Capitulo 4: Principio de la Relatividad En este capitulo estudiaremos las consecuencias de la invariancia invariancia de la velocidad de la luz en el vac´ vac´ıo.
1
´Indice 1. Teor´ıa de la relatividad
3
2. Transformaciones
3
3. La m´ etrica para la relatividad esp ecial 3.1. Formulaci ormulaci´o´n matricial y el espacio de Minkowsky 3.2. Transformac ransformaci´ i´ on de Lorenz (grupo de Poincare) . . 3.3. 3.3. Con Constr strucc ucci´ i´ on del Grupo . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Dilataci´on del tiempo . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Con Contrac tracci´ ci´ on de las distancias . . . . . . . 3.3.3. Efecto doppler relativista . . . . . . . . . . 3.4. 3.4. Descom Descomposic posici´ i´ on de POLT . . . . . . . . . . . . . 3.5. 3.5. Adici´ Adici´ on de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. 3.6. Preces Precesi´ i´on de Thomas . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Formulaci´ on abstracta de vectores, tensores y formas 4.1. Transformaciones y Bases para ara vectores . . . . . . . . . 4.2. Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. uno-formas uno-formas o tensore tensoress 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Subir y ba ja jar ´ındices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Bases para tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Formulaci ormulaci´o´n te tensorial de la tr transformaciones de de Lorenz 4.7. Caso particular: m´etrica de Minkowsky . . . . . . . . .
5. Din´ amica 5.1. Transformac ransformaci´ i´ on de fuerzas . . 5.2. La parado ja ja de los gemelos . . 5.3. 5.3. Din´ Din´ amica de una part´ıcula . . 5.4. 5.4. Din´ Din´ amica de varias part´ıculas 5.5. Energ´ıa y momento . . . . . . 5.6. Colisiones . . . . . . . . . . .
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5 6 7 8 10 10 10 11 12 13
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14 14 15 15 17 18 19 21
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23 23 25 25 28 28 30
6. Electromagnetismo 33 6.1. 6.1. Descri Descripci´ pci´ on de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 7. La m´ etrica de Riemann g 40 7.1. Derivadas covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 7.2. 7.2. Posib osible less axi axiom omas as para ara la la f´ f´ısic ısicaa en en el espa espaccio curv urvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 8. Formulaci´ on Lagrangiana
46
9. Termodin´ amica y fluidos
46
2
1.
Teor´ eor´ıa de la relatividad
Las ecuaciones de Newton son invariantes con respecto a las transformaciones de Galileo x ¯ = Rx + vo t + xo
t¯ = t + to donde R es una rotaci´on on que satisface RT R = 1. Estas transformaciones definen los sistemas inerciales de referencia, en donde las ecuaciones de Newton son satisfechas. Que sea invariante no significa que tenga el mismo valor, significa que las ecuaciones tienen la misma forma. Esta definici´on on funcionar funciona r´ıa muy bien, excepto que qu e las ecuaciones ecuacion es de Maxwell (l´ease ease la ecuaci´on de onda) no son invariantes bajo una transformaci´on on galileana, ya que es experimentalmente observado que la velocidad de la luz c es una constante universal independiente del sistema de referencia inercial. ac´ıo, la luz se propaga propaga con la velocidad velocidad universal universal Postulado I de la universalidad de la luz: En el vac´ 299792458[m/s c = 299792458[ m/s]] en todos los sistemas inerciales de referencia.
Postulado II del principio de relatividad especial: Las leyes de la naturaleza son invariantes (tienen la misma forma) bajo el grupo de transformaciones de Lorentz L que mantienen la constancia de la velocidad de la luz en todos los sistemas de referencia inerciales. Postulado III del principio de relatividad especial: Siempre existe un sistema de referencia universal que esta instant´aneamente aneamente en reposo con un sistema dado, aunque este este acelerando.
2.
Tra ransf nsfor ormac macio iones nes
¯ (x ¯). Supongamos que tenemos una transformaci´on Definamos dos sistemas de referencia, K (x) y K on entre estos dos sistemas de referencia,
x ¯ = Λ(x) Notemos que aunque Λ(x) puede no ser lineal, la transformaci´on on de los diferenciales, que viven en el espacio tangente,
dx = DΛdx si lo es, donde
L = [DΛ]
Li,j =
→
∂ Λi (x) ∂x j
con D como el Jacobiano de la transformaci´on. on. Las derivadas se transforman como ∂ ∂ ¯ ∂ x¯ j ∂ ∂ Λ j (x) = = ∂x i ∂x i ∂ ¯ ∂ x¯ j ∂x i 3
x=Λ−1 (x ¯)
∂ ∂ ¯ ∂ x¯ j
y por lo tanto x
¯) = LT x = Λ−1 (x
·
x ¯
Las transformaciones apropiadas deben satisfacer que el determinante del Jacobiano sea diferente de cero, en x. En principio las relaciones din´amicas amicas incluyen campos (como las ecuaciones de Maxwell) que tambi´ en en en principio principi o deber´ıan ıan transformarse transfo rmarse como F y = G [F x ]
¯) = G[F x x = Λ−1 (x ¯) ] F x¯ (x
→
Por ejemplo, ejemplo, supongamos supongamos que tenemos una relaci´ relaci´on on din´amica amica H = 0 (que depende del espacio, derivadas y ¯ se ver´ıa campos) en el sistema K , esta relaci´on on din´ amica amica en el sistema K ıa como co mo
¯), LT x = Λ−1 (x ¯) H [ H [x, x , F x . . . ] = H [Λ−1 (x
= H [x (), . . . ] ¯, x¯ , F x¯ x ¯(),
−1
x ¯, G
[F x¯ (x )], . . . ] ¯)],
H es denominado invariante, o su forma es independiente del sistema elegido, si el resultado de estas dos transformaciones deja
¯, x¯ , . . . ) = H (x ¯, x¯ , . . . ) H (x Para el caso de las ecuaciones de Maxwell veremos m´as adelante que los campos tambi´ en en requieren transformarse para que tengan la misma forma en diferentes sistemas de referencia. Por ejemplo, miremos la ecuaci´on on de Newton, para la particular i, dvi = mi dt
−
xi
V ( V ( xi
| − x |)
j
j
¯(t¯) y le aplicamos una transformaci´on on galileana de la trayectoria de x(t) a x vi = RT (v ¯i vo) ¯i dvi dv = RT ¯ dt dt ∂ ∂ ¯ ∂ x¯ j ∂ ∂ = = R j,k = RT ∂x k ∂x k ∂ ¯ ∂ x¯ j ∂ ¯ ∂ x¯ j
Adem´as, as, xi una rotaci´on on
−
k,j
∂ ∂ ¯ ∂ x¯ j
| − x | = |x¯ − x¯ |. Por lo tanto, las ecuaciones de Newton son claramente invariantes si j
i
j
¯i dv mi ¯ = dt
− RRT
x ¯i
j
4
¯i V ( V ( x
| − x¯ |) j
R es
¯, t¯). Lo primero que nos damos Miremos las ecuaciones de Maxwell entre sistemas de coordenadas ( x, t) y (x cuenta es que las Leyes de Maxwell, o sea la ecuaci´on de onda, para un escalar Ψ 1 ∂ 2 c2 ∂t 2
− 2
Ψ=0
Bajo una transformaci´on on galileana, asumamos que ¯ x ¯ Rx + vo t + xo , t + to ) = Ψ(x, t) Ψ( ¯, t¯) = Ψ( Por lo tanto ¯ ∂ Ψ = (R )i,j ∂ ¯ ∂ x¯ j
∂ Ψ ∂x i
T
2
¯ ¯ ¯ ∂ ∂ Ψ ∂ ¯ ∂ x¯k ∂ ∂ Ψ ∂ ∂ Ψ = (RT )ij = Rki (RT )ij = ∂x i ∂ ¯ ∂ x¯ j ∂x i ∂ ¯ ∂ x¯k ∂ ¯ ∂ x¯ j ∂ ¯ ∂ x¯k ∂ ¯ ∂ x¯ j ¯ ¯ ¯ ∂ ¯ ∂ x¯i ∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ + = ¯ + vo,i ∂t ∂ ¯ ∂ x¯i ∂ t ∂ ¯ ∂ x¯i ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂ Ψ ∂ Ψ ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ + vo,i = 2 + 2v 2vo.i + vo,i vo,j ∂t ∂ ¯ ∂ x¯i ∂ t¯ ∂ ¯ ∂ x¯i ∂ t¯ ∂ ¯ ∂ x¯ j ∂ ¯ ∂ x¯i
Ψ
= (RT )ij
∂ Ψ ∂t
=
∂ 2 Ψ ∂t 2
∂ = ∂ t¯
x
¯ ∂ Ψ ∂ t¯
Ψ¯ 2
x ¯
Por lo tanto la ecuaci´on on de onda no es invariante
2
xΨ
−
1 ∂ 2 Ψ = c2 ∂t 2
¯ x ¯Ψ 2
−
¯ 1 ∂ 2 Ψ c2 ∂ t¯2
−
2
¯ vo,i ∂ 2 Ψ c2 ∂ ¯ ∂ x¯ j ∂ t¯
− vc
o,i
¯ vo,j ∂ 2 Ψ c ∂ ¯ ∂ x¯ j ∂ ¯ ∂ x¯i
bajo una transformaci´on on galileana. Notemos que el el limite vo/c << 1, es casi invariante. ¯ satisface la ecuaci´on Si en un sistema de referenc referencia ia Ψ on de ondas, vemos que en el otro Ψ no la satisface. Note que asumimos que Ψ no requiere transformarse en el nuevo sistema de referencia. Este es extremadamente relev relevante, ante, ya que implicar implicar´´ıa que si en un sistema sistema de referenc referencia ia se satisfacen satisfacen las ecuaciones ecuaciones de Maxwell, Maxwell, entonces en el otro sistema de referencia habr´ habr´ıa que escribir otra forma para estas ecuaciones. Uno podr´ podr´ıa tratar de exigir que el campo camp o Ψ podr´ıa ıa requerir una transformaci´on, pero esto tampoco es factible, ya que la transformaci´on on depende de derivadas cruzadas. Veremos mas adelante que resulta m´as util u ´ til pensar en transformaciones de Lorentz, que en el limite vo /c << 1 son equivalentes a una transformaci´on on Galileana, Galileana, ya que sabemos que en el l´ımite de peque˜nas nas velocidades las transformaciones Galileanas parecen estar correctas.
3.
La m´ etrica etrica para la relatividad relatividad especial especial
Supongamos que una onda de luz se genera en el punto ( ts , xs ). En el sistema de referencia K tenemos que los puntos (t, (t, x) del el frente de la onda de luz satisfacen (x
2
2
− x ) − c (t − t ) s
5
s
2
=0
Esta relaci´on on debe ser invariante en los dos sistemas de coordenadas con la misma velocidad c. Esta relaci´on on define una m´ etrica. etrica. Notemos, como veremos mas adelante, esto es equivalente equivalente a hacer invariante invariante la ecuaci´on on de onda. Hay dos m´etodos etodo s de desarrollar desarro llar la teor´ teor´ıa. Uno es usar u sar una m´etrica etrica Euclidiana Euclidia na lo l o que implica definir el tiemti empo como un n´ umero umero imaginario imaginario (ict, x). El E l otro otr o m´etodo etod o es usar una m´etrica etrica Riemanniana Riemann iana en 4 dimensiones dimens iones reales reales con ct como una coordenada. En este cap´ cap´ıtulo vamos a tomar la segunda alternativa, ya que es m´as as util u ´ til en f´ısica moderna, como la mec´anica anica cu´antica. antica.
