las condiciones de frontera para la corriente que establecen que Ib Ic 0 . Introduciendo las condiciones de frontera en las Ecs. (1.50), (1.51) y (1.52) resulta en: I0
1 3
I1 0 0
1 Ia 3
(1.69)
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José R. Morón
1 3
1 Ia 3
(1.70)
1 3
1 Ia 3
(1.71)
I1
I a 0 0
I2
Ia 0 0
Las condiciones de frontera para los voltajes es que Va = 0. Sustituyendo esta condición en las Ecs. (1.53), (1.54), y (1.55) y sumando las tres, se obtiene la Ec. (1.72): V0
1 V1 V2 Vb aVb a2Vb Vc aVc a2Vc 0 3
(1.72)
Las Ecs. (1.69), (1.70), (1.71) y (1.72) pueden considerarse como enunciados de las leyes de Kirchhoff – la suma de las caídas de voltaje alrededor de un circuito en serie es igual a cero y las corrientes en un circuito en serie son iguales en todas partes. A partir de las Ecs. (1.69), (1.70), (1.71) y las Ecs. (1.63), (1.64) y (1.65), se obtiene Va 0
Z0 I a0 Z0
Va 1
E ga Z1
Va 2
Z2
Ahora bien, de acuerdo con la Ec. (1.1), Va
Ia
3
Ia
(1.73)
3
Ia
3
Va0 Va1 Va 2 Ega Z1 Z2 Z0
Ia
(1.74)
3
que según la Ec. (1.72) es igual a cero y, por consiguiente, la corriente de la falla Ia será I a
3E ga Z1
(1.75)
Z2 Z0
donde Z0 Z g0 3Zn . En el caso de que el neutro del generador esté conectado a tierra, entonces Zn 0 y por tanto Z0 coincide con la impedancia de secuencia cero del generador Z g0. Se puede utilizar un procedimiento análogo para analizar las fallas de cortocircuito entre dos líneas, de dos líneas a tierra, etc.
Ejemplo 9 Dado Z0 0.199 0 pu, Z1 0.175 90 pu y Z2 0.175 90 , calcular las corrientes y los voltajes de falla para una falla trifásica. Observe que las impedancias de las secuencias están en por unidad. Esto significa que la solución para las corrientes y voltajes estarán en por unidad. Solución
Las redes de las secuencias están interconectadas en la forma mostrada en la Fig. 19. Z0
I0
Z1
I1
V1
V0
Figura 19
Z2
I2
V2
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José R. Morón
Observe que para una falla trifásica, no hay voltajes negativos ni de secuencia cero, es decir, V2 0 I I2 0
V0
La corriente
I1
es la caída de voltaje en
Z1
; I1
V1 Z1
1 0 j5.71 j0.175
La corriente de fase es convertida a partir del valor de la secuencia usando las Ecs. (1.40), (1.41) y (1.42): Ib
0 j 5.71 0 5.71 90 pu 0 a2 j 5.71 a0 5.71 150 pu
Ic
0 a j 5.71 a2 0 5.71 30 pu
Ia
Calculando la caída de voltaje y refiriéndonos a la Fig. 1.17, los voltajes de las secuencias son V2 0 V1 1 0 Z1 I i V2 1 j 0.175 j 5.71 0.0 0.0 pu V0
Los voltajes de fase son convertidos a partir del valor de la secuencia usando las Ecs. (1.40), (1.41) y (1.42): Va Vb Vb
0.0 0.0 0.0 0.0 pu 0.0 a2 0.0 a 0.0 0.0 pu 0.0 a 0.0 a2 0.0 0.0 pu
Los valores por unidad para las corrientes y los voltajes ahora se convertirían a los valores reales usando la ecuación de conversión correspondiente y la potencia y voltaje bases para el sistema dado. Las corrientes y los voltajes se muestran en forma fasorial en la Fig. 20. V b
V a
V b I a
Figura 20
Potencia de las Secuencias Para obtener la potencia en un sistema trifásico en términos de sus componentes simétricas, se reescribe la Ec. (1.43) en términos de los voltajes y las corrientes de fase como V AV
donde
(1.76)
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José R. Morón
Va V Vb , Vc
e I
V 0 V V a1 V a2
AI
(1.77)
donde Ia I Ib , Ic
I 0 I I a1 I a 2
La potencia compleja S puede entonces escribirse como S VT I *
(1.78)
donde VT es la traspuesta de V e I* es el conjugado complejo de I. De las Ecs. (1.76) y (1.77), se tiene que T V
e I*
VT AT
(1.79)
A * I *
(1.80)
En consecuencia, las Ecs. (1.78) a (1.80) dan S VT AT A * I *
(1.81)
1 1 1 1 1 1 3 0 0 2 AA* 1 a a 1 a a2 0 3 0 1 a a2 1 a2 a 0 0 3
(1.82)
S Va Ia* Vb Ib* Vc Ic* 3 Va 0Ia* 0 Va 1Ia* 1 Va 2Ia* 2
(1.83)
Ahora, puesto que
la Ec. (1.81) se convierte en
De manera que la potencia de la secuencia es un tercio de la potencia en términos de las cantidades de fase. Los cálculos de fallas no simétricas (o desequilibradas) son facilitados por el uso de los conceptos de voltajes, corrientes e impedancias de secuencias. Puesto que un voltaje de una secuencia específica produce solamente una corriente de la misma secuencia, las diferentes redes de secuencias que representan una condición de desequilibro no tienen acoplamiento mutuo. Esta característica de las redes de secuencias simplifica considerablemente los cálculos.