3.1. 3.1.
Formula ormulaci´ ci´ on matricial y el espacio de Minkowsky on
Ordenemos Ordenemos un poco nuestra nuestra formulaci´ formulaci´on on y definamos que nuestro espacio tiempo est´a caracterizado por el vector diferencial dx de la posici´on on que puede ser representado por la lista que representa a sus componentes 0 1 2 3 dx = (dx , dx , dx , dx ) en la ba base se est´ es t´ an darr, donde x0 = ct. anda ct. Notemos que hay una diferencia entre el vector y su representaci´on. on. Veremos eremos mas adelante adelante la importancia importancia de poner el ´ındice ındice de los componente componentess arriba arriba para los vectores vectores.. En general tenemos una medida de distancia dada por ds2 = dx0
2
dx1
2
dx2
2
dx3
2
− − − − − −
= dxT η dx
donde hemos hemos definido la matriz
η=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
η −1 = η
etrica etr ica de Minkowsk Min kowsky y. En general, es ´util que define la m´ util describir este espacio, como un espacio Pseudoetrica da valores valores positivos para la magnitud de Riemanniano, ya que en un espacio de Riemann la m´etrica vectores. vectores. Cuando los componentes del tensor de la m´etrica etrica en la base est´andar esta descrito por η, tenemos la relatividad espacial, y un espacio de Minkowsky. Nota: Notemos Note mos que t´ecnicame ecni camente nte η no es un tensor, es la matriz de componentes que representa a un tensor en la base que estamos usando. Por ahora seremos bastante vagos al respecto, pero mas adelante aclararemos esto. El producto escalar entre vectores (palabra que definiremos en forma precisa mas adelante) queda entonces definido como el producto
dx dx
|
= dxT η dx = dx0
2
dx1
2
dx2
2
dx3
2
− − −
Ahora podemos definir el vector de derivadas como ∂ =
∂/∂x0
−
6
Nuevamente, ∂ no es un vector, es una representaci´on de un vector en el sistema est´andar de coordenadas en que estamos trabajando.
Mas adelante veremos por que el vector se define con el signo negativo para la derivada temporal. La ecuaci´on on de onda se puede escribir como
3.2. 3.2.
1 ∂ 2 c2 ∂t 2
− 2
= ∂ T η ∂
Tran ransfo sform rmaci aci´ ´ on de Lorenz (grupo de Poincare) on
Asumamos que los componentes de las coordenadas se transforman como x ¯ = Λ(x)
donde los diferenciales se transforman como ∂ Λi ∂x j donde DetL = 0 en el espacio. hemos re-definido L con los componentes arriba y abajo. Esta notaci´on on ser´a util u ´ til mas abajo. Notemos que dx es la representaci´on on (sus componentes) de un vector en una base, que en este caso es la est´andar. andar. Este vector vive en el espacio tangente donde los componentes de los vectores es el mismo ¯ . Notemos que el vector dx se transforman linealmente entre los sistema de coordenadas K y K vector en los dos sistemas de coordenadas, solos sus componentes cambian dx dx al cambiar el sistema ¯ de coordenadas (o bases) bases) del sistema K al K . La distinci´on on de ´ındices arriba y abajo sera mas clara pronto. En el caso de una transformaci´on on afina (que utilizaremos en la relatividad especial), tenemos que dx = L dx
→
Li j =
→
x ¯ = Lx + a , se denominan 4-vectores. Los vectores, que transforman sus componentes como lo hace dx
Notemos que tenemos que forzar el producto interno
dx dx
|
→
dx T η dx = dx LT η L dx
a ser un invariante en todas las bases. Por lo tanto vemos que si queremos que la distancia ds2 sea invariante en los dos sistemas de referencia (o una soluci´on de la ecuaci´on on de onda), necesitamos que
LT η L = η lo que define el grupo G de transformaciones de Lorenz (grupo de Poincare), ya que 1. si L1 y L2 pertenecen pertenecen a G, entonces entonces L = L1 L2 tambi´en en perten pe rtenecen ecen a G. 2. la identidad identidad pertenece pertenece G 7
3. el inverso inverso L−1 = η LT η pertenece a G Notemos que
L−1 L = η LT η L = 1 Multiplicando L L−1 = 1, vemos que
L η LT = η y por lo tanto LT tambi´en en pertenece perten ece al grupo. grup o.
Veamos que pasa con la ecuaci´on on de onda. Las derivadas se transforman como ∂ ∂ ¯ ∂ x¯ j ∂ ∂ ∂ = = L j i j = (LT )i j j i i j ∂x ∂x ∂ ¯ ∂ x¯ ∂ ¯ ∂ x¯ ∂ ¯ ∂ x¯ Notemos la representaci´on on del vector de derivadas satisface ∂ = η
o lo que es equivalente
∂/∂x0
∂ i = η i,j
→
∂ ∂ i,j k ¯w = = η i,j Lk j ηk,w ∂ η L j j k ∂x ∂ ¯ ∂ x¯
¯ ∂ = η LT η ∂ Notemos que esto demuestra que los componentes de ∂ se transforman como un vector, ya que
¯ = L ∂ ∂ La ecuaci´ ecuaci´on on de onda transforma entonces como
¯T η ∂ ¯ = ∂ T LT η L ∂ = ∂ T η ∂ ∂ y por lo tanto tanto tambi´ tambi´ en en es invarian invariante te si los sistemas sistemas de coordenadas coordenadas se relacionan relacionan por p or una transformac transformaci´ i´on on de Lorenz.
3.3. 3.3.
Cons Constr truc ucci ci´ ´ on on del Grupo
La transformaci´on on de Lorentz forma el grupo de transformaciones de Poincare y autom´aticamente satisface la invariancia de la ecuaci´on on de onda y del frente de la onda. Notemos que el determinante (det L) = 1. Las transformaciones se clasifican dependiendo del signo del determinante det L = 1 (Proper) o det L = 1 (Improper) y del valor de L0 0 1 (orthochronous o ma0 peando hacia adelante en el tiempo) o L 0 1. Nos interesa el subgrupo de las proper orthochronous Lorentz transformations (POLT) (det L = 1, L0 0 1). Estas son las transformaciones que nos interesan porque preservan la causalidad (el antes y el despu´es es son preservados) preservados) y en el limite de peque˜nas velocidades
±
− ≤−
≥
≥ 8
tendremos las transformaciones Galileanas. Claramente, rotaciones de la parte espacial R
∈ SO(3) SO (3) (con det R = 1) pertenecen a este grupo
L(R) =
1 0 0 0 0 0 R 0
Pero, tambi´en en est´an an las transformaciones permiten mezclar el tiempo y el espacio.
¯ movi´endose Tomemos los dos sistemas de referencia, con el sistema K endo se con velocida velo cidad d v respecto al sistema K en la direcci´on on xˆ1 . Asumamos que la transformaci´on on no afecta los ejes perpendiculares a esta direcci´on 2 2 3 3 dx = dx¯ , dx = dx¯ . El frente de la onda debe ser un invariante, por lo cual tenemos dx0
2
dx1
2
= dx0 + dx1
−
dx0
1
− dx
= dx 0 + dx 1
dx 0
− dx
1
= dx 0
2
dx 1
−
2
lo que debe deb e de ser invariante invariante en los dos sistemas de referencia. Por lo tanto, cada t´ermino ermino en el par´entesis entesis solo puede ser una funci´on on de la velocidad 0
1
0
1
dx + dx = f ( f (v ) (dx + dx ) dx 0
− dx
1
=
1 (dx0 f ( f (v )
1
− dx )
→ 0
dx dx 1
=
1 2
1 f + f f f
− f 1
−
1 f
f +
1 f
dx0 dx1
¯ se mueve con velocidad v en el sistema K, lo que implica que el pero, el origen del sistema de referencia K ¯ est´a dado por dx = (dx0 , dx0 v/c, 0, 0) y por dx origen del sistema K ¯ = (dx 0 , 0, 0, 0) en los dos sistemas de referencia, con lo cual tenemos f ( f (v ) =
γ =
−
1 v/c 1 + v/c
1 1 v 2 /c2
−
→ dx 0 dx 1
= L(v )
dx0 dx1
=
γ βγ
−βγ γ
−
dx0 dx1
con la definici´on on β = v/c/ on definida en una direcci´on on m´as as general es v/c/ La transformaci´on γ
L(v) =
−
γ
− k
v γ c
vk γ c
(γ δ i,j + (γ
−
β i β j 1) 2 β
=
− − −
−γβ
1
( γ γβ 1 1 + (γ
2 1 2
− 1) β β
− 1) β β β β β (γ − 1) β
γβ 2 (γ
2 1 2
γβ 3
3 1 2
9
−γβ −γβ β β β β (γ − 1) (γ − 1) β β β β 1 + (γ ( γ − 1)β 1)β (γ − 1) β β β β (γ − 1) 1 + (γ ( γ − 1) β β 2
3
1 2 2
1 3 2
2 2
3 2 2
2 3 2
2 3 2
Es f´acil acil probar que en el l´ım v/c 0, esta transformaci´on on se reduce a una simple transformaci´on on Galileana. Adem´ as as el inverso est´a dado por L( v), ya que
→
−
L−1 (v) = η LT η = L( v)
−
Esta transformaci´on on se denomina un Boost para diferenciarlo de una rotaci´on on espacial espacia l que tambi´en en satisface el requisito de una transformaci´on on de Lorentz. Una conclusi´on on importante es que el tiempo y las distancias medidas dependen del sistema de referencia que se use.
3.3. 3.3.1. 1.
Dila Dilata taci ci´ ´ on on del tiempo
¯ . En el sistema K ¯ el reloj marca ∆t Supongamos que tenemos dos sistemas de referencia, el K y el K ∆ t (con ∆x = 0 el reloj no se mueve). ¿Cu´anto anto marca en el sistema K? La transformaci´on on dictamina (usando L( v )) c∆t = cγ ∆t + βγ ∆ βγ ∆x
−
Los intervalos de tiempo son finalmente ∆t = γ ∆t ¯ es mas chico que en el sistema K para el mismo ya que γ 1, el intervalo del tiempo en el sistema K evento. Esto se denomina dilataci´on on del tiempo.
≥
3.3.2. 3.3.2.
Contra Contracci cci´ ´ on on de las distancias
¯ Otro Otro proble problema ma inter interesa esant ntee en el cual cual se produce producen n dos medicion mediciones es al mismo mismo tiempo tiempo en un sistem sistemaa K (∆x, (∆x, ∆t = 0) en la misma direcci´on on del movimiento (v = v, 0, 0 ). En este sistema K las dos mediciones se producen en tiempos diferentes, pero las dos mediciones se relacionan como
{
c∆t ∆x
=
γ βγ βγ γ
¯ medimos Por lo tanto en el sistema K medimos la distancia distancia ∆x =
}
0 ∆x
∆x γ
Esta no es la forma mas adecuada de probar la contracci´on de las distancias distancias en los sistemas en movimien movimiento. to.
3.3.3. 3.3.3.
Efecto Efecto dopple dopplerr relat relativi ivista sta
Problema: Si la ecuaci´on on de onda es invariante, entonces la fase de una onda plana debe de ser invariante. Por lo tanto podemos escribir los componentes del vector de onda k = ω/c,k1 , k2 , k3 en la base est´andar, andar, con lo cual tenemos que
{
k dx
|
}
¯ η dx = k η dx =k
y por lo tanto los componentes del vector de onda, representado por k, se transforma como los componentes de un vector en este espacio de 4 dimensiones. 10
3.4. 3.4.
Desc Descom ompos posic ici´ i´ on on de POLT
Es posible probar que toda POLT se puede escribir en forma ´unica unica como el producto de una rotaci´on on L(R) y una transforma transformaci´ ci´ on on “Boost”L “Boost”L(v ), con
L = L(v)L(R)
→
vi Li 0 = 1 c L0
Ri j = Li k
Probar esto, implica probar que
− 1 +1L
0
L1 0 L0 j 0
on de Lorentz. v < c usando las propiedades de una transformaci´on La relaci rel aci´´on on de v/c permite la formulaci´on on de L(v) en t´ermino ermino de algunos al gunos componentes compo nentes de d e L.
L(R) = L( v)L es una rotaci´on on con la definici´on on del punto anterior permite establecer los componentes de R
−
Probar que la descomposici´on o n es unica u ´ nica
El orden de la descomposici´on on no es demasiado relevante, ya que L = L(R)L(v1 ) tambi´en en pertenece perten ece a POLT con la misma relaci´on on anterior, pero v = Rv1 . Este grupo de POLT es un grupo de Lie que contiene a SO(3) ametros, tres ´angulos angulos SO (3) que depende de seis par´ametros, y tres velocidades y por lo tanto requiere de seis generadores. Los tres generadores correspondientes a los tres ´angulos angulos de rotaci´on on los denominaremos como
J1 =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
− 0 0 1 0
J2 =
0 0 0 0
0 0 0 1
−
0 0 0 0
0 1 0 0
J3 =
0 0 0 0
0 0 1 0
Para definir los generadores de los Boost podemos definir la funci´on on rapidity f ( f (v) = e−λ(v) Con esta definici´on on tenemos que el boost en x es
|v| tanh λ = c
eλ =
1 + β 1 β
−
→ L(v) =
−
cosh λ sinh λ 0 0
11
− sinh λ cosh λ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
−
0 0 0 0
Por lo tanto el generador de la transformaci´on on lo podemos escribir como
K1 =
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
K2 =
0 0 1 0
0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
y la transforma transformaci´ ci´ on la podemos escribir finalmente como on
K3 =
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
ˆ J) exp( exp( λv ˆ K) L = exp( φφ
− ·
− ·
Una forma de probar esta expresi´on on es componiendo un n´ umero umero n de transformaciones infinitesimales.
Cuales son las relaciones de conmutaci´ on? on? [Ji , J j ] = i,j,k Jk [Ji , K j ] = [Ki , J j ] = i,j,k Kk [Ki , K j ] = i,j,k Kk
−
3.5. .5.
Adic dici´ on on de velocidades
¯. ¿ Supongamos que tenemos un cuerpo que se mueve con velocidad u en el sistema de coordenadas K Cu´ al al es la velocidad u en el sistema de referencia K? Hay dos formas de ver este resultado. Uno es tomar variaciones en el tiempo en los respectivos sistemas de referencia ∆x0 = γ ∆x 0 + βγ ∆ βγ ∆x 1 ∆x1 = γ ∆x 1 + βγ ∆ βγ ∆x 0 la otra es componer dos “Boost”
→
¯/c + β u ∆x1 u/c u = = ∆x0 1 + β ¯ c β u/c u¯/c
exp( λ2 K1 ) = exp( (λ1 + λ2 )K1 ) L(u) = L(¯ueˆ1 )L(v eˆ1 ) = exp( λ1 K1 ) exp(
−
→
−
−
¯/c + β u ∆x1 u/c u = = ∆x0 1 + β ¯ ¯/c c β u/c u
Transformaciones en direcciones m´as as generales requieren m´as as algebra, a´lgebra, pero son trabajables. Claramente si las dos velocidades son peque˜nas nas comparadas con la velocidad de la luz nos da la transformaci´on on galileana galileana u = u¯ + v + O(¯uv/c uv/c2 )
12
3.6. 3.6.
Prec Preces esi´ i´ on on de Thomas
Supongamos que hacemos dos “Boost.en direcciones perpendiculares. Esta composici´on on tambi´en en perten pe rtenece ece al grupo grup o de POLT POLT y por lo tanto tambi´ en en se puede escribir como una rotaci´on on mas un “Boost”:
L = L(u)R(θ) = L(v2 eˆ2 )L(v1 eˆ1) =
−−
γ 1γ 2 γ 1 γ 2 β 1 γ 1 β 1 γ 1 γ 1 γ 2 β 2 γ 1 γ 2 β 1 β 2 0 0
−
−γ β
2 3
0 γ 2 0
0 0 0 1
el valor de u se puede encontrar del teorema descrito arriba. ui c
→
tan θ =
β 1 , β 2, 0 γ 2
β 1 β 2 (γ 1γ 2 1) β 12γ 1 + β 22 γ 2
−
→
R(θ) = L( u)L =
−
1 0 0 cos θ 0 sin θ 0 0
0 sin θ cos θ 0
−
0 0 0 1
o tambi´ tambi´en en se puede obtener de las relaciones del teorema para POLT. POLT. Para peque˜nas nas velocidades tenemos en tan θ = β 1 β 2 /2. Es interesante darse cuenta que dos “Boost. direcciones diferentes dan origen a una rotaci´on. on. Esto se denomina precesi´on on de Thomas y se genera de la no-conmutaci´on on de los generadores de los “Boost”. Supongamos que a tiempo t tenemos un sistema con velocidad v. Luego a tiempo t + dt observaremos v + dv. Asumamos que a tiempo t hay un sistema inercial movi´ endose endose con velocidad v instant´aneamente aneamente pegado al cuerpo. Luego a tiempo t+dt hay otro sistema inercial inercia l movi´endose endose con velocidad velo cidad aneamente pegado al cuerpo. Si el cuerpo tiene una direcci´on aneamente on definida, como el spin , entonces v + dv instant´ esta direcci´on on se ver´a precesar con una frecuencia angular (para peque˜nas nas velocidades como)
−
sin∆θ sin∆θ
∼ ∆θ = − β ∆2 β zˆ
→
13
θ˙ =
− v2×c a 2
4.
Form ormulac ulaci´ i´ on abstracta de vectores, tensores y formas on
Podemos mirar esto como un problema de ´algebra algebra diferencial abstracta. Ya definimos el vector d x
En un sistema de coordenadas K , podemos describir el vector d x = dxµ e ˆµ
en termino de sus componentes dxµ y la base eˆµ del sistema de coordenadas de K . Si queremos mirar este ¯ , tendremos vector en otro sistema de coordenadas K
ˆ¯µ d x = dx ¯µ e Notemos que el vector es el mismo en todos los sistemas de coordenadas, solo sus componentes cambian. Si y B son vectores, y α y β son n´ + β B tambi´en A umeros, umeros, entonces αA en es vector, y tiene t iene componentes comp onentes + β B = (αAµ + βB µ ) e ˆµ αA
4.1. 4.1.
Tran ransfo sform rmaci acione oness y Bases para para vect vectore oress
Si ahora queremos mirar la transforma transformaci´ ci´ on on de los componente componentess de un vector vector en el espacio espacio tangente tangente podemos definir definir la transforma transformaci´ ci´ on on como A¯µ = Lµ ν Aν donde µ corresponde a la fila, y ν a la l a columna c olumna.. Tambi´en en existe ex iste la transformaci´ transfo rmaci´on on inversa Aµ = (L−1 )µ ν A¯ν que determinaremos mas adelante. Ahora definimos la sumatoria de Einstein solo cuando tenemos ´ındices repetidos arriba y abajo, a lo que llamaremos una contracci´ on on. Vemos como se transforman las bases,
ˆ¯µ Aµ eˆµ = A¯µ e ˆ¯µ Aµ eˆµ = Lµ ν Aν e ˆ¯ν Aµ eˆµ = Aµ Lν µ e y por lo tanto las bases se transforman como
ˆ¯ν e ˆµ = Lν µ e diferentes a los vectores. Notemos que esta transformaci´on corresponde a la transpuesta. Utilizando la inversa podemos escribir
ˆ¯µ = A¯µ e Aµ eˆµ ˆ¯µ A¯ν (L−1 )µ ν eˆµ = A¯µ e µ 1 ν µ ˆ¯µ A¯ (L− ) µ eˆν = A¯ e 14
y por lo tanto las bases se transforman como
ˆ¯µ = (L−1 )ν µ eˆν e Esto es completamente consistente con
ˆ¯µ = Aν (L−1)γ µ Lµ ν eˆγ = Aν δγ ν eˆγ = Aν eˆν A¯µ e
4.2. 4.2.
Tenso ensore ress
Notemos el producto escalar que definimos arriba, vemos que es consistente con
|
B = Aµ Aν e A ˆµ eˆν = Aµ Aν gµ.ν
|
donde gµ.ν son los lo s componentes comp onentes de d e la m´etrica. etrica. Este producto pro ducto es invariante de sistemas de coordenadas, ya que el producto escalar lo es. Notemos que esta propiedad nos permite definir el tensor de la m´ o n de dos etrica etrica g como una funci´on vectores que produce un numero
|
, B ) = A B g (A
Este objeto tiene la propiedad que
+ β B , C ) = αg(A , C ) + β g(B , C ) g(αA
Notemos entonces que un tensor 02 es una regla que produce un numero a partir de dos vectores independiente del sistema de coordenadas. Notemos que no hemos hecho ninguna referencia a los componentes de estos objetos. De esta forma podemos definir tensores del tipo n0 como una funci´on o n de n vectores, lineal en sus argumentos, que produce un numero.
4.3. 4.3.
unoun o-fo form rmas as o ten tenso sore ress
De particul p articular ar inter´es, es, son los tensores
0 1
0
1
, denominados uno-formas uno-formas p˜. Dado que es lineal en sus argumentos ) = Aµ p p ˜(A ˜(eˆµ) = Aµ pµ
donde pµ son los componentes de p˜ en el sistema K . Notemos que aqu´ aqu´ı vemos la definici´on o n de una con y una uno-forma p tracci´ on on Aµ pµ entre un vector A ˜, sin referencia a otros tensores. Los componentes de las uno-formas uno-formas se transforman transforman
ˆ¯ν ) = Lν µ p¯ν pµ = p˜(eˆµ) = p˜(Lν µ e o usando el inverso p¯ν = (L−1)µ ν pµ 15
por lo tanto los componentes de las uno formas se transforman como los vectores bases, garantizando la invariancia de la contracci´on. on. Podemos definir una base de uno-formas como p ˜ = pµ ω ˜µ
tal que ω ˜ µ(eˆν ) = δ µ ν
Viendo lo anterior es mas o menos intuitivo que las bases de uno-formas se transforman como vectores. Miremos µ ˜ ¯ = pµ ω ˜µ p¯µ ω µ ˜ ¯ = p¯ν Lν µ ω ˜µ p¯µ ω ˜ µ = p¯µ Lµ ν ω ¯ ˜ ν p¯µ ω
por lo tanto µ
˜ = Lµ ν ω ω ¯ ˜ ν
Problema: Tomemos la derivada de una funci´on on escalar Ψ(x Ψ(x0(τ ) τ ), x1 (τ ) τ ), x2 (τ ) τ ), x3 (τ )) τ )) donde τ es el tiempo propio (proper time) definido por 2
2
−c dτ
= ds2
La derivada es dΨ dxµ ∂ Ψ = dτ dτ ∂x µ Dado que τ es un invariante, tenemos que los componentes dxµ dτ
(que estudiaremos en detalle mas adelante). Por lo tanto los componentes forman el vector U
∂ Ψ ∂x µ describen la uno-forma d˜Ψ. Para estar seguro, veamos si se transforman como la base de vectores. Notemos ∂ Ψ ∂ Ψ ∂ ¯ ∂ x¯ν ν ∂ Ψ = = L µ ∂x µ ∂ ¯ ∂ x¯ν ∂x µ ∂ ¯ ∂ x¯ν
16
Notemos que para la relatividad especial en la base est´andar ahora podemos definir la uno-forma d˜
→
∂ , ∂x 0
Para el caso general, ahora utilizaremos la notaci´on on Ψ, µ =
∂ Ψ ∂x µ
con lo cual obtenemos xµ ,ν = δµ ν Podemos ahora mostrar que d˜xµ = ω ˜µ
porque d˜xµ (e ˆν ) = δ µ ν
Por lo tanto d˜f = f, µ d˜xµ
4.4.