Ejemplo 10 Un cortocircuito ocurre entre las fases b y c de un generador sin carga conectado sólidamente a tierra, como se muestra en la Fig. 21. Obtenga una red de secuencias para esta condición de operación. Solución: De
la Fig. 21(a), las restricciones de corriente y voltaje son I a Ib
0
(línea abierta)
Ic 0 (cortocircuito de línea a línea) Vb
Vc
(1) (2) (3)
26
José R. Morón
Ia
a
Ea
Ea Va1
Ec
Z2 Va2
Z1
Eb
b
c
Ib
Ia1
Ia2
Ic Ia1
(a)
(b)
Figura 21
Sustituyendo (1) y (2) en las Ecs. (1.53) a (1.55) expresadas como corrientes, se obtiene 1 3
(4)
1 0 aIb a2Ib 1 a a2 Ib 3 3
(5)
1 0 a2 Ib aIb 1 a2 a Ib 3 3
(6)
I a0
(0 0) 0
I a1
Ia2
De (5) y /6) se observa que Ia1
Ia2
(7)
en tanto que (4) muestra que la corriente de secuencia cero está ausente. Ahora, de (3), (1.51) y (1.52), se obtiene Va0
a2 Va1 aVa 2 V1 aVa 1 a2 Va 2
Por tanto, Va 1
Va2
(8)
En términos de las impedancias de secuencias, (8) puede escribirse como Ea
Ia1Z1 Ia2Z2
(9)
Combinando (7) y (9) y despejando I1, se obtiene I1
Ea
Z1 Z2
Las Ecs. (7) hasta (10) se pueden representar mediante la red de secuencia en la Fig. 21(b).
(10)
José R. Morón
27
PROBLEMAS 1.
Las corrientes de línea en un sistema trifásico de cuatro hilos son Ia 300 j400 A , Ib 200 j200 A e Ic 400 j 200 A . Determine las componentes de las secuencias positiva, negativa y cero. Resp.: 276.025.6 A; 30786.7 A; 137.476 A
2.
Los voltajes en los terminales de una carga equilibrada consistente de tres resistores de 10 conectados en Y son Vab 1000 V, Vbc 80.8 121.44 V y Vca 90130 V. Suponiendo que no hay conexión al neutro de la carga, halle las corrientes de línea a partir de los voltajes de línea dados. Halle la potencia disipada en los resistores de 10 a partir de las componentes simétricas de las corrientes y voltajes.
3.
Las corrientes de línea en una carga conectada en delta son I a 1000 , Ib 141.4225 e Ic 10090 A. Calcule las componentes de las secuencias positiva, negativa y cero de la corriente para la fase a. Determine también las componentes de las secuencias positiva y negativa de la corriente Iab y por tanto calcule Iab.
4.
Una carga desequilibrada conectada en Y consiste de las resistencias de fase Ra = 60 , Rb 40 y Rc 80 y está conectada a una fuente trifásica equilibrada de 440 V. Calcule las corrientes de línea por el método de componentes simétricas. Resp.: 4.473100.67 A; 5.138 34.71 A; 3.696156.93 A
5.
Una carga en delta desequilibrada extrae 100 A de corriente de línea de una fuente trifásica equilibrada. En una de las líneas ocurre una falla de circuito abierto. Determine las componentes de las secuencias de las corrientes en las líneas sin fallas. Resp .: 0; 50 j 28.86 A
6.
(2 ) (0) 2090 V , y Van 10180 V , determine analíticamente los voltajes a neutro Van, Vbn y Vcn y Si Van también ilustre gráficamente la suma de las componentes simétricas dadas que determinan los voltajes de línea a neutro.
7.
Cuando un generador tiene el terminal a abierto y los otros dos terminales están conectados entre sí por un cortocircuito de esta conexión a tierra, valores típicos para las componentes simétricas de la corriente en la (2 ) (0) fase a son I(1) a 600 90 A , I a 25090 A e I a 35090 A . Halle la corriente a tierra y la corriente en cada fase del generador.
8.
Determine las componentes simétricas de las tres corrientes Ic 10130 A .
9.
Las corrientes que fluyen en las líneas hacia un carga equilibrada conectada en son I a 1000 A , I b 141.4225 A e Ic 10090 A . Halle las componentes simétricas de las corrientes de línea dadas y dibuje diagramas fasoriales de las corrientes de línea y de fase de las secuencias positiva y negativa. ¿Cuál es Iab en amperios?
I a
100 A ,
Ib
10230 A
e
10. Los voltajes en los terminales de una carga equilibrada consistente de tres resistores de 10 conectados en Y son Vab 1000 V , Vbc 80.8 121.44 V y Vca 90130 V . Suponiendo que no hay conexión con el neutro de la carga, determinar las corrientes de línea a partir de las componentes simétricas de los voltajes de línea dados. 11. Halle la potencia disipada en los tres resistores de 10 del Prob. 9 a partir de las componentes simétricas de las corrientes y voltajes. 12. Una carga trifásica equilibrada consiste de impedancias conectadas en (Z) en paralelo con impedancias conectadas en Y (Zy) sólidamente a tierra.