Subir Subir y bajar ´ındices ındices
En particular la m´etrica etrica se puede utilizar para construir uno-formas con , ) ˜ = g (A A
tal que
|
) = g(A , B ) = A B ˜(B A
˜ son Notemos que los componentes de A
, e ˜(eˆµ) = g(A ˆµ) = Aν g(eˆν , eˆµ) = gµν Aν Aµ = A
Definamos el inverso gµν gνα = δα µ donde hemos asumido que el determinante es diferente a cero. Con esto podemos ver que V µ = gµν V ν ν
V µ = gµν V ν 17
por lo tanto g se puede utilizar para bajar ´ındices, osea convertir convertir vectores en uno-formas, y el inverso con µν componentes g se puede utilizar para construir vectores a partir de uno-formas. Notemos que esto aplica solo cuando hay una un a sumatoria sumatori a impl´ impl´ıcita.
Por eso que tiene sentido sentido las definicione definicioness anterior anteriores es para el caso de la relatividad relatividad especial, con la m´etrica etrica η, podemos ver que d˜
→
∂ , ∂x 0
d
→η
→
µν
dν
→
∂ , ∂x 0
−
Ahora podemos definir los tensores M , como funciones lineales en sus argumentos que mapean M unoN formas y N vectores a un numero real (nuevamente esto implica que es independiente del sistema de referencia).
Finalmente, hay un producto tensorial que es importante tomar en cuenta, y es el producto tensorial antisim’etrico de dos formas
˜ A
∧ B˜ = A˜ ⊗ B˜ − B˜ ⊗ A˜
Requiere de dos vectores para producir un numero real.
4.5. 4.5.
Base Ba sess pa para ra tens tensor ores es
Ahora podemos encontrar una base ω ˜ µν para todos los tensores
f = f µν ˜ µν = f µν ˜µ µν ω µν ω donde
0 2
⊗ ω˜
tal que
ν
⊗ es el producto tensorial. Para dos vectores A y B , tenemos , B ) = f ω f (A ˜ (A eˆ ) ⊗ ω ˜ (B eˆ ) = f A B δ µν µν
µ
α
β
ν
α
µν µν
β
α
β µ
ν α δ β
α β = f αβ αβ A B
La transformaci´on on de los componentes de tensores entre sistemas de referencia es ahora est´andar de definir. definir. Notemos que en un nuevo sistema de referencia tenemos
ˆ¯ν e ¯µ, e f ¯µν µν = f ˆ
˜ = f αβ αβ ω
α
−1
(L
)γ µ eˆγ
ω ˜ β (L−1 )ξ ν eˆξ
α β −1 γ −1 ξ = f αβ αβ (L ) µ (L ) ν δ γ δ ξ −1 α −1 β = f αβ αβ (L ) µ (L ) ν
18
4.6. 4.6.
Formula ormulaci´ ci´ on tensorial de la transformaciones de Lorenz on
En general tenemos una medida de distancia dada por ds2 = dxµ gµν dxν con los componentes dxµ entonces
0
1
2
3
→ (dx , dx , dx , dx ) del vector dx. El producto escalar entre dos vectores es
B A
|
= Aµ gµν B ν .
Es importante notar que la convenci´on on de Einstein de sumatoria suma toria impl´ impl´ıcita solo la l a definimos defin imos cuando c uando el ´ındice repetido esta arriba y abajo respectivamente. Podemos definir la inversa como δµ ν = gµα gαν Tenemos la transformaci´on on afina dx µ = Lµ ν dxν donde Lµ ν depende depen de en general de las coordenadas coord enadas.. Notemos Notem os que qu e aqu´ı hay una u na sumatoria su matoria de Einstein Ein stein impl i mpl´´ıcita para ν . Por lo tanto todo objeto que se transforma de esta manera se le denomina vector. Los componentes de la 1-forma asociada es entonces dxµ = gµν dxν en la base est´andar. andar. Si queremos que la definici´on on de distancia se mantenga invariante dx µ ηµν dx ν = Lµ α dxα gµν Lν β dxβ = dxα (Lµ α gµν Lν β ) dxβ por lo tanto necesitamos que las transformaciones de Lorenz satisfagan Lµ α gµν Lν β = gαβ que es equivalente a la definici´on on matricial que ten´ ten´ıamos anteriormente. anteriormente. Notemos que la sumatoria es sobre µ y ν . El inverso queda definido como (L−1)γ µ = gγβ Lν β gνµ con una sumatoria sumator ia impl´ impl´ıcita en β y ν , tal que
gνµ Lν β g γβ Lµ α = (Lµ α gµν Lν β ) g γβ = gαβ gβγ = δγ α
ya que g es un tensor sim´etrico. etrico. Con estas definiciones reproducimos nuestros resultados anteriores que gµν sube un ´ındice y que gµν baja un ´ındice. ındice. Esto funciona para tensores de cualquier orden. Los componentes de la uno-forma de primeras derivadas se define como dµ =
∂ ∂x µ
19
y por lo tanto los componentes del vector son dµ = g µν dν Por lo tanto la ecuaci´on on de onda dµ dµ = 0 es tambi´ tambi´ en en invarian invariante te en este formalismo. formalismo. Antes Antes de proseguir proseguir veamos veamos porque las derivadas derivadas se definen definen al contrario de una primera intuici´on. on. Usando la ley de la cadena tenemos que las derivadas transforman como ∂ ∂ ¯ ∂ x¯ν ∂ ∂ ν = = L µ ∂x µ ∂x µ ∂ ¯ ∂ x¯ν ∂ ¯ ∂ x¯ν Tratemos de invertir esta relaci´on. on. Si partimos de la relaci´on on dµ = Lν µ d¯ν podemos ahora construir la transforma transformaci´ ci´ on on del vector dα = gαµ dµ = (g αµ Lν µ gνβ ) d¯β = (L−1 )α β d¯β y por lo tanto d¯µ = Lµ ν dν
Vimos arriba que un tensor se transforma como −1 α −1 β f ¯µν µν = (L ) µ (L ) ν f αβ αβ
Organizando Organizando los componente componentess en (L ( L−1 )µ ν con la fila µ y la columna ν , vemos que esta precisamente corresponde a una transformaci´on on matricial de los componentes (cuando los arreglamos en la matriz f µν f ) µν
→
¯f = (L−1 )T f (L−1 ) Hay que se cuidadoso, ya que tenemos la matriz inversa. Ahora si queremos mirar el tensor con los componentes αν F µν = g µα f αβ αβ g
vemos que sus componentes se transforman como ¯ = F = = =
→
F = g−1 f g−1
g−1 (L−1 )T f (L−1 ) g−1 T g−1 g−1 LT g f g−1 LT g g−1 L g−1 f g−1 LT L F LT
donde hemos usado que L−1 = g−1 LT g y gT = g, ya que g es un tensor sim´etrico. etrico. 20
4.7.
Caso particular: m´ m´ etrica etrica de Minkowsky Minkowsky
En este caso la medida de distancia esta dada por 2
ds = dx0 con los componentes dxµ dos vectores es entonces
con la definici´on on
2
dx1
2
2
dx2
2
dx3
− − −
0
1
2
= dxµ ηµν dxν
3
andar. El producto escalar entre → (dx , dx , dx , dx ) del vector dx en la base est´andar.
| →
B A
ηνµ = ηµν
= Aµ ηµν B ν
1 0 0 0
0 1 0 0
−
0 0 1 0
−
− 0 0 0 1
etric etr ica a de Minkowsk Min kowsky y. Es importante notar que la convenci´on lo que define la m´ on de Einstein Einstein de sumatoria sumatoria impl´ impl´ıcita solo la definimos cuando el ´ındice ındice repetido esta arriba y abajo respectivamente. respectivamente. Para este caso particular tenemos δ µ ν = η µα ηαν Si asumimos que Lµ ν no depende de las coordenadas, tenemos la transformaci´on on afina que define globalmente la transformaci´on on de coordenadas x¯µ = Lµ ν xν + aµ
→
dx µ = Lµ ν dxν
Notemos Note mos que aqu a qu´´ı hay una u na suma s umatori toriaa de Einstein Eins tein impl imp l´ıcita ıcit a para pa ra ν . Por lo tanto todo objeto que se transforma de esta manera se le denomina vector. Los componentes de la 1-forma asociada es entonces dxµ = ηµν dxν
→
(dx0 , dr)
−
en la base est´andar. andar. Si queremos que la definici´on on de distancia se mantenga invariante dx µ ηµν dx ν = Lµ α dxα ηµν Lν β dxβ = dxα (Lµ α ηµν Lν β ) dxβ por lo tanto necesitamos que las transformaciones de Lorenz satisfagan Lµ α ηµν Lν β = ηαβ que es equivalente a la definici´on on matricial que ten´ ten´ıamos anteriormente. anteriormente. Notemos que la sumatoria es sobre µ y ν . El inverso queda definido como (L−1 )γ µ = ηµν Lν β η βγ con una sumatoria sumator ia impl´ impl´ıcita en β y ν , tal que
21
Lµ α ηµν Lν β ηβγ = δ γ α
Con estas definiciones reproducimos nuestros resultados anteriores que ηµν sube un ´ındice y que ηµν baja un ´ındice. ındice. Esto funciona para tensores de cualquier orden. En esta m´etrica etrica con la base est´andar andar ya vimos que los componentes de la uno forma de primeras derivadas se define como ∂ µ
→
∂ , ∂x 0
y los componentes del vector asociado es entonces µ
∂ Por lo tanto la ecuaci´on on de onda es
µ
→
∂ µ ∂ =
∂ , ∂x 0
−
1 ∂ 2 c2 ∂t 2
− 2
Antes de proseguir veamos porque las derivadas se definen al contrario de una primera intuici´on. Usando la ley de la cadena tenemos que las derivadas transforman como ∂ ∂ ¯ ∂ x¯ν ∂ ∂ ν = = L µ ∂x µ ∂x µ ∂ ¯ ∂ x¯ν ∂ ¯ ∂ x¯ν Tratemos de invertir esta relaci´on. on. Si partimos de la relaci´on on ¯ν ν ∂ µ = Lν µ ∂ podemos ahora construir la transforma transformaci´ ci´ on on del vector ¯β = (L−1 )α ∂ ¯β ∂ α = ηαµ ∂ µ = (η αµ Lν µ ηνβ ) ∂ β y por lo tanto ¯µ = Lµ ν ∂ ν ∂
22
5.
Din´ amica amica
Definimos que los componentes de un 4-vector se transforman como µ
dx = Lµ ν dxν La posici´on on de una part´ part´ıcula se transforma transforma como un 4-vecto 4-vectorr y por lo tanto tanto es un 4-vecto 4-vector. r. Es muy ´util util parametrizar las trayectorias en este espacio 4-D con un par´ametro τ que es invariante dt2 c dτ = dx ηµν dx dτ = dt 1 v = 2 γ Por lo tanto, τ representa representa el tiempo medido en el sistema inercial en el que la part´ıcula ıcula est´a moment´aneaaneamente en reposo (ct, (ct, 0, 0, 0). Este par´ametro ametro invariante invariante se denomina “proper time”. Aqu´ Aqu´ı suponemos que existen un n´umero umero continuo de sistemas de referencia inerciales que se mueven mueven moment´ aneamente aneamente con la µ part´ part´ıcula en reposo. repos o. Por ejemplo, ejem plo, la trayectoria se parametri p arametrizar zar´´ıa entonces como x (τ ). τ ). Ya que el proper time es invariante podemos definir un 4-vector de velocidad de esta trayectoria 2
2
µ
ν
2
→
2
2
−
dxµ (γc,γ v) U = dτ Partamos por la siguiente observaci´on. on. Supongamos que tenemos un cuerpo que se mueve con velocidad v en el sistema K. El siguiente vector µ
→
U µ
→ (γc,γ v)
se transforma como 4-vector. En particular vemos que si calculamos ¯ µ = Lµ ν (v )U ν U
→ (c, 0, 0, 0)
Adem´as as U ν U ν ν = c2 lo que implica que L transforma transforma algo con velocidad velocidad v a algo con velocidad 0, en este sistema de referencia ¯ aneamente K el cuerpo no se mueve. O sea que L(v) transforma al sistema en que el cuerpo est´a moment´aneamente ¯ = 0, el sistema de referencia en reposo moment´aneo con v aneo con el cuerpo. Nuestra transformaci´on on se define entre sistemas de referencia inercial, por lo tanto suponemos que existe un n´umero continuo de sistemas de referencia inerciales que se mueven moment´aneamente con la part´ part´ıcula en reposo. Como vimos anteriormente la norma de este vector es un invariante U ν U ν ν = c2 y tiene el mismo valor en los dos sistemas de referencia, referencia , como deber´ıa ıa ser.
5.1. 5.1.
Tran ransfo sform rmaci aci´ on ´ on de fuerzas
En forma trivial podemos definir el 4-vector de momento como P µ
→ (γmc,γmv) 23
Ya que la masa m es invariante. En el l´ımite v
→ 0 tenemos
l´ım (γmc,γmv) = (mc,mv) + O(β 2 )
v→0
Es f´acil acil darse cuenta que el momento definido de las leyes de Newton mv, el cual se conserva en el sistema ¯ . Necesitamos escribir las ecuaciones de Newton en forma K , puede que no se conserve en el sistema K invariante siguiendo el postulado del principio de relatividad (las ecuaciones de Maxwell, la ecuaci´on de onda, ya es invariante) con las siguientes reglas la ecuaci´ ecuaci´on on debe de ser invariante invariante escrita en t´ermino ermino de 4-vectores en el l´ımit ım itee v
→ 0, debemos recobrar la ecuaci´on on de Newton en su forma no relativista.
Una ecuaci´on on de movimiento que tiene forma invariante, que los dos lados de la ecuaci´on on se transforman de la misma forma, se denominan ecuaci´on on co-variante. En el sistema K tenemos dP µ = µ dτ donde es un 4-vector tambi´ en. en. Esta definici´on on es razonable, ya que la parte espacial del 4-vector de momento mom ento en el l´ımite ımit e v 0 converge al momento no-relativista. Usamos la segunda regla para transformar al sistema de referencia donde la part´ part´ıcula est´a instant´aneamente aneamente en reposo. En este sistema tenemos
F
F
→
¯µ dP d d2 x¯ =m c, dτ dt¯ dt¯2
= m(0, (0, x¨) = (0, (0, F)
ya que la part´ part´ıcula est´a en reposo (instant´aneamente) aneamente) con F como la fuerza de Newton en su forma no relativista. Siendo que los componentes de la fuerza µ se transforma como un 4-vector tenemos (usando L( v))
F
−
F
=
1 γ (v F) c
·
2
γ 1 F+ (v F)v 1 + γ c2
·
γ (β F)
·
=
F+
γ 1 (β F)β β 2
−
·
donde β = v/c. As´ı, la fuerza fuer za F = ( 0 , 1 , 2 , 3 ) es la fuerza de Newton (0, (0 , F) con un “Boots”desde el /c. As´ sistema de referencia moment´aneamente aneamente en repos r eposoo con co n llaa part pa rt´´ıcula.
F F F F
R´apidamente apidamente nos damos cuenta de la dificultad de incluir campos electromagn´ eticos eticos en esta descripci´on, la parte part e espacia espa ciall para una part´ıcula ıcul a ser´ıa ıa
v dmγ v = qE + q dt c ya que
24
×B,
1 F = q
E+β
×
γ o2 1 + (vo E + vo β B 1 + γ o c2
· × B)v
·
o
1 γ o (vo E + vo β B) c por lo tanto si queremos que las ecuaciones la fuerza de Lorentz sea invariante vamos a tener que transformar tambi´en en los campos. camp os.
5.2. 5.2.
·
· ×
La pa para radoja doja de los los gem gemel elos os
Supongamos que tenemos dos gemelos. Mandamos a uno a la estrella mas cercana en un cohete que acelera la mitad del camino con a = g y desacelera la segunda mitad del camino con a = g. Lo mismo sucede de vuelta de la estrella. ¿Que edad tienen los gemelos al encontrarse?
−
En el sistema K las ecuaciones de movimiento son dU U 0 (τ ) τ ) = g dτ c dU 0 U (τ ) τ ) = g dτ c
g c g x¨0(τ ) τ ) = x˙ (τ ) τ ) c x¨(τ ) τ ) = x˙ 0 (τ ) τ )
→ →
Resolver este problema 1. Cuales Cuales son las condic condicion iones es inicia iniciales les?? Estas Estas condic condicione ioness se pueden pueden integra integrarr dad dadaa una distan distancia cia a la estrella. Es interesante resolver este problema y ver que el gemelo que va a la estrella mas cercana, tiene una edad menor que la de el gemelo que se queda en la tierra. 2. Cuanta Cuanta masa ( escriba escriba la ecuaci´ on on en el sistema del centro de momentum) se consumir´ consumir´ıa si nuestros motores convierten convierten masa en energ´ energ´ıa con 100 % de eficiencia. Esta energ´ energ´ıa se utiliza para impulsar la nave. 3. Compare con lo que se consumir´ consumir´ıa si el sistema no fuera relativistico.
5.3.
Din´ amica amic a de una part´ part´ıcula ıcul a
Si tomamos la transformaci´on on
F
=
γ (β F)
·
γ 1 (β F)β F+ β 2
−
·
(1)
vemos que para el caso de una fuerza en la direcci´on de la velocidad tenemos (por ejemplo un problema en una dimensi´on) on) la parte espacial nos da
25
dmγ v = γ F dτ y por lo tanto tiene sentido que la ecuaci´on de movimiento para una part´ part´ıcula ba jo la fuerza de Lorenz sea en el l´ımite ımi te relat r elativis ivista ta m
v dmγ v B. = qE + q dt c Este resultado no depende de si v es paralelo a F, ya que aplica para el caso de una transformaci´on on general, ya que precisamente el segundo termino v (v B) = 0.
×
· ×
En el caso de una fuerza que se deriva de un potencial, podemos escribir dmγ v = Φ , (2) dt aun cuando cuan do t´ecnicame ecni camente, nte, esto deber deb er´´ıa funcion func ionar ar solo para problemas en una dimensi´on on (fuerzas donde v es paralelo a F). La expresi´ on on correcta para re-escribir en forma relativista una fuerza cl´ asica asica no-relativista no-relati vista deber´ deber´ıa ser Eq.1 .
−
Desde un punto de vista Lagrangiano vemos que podemos recuperar la ecuaci´on para una part´ part´ıcula libre a trav´ trav´es es de las ecuaciones de Euler-Lagrange si usamos L=
2
−mc
De hecho si aceptamos el Lagrangiano L=
2
−mc
− v c
1
2
− − v c
1
2
Φ
y aplicando aplicando las ecuaciones ecuaciones de Euler-Lagr Euler-Lagrange, ange, obtenemos
d (mγ v) = Φ dt aun cuando no estemos de acuerdo que esta expresi´on es correcta.
−
De esta formulaci´on on es trivial encontrar la formulaci´on on can´onica onica y el Hamiltoniano. Hay tres cosas importantes de considerar: Primero, Primero , la energ en erg´´ıa cin´etica etica no aparece en el Lagrang L agrangiano. iano. Es importante imp ortante recordar reco rdar que qu e necesitamos necesit amos un un escalar para poder transformar el Lagrangiano a un sistema de variables generalizadas donde podemos aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange. Segundo, la formulaci´on on es estrictamente no covariante ya que el tiempo aparece con un car´acter especial. La idea es formular este sistema desde un punto de vista covariante en el que el tiempo y el espacio adquieren la misma relevancia. 26
Tercero, este Lagrangiano no tiene ninguna propiedad de transformaci´on on especifica con respecto a las transformaciones de Lorentz. El principio de Hamilton debe de ser, en forma fundamental, covariante lo que implica que la integral de acci´on on debe de ser un escalar invariante. Esto adem´as as implica que las derivadas deben de ser con respecto a un par´ametro ametro invariante. En nuestro caso usaremos τ “proper time”. τ d ∂L ∂L = δ L(xµ , x˙ µ )dτ dτ ∂ ˙ ∂ x˙ µ ∂x µ τ
2
→
1
Para el caso de una part´ part´ıcula libre, podemos p odemos escribir
− − mc2
L=
v c
1
2
Notemos que si re-escribimos la acci´on on en termino de τ Ldt =
vemos que (γL) γL ) =
2
−mc
(γL) γL )dτ
(γL) γL )
→
→ 12 mx˙ x˙ µ
µ
Por lo tanto si
L
1 = mx˙ µ x˙ µ 2
pµ = mx˙ µ
podemos construir el Hamiltoniano para una part´ part´ıcula libre como µ
H = p2 pm
µ
,
Para el caso de un potencial demos construir un Lagrangiano que de la ecuaci´on on de movimiento dP µ = K u dτ para el caso de la fuerza de Lorenz, una forma relativamente trivial de escribir el Lagrangiano en forma covariante es usando formas covariantes, productos escalares de 4-vectores. 1 q L = mx˙ µ x˙ µ + x˙ µ Aµ 2 c (Φ, A) Aµ = (Φ,
→ 27
d q q ∂A µ mx˙ v + Av = x˙ µ v dτ c c ∂x
El resultado de este an´alisis alisis es la ecuaci´on on de movimiento m ovimiento en un campo electromagn´ electroma gn´etico. etico. De D e estas ecuacion e cuaciones es podemos derivar el momento can´onico onico y su relaci´on on a la energ´ en erg´ıa ıa cin´ ci n´etica eti ca ∂L q pµ = µ = P µ + Aµ ∂ ˙ ∂ x˙ c y por lo tanto podemos construir
H
T = pµ
→
1 q = mx˙ µ x˙ µ + A˙ µ xµ 2 c q pµ = mx˙ µ + Aµ c
con
2
→ H
µ
p
=
−
−
q µ A c
q Aµ c
pµ
2m
2
−
+ m2 c4
q Aµ c
dxµ d = dτ dpµ
H
dpµ d = dτ dxµ Este es el caso del Lagrangiano para una part´ part´ıcula. Cuando ponemos varias que se afectan entre si, se vuelve un problema complicado ya que entonces es dif´ıcil ıcil definir un “proper “prop er time”τ time” τ para todas toda s las part´ part´ıculas. ıculas . Este E ste problema de definir una formulaci´on on Lagrangian Lagr angiana, a, principio princ ipio de Hamilton H amilton,, para varias part´ part´ıculas resulta r esulta muy complicado. Hay forma de manejar esto desde el punto de vista de los campos en una descripci´on cu´antica antica de la din´amica. amica.
−H
5.4.
Din´ amica amic a de varias varia s part par t´ıculas ıcul as
Hay un gran problema al describir m´as as de una part´ part´ıcula en este formalismo ya que no queda claro cual es el tiempo tiempo propio a usar. Al usar varias varias part´ part´ıculas el tiempo propio no es un par´ ametro apropiado para la ametro descripci´on on Lagrangiana. Lagrangiana. Este problema se resuelve resuelve en la mec´anica anica cu´antica antica al a l pasar pa sar a una teor t eor´´ıa de campo camp o 4 donde el par´ametro ametro de los campos es el dx , el cual s´ı es un invariante invariante de la din´amica. amica. τ 2
δ
µ
µ
L(x , x˙ )dτ
τ 1
Pensemos en el Hamiltoniano
H = que ecuaciones da.
5.5.
→δ
− (P
A)µ (P
Energ´ Energ´ıa y momento momento
Si tomamos la transformaci´on on
28
(Ψ, ∂ µ Ψ, . . . )dx4 L(Ψ,
− A)
µ
+ m2
F
=
1 γ (v F) c
·
γ 2 1 F+ (v F)v 1 + γ c2 vemos que para todo caso el componente temporal de esta ecuaci´on es
·
dmγc2 = γ v F m dτ lo cual ya sugiere que = mγc 2 tiene algo que ver con co n la l a energ´ energ´ıa de la part´ part´ıcula. Tomemos la ecuaci´on on
·
dP µ = µ dτ con la transformaci´on on de F a F . Vemos que para peque˜nas nas velocidades tenemos
F
d2 x dt2 d dt
F x˙ · F
Hemos usado nuevamente el continuo de sistemas inerciales para expresar v = dx/dt. analo g´ıa con el /dt. En analog 0 caso Newtoniano, vemos que podemos asociar el componente P con la energ ener g´ıa de una part par t´ıcula ıcul a , = γmc
2
P µ P µ = m2 c2
, γ p c (mc2 )2 2 = p2 c2 + (mc µ
P
→ →
→
ya que la norma norma de un 4-vect 4-vector or es inv invarian ariante. te. Si expand expandimo imoss esta esta forma forma de la energ energ´´ıa para para peque˜ peque˜nas nas velocidades tenemos 1 = γmc 2 mc2 + mv 2 + O(v 4) 2 Por lo tanto definimos mc2 como la energ´ energ´ıa de un cuerpo en reposo. Hay dos temas fundamentales en esto:
Otro tema interesante interesante es que en el l´ımite m 0 las part´ part´ıculas tambi´en en transportan transp ortan momentum y ν energ´ er g´ıa P ( pc, p), se mueven con velocidad v = c, pero no tienen un sistema de referencia inercial moment´ aneamente en reposo con ellas. aneamente
→
→
Es muy interesan interesante te que la masa y la energ energ´ıa son interca intercambia mbiables. bles. En una colisi´ colisi´on on completamente inelas ine lastica tica dos part´ıculas ıcul as con energ ener g´ıa ini inicial cial quedan en reposo despu´es es de chocar, lo que implica que la energ´ energ´ıa cin´etica etica fue convertida en un u n aumento a umento de la masa inercial. inercial . La energ´ energ´ıa que debemos debem os gastar en devolverles devol verles la energ ener g´ıa cin´etica etic a ini inicia ciall a las part par t´ıculas ıcul as es ∆M M = 2m + ∆M 2 = M c2
→
∆E = 2(T 2(T
Esta es la famosa relaci´on on de Einstein. 29
2
2
− mc ) = ∆M c
5.6. 5.6.
Coli Colisi sion ones es
En una colisi´on on donde hay creaci´on on de otras part´ part´ıculas tenemos que mantenerla totalidad de la energ´ energ´ıa, cin´etica etica e inercial, en cuenta. En una colisi´on on sabemos que el momento momento y la energ energ´ıa se conserv conservan, an, por lo tanto el 4-vector tambi´en en se conserva. conserva. El centro de momento (COM ya que masa ma sa no es algo que se conserva conserva en relatividad) se define como el sistema de referencia donde la suma de todos los momentos (parte espacial ¯ se conectan con una transformaci´on de (P 1, P 2 , P 3)) es cero. El laboratorio K y el COM K on de Lorentz. Para resolver problemas de colisiones, tenemos dos alternativas. 1. Usar escalare escalares. s. como P µ P µ , que tienen el mismo valor en todos los sistemas de referencia inerciales. 2. Resolver Resolver el problema problema en el COM y transformar transformar los 4-vectores 4-vectores al laboratorio K usando un “Boost”. Usaremos el primer p rimer m´etodo. etodo . Supong Su pongamos amos que tenemos t enemos una part´ part´ıcula de masa ma sa m1 que choca choc a con co n un unaa part pa rt´´ıcula de masa m2 en reposo. Relacionemos los ´angulos angulos de escatering (θ ( θ1 , θ2 ) en el laboratorio con el ´angulo angulo de escatering en el COM (φ ( φ).
Para calcular el ´angulo angulo de escatering escater ing tenemos tenem os que conservar co nservar el momento y la energ´ıa, ıa, esto est o implica impli ca conservar conser var el 4-vector de momento en todos los sistemas de referencia. Es conveniente multiplicar el 4-vector de momento por c y calcular todas las variables variables en t´ermino ermino de energ´ energ´ıa. Convertir Convertir todas las masas a energ´ energ´ıa, mc2 y las velocidades de los momentos a β , as a s´ı la velocidad de la luz desaparece de nuestro problema. Usaremos may´ usculas para describir los componentes de 4 vectores P = (P 0 , P 1 , P 2 , P 3 ) y min´usculas usculas usculas para describir los 1 2 3 componentes de 3 vectores p = (P , P , P ). Ahora, P representa un vector de 4-momento en el laboratorio ¯ el mismo vector en el COM. Por lo tanto tenemos los siguientes invariantes y P r = (P1,o + P2,o )2 = (P1,f + P2,f )2
¯1,o + P ¯2,o )2 = (P s = (P1,o
¯1,o = (P
¯1,f + P ¯2,f )2 = (P
2 1,f )
= (P2,o
2 1,f )
¯2,o = (P
−P − P ¯
2 2,f )
−P − P ¯
2 2,f )
¯ en los dos sistemas Estos invariantes relacionan P y P sistemas de referenc referencia ia y tambi´ tambi´ en en la conserv conservaci´ aci´on o n del 4momento. En el laboratorio
30
P1,o =
m21
po2 , po
+
P2,o = (m2 , 0, 0, 0)
→
P1,f = P2,f =
→
La conservaci´on on de energ´ energ´ıa en este sistema de referencia es m2 +
m21
+
po2
m21
m22 + p22 , p2
m21 + p21 +
=
+
p21 , p1
m22 + p22
En el COM
→ − → −
¯1,o = P
m21 + p¯o2 , p¯o
¯1,f = P
m21 + p¯f 2 , p¯f
¯2,o = P
m22 + p¯o2 , p¯o
¯2,f = P
m22 + p¯f 2 , p¯f
La conservaci´on on de energ´ energ´ıa en este sistema de referencia es m21 + p¯o2 +
m22 + p¯o2 =
m21 + p¯f 2 +
m22 + p¯f 2
Notemos que podemos transformar entre estos dos sistemas de referencia. Asumamos que po = po x ˆ1 . Debemos encontrar la transformaci´on on de Lorenz
¯1 + P ¯2 = L(v x P ˆ1 )(P1 + P2) que fuerza p¯1 + p ¯2 = 0, 0, 0
{
con lo cual podemos resolver
}
po
v=
m2 + m21 + po2 Ahora queremos calcular los factores r y s de la colisi´on, para lo cual notamos que (P1 + P2 )2 = P 12 + P 22 + 2P 2P 1µ P 2,µ = m21 + m22 + 2 21 2 Por lo tanto tenemos
− −
2m2 r = m21 + m22 + 2m
= 2m22
2 m21 + po2 2m2
1
m21 + po2
= m21 + m22 + 2 m21 + p21 s = 2m21
− 2p · p
m22 + p22
− 2 p p
1 2
cos(θ cos(θ1 + θ2 )
2 po p1 cos(θ cos(θ1) m21 + p21 + 2 p
m22 + p22
31
2
y
− − −
r = m21 + m22 + 2 = m21 + m22 + 2 s = 2m21 = 2m22
m21 + p¯o2
m22 + p¯o2 + 2 p¯o2
m21 + p¯f 2 m22 + p¯f 2 + 2 p¯f 2
2 m21 + p¯o2
m21 + p¯f 2 + 2 p¯o p¯f cos(θ¯1 )
2 m22 + p¯o2
m22 + p¯f 2 + 2 p¯o p¯f cos(θ¯2 )
Asumamos que m1 = m2 = m, y normalicemos todos los momentos a m. Notemos que en el CEM, tenemos p¯o = p¯f = m
1+
1 + po2
Por la misma raz´on on que en mec´anica anica cl´asica asica no se puede resolver completamente una colisi´on on entr e ntree part´ pa rt´ıcula ıcu lass puntuales sin informaci´on on extra sobre la interacci´on. on.
32
6.
Elec Electr trom omagn agnet etis ismo mo
La parte espacial de la parte de Lorentz es
v d(γ v) = γe E + mγ dt c d(γc) γc ) e = γ E v mγ dt c
×B
·
la segunda relaci´on on se puede obtener multiplicando la primera por v . La parte izquierda de esta relaci´on on se puede escribir con 4-vector y por lo tanto es invariante en todos los sistemas de referencia. La parte de la derecha es mas dif´ dif´ıcil como vimos arriba. Esto implica que los campos tambi´ en en deben transformarse en una transformaci´ on on de coordenadas. Si definimos el tensor electromagn´ etico, etico,
F µν
→
0 E x E y E z
−E −E −E −B B 0 0 −B B −B B 0 x
y
z
z
z
y
x
y
x
podemos definir la ecuaci´on on de movimiento en forma covariante como dP µ q µν = F P ν ν dτ mc Es importante importante notar que es necesario necesario definir los campos electroma electromagn´ gn´ eticos eticos como un tensor, tensor, no como un vector, ya que qu e estos tambi´en en se transforman transfo rman en una transform t ransformaci´ aci´on on de Lorentz. Note que la ´ultima ultima expresi´on on es una contracci´on on y por lo tanto es invariante en todos los sistemas inerciales. Esto implica que los campos el´ectricos ectricos y magn´eticos eticos se transforman transfor man entre si (ver Jackson 1974). 1974). Notemos que este tensor lo podemos escribir en forma invariante como 1 ˜µ ω˜ν = F µ,ν µ,ν ω 2 ya que es antisimetrico. Los componentes de del tensor se transforman como vimos anteriormente
˜µ F = F µ,ν µ,ν ω
⊗ ω˜
ν
∧
¯ = L F L T F Notemos que esto tiene sentido ya que en forma matricial dU q = FηU dτ mc ¯ = L U y LT η L = η, vemos que y dado que U ¯ dU q q ¯ ¯ L F LT η L U = F η U. = dτ mc mc Con esta transformaci´on on podemos resolver resolver problemas problemas complejos, complejos, transformando transformando a un sistema sistema de referenc referencia ia donde la formulaci´on on resulte f´acil, acil, por p or ejemplo, al sistema de referencia donde la part´ part´ıcula est´a en reposo. 33
¯ movi´endose Una transformaci´on on general a un sistema de referencia K endo se con velocid velo cidad ad v con respecto al sistema K, transforma los campos como ¯ = γ (E + β E ¯ = γ (B B
2
γ β (β · E) × B) − γ + γ + 1
− β × E) −
γ 2 β (β B) γ + γ + 1
·
Esta transformaci´on on transforma solo los campos, adem´as as es necesario transformar la dependencia expl´ expl´ıcita de las variables entre los dos sistemas de coordenadas. O sea x ¯ = L(vo )x
x = L−1 x ¯ = L( vo )x ¯
→
−
Los campos son entonces
¯ (x E ¯) = γ o (E[x] + βo
× B[x]) −
= γ o (E[x = L−1 x ¯ ] + βo
¯ (x B ¯) = γ o (B[x] + βo
×
× E[x]) −
¯] + β o = γ o (B[x = L−1 x
γ o2 βo (βo E[x]) γ o + 1 γ o2 −1 βo (βo E[x = L−1 x B[x = L x ¯]) ¯]) γ o + 1 γ o2 βo (βo B[x]) γ o + 1 γ o2 E[x = L−1x ¯]) ¯]) β o (β o B[x = L−1 x γ o + 1
·
−
·
·
× − · La transformaci´on on inversa se obtiene de v → −v, y para peque˜nas nas velocidades tenemos ¯ (E + β × B) E ¯ (B − β × E) B
part´ıcula en movimiento movimiento con velocidad uniforme vo en Ejemplo: Calcular los campos producidos por una part´ la direcci´on on x ˆ. En el sistema en reposo de la part´ part´ıcula con espacio-tiempo (c ( ct, t¯, x, x¯, y, y¯, z¯) tenemos ¯= E
− r¯q {x,x¯, y,y¯, z¯}
¯=0 B
3
Mientras que en el sistema del laboratorio con espacio tiempo (ct,x,y,z ( ct,x,y,z)) la part´ part´ıcula se mueve con velocidad velocida d v = vo xˆ, por lo tanto
ct¯ x¯ y¯ z¯
= L(vo xˆ)
ct x y z
=
−
γ 0 β o γ o 0 0
−β γ
o o
γ 0 0 0
34
0 0 1 0
0 0 0 1
ct x y z
=
−
ctγ o β o γ o x ctβ o γ o + γ o x y z
−
Ahora, r¯2 = x¯2 + y¯2 + z¯2 = γ o2(x con los campos transformados como
¯ E = γ o E
−
− v t) o
2
+ y2 + z 2
γ o2 ¯x = E ¯x , γ o E ¯y , γ o E ¯z x ˆβ o2 E γ o + 1
{
B = γ o βo x ˆ
}
× E ¯ = γ β {0, −E ¯ , E ¯ } o o
z
x
por lo tanto, los campos camp os en t´ermino ermino de las variables del laboratorio est´an an dados por ¯x , γ o E ¯y , γ o E ¯z = E = E
{
}
(γ o2 (x
−
qγ o x vo t)2 + y2 + z 2 )3/2
{ − v t,y,z} o
qγ o β o 0, z.y (γ o2(x vo t)2 + y2 + z 2 )3/2 Los campos se puede escribir en forma mas estandard como ¯z , E ¯x = B = γ o β o 0, E
{ −
}
{ − }
−
q (1 β o2) ˆ E = R 2 2 2 3 / 2 R (1 β sin θ)
B = β
−
−
×E
ˆ . Vemos que el campo el´ectrico donde R = r r(t), y cos θ = βˆ R ectrico es en la direcci´on on radial instant´anea, anea, como si no hubiera retardo.
−
·
Ejemplo: Supo Supongamo ngamoss que tenemos un campo ca mpo el´ectrico ectrico E que es perpendicular a un campo magn´etico etico B, ambos constantes en el tiempo y espacio. Que condiciones deben satisfacer estos campos para producir una ganancia gananci a ilimitada ilimita da de energ´ energ´ıa en las part´ part´ıculas cargadas? cargada s? Primero encontraremos un sistema de referencia donde los campos son paralelos. Existe una multitud de ¯ yB ¯ son paralelos. Utilizaremos el sistema que simplifica la transformaci´on sistemas en los cuales E on de los campos. Buscaremos una soluci´on on
¯ E con
× B) −
γ 2 β (β E) γ + γ + 1
− β × E) −
γ 2 β ( β B) γ + γ + 1
¯ = γ ( E γ (E + β ¯ = γ ( B γ (B
× B¯ = 0 ·
Dado que tenemos la restricci´on, on, E B = 0, y tambi´ tam bi´en en
·
¯ B ¯ E B=E
·
·
35
·
¯ =0oB ¯ = 0. podemos ver que E Esta claro que podemos simplificar si asumimos que β=αE
×B
β E = β B = 0,
→
·
·
con lo cual
¯ = γ ( E γ (E + β
= γ ( γ (E(1
2
¯ = B
=
2
× B) γ ( γ (B − β × E)
− αB ) + α(E · B)B) γ ( γ (B(1 − αE ) + α(E · B)E)
Para el caso particular de E B = 0, tenemos que
·
¯ = γ ( E γ (E + β
= γ E(1
2
¯ = B
=
2
× B) γ ( γ (B − β × E)
y por lo tanto
0 = (E + β
− αB ) γ B(1 − αE )
× B) × (B − β × E) = (E × B) 1 − αB
con lo cual tenemos dos soluciones 1 E 2 1, tenemos que α1 =
Por lo tanto si B > E , dado que β
α=
≤
1 B2
α2 =
→
con
2
1 . B2
β =
E eˆ⊥ B
γ =
√B|B−| E 2
2
¯ = 0 E
√ − E
ˆ B2 ¯ = B B Por lo tanto no hay ganancia de energ´ energ´ıa.
2
Mientras que si E > B tenemos
α=
con
1 E 2
→
36
β =
B eˆ⊥ E
γ =
√E |E −| B 2
2
αE 2
− 1
√ −B
ˆ E 2 ¯ = E E
2
¯ = 0 B Por lo tanto tenemos ganancia gananc ia de d e energ en erg´´ıa. Otra posibilidad, es mirar las ecuaciones de movimiento. Si normalizamos el tiempo propio con la girofrecuencia Ω = eB/mc y los campos con α = E/B, E/B , podemos escribir d dτ
U 0 U 1 U 2
=
0 α 0 1 α 0 0 1 0
−
U 0 U 1 U 2
Ahora podemos buscar soluciones del tipo Uo Exp[ Exp [λt], λt], con lo cual tenemos que calcular los valores propios de la matriz A de arriba. La ecuaci´on on a resolver es λ λ2
con lo cual vemos que
2
− (α − 1)
λ0 = 0
λ± =
=0
√ ± α −1 2
Si α > 1, lo que implica que E > B , tenemos soluciones reales, y por p or lo tanto la energ´ energ´ıa puede aumentar ilimitadamente. En el caso contrario, no es as´ı. ı. Los vectores vectores propios son
−
V0 = La soluci´on on completa
√ α
1
V± =
0 α
α2
1
−1
3
U(τ ) τ ) =
an Vn eλ
n
τ
= V eΛτ a
n
se puede construir con estos vectores y valores propios, donde construimos la matriz V = [V0, V+ , V−], la lista de coeficientes a = [a0 , a+ , a− ], y la matriz Λ diagonal con lo valores propios. Usando las condiciones iniciales
U(0) = V a vemos que
a = V−1 U(0) y por lo tanto
U(τ ) τ ) = V eΛτ V−1 U(0) 37
Esto es lo mismo que obtendr´ obtendr´ıamos exponenciando la matriz A, τ ) U(τ ) U(0) τ ) = e(Aτ )
6.1. 6.1.
Desc Descri ripc pci´ i´ on de las ecuaciones de Maxwell on
Definamos los 4-vectores J α
Aα
→ (cρ,J )
(Φ, A) → (Φ,
La continuidad se puede expresar como ∂ α J α = 0
El 4-Tensor de segundo rango se puede reescribir como F αβ = ∂ α Aβ
β
α
− ∂ A
o en forma tensorial como 1 ˜ µ d˜xν = F µν µν dx 2 mostrando expl´ expl´ıcitamente la antisimetria del tensor. Con esta descripci´on, on, podemos escribir las ecuaciones de Maxwell en forma covariante
˜µ F = F µν µν dx
⊗ d˜x
ν
∂ α F αβ =
∧
4π β J c
Supongamos que utilizamos el Gauge de Lorentz ∂ α Aα = 0 entonces vemos que esta ecuaci´on on es la ecuaci´on on de onda ∂ α ∂ α Aµ =
4π µ J c
Utilicemos la notaci´on on ∂A α Aα,β = ∂x β
∂ 2 Aα Aα,βγ = γ β ∂x ∂x 38
A,β =
∂A ∂x β
Podemos tratar de definir el Lagrangiano de los campos como
L(Aµ , Aµ,ν , xλ )dxµ
∂ ∂L ∂x α ∂A β,α
→
∂L − ∂A
=0
β
donde es factible definir en tensor de stress-energ´ stress-energ´ıa dL ∂L ∂L ∂L = + + A A α,µ α,µν dxµ ∂A α ∂A α,ν ∂x µ
d ∂L Aα,µ dxν ∂A α,ν
→
−Lδ
µ
ν
y si L no depende de xu , entonces definimos T µ ν =
∂L Aα,µ ∂A α,ν
−Lδ
µ
ν
→
=
∂L − ∂x
µ
T µ ν ,ν = 0
En el caso de electromagnetismo, en su formulaci´on on de la relatividad especial, podemos escribir la forma 4 invariante, integrado sobre dx , L=
− 161 F
αβ αβ αβ F
− 1c J A α
α
→
1 β ∂ F βα βα = 4π
− 1c J
α
que dan las ecuaciones de arriba.
Notemos que las ecuaciones homog´eneas eneas de Maxwell se puede expresar como ∂ α F βγ + ∂ β F γα + ∂ γ F αβ = 0 Para el caso de materiales, el tensor F ( ). Es muy instructivo mostrar que las ecuaciones F (E, B ) G(D, H ). de Maxwell se puede expresar en formulaci´on on geom´etrica etri ca como
→
· F = 4cπ J
F = 0
39
7.
La m´ m´ etrica etrica de Riemann Riemann g
Notemos que todo el an´alisis alisis que hemos realizado hasta ahora funciona perfectamente para un espacio dond do ndee la l a m´etric etr icaa g depende del espacio-tiempo. La ´unica unica diferencia esta en que hemos usado un sistema de coordenadas que tienen una base constante en el espacio-tiempo, y por lo tanto d e ˆ j = 0 dxi Ahora veremos que pasa cuando este no es el caso.
7.1.
Deriv Derivadas cov covariantes ariantes
Notemos que es muy impo i mportante rtante darse dars e cuenta que las leyes de d e la f´ f´ısica est´ es t´an an escritas en termino de derivadas de campos, por lo tanto se hace necesario escribirlas en una forma que sea invariante en todos los sistemas de coordenadas. Esto implica escribir las leyes f´ f´ısicas en t´erminos erminos de tensores y sus derivadas. derivadas. Por ejemplo, un vector cualquiera en un sistema coordenado tiene componentes V su derivada es
→ {V , V , V , V }, y 0
1
2
ˆν ∂V ν ∂ V ∂ ∂V ν ν ν ∂ e V ;µ = e e = µ (V eˆν ) = = ˆ + V ˆ + V ν Γα νµ eˆα µ µ ν µ µ µ
3
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x derivada covariante covariante. La derivada covariante es la forma de que define los s´ımbolos ımbolos de Chistoffel Chistoffel y la derivada incluir la curvatura curvatura en las leyes f´ f´ısicas cuando estas est´an an descritas por vectores. Notemos que la ´ultima ultima expresi´on on tiene sentido porque los eˆi forman una base. Con un poco de trabajo es posible demostrar: i Γ jk = gim
i
1 im ∂y i ∂ 2 yi = g 2 ∂x m ∂x k ∂x j
∂g mj ∂g mk + ∂x k ∂x j
−
∂g jk ∂x m
Note que los s´ımbolos ımbolo s de d e Chistoffel C histoffel
∂ eˆν = Γα νµ eˆα µ ∂x se calculan de una vez para una m´etrica etrica dada.
Problema: construya los s´ımbolos de Christoffel para bases polares p olares (esto es aun un espacio plano): Vamos a representar una trayectoria en el sistema cartesiano de coordenadas polares. Definimos x = r cos θ y = r sin θ lo que define la transformaci´on on
Λ=
cos θ sin θ
−r sin θ r cos θ
dx dy
40
=Λ
dr dθ
Definamos el inverso
Ω=
cos θ sin θ 1 1 sin θ cos θ r r
−
dr dθ
=Ω
dx dy
con ΛΩ = 1. Dada una transformaci´on on
dx = Λdx podemos relacionar T
ds2 = dxT gdx = dx y por p or lo tanto en esta base polar tenemos la m´etrica etrica ¯ g
→Λ
T
gΛ=
Las bases se transforman como
ΛT g Λ dx
1 0 0 r2
ˆ e ¯µ = Λν µ eˆν diferentes a los vectores, podemos encontrar e ˆr = Λ1 1 eˆ1 + Λ2 1eˆ2 = cos θxˆ + sin θyˆ e ˆθ = Λ1 2 eˆ1 + Λ2 2eˆ2 =
−r sin θxˆ + r cos θyˆ
Notemos que la nueva nueva m´etrica etrica se puede calcular a partir de T
ˆ¯ν ) = e ˆ¯µ g e ˆ¯ν e ¯µ, e g¯µν = g(ˆ Las derivas de las bases se pueden evaluar como
→ 1 0 0 r2
∂ r eˆr = 0 ∂ θ eˆr = eˆθ /r ∂ r eˆθ = eˆθ /r ∂ θ eˆθ =
−reˆ
r
Un vector general en este sistema de coordenadas es ( V r , V θ ), y su derivada es
41
∂ V ∂ i = (V eˆi) ∂r ∂r ∂ r = (V eˆr + V θ eˆθ ) ∂r ∂V r ∂V θ ∂ eˆr ∂ eˆθ = e e + V θ ˆr + ˆθ + V r ∂r ∂r ∂r ∂r y de la misma manera para la derivada θ. Los L os s´ımbolos ımbolo s de Chistoffel Chistoffe l son: s on:
Γr rr = 0
Γθ rr = 0
Γr rθ = 0
Γθ rθ =
Γr θr = 0
Γθ θr
Γr θθ =
Γθ θθ
−r
1 r 1 = r =0
Tambi´ en, en, podemos p odemos construir bases para las uno-formas. En la base est´andar andar tenemos d˜x = 1, 0
d˜y = 0, 1
{ }
{ }
mientras que los componentes de las uno-formas se transforman como p¯µ = Ων µ pν Por lo tanto en la base polar podemos escribir d˜r = Ω1 1 d˜x + Ω2 1 d˜y = cos θd˜x + sin θd˜y d˜θ = Ω1 2 d˜x + Ω2 2 d˜y =
− 1r sin θd˜x + 1r cos θd˜y
Dado que la uno-forma tiene componentes
dµ
podemos calcular el vector
→
dµ = gµν dν
donde hemos usado el inverso de g.
∂ ∂r ∂ ∂θ
→ 42
∂ ∂r 1 ∂ r2 ∂θ
Notemos que las derivadas covariantes se pueden escribir como ;µ V
∂ V = µ = ∂x
∂V ν + V α Γν αµ eˆν µ ∂x
por lo tanto podemos definir V ν ;µ = V ν ,µ + V α Γν αµ con lo cual encontramos ;µ = V ν ;µ e V ˆν
lo cual es un resultado important´ important´ısimo, ya que dice que en el nuevo sistema de referencia, donde las bases no son constantes, esta expresi´on on permite tratar los componentes como si fueran invariantes.
Nota: uno de los postulados de la relatividad general es que siempre existe una base, al menos localmente, ¯ , tenemos donde la m´etrica etrica es constante e igual a la de Minkowsky. Minkowsky. Esto implica que en esta base K ¯ ν ,µ V ν ;µ = V Vemos inmediatamente como se puede transformar una ley f´ f´ısica descrita en el sistema de Minkowsky Minkowsky local, lo cal, para que funcione en el sistema de coordenadas general, con o sin curvatura. Notemos que podemos definir el tensor 11 , denominado la derivada covariante covariante ;µ , y tiene componentes el vector eˆν en el vector V
V
ν
µ
=
µ V
ν
, que mapea del vector V V
= V ν ;µ
Notemos que en una base tipo tip o Minkowsky Minkowsky (aveces denominada cartesiana donde la m´etrica etrica es constante), µ tenemos que los componentes de este tensor son V ,ν . Asimismo, para el caso de un escalar, vemos que la definici´ on de la derivada covariante es on
Φ = d˜Φ ya que un escalar no depende de la base. Notemos que podemos definir la divergencia haciendo una contracci´on, la cual es independiente del sistema de coordenadas coordenadas V µ ;µ Por ejemplo, en coordenadas polares tenemos la divergencia
43
V µ ;µ = V r ,r +V θ ,θ +V r Γr rr + Γθ rθ + V θ Γr θr + Γθ θθ
1 r
= V r ,r +V θ ,θ +V r
1 ∂ (rV r ) ∂V θ = + r ∂r ∂θ Esta es la formula que estamos acostumbrado, excepto por el hecho que en nuestra definici´on el vector de la base rˆθ no es unitario en la forma que estamos acostumbrado. En libros de calculo, es costumbre forzar a que las bases sean unitarias, con lo cual la divergencia quedar´ quedar´ıa 1 ∂ (rV r ) 1 ∂V θ V + r ∂r r ∂θ Nosotros mantendremos la notaci´on on que hemos estado usando aqu´ aqu´ı.
· →
˜ , podemos escribir en forma Ahora queremos construir el Laplaciano de un escalar. Usando dΦ = g−1 d invariante, usando la derivada covariante,
· ( dΦ) = la cual es igual a
µ
dΦ
2
;µ
1 ∂ = r ∂r
∂ Φ r ∂r
+
1 ∂ 2 Φ r2 ∂θ 2
∂ 2 Φ ∂ 2 Φ Φ= + 2 ∂x 2 ∂y
como deber deb er´´ıa ser. Que pasa con las derivadas de uno-formas. Calculemos la derivada del escalar Φ = pµ V µ , ∂p µ µ ∂V µ = V + pµ β ∂x β ∂x ∂p µ µ = V + pµ V µ ;β pµ V µ Γµ µβ β ∂x ∂p µ = ( pµ V µ ;β ) pα Γα µβ V µ + ( p β ∂x
Φ=Φ β
,β
−
−
por lo tanto dada la ley de la cadena para las derivadas, podemos definir ( pα;β = pα,β pµ Γµ αβ
−
y as´ı tenemo ten emoss α
( p V ) = p β
α
α;β V
44
α
+ pαV α ;β
p˜) β
α
= ( p˜)αβ = pα;β , donde
De la misma forma podemos demostrar que
T T T
β µν µν β β
= T µν,β µν,β
α αν αν Γ µβ
− T
α µα µα Γ νβ
− T
µν
µν = T ,β + T αν Γµ αβ + T µα Γν αβ
µ
= T µ ν,β + T α ν Γµ αβ
ν
µ
− T
α α Γ νβ
con lo cual podemos escribir las ecuaci´on on de Maxwell Maxwell en cualquier base, partiendo de su representaci´ representaci´on on en el sistema local de Minkowsky, como 4π ν ¯ µ,ν = 4π J ¯ν J µ F c c ¯ν y F ¯ µ,ν represen donde J representan tan los componente componentess del vector vector de corrien corriente te y el tensor tensor electroma electromagn´ gn´ etico etico en el ν ¯ ¯ µ,ν . sistema descrito por la m´etrica etrica g. Notemos que escribir es ahora simple en el nuevo sistema J y F ∂ µ F µ,ν =
→
Problema: Calcular las ecuaciones de Maxwell en Polares.
7.2.
Posible Posibless axiomas para la f´ f´ısica en el espacio espacio curvo curvo
1. El espacio–tie espacio–tiempo mpo es un sistema m´ ultiple ultiple de 4-D con una m´etrica. etrica. 2. La m´etrica etrica es medible por p or rods y relojes. 3. La m´etrica etrica se puede poner en la forma de Lorentz η localmente por una opci´on on particular de coordenadas. Esto significa que el espacio es localmente plano y que la ecuaci´on on de movimiento puede ser escrito como antes en notaci´on on de tensores, pero con la posibilidad de una m´etrica etrica curva. 4. Part´ıculas ıcul as en ca´ ca´ıda lib libre re siguen sig uen (time-li (tim e-like) ke) geo g eod´ d´esicas. esic as. 5. Cualquier ley f´ısica que se pueda expresar en notaci´on on tensorial en relatividad especial tiene exactamente la misma forma en un sistema inercial local. En general este sistema de referencia no es global. Para describir la f´ısica en forma global, tenemos que cambiar solamente todas las derivadas en derivadas covariantes para hacer las ecuaciones del movimiento v´alidas en todos los sistemas coordenados Por ejemplo, podemos po demos notar que todos los t´erminos erminos se transforman en forma apropiada ba jo una transformaci´on on de coordenadas, lo que implica que seria bueno mapear las ecuaciones de Newton en estos t´erminos. erminos. Partimos en un sistema Cartesiano y una ley de fuerza como funci´on on de x y derivadas con respecto a x. Luego transformamos a un sistema curvo para escribir la ley general. La misma idea aplica a las ecuaciones de Maxwell, pero reformuladas en termino de derivadas covariantes. Finalmente, ponemos como referencia la ecuaci´on on din´amica ami ca para par a la m´etrica etri ca Gαβ + λgαβ = 8πT αβ 45
con Gαβ = Rµ αµβ
− 12 g
αβ
R
como el tensor de Einstein. Adem´as as 1. λ es la constante cosmol´ogica ogica que incluye i ncluye energ´ energ´ıas en el background. background . αβ 2. T αβ = (P + ρ) U α U β + pgαβ + T EM (para un fluido perfecto) corresponde al tensor energ´ energ´ıa-stress
3. Rα βµν = Γα βν,µ
α
−Γ
α σ βµ,ν + Γ σµ Γ βν
α
−Γ
σ σν Γ βµ
4. R = gµν Rµν = g µν gαβ Rαµβν es el escalar de Ricci
8.
Form ormulac ulaci´ i´ on on Lagrangiana
-par -p artt´ıcul ıc ulas as -campos
9.
Termodin´ amica amica y fluidos
-fluidos perfectos -termodin´amica amica
46
es el tensor de curvatura Riemanniana
